corso di matematica discreta i anno gabriella muratore
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Corso di Matematica DiscretaI Anno
Gabriella Muratore
Programma
1. Insiemi e Funzioni
2. Equivalenze ed ordinamenti
3. Numeri interi
4. Calcolo Combinatorio
5. Introduzione ai Grafi
Introduzione
Connettivi logici E (AND) congiunzione O (OR) disgiunzione NON (NOT) negazione
Connettivo condizionale Se ….. Allora…. P D ( connettivo implicazione)
Se è vera P e se è vera P D allora è vera DLa proposizione P D è falsa solo se P è vera e D è
falsa
P ipotesi - D tesi
Notazione
N = Insieme dei numeri interi naturali 1,2,3,… (con o
senza zero, 0) (N+, N0. = Insieme dei numeri interi relativi (compreso lo zero)
…-3,-2,-1,0,1,2,3 …. Z+, Z-.
Q = Insieme dei numeri razionali …3/4, 2/3 … R o = Insieme dei numeri reali.
C= Insieme dei numeri complessi
E’ N Z Q R C
IntroduzioneDimostrazione per assurdo: P (ipotesi)D (tesi)Assumere vera l’iposi e falsa la tesi. Se il ragionamento logico deduttivo ci porta ad una
contraddizione abbiamo dimostrato che P (ipotesi)D (tesi).Doppia Implicazione (se e solamente se)P D equiv (PD ) E (D P) P è condizione necessaria e sufficiente perché accada D. PD : P è sufficiente perché accada D e D P : P è condizione necessaria perché accada DP D è vera se e solamente se P e D sono entrambe
vere o entrambe false
Introduzione
Quantificatori (esiste) quantificatore esistenziale (per tutti- per ogni) quantificatore universale
Connettori / oppure : tale che x / P(x) significa
“esiste almeno un x tale che il predicato P è vero”
x P(x) significa “ per tutti gli x il predicato P è vero”
Esempi: x / x2 1 (è vera) mentre x x2 1 (è falsa)
x x2 0 (è vera) mentre x / x2< 0 (è falsa)
Introduzione
Importanza dell’ ordine dei quantificatori.
Esempio
Supponiamo che L(x,y) significhi: la persona x è
in grado di svolgere il lavoro y y x / L(x,y) significa: “qualunque sia il
lavoro, esiste una persona in grado di svolgerlo“
x y / L(x,y) significa: “ esiste una persona che è in grado di svolgere qualunque lavoro“
Introduzione
Negazione e quantificatori
non ( x P(x)) x / ( non P(x))
non ( x / P(x)) x ( non P(x))
Uguaglianza x=y
L’uguaglianza è una relazione (predicato tra due
variabili) che esprime il fatto che x e y sono
intercambiabili a tutti gli effetti.
Introduzione
Uguaglianza
Se R è un qualunque predicato in una variabile allora è
vero che:
x y / x=y (R(x) R(y) )
Proprietà dell’Uguaglianza
x x=x (proprietà riflessiva)
x y x = y y = x (proprietà simmetrica)
x y z (x=y) e (y=z) x=z (proprietà transitiva)
Insiemi
Assumiamo il concetto di insieme come
“nozione primitiva”.
Es. Insieme degli alunni di questa classe; insieme dei numeri interi; insieme delle rette del piano; ecc.
Sinonimi: aggregato, classe, famiglia, …
Insiemi
L’espressione x T si legge: “ x appartiene all’insieme T” o “ x è un elemento di T”
Scriveremo invece x T per negare l’espressione
precedente cioè per affermare che x non appartiene a (o
non è un elemento di) T.
