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Relativita’ e Cosmologia
• Relativita’ Generale
• Cosmologia Elementare
• Modello Standard dell’Universo
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Relativita’ Generale
La Relativita’ Speciale e’ una (meta)teoria in assenza di
gravitazione (che riguarda solo trasformazioni tra SR Inerziali)
La Relativita’ Generale e’ una teoria della gravitazione che
rispetta il principio di equivalenza (tra massa inerziale e massa
gravitazionale)
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Equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale
Indistinguibilita’ tra la caduta libera in un campo gravitazionale (mela
dall’albero) e l’accelerazione (il razzo)
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Il campo G, un campo diverso
Campo G
P = m(g) g
P = m(i) a
m(g)g = m(i)a
a = g x m(g)/m(i)
a = g
La stessa per tutti
Campo E
F = qE
F = m(i)a
qE = m(i)a
a = E x q/m(i)
diversa a seconda
della carica
Ma se la gravitazione non dipende da nessuna caratteristica del corpo allora
essa e’ una proprieta’ dello spaziotempo.
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Geometrie di Spaziotempo
Assioma
delle
parallele
Spazio euclideo? Descrizione
Fisica
classica
Si (piatto) Si
Spazio euclideo 3-d
con t parametro
esterno
Relativita’
Speciale
Si (piatto) No Spaziotempo
pseudoeuclideo
A 4-d
Relativita’
Generale
No (curvo) No Varieta’ di Riemann a
4-d
2 2 2 0x y z
2 2 2 2 2c t x y z
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Concetto di interazione
Newton
Faraday
Maxwell
Azione a distanza
Campo
Campi quantistici
(scambio di quanti)
Gravita’
(curvatura spaziotempo)
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2
2 2 2 2 2
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
s y x y z
z
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
c t
xs c t x y z
y
z
Spazio della fisica newtoniana.
La lunghezza di un righello e’
invariante (e anche dt)
Spazio della relativita’
speciale: il 4-intervallo e’
invariante
Matrice g (metrica spaziotempo)
Spazio della relativita’ generale: e’ analogo a quello della relativita’ speciale ma
ora la matrice non e’ piu’ costante per via del campo gravitazionale ( )g x
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Tensore di Curvatura
Curva
k
ik
i
kh
h
kijkj
hi
jhj
hi
j
x
g
x
g
x
gg
2
1
geodetica eq. 0
(t)
P(t1)
P(t2) Curvatura dello spazio S ==> DA
per trasporto parallelo lungo la curva
chiusa g frontiera di S
xxR
R dSA2
1-A||
A A
g
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Tensore di Curvatura
xxR
xxR
: ha si contraendo
A A
R
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Equazione di Einstein
G con : segue
Massa-Energia di densità tensore
curvatura se
4
*
massa
*
pot.grav
massapot.grav
TR
T
R
K
R T
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Equazione di Einstein
TTTgTTGTR
RRgRRGTR
g e 2
1 - con
gR e 2
1con
**
**
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8G GT
1
2G R g R
R g R
Einstein Tensor Energy-Momentum Tensor
T
Ricci Tensor Ricci Scalar R
, , , , ,
1
2R g g g g
( ) 8f g T
R R
Riemann Tensor
Spacetime curvature Momentum/Energy
Gravitational potential Mass Density 2 4 G
(Classical Physics)
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Fattore di scala
),,(
4/11
)(22
2222 rF
kr
tRdtcds
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Cosmologia
Sistema globalmente determinato dalla sola gravita’
Storia causale dell’Universo
Sistema con caratteristiche di omogeneita’ ed isotropia su larga
scala. La scala dove domina la dinamica di espansione.
Espansione
(Hubble)
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Modello standard dell’Universo
The Hot Big Bang Model
Schema teorico della Relativita’ Generale
Evidenza sperimentale dell’espansione dell’Universo
Nucleosintesi primordiale (abbondanze di H,He…I primi 3 minuti)
Radiazione cosmica di fondo (CMB)
Concetto di inflazione
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Scelta di un tensore metrico g (Universo omogeneo e Isotropo)
Scelta di un tensore energia/momento (fluido perfetto)
2
2 2
8( )
3 3M R
a G k
a a
Eq. di Friedmann per il
parametro di scala
(il “raggio” dell’Universo)
8G GT g
Introduzione della Costante Cosmologica (per stabilizzare l’Universo)
Materia (luminosa e oscura)
Radiazione
Costante Cosmologica
Curvatura
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Eta’ dell’Universo: circa 13.82 miliardi di anni
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Nostalgia del passato: un universo senza costante cosmologica e’ forse
piu’ elegante
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