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deBourgesL'école de la

maîtrise des risques

INSTITUT NATIONALDES SCIENCESAPPLIQUÉESCENTRE VAL DE LOIREINSA

Campus

4ÈME ANNÉE MAÎTRISE DES RISQUES INDUSTRIELS

E.A. SYSTÈMES AVANCÉS

Support de Cours

de

SIGNAUX ET SYSTÈMES

David FOLIO <[email protected]>

Capteursd'acquisition Conditionnement

Conversion(A/N)

Traitementanalogique

Traitementnumérique

Conversion(N/A)ConditionnementActionneurs

Systèmes

Année Universitaire : 2017–2018

ii

4A MRI–EA SA, Sig&Sys

Table des matières

I Signaux & Systèmes (rappels) 3I.1 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II Filtrage 21II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.2 Synthèse des filtres analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.3 Filtre Passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.4 Filtre Actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IIIOscillateurs 37III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37III.2 Oscillateurs quasi-sinusoïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38III.3 Oscillateur à résistance négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.4 Oscillateur à réaction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40III.5 Oscillateur à résonateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44III.6 Oscillateur contrôlé en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III.7 Oscillateurs à relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

IV PLL 49IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49IV.2 Le comparateur de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51IV.3 Analyse Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A Références Bibliographiques 55

iii

TABLE DES MATIÈRES iv


Préambule

Principe généraux de Signaux&Systèmes

Capteursd'acquisition Conditionnement

Conversion(A/N)

Traitementanalogique

Traitementnumérique

Conversion(N/A)ConditionnementActionneurs

Systèmes

Signaux & Systèmes ⇔

Traitement du signal

Conditionnement : mise en forme, prétraitement,amplification, filtrage. . .

Caractérisation : transformations fréquentielles ;

Codage / Décodage : modulation, démodulation,brouillage. . .

Reconnaissance - décision - compréhension, in-terprétation : Reconnaissances des formes, classifica-tion. . .

Synthèse de signaux, etc.

]Automatiques

Système : modélisation, représentation, identifica-tion. . .

→ La fonction de transfert

Commande : commande linéaire, adaptative, opti-male. . .

Asservissement (système bouclé) : régulation,suivi de trajectoires. . .

] un peu d’électronique. . .

Il s’agit ici de faire le point sur les différentes notions fondamentales concernant les applications dutraitement du signal associés aux systèmes. En particulier, les systèmes utilisés pour la génération, letraitement et l’émission/réception des signaux seront présentés.

1

2


Chapitre I

SIGNAUX & SYSTÈMES

I.1 Signaux

I.1.1 Généralités

Définition 1 (Signal). Un signal est une représentation physique d’une information à transmettre.Ou un signal correspond à l’entité qui sert à véhiculer l’information.

Le signal, support de l’information, est à la base de la communication entre les hommes et avec leurenvironnement. La théorie du signal a pour objectif la modélisation mathématique des signaux et leurstraitements malgré leur très grande diversité. Elle s’appuie essentiellement sur l’analyse fonctionnelle,l’algèbre linéaire et le calcul des probabilités.

Il existe une très grande variétés de signaux. Pour ce faire, un signal peut être caractérisé par saforme : continue ou variable, périodique ou non, unidirectionnel ou alternatifs, etc.

On distingue classiquement

les signaux analogiques :

• Signaux qui varient de manière continue dans le temps

→ Information : valeurs instantanées ou continues des grandeurs électriques (température, dé-bit, niveau. . . ), la “forme” des signaux (période, valeur moyenne/efficace, etc.), le spectrefréquentiel (analyse vocale, sonar, spectrographie. . . )

les signaux numériques :

• Signaux variant de manière discontinue dans le temps (i.e. nombre fini de valeurs)

→ Codage de l’information

Grandeurs logiques (ou tout ou rien) : signaux qui ne peuvent prendre que deux valeurs :notées 0 (pas d’action) ou 1 (action)

Train d’impulsion : chaque impulsion est l’image d’un changement d’état.Ex.: un codeur incrémental donne un nombre fini et connu d’impulsion par tour.

Echantillonnage : C’est l’image numérique d’un signal analogique.Ex.: température, débit, niveau.

Signal

Analogique

Continu

Temporel

Fréquentiel

Numérique

ToR

Train d'impulsionEchantillonage

01

3

I.1 Signaux 4

L’expression la plus générale pour un est donné par la forme suivante : s = f [v;w], où s : est un vecteur de dim. n v : est un vecteur de dim. n f : est une distribution w : est un vecteur de dim. p ;

→ On se limitera aux signaux de la forme : s(t) = f(t)

si t varie continuement : s(t) est un signal à temps continu (TC) si t est discret, noté nT où n ∈ N et T ∈ R,s(nT ) est un signal à temps discret (TD)

On peut ainsi également classé les signaux par catégories : Signaux continus en temps et en amplitude s(t) (e.g. signaux analogiques)

Signaux discrets en temps et continu en amplitude se(nT ) (e.g. signaux échantillonnés)

Signaux discrets en temps et en amplitude sq[n] (e.g. signaux numériques – CAN)

Signaux continus en temps et discret en amplitude sq(t) (e.g. signaux quantifiés – CNA)

Conti

nu

Dis

cret

t

s(t)

signal analogique

n

s[n]

signal échantillonné

t

sq(t)

signal quantifié

n

sq[n]

signal numérique

Quantifica

tion

TC TD

Echantillonnage

Exemple I.1.1. Les origines de différents signaux :1. Vitesse d’un mobile ;2. Taille d’une personne évaluée régulièrement ;3. Compte bancaire : arrondi au centime près ;4. Population humaine évaluée régulièrement ;

I.1.2 Quelques définitionsSignal déterministe : signal certain, prévisible aucune incertitude sur sa valeur

→ Par opposition, un Signal aléatoire : signal incertain

Signal causal : dont on ne connaît pas le futur. Cela se traduit par un signal nul au temps négatif :s(t) = 0, ∀t < 0

“ l’effet ne peut précéder la cause”

Signal stationnaire s’il est invariant quand on change l’origine des temps.