L’intuizione ci suggerisce di considerare uguali due
insiemi che abbiano gli stessi elementi. In simboli:
( x x A x B ) A=B
Insiemi
Il significato che abbiamo dato al segno di uguaglianza ci assicura che due insiemi aventi gli stessi elementi devono avere il medesimo ruolo in tutte le enunciazioni che fanno parte della nostra teoria. Per indicare un insieme basterà (quando è possibile) elencarne gli elementi; converremo di elencarli entro parentesi graffe. Ad esempio 2,5,6 indica l’insieme i cui elementi sono appunto i numeri 2,5 e 6. La notazione a indica l’insieme costituito dal solo elemento a ; mentre con il simbolo indicheremo uno speciale insieme, detto insieme vuoto, che non contiene alcun elemento.
InsiemiRelazione di Inclusione
Se ogni elemento di un insieme A è un elemento
dell’insieme B, cioè: x: xA x B, allora diciamo
che A è contenuto in B, oppure A è una parte o un
sottoinsieme di B, e scriviamo A B.
A B
Notiamo che la relazione A B è verificata nel caso in cui A=B. Peresprimere il fatto che A B ma èAB, cioè esistono elementi di B che non sono elementi di A, si scrive A B. Si dice in questo caso
che A è sottoinsieme proprio di B, ovvero A è propriamente contenutoin B
Costruzioni InsiemisticheProcedimenti che, partendo da insiemi assegnati, ci
forniscono nuovi insiemi.
Supponiamo che T sia un insieme e che P(x) sia una
proprietà che ha senso per gli elementi di T. Scriviamo
allora x: (xT) e P(x) per indicare il sottoinsieme di T
formato dagli elementi per cui P(x) è vera.
Es. x: (xR) e (sin x=0) rappresenta l’insieme dei
multipli interi di .
Operazioni insiemistiche
Unione
L’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da
quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due
insiemi A,B. Esso viene indicato con A B.
In simboli A B = x: (xA) o (xB) .def
A
BEs. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8
A B=C= 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Operazioni insiemistiche
Intersezione
L’intersezione di due insiemi A e B è l’insieme formato
dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Esso si
indica con il simbolo A B. In simboli
A B = x: (xA) e (xB) .def
A
B Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8A B=C= 3,5
Può accadere che i due insiemi siano disgiunti (cioè non abbiano alcun elemento in comune. Allora si scrive A B=
A B
Operazioni insiemistiche
Differenza
La differenza di B da A, che si indica con A\B oppure
con A-B, è l’insieme degli elementi di A che non
appartengono a B. In simboli A-B= x: (xA) e (xB).def
A
B Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8A - B=C= 1,7,9
Operazioni insiemistiche
Differenza simmetrica
La differenza simmetrica A e B, che si indica col simbolo
AB, è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono
a uno solo degli insiemi A e B, cioè dagli elementi di A che
non appartengono a B e dagli elementi di B che non
appartengono ad A. In simboli
A B=(A-B) (B-A)def
A
B
Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8A B=C= 1,2,4,6,7,8,9
Insieme delle parti
Dato un insieme T, ammettiamo di poter considerare un insieme i cui elementi sono tutte le parti o sottoinsiemi di T; questo insieme sarà detto Insieme delle parti di T e si indicherà con il simbolo P(T). Ad esempio, se è
T=a,b,c si ha P(T)= , a, b, c, a,b, a,c, b,c, a,b,c.
Le operazioni e , nell’insieme P(T), hanno proprietà formali molto interessanti.
Proprietà formali di e
1. A A = A Proprietà di Idempotenza A A = A
2. AB = BA Proprietà Commutativa AB = BA
3. (AB) C= Proprietà Associativa (A B) C=
=A (B C) =A (B C)
4. A (B C)= Proprietà Distributiva A (B C)=
=(A B) (A C) =(A B) (A C)
5. A(A B)=A Proprietà di Assorbimento A(AB)=A
Operazioni insiemistiche
Complementare
Se A P(T), chiamiamo complementare di A rispetto a T
l’insieme di tutti gli elementi di T che non appartengono
ad A. In simboli A= T-A.
Valgono le seguenti proprietà.
