corso di tecnica delle costruzioni ing. francesco porco...corso di fondamenti di tecnica delle...

DICATEChDipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, del Territorio, Edile e di ChimicaPolitecnico di Bari

28 maggio 2020

Corso di FONDAMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Ing. Francesco Porco

ESERCITAZIONE 3:

LA TRAVE – Parte 1

Progetto armature longitudinali

Politecnico di Bari

1) Analisi dei carichi unitari

2) Schema statico

3) Schema di carico

4) Sollecitazioni

5) Progetto delle armature (c.a.)

6) verifiche

PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALILA TRAVE

a) Armatura Longitudinaleb) Armatura Trasversale

Obiettivo

Esempio strutturale per illustrare il progetto di una trave in c.a.

Pianta architettonica del piano tipo

Pianta di tracciamento dei pilastri dalla 1^ alla 4^tesa

Carpenteria piano tipo

Per indicazioni dimensionali, il riferimento è il

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le

costruzioni § 7.4.6.1 Limitazioni Geometriche

Alcune regole di predimensionamento❑Trave a spessore portante: B=L/6 con L: luce da coprire.❑ In presenza di carichi verticali per il predimensionamento dell’altezza viene sovente utilizzate una formula che lega l’altezza H alla luce L della trave: H=1/10L, che per le usuali luci delle travi negli impalcati di edifici per civile abitazione conduce in genere altezze H di 50-60 cm.

ht

bt

bc

bt

ht

bt 20 cm

bt ht/2+bc+ht/2

bt 2bc

Trave emergente

Trave a spessore

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 7.4.6.1.1 – Limitazione geometriche: travi

bc : Altezza del pilastro ortogonale

all’asse della trave

bt : Larghezza della trave

ht : Altezza della trave

bt / ht 0.25

Telaio 1 – travata di bordo tra i picchetti 1-2-3-4-5

Telaio 1

(sezione

longitudinale)

TRAVATA 1-5

DI BORDO

323

309

309

309

309

309

309


2) Schema statico

3) Schema di carico

4) Sollecitazioni


6) verifiche

PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALILa TRAVE

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 2.5.3 - Combinazioni delle azioni

§ 2.6 – Azioni nelle verifiche agli Stati limite

Nel caso in esame, per gli S.L.U., la formula generale per la combinazione fondamentale da impiegare agli SLU diventa:

G2 = 1,3 carichi «ben» definiti (1 se il suo contributo aumenta la

sicurezza)

G1·G1 + G2·G2 + Q1·Qk1

Q1 = 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)

G1 = 1,3 (1 se il suo contributo aumenta la sicurezza)

Analisi dei carichi unitari: TAMPONATURE ESTERNE

14

Analisi dei carichi unitari: TRAMEZZI

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 3.1.3.1 – Elementi divisori interni

Per un altezza di 2.70m si ha: 1.48 kN/m2 x 2.70m =3.99 kN/m

Analisi dei carichi unitari: SOLAI

G1

G1

G2

G2

Q

Q

CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE: G1

4.85m

1.50m

G1 = peso proprio della trave (G1,trave) + peso proprio del solaio interno (G1,solaio)+ peso

proprio balcone (G1,balcone)

G1 = [2500 x 0.30 x 0.50] + [400 x 4.85/2] + [(400 x 1.5) + (2500 x 0.3 - 400) x 0.3]

=2050 kg/m = 2050 daN/m

Fascia pienacls

G1,traveG1,balcone

G1,solaio

CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE: G2

4.85m

1.50m

G2 = sovraccarico permanente della trave (G2,trave) + sovraccarico permanente del solaio

interno (G2,solaio)+ sovraccarico permanente balcone (G2,balcone) + peso della tamponatura

(G2,tamponatura)

G2 = [84 x 0.30 + (2 x 30 x 0.20)] + [354 x 4.85/2] + [(185 x 1.5) + (25 x 1.07)] + [390 x

(3.09-0.5-0.04)] =2194.40 kg/m = 2194.40 daN/m

spessore

massetto

Massetto in

daN/m2

G2,trave

G2,balcone

G2,solaio

G2,tamponatura

CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE: Q

4.85m

1.50m

Q = carico variabile del solaio interno (Qsolaio)+ carico variabile del balcone (Qbalcone)