→ Le contenu fréquentiel d’un signal stationnaire n’évolue pas au cours du tempsEx.: un signal alternatif sinusoïdal

S’il est aléatoire, i.e. ses propriétés statistiques (moyenne, variance. . . ) ne changent pas au coursdu temps

Signal analytique : signal décrit par une équation permettant de le calculer, et ce de façon nonrécurrente.


5 Chap. I Signaux & Systèmes (rappels)

Quelques définitions de signaux usuels

Impulsion de Dirac :

δ(x) =

∞ si t = 00 sinon

Fonction de Heaviside :

U(x) = Γ(x) =

0 si t < 0

1/2 si t = 01 si t > 0

Fonction signe :

sign(x) =

−1 si t < 00 si t = 0

+1 si t > 0

Fonction porte :

Π(x) =

1 si t ∈ [−T

2 ; T2 ]0 sinon

Fonction triangle :

tri(x) =

1− |t|T si t ∈ [−T

2 ; T2 ]0 sinon

Fonction sinus cardinal :

sinc(x) =sin(x)

x

Fonction gaussienne :

G(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2

Exercice I.1. Tracer l’allure des signaux usuels.

I.1.3 Quelques descripteurs de signauxLa valeur moyenne observée sur un intervalle de temps ∆T :

〈s〉 = S = smoy =1

∆T

∫ t0+∆T

t0

s(t)dt (I.1)

La valeur efficace observée sur un temps ∆T :

Seff = S =

√1

∆T

∫ t0+∆T

t0

s2(t)dt =√〈s2〉 (I.2)

Énergie :

TC :

Es =

∫|s(t)|2dt (I.3)

TD :Es =

∑n

|s(n)|2 (I.4)

Pour un signal à énergie infinie (signal périodique par exemple) on préfère utiliser la puissance(moyenne) pour le caractériser.

Puissance instantanée :ps(t) = |s(t)|2 (I.5)

Puissance moyenne sur un intervalle de temps ∆T :

Ps =1

∆T

∫ t0+∆T

t0

|s(t)|2dt = 〈ps(t)〉 (I.6)

Exemple I.1.2. s(t) = U(t) un signal échelon : EU =∞, montrer que la puissance moyenne reste finie :PU= 1

2

©Année Universitaire : 2017–2018, David FOLIO

I.1 Signaux 6

Si s(t) est à énergie finie ⇒ la puissance moyenne est nulle

Si s(t) est à puissance finie ⇒ l’énergie est infinie

Signaux de période T , l’intervalle de temps ∆T ≡ T période du signal

Puissance en décibel : PdB = 10 log |P |

Rapport Signal/Bruit (SNR) :

s(t) un signal utile et b(t) un bruit, sont 2 signaux TC causaux, scalaires, de durée T

SNR instantané

SNR =pspb

=s2(t)

b2(t)

∣∣∣∣t=τ

(I.7)

SNR moyen

SNR =PsPb

=

∫ T0 s2(t)dt∫ T0 b2(t)dt

(I.8)

Le SNR s’exprime généralement en dB : SNRdB = 10 log(SNR)

I.1.4 Analyse temporelle

Régimepermanent

Régimetransitoire

x(t)

y3(t)

y2(t)y1(t)

tt0

x0

Classiquement, un système stable est caractérisé en temporel par :

Régime permanent : régime de fonctionnement d’un système qui se maintient pendant untemps infiniment long.

→ Il peut être un régime continu (statique) ou un régime variable

Régime transitoire : régime de fonctionnement d’un système entre le moment où aucun signalne circule dans le système et celui où s’établit un régime permanent.

Le régime transitoire est dans certains cas caractérisé par

Le taux d’amortissement (damping ratio), noté ζ : une grandeur sans dimension caractérisantl’évolution des oscillations d’un système physique.

Le facteur de qualité du système, noté Q : une mesure du taux d’amortissement d’un oscillateur.

Une constante de temps, noté τ : une grandeur homogène à un temps caractérisant la rapidité del’évolution d’une grandeur physique dans le temps



I.1.5 Quelques opérations sur les signauxSoit deux signaux x(t) et y(t) à temps continu (TC) (resp. en TD x(n) et y(n))

Produit de convolution (noté ’∗’) :

TC :

(x ∗ y)(t) =

∫ +∞

−∞x(τ) · y(t− τ)dτ (I.9)

TD :

(x ∗ y)(n) =+∞∑

k=−∞x(k) · y(n− k) (I.10)

Propriétés du produit de convolution Il est aussi associatif et distributif par rapport à l’addition. Commutativité : (x ∗ y)(t) = (y ∗x)(t)

Distributivité : (x ∗(y + z))(t) = (x ∗ y)(t) + (x ∗ z)(t) Associativité : ((x ∗ y) ∗ z))(t) = (x ∗(y ∗ z))(t) Élément neutre de la convolution est la distribution de Dirac δ(t)

À partir d’un signal s(t) à TC, comme produit de convolution : s(t) = (x ∗ y)(t), on peut extraire lesignal x(t) par déconvolution (noté ’~’) x(t) = (s~ y)(t)

Exercice I.2 (Convolution de deux portes). Vérifier que tri(t) = Γ(t) ∗Γ(t).