6. (A) =A
7. (A B)= A B8. (A B) =A B
def
Algebra di Boole
Si dice Algebra di Boole la struttura che si ottiene assegnando in un insieme (nel nostro caso P(T)) tre operazioni: , , (unione, intersezione e complemento)aventi le proprietà 1-8 precedentemente definite.Notiamo che le proprietà 1-8 valgono anche per la logica delle proposizioni, pur di sostituire il simbolo con il connettivo logico “o”, il simbolo con il connettivo logico “e”, il simbolo con il connettivo logico “non” ed Infine il simbolo = con il connettivo logico di doppia implicazione
Famiglie Infinite di Insiemi
Le operazioni di unione ed intersezione si possono estendere al
caso di famiglie infinite di insiemi. Sia F una famiglia qualunque
di insiemi. Si indica con l’insieme costituito dagli elementi
che appartengono a qualcuno degli insiemi XF. Questo insieme
viene detto insieme unione della famiglia F. In simboli:
= x: ( X / X F e x X). Similmente si indica
con l’insieme costituito dagli elementi che appartengono a
ciascuno degli insiemi XF. Questo insieme viene detto insieme
intersezione della famiglia F. In simboli:
= x: ( X / X F x X).
FX
X
FX
X
FX
X
FX
X
ConsiderazioniSia T un insieme e sia P(x) un predicato che abbia senso in T.
Possiamo interpretare P(x) come un’equazione posta in T.
L’insieme P=x: (xT) e P(x) è evidentemente l’insieme delle
soluzioni di P(x) in T. Sia ora Q(x) un secondo predicato e sia
Q=x: (xT) e Q(x). Se per ogni xT è vero P(x) Q(x) allora
si ha PQ.
Se invece, per ogni xT è vero P(x) Q(x) si ha P=Q.
Es. Sia T=R (retta reale).Supponiamo che P(x) significhi =2x
e che Q(x) significhi x2+1=4 x2. Allora per ogni x R è vero
P(x) Q(x). Si ha quindi PQ. E’ poi Q= ; - ma
poiché - non verifica P(x) si ha P=
3
13
1
12 x
3
1
3
1
Insieme prodotto
Assumiamo come nozione primitiva la nozione di coppia
ordinata. Per aiutare l’intuizione possiamo pensare a due caselle
(la prima e la seconda casella) e di inserire in esse,rispettivamente,
due elementi, non necessariamente distinti, x e y. Per indicare la
coppia così ottenuta useremo la notazione (x,y). E’ importante
notare come la coppia (x,y) sia cosa ben diversa dall’ insieme x,y
costituito dagli elementi x e y. Infatti si ha x,y = y,x
(per gli insiemi non ha rilevanza l’ordine con cui sono elencati gli
elementi), mentre per le coppie si ha:
(x,y)=(x,y) x= x e y= y.
Insieme prodottoInsieme Prodotto. Def.
Siano dati due insiemi A e B. Diremo insieme prodotto di A per B,
e lo indicheremo con A B, l’insieme di tutte le coppie ordinate
(x,y) con x A e y B. In simboli:A B = (x,y) / x A e y B.
Notiamo che non abbiamo richiesto ai due insiemi A e B di essere
diversi. Un ben noto esempio di prodotto è , dove indica
la retta reale. La geometria analitica ci insegna a rappresentare il
piano mediante l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri
reali, cioè mediante .
def
O x
y (x,y)Perciò l’insieme , che comunemente viene scritto come2, viene detto anche piano (numerico).
Insieme prodotto
Dati, in un certo ordine, tre insiemi A, B, C, si chiama loro prodotto, e si indica con A B C, l’insieme di tutte le terne ordinate (x,y,z) con x A, y B, zC. La definizione si estende in modo ovvio al caso di un
numero finito qualsiasi di spazi, A1, A2,… An. Ad esempio si indica con n l’insieme di tutte le n-uple
ordinate (x1, x2… xn) di numeri reali. Il prodotto di più insiemi può essere introdotto, peraltro, utilizzando solo la nozione di prodotto di due insiemi. E’ facile vedere infatti che A B C si può introdurre indifferentemente come (A B) C oppure come A (B C).