Q = [200 x 4.85/2] + [400 x 1.5] = 1085 kg/m = 1085 daN/m

Qbalcone

Qsolaio


2) Schema statico

3) Schema di carico

4) Sollecitazioni


6) verifiche


Schema statico per il progetto del solaio

SCHEMA STATICO PER IL PROGETTO DELLA TRAVE

L’analisi delle sollecitazioni per le combinazioni di carico allo S.L.U. viene condotta con riferimento a 2 schemi statici.L’adozione di due schemi nasce dall’esigenza di considerare due situazioni limite relative al vincolo esercitato dal pilastro di bordo nel confronto delle travi

Schema statico con pilastri di estremità (“schema ad H”)

Schema particolarmente indicato ai piani bassi (pilastri di maggiore dimensione)

Schema statico a trave continua

Schema particolarmente indicato ai piani alti (per la presenza dei pilastri di dimensione minore per effetto della risega)


2) Schema statico

3) Schema di carico

4) Sollecitazioni


6) verifiche


M+max M+

max

M+max M+

max

M-max

M-max

M-max

Combinazioni di carico per schema ad H

M+max M+

max

M-max

M-max

M-max

M+max M+

max

Combinazioni di carico per schema a trave continua

Alcune considerazioni in presenza di simmetria (come nel caso in esame)

M+23 = M+

34

M-2 = M-

4

M+12 = M+

45

Asse

di

sim

me

tria

Incremento da normativa per la verifica delle armature longitudinali in presenza di sollecitazioni taglianti

Incremento momento in campata (da applicare se non si considerano i due schemi limite o se non si fanno tutti i caricamenti.......)

Asse d

i sim

metr

ia


2) Schema statico

3) Schema di carico

4) Sollecitazioni


6) verifiche


a) Armatura Longitudinaleb) Armatura Trasversale

Nota preliminare

A differenza del solaio, in una trave sono sempre presenti, sia superiormente che inferiormente un numero di barre (anche dette “reggi-staffe”) pari a quello dei bracci delle staffe che si impiegano.

Numero di bracci: 2

Numero di barre superiori: 2 (1 per spigolo)Numero di barre inferiori: 2 (1 per spigolo)

Trave alta

Trave a spessore

Numero di bracci: 4

Numero di barre superiori: 4Numero di barre inferiori: 4

Bracci

Bracci

32

Caratteristiche dei materiali

§ Tab. 4.1.I DM 17/01/2018Rck =40 N/mm2, fck =32 N/mm2

fcd = cc fck / c = 0.85· 32 /1.5 = 18.8 N/mm2

=1917036 daN/m2

Acciaio B450C

fyd= 450/1.15 = 391 N/mm2

yd = fyd/E = 391/2100000 = 0.186%

FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Sezione rettangolare a semplice armatura

PROGETTO CONDIZIONATO

= 0.416

k = 0.81

Progetto condizionatoNoti MSd , b e d

Dalla (2), con MRd=MSd si ricava x

Dalla (1) si ricava s (deve essere > yd)

Dalla (3) si ricava As

( )

( ) (3)416.01

(2)416.01

(1)

2

2

xr

xxk

x

-=

-=

+=

bdfM

bdfM

ydrd

cdrd

scu

cu

FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Sezione rettangolare a semplice armatura

PROGETTO CONDIZIONATO

34

bd

As=r

percentuale

geometrica di

armatura

cdbd f 0.1 0.10.51.02

M

= 20%

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

m =rd

d

= 0.10

B450C

= 391 N/mm 2fyd

x/d

rd

= 0

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.1

0.2

cdfbd1.00.5

fydA s=

= 0

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

= 20%

II

III

IV

b

M2

M2

= 40%

= 100%= 80%

= 60%

rd =mbd

rd =mbd

f

rd

cd

f

rd

cd

x/d = 20% = 0

0.2

0.1

0.10.2 0.15 0.05

0.15

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

= 60%

= 80%

= 100%

0.3

0.2

0.1

=s

f

A ydf

cdbd

=s

f

A ydf

cdbd

= 0

= 20%

= 40%

= 80% = 100%

= 60%

0.1 0.20.05 0.15

0.50.40.30.20.1

IIa

IIa'