Produit scalaire : de 2 signaux x(t) et y(t) ∈ L2(t1, t2)

TC :

〈x(t), y(t)〉 =

∫ t2

t1

x(t)y?(t)dt (I.11)

TD :

〈x(n), y(n)〉 =∑k

xk · y?k (I.12)

Propriétés du produit scalaire

〈x, y〉 6= 〈y, x〉 Symétrie hermitienne : 〈x, y〉 = 〈y, x〉?

Signaux orthogonaux ⇔ 〈x, y〉 = 0

Sesquilinéaire à gauche :

• 〈x+ z, y〉 = 〈x, y〉+ 〈z, y〉, et 〈x, y + z〉 =〈x, y〉+ 〈x, z〉

• ∀λ ∈ C : 〈λx, y〉 = λ 〈x, y〉, et 〈x, λy〉 =λ 〈x, y〉

Définition 2 (Espace Lp(E)). L’ensemble des fonctions f de E avec une norme p finie est notéeLp(E). Ainsi, L2(t1, t2) correspond à l’ensemble des fonctions de carré sommable sur E = [t1, t2].

Fonction d’intercorrélationDéfinition 3 (Intercorrélation). L’intercorrélation compare un signal x(t) et un signal y(t) retardée.Elle mesure la similitude entre ces deux signaux.

TC :

Cxy(t) =

∫ +∞

−∞x(τ)y(t+ τ)dτ (I.13)

TD :

Cxy(t) =

+∞∑k=−∞

x(k)y(n+ k) (I.14)

Il faut qu’au moins un des deux signaux soit à énergie finie pour que ce calcul soit possible


I.1 Signaux 8

Propriétés

• Anticommutative : Cxy(t) = Cyx(−t)• S’exprime à l’aide d’une convolution : Cxy = x(−t) ∗ y(t)

Fonction d’autocorrélationDéfinition 4 (Autocorrélation). L’autocorrélation réalise une comparaison entre un signal x(t) etses copies retardées.

TC :

Cxx(t) =

∫ +∞

−∞x(τ)x(t+ τ)dτ (I.15)

TD :

Cxx(t) =+∞∑

k=−∞x(k)x(n+ k) (I.16)

Propriétés

• |Cxx(τ)| ≤ Cxx(0) : maximum en 0

• Paire : Cxx(−t) = Cxx(t)

• S’exprime à l’aide d’une convolution : Cxx = x(−t) ∗x(t)

I.1.6 Analyse fréquentielleReprésentation fréquentielle d’un signal périodiqueGrâce aux outils d’analyse de Fourier, on sait que tous les signaux périodiques x(t) (et sous certainesconditions que l’on supposera valides ici) peuvent se décomposer en somme de sinus et cosinus defréquences multiples de la fréquence fondamentale f0, soit :

x(t) = c0 +∞∑k

ak cos(kωt+ αk) + bk sin(kωt+ βk)

= c0 +∞∑k

xk(t)

où c0 représente la composante continue (valeur moyenne), et xk(t) la kième harmonique.

A l’aide des relations d’Euler, on peut également écrire cette décomposition sous forme exponentielle.

→ c’est la décomposition en série de Fourier :

x(t) =

∞∑k=−∞

Xkekωt (I.17)

Xk ≡ Xk(kf) =1

T

∫ t0+T

t0

x(t)e−kωtdt (I.18)

Ainsi, tout signal périodique de valeur instantanée x(t) peut être décomposée en une composantecontinue 〈x〉 et une composante alternative (ou ondulation) x(t) de valeur moyenne nulle :

x(t) = 〈x〉+ x(t), avec x(t) =∑k

xk(t) (I.19)



Le théorème de superposition permet alors d’utiliser les principaux termes de cette décomposition afinde décomposer l’étude d’un système linéaire en régime harmonique quelconque en somme de circuitalimenté par des signaux alternatifs sinusoïdaux.

Un signal alternatif sinusoïdal xk(t) se définit par :

xk(t) = X√

2 sin(ωt+ ϕ) (I.22)

A = X√

2 l’amplitude,

ϕ la phase (eg. en rad)

ω la pulsation (eg. en rad/s).

Caractéristiques des signaux alternatifs sinusoïdaux

Valeur moyenne : 〈x〉 = 0

Valeur efficace : Xeff = X

Outils :

Amplitude complexe : X = X eϕ ∈ C

Représentation vectoriel :−→X = X,ϕ

Opérations Repr. temporelle Repr. fréquentielle

Combinaison linéaire u(t) = ax(t) + by(t) + c Uk = aXk + bYk + c δk

Renversement du temps y(t) = x(−t) Yk = X−k

Retard y(t) = x(t− τ) Yk = Xk e−kωτ

Dérivation y(t) = x(t) Yk = kωXk

Intégration y(t) =∫x(t) Yk = Xk

kω

Convolution u(t) = x(t) ∗ y(t) Uk = Xk · YkProduit u(t) = x(t) · y(t) Uk = Xk ∗Yk

Table I.1 – Opérations sur les décompositions en séries de Fourier

Représentation fréquentielle d’un signal non-périodiqueEn considérant qu’un signal non périodique est périodique de période infinie, on peut prolonger larelation de décomposition en série de Fourier d’une fonction périodique pour donner la transformationde Fourier.