RelazioniCon il termine relazione indichiamo un predicato in 2 variabili.
Sia ora R(x,y) una relazione che abbia senso nella teoria degli insiemi. Possiamo allora considerare l’insieme (x,y): (x,y) A B e R(x,y) , cioè il sottoinsieme di A B costituito da tutte le coppie per cui la relazione è verificata. Esso viene detto grafico della relazione. Dato un sottoinsieme G di A B risulta individuata immediatamente una relazione di cui essa è il grafico: (x,y) G. Nella teoria degli insiemi, spesso, il termine “relazione” viene usato nel significato di grafico. Anche noi utilizzeremo spesso lo stesso simbolo per indicare una relazione ed il suo grafico: scriveremo perciò indifferentemente R(x,y) oppure (x,y) R.
RelazioniEsempi.a) In N N=N2 si consideri la relazione R(m,n) che significa m
è divisore di n. Il grafico di questa relazione è:
b) In R2 si consideri la relazione x2+y21. Il suo grafico è rappresentato dal cerchio con centro nell’origine degli assi e raggio 1.
n
m
1
1 2 3
2
3
4
Funzioni (o applicazioni)Definizione di Funzione (o applicazione)
Una relazione f definita in A B si dice applicazione o
funzione di A in B se per ogni x A esiste uno ed un solo
y B tale che (x,y) f .
A B
x y
f
Possiamo interpretare intuitivamente la nozione introdotta pensando che f “porti” i punti di A in punti di B.L’insieme A viene chiamato dominio di f, l’insieme B codominio di f
Funzioni (o applicazioni)I termini “funzione” e “applicazione” sono equivalenti:
tuttavia il termine “funzione” è più tradizionale e lo si
impiega di preferenza quando dominio o codominio sono
insiemi di numeri reali o complessi. L’espressione
f: AB scritta anche come AB
mette in evidenza il dominio e il codominio di f.
Per ogni x A l’unico elemento y B tale che (x,y) f si
indica con f(x) e si dice valore assunto dalla funzione f in x.
f
Ax
B
yy=f(x)
Funzioni (o applicazioni)
Partendo dall’espressione di f(x), la notazione completa che
rappresenta l’applicazione f è la seguente:
xf (x): A B . In questa espressione la lettera x è “muta” e
può essere sostituita con un’altra lettera qualsiasi. Spesso, però,
questa notazione (che è evidentemente ingombrante) può venire
più o meno abbreviata, se non vi sono equivoci. Spesso la funzione
si indica semplicemente con un’ espressione f(x), dove appunto è
sottointeso che la lettera x ha il ruolo di “variabile indipendente”.
Ad esempio si potrà parlare della funzione x2+1 in luogo di
x x2+1 : .
Funzioni (o applicazioni)
In certi casi si usa indicare il valore di un’applicazione scrivendo
la variabile indipendente come indice: fx anziché f(x). Ad esempio
se il dominio dell’applicazione è l’insieme N degli interi naturali,
l’applicazione viene detta successione; i valori di una successione
a (ma più frequentemente si parla dei termini della successione)
sono indicati con la notazione: a0, a1,… an,…
Le nozioni di funzione di variabile reale e di successione, che nei
testi matematici più recenti sono comprese nella nozione generale
di applicazione, venivano un tempo considerate come diverse: ciò
spiega la difformità di notazione, che è rimasta.
Funzioni (o applicazioni)
Esempi
a) Dato un qualunque insieme A, l‘ applicazione xx : A A si dice applicazione Identica di A e si indica con IA.
b) Dato l’insieme A ed un suo sottoinsieme B, l’applicazione
xx : B A si dice applicazione di Inclusione di B in A.
c) Siano A e B insiemi qualunque; l’applicazione
(x,y)x : A B A si dice proiezione canonica su A.
