Controlo de SistemasDiagramas polares

Alexandra Moutinho

Dep. Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, (alexandra.moutinho@tecnico.ulisboa.pt)

• Resposta em frequência

– Diagrama de Bode (revisões)

• Análise de estabilidade

– Margens de estabilidade (diagrama de Bode)

– Relação entre margens de estabilidade e LGR

– Margens de estabilidade de sistemas com atraso

Controlo de Sistemas

Aula anterior

40

• Resposta em frequência

– Diagrama polar

• Análise de estabilidade:

– Margens de estabilidade em diagramas polares

Controlo de Sistemas

Esta aula

41

• O diagrama de Bode representa a resposta em frequência de um sistema, 𝐺(𝑗𝜔), através

– Do gráfico do seu módulo, 𝐺(𝑗𝜔) , ou 20 log10 𝐺(𝑗𝜔) , e

– Do gráfico da sua fase, arg[𝐺(𝑗𝜔)]

• Exemplo:

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑗𝜔𝜔𝑛

2

+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛

+ 1

Controlo de Sistemas

Resposta em fequência:Diagrama de Bode

42

• O diagrama polar representa a resposta em frequência de um sistema, 𝐺(𝑗𝜔), representando num mesmo gráfico o seu módulo, 𝐺(𝑗𝜔) , e a sua fase, arg[𝐺(𝑗𝜔)]

• Exemplo:

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑗𝜔𝜔𝑛

2

+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛

+ 1

Controlo de Sistemas

Resposta em frequência:Diagrama polar

43

𝑮 𝒋𝝎 =1

𝑗𝜔𝜔𝑛

2

+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛

+ 1

=1

2𝜉𝜔𝜔𝑛

𝑗 + 1 −𝜔2

𝜔𝑛2

= 𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎 + 𝒋𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎

= 𝑮 𝒋𝝎 𝒆𝒋∠𝑮 𝒋𝝎

𝐺 𝑗𝜔 =൙

1

1 −𝜔2

𝜔𝑛2

2

+ 2𝜉𝜔𝜔𝑛

2

∠𝐺 𝑗𝜔 = −arctan2𝜉

𝜔𝜔𝑛

1 −𝜔2

𝜔𝑛2

Controlo de Sistemas

Resposta em frequência:Diagrama polar

𝐺(𝑗𝜔) Im[𝐺 𝑗𝜔 ]

Re[𝐺 𝑗𝜔 ]

∠𝐺 𝑗𝜔

𝐺(𝑗𝜔)

44

Controlo de Sistemas

Resposta em frequência:Diagrama de Bode vs. Diagrama polar

45

Controlo de Sistemas

Resposta em frequência:Diagrama polar

• Vantagens dos diagramas polares:

– Integração num único gráfico da evolução do módulo e da fase de 𝐺(𝑗𝜔)

– Mais fácil analisar a estabilidade relativa de sistemas de controlo

– O critério de estabilidade de Nyquist vai basear-se nesta representação

46

𝐺(𝑗𝜔) Im[𝐺 𝑗𝜔 ]

Re[𝐺 𝑗𝜔 ]

∠𝐺 𝑗𝜔

𝐺(𝑗𝜔)

𝑮 𝒋𝝎 = 𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎 + 𝒋𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎

= 𝑮 𝒋𝝎 𝒆𝒋∠𝑮 𝒋𝝎

𝑮 𝒋𝝎 = 𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎 𝟐 + 𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎 𝟐

𝑮 −𝒋𝝎 = 𝑮 𝒋𝝎

∠𝑮 𝒋𝝎 = arg 𝑮 𝒋𝝎 = atan𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎

𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎

arg 𝑮 −𝒋𝝎 = −arg 𝑮 𝒋𝝎

arg𝑎(𝑠)

𝑏(𝑠)= arg 𝑎 𝑠 − arg[𝑏(𝑠)]

Controlo de Sistemas 47

Funções complexas

Controlo de Sistemas

Diagrama polar:Termo integrativo 𝑗𝜔 −1

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑗𝜔= −𝑗

1

𝜔=1

𝜔𝑒−𝑗 arctan

𝜔0 =

1

𝜔𝑒−𝑗90°, 𝜔 ∈ 0,+∞

48

Controlo de Sistemas

Diagrama polar:Termo derivativo 𝑗𝜔 +1

𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔 = 𝜔𝑒𝑗 arctan

𝜔0 = 𝜔𝑒𝑗90°, 𝜔 ∈ 0,+∞

49

Controlo de Sistemas

Diagrama polar:Fator de 1ª ordem 𝑇𝑗𝜔 + 1 −1

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑇𝑗𝜔 + 1=

1

𝑇2𝜔2 + 1𝑒−𝑗 arctan 𝜔𝑇 , 𝜔 ∈ 0,+∞

50

Controlo de Sistemas

Diagrama polar:Fator de 1ª ordem 𝑇𝑗𝜔 + 1 +1

𝐺 𝑗𝜔 = 𝑇𝑗𝜔 + 1 = 𝑇2𝜔2 + 1𝑒𝑗 arctan 𝜔𝑇 , 𝜔 ∈ 0,+∞

51

Controlo de Sistemas

Diagrama polar:

Fator de 2ª ordem 𝑗𝜔

𝜔𝑛

2

+ 2𝜉𝑗𝜔

𝜔𝑛+ 1

−1

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑗𝜔𝜔𝑛

2

+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛

+ 1

, 𝜉 > 0

52

Controlo de Sistemas

Diagrama polar:

