corrección examen final, cálculo iii, 25 de junio de 2012

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Examen Final de Calculo III 1, 2, 3, 4 25 de junio de 2012

Tabla de Respuestas

1.- (35 puntos) Determinar el valor de y(2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial{x2y′′ − xy′ + y = x2,y(1) = 3, y′(1) = 4.

Observar que y = x es una solucion no nula de la ecuacion lineal homogenea asociada a la ecuacion diferencial

del problema.

Respuesta:Resolvemos primero la ecuacion lineal homogenea

x2y′ − xy′ + y = 0,

buscamos una solucion linealmente de la forma y = c(x)x, derivamos y′ = c′x + c, y′′ = c′′x + 2c′,remplazamos en la ecuacion:

x2(c′′x+ 2c′)− x(c′x+ c) + cy = 0⇒ c′′x3 + c′x2 = 0⇒ c′′ = − 1

xc′ ⇒ c′ =

1

x⇒ c = lnx.

Por consiguiente SF = {x, x ln} de la ecuacion lineal homogenea asociada. Buscamos una solucionparticular, por tanteo, planteando y = αx2, lo que da:

2αx2 − 2αx2 + αx2 = x2 ⇒ α = 1.

La solucion particular encontrada es y = x2 y la solucion general de la ecuacion diferencial asociada alproblema es

y = c1x+ c2x lnx+ x2.

Hallamos los valores de c1 y c2 remplazando las condiciones iniciales en la solucion general:

y(1) = c1 + 1 = 3⇒ c1 = 2, y′(1) = 2 + c2 + 2 = 4⇒ c2 = 0.

La solucion del problema a valor inicial es y = 2x+ x2 y y(2) = 4 + 4 = 8 .

2.- (35 puntos) Determinar el valor de y(ln 3), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial x = −5x+ 9y + 1,y = −4x+ 7y + 1,x(0) = 3, y(0) = 5

3 .

Respuesta:Derivamos la segunda ecuacion y remplazamos la primera ecuacion en la ecuacion derivada:

y = −4x+ 7y, y = 20x− 36y − 4 + 7y.

Despejamos x de la segunda ecuacion del sistema 4x = −y+7y+1 y remplazamos en la ultima ecuacionobtenida.

y = −5y + 35y + 5− 36y − 4 + 7y ⇒ y − 2y + y = 1,

Resolvemos, la ecuacion diferencial, calculando el polinomio caracterıstico y hallando una solucionparticular por tanteo, lo que da:

y = c1et + c2te

t + 1,

Hallamos las condicione iniciales para y, y(0) = 53 , y(0) = −12+ 35

3 +1 = 23 , remplazamos en la solucion

general, para hallar los valores de las constantes c1 y c2:

y(0) = c1 + 1 =5

3⇒ c1 =

2

3, y(0) =

2

3+ c2 =

2

3⇒ c2 = 0.

La solucion del problema a valor inicial es y = 23e

t + 1, de donde y(ln 3) = 2 + 1 = 3 .

3.- (30 puntos) Hallar la solucion general de la ecuacion

(2x− 2y) dx+ (y − 1) dy = 0.

Respuesta: Verificamos si la ecuacion admite primitiva o no:

∂(2x− 2y)

∂y= −2,

∂(y − 1)

∂x= 0.

Esta ecuacion no admite primitiva, la convertimos en una ecuacion diferencial ordinaria

y′ = 2y − xy − 1

,

planteamos v = y − 1, u = x − 1, obtemos la ecuacion diferencial con v como funcion incognita y uvariable independiente:

v′ = 2v − uv

= 2− 2u

v,

ecuacion de tipo homogeneo, planteamos z = v/u, lo que da

uz′ + z = 2− 21

z⇒ uz′ = −z

−2z + 2

z⇒ z

(z + 1)2 + 1z′ = − 1

u⇒ (z + 1)− 1

(z + 1)2 + 1z′ = − 1

u,

integrando obtenemos

1

2ln((z + 1)2 + 1)− arctan(z) = − lnu+ c⇒ ln(

(v + u)2 + u2

u2− 2 arctan(

v

u) = c− 2 lnu,

Simplificando, obtenemos

ln((v + u)2 + u2)− 2 arctan(v

u) = c,

y por ultimo, la solucion general es

ln((y − x)2 + (x− 1)2)− 2 arctan(y − 1

x− 1) = c.