= 100%

= 80%

= 60%

IIa

a'

b

= 40%

ssA' =

A s

A

d

x

0.5

x/d= 0 = 20%

0.4

0.6

= 0

= 20%

= 40%

III

IV

FLESSIONE RETTA PROGETTO CONDIZIONATO

As20.251Sd

Rd

cd

Mm

bd f= =

Come controllo dei calcoli fatti a “mano”...

mrd = Mrd (=Msd) / (b d2 fcd)

= (As fyd) / (bd fcd) As As, commerciale

FLESSIONE RETTA – Sezione rettangolare doppia armaturaPROGETTO CONDIZIONATO mediante l’uso di tabelle

Progetto condizionato: dati MSd b h Rck B450C

determinare x (quindi x) , As

B 300 mm h 500 mm

71 mm d 429 mm

Geometria

sezione

MSd 122500 N mMomento massimo in campata AB

(C32/40) Rck 40 N/mm2 fcd 18.8 N/mm2

(B450C) fyk 450 N/mm2 fyd 391.3 N/mm2

Materiali

Esempio: Progetto condizionato in corrispondenza della sezione più sollecitata della campata 1-2

1 2

ssA' =

A s

A

d

x

b

d = h - = 500-71 = 429mm

copriferro di calcolo COPRIFERRO

staffa

= 50+10+22/2 = 71mm

Camp. 1-2 MSd = 122500Nm; 20.251Sd

Rd

cd

Mm

bd f= =

2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.118; 0.1295; 8,00 cm2

App. 3 MSd = 152610Nm; 20.251Sd

Rd

cd

Mm

bd f= =

2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.147; 0.1619; 10.01 cm2

App.1 MSd = 105100Nm; 20.251Sd

Rd

cd

Mm

bd f= =


Camp. 2-3 MSd = 91800Nm; 20.251Sd

Rd

cd

Mm

bd f= =

2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.088; 0.0971; 6,00 cm2

App. 2 MSd = 168650Nm; 20.251Sd

Rd

cd

Mm

bd f= =


Uso della tabella

1 2 3

max =0.1067;mRd,max=

0.1209;mRd,max=

0.1663;mRd,max=

0.0923;mRd,max=

0.1484;mRd,max=

max =

max =

max =

max =

Progetto delle armature: schema riassuntivo dei risultati

A =8.00 cm2

A =7.00 cm2

A =11.35 cm2

A =6.00 cm2

A =10.01 cm2

2F22 = 7.60cm23F22 = 11.40cm2

3F22 = 11.40cm2

3F22 = 11.40cm2

2F22 = 7.60cm2

4F16 = 8.03cm2

4F16 = 8.03cm2 4F16 = 8.03cm2

6F16 = 12.05cm2

5F16 = 10.05cm23F18 = 7.63cm2

3F18 = 7.63cm24F18 = 10.17cm2

4F18 = 10.17cm2

5F18 = 12.71cm2

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni§ 4.1.6.1.1 – Dettagli costruttivi: armatura delle travi

Progetto delle armature: schema riassuntivo dei risultati

A =8.00 cm2

A =7.00 cm2 A =11.35 cm2

A =6.00 cm2

A =10.01 cm2

2F22 = 7.60cm23F22 = 11.40cm2

3F22 = 11.40cm2 3F22 = 11.40cm22F22 = 7.60cm2

As,min = max (0,26 fctm· bt · d / fyk ; 0,0013 bt · d)

fctm = 0,30 fck2/3 per classi C50/60

Classe 32/40 → fck = 32 N/mm2 fctm = 0,30 ·322/3 = 3,02 N/mm2

As,min = max (0,26·3,02·300·429/450 = 224,5 mm2 (=2,25cm2); 0,0013 bt·d (= 1,673cm2)

As,max = 0,04 Ac = 0,04 · 300 · 500 = 6000 mm2 (=60 cm2)

