copie de mémoire - université constantine 1 · - au profil de la dent qui doit être une...
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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOGRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE MENTOURI-CONSTANTINE
FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE
N° d’ordre : ………………………. Série : ……………………………..
Mémoire
Présenté pour obtenir le diplôme de Magister en Génie Mécanique
OPTION : CONSTRUCTION
Par :
Mme GHARBI Née DJEBBAR NADIRA
THEME :
AUTOMATISATION DU CALCUL DES DENTS D’ENGRENAGE
DANS UNE TRANSMISSION COMPOSEE
Soutenu le : ………/………/ 2005
Devant le jury :
Président Mr. NECIB Brahim Professeur Université Constantine
Rapporteur Mr. BOUGHOUAS Hamlaoui M.C Université Constantine
Examinateurs Mr. AMARA Idris M.C Université Constantine
Mr. BENISSAAD Smail M.C Université Constantine
REMERCIEMENTS
Ce travail a été réalisé au département de Génie Mécanique de l’Université Mentouri
de Constantine sous la direction scientifique du Professeur NECIB Brahim .
Je tiens à remercier très chaleureusement mon encadreur Monsieur H.Boughouas pour
son aide, sa disponibilité et ses conseils au long de ce travail, et pendant toutes mes années
d’étude.
Je remercie également Monsieur B.Necib de m’avoir fait l’honneur et le plaisir de
présider mon jury.
Ma gratitude va également à Monsieur I. Amara Maître de Conférence à l’Institut de
Génie Mécanique pour son aide durant toutes mes années d’étude et de travail, et aussi d’avoir
accepté d’être un membre de jury de ce mémoire.
Ainsi je remercie vivement Monsieur S. Benisaâd Maître de Conférence et Directeur
de l’Institut de Génie Mécanique de l’Université Mentouri de Constantine de m’avoir fait
l’honneur et le plaisir de participer à mon jury de mémoire.
Toutes mes reconnaissance et mon profond remerciement à mon mari Didine pour son
soutient moral, son aide et sa compréhension.
Je remercie aussi tous mes enseignants qui ont participé à ma formation, et qui m’ont
aidé à préparer ce mémoire notamment : Monsieur Z. Nemouchi, Monsieur M. Kadja,
Monsieur F. Mili, Monsieur A. Harkat, Monsieur M.S.Mesibah et Madame Z. Labed.
Je remercie également mon neveu Adel pour son aide pendant la préparation de ce
mémoire.
DEDICACES
Je dédie ce modeste travail à la mémoire de mon très chèr père Aissa et mon chèr beau père
Nouredine que je regrette leurs absence, et je demande à dieu le tout puissant de les accueillir
dans son paradis.
A ma très chère mère Badiâ pour ses sacrifices et son endurance pour moi.
A ma petite famille : Mon mari Didine et mes enfants : Mouhamed Saâd Edine, Ahmed Ramzi
et Nouredine.
A mes frères, leurs femmes et leurs enfants.
A toutes mes sœurs, leurs maris et leurs enfants.
A ma belle famille : belle mère, belle sœur et mes beaux frères.
A mes amis Nacéra, Ahlem et Habiba.
A mes collègues de travail Sonia, Sihem, Louiza et Rahima.
Sommaire INTRODUCTION................................................................................................................6
CHAPITRE I
THEORIE GENERALE SUR LES ENGRENAGES
I.1 Définition…………………………………………………………………………………..9
I.2 Géométrie et technologie………………………………………………………………….9
I.3 Fonctionnement des engrenages………………………………………………………...10
I.4 Profils conjuguées………………………………………………………………………..11
I.4.1 Définition…………………………………….……………………………………….11
I.4.2 Profil à développante de cercle……………………………………………………...12
I.4.3 Principe de la développante de cercle (cas de denture droite)……........................13
I.4.4 Propriétés de la développante de cercle……………………………........................13
I.5 ligne d’engrènement ou ligne d’action…………………………………………………14
I.6 Interférence………………………………………………………………………………15
I.7 Fonctionnement avec jeu………………………………………………..........................18
I.8 Rapport de réduction……………………………………………………………………19
I.9 Angle de pression………………………………………………………..........................20
I.10 Coefficient de correction de denture …………………………………………………21
I.11 Procédures de calcul des roues dentées à denture droite…………............................22
I.11.1 Module……………………………………………………………………………...22
I.11.2 Cercle primitif………………………………………………………..…………….22
I.11.3 Cercle de base………………………………………………………........................23
I.11.4 Cercle de pied………………………………………………………........................23
I.11.5 Cercle de tête……………………………………………………………………….24
I.11.6 Pas circulaire…………………………………………..…………………………...25
I.11.7 Pas de base……………………………………………………………………...…..26
I.11.8 Définition de la denture……………………………………...…………………….26
I.11.9 Entraxe……………………………………………………………….......................27
I.12 Les procédés de taillage des engrenages………………………………………….…..28
I.12.1 Taillage par reproduction………………………………………..………………..28
I.12.2 Taillage par génération…………………………………..………………………..29
CHAPITRE II
DETERMINATION DES CARACTERISTIQUES TECHNIQUES
D’UNE BOITE DE VITESSE D’UNE MACHINE-OUTIL
II.1 Détermination des caractéristiques techniques fondamentales des boites d’avance et
de vitesse d’une machine-outil…………………………………………………………...….34
II.1.1 Choix des vitesses de coupe et des avances limites………………………………34
II.1.2 Séries des nombres de tours des broches de machine-outil……………………..34
II.1.3 Conclusion…………………………………………………………….....................36
II.1.4 Valeurs normalisées de la raison………………………..………………...............37
II.1.5 Détermination des rapports de transmission des mécanismes de la chaîne
cinématique.…………………………………………………………………………………..38
II.1.5.1 Relation fondamentales cinématique de la commande de broche………….38
Nombre d’étage de vitesses de rotation………………………………......................38
L’étendue de réglage de la commande ……………………………………...……..39
Equation de réglage de la commande………………………………………...........39
II.1.6 Caractéristiques d’un groupe de transmission………………………….………..40
II.2 Méthode analytique pour déterminer les rapports de transmission………………...41
II.2.1 Rapport de transmission normal……………………………………………….....41
II.2.2 Rapports limites de transmission.…………………………………………….......41
II.2.3 Détermination des rapports de transmission……………………………….........42
II.3 Méthode grapho-analytique de détermination des rapports de transmission……...43
II.3.1 Réseau de structure………………………………………………………………...43
II.3.2 Tableau des nombres de tours…………………………………………………….44
CHAPITRE III
CONTRIBUTION A L’AMELIORATION DES METHODES
EXISTANTES
III.1 Situation des transmissions en groupe…..…………………………………………...47
III.2 Exposé de la méthode de calcul…….…………………………………………………48
III.2.1 Cas des engrenages cylindriques à denture droite ayant même module……...49
Application pratique de la méthode………………………………………………51
III.2.2 Cas des engrenages cylindriques à dentures droites avec modules différents...54
Cas où les modules sont des nombres entiers…………………………………….55
Cas où les modules sont des nombres décimaux…………………………………58
III.2.3 Cas des engrenages cylindriques à dentures hélicoïdales…………………..…..60
Cas où les roues dentées ont le même angle d’hélice……………………………60
Cas où les roues dentées n’ont pas le même angle d’hélice…………………….61
CHAPITRE IV
AUTOMATISATION
IV.1 Généralités……………………………………………………………………………..69
IV.2 Automatisation du calcul des caractéristique techniques fondamentales d’une boite
de vitesse d’une machine-outil………………………………………………………………69
IV.2.1 Calcul de la raison géométrique………………………………………………….69
IV.2.2 Calcul de la gamme de vitesses…………………………………………………...70
IV.2.3 Calcul du nombre de transmission………………………………………………70
IV.2.4 Calcul du nombre de groupes…………………………………………………….71
IV.2.5 Calcul du nombre de variantes…………………………………………………..71
IV.2.6 Graphique de la chaîne de structure…………………………………………….72
IV.2.7 Choix de la variante optimale……………………………………………………73
IV.2.8 Abaque de vitesses………………………………………………………………...74
Détermination de la position de la vitesse initiale………………………………74
Détermination des rapports de transmission……………………………………75
IV.3 Résultat du programme………………………………………………………………76
IV.4 Calcul de nombre de dent dans une transmission composée………………………78
PPCM inférieur à la valeur admissible…………………………………………..78
Résultat donné par le programme………………………………………………...80
PPCM supérieur à la valeur admissible………………………………………….81
Résultat donné par le programme………………………………………………..83
Conclusion……………………………………………………………………………...86
Perspectives…………………………………………………………………………….87
Bibliographie……………………………………………………………………… ..…89
Introduction
Introduction
Les engrenages sont largement utilisés dans l’industrie mécanique comme moyen de
transmission de puissance d’un arbre vers un autre. Ils sont obtenus par taillage sur des
machines-outils spéciales soit par reproduction soit par génération. La précision d’exécution
dépend essentiellement de la valeur et de la précision du rapport des trains d’engrenages
introduits dans la chaîne cinématique qui lie la rotation de la fraise et la rotation de la broche
porte-pièce.
Les engrenages sont utilisés comme moyen de transmission de puissance dans les
boites de vitesses et d’avances des machines où ils réalisent les vitesses, les couples et les sens
de rotation des éléments de machines. Ces transmissions peuvent être simples ou composées.
Ces engrenages doivent réaliser des rapports de transmission qui sont égaux au rapport des
nombres de dents des roues qui constituent la chaîne cinématique. Pour en arriver là il faut
calculer les nombres de dents des roues dentées qui doivent réaliser les différents rapports de
transmission. Le problème de détermination du nombre de dents pour une paire de roues
dentées qui doit réaliser un rapport de transmission donné a fait l’objet de plusieurs études [1-
4]. Mais ces méthodes ne considèrent que le cas de la transmission simple. Maintenant, si la
transmission est composée et que l’on veuille garder l’entraxe invariable et éviter la
correction de denture, il faut envisager une autre méthode de calcul. Ce problème a été abordé
par [5] dans le cas des engrenages cylindriques à denture droite et où les roues présentent le
même module. Notre travail consiste à apporter plus de détails à cette méthode et considérer le
cas des engrenages cylindriques à denture droite où le module des roues dentées varie d'une
transmission simple à une autre. Comme nous avons considéré le cas des roues cylindriques à
denture hélicoïdale ayant le même module et des angles d'hélice différents.
9
Introduction
Afin de faciliter les calculs et éviter les erreurs nous avons dû automatiser les méthodes
citées auparavant.
Pour résoudre ce problème nous avons divisé notre travail en quatre chapitres.
Dans le premier chapitre nous avons étudié les problèmes liés à l’engrènement de deux roues
dentées et la théorie exposée a permis de conclure que l’aptitude des roues à engrener
correctement ensemble et réaliser ainsi une transmission angulaire précise et douce du
mouvement est intimement liée :
- au profil de la dent qui doit être une développante de cercle.
- au pas: les dents doivent être réparties régulièrement sur le cercle diviseur.
- à l’épaisseur de la dent.
Toutes ces exigences doivent être réalisées par la technologie de fabrication dont la précision
d’exécution sera tributaire de la fiabilité des transmissions mécaniques à engrenages qui
équipent les différentes chaînes cinématiques.
A cet effet, dans le deuxième chapitre nous avons fait une analyse des transmissions
mécaniques à engrenages et principalement les différentes étapes de calcul cinématique des
boites de vitesses et d'avances des machines-outils.
En se basant sur les travaux antérieurs nous avons exposé les méthodes de
détermination des roues qui composent le train d’engrenages dans les transmissions
composées ainsi que notre contribution apportée à l'amélioration de ces méthodes.