2

Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Examen Final de Calculo III 1 25 de junio de 2012

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-



del problema.

Respuesta:

a) y(2) = 8, b) y(2) = 4, c) y(2) = 0,d) y(2) = 23

3 , e) y(2) = 1, f) y(2) = −2,g) Ninguna de las anteriores.


3 .

Respuesta:

a) y(ln 3) = 8, b) y(ln 3) = 6− 3 ln 3, c) y(ln 3) = 3,d) y(ln 3) = 4, e) y(ln 3) = 3 + 2 ln 3, f) y(ln 3) = 0,g) Ninguna de las anteriores.


(2x− 2y) dx+ (y − 1) dy = 0.

Respuesta:

a) xyex − ex = c, b) y = x2/(c− x), c) y = c+ ln(x+ c,d) x = y tan(ln(cy)), e) ln((y − x)2 + (x− 1)2) + 2 arctan(y−x

x−1 ) = c, f) xy(x+ y)2 = c,

g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-



del problema.

Respuesta:

a) y(2) = 233 , b) y(2) = 1, c) y(2) = −2,

d) y(2) = 8, e) y(2) = 4, f) y(2) = 0,g) Ninguna de las anteriores.


3 .

Respuesta:

a) y(ln 3) = 4, b) y(ln 3) = 3 + 2 ln 3, c) y(ln 3) = 0,d) y(ln 3) = 8, e) y(ln 3) = 6− 3 ln 3, f) y(ln 3) = 3,g) Ninguna de las anteriores.


(2x− 2y) dx+ (y − 1) dy = 0.

Respuesta:

a) x = y tan(ln(cy)), b) ln((y − x)2 + (x− 1)2) + 2 arctan(y−xx−1 ) = c, c) xy(x+ y)2 = c,

d) xyex − ex = c, e) y = x2/(c− x), f) y = c+ ln(x+ c,g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-



del problema.

Respuesta:

a) y(2) = 1, b) y(2) = −2, c) y(2) = 8,d) y(2) = 4, e) y(2) = 0, f) y(2) = 23

3 ,g) Ninguna de las anteriores.


3 .

Respuesta:

a) y(ln 3) = 3 + 2 ln 3, b) y(ln 3) = 0, c) y(ln 3) = 8,d) y(ln 3) = 6− 3 ln 3, e) y(ln 3) = 3, f) y(ln 3) = 4,g) Ninguna de las anteriores.


(2x− 2y) dx+ (y − 1) dy = 0.

Respuesta:

a) ln((y − x)2 + (x− 1)2) + 2 arctan(y−xx−1 ) = c, b) xy(x+ y)2 = c, c) xyex − ex = c,

d) y = x2/(c− x), e) y = c+ ln(x+ c, f) x = y tan(ln(cy)),g) Ninguna de las anteriores.












Tabla de Respuestas

1.-

2.-

3.-



del problema.

Respuesta:

a) y(2) = 0, b) y(2) = 233 , c) y(2) = 1,

d) y(2) = −2, e) y(2) = 8, f) y(2) = 4,g) Ninguna de las anteriores.


3 .

Respuesta:

a) y(ln 3) = 3, b) y(ln 3) = 4, c) y(ln 3) = 3 + 2 ln 3,d) y(ln 3) = 0, e) y(ln 3) = 8, f) y(ln 3) = 6− 3 ln 3,g) Ninguna de las anteriores.


(2x− 2y) dx+ (y − 1) dy = 0.

Respuesta:

a) y = c+ ln(x+ c, b) x = y tan(ln(cy)), c) ln((y − x)2 + (x− 1)2) + 2 arctan(y−xx−1 ) = c,

d) xy(x+ y)2 = c, e) xyex − ex = c, f) y = x2/(c− x),g) Ninguna de las anteriores.

corrección examen final, cálculo iii, 25 de junio de 2012

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