Le quantità di armatura sono nei limiti prescritti dal D.M. 17/01/2018

cdbd f 0.1 0.10.51.02

M

= 20%

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

m =rd

d

= 0.10

B450C

= 391 N/mm 2fyd

x/d

rd

= 0

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.1

0.2

cdfbd1.00.5

fydA s=

= 0

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

= 20%

II

III

IV

b

M2

M2

= 40%

= 100%= 80%

= 60%

rd =mbd

rd =mbd

f

rd

cd

f

rd

cd

x/d = 20% = 0

0.2

0.1

0.10.2 0.15 0.05

0.15

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

= 60%

= 80%

= 100%

0.3

0.2

0.1

=s

f

A ydf

cdbd

=s

f

A ydf

cdbd

= 0

= 20%

= 40%

= 80% = 100%

= 60%

0.1 0.20.05 0.15

0.50.40.30.20.1

IIa

IIa'

= 100%

= 80%

= 60%

IIa

a'

b

= 40%

ssA' =

A s

A

d

x

0.5

x/d= 0 = 20%

0.4

0.6

= 0

= 20%

= 40%

III

IV

FLESSIONE RETTAVERIFICA

As,commercialecd

rdrd

fbd

Mm

2=

MSd MRdLa verifica è soddisfatta se:

Come controllo dei calcoli fatti a “mano”...

Camp. 1-2 AS,com = 11.40cm2

App. 3 AS,com = 11.40cm2


Camp. 2-3 AS,com = 7.60cm2


yds

cd

fA

bd f = = 0.122;

yds

cd

fA

bd f = = 0.187;

yds

cd

fA

bd f = = 0.187;

yds

cd

fA

bd f = = 0.122;

yds

cd

fA

bd f = = 0.187;

= 0.1165;

= 0.1692;

= 0.1692;

= 0.1165;

= 0.1692;

MRd = mRd bd 2fcd =120925 Nm >105100 Nm





MSdMRdmediante interpolazione

mRd

mRd

mRd

mRd

mRd

Verifica con l’uso della tabella

Per tutte le sezioni significative la verifica è soddisfatta.

Verifica Calcoli con VCA SLU

App. 1 AS,com = 7.60cm2yds

cd

fA

bd f = = 0.122; = 0.1165; MRd = mRd bd 2fcd =120925 Nm

Verifica Calcoli con VCA SLU

Camp. 1-2 AS,com = 11.40cm2yds

cd

fA

bd f = = 0.187; = 0.1692; MRd = mRd bd 2fcd =175628 Nm

Costruzione della distinta armature

390 390 390 390

105.1

122.5

168.5

91.8

152.60

100

50

150

200

100

50

150

200

100 100 100 3030

322: MR=175.6

222: MR=120.9

322: MR=175.6

222: MR=120.9

390 390 390 390

105.1

122.5

168.5

91.8

152.60

100

50

150

200

100

50

150

200

100 100 100 3030

322: MR=175.6

222: MR=120.9

322: MR=175.6

222: MR=120.9

322

222

222 322

222

222

222

222

222

122 122 122

390 390 390 390

105.1

122.5

168.5

91.8

152.60

100

50

150

200

100

50

150

200

100 100 100 3030

322: MR=175.6

222: MR=120.9

322: MR=175.6

222: MR=120.9

322

222

222 322

222

222

222

222

222

122 122 122

La

La

LaLaLaLaLaLa

La

La La La

La La La

La La

La

La

La

390 390 390 390

105.1

122.5

168.5

91.8

152.60

100

50

150

200

100

50

150

200

100 100 100 3030

322: MR=175.6

222: MR=120.9

322: MR=175.6

222: MR=120.9

322

222

222

322

222222

122 122 122 LaLaLaLaLaLa

La

La La

La La

La

La

In alternativa con riduzione delle sezioni di interruzione

❑ In ogni sezione devono essere garantiti minimo 4 ferri (1 per ogni spigolo).❑ La lunghezza massima della singola barra non deve superare i 12m.❑ La sovrapposizione delle barre inferiori è consigliata in corrispondenza degli appoggi (zona compressa – fibre tese: superiori).❑ La sovrapposizione delle barre superiori è consigliata in corrispondenza della mezzeria della campata (zona compressa – fibre tese: inferiori).❑ La lunghezza di sovrapposizione, per barre ad aderenza migliorata, si può fissare in maniera approssimata pari a 40 volte il diametro della barra in zona tesa, e 20 volte in zona compressa.❑ La distanza mutua (interferro) nella sovrapposizione non deve superare 4 volte il diametro della barra (§ 4.1.6.1.4)