Dans le quatrième chapitre, nous avons exposé la procédure d'automatisation du calcul
des nombres de dents qui réalisent une transmission composée de la chaîne cinématique des
boites de vitesses et d'avances des machines outils. Nous avons commencé par établir le
programme de calcul des caractéristiques techniques d'une boite de vitesses mise à l'étude en
l'occurrence l'étendue de réglage, la raison, la série des nombres de tours, le nombre de
10
Introduction
transmissions, le nombre de groupes, le nombre de variantes et la variante optimale. Cela nous
permet de construire le diagramme des rapports de transmission à partir duquel on établit un
deuxième programme qui nous permet de calculer cette fois-ci les nombres de dents dans la
transmission composée et cela en considérant le cas où les roues dentées des engrenages
cylindriques à denture droite ont le même module.
Le langage utilisé est le fortran qui est très connu dans le milieu universitaire.
Ces programmes ont été validés par un calcul manuel.
Ce travail s'est terminé par une conclusion et des perspectives.
11
Théorie générale sur les engrenages
I Théorie générale sur les engrenages I.1 Définition
Un engrenage est un mécanisme composé de deux roues dentées mobiles autour d'axes
de position fixe et dont l'une entraîne l'autre par l'action de dents successivement en contact et
on dit que les deux roues sont conjuguées. La plus petite roue est appelée pignon, la plus
grande est la roue[1]. Il existe quatre types d'engrenages différents.
denture
droite
denture
hélicoïdale
coniques
roue et vis sans fin
Les engrenages sont utilisés dans toutes les branches de la mécanique pour transmettre des
mouvements, de l'horlogerie jusqu'au réducteur de l'industrie lourde. La transmission se fait
avec un très bon rendement énergétique. La variation de vitesse obtenue entre l'entrée et la
sortie ne dépend que du nombre de dents des pièces en contact.
I.2 Géométrie et technologie
La géométrie et la technologie d’obtention diffèrent d’une roue dentée à une autre. Par
exemple dans le cas des roues à denture droite, les surfaces primitives sont des cylindres droits
13
Théorie générale sur les engrenages
d'axes parallèles. Aussi, les surfaces des dentures sont des cylindres dont les génératrices sont
parallèles aux axes. Les roues dentées peuvent être à contact externe (figure I.1) ou contact
interne (figure I.2).
Figure I.1:Contact externe figure I.2:Contact interne
Le transfert de la charge d'une dent à l'autre dépend beaucoup de la distribution des erreurs et
des déformations sur l’ensemble de la géométrie des dents [6]. Souvent, un transfert brutal, ne
peut être empêché. Ce dernier étant un générateur de surcharges dynamiques, de vibrations, de
bruit et en conséquence d'usure et de fractures prématurées, principalement sur les roues à
denture droites. Pour pallier à cet inconvénient, l’utilisation de la denture hélicoïdale
"rallonge" l'action de la dent .
Figure 2 :Engrenage hélicoïdale
14
Théorie générale sur les engrenages
I.3 Fonctionnement des engrenages
Pendant le fonctionnement d’une transmission, le contact d’une dent de la roue
menante avec une dent de la roue menée s’amorce au pied de la dent menante et au sommet de
la dent menée[7]. L’engrènement s’effectue sur toute la largeur des dents à la fois ( engrenage
à dentures droites ) .Pour que la transmission de la rotation à l’arbre mené soit continue,
l’attaque du couple de dents suivant doit se produire avant la fin de prise du couple précédent .
Dans les sections perpendiculaires aux axes des roues hélicoïdales, le contact s’établit de la
même façon que dans le cas des roues à dentures droites, mais du fait que les dents des roues
hélicoïdales sont disposées suivant les hélices, la phase de leur engrènement varie dans les
sections parallèles, contrairement aux engrenages à dentures droites où cette phase est la
même sur toute la largeur des roues. A la différence d’un engrenage droit, dans un engrenage
hélicoïdal le contact des dents s’établit non pas simultanément sur toute leur largeur, mais
progressivement. L’engrènement d’un couple de dents s’amorce à la racine de la dent menante
et sur l’arête de la dent menée.
Figure 3:Couple de dents en contact
15
Théorie générale sur les engrenages
I.4 Profils conjugués
I.4.1 Définition
Les intersections des surfaces des dentures d’une roue cylindrique, avec un plan
perpendiculaire à l’axe de rotation de la roue, sont appelées profils[8].
On dit que deux profils sont conjugués s’ils restent constamment tangents, pendant le temps
où les surfaces de dentures en contact assurent la transmission.
Le profil, utilisé pour les engrenages, est en général la développante de cercle.
I.4.2 Profil à développante de cercle
La développante d’un cercle (c), dit de base, de centre O, de diamètre D, est la
trajectoire dans le repère R(O, x , y, z )lié à (c) d’un point M appartenant à une droite D et qui
roule sans glisser sur C. Une développante est également l’enveloppe de la normale en M à D
dans le mouvement de D par rapport à C[9].
16
Théorie générale sur les engrenages
Y T’ (c) T
dh M’
h α M D’ θ M0 X
D
Z
Figure 5: Développante de cercle
T : centre instantané de rotation du mouvement de D par rapport à C.
C : base de ce mouvement (centre de base).
D : roulante de ce mouvement.
θ : définit la position du point M sur le profil en développante de cercle.
H : définit la position du point T sur le cercle de base.
α : repère la position angulaire du point T par rapport au point M.
I.4.3 Principe de la développante de cercle (cas de denture droite)
En faisant rouler sans glisser une droite sur un cercle, chaque point de cette droite
décrit, relativement au cercle, une courbe qui s'appelle une développante de cercle (figure6).
Cette dernière peut aussi être matérialisée par un fil sous tension que l'on déroule d'un cercle :
le bout du fil décrit la développante relativement au cercle duquel il est déroulé.
17
Théorie générale sur les engrenages
φφφθ invtg =−=
Figure 6 : Schématisation de la développante de cercle
I.4.4 Propriétés de la développante de cercle
• la développante de cercle ne peut avoir de points à l’intérieur du cercle développé.
• Le point Q est un point de rebroussement de la développante.
• Deux développantes d’un même cercle sont des courbes parallèles :
MM’ =QQ’ =M1M1’.
• La normale à la développante est tangente au cercle développé.
M1’ ’ M1 M’ M Q’ Q
Figure 7 : Propriétés de la développante de cercle
18
Théorie générale sur les engrenages
I.5 Ligne d’engrènement ou ligne d’action
L'approche se définit comme étant la phase où le point de contact C entre une paire de
dents sur la ligne d'action se déplace de T1 à O (figure8), soit du début du contact jusqu'au
point primitif. La retraite se définit comme étant la phase où le point de contact C entre une
paire de dents sur la ligne d'engrènement se déplace de O à T2 (figure8), soit du point primitif
jusqu'à la fin du contact.
Figure8 : Ligne d’engrènement (ou d’action)
Pour assurer une transmission continue du mouvement, il est nécessaire qu'un nouveau couple
de dents soit en approche avant que le couple précédent termine sa retraite. Il faut, qu'il y ait
au moins un couple de dent qui soit toujours en prise (figure9).
Figure 9 : Couple de dents en contact
19
Théorie générale sur les engrenages
Cette condition s'écrit : TpTg > Pb.
TpTg : Distance entre le point Tp et le point Tg le long de la ligne d'engrènement
Pb : Pas de base : distance entre deux dents consécutives le long de la ligne d'engrènement.
I.6 Interférences
On a vu précédemment que pour avoir un engrènement correct, il faut que le point de
contact des profils reste sur le segment T1T2 .
Le mouvement se fait sans interférence, si le point de contact se fait au delà du cercle de base
(figure10).
Figure 10 : Fonctionnement sans interférence
S’il en est autrement, càd le contact se fait en dessous du cercle de base, on dit qu’il y a
interférence(figure 11).
Figure 11 : Interférence de fonctionnement
20
Théorie générale sur les engrenages
Cela peut se produire dans deux cas :
• Lorsque le nombre des dents du pignon menant est faible devant celui de la roue
menée ; il y a alors coincement des dents : c’est l’interférence de fonctionnement.
• Lors du taillage, si le nombre de dents de l’engrenage taillé est insuffisant, il y a
interférence de fabrication. Ce phénomène se traduit par une diminution de la section
en pied de dent (figure 12) qui sera alors fragilisée puisque le profil de raccord de la
dent interfère avec une portion du profil utile de la développante de cercle.
Figure 12: interférence de fabrication
Cette condition s’écrit : c
2*
φsin2N =
Où N* est le nombre de dents minimum pour éviter ce type d’interférence .
ϕ est l’angle de pression.
Si le nombre de dents est imposé et inférieur à N*, on peut résoudre le problème d’interférence
de fabrication en effectuant un déport de denture x .Ceci revient à déplacer radialement la
crémaillère lors du taillage.
Le facteur de déport minimum *NN1x −= doit être positif pour éviter l’interférence (figure
13.a) ; s’il est négatif il y a interférence (figure 13.b)
On est à la limite d’interférence si : N = N* figure(figure 13.c).
21
Théorie générale sur les engrenages
Figure 13.a
Figure 13.b Figure 13.C
I.7 Fonctionnement avec jeu
Le jeu B est nécessaire pour le bon fonctionnement des engrenages. Il permet :
• Une bonne lubrification.
• Evite le blocage en cas de dilatation due à une variation de température.
Figure14.a:Fonctionnement avec jeu
22
Théorie générale sur les engrenages
Figure14.b : Fonctionnement sans jeu
Le jeu peut être contrôlé par une modification d’entraxe, un déport de fabrication ou une
modification de l’épaisseur des dents de l’outil à taillage.
I.8 Le rapport de réduction
On peut assimiler l’engrènement d’un pignon et d’une roue au roulement sans
glissement de deux cercles primitifs l’un sur l’autre.
Le rapport de transmission de l’engrènement est alors :dD
NN
ηη
ip
r
r
p ===
roue la derotation de Vitesse :ηpignondu rotation de Vitesse :η
r
p
Nr : nombre de dents de la roue
Np : nombre de dents du pignon
D : diamètre de la roue
d: diamètre du pignon
23
Théorie générale sur les engrenages
d
D
I.9 Angle de pression
Pour une position de contact quelconque entre le pignon et la roue le long de la ligne
d'engrènement, les angles de pressions respectifs Ør de la roue et Øp du pignon sont différents.
Cependant, lorsque ce point de contact se fait en O (point primitif), les angles de pression
deviennent égaux à Øc qui est aussi l'angle de pression de l'outil de taillage (figure 16).
Figure16 :Angle de pression
24
Théorie générale sur les engrenages
I.10 Coefficient de correction de denture
Lorsque le nombre de dents devient infini, le cercle primitif devient une droite, une
crémaillère est obtenue. Øc est l'angle de pression de la crémaillère est constant le long du
profil de la dent (figure17).
Figure 17 :Coefficient de correction de denture
Par exemple un outil - crémaillère est utilisée pour tailler un pignon ou une roue. En faisant
rouler sans glisser la droite primitive de la crémaillère sur le cercle primitif du pignon, et en y
associant un mouvement de coupe transversale, un profil en développante de cercle est obtenu.
L'engrènement d'un pignon et d'une roue peut être assimilé au roulement sans glissement de
deux cercles primitifs l'un sur l'autre. Le rapport de réduction de l'engrenage est alors :
dD
NN
nn
mp
G
G
pg ===
Pour un engrènement correct, la normale commune aux profils, dans toutes les positions de
contact, passe toujours par le point primitif O appelé pôle d'engrènement. Les profils qui
satisfont à cette condition sont des profils conjugués et le mouvement ainsi obtenu est continu
et le rapport de vitesse rigoureusement constant. Le point de contact se déplace suivant la ligne
d'action (ou ligne d'engrènement). L'angle de pression Øc (figure I.10) donne l'inclinaison de
la ligne d'engrènement relativement à la droite perpendiculaire à la ligne des centres.