X(ν) =

∫ ∞−∞

x(t) e−2πνt dt = TFx(t) (I.23)

→ X(ν) est la représentation fréquentielle de x(t).

Un signal non périodique x(t) à TC est donc décomposé en une somme infinie (continue et non pasdiscrète comme pour les signaux périodiques) de composantes sinusoïdales.Le spectre d’amplitude de x(t) indique l’amplitude de chacune de ces harmoniques, le spectre de phase,leur décalage par rapport à l’origine.L’inversion s’obtient par la transformation de Fourier inverse :

x(t) =

∫ ∞−∞

X(ν) e+2πνt dν = TF−1X(ν) (I.24)


I.1 Signaux 10

Signal Repr. temporelle Repr. fréquentielle

Dirac x(t) = δ(t) X(ν) = 1

Constante x(t) = 1 X(ν) = δ(ν)

Sinusoïdal x(t) = e2πν0t X(ν) = δ(ν − ν0)

Echelon x(t) = Γ(t) X(ν) = 12πν + δ(ν)

2

Gaussienne x(t) = e−πt2

X(ν) = e−πν2

Table I.2 – Transformées de Fourier des signaux usuels

Représentation fréquentielle de Laplace des signauxLa représentation de Laplace généralise la représentation fréquentielle. Elle substitue la variable de laTF (e.g. la fréquence ν réelle), par un complexe noté p (ou s), avec parties réelle et imaginaires.

→ La variable fréquence ν de la TF se retrouve dans la partie imaginaire de p.

La transformée de Laplace (TL) d’un signal x(t) :

X(p) = Lx(t) =

∫ ∞−∞

e−ptx(t)dt (I.26)

X(p) ∈ C même si x(t) ∈ R ; avec p ∈ C : p = σ + 2πν

→ Si σ = 0, la TL est équivalent à la TF.

→ X(p) est la représentation fréquentielle généralisée de x(t)

La TL X(p) d’un signal x(t) s’exprime généralement comme une fraction rationnelle en p

La TL monolatérale, notée TL+, est donné par :

X+(p) = Lx(t) =

∫ ∞0

e−ptx(t)dt (I.27)

→ On utilise que les signaux x(t) causaux. Les conditions initiales (CI) interviennent, En bilatéral, les CI n’ont aucune signification particulière. . .

Théorème I.1.3 (de la valeur initiale).

x(t = 0+) = limp→+∞

pX(p) (I.28)

Pour des systèmes à TC non-causaux, la TL bilatérale est peu utilisée comme représentation fré-quentielle (on préférera la TF). En revanche la TL est essentielle pour la représentation fréquentielledes systèmes causaux.

En Automatique, notamment, où les systèmes sont généralement causaux, la TL monolatérale estexclusivement utilisée.Le produit de convolution ayant pour transformée un produit simple

f(t) = x(t) ∗ y(t)TL−−→ F (p) = X(p)Y (p)

→ la convolution se traduit en p comme un produit de polynômes, et la déconvolution comme unedivision de polynômes.



Opérations Repr. temporelle Repr. fréquentielle

Combinaison linéaire u(t) = ax(t) + by(t) U(p) = aX(p) + bY (p)

Renversement du temps y(t) = x(−t) Y (p) = X(−p)

Retard y(t) = x(t− τ) Y (p) = e−τpX(p)

Dérivation y(t) = x(n)(t) TL : Y (p) = pnX(p)

TL+ : Y +(p) = pnX(p)− p(n−1)x(0)−p(n−2)x(0)...

Intégration y(n)(t) = x(t) Y (p) = X(p)pn

Convolution u(t) = x(t) ∗ y(t) U(p) = X(p) · Y (p)

Produit u(t) = x(t) · y(t) U(p) = X(p) ∗Y (p)

Corrélation u(t) = x(−t) ∗ y(t) U(p) = X(−p)Y (p)

Multiplication par tn y(t) = tnx(t) Y (p) = (−1)n dX(P )dpn

Décalage y(t) = e−at x(t) Y (p) = X(p+ a)

Table I.3 – Opérations sur les transformées de Laplace

Signal Repr. temporelle Repr. fréquentielle

Dirac x(t) = δ(t) X(p) = 1

Constante x(t) = 1 X(p) = δ(p)

Echelon x(t) = Γ(t) X(p) = 1p

Sinusoïdal x(t) = sin(ω0t) Γ(t) X(p) = ω0

p2+ω20

Exponentielle x(t) = e−at Γ(t) X(p) = ω0p+a

Puissance x(t) = tn Γ(t) X(p) = n!pn+1

Table I.4 – Transformées des signaux usuels


I.1 Signaux 12

Représentation fréquentielle des signaux non stationnaires : ondelettesLes signaux tels que les signaux modulés en fréquence ou encore le signal parole constituent desexemples de signaux non stationnaires. Dans ce cas, la décomposition spectrale ne peut être quedifficilement obtenue par TF. En effet, la TF ne prend pas en compte l’origine des temps : elle nes’exprime qu’en fonction de la fréquence ν et ne fait pas intervenir de variable temporelle représentantl’origine des temps (τ).Pour caractériser un signal non stationnaire, on peut utiliser les transformées en ondelettes.

Définition 5 (Ondelette). Une ondelette est une fonction Ψ ∈ L2(R), le plus souvent oscillante etde moyenne nulle.“Ψ est une petite onde (ou vague) qui a un début et une fin.”