Similmente l’applicazione (x,y)y : A B B si dice
proiezione canonica su B.
Funzioni (o applicazioni)
Data un’applicazione f:AB e dato un sottoinsieme X di A si dice immagine di X il sottoinsieme di B costituito dagli elementi che provengono da qualche elemento di X. Questo sottoinsieme viene indicato con f(X). Pertanto:f(X)=y: y B e ( x X / f(x)=y. Si potrà anche scrivere, più brevemente: f(X)= f(x): x X . L’insieme f(A) si dirà immagine dell’applicazione f.
Applicazione CostanteUn applicazione f: AB si dice costante se la sua
Immagine consta di un unico elemento (cioè x1 A,
x2 A si ha f(x1)= f(x2).
def
Funzioni (o applicazioni)
Definizione di Applicazione Surgettiva
Un’ applicazione f:AB si dice Surgettiva se è f(A)=B
cioè se l’immagine di f coincide con B.
Se f:AB è surgettiva si usa dire che f è un’applicazione
di A su B.
Esempi
L’applicazione identica in un qualunque insieme; le
proiezioni canoniche del prodotto
Funzioni (o applicazioni)
Definizione di Applicazione Iniettiva
Un’ applicazione f:AB si dice Iniettiva se porta punti
distinti in punti distinti. In altre parole:
f è iniettiva ( x1 A, x2 A : f(x1)= f(x2) x1= x2)
Esempi
L’applicazione identica in un qualunque insieme,
l’applicazione di inclusione di un sottoinsieme in un
insieme
def
Funzioni (o applicazioni)
Definizione di Applicazione Biiettiva
Un’ applicazione f:AB si dice Biiettiva se è sia
iniettiva sia surgettiva.
Esempi.
L’applicazione identica in un insieme qualsiasi è biiettiva
L’applicazione xax+b: R R è biiettiva se è a 0.
Quando invece a =0 abbiamo un’applicazione costante
che non è iniettiva né surgettiva.
Funzioni (o applicazioni)
Molte volte non è necessario specificare il dominio ed il codominio di un’ applicazione, essendo sufficiente conoscere un’espressione che la definisce. Certe volte, però, la precisazione del dominio e del codominio è essenziale: per esempio, ovviamente, quando ci si chiede se un’applicazione è iniettiva e/o surgettiva. Ad esempio (indicando con R+ l’insieme dei numeri reali non negativi, ) l’applicazione xx2: R R non è iniettiva né surgettiva, l’applicazione xx2: R R+ è surgettiva ma non iniettiva, l’applicazione xx2: R+ R è iniettiva ma non surgettiva ed infine l’applicazione xx2: R+ R+ è sia iniettiva sia surgettiva cioè è una biiezione.
Funzioni (o applicazioni)
Spesso è comodo rappresentare gli insiemi come
immagini di opportune applicazioni. Ad esempio
l’insieme degli interi naturali pari si potrà indicare con
P= 2n : nN cioè P=g(N) dove g: NN n 2n. Sia
ora F una famiglia di insiemi, J un insieme e supponiamo
che esista un’applicazione j Xj : J F surgettiva.
Allora si possono impiegare le seguenti notazioni per
indicare l’insieme unione e l’insieme intersezione di F:
oppure ; oppure FX
X
Jj
jX
FX
X
Jj
jX
Funzioni (o applicazioni)Definizione di Applicazione Composta
Date due applicazioni f:AB e g:B’C con B B’ si dice
Applicazione composta di f e g l’applicazione g f così definita:
g f= x g(f (x)) : A C.
Nel simbolo g f (equivalentemente g(f (x))
si scrive a destra l’applicazione che viene eseguita per prima.
def
A
B C x
f(x)g(f(x))
fg
Funzioni (o applicazioni)
Esempio:
L’applicazione x : R R si può considerare
come composta con l’applicazione xx2+1 : R R+
e l’applicazione y: R+ R.