25
Théorie générale sur les engrenages
Figure 18 :Angle de pression
I.11 Procédures de calcul des roues dentées à denture droite
Cette partie présente certaines formules de calcul selon les normes ISO. Dans la
désignation des diamètres, la lettre minuscule d est utilisée pour le pignon et la lettre
majuscule D est utilisée pour la roue.
Le pignon désigne généralement l'élément ayant le plus petit nombre de dents. La roue désigne
quand à elle l'élément ayant le plus grand nombre de dents.
I.11.1 Module
Le module, désigné généralement par m, est une caractéristique importante des
engrenages qui représente la dimension des dents. Il est égal au nombre de <mm> de diamètre
primitif par dent. Pour qu'il y ait engrènement correct entre un pignon et une roue, il est
nécessaire que leurs modules soient les mêmes.
I.11.2 Cercle primitif
26
Théorie générale sur les engrenages
Le cercle primitif (figure 19) représente la zone de contact où il y a roulement sans
glissement entre le pignon et la roue. On peut donc assimiler l'engrenage à deux cercles
primitifs qui roulent sans glisser l'un sur l'autre.
On détermine le diamètre primitif par la relation :
dentsdeNombreZavecZmD =×=
Figure 19 :Cercle primitif
I.11.3 Cercle de base
Le cercle de base sert à la construction de la développante de cercle (figure20). Le
cercle de base est le cercle à partir duquel le profil en développante commence. La normale au
profil est tangente au cercle de base et, par conséquent, la ligne d’action est aussi tangente aux
cercles de bases du pignon et de la roue.
Figure20 :Cercle de base
Le cercle de base est déterminé par la relation :
cb DD φcos×=
27
Théorie générale sur les engrenages
I.11.4 Cercle de pied
Le cercle de pied se trouve à fond de dent (figure21.).
Figure21 :Cercle de pied
On détermine le diamètre de pied par :
mhavec
hDDhdd
f
ff
ff
×=
×±=
×−=
25,1
2
2
Remarque :
Pour le calcul du diamètre de pied de la roue Df, il est utilisé :
- le signe + pour une roue à denture interne.
- le signe - pour une roue à denture externe.
I.11.5 Cercle de tête
Le cercle de tête se trouve au sommet des dents (figure22). C'est celui qui peut être
mesuré directement à l'aide d'un pied à coulisse.
Figure22 : Cercle de tête
28
Théorie générale sur les engrenages
Le diamètre de tête est déterminé par :
mhavec
hDDhdd
a
aa
aa
=
×±=×+=2
2
Remarque :
Pour le calcul du diamètre de pied de la roue Da, il est utilisé :
- le signe - pour une roue à denture interne.
- le signe + pour une roue à denture externe.
I.11.6 Pas circulaire
Le pas circulaire p correspond à la longueur de l'arc de cercle entre points homologues
de deux dents consécutives le long du cercle primitif (figure23). Il correspond donc à la
somme de l'intervalle i et de l'épaisseur t tous deux mesurés sur le cercle primitif.
Figure23 :Pas circulaire
Il est déterminé par :
mp ×= π avec pit ×== 5,0 (au cercle primitif)
29
Théorie générale sur les engrenages
I.11.7 Pas de base
Le pas de base Pb correspond à la distance entre deux dents consécutives le long de la
ligne d'action (figure24).
Figure24 :Pas de base
Le pas de base est calculé par la relation :
cb pp φcos×=
I.11.8 Définition de la denture
Figure25 :caractéristiques des dents
Les caractéristiques qui définissent la dent (figure25) sont déterminées comme suit :
Saillie : ha = m
Creux : hf = 1,25 × m
Jeu à fond de dent : c = 0,25 × m 30
Théorie générale sur les engrenages
I.11.9 Entraxe
L'entraxe C (figure26) représente la distance entre les centres du pignon et de la roue.
En fonctionnement normal, sa valeur est égale à la demi somme des rayons primitifs du
pignon et de la roue.
L'entraxe peut varier en fonction de la température du boîtier et des engrenages et
particulièrement lorsque les matériaux des engrenages et du boîtier sont différents.
Figure26 :Entraxe
Pour avoir un bon fonctionnement de l’engrenage, il faut assurer un jeu entre une paire de
dents. Il permet une lubrification efficace et d'avoir une marge de manœuvre en cas de
dilatation due à une variation de température.
Une diminution d'entraxe entraîne une diminution du jeu. La variation d’entraxe peut donc
servir à contrôler le jeu.
L’entraxe est calculé par :22
PR ZZmdDC +×=
+=
Remarque :
Pour le calcul de l'entraxe C, on utilise :
- le signe + pour un engrenage à denture externe.
- le signe - pour un engrenage à denture interne.
31
Théorie générale sur les engrenages
I.12 Les procédés de taillage des engrenages
Généralement on obtient les engrenages à développante de cercle par taillage, sur
machines outils spéciales, par reproduction ou par génération.
I.12.1 Taillage par reproduction
Ce procédé est basé sur l’emploi d’une fraise disque confectionnée d’après les profils
des dents. Son profil tranchant épouse la forme de l’entre dent. La fraise tourne et se déplace
en translation suivant la génératrice latérale de la dent. A chaque passe de la fraise le long de
l’axe de la roue on obtient un entre dent. Ayant parcouru toute la largeur de l’entre dent, la
fraise revient à sa position initiale ; après quoi la roue à tailler tourne d’un angle Ζ2πγ = où Z
est le nombre de dents de la roue à tailler et l’opération reprend pour tailler la dent suivante.
Roue à tailler
Figure 27 : Taillage par reproduction
32
Théorie générale sur les engrenages
I.12.2 Taillage par génération
Le procédé de taillage par génération consiste à imprimer à l’outil de coupe et à la roue
à tailler le mouvement relatif qu’auraient deux pignons correctement associés.
Dans ce cas l’outil de coupe doit représenter une crémaillère ou encore une roue dentée.
La crémaillère figure(28) effectue un mouvement de va-et-vient parallèlement à l’axe de la
roue à tailler ; alors que celle-ci est animée d’un mouvement double : elle tourne autour de son
axe et se déplace en même temps , le long de la crémaillère.
Figure 28 : taillage par outil-crémaillère
Le mouvement de la roue à tailler est donc celui de la roue dentée par rapport à la crémaillère :
c’est le principe de taillage par génération.
L’outil crémaillère peut être remplacé par un outil en forme de roue dentée, l’outil pignon.
Lors de taillage celui-ci est animé d’un mouvement de translation parallèle à l’axe de la roue à
tailler.
On imprime en même temps, à l’outil et à la roue un mouvement de rotation avec le même
rapport de vitesses angulaires qui aurait lien si l’outil et la roue se trouvaient en prise .
33
Théorie générale sur les engrenages
L’opération de taillage n’est pas continue, dans ce mode de taillage, et se décompose en une
série d’opérations successives composées de mouvement ascendant et descendant de l’outil
pignon et de la rotation de la roue à tailler .figure (29).
Figure 29 :taillage par outil-pignon
Le profil de la dent est obtenu comme l’enveloppe de toutes les positions de l’arête tranchante
de l’outil pignon .Figure (30).
Figure 30 :profil de la dent
34
Théorie générale sur les engrenages
Par ce procédé on peut obtenir les pignons à dentures intérieures puisque la crémaillère ne
peut pas engrener avec une roue intérieure.
Au lieu de l’outil crémaillère on emploie également une fraise hélicoïdale, dite fraise mère,
dont les profils dérivent de celui de la crémaillère.
En fin un procédé de taillage particulièrement répandu actuellement est le taillage par roulage
(ou laminage), l’outil en est la molette. Ce procédé est réalisable à froid ou à chaud, selon les
propriétés plastiques de la roue à tailler. Par ce procédé on obtient actuellement les pignons et
engrenages de petit module. Son avantage est que la même molette permet d’obtenir des roues
de même module mais ayant le nombre de dents voulu. Il suffit pour cela d’assurer le
mouvement relatif de la molette et de la roue dans le rapport voulu .Figure(31)
Figure 31 :taillage à la mollete
35
Théorie générale sur les engrenages
r
m
m
r
ZZ
ωωi ==
ωr : vitesse de rotation de la roue .
ωm : vitesse de rotation de la molette .
Zr : nombre de dents de la roue.
Zm : nombre de dents de la molette .
36
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
II Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse
d'une machine-outil
II.1 Choix des vitesses de coupe et des avances limites
Les vitesses limites et avances doivent correspondre aux conditions imposées par le
travail des outils les plus divers.
Le but de l’analyse des méthodes d’usinage ne consiste pas seulement à déterminer des limites
de variations du nombre de tours de la broche et les valeurs des avances, mais aussi à mettre
en évidence les opérations et les régimes d’usinage qui demandent la plus grande puissance,
les plus grands moments de torsion sur la broche et les plus grands efforts de traction pour les
avances [11].
II.2 Séries des nombres de tours des broches de machine-outil
Pour les machines-outils dont le mouvement principal est une rotation, les nombres de
tours limites des broches ηmax et ηmin peuvent être déterminés si l’on connaît les diamètres
limites des pièces à usiner dmax et dmin auxquelles correspondent les vitesses limites υmax et υmin
.
min
maxmax dπ
υ1000η
⋅⋅
= ……. (1) max
minmin dπ
υ1000η⋅⋅
= ……. (2)
Le rapport min
max
ηη
=nR s’appelle étendue de réglage des nombres de tours de la broche.
Ou encore min
max
ηη
=nR = dRRdd
⋅=⋅⋅
υυυ
minmin
maxmax ……. (3)
38
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
Comme on le voit, l'étendue de réglage des nombres de tours de la broche Rn d'une machine-
outil à l'étude dépend exclusivement du rapport entre les diamètres limites et entre les vitesses
limites de coupe prévues pour l'usinage de la pièce.
Donc afin de pouvoir, dans les limites indiquées, usiner une pièce de diamètre d avec la vitesse
la plus avantageuseυ , il faut pouvoir régler le nombre de tours de la broche de telle sorte que
d⋅⋅
=π
υη 1000
υ = [m/min]
D= [mm]
η = [tr/min]
Il faut ainsi avoir un réglage progressif et continu de η qui peut être obtenu au moyen de
certains systèmes de commande, soit mécanique, hydraulique, électrique….,mais qui ne sont
pas économiquement avantageux.
C’est pourquoi dans les machines-outils modernes on trouve des commandes de la broche
avec des nombres de tours étagés.
Si les nombres de tours de la broche forment une série dans les limites de η1= ηmin et ηz = ηmax
la vitesse de coupe la plus avantageuse satisfait aux inégalités :
1000
ηdπ j⋅⋅< υ <
1000ηdπ 1j+⋅⋅
…… (4)
Où ηj et ηj+1 sont les nombres voisins de la série η1,η2,η3….ηj,ηj+1….ηz Et cela à condition
que l'on prenne pour le travail la valeur qui est la plus rapprochée de υ on aura ainsi la
différence maximale ( )maxj∆υ entre υ et la vitesse de coupe obtenue effectivement υ j ou υ j+1
quand se situe au milieu de ces valeurs c'est-à-dire quand:
39
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
2.1000)( πd 1jj ++
=ηη
υ …… (5)
Et ( ) ⋅−
⋅⋅
= +
2ηη
1000dπ∆υ j1j
maxj
Il en résulte alors:
( ) υηηηη
1000dπ∆υ
j1j
j1jmaxj ⋅
+
−⋅
⋅=
+
+ ……. (6)
On pose ( ) υ11
∆υ ηη
j
jmaxj
j
1jj ⋅
+
−=⇒= +
ϕϕ
ϕ
On voit que :
( ) ∆υmaxj lorsque ϕj
La plus grande perte de vitesse de coupe aura lieu pour les intervalles de la série η pour
lesquels ϕ j aura la plus grande valeur.
II.3 Conclusion
Afin que ( )max∆υ soit égale pour n’importe qu’elle valeur de υ , pour tout les intervalles
de la série η il faut admettre ϕj = Cte = ϕ .Cela signifie que la série des nombres de tours de la
broche doit représenter une série géométrique.