La transformée en ondelette d’un signal x(t) :

g(a, b) =1√a

∫ ∞−∞

x(t)ψa,b(t)dt (I.29)

La fonction ψa,b est obtenue par translation et dilatation d’une fonction particulière appelée ondelettemère :

ψa,b(t) = Ψ

(t− ba

)(I.30)

a 6= 0 donne l’échelle (e.g la fréquence),

b détermine la position (le temps) de l’onde.

-4 -2 0 2 4-1

-0.5

0

0.5

1Ondelette de Morlet

-4 -2 0 2 4-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008Ondelette 'Mecicanhat'

Exemple I.1.4 (Ondelette simple).



I.2 Systèmes

Définition 1 (Système). Un système est une entité possédant éventuellement une (ou plusieurs)entrées, et éventuellement une (ou plusieurs) sorties.

→ SISO : Single Input – Single Output ; MIMO : Multiple Input – Multiple Output

Le signal d’entrée x(t) correspond àl’excitation du système ;

Le signal de sortie y(t) correspond à la réponsedu système ;

→ On a alors y(t) = Φ(x)

System≡ Φx y

Des signaux de perturbations w sont des entrées particulièresdu système qui ne sont pas contrôlable Φ

w

x y

L’étude d’un système consiste à rechercher un modèle mathématique du système, c’est-à-dire sesrelations d’entrée-sortie exprimées dans Φ.

Outils d’analyses :

relations algébriques : systèmes statiques ;

équations différentielles (TC) ou des équations aux différences (TD) :systèmes dynamiques ;

algorithmiques : approche procédurale ;

descriptives : approches règles d’évolution de système expert et connexionnistes, logique floue

I.2.1 Quelques définitions

Définition 2 (Système Linéaire (SL)). Un système Φ est linéaire ssi :Φ(λx) = λΦ(x) ; et Φ(x1 + x2) = Φ(x1) + Φ(x2)

→ Le système obéit au principe de superposition

Définition 3 (Système stationnaire). Un système est stationnaire si sa réponse est invariantepar décalage du temps : le système n’évolue plus.

Définition 4 (Système Linéaire Invariant (SLI)). C’est un système qui correspond aux défintionsprécédentes 2 et 3. L’entrée et la sortie sont alors solutions d’une équation différentielle à coefficientsconstants :

amx(m)(t) + . . .+ a0x(t) = bny

(n)(t) + . . .+ b0y(t) (I.31)

Définition 5 (Réponse Impulsionnelle (RI)). La réponseimpulsionnelle (TC) noté h(t), ou percusionnelle (TD)noté h(n), correspond à la réponse d’un système à l’exci-tation δ(t) (Dirac).

System≡ Φδ(t) h(t)

→ La RI caractérise complètement les SLI


I.2 Systèmes 14

On a la relation fondamentale de convolution entre entrée et sortie :

SL : y(t) = h(t, τ) ∗x(t) (τ : l’origine des temps)

SLI :

y(t) = h(t) ∗x(t) =

∫ +∞

−∞h(τ)x(t− τ)dτ =

∫ +∞

−∞h(t− τ)x(t)dτ (I.32)

Définition 6 (Système Causal). Système réalisable qui, à un instant donné, ne nécessite ni laconnaissance du futur de l’entrée x(t) ni celle du futur de la sortie y(t).

“ l’effet ne peut précéder la cause”

Définition 7 (Système Stable). Un système est stable EBSB si à une entrée x(t) bornée (e.g. enamplitude) répond par une sortie y(t) bornée.

→ Stabilité au sens large ou stabilité non asymptotique au sens de Lyapunov.

Système est stable si à une perturbation w = δ(t), il revient à son état initial après disparition dela perturbation.

→ Stabilité au sens strict encore appelée stabilité asymptotique au sens de Lyapunov.

I.2.2 Représentation fréquentielle des systèmes

Représentation de la Laplace

Un SLI est caractérisé, dans le domaine temps, par sa RI h(t)

y(t) = h(t) ∗x(t)TL−−→ Y (p) = H(p)X(p)

Si les CI sont nulles ! !

H(p) = TLh(t) =Y (p)

X(p)est la fonction de transfert (FT) du SLI.

→ la FT H(p) caractérise complètement le SLI (hors CI)H(p) est la représentation fréquentielle généralisée d’un système.

Si le système est stationnaire, la FT H(p) ne dépend pas du temps, et la RI h(t) ne dépend que dutemps t.

Si le système n’est pas stationnaire, la FT H(p, t) dépend du temps, et la RI h(t, τ) ne dépend quedu temps t et de l’origine des temps τ

Ordre d’un système : C’est la valeur absolue de la différence entre le degré n du polynômedénominateur et le degré m du polynôme numérateur de la FT : ordre = |m− n|

Un système causal est stable EBSB ssi tous les pôles de la FT H(p) de ce système ont une partieréelle négative



Réponse en fréquenceRéponse en fréquence ou réponse harmonique d’un SLI est la réponse à un signal de fréquence variablemais d’amplitude constante.

→ La TF de la RI h(t) donne la réponse en fréquence H(ω) = TFh(t) du SLI

y(t) = h(t) ∗x(t)TF←→ Y (ω) = H(ω)X(ω)

La FT ou gain complexe H(ω) représente le spectre du filtre lineaire.