Distinta armature

Disposizione delle armature longitudinali: confronto tra approcci diversi

1

2

cdbd f 0.1 0.10.51.02

M

= 20%

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

m =rd

d

= 0.10

B450C

= 391 N/mm 2fyd

x/d

rd

= 0

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.1

0.2

cdfbd1.00.5

fydA s=

= 0

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

= 20%

II

III

IV

b

M2

M2

= 40%

= 100%= 80%

= 60%

rd =mbd

rd =mbd

f

rd

cd

f

rd

cd

x/d = 20% = 0

0.2

0.1

0.10.2 0.15 0.05

0.15

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

= 60%

= 80%

= 100%

0.3

0.2

0.1

=s

f

A ydf

cdbd

=s

f

A ydf

cdbd

= 0

= 20%

= 40%

= 80% = 100%

= 60%

0.1 0.20.05 0.15

0.50.40.30.20.1

IIa

IIa'

= 100%

= 80%

= 60%

IIa

a'

b

= 40%

ssA' =

A s

A

d

x

0.5

x/d= 0 = 20%

0.4

0.6

= 0

= 20%

= 40%

III

IV

FLESSIONE RETTAAlcune considerazioni sul PROGETTO LIBERO a duttilità prestabilita

As,commercialecd

rdrd

fbd

Mm

2=

Si entra con un prefissato valore x=x/d; le ascisse relative ai

due ordini di curve consentono di individuare l’armatura

tesa corrispondente ed il momento resistente di calcolo

della sezione.

Ponendo Mrd=MSd

si ricava d

Dal progetto condizionato per l’appoggio 3 abbiamo ricavato:

App. 3 MSd = 152610Nm; 20.251Sd

Rd

cd

Mm

bd f= =

2/ 0.2752x900x250x15.78/391=24.98s cd ydA bdf f cm= =0.147; 0.1619; 10.01 cm20.1484;mRd,max= max =

x=0.2

Considerando il momento flettente di calcolo MSd = 152610Nm si ipotizzi di progettare

l’altezza d della trave affinché la profondità dell’asse neutro a rottura risulti x=0.2

(costante al variare dell’armatura compressa)

cdbd f 0.1 0.10.51.02

M

= 20%

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

m =rd

d

= 0.10

B450C

= 391 N/mm 2fyd

x/d

rd

= 0

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.1

0.2

cdfbd1.00.5

fydA s=

= 0

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

= 20%

II

III

IV

b

M2

M2

= 40%

= 100%= 80%

= 60%

rd =mbd

rd =mbd

f

rd

cd

f

rd

cd

x/d = 20% = 0

0.2

0.1

0.10.2 0.15 0.05

0.15

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

= 60%

= 80%

= 100%

0.3

0.2

0.1

=s

f

A ydf

cdbd

=s

f

A ydf

cdbd

= 0

= 20%

= 40%

= 80% = 100%

= 60%

0.1 0.20.05 0.15

0.50.40.30.20.1

IIa

IIa'

= 100%

= 80%

= 60%

IIa

a'

b

= 40%

ssA' =

A s

A

d

x

0.5

x/d= 0 = 20%

0.4

0.6

= 0

= 20%

= 40%

III

IV

mRd,=0%

mRd,=20%

mRd,=40%

Ponendo Mrd=MSd

mRd,=0% = 0,1484 = 427mm

mRd,=20% = 0,1802 = 388mm

mRd,=40% = 0,2296 = 343mm

mRd,=60% = 0,3172 = 292mm

mRd,=80% = 0,5150 = 229mm

mRd,=100% =1,3832 = 140mm

Quindi, a parità di

sollecitazione di calcolo, per

una duttilità prestabilita,

all’aumentare del quantitativo

di armatura compressa

diminuisce l’altezza della

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