On désigne habituellement la raison de la progression par ϕ.
Donc on peut écrire que :
η1 = ηmin
η2 = η1.ϕ
η3 = η2. ϕ = η1.ϕ2
ηz = η1ϕz-1 = ηmax 40
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
ηz = ηmin.ϕz-1 ⇒ (z-1)logϕ = logmin
max
ηη
Donc le nombre d’étages de vitesses :
Z = 1+(logmin
max
ηη
/ logϕ ) ……. (7)
ϕ = min
max
1
ηη
−z
= n
zR
1− ……… (8)
II.4 Valeurs normalisées de la raison
Les valeurs normalisées de la raison ϕ des séries normales de nombre de tours de
broche de machine-outil sont établies sur la base des considérations suivantes :
Les moteurs électriques employés sont généralement à deux vitesses, à courant triphasé, dont
le rapport du nombre de tours est égal à 2 : 3000/1500, 1500/750…( η =3000/p avec p le
nombre de paires de pôles ). C’est pourquoi, si le nombre ηx existe dans la série de nombre de
tours, un nombre ηy = 2ηx doit exister également et doit pouvoir s’exprimer sous la forme :
ηy = ηx. 1Eϕ
Avec E = nombre entier.
ηx. 1Eϕ = 2 ηx ⇒ ϕ = 21E
Or les séries des nombres recommandés sont en forme de progression géométrique dont les
raisons doivent satisfaire les conditions ϕ = 102E donc ϕ = 21E
= 102E ……. (9)
E1= 3E’ et E2 = 10E’ avec E’ quelconque.
Les normes ont retenu quatre valeurs de E2
E2 = 40, 20, 10, 5 ⇒ E’ = E2/10 = 4, 2, 1, 0.5 et E1 = 3E' = 12, 6, 3, 1.5
Alors on obtient les grandeurs de ϕ :
41
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
ϕ40 = 1040
= 212
ϕ20 = == 210620
1.12
ϕ10 = == 210310
1.26
ϕ5 = 2105.15
= =1.6
Les nombres de tours de broches ne peuvent s’écarter des valeurs indiquées sur les tables de
plus de 10(ϕ -1) %.
Le nombre d’étages Z doit être un produit des facteurs 2 et 3.
Les nombres d’étages les plus souvent utilisés sont : Z = 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24.
II.5 Détermination des rapports de transmissions des mécanismes de la chaîne
cinématique
II .5.1 Relations fondamentales cinématiques de la commande de broche
La chaîne cinématique des transmissions d’une commande de broche doit assurer :
L’étagement des nombres de tours ηde la broche selon la progression géométrique de raison
ϕ .
Le nombre d’étage Z de vitesses.
Les nombres de tours limites ηmin et ηmax.
Nombre d’étages de vitesses de rotation
On utilise des groupes multiplicateurs de transmission mis en prise consécutivement.
42
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
Pa
Pb
Pc
Le nombre des étages de vitesses de la broche Z est déterminé par la formule :
Z = Pa .Pb .Pc… ……. (10)
Pour notre figure Z = Pa . Pb . Pc = 3 . 3 . 2 =18
L’étendue de réglage de la commande
Rn = ......R.RRii
ηη
cbamin
max
min
max == ……. (11)
Ra = ......(14) R ....(13) R ......(12) ii
min)(
max)(c
min)(
max)(b
(Pa)min
(Pa)max
Pc
Pc
Pb
P
ii
ii
b ==
Equation de réglage de la commande
Les conditions cinématiques de réglage des commandes à série géométrique de nombre
de tours sont déterminées par les propriétés cinématiques des groupes multiplicateurs de
transmissions[12]. 43
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
Admettons que, dans une chaîne de transmissions séparées et constantes, soit branchée
une boite de vitesses dont l’étendue de réglage est Rk , avec les nombres de tours limites η1 et
ηk .(figure a)
Rn
1 2 3 p-1 p
(a) (b)
Pour élargir la série de nombre de tours de la broche, ajoutons à l’une des transmissions
simples une rangée de transmissions (2, 3,…p,..) qui forme un groupe multiplicateur de
transmissions à rapports i1, i2,…ip .(figure b).
A la mise en prise de la transmission i1, la boite à vitesses peut modifier les nombres de tours
η de la broche d’après la série géométrique η1, η2, η3… ηk.
Avec le groupe multiplicateur 2 on aura :
ηk+1, ηk+2,… η2k.
Par conséquent
ϕϕ
⋅=⋅
==== +
−
−k
1
k
1
1k
1k
12k
k
2k
1
2 Rη
ηηη....
ηη
ηη
ii …… (15)
Et à chaque mise en prise ultérieure du groupe multiplicateur, on augmente de ϕ.Rk le rapport
de transmission donc i1 :i2 :….ip = 1 : ϕ.Rk :( ϕ.Rk )2… ( ϕ.Rk )P-1 ……. (16)
Ainsi les rapports de transmissions des groupes multiplicateurs forment une progression
géométrique de raison ϕm = ϕ .Rk ……. (17)
44
Rk
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
II.6 Caractéristique d’un groupe de transmission
La raison d’une série de rapport de transmission d’un groupe peut s’exprimer : ϕp =R k.
ϕ = ϕ 1−kz .ϕ = kZϕ = ϕ x
Où Zk est le nombre d’étage de vitesses de l’ensemble des transmissions avec étendue de
réglage Rk précédant cinématiquement le groupe donné
i1 : i2 :i3…ip = 1 : ϕ x : ϕ 2x… ϕ (P-1) x …… (18)
Le premier groupe s’appelle le groupe fondamental précédé par l’ensemble de transmission à
un étage de vitesse : Zk =1 x1 = Zk =1.
Le deuxième groupe de transmission appelé groupe de changement d’engrenages Zk =P1
x2 =P1 . Avec P1 le nombre de transmissions dans le groupe fondamental.
Le troisième groupe de transmission Zk =P1P2 et x3 = P1P2 avec P2 est le nombre de
transmission séparées dans le deuxième groupe.
La caractéristique est égale au nombre d’étage de vitesses obtenues par les groupes qui
précèdent cinématiquement le groupe regardé.
II.2 Méthode analytique pour déterminer les rapports de transmission
Pour le calcul cinématique d’une commande de broche, les données initiales sont :
• La série géométrique de raison ϕ .
• Le nombre d’étages de vitesses Z (ηmin = η1 , ηmax = ηz ).
• Le nombre de tours du moteur.
On établit alors :
• La structure des transmissions en groupe de la commande.
• Le nombre de transmissions simples nécessaire
• On construit ensuite le schéma cinématique de la commande d’après
lequel on fait le calcul.
45
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
II.2.1 Rapport de transmission normal
Durant le calcul on essaye de donner à tous les arbres de la commande des nombres de
tours normalisés.
Toutes les séries normales de nombres de tours font partie de la série la plus fine de raison ϕ =
1.06 donc le nombre normal affectant n’importe quelle transmission se présente sous la
forme :
in =1.06± E ……. (19)
II.2.2 Rapports limites de transmission
Pour réduire l’encombrement des boites de vitesses on limite les rapports de transmission
2 i 41
≤≤ …… (20)
Ainsi l’étendue de réglage limite entre deux arbres sera :
8
412
ii
Rmin
maxlim ===
II.2.3 Détermination des rapports de transmission
D’après la formule de structure des transmissions en groupe de la commande, on
détermine les caractéristiques des groupes :
Formule de structure Z =pa . pb . pc…pr .
• D’après l’équation i1 :i2 :i3…ip =1 :ϕx : ϕ2x … ϕ (P-1) x on détermine pour chaque
groupe la valeur relative des rapports de transmission des groupes nécessaires pour
l’échelonnement des nombres de tours de la broche suivant la série géométrique
donnée. 46
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
• On détermine imin en l’exprimant sous la forme : imin = 9e
1 1ηη
ϕ=
ϕ : Exposant qu’on détermine à partir des séries normales de nombre de tours
• En posant en considération les valeurs imin lim et imax lim ainsi que les particularités des
transmissions simples et en groupes, on désigne approximativement les rapports des
transmissions simples et les rapports minimales des transmissions en groupes afin
d’obtenir, dans le produit imin de la commande totale. Dans ce but on exprime tous les
rapports sous la forme i = ϕ ± u de sorte que d’après la formule donnant imin
imin = i(Pa)min. i(Pb)min …i(Pr)min
La somme algébrique des exposants u est égale à 9
• Après avoir obtenu de cette façon les valeurs de i1 = imin pour toutes les transmissions
en groupe, on détermine les valeurs i pour les autres transmissions de chaque groupe à
l’aide de l’équation :
i1 : i2 : i3 =1 : ϕx : ϕ2x :…
II.3 Méthode grapho-analytique de détermination des rapports de transmissions
D’après ce qui précède, les rapports de transmissions leur gradation et la gradation des
nombres de tours de tous les arbres d’une commande peuvent être exprimés sous forme des
puissances de la raison ϕ.
C’est pourquoi, il est commode d’exprimer graphiquement les liaisons cinématiques d’une
commande avec échelles logarithmiques à intervalle constant entre les points voisins de
l’échelle égal à logϕ.
II.3.1 Réseau de structure
Le réseau de structure est un graphe qui met en évidence l’équation de réglage de la
commande.
47
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
Pour réaliser ce graphe on trace une série de lignes horizontales à intervalles réguliers égaux à
logϕ en nombres d’étages Z, et une série de lignes verticales à distance arbitraire.
D’après la formule de structure :
Formule de structure Z =pa.pb.pc…pr.=P
Calculons la caractéristique de chaque groupe
Marquons le point O symétriquement par rapport aux lignes horizontales.
En face de ce point et sur la ligne verticale marquons symétriquement autant de point qu’il y a
de transmission dans ce groupe (3), à des distances égales à la caractéristique de ce groupe
exprimée en échelle logϕ.
On réunit les points obtenus par des lignes avec O.
Dans le champ de deuxième groupe de chaque point de la ligne verticale, traçons
symétriquement autant de rayon qu’il y a de transmissions dans le groupe à des distances
égales à x2 = 3logϕ.
De même, dessinons de chaque point marqué sur la ligne verticale gauche de l’espace du
dernier groupe, symétriquement deux rayons à des distances égales à x3 = 9 logϕ.
Le réseau de structure comporte les données suivantes :
• Nombre de groupes de transmissions
• Nombre de transmission dans chaque groupe
• Ordre relatif de position constructive des groupes le long de la chaîne de transmission.
• Ordre de mise en prise cinématique des groupes.
• Etendue de réglage en groupe et de la commande entière.
• Nombre d’étage de vitesses.
48
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
Log R3 O Log Rn Log R2 Log R1
II.3.2 Tableau des nombres de tours
On détermine les valeurs réelles des grandeurs des rapports de transmission et des
nombres de tours de tous les arbres à l’aide de la construction d’un autre diagramme appelé
tableau de nombres de tours.
Il est construit conformément au schéma cinématique de la commande.
Une ligne verticale de ce diagramme correspond à chaque arbre.
Sur les lignes horizontales, à des intervalles égaux à logϕ sont indiqués les nombres de tours
dans les limites correspondant à chaque arbre.
49
Détermination des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une machine-outil
Le rapport de transmission s’exprime sous la forme ϕm où m est le nombre d’intervalles
traversés par le rayon.
Pour une transmission croissante (accélératrice) le rayon est dirigé vers le haut et m>0.
Pour une transmission constante i = 1 ⇒ m = 0.
Pour une transmission décroissante le rayon est dirigé vers le bas et m<0.
50
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
III Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
III.1 Situation des transmissions en groupe
Les engrenages sont largement utilisés comme moyen de transmission de puissance
d'un arbre vers un autre. Un certain nombre de facteurs entrent dans la sélection de la
commande par engrenages parmi lesquels nous pouvons retenir les variations de vitesses et les
rapports de transmission.