Se è f:AB si ha f IA=f e IB f=f dove IA e IB sono le
applicazioni identiche di A e di B rispettivamente.
12 x
y
Funzioni (o applicazioni)
La composizione di applicazioni gode della proprietà
associativa: se f e g sono componibili e se g e h sono
componibili si ha h (g f )= (h g) f . Basta infatti
notare che si ha (h (g f ))(x)=(h(g( f (x)))=((h g) f) (x)
Se f è un’applicazione di un insieme A in sé si possono
considerare le iterate di f, cioè le applicazioni f f ,
f f f, ecc. Si possono anche indicare con i simboli f2, f3,
ecc.
Funzioni (o applicazioni)
Definizione di Applicazione Inversa
Data un’applicazione f:AB si chiama inversa della f
un’ applicazione g:BA tale che g f = IA e f g= IB.
Non sempre un’applicazione è invertibile cioè esiste la
sua inversa
Per esempio l’applicazione costante non è ovviamente
invertibile. Daremo adesso una caratterizzazione delle
applicazioni invertibili.
Funzioni (o applicazioni)Teorema Sia f un’applicazione f:AB . Allora f è invertibile se e solamente se f è biiettiva.Dim. Supponiamo che f ammetta inversa, g. Dimostriamo che f è surgettiva. Infatti y B si ha f(g(y))=y. Dunque esiste un elemento di A, x=g(y) tale che f(x)=y.
Dimostriamo che f è iniettiva. Sia quindi f(x1)= f(x2)=y. Allora è
x1= g(f(x1))= g(y) e x2= g(f(x2))= g(y). Dunque x1= x2. Supponiamo adesso che f sia biiettiva. Essendo f surgettiva y B esiste qualche x tale che f(x)=y. Ma essendo f anche iniettiva questo x è unico. Quindi è ben individuata un’applicazione g:BA che fa corrispondere a y l’unico
Funzioni (o applicazioni)
elemento x A tale che f(x)=y. Dunque per ogni y B è
f(g(y))=y cioè f g= IB. Inoltre per ogni x A è anche
g(f(x))=x cioè g f = IA. cvd.
Teorema
L’applicazione inversa di un’applicazione f:AB, se
esiste, è unica.
Dim.
Supponiamo dunque che g e g siano applicazioni BA
tali che g f = IA e f g= IB. e g f = IA e f g = IB..
Funzioni (o applicazioni)Per la proprietà associativa della composizione si ha:
(g f) g = g ( f g). Ma è g f = IA e f g= IB.
IA g = g IB. cioè g = g .cvd
L’applicazione inversa di f si indica con il simbolo f-1.
E’ evidente che (f -1)-1=f. Dunque se f è invertibile lo è
anche la sua inversa.
Dati due insiemi A e B, se esiste un’applicazione AB
invertibile, diciamo che A e B ( senza più necessità di
considerarli in ordine) si possono mettere in corrispondenza
biunivoca.
Funzioni (o applicazioni)
Definizione della restrizione di un’applicazione
Data un’applicazione f:AB e dato un sottoinsieme C di
A, si dice restrizione di f a C e si indica con f |C
l’applicazione x f (x) : C B.
In altre parole, indicando con j l’applicazione di
Inclusione, C A, si ha f |C = f jdef
Funzioni (o applicazioni)
Data un’applicazione f:AB, abbiamo già definito l’immagine
f(X) di un sottoinsieme X di A. L’applicazione X f(X) è
un’applicazione P(A) P(B) che, benché impropriamente, verrà
indicata con il medesimo simbolo f. Ovviamente è f()= .
Analogamente si potrà introdurre un’applicazione f-1: P(B) P(A)
ponendo, per ogni YB: f-1(Y)= x: xA e f (x) Y.
L’insieme f-1(Y) si dirà immagine inversa di Y. Osserviamo che
questa applicazione, denotata (anch’essa impropriamente f-1) esiste
anche quando f non è invertibile.
