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Controlo de SistemasDiagramas polares
Alexandra Moutinho
Dep. Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, ([email protected])
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• Resposta em frequência
– Diagrama de Bode (revisões)
• Análise de estabilidade
– Margens de estabilidade (diagrama de Bode)
– Relação entre margens de estabilidade e LGR
– Margens de estabilidade de sistemas com atraso
Controlo de Sistemas
Aula anterior
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• Resposta em frequência
– Diagrama polar
• Análise de estabilidade:
– Margens de estabilidade em diagramas polares
Controlo de Sistemas
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• O diagrama de Bode representa a resposta em frequência de um sistema, 𝐺(𝑗𝜔), através
– Do gráfico do seu módulo, 𝐺(𝑗𝜔) , ou 20 log10 𝐺(𝑗𝜔) , e
– Do gráfico da sua fase, arg[𝐺(𝑗𝜔)]
• Exemplo:
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑗𝜔𝜔𝑛
2
+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛
+ 1
Controlo de Sistemas
Resposta em fequência:Diagrama de Bode
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• O diagrama polar representa a resposta em frequência de um sistema, 𝐺(𝑗𝜔), representando num mesmo gráfico o seu módulo, 𝐺(𝑗𝜔) , e a sua fase, arg[𝐺(𝑗𝜔)]
• Exemplo:
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑗𝜔𝜔𝑛
2
+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛
+ 1
Controlo de Sistemas
Resposta em frequência:Diagrama polar
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𝑮 𝒋𝝎 =1
𝑗𝜔𝜔𝑛
2
+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛
+ 1
=1
2𝜉𝜔𝜔𝑛
𝑗 + 1 −𝜔2
𝜔𝑛2
= 𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎 + 𝒋𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎
= 𝑮 𝒋𝝎 𝒆𝒋∠𝑮 𝒋𝝎
𝐺 𝑗𝜔 =൙
1
1 −𝜔2
𝜔𝑛2
2
+ 2𝜉𝜔𝜔𝑛
2
∠𝐺 𝑗𝜔 = −arctan2𝜉
𝜔𝜔𝑛
1 −𝜔2
𝜔𝑛2
Controlo de Sistemas
Resposta em frequência:Diagrama polar
𝐺(𝑗𝜔) Im[𝐺 𝑗𝜔 ]
Re[𝐺 𝑗𝜔 ]
∠𝐺 𝑗𝜔
𝐺(𝑗𝜔)
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Controlo de Sistemas
Resposta em frequência:Diagrama de Bode vs. Diagrama polar
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Controlo de Sistemas
Resposta em frequência:Diagrama polar
• Vantagens dos diagramas polares:
– Integração num único gráfico da evolução do módulo e da fase de 𝐺(𝑗𝜔)
– Mais fácil analisar a estabilidade relativa de sistemas de controlo
– O critério de estabilidade de Nyquist vai basear-se nesta representação
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𝐺(𝑗𝜔) Im[𝐺 𝑗𝜔 ]
Re[𝐺 𝑗𝜔 ]
∠𝐺 𝑗𝜔
𝐺(𝑗𝜔)
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𝑮 𝒋𝝎 = 𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎 + 𝒋𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎
= 𝑮 𝒋𝝎 𝒆𝒋∠𝑮 𝒋𝝎
𝑮 𝒋𝝎 = 𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎 𝟐 + 𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎 𝟐
𝑮 −𝒋𝝎 = 𝑮 𝒋𝝎
∠𝑮 𝒋𝝎 = arg 𝑮 𝒋𝝎 = atan𝐈𝐦 𝑮 𝒋𝝎
𝐑𝐞 𝑮 𝒋𝝎
arg 𝑮 −𝒋𝝎 = −arg 𝑮 𝒋𝝎
arg𝑎(𝑠)
𝑏(𝑠)= arg 𝑎 𝑠 − arg[𝑏(𝑠)]
Controlo de Sistemas 47
Funções complexas
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar:Termo integrativo 𝑗𝜔 −1
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑗𝜔= −𝑗
1
𝜔=1
𝜔𝑒−𝑗 arctan
𝜔0 =
1
𝜔𝑒−𝑗90°, 𝜔 ∈ 0,+∞
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar:Termo derivativo 𝑗𝜔 +1
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔 = 𝜔𝑒𝑗 arctan
𝜔0 = 𝜔𝑒𝑗90°, 𝜔 ∈ 0,+∞
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar:Fator de 1ª ordem 𝑇𝑗𝜔 + 1 −1
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑇𝑗𝜔 + 1=
1
𝑇2𝜔2 + 1𝑒−𝑗 arctan 𝜔𝑇 , 𝜔 ∈ 0,+∞
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar:Fator de 1ª ordem 𝑇𝑗𝜔 + 1 +1
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑇𝑗𝜔 + 1 = 𝑇2𝜔2 + 1𝑒𝑗 arctan 𝜔𝑇 , 𝜔 ∈ 0,+∞
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar:
Fator de 2ª ordem 𝑗𝜔
𝜔𝑛
2
+ 2𝜉𝑗𝜔
𝜔𝑛+ 1
−1
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑗𝜔𝜔𝑛
2
+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔𝑛
+ 1
, 𝜉 > 0
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar:
Fator de 2ª ordem 𝑗𝜔
𝜔𝑛
2
+ 2𝜉𝑗𝜔
𝜔𝑛+ 1
+1
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔
𝜔𝑛
2
+ 2𝜉𝑗𝜔
𝜔𝑛+ 1, 𝜉 > 0
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar: formas genéricas
• Segundo o tipo do sistema (sistema com ganho positivo)
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar: formas genéricas
•Para 𝜔 → +∞ (sistemas causais sem zeros ou pólos no SPD, com ganho positivo)
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar: formas genéricas
•Para sistemas com dinâmica no numerador (zeros)
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• Desenhar o diagrama polar do sistema:
𝐺 𝑠 =1
𝑠(𝑇𝑠 + 1)
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑗𝜔(𝑇𝑗𝜔 + 1)=
1
−𝑇𝜔2 + 𝑗𝜔=−𝑇𝜔2 − 𝑗𝜔
𝑇2𝜔4 +𝜔2
=−𝑇𝜔2
𝑇2𝜔4 +𝜔2− 𝑗
𝜔
𝑇2𝜔4 +𝜔2= −
𝑇
𝑇2𝜔2 + 1− 𝑗
1
𝜔(𝑇2𝜔2 + 1)
lim𝜔→0
𝐺 𝑗𝜔 = −𝑇 − 𝑗∞ = ∞𝑒−𝑗90°
lim𝜔→+∞
𝐺 𝑗𝜔 = −0 − 𝑗0 = 0𝑒−𝑗180°
Controlo de Sistemas
Diagrama polar: exemplo
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• Desenhar o diagrama polar do sistema:
𝐺 𝑠 =1
𝑠(𝑇𝑠 + 1)
lim𝜔→0
𝐺 𝑗𝜔 = −𝑇 − 𝑗∞
= ∞𝑒−𝑗90°
lim𝜔→+∞
𝐺 𝑗𝜔 = −0 − 𝑗0
= 0𝑒−𝑗180°
Controlo de Sistemas
Diagrama polar: exemplo
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Controlo de Sistemas
Diagrama polar de FT simples
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• Diagrama polar do termo de atraso:
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑒−𝜃𝑗𝜔 = 1. arg[cos 𝜔𝜃 − 𝑗 sin(𝜔𝜃)] = −𝜃𝜔
• Módulo unitário
• Fase varia linearmente com 𝜔
Controlo de Sistemas
Diagrama polar de sistemas com atraso
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• Exemplo: desenhar o diagrama polar do sistema:
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑇𝑗𝜔 + 1𝑒−𝜃𝑗𝜔
𝐺 𝑗𝜔 =1
𝑇𝑗𝜔 + 1𝑒−𝜃𝑗𝜔 =
1
𝑇2𝜔2 + 1
arg 𝐺 𝑗𝜔 = arg1
𝑇𝑗𝜔 + 1+ arg 𝑒−𝜃𝑗𝜔 = −arctan𝑇𝜔 − 𝜃𝜔
Controlo de Sistemas
Diagrama polar de sistemas com atraso
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Controlo de Sistemas
Margens de estabilidade em diagramas de Bode
𝜔𝑐𝑓: arg[𝐾𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑓)] = −180°, 𝜔𝑐𝑔: 𝐾𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 = 1
MG𝐾dB = −20 log10 𝐾𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓 , MF𝐾 = 180° + arg[𝐾𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)]
𝜔𝑐𝑔
arg[𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 ]
𝜔𝑐𝑓
20 log10 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓
𝐾 = 1: 𝐾𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺 𝑗𝜔
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• 𝐾 = 1: 𝐾𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺 𝑗𝜔
• 𝜔𝑐𝑔: 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔 = 1
• MF𝐾 = 𝛾 = 180° + arg[𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)]
• 𝜔𝑐𝑓: arg[𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑓)] = −180°
• MG𝐾dB = −20 log10 𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓
= 20 log101
𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓
• MG𝐾 = 𝐾𝑔 =1
𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓
Controlo de Sistemas
Margens de estabilidade em diagramas polares
𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓
𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑔
63
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Controlo de Sistemas
Margens de estabilidade em diagramas polares
MG𝐾 =1
𝐾𝐺 𝑗𝜔𝑐𝑓=
1
𝐾𝑔, MF𝐾 = 180° + arg[𝐾𝐺(𝑗𝜔𝑐𝑔)]
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• Determine as margens de ganho MG e de fase MF, e respetivas frequências de cruzamento de fase 𝜔𝑐𝑓 e de ganho 𝜔𝑐𝑔,
para o sistema seguinte, considerando 𝐾 = 10 e 𝐾 = 100
Controlo de Sistemas
Margens de estabilidade no Matlab
>> num=1;
>> den=conv([1 1 0],[1 5])
>> G=tf(num,den)
>> figure,margin(10*G)
>> figure,margin(100*G)
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Controlo de Sistemas
Margens de estabilidade no Matlab
𝐾 = 10 𝐾 = 100
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Diagrama polar e margens de estabilidade
𝐺(𝑗𝜔) Im[𝐺 𝑗𝜔 ]
Re[𝐺 𝑗𝜔 ]
∠𝐺 𝑗𝜔
𝐺(𝑗𝜔)
https://create.kahoot.it/details/at9-diagrama-polar-e-margens-estabilidade/4a72e83f-fafe-401c-bcf5-329008ac097c
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• Resposta em frequência
– Diagrama de Nyquist
• Análise de estabilidade
– Critério de Nyquist
Controlo de Sistemas
Próximas aulas
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– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011
– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008
– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (4ª edição), 2002
– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (6ª edição), 2010
Controlo de Sistemas
Referências usadas
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