Les boites de vitesses et d'avances représentent un important sous système mécanique
dans lequel les transmissions entre les différents arbres peuvent être simples ou composées
[18]. Le rapport de vitesse est inversement proportionnel au nombre de dents des roues qui lui
ont donné naissance. Et parmi les facteurs qui influent sur la précision de la transmission, le
plus important est le rapport des vitesses et les méthodes de détermination du nombre des
dents des roues qui composent cette transmission. Le problème de détermination des nombres
de dents pour une paire de roues devant réaliser un rapport de transmission donné a fait l'objet
de plusieurs études [14, 15, 16] Mais ces méthodes ne considèrent que le cas de la
transmission simple (cas des réducteurs ou des multiplicateurs de vitesses).
Quelques unes de ces études concernent seulement l’obtention d’un rapport spécifique
de vitesse qui peut être rationnel ou irrationnel comme elles reposent sur des procédures par
tâtonnement.
Malheureusement de telles méthodes sont d’une utilité restreinte puisqu’elles
conduisent à des solutions uniques pour le train d’engrenage sans tenir compte du minimum et
du maximum du nombre de dents.
52
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
A cet effet le problème a été repris par A.Arabyan et GR.Shilett (1987). Ils proposent
une méthode qui consiste à trouver une fraction rationnelle qui approche à une tolérance près
le rapport de transmission souhaité.
Le numérateur et le dénominateur de la fraction ainsi trouvée sont factorisés et les
facteurs obtenus sont automatiquement à l’aide d’un programme informatique combinés en
différentes variantes de paires de roues qui peuvent conduire vers le train d’engrenages
adéquat.
L’avantage de cette méthode c’est qu’elle tient compte du minimum et du maximum
des nombres de dents.
L’inconvénient c’est que cette méthode a été élaborée uniquement pour les engrenages
cylindriques à denture droite. Le nombre de combinaisons est limité. Maintenant si la
transmission est en groupe (cas des boites de vitesses et d"avances),
il faut envisager une autre méthode de calcul. Ce problème a été abordé par [4] qui n'a
pratiquement considéré que les transmissions par roues cylindriques à denture droite et où les
roues de toute la chaîne cinématique ont le même module notre travail va consister à élargir
cette méthode vers les transmissions par roues cylindriques à denture droite et hélicoïdales et
ou l'on considère le module variable d’une transmission simple à une autre.
III.2 Exposé de la méthode de calcul
Soit la transmission en groupe suivante d’une partie de boite de vitesses, entre deux
arbres parallèles I et II :
La distance A (entraxe) entre les deux arbres I et II est constante et son expression est :
2dd
A pp ′+=
Avec dp = m . z et dp’ = m . z’
2)zm(zA′+
=
52
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
Pour une transmission en groupe qui contient j pairs de roues conjuguées l’expression de A
est :
2)z(zm
2)z(zm
2)z(zm
A jjj222211′+
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=′+
=′+
=
Avec zj : Nombre de dents de la roue menante.
z'j : Nombre de dents de la roue menée.
Nous allons considérer plusieurs cas:
III.2.1 Cas des engrenages cylindriques à denture droite ayant même module
Considérons que toutes les roues zj et z’j ont même module m donc : m1 = m2 = …. = m et
l’expression de A devient :
2)zm(z
2)zm(z
2)zm(zA jj2221
′+=⋅⋅⋅⋅=
′+=
′+= ……. (21)
A = z1 +z’1 = z2 +z’2 = ..... = zj + z’j = Cte
Donc dans une transmission en groupe et où l’entraxe A est constant, la somme des dents de
deux roues conjuguées est aussi constante :
zj + z’j = Sj = Cte …. (22)
Le rapport de transmission ij pour une paire de roues conjuguées s'écrit :
j
jj z
zi
′= …. (23)
53
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
j
jj i
zz =′ et zj = ij .z’j
Introduisons l'expression de z’j dans l’équation (22) on trouve zj en fonction du rapport de
transmission ij et la somme Sj .
jj
jj S
1ii
z ⋅+
= ….. (24)
Si l'on introduit l'expression de zj dans l’équation (22) on aura :
jj
j S1i
1z ⋅+
=′ …. (25)
Connaissant maintenant le rapport de transmission ij et la somme d’une paire de roues
conjuguées Sj, on peut calculer les nombres de dents zj et z’j à partir des deux relations (24) et
(25).
Les rapports de transmission ij sont calculés à partir du diagramme de structure.
En utilisant les méthodes de mise des ij sous la forme d’une fraction irréductible (26) :
.......k1k
1k
1k
1N
43
2
1
++
++
= =ba ….. (26)
Nous pouvons écrire :
j
j
j
jj b
azz
i =′
= …. (27)
j
j
ba
: est une fraction irréductible, donc aj et bj sont premiers entre eux.
On remplace par la valeur de ij dans les deux relations (4) et (5) on obtient zj et z’j en fonction
de aj et bj.
54
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
.....(29) Sba
bz
.....(28) Sba
az
jjj
jj
jjj
jj
⋅+
=′
⋅+
=
zj et z’j sont deux nombres entiers, pour cela Sj doit être un multiple de (aj + bj) .
Pour une transmission qui contient N paires de roues conjuguées qui donnent j
jj b
ai =
(Avec : j = 1, 2, …, N), la plus petite somme des dents Smin est égale au plus petit multiple
commun (PPCM) de ( a1 + b1, a2 + b2,…aj + bj ) .
Parfois le calcul nous donne des valeurs de zj et z’j trop petites par rapport au minimum de
dents que doit avoir une roue pour éviter les interférences de fonctionnement et de taillage, par
exemple pour une transmission à roues cylindriques à dentures droites zmin =17, et pour une
transmission à dentures hélicoïdales zmin = 13.
Alors il faut multiplier Smin par un entier k pour obtenir des valeurs acceptables de zj et z’j.
(32) ....... k SS
(31) .......k Sba
bz
(30) ......k Sba
az
minz
minjj
jj
minjj
jj
⋅=
⋅⋅+
=′
⋅⋅+
=
Application pratique de la méthode :
Soit la transmission composée qui représente une partie d’une boite de vitesse d’une fraiseuse
Figure III-1
55
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
Figure (III.1)
Pour calculer les rapports de transmission ; on a l’expression suivante : i = ϕm.
ϕ : est une valeur normalisée égale à 1.26 appelée raison de la progression géométrique.
m: est un exposant qui est égal au nombres d’intervalles traversés par le rayon réunissant les
points marquants les nombres de tours sur les lignes d’arbres qui composent le diagramme de
structure.
i1 = 1
( )0.6298
1.2611i
0.79361.26
11i
223
2
===
===
ϕ
ϕ
Il faut écrire i1, i2, i3 sous la forme de fraction irréductible. Pour cela utilisons la méthode des
fractions continues (26)
56
ϕ ϕ
i3
i2 i1
I II
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
2912
......212
11
11
11
16298.0
2923
.....511
13
11
17936.0
≈
++
++
+=
≈
++
++
=
i1 = 11
ba
1
1 =
S1 = a1 + b1 = 1 + 1 = 2
311912baS1912
ba
i
x132522923baS
2923
ba
i
333
3
33
2222
2
22
=+=+=
==
==+=+=
==
PPCM (a1 + b1, a2 + b2, a3 +b3) = PPCM (2, 52, 31) = 22 × 13 × 31 = 1612 > 120
Le PPCM est plus grand que la valeur admissible de la somme des deux plus petites roues
conjuguées cela implique une correction sur le rapport de transmission qui fait défaut et
apparemment c'est i3.
57
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
D’après le développement de i3 en fractions continues on peut prendre 85i3 = qui sera
vérifiée comme suit :
7600077062980
629806250∆i3 ⋅=⋅=⋅
⋅−⋅= % < 0.5 %
La condition est vérifiée donc i3 = 85
1385baSba
i 3333
33 =+=+=⇒=
PPCM (2, 52, 13) = 22 × 13 = 52 < 120
Le PPCM est plus petit que 120 (la somme maximale des nombres de dents de deux roues
conjuguées), ce qui vérifie la condition.
Donc: Sz = 52
dents 325285
8Sba
bz
dents 205285
5Sba
az
dents 29522923
29Sba
bz
dents 23522923
23Sba
az
dents 265211
1Sba
bz
dents 265211
1Sba
az
z33
33
z33
33
z22
22
z22
22
z11
11
z11
11
=⋅+
=⋅+
=′
=⋅+
=⋅+
=
=⋅+
=⋅+
=′
=⋅+
=⋅+
=
=⋅+
=⋅+
=′
=⋅+
=⋅+
=
58
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
On remarque que toutes les valeurs de zj et z’j sont supérieurs à 17, donc il n’y a pas
d’interférence entre les roues conjuguées, et toutes les valeurs sont acceptables.
III.2.2 Cas des engrenages cylindriques à dentures droites avec modules différents
Soit l’entraxe a constant entre deux arbres parallèles I et II et sur lesquels sont montés
successivement les roues z1…zj et z'1…z'j on aura:
j21
jjj222111
m......mm : avec2
)z(zm......
2)z(zm
2)z(zm
a
≠≠≠
′+==
′+=
′+=
......(33) m2azz
jjj =′+
On pose zj +z’j =Sj
Sj est la somme des nombres de dents de deux roues conjuguées.
On a le rapport de transmission ij qui doit être sous la forme d’une fraction irréductible :
......(34) ba
zz
ij
j
j
jj =
′=
Avec aj et bj sont deux nombres entiers entre eux.
De l’équation (33) et (34) on trouve les relations suivantes :
.....(36) ba
b2az
.....(35) )b(am
a2az
jj
jj
jjj
jj
+⋅=′
+⋅=
59
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
zj et z’j sont deux nombres entiers, donc les deux valeurs )b(am
a2a
jjj
j
+⋅ et
)b(amb
2ajjj
j
+⋅ doivent être entières, et pour que cette condition se réalise il faut que 2a
soit un multiple de mj( aj + bj ) et par conséquent 2a doit être le PPCM de mj (aj +bj) .
Les modules mj ont des valeurs normalisées qui peuvent être entières ou décimales, donc on
distingue deux cas différents :
a) Cas où les modules sont des nombres entiers
Dans ce cas aucun problème ne se pose, et on peut calculer le PPCM de mj( aj + bj ) .
Exemple de calcul :
Soit l’exemple vu précédemment avec les valeurs de mj suivante :
m1 = 2 m2 =3 m3 =1
i1 =1 i2 =2923 i3 =
85
i1 = 11
ba
1
1 =
412a
1)2(112a
)b(amb
2az
412a
1)2(112a
)b(ama2az
111
11
111
11
⋅=+
⋅=+
⋅=′
⋅=+
⋅=+
⋅=
60
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
1382a
8)1(582a
)b(amb
2az
1352a
8)1(552a
)b(ama
2az
85
ba
i
523292a
29)3(23292a
)b(amb2az
523232a
29)3(23232a
)b(ama
2az
2923
ba
i
333
33
333
33
3
33
222
22
222
22
2
22
⋅=+
⋅=+
⋅=′
⋅=+
⋅=+
⋅=
==
⋅⋅=
+⋅=
+⋅=′
⋅⋅=
+⋅=
+⋅=
==
2a doit être le PPCM de (3×52, 13, 4).
PPCM (3×52, 13, 4) = 3×4×13 =156
2a = 156 ⇒ a = 78 mm
On remplace par la valeur de a pour calculer zj et z’j
961318782z
601315782z
29523
29782z
23523
23782z
3941782z
3941782z
3
3
2
2
1
1
=⋅
⋅⋅=′
=⋅
⋅⋅=
=⋅
⋅⋅=′
=⋅
⋅⋅=
=⋅⋅=′
=⋅⋅=
61
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
z1 +z’1 = 78 < 120
z2 +z’2 = 52 <120
z3 +z’3 = 156 >120
La somme de z3 et z’3 ne vérifie pas la condition, donc la valeur de 2a qui est égale au PPCM
de (3×52, 13, 4) doit être inférieure à 120.
Pour cela on va modifier la valeur de i2 et i3 tout en respectant la marge de ∆i admissible.
Si l’erreur n’est pas spécifiée, on peut admettre une erreur admissible sur i égale ou inférieure
à 5% .
i2 = 0.7936 et qui peut être écrit sous la forme : 8.054=
∆i2 = 008.07936.0
7936.08.0=
− = 0.8 %
0.8 % < 5 % donc i2 = 54
i3 =0.6298 et qui peut être écrit sous la forme : 6363.0117=
∆i3 = 101.06298.0
6298.06363.0==
− %
1 % < 5 % donc i3 =117
Donc on a les nouvelles valeurs suivantes :
18117bas 117
ba
i
954bas 54
ba
i
211bas 11
ba
i
3333
33
2222
22
1111
11
=+=+=⇒==
=+=+=⇒==
=+=+=⇒==
62
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
2a = PPCM (4, 3×9, 18).
PPCM (4 ,3×9 , 18) = PPCM( 22 , 33 , 32 ) = 108 < 120
2a = 108 ⇒ a = 54 mm
dents 27412a
1)2(112a
)b(amb
2az
dents 27412a
1)2(112a
)b(ama2az
111
11
111
11
=⋅=+
⋅=+
⋅=′
=⋅=+
⋅=+
⋅=
dents 6618112a
11)1(7112a
)b(amb
2az
dents 421872a
11)1(772a
)b(ama
2az
dents 202752a
5)3(4252a
)b(amb
2az
dents 162742a
5)3(442a
)b(ama
2az
333
33
333
33
222
22
222
22
=⋅=+
⋅=+
⋅=′
=⋅=+
⋅=+
⋅=
=⋅=+
⋅=+
⋅=′
=⋅=+
⋅=+
⋅=
b) Cas où les modules sont des nombres décimaux
Dans cet exemple on prend les même valeurs de i1, i2, i3 avec mj suivants:
m1 = 2.25 m2 = 1.5 m3 = 3
m1 et m2 sont des nombres décimaux qui peuvent être écrits sous forme fractionnaire :
63
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
93242a
)b(axya2az
1842a
2942a
)b(axyb
2az
1842a
2942a
)b(axya2az
yx
231.5m
yx
492.25m
222
222
111
111
111
111
2
22
1
11
××
=+⋅
=
=×
=+⋅
=′
=×
=+⋅
⋅=
===
===
183112a
)b(axyb
2az
18372a
)b(axya
2az
93252a
)b(axyb
2az
333
333
333
333
222
222
×=
+⋅
=′
×=
+⋅
=
××
=+⋅
=′
Pour que z1, z’1, z2, z’2, z3, z’3 soient des nombres entiers, il faut que 2a soit le PPCM de (18,
3×9, 3×18).
PPCM (18, 3×9, 3×18) = PPCM (2× 32, 33, 2× 33) = 2 × 33 = 54 < 120.
2a = 54 ⇒ a = 27 mm
64
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
17 dents 11541154z
17 dents 754754z
dents 20271054z
17 dents 1627854z
17 dents 1218454z
17 dents 1218454z
3
3
2
2
1
1
⟨==′
⟨==
==′
⟨==
⟨==′
⟨==
On remarque que le nombre de dents de la plus part des roues est inférieur à 17 ce qui induirait
un problème d’interférence de taillage et de fonctionnement.
Donc il faut augmenter ces valeurs à des valeurs raisonnables pour assurer le bon
fonctionnement de l’engrenage.
Le nombre de dents que doit avoir la plus petite roue des engrenages qui composent la
transmission en groupe peut être choisi de telle façon à lever l’interférence de fonctionnement
et de taillage. Donc z3 doit être supérieur ou égal à 17.
A titre d’exemple prenons z3 = 20.
Soit k le coefficient de correction qui est égale à :
k = 857.2720
min
3 ==zz
Et comme k doit être un nombre entier on prend k = 3
z1 = 12 × 3 = 36
z’1 = 12 × 3 =36
z1 + z’1 = 72 <120
z2 = 16 × 3 = 48 65
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
z’2 = 20 × 3 =60
z2 +z’2 = 48 + 60 = 108 < 120
z3 = 7 × 3 = 21
z’3 = 11 × 3 = 33
z3 + z’3 = 21 + 33 = 54 <120
III.2.3 Cas des engrenages cylindriques à denture hélicoïdale
Considérons une transmission composée à engrenages cylindriques à denture hélicoïdale où
tera C2cosβ
)z(zm2
)z(zma =
′+=
′+=
Avec a : entraxe.
z et z’ : nombre de dents des roues conjuguées .
ma : module apparent .
mr : module réel .
β : Angle d’hélice de la dent.
Nous allons considérer deux cas :
III.2.3.1 Cas où les roues dentées ont le même angle d’hélice
Dans ce cas : cosβ1 = cosβ2 = …..= cosβj.
j
jjr
2
22r
1
11r
2cosβ)z(zm
.........2cosβ
)z(zm2cosβ
)z(zma
′+==
′+=
′+=
On suppose que le module réel mr est le même pour toutes les dents des roues.
L’expression de l’entraxe est donc :
a = z1 + z’1 = z2 +z’2 = ……= zj +z’j = Cte.
Et dans ce cas, on va suivre toutes les étapes de calcul pour le cas des engrenages à dentures
droites ayant même module, pour calculer le nombre de dents zj et z’j.
66
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
III.2.3.2) Cas où les roues dentées n’ont pas le même angle d’hélice :
te
j
jjrj
2
22r2
1
11r1 C2cosβ
)z(zm.......
2cosβ)z(zm
2cosβ)z(zm
a =′+
==′+
=′+
=
On suppose que le module réel mr est le même pour toutes les roues :
mr1 = mr2 = ……= mrj = mr
L’entraxe a s’écrit alors :
j
jj
2
22
1
11
2cosβzz
.......2cosβ
zz2cosβ
zza
′+==
′+=
′+=
zj +z’j = 2a cosβj …..(37)
Le rapport de transmission ijj
j
j
j
ba
zz
=′
= …..(38)
aj et bj sont deux nombres entiers entre eux.
Des deux équations (13) et (14) on trouve :
jjj
jj
jjj
jj
cosβba
b2az
cosβba
a2az
+=′
+=
zj et z’j doivent être entier par contre cosβj est un nombre décimale, donc en appliquant la
méthode des fractions continues on peut écrire cosβj sous forme fractionnaire : cosβj = j
j
yx
avec xj et yj deux nombres entiers entre eux .
La relation de zj et z’j s’écrira alors :
67
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
jjj
jj
jjj
jjj
y)b(ab
2az
y)b(axa
2az
⋅+=′
⋅+
⋅=
Pour que zj et z’j soient entiers, il faut que 2axj soit multiple de yj (aj + bj)
Exemple de calcul :
Soit une partie d’une boite de vitesse dont les rapports de transmissions sont les suivants :
332211i 1i 1iϕϕϕ
===
Avec ϕ = 1.6
Les roues dentées ont les angles suivants :
β1 =20 0 β2 = 25 0 β3 =18 0
1- Calcul de ij :
0.2441(1.6)
11i
0.390 (1.6)
11i
0.625 1.611i
333
222
1
===
===
===
ϕ
ϕ
ϕ
68
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
187
....311
11
12
139.0
85
211
11
11
1625.0
≈
++
++
=
=
++
+=
25061
6110
14
1244.0 =
++
=
31125061basba
25061i
25187basba
187i
1385basba
85i
3333
33
2222
22
1111
11
=+=+=⇒==
=+=+=⇒==
=+=+=⇒==
S3 est supérieure à 120 donc, il faut chercher une autre fraction ba qui satisfait les conditions :
120 ba
iba
⟨+
≈
On remarque que la fraction 256 = 0.24 pourrait convenir et pour s'en assurer calculons
l'erreur commise sur i en faisant cette approximation
69
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
| ∆i | = 66.124.0
24.0244.0=
−% < 5 %
Donc i3 = 31256
3333
3 =+=⇒= basba
2-Calcul de cosβ :
β1 = 20 0 ⇒ 0.9396cosβ1 =
0.951cosβ18β0.9063cosβ25β
30
3
20
2
=⇒=
=⇒=
3331
.....111
115
11
19396.0 ≈
++
++
=
10297
....212
119
11
1951.0
3229
.....211
19
11
19063.0
≈
++
++
=
≈
++
++
=
70
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
jjj
jj
jjj
jjj
y)b(ab
2az
y)b(axa
2az
⋅+=′
⋅+
⋅=
10297
31252z
3229
25182z
3331
1382
10297
3162z
3229
2572z
3331
1352
321
321
⋅=′⋅=′⋅=′
⋅=⋅=⋅=
aaaz
aaaz
On remarque que ces fractions donnent un PPCM très grand, il faut alors chercher des valeurs
de i1, i2, i3, β1, β2, β3 qui peuvent donner un PPCM inférieur à 120 , tout en respectant la marge
d’erreur admissible imposée sur les rapports de transmissions, et sur les angles d’hélices .
Pour cela on admet la valeur de i3, et on cherche les autres valeurs de i1 et i2 tel que S1 = k .S3,
et S2 = k’.S3, càd S1 et S2 soient égales à S3 ou des multiples de S3.
0.00950.631
0.6310.625∆i
0.6311912
19bet12a31bas
0.625bai
1
11
111
1
11
=−
=
=
==⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+=
==
∆i1 = 0.95% < 5%
22bet9a31bas
0.39ba
i22
222
2
22 ==⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+=
==
71
Contribution à l’amélioration des méthodes existantes
∆i2 = 4.6% < 5%
Donc les nouvelles valeur de i1, i2, i3 :
256
bai
229
bai
1912
bai
3
33
2
22
1
11 ======
10297
31252z
3229
31222z
3331
31192
10297
3162z
3229
3192z
3331
31122
321
321
⋅=′⋅=′⋅=′
⋅=⋅=⋅=
aaaz
aaaz
On remarque que ces nombres donnent un PPCM beaucoup plus grand que la valeur
admissible, et pour pouvoir calculer le nombre de dents, il faut que l’erreur sur le rapport de
transmission et sur l’angle d’hélice soit grande ce qui est inacceptable. A cet effet les calculs
nous mènent à supposer des angles d’hélices égaux dans toute la transmission.
Donc on peut conclure qu’on ne peut pas construire une boite de vitesse avec des roues
cylindriques à dentures hélicoïdales et possédant des angles d’hélice différents, car les calculs
nous donnent un nombre de dents très grand ce qui n’est pas acceptable.
72
046.0409.0
409.039.0
409.0229
2 =−
=∆
=
i
Automatisation
IV Automatisation
IV.1 Généralités
La seconde moitié du vingtième siècle pourrait bien être considérée comme l’age de
l’ordinateur .En effet, dans presque tous les domaines d’activité que ce soit l’ingénierie, la
physique, l’économie, la psychologie, la pédagogie, les sciences sociales, la médecine, le droit
et les affaires c’est-à-dire chaque fois que des données sont rassemblées, analysées et traitées,
interviennent les ordinateurs et leurs langages de programmation .Le fortran est l’un de ces
derniers, son nom résultant de la contraction de ‘FORmula TRANslation’ c’est-à-dire
traduction de formules.
IV.2 Automatisation du calcul des caractéristiques techniques fondamentales d’une
boite de vitesse d’une machine-outil
Considérons une boite de vitesses d’une fraiseuse horizontale ayant les caractéristiques
techniques suivantes :
Nombre de dents Z=18
La raison géométrique ϕ = 1,26
La vitesse de rotation minimale ηmin = 30 tr/min
La vitesse de rotation du moteur ηmot = 1450 tr/min
La puissance du moteur Pm = 7 kw
IV.2.1 Calcul de la raison géométrique
Le rapport des nombres de tours extrêmes représente l’indice des possibilités cinématiques
de la boite de vitesses qui est fonction des dimensions des pièces à usiner, il est noté Rn et
appelé étendue de réglage Rn 50.8330
1525ηη
min
max ===
74
Automatisation
Pour une fraiseuse on a : 20 ≤ Rn ≤ 60 donc la valeur trouvée est acceptable
Alors 1ZnR−=ϕ = 1.261.25950.8317 ≈= (valeur normalisée)
IV.2.2 Calcul de la gamme de vitesses
Les vitesses sont échelonnés suivant une progression géométrique de raison ϕ =1.26
Pour déterminer toute la gamme de vitesse on utilise la relation suivante : 1i
1i ηη −= ϕ avec i = 1,2,………..18
ηi 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ηi
Calculé
30
37.8
47.6
60
75.6
95.3
120
151
190.6
ηi
normalisé
30
36
48
60
73
95
120
152
194
ηi 10 11 12 13 14 15 16 17 18
ηi
Calculé
240
302.6
381
480
605
762.6
960.9
1210.7
1525.5
ηi
normalisé
240
305
382
480
580
762
965
1200
1525
Méthode de l’espace
La régularité de la série géométrique des nombres de tours de la broche permet de projeter les
boites de vitesses avec la plus simple structure composée de mécanismes élémentaires de deux
arbres et elles s’unissent successivement entre elles à une ou quelconques chaînes
cinématiques. Cette structure s’appelle « structure multiplicative »car les conditions
75
Automatisation
cinématiques de réglage de ces commandes sont déterminées par les propriétés des groupes
multiplicatifs de la transmission par engrenages et le nombre de vitesses est déterminé par la
méthode de la multiplication des nombres de vitesses des engrenages élémentaires aux deux
arbres.
En général le nombre de gradins de la boite de vitesses est Z = Pa.Pb……Pm où Pa, Pb, …Pm
sont le nombre d’engrenages dans le premier, deuxième…groupe
IV.2.3 Calcul du nombre de transmissions
Il est donné par la formule empirique :
P=1.66 log 2.7930
14501.66logηη
min
mot ==
On prend P = 3 (valeur normalisée )
Alors le nombre d’arbre sera P + 1 = 4 arbres
IV.2.4 Calcul du nombre de groupes
On décompose Z en produits de facteurs premiers et pour une commande à m étages ou
groupes de transmission et q étages ayant les nombres égaux de transmission séparée dans
chaque étage ,on peut calculer les K groupes constructifs suivant la relation
K =q!m!
Z = 18 = 3 × 3 × 2
Donc : m = 3 et q = 2
K = 326
q!m!
== = nombre de groupes constructifs
Donc il existe 3 groupes constructifs : 3 . 3 . 2 , 3 . 2 . 3 , 2 . 3 .3
Principe du choix du groupe
1ére priorité :
Le dernier chiffre du groupe doit être le plus petit, afin d’alléger la broche.
2éme priorité :
Le premier chiffre du groupe doit être le plus petit possible (vitesse élevée).
76
Automatisation
Donc en se basant sur ces principes on choisit le groupe 3 . 3 . 2 .
IV.2.5 Calcul du nombre de variantes
P= 182
36!2)!3(
!)!( 22
===q
m variantes
Pour chaque groupe on aura 63
18= variantes
Z = 3 . 3 . 2 = p1 . p2 . p3
Groupe de base on note 1 (31)1
2éme groupe on note 2 (32)p1
3éme groupe on note 3 (23)p1p2
Donc les six variantes seront :
(31)1 (32)3 (23)9 (31)1 (33)6 (22)3
(32)3 (31)1 (23)9 (32)2 (33)6 (21)1
(33)6 (31)1 (22)3 (33)6 (32)2 (21)1
3 3 2
1 2 3
1 3 9
1 1 3 3 9
3 3 2
1 3 2
1 6 3
1 1 6 6 3
3 3 2
2 1 3
3 1 9
3 3 1 1 9
3 3 2
2 3 1
2 6 1
2 2 6 6 1
3 3 2
3 1 2
6 1 3
6 6 1 1 3
3 3 2
3 2 1
6 2 1
6 6 2 2 1
77
Automatisation
Graphique de la chaîne de structure
(31)1 (32)3 (23)9 (31)1 (33)6 (22)3
(32)3 (31)1 (23)9 (32)2 (33)6 (21)1
(33)6 (31)1 (22)3 (33)6 (32)2 (21)1
78
Automatisation
IV.2.7 Choix de la variante optimale
Pour choisir la variante optimale, il faut que l’étendue de réglage de chaque variante ne
dépasse pas la valeur admissible Rg (étendue des rapports de transmission).
Rg = ϕxi ≤ 8
Résumons le critère de la variante optimale dans le tableau suivant :
Variante (31)1 (32)3
(23)9
(31)1 (33)6
(22)3
(32)3 (31)1
(23)9
(32)2 (33)6
(21)1
(33)6 (31)1
(22)3
(33)6 (32)2
(21)1
Ordre I II III I III II II I III II III I III I II III II I
Caractéristique 1 3 9 1 6 3 3 1 9 2 6 1 6 1 3 6 2 1
Intervalle max 9 12 9 12 12 12
Rg=ϕxi 8 16 8 16 16 16
Rg ≤ 8 oui non oui non non non
Il y a deux variantes à retenir :
(31)1 (32)3 (23)9 et (32)3 (31)1 (23)9
Parmi lesquelles il faut encore choisir une.
Pratiquement il faut que le graphique de structure soit entièrement contenu dans le triangle
isocèle .Donc la variante qui répond aux conditions est : (31)1 (32)3 (23)9.
IV.2.8 Abaque de vitesses
a) Détermination de la position de η0
Pour les boites de vitesse, les rapports de transmissions doivent vérifier la condition ¼ ≤ i ≤ 2
79
Automatisation
imin =1/4
imax = 2
Entre le moteur et l’arbre d’entré de la boite de vitesse, la transmission est assuré par
courroies.
D’ou η0 = ηmot . i0 . ηc
i0 : rapport de transmission par courroies-poulies.
ηc : rendement des courroies (ηc = 0.98 )
tr/min1920(0.25)
30)(i
ηη 3pmin
min0max ===
tr/min190.625 (2)1525
)(iη
η 3pmax
max0min ===
3ηη
1.66logpmin
mot ==
D’ou : 190 ≤ η0 ≤ 1920
-Il faut que η0 soit compris dans l’étendue de réglage 30-1525.
-Il est préférable que η0 coïncide avec une vitesse de la broche.
-Il est souhaitable qu’il soit proche de la vitesse maximale.
Prenons η0 = 965 tr/min = η16
68.098.01450
965.0
0 =×
==cmot
iηη
η
b) Détermination des rapports de transmission
On choisit généralement les rapports de transmission proche de l’unité afin d’économiser le
matériau, et que les éléments travaillent dans de bonnes conditions.
1er groupe :
i1 : i2 : i3 = 1 : ϕx : ϕ2x
Avec:x = 1 ⇒ i1 : i2 : i3 = 1: ϕ : ϕ2
80
Automatisation
On peut choisir un i2 et en déduire les autres.
On prend 3212
132
11i1i 1ii 1i
ϕϕϕϕϕ⋅=⋅=⇒=⇒=
Donc 22323
241
1ii1ii1i
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕ=⋅=⇒==⇒=
0.396(1.26)
1i 41 ==
0.499(1.26)
1i 32 ==
0.63(1.26)
1i 23 ==
2éme groupe :
i4 : i5 : i6 = 1 : ϕx : ϕ2x avec x = 3
i4 : i5 : i6 = 1 : ϕ3 : ϕ6
On prend i4 = ϕϕϕ
=⇒=⇒ 6255 i 1i 1
0.314(1.26)
1i 54 ==
0.63(1.26)
1i 25 ==
i 6 = 1.26
3éme groupe:
i7: i8 = 1: ϕx avec x = 9
i7: i8 = 1: ϕ9
On prend 3867 i1i ϕ
ϕ=⇒=
81
Automatisation
0.25(1.26)
1i 67 ==
2(1.26)i 38 ==
Tous les rapports calculés sont dans l’intervalle admissible ¼ ≤ i ≤ 2.
Moyennant cette théorie on établit un programme de calcul qui nous donne les résultats ci-
après.
IV.3 Résultat du programme
la valeur de l etendue de reglage Rn est 50.83333 la valeur calculee de la raison q est 1.259974
la valeur normalisee de q est 1.260000
les valeurs calculees des vitesses
30.00000 37.80000 47.62800 60.01128 75.61421
95.27390 120.0451 151.2569 190.5836 240.1354
302.5706 381.2390 480.3611 605.2549 762.6212
960.9027 1210.737 1525.529
le nombre de transmission est 3
le nombre d arbre dans la transmission est 4
le nombre de groupes constructifs est 3
le nombre de variantes est 18
il y a 6variantes pour chaque groupe
les 6variantes sont:
la premiére variante:
( 3 1) 1
( 3 2) 3
( 2 3) 9
la deuxième variante:
( 3 1) 1
( 3 3) 6
( 2 2) 3
82
Automatisation
la troisième variante:
( 3 2) 3
( 3 1) 1
( 2 3) 9
la quatrième variante:
( 3 2) 2
( 3 3) 6
( 2 1) 1
la cinquième variante:
( 3 3) 6
( 3 1) 1
( 2 2) 3
la sixième variante:
( 3 3) 6
( 3 2) 2
( 2 1) 1
l intervalle maximale de chaque variante:
9 12 9 12 12 12
la valeur de Rg est:
8
valeur acceptable 1
la valeur de Rg est:
16
valeur inacceptable 2
la valeur de Rg est:
8
valeur acceptable 3
la valeur de Rg est:
16
valeur inacceptable 4
la valeur de Rg est:
16
valeur inacceptable 5
la valeur de Rg est:
16
valeur inacceptable 6
83
Automatisation
Les résultats donnés par le programme concordent parfaitement avec ceux calculés
manuellement
IV.4 Calcul de nombre de dents dans une transmission composée
1er cas :le PPCM est inférieur à la valeur admissible
Soit l’exemple vu précédemment dans le chapitre 3 :
i1 = 0.6298
i2 = 0.7936
i3 = 1
Un nombre décimal peut être écrit sous la forme d’une fraction continue comme suit :
.......k1k
1k
1k
1N
43
2
1
++
++
=
......211
11
11
10.6298i1
++
++
==
k1 = 1, k2 = 1, k3 = 1, et k4 = 2
i1 ≈ 85 = 0.625
| ∆ i1| = |6298.0
625.06298.0 −| = 0.0076 = 0.7 %
i1 85 =
1
1
ba ⇒ a1 = 5, b1 = 8 et s1 = a1 + b1 = 13
84
Automatisation
i2 = 0.7936 =
.....511
13
11
1
++
++
k1 = 1, k2 = 3, k3 = 1, et k4 = 5
i2 ≈ 2923 = 0.7931
|∆ i2 | = |7936.0
7931.07936.0 −| = 0.0006 = 0.06 %
i2 = 2
2
ba
2923
= ⇒ a2 = 23, b2 = 29 et s2 = a2 + b2 = 52
i3 = 1 =3
3
ba
11= ⇒ a3 = 1, b3 = 1 et s3 = a3 + b3 = 2
PPCM ( 13, 52, 2 ) = 52 < 120
Donc la condition est satisfaite
Zmin = PPCM = 52
Z1 = dents 2052135Z
sa
min1
1 =⋅=⋅
dents 3252138Z
sb
Z min1
1'1 =⋅=⋅=
dents 29525229Z
sb
Z
dents 23525223Z
saZ
min2
2'2
min2
22
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
85
Automatisation
dents 265221Z
sb
Z
dents 265221Z
sa
Z
min3
3'3
min3
33
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
Résultat donné par le programme
les k(i) de la fraction continue
1 1 1 2 2
la valeur calculee de i est 0.6250000
les k(i) de la fraction continue
1 3 1 5 2
la valeur calculee de i est 0.7931035
les k(i) de la fraction continue
1
la valeur calculee de i est 1.000000
les valeurs de i,a,b,s sont 0.6250000 5.000000 8.000000 13.00000
les valeurs de i,a,b,s sont 0.7931035 23.00000 29.00000 52.00000
les valeurs de i,a,b,s sont 1.000000 1.000000 1.000000 2.000000
la valeur du ppcm est
52
la valeur de z(I) et zprim(I)
20.00000 32.00000
la valeur de z(I) et zprim(I)
23.00000 29.00000