On a équivalence de la FT en utilisant la TF ou la TL :

H(ω)p=ω←−−→ H(p)

Diagramme de Bode

Gain (ou module) : |H(ω)|dB = 20 log10 |H(ω)| Phase (ou argument) : ϕ(ω) = arg(H(ω))

Fonction propre d’un SLI

Soit h(t) la réponse impulsionnelle (RI) d’un SLI

Soit le signal d’excitation exponentielle complexe : x(t) = eω0t

La réponse est donc :y(t) = h(t) ∗x(t) = eω0tH(ω0) (I.33)

→ H(ω0) est une constante complexe qui de dépend que ω0 et de la RI.

La réponse d’un SLI à un signal exponentielle complexe , est le même signal : pas de changementde fréquence, mais pondéré par un coefficient dépendant uniquement de la RI.

→ L’exponentielle complexe est une fonction propre des SLI.

I.2.3 La phase des systèmes

Définition 8 (Phase Linéaire). Un système de FT H(ω) est à phase linéaire si ϕ est une fonctionlinéaire de la fréquence ω :

ϕ = θω, avec θ = Cste (I.34)

→ Un filtre à phase linéaire a pour propriété de retarder tous les signaux d’un même retard quelque soitleur fréquence ∀ω.

Définition 9 (Phase minimale). Un système de FT H(p) est dit à phase minimale si tous ces zérossont à parties réelle négative pour un système causal.

→ Un filtre à déphasage minimal a pour propriété de limiter le retard occasionné par la traversée dufiltre.

Un zéro à partie réelle positive dans la FT ralentirait le filtre.


I.2 Systèmes 16

I.2.4 Réponse indicielleLa réponse indicielle, notée r(t), correspond à la réponse au signal échelon : x(t) = Γ(t), soit :

Y (p) = R(p) =1

pH(p) (I.35)

Théorème I.1.3 de la valeur initiale : limt→∞

r(t) = limp→0

pR(p), donne : limt→∞

r(t) = H(0)

Exercice I.3. Soit H1(p) =1− p

(1 + p)2 , et H2(p) =1 + p

(1 + p)2 .

1. Ces systèmes sont-ils à phase minimale (ou non) ?

2. Déterminer la réponse indicielle Ri(p) de H1(p) et H2(p), en déduire ri(t).

Systèmes électriques

Vin

Iin Iout

VoutC

R

Systèmes mécaniques

Mf(t)

k

a

x0 x(t)

Exercice I.4 (Systèmes physiques). On considère chacun des systèmes physique ci-dessus.

1. Établir les équations différentielles de chacun de ces systèmes. Caractériser chaque système.

2. En déduire leur fonction de transfert. Conclure.

3. Qu’elle est la réponse impulsionnelle ? indicielle ?

I.2.5 Systèmes de contrôle en boucle fermée

Définition 10 (La régulation=action de régler). La régulationest la technique de l’ingénieur offrant les méthodes/outils néces-saires à la prise de contrôle d’un système physique (installation deproduction, robot, alimentation électronique stabilisée, etc) en vue d’enimposer un comportement. Il s’agit d’agir automatiquement surune grandeur de telle sorte que le processus garde constammentsa valeur ou reste proche de la valeur désirée, quelles que soientles perturbations qui peuvent subvenir.

Direct

Retour

xc xe y

−

yr

Les principaux organes d’un système bouclée

La chaîne directe est la partie opérative du système ;

La chaîne de retour est un ensemble de capteurs et de circuits de conditionnement qui fournissentune image de la valeur réellement obtenue en sortie du système ;

Le sommateur applique à la partie opérative une commande : xe = xc − yr

La prise de contrôle s’effectue par l’intermédiaire de certains signaux qu’il est alors nécessaire demesurer afin de déterminer l’action à entreprendre sur le système.

Le contrôle est automatique : c-à-d. pas (ou très peu) d’intervention humaine.



On parle de régulation quand la grandeur réglée s’aligne avec une grandeur de consigne constante,il s’agit d’asservissement lorsque la grandeur réglée suit une grandeur de référence variable.

L’objectif global d’un Système de Régulation Automatique (SRA) peut se résumer par les étapessuivantes :

1. consigne

2. mesurer/capturer

3. comparer

4. corriger Systèm

e

consigne erreur

Correcteur

perturbations

+

-Processus

Capteur

sortieasservie

contre-réaction(rebouclage)

εx u ys

wcommande

Actionneur

y

z bruits

La consigne d’entrée x(t) est soit générée directement par un opérateur humain, soit sous formeélectrique par un générateur de fonction. Le capteur permet de convertir une grandeur physiquedécrivant le processus en une grandeur de mesure (e.g. tension). Il est impératif que le capteur soitfiable, précis, véloce, et insensible à l’environnement (pas/peu de bruits). Un capteur de qualité estcher, mais il est difficile de réaliser un bon asservissement avec un mauvais capteur. Le comparateurfournit une grandeur appelée signal d’erreur : ε(t) = x(t)− y(t). Le comparateur doit avoir les mêmesqualités que le capteur, mais il est généralement plus aisé de l’assurer. Le correcteur transforme lesignal d’erreur en une grandeur de commande u(t) (qu’on appelle aussi erreur corrigée suivant qu’onregarde en amont ou en aval). Il a pour rôle de générer une action de commande u(t) adéquate afin demaintenir idéalement le signal d’erreur ε(t) proche de zéro. La grandeur de commande u(t) est ensuiteenvoyée aux actionneurs du système. Le processus peut être soumis à des perturbations sans que celanuise aux performances globales de l’asservissement.

Le rebouclage introduit une contre-réaction. On parle dans ce cas de boucle fermée.