E’ evidente poi che, quando Y f(A) = è f-1(Y) = .
def
Funzioni (o applicazioni)
Teorema
Se f è un’applicazione f:AB e X e Y sono sottoinsiemi
di A, si ha:
1. f(XY)=f(X) f(Y)
2. f(XY) f(X) f(Y)
Dim.
1. Ricordiamo che f(X)=y: y B e ( x X / f(x)=y).
Allora f(XY)= y: y B e ( x X Y / f(x)=y)=
y: y B e ( x X / f(x)=y) y: y B e ( x Y / f(x)=y)=
=f(X) f(Y). cvd
Funzioni (o applicazioni)
2. w f(XY) z XY / f(z)=w.z X f(z)=w f(X)z Y f(z)=w f(Y). Quindi w f(X) f(Y) cioè f(XY) f(X) f(Y) . Cvd.Teorema (Esercizio)Sia f un’applicazione f:AB e siano X e Y sottoinsiemi di B. Si ha:• f -1(X Y)= f -1(X ) f –1(Y ) • f -1(X Y)= f -1(X ) f –1(Y ) • f -1(X)= (f -1(X)) dove X indica il complementare di X in B
e, analogamente, (f -1(X)) indica il complementare di f -1(X) in A
Funzioni (o applicazioni)
Dim:
1. f -1(X Y)= a: aA / f (a) X Y=
= a: aA / (f (a) X) o (f (a) Y)=
= a: aA / (f (a) X) a: aA / (f (a) Y) =
= f -1(X) f -1(Y). Cvd.
2. f -1(X Y)= a: aA / f (a) X Y=
= a: aA / (f (a) X) e (f (a) Y)=
= a: aA / (f (a) X) a: aA / (f (a) Y) =
= f -1(X ) f –1(Y ). Cvd
Funzioni (o applicazioni)
3. f -1(X)=a: aA / f (a) X= a: aA / f (a) X=
= a: aA e a f -1(X)=a: aA e a (f -1(X)) =
= (f -1(X)) . Cvd.
Cardinalità di un insieme
Preso un nN consideriamo l’insieme degli interi che
precedono n, cioè l’insieme In=0,1,2,…n-1.
Gli insiemi In si prestano bene come insiemi campione.
Definizione.
Si dice che un insieme X è finito se esiste un nN tale
che X si possa mettere in corrispondenza biunivoca con
In; in questo caso si dice che X ha numero cardinale n e si
scrive c(X)=n. Se non esiste alcun n per cui questo è
possibile, si dice che X è infinito.
Cardinalità di un insieme
La nozione di corrispondenza biunivoca sta alla base della nozione di numero: contare significa stabilire una corrispondenza biunivoca tra un insieme di oggetti ed un insieme “campione”. Risulta molto naturale la seguente Definizione Dati due insiemi, si dice che essi hanno lo stesso numero cardinale se essi possono essere posti in corrispondenza biunivoca.Per indicare che due insiemi X e Y hanno lo stesso numero cardinale scriveremo c(X)=c(Y). Questa relazione gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Principi di Somma, Prodotto e Quoziente
Il problema fondamentale che vogliamo affrontare è il
seguente: dati certi insiemi finiti (anzi: dati semplicemente
i loro numeri cardinali) calcolare il numero cardinale di
insiemi che si ottengono da essi mediante le operazioni
insiemistiche fondamentali.
Principio della Somma
Se X e Y sono insiemi finiti disgiunti si ha
c(XY)= c(X) + c(Y)
Principi di Somma, Prodotto e Quoziente
Principio del Prodotto.Se X e Y sono insiemi finiti, si ha: c(X Y)= c(X) *c(Y)Principio del Quoziente.Nell’insieme X, sia R una relazione di equivalenza tale che tutte le classi di equivalenza abbiano il medesimo numero cardinale r. Allora si ha c(X)=r*c(X/ R).Notiamo che i termini insieme prodotto ed insieme quoziente prendono nome proprio da questi principi.