la valeur de z(I) et zprim(I)
26.00000 26.00000
Les résultats donnés par le programme concordent parfaitement avec ceux calculés
manuellement 86
Automatisation
2ème cas : le PPCM est supérieur à la valeur admissible
i1 = 0.7936 i2 = 0.6298 i3 = 0.5
i1 = 0.7936 =
.....511
13
11
1
++
++
k1 = 1, k2 = 3, k3 = 1, et k4 = 5
i1 ≈2923 = 0.7931
|∆ i1 | = |7936.0
7931.07936.0 −| = 0.0006 = 0.06 %
i1 = 1
1
ba
2923
= ⇒ a1 = 23, b1 = 29 et s1 = a1 + b1 = 52
......211
11
11
10.6298i2
++
++
==
k1 = 1, k2 = 1, k3 = 1, et k4 = 2
i2 ≈ 85 = 0.625
| ∆ i2| = |6298.0
625.06298.0 −| = 0.0076 = 0.7 %
i2= 85 =
2
2
ba ⇒ a2 = 5, b2 = 8 et s2 = a2 + b2 = 13
i3 = 0.5 =3
3
ba
21= ⇒ a3 = 1, b3 = 2 et s3 = a3 + b3 = 3
87
Automatisation
PPCM ( 13, 52, 3 ) = 156 > 120
Donc le PPCM est plus grand que la valeur admissible
On remarque que la valeur la plus grande de s est s2 = 52 ⇒ i2 = 0.7936
0.7936 =
.....113
11
1
++
+ ≈
54
|∆ i2 | = 0.008 < 0.05
Donc la valeur de i2 est acceptable
i2 = 54 =
2
2
ba ⇒ a2 = 4, b2 = 5 et s2 = a2 + b2 = 9
PPCM ( 13, 9, 3 ) = 117 < 120
Zmin = PPCM = 117
Z1 = dents 45117135Z
sa
min1
1 =⋅=⋅
dents 72117138Z
sbZ min
1
1'1 =⋅=⋅=
dents 6511795Z
sb
Z
dents 5211794Z
sa
Z
min2
2'2
min2
22
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
dents 7811732Z
sb
Z
dents 3911731Z
sa
Z
min3
3'3
min3
33
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
88
Automatisation
Résultat donné par le programme
les k(i) de la fraction continue
1 3 1 5 2
la valeur calculee de i est 0.7931035
les k(i) de la fraction continue
1 1 1 2 2
la valeur calculee de i est 0.6250000
les k(i) de la fraction continue
2
la valeur calculee de i est 0.5000000
les valeurs de i,a,b,s sont 0.7931035 23.00000 29.00000 52.00000
les valeurs de i,a,b,s sont 0.6250000 5.000000 8.000000 13.00000
les valeurs de i,a,b,s sont 0.5000000 1.000000 2.000000 3.000000
la valeur du ppcm est
156
les nouvelles valeurs de i,a,b,s:
0.8000000 4.000000 5.000000 9.000000
les nouvelles valeurs de i,a,b,s:
0.6250000 5.000000 8.000000 13.00000
les nouvelles valeurs de i,a,b,s:
0.5000000 1.000000 2.000000 3.000000
la valeur du ppcm est
117
la valeur de z(I) et zprim(I)
52.00000 65.00000
la valeur de z(I) et zprim(I)
45.00000 72.00000
89
Automatisation
la valeur de z(I) et zprim(I)
39.00000 78.00000
Les résultats donnés par le programme concordent parfaitement avec ceux calculés
manuellement
90
CONCLUSION
Notre étude est basée essentiellement sur deux contributions à l’amélioration des
transmissions mécanique à engrenages.
La première consiste en un apport d’un plus d’explications et d’exploitation à la
méthode de calcul du nombre de dents des roues qui réalisent cette fois-ci une transmission
non pas simple mais une transmission en groupe entre deux arbres parallèles avec un entraxe
constant rencontrée surtout dans les boites de vitesses et d’avance de machine. Dans cette
méthode, qui peut s’appliquer aussi bien pour les roues cylindriques à denture droite que pour
les roues cylindriques à denture hélicoïdale, nous avons montré que si le module est différent
d’une transmission simple à une autre, il s’écrit alors sous forme d’une fraction.
La deuxième contribution consiste à automatiser la méthode de calcul du nombre de
dents des roues cylindriques à denture droite ayant le même module comme nous avons établi
un programme pour le calcul des caractéristiques techniques d’une boite de vitesse d’une
machine-outil mise à l’étude.
Ainsi avec ce travail nous pouvons prétendre avoir contribué à l’amélioration des
transmissions mécaniques à engrenages où le plus apporté réside essentiellement dans la
précision d’obtention du rapport de transmission et des méthodes de calculs du nombre de
dents des roues qui doivent le réaliser, car les engrenages qui doivent avoir un fonctionnement
particulièrement doux exigent une bonne précision de forme et une parfaite régularité de
division parce que ces écarts affectent surtout la douceur de rotation.
Les engrenages susceptibles de fonctionner dans les deux sens de rotation seront montés de
sorte que le jeu avec la roue conjuguée soit le plus faible possible, pour éviter des chocs
violents à l’inversion du sens de rotation. Il sera donc capital ici que des tolérances étroites sur
l’épaisseur des dents soient respectées.
PERSPECTIVES
Comme perspectives de ce travail :
Automatisation du calcul du nombre de dents dans une transmission composée dans les
cas suivants :
- transmission par roues cylindriques à denture droite avec module différent d’une
transmission simple à une autre.
- transmission par roues cylindriques à denture hélicoïdale ayant le même module.
- transmission par roues cylindriques à denture hélicoïdales avec module différent.
Automatisation du calcul des rapports de démultiplication dans la transmission
composée (cas des boites de vitesses et des boites d’avances).
BIBLIOGRAPHIE
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tridimensionnelle : application au contrôle des engrenages par calibre virtuel). 2004
مـلـخـص
العشيقات مـستـعمـلـة بـكـثـرة فـي نـقـل الحرآة فـي مـيـدان الـصنـاعـة الـميـكـانيـكـيـة مـن عمـود إلـى آخــر .و بـالتـصـاعـد نـحـصـل عـلـيهـم بـالنـحـت عـلى أآلت صنـاعـيـة خــاصــة إمـا بـالـنـسـخ أ الـصنـاعيــة حـيـث أن نـقـل الـحـرآــة بـيـن تتـمـثـل عـلـبـة الـسـرعـات و التـقـدم جــزء هــام فـي الماآينا
إن الـدقــة فـي نـقـل الـحرآـة تـرتبـط بـعـدة عــوامـل . مـختـلـف األعمـدة يـمـكـن أن تــكـون بـسـيـطـة أو مـرآـبـة ـيـة هــو نـسـبـة الـدوران و الـطــرق المـتبـعة لـحســاب عــدد أسنــان الـعـجالت الـمسنـنـة الـتـي تـؤلـف هـذا أآـثـرهـا أهم
.اإلنتقــال فـي الـحـرآـة و الـتي يـجـب أن تـحـقق الـنسبـة الـمـطلوبــة لــم تـأخــذ بـعـين االعتبار ســوى هـذا مـا شكـل مـوضــوع الـقـلـيل مـن الـبحـوث لـكـن الــطـرق الـمقتـرحـة
و . اإلنتـقـال بــواسـطـة الـعـجالت الـمـستـقـيمـة و حـيـث يـكون الـمقـيـاس مـتـسـاوي فـي جمـيـع الـسلـسلـة الـحرآـيـة ـات الـمـستـقـيمـة و لـكـي نـرفـع مـن نـسـبـة تـطبيــق هـذه الـطريقــة تـطرقنـا إلى الـعجالت األسطـوانـيـة ذات الـتسنـيـن
.الـحـلزونيـة و حـيـث نـعتـبـر المـقـياس مـتغـيـر مـن إنتـقـال بـسيـــط إلـى آخــر و مـن أجــل تــسـهـيـل الـتطـبـيـق و تـجـنـب األخــطـاء تـم وضــع بـرنـامـجيـن رقمـيـيـن حــيـث أن األول
ان الـعـجــالت فــي حــالـة نـقـل الـحـرآــة بـالتـجمـع و اآلخــر يـمكـنـنـا يـعـطـي حـسـاب ســريـع و دقـيـق لـعـدد أسنــو بـهـذا الـعمـل نـظـن . مــن حــســاب الـمـمـيـزات الـتـقنـيـة لـعـلـبة الـسرعــات لآللــة الـصنـاعـيـة الـمـراد دراستـهـا
لــتـعـشـيـقـات أنـنـا سـاهمنـا فـي تـحسـيـن نـقـل الـحرآـة بـواسـطـة ا Abstract:
The gears are largely used in the mechanical engineering industry like transmission resource of power of a shaft towards another. They are obtained by cutting on special machine tool either by reproduction or by generation.
In the machine tools gear box speed and advance represents a significant mechanical system in which the transmissions between the various shaft can be simple or composite. The precision of the transmission depends on several factors among which most significant is the ratio speeds and the methods of determination of the number of the teeth of the wheels composing this transmission and wich must carry out this ratio. This was the subject of few studies of research and the methods suggested practically considered only the transmissions by cylindrical wheels with right teeth and where the wheels of all the kinematic chain have the same module.
In order to increase the field of application we widened these method S with the transmissions by cylindrical with right teeth and helicoid wheels and where one considers the variable module of a simple transmission to another. And to facilitate the use and to avoid the errors calculation we worked out two data-processing programs of which one allows a calculation fast and precise numbers of teeth of the wheels in a composite transmission and the other bench calculation of the design features of one gear box speeds of machine tool. Thus with this work we think of having contributed to the improvement of the mechanical drives by gears.
RESUME :
Les engrenages sont largement utilisés dans l’industrie mécanique comme moyen de
transmission de puissance d’un arbre vers un autre. Ils sont obtenus par taillage sur des
machine-outils spéciales soit par reproduction soit par génération.
Dans les machines-outils les boites de vitesses et d'avances représentent un important
système mécanique dans lequel les transmissions entre les différents arbres peuvent être
simples ou composées. La précision de la transmission dépend de plusieurs facteurs parmi
lesquels le plus important est le rapport des vitesses et les méthodes de détermination du
nombre des dents des roues composant cette transmission et qui doivent réaliser ce rapport.
Ceci a fait l’objet de peu d’études de recherche et les méthodes proposées n’ont pratiquement
considéré que les transmissions par roues cylindriques à denture droite et où les roues de toute
la chaîne cinématique ont le même module.
Afin d’augmenter le champ d’application nous avons élargi ces méthodes aux
transmissions par roues cylindriques à denture droite et hélicoïdales et où l'on considère le
module variable d’une transmission simple à une autre.
Et pour faciliter l’application et éviter les erreurs de calculs nous avons élaboré deux
programmes informatiques dont l’un permet un calcul rapide et précis des nombres de dents
des roues dans une transmission en groupe et l’autre établi le calcul des caractéristiques
techniques d'une boite de vitesses de machine-outil mise à l’étude. Ainsi avec ce travail nous
pensons avoir contribué à l’amélioration des transmissions mécaniques par engrenages.
Mots clés : boite de vitesse - transmission en groupe – engrenage – rapport de
transmission - automatisation.