Fator de 2ª ordem 𝑗𝜔

𝜔𝑛

2

+ 2𝜉𝑗𝜔

𝜔𝑛+ 1

+1

𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔

𝜔𝑛

2

+ 2𝜉𝑗𝜔

𝜔𝑛+ 1, 𝜉 > 0

53

Controlo de Sistemas

Diagrama polar: formas genéricas

• Segundo o tipo do sistema (sistema com ganho positivo)

54

Controlo de Sistemas

Diagrama polar: formas genéricas

•Para 𝜔 → +∞ (sistemas causais sem zeros ou pólos no SPD, com ganho positivo)

55

Controlo de Sistemas

Diagrama polar: formas genéricas

•Para sistemas com dinâmica no numerador (zeros)

56

• Desenhar o diagrama polar do sistema:

𝐺 𝑠 =1

𝑠(𝑇𝑠 + 1)

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑗𝜔(𝑇𝑗𝜔 + 1)=

1

−𝑇𝜔2 + 𝑗𝜔=−𝑇𝜔2 − 𝑗𝜔

𝑇2𝜔4 +𝜔2

=−𝑇𝜔2

𝑇2𝜔4 +𝜔2− 𝑗

𝜔

𝑇2𝜔4 +𝜔2= −

𝑇

𝑇2𝜔2 + 1− 𝑗

1

𝜔(𝑇2𝜔2 + 1)

lim𝜔→0

𝐺 𝑗𝜔 = −𝑇 − 𝑗∞ = ∞𝑒−𝑗90°

lim𝜔→+∞

𝐺 𝑗𝜔 = −0 − 𝑗0 = 0𝑒−𝑗180°

Controlo de Sistemas

Diagrama polar: exemplo

57

• Desenhar o diagrama polar do sistema:

𝐺 𝑠 =1

𝑠(𝑇𝑠 + 1)

lim𝜔→0

𝐺 𝑗𝜔 = −𝑇 − 𝑗∞

= ∞𝑒−𝑗90°

lim𝜔→+∞

𝐺 𝑗𝜔 = −0 − 𝑗0

= 0𝑒−𝑗180°

Controlo de Sistemas

Diagrama polar: exemplo

58

Controlo de Sistemas

Diagrama polar de FT simples

59

• Diagrama polar do termo de atraso:

𝐺 𝑗𝜔 = 𝑒−𝜃𝑗𝜔 = 1. arg[cos 𝜔𝜃 − 𝑗 sin(𝜔𝜃)] = −𝜃𝜔

• Módulo unitário

• Fase varia linearmente com 𝜔

Controlo de Sistemas

Diagrama polar de sistemas com atraso

60

• Exemplo: desenhar o diagrama polar do sistema:

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑇𝑗𝜔 + 1𝑒−𝜃𝑗𝜔

𝐺 𝑗𝜔 =1

𝑇𝑗𝜔 + 1𝑒−𝜃𝑗𝜔 =

1

𝑇2𝜔2 + 1

arg 𝐺 𝑗𝜔 = arg1

𝑇𝑗𝜔 + 1+ arg 𝑒−𝜃𝑗𝜔 = −arctan𝑇𝜔 − 𝜃𝜔

Controlo de Sistemas

Diagrama polar de sistemas com atraso

61

Controlo de Sistemas

Margens de estabilidade em diagramas de Bode

𝜔𝑐𝑓: arg[𝐾𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑓)] = −180°, 𝜔𝑐𝑔: 𝐾𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 = 1

MG𝐾dB = −20 log10 𝐾𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓 , MF𝐾 = 180° + arg[𝐾𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)]

𝜔𝑐𝑔

arg[𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 ]

𝜔𝑐𝑓

20 log10 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓

𝐾 = 1: 𝐾𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺 𝑗𝜔

62

• 𝐾 = 1: 𝐾𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺 𝑗𝜔

• 𝜔𝑐𝑔: 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 = 1

• MF𝐾 = 𝛾 = 180° + arg[𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)]

• 𝜔𝑐𝑓: arg[𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑓)] = −180°

• MG𝐾dB = −20 log10 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓

= 20 log101

𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓

• MG𝐾 = 𝐾𝑔 =1

𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓

Controlo de Sistemas

Margens de estabilidade em diagramas polares

𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓

𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔

63

Controlo de Sistemas

Margens de estabilidade em diagramas polares

MG𝐾 =1

𝐾𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓=

1

𝐾𝑔, MF𝐾 = 180° + arg[𝐾𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)]

64

• Determine as margens de ganho MG e de fase MF, e respetivas frequências de cruzamento de fase 𝜔𝑐𝑓 e de ganho 𝜔𝑐𝑔,

para o sistema seguinte, considerando 𝐾 = 10 e 𝐾 = 100

Controlo de Sistemas

Margens de estabilidade no Matlab

>> num=1;

>> den=conv([1 1 0],[1 5])

>> G=tf(num,den)

>> figure,margin(10*G)

>> figure,margin(100*G)

65

Controlo de Sistemas

Margens de estabilidade no Matlab

𝐾 = 10 𝐾 = 100

66

Diagrama polar e margens de estabilidade

𝐺(𝑗𝜔) Im[𝐺 𝑗𝜔 ]

Re[𝐺 𝑗𝜔 ]

∠𝐺 𝑗𝜔

𝐺(𝑗𝜔)

https://create.kahoot.it/details/at9-diagrama-polar-e-margens-estabilidade/4a72e83f-fafe-401c-bcf5-329008ac097c

• Resposta em frequência

– Diagrama de Nyquist

• Análise de estabilidade

– Critério de Nyquist

Controlo de Sistemas

Próximas aulas

68

– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011

– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008

– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (4ª edição), 2002

– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (6ª edição), 2010

Controlo de Sistemas

Referências usadas

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