Le comportement des différentes grandeurs contrôlées peut/doit en général satisfaire plusieurs critères,tels que :

on souhaite qu’une grandeur physique (vitesse, courant, température) doit avoir une valeurmoyenne donnée en régime permanent ;

une grandeur physique doit passer d’une valeur à une autre en un temps donné, voire avec un profilde variation imposé.

Ces grandeurs vont permettre de contrôler, quantifier, dupliquer/recopier/répéter, comparer et vérifierdes comportements du processus.

Exemple I.2.1 (Le régulateur PID). Le correcteur PID agit de 3 manières :

1. action Proportionnelle : l’erreur est multipliée par un gain Kp

2. action Intégrale : l’erreur est intégrée et divisée par un gain Ki

3. action Dérivée : l’erreur est dérivée et multipliée par un gain Kd

+

- sortieasservie

ε U Ys

P Kp

I 1/Ki

D Kd

H(p)1/p

p

T(p)

consigne erreur

Correcteur

contre-réaction

Xcommande

+ +

+

FT du procédé

FT du capteur


I.2 Systèmes 18

Exercice I.5. Montrer que le correcteur C(p) du régulateur PID peut s’écrire sous la forme suivante :

C(p) = Kp +1

Ki

1

p+Kdp

Exercice I.6. Montrer que la fonction de transfert en BF du SRA F (p) = YsX peut s’écrire comme suit :

F (p) =C(p)H(p)

1 + C(p)H(p)T (p)

Propriétés d’un système contrôlé

Le rôle d’un automaticien est de concevoir un Système de Régulation Automatique (SRA) qui soit :

Stable : la grandeur de sortie doit converger vers une valeur finie si le signal d’entrée est aussilimitée. La stabilité d’un SRA est une condition impérative. Or, tout système contre-réactionnéest potentiellement instable. La cause en est due au retard parfois trop importants que peut subirun signal (ou certaines de ses composantes spectrales) se propageant à travers la boucle.

Précis : la grandeur à mesurer doit être la plus proche de celle désirée au régime permanent.Certains SRA présente, même en régime permanent constant, un signal erreur ε(t) 6= 0 entre laconsigne et la mesure.

→ L’erreur persistant au régime permanent s’appelle erreur statique (notée ε∞ ou E∞)

Rapide : il doit répondre rapidement à une excitation.

ε

t

consigne ye(t)

sortie y(t)

INSTABLE

STABLE

rapidité

précision

Exercice I.7 (Dilemme stabilité vs. précision). Soit un système décrit par sa FT :

H(p) =1

p3 + 5p2 + 2p+ 1soumis à un échelon unité X(p) = 1/p corrigé par un proportionnel Kp.

Montrer que l’erreur est alors donnée par ε(p) =X(p)

1 +H(p). Qu’elle est alors l’erreur statique ε∞ ?

Critères de stabilité

Comme nous l’avons évoqué au paragraphe I.2.1, la stabilité est un aspect primordial pour les systèmesde régulation automatisées.



Méthode de résolution

Condition d’amplitude : |FTBO(ω)| = 1

Condition de phase : arg(FTBO(ω)) = −π• On détermine la pulsation ωc à partir de la condition de phase

• On calcule le gain critique Kc à l’aide de ωc et de la condition d’amplitude.

Le système en boucle fermée (BF) est stable si pour ω = ωc on a |FTBO(ω)| ≺ 1

Le système en boucle fermée (BF) est instable si pour ω = ωc on a |FTBO(ω)| 1

Exercice I.8. Soit le SRA définit par : |FTBO(p)| = Kr

(1 + Tp)3 .

condition d’amplitude : |FTBO(ω)| = 1

condition de phase : arg(FTBO(ω)) = −π

Critère de Routh-Hurwitz

E.J. Routh et A. Hurwitz ont proposé une méthode pour étudier la stabilité. Trouver les racinesd’un polynôme n’est pas toujours aisé (cf. définition 7), notamment dans le cas des systèmes d’ordressupérieurs à 2.→ La méthode algébrique proposée permet de savoir le nombre de racines d’un polynôme, et donc de

déterminer si les pôles d’une fonction de transfert sont à partie réelle négative.

Critère : soit D(p) = anpn+an−1p

n−1 + . . .+a1p+a0 le polynôme caractéristique (dénominateur)de la FT d’un procédé ou système asservi ou non.

• Si l’un des coefficients ai est nul, le système est instable.

• Si tous les coefficients ai sont différents de zéro, il suffit qu’ils ne soient pas tous de mêmesigne pour conclure à l’instabilité.

• Si tous les coefficients ai sont de même signe, l’examen de la première colonne du tableau deRouth permet de conclure à la stabilité du système.

• Tableau de Routh :

pn an an−2 an−4 . . . a0

pn−1 an−1 an−3 an−5 . . . 0pn−2 bn bn−1 bn−2 . . .pn−2 cn cn−1 cn−2 . . ....

......

......

p r1 0p0 s0 0

Avec•bn =

an−1an−2 − anan−3

an−1,

bn−1 =an−1an−4 − anan−5

an−1, . . .

•cn =bnan−3 − an−1bn−1

bn,

cn−1 =bnan−5 − an−1bn−2

bn, . . .

Exemple I.2.2. Déterminer la stabilité des FT suivantes :

1. G(p) =1

p4 + 7p3 + 17p2 + 17p+ 6

2. G(p) =1

p4 + 2p3 + 3p2 + 4p+ 5

3. G(p) =1

p5 + 2p4 + 2p3 + 4p2 + p+ 1


I.2 Systèmes 20


Chapitre II

SYSTÈMES DE FILTRAGE

II.1 Généralités

Définition 1 (Les Filtres). Un filtre est un système qui conditionne/sépare (ou filtre) certainesparties d’un signal d’entrée, généralement dans le domaine fréquentiel.

Les filtres sont des outils utilisés dans le domaine du traitement du signal,ils servent principalement à séparer des signaux dans le domaine fréquentiel.Dans certains cas particuliers (plus rare) on utilise également les filtresélectroniques pour retarder un signal (travail dans le domaine temporel).[.5em] Plus précisément, le filtre permet de modifier certaines parties d’unsignal d’entrée dans le domaine temps et dans le domaine fréquentiel.

L’opération de filtrage permet :

d’éliminer ou atténuer les signaux indésirables

d’isoler la ou les bandes de fréquences utiles.

Séparation des signaux utiles des signaux indésirables

→ eg., dans le domaine fréquentiel

Les applications sont très variées :

Systèmes de communications (téléphonie, réseaux, etc. . . ) ;

Systèmes d’acquisition et traitement des données ;

Alimentation électrique, etc. . .

Classification

Il existe différentes familles de filtres (électronique) selon leurs domaines d’applications et la naturedes signaux manipuler :

• Filtrage numérique (avec composant programmable, eg. DSP)

• Filtrage à capacités commutées (avec condensateur + interrupteur)

• Filtrage analogique (avec composants linéaires R, L,C, AOP)

On s’intéressera uniquement aux filtres analogiques, qui se décomposent en deux catégories :

1. Les filtres passifs

→ avec uniquement des composants discrets R, L et C)

2. Les filtres actifs

→ avec des composants discrets R et C + des composants actifs (eg., transistors, AOP)

21

II.1 Généralités 22

II.1.1 Propriétés et Définitions

Fig. II.1 – Filtres ≡ SLI

Un filtre linéaire est un Système Linéaire Invariant (SLI) dans letemps permettant de diviser le spectre (domaine fréquentiel) afinde conserver une ou plusieurs parties (bandes) de celui-ci. Un filtrelinéaire est caractérisé par l’existence d’une fonction linéaire h(.)telle que la réponse du filtre à tout signal d’entrée x(t) soit y(t) = h(x(t)) :

y(t) = h(x(t))⇒h(ax(t1) + bx(t2)) = ay(t1) + by(t2)) ∀t1, t2 ∈ Rh(x(t− t0)) = y(t− t0) ∀t0 ∈ R (II.1)

Dans le domaine temporel, la transformation h(.) du signal d’entrée x(t) en signal de sortie y(t) estdéfinit par une opération de convolution. On distingue alors :

Filtres analogiques (eg., passifs et actifs) : y(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t− τ)dτ = x(t) ∗h(t)

Filtres numériques : y(nT ) =

+∞∑−∞

x(iT )h((n− i)T )

Les hypothèses considérées pour l’étude d’un filtre sont les suivantes :• les signaux à 1 dimension évoluent en fonction du temps t ≥ 0 ;• l’hypothèse de filtre linéaire suppose que la relation h(.) liant y(t) à x(t) est linéaire et invariante dans

le temps ;

• si le filtre est linéaire, le contenu spectral de y(t) ne peut être plus riche que celui de x(t) (causalité).→ Pour les signaux évoluant en fonction du temps, seuls les filtres causaux sont implémentables en

“temps réel ”.

À la fonction h(t) décrivant le comportement du filtre est associée sa transformée dans le domainefréquentiel, qui n’est autre que sa fonction de transfert.

H(ω) = Y (ω)X(ω) ou H(p) = Y (p)

X(p)

Fourier Laplace

→ Pour faciliter l’étude fréquentielle et la synthèse des filtres les FT d’ordre n sont généralementdécomposés en produit de cellules élémentaires d’ordre 1 et/ou 2 :

Bode Laplace1 + ω

ω1⇔ ω + ω1

1 + 1Qωω0

+(ωω0

)2

⇔ (ω)2 + ω0Qω + ω2

0

Atténuation :Enfin un filtre est aussi définit à travers sa fonction d’atténuation (ou fonction de transmission) :

A(ω) =X(ω)

Y (ω)

Cette représentation permet de caractériser la transmission de l’énergie transportée par lesignal x(t).

Retard de phase et retard de groupe :On sait que le déphasage ϕ est une mesure du décalage temporel td entre deux signaux périodiques

de même nature et que l’on a la relation suivante :ϕ(ω)

2π=tdT.

De manière équivalente on a :

ϕ(ω) =2π

Ttd ⇔ td =

ϕ(ω)

ω


23 Chap. II Filtrage

Lorsque l’on s’intéresse au retard de phase tϕ (ou temps de propagation) d’un filtre, celui-cicorrespond à un temps de retard et on le définit comme suit :

tϕ(ω) = −ϕ(ω)

ω

Le signal d’entrée n’étant pas forcément une sinusoïde pure, il est parfois nécessaire de connaîtrele temps mis par l’énergie du signal pour atteindre la sortie. Cette durée τg(ω) appelée retard degroupe obéit à :

τg(ω) = −dϕ(ω)

dω

Dans le cas d’un filtre idéal, le temps de propagation est indépendant de la fréquence et le systèmen’introduit pas de distorsion de phase ; on dit qu’il est à phase linéaire. Cela signifie que, pour lessystèmes à phase linéaire, toutes les composantes spectrales d’un signal sont retardées du mêmetemps tϕ et que le signal temporel est ainsi peu ou pas déformé.

Filtre à phase linéaire : Les retards de phase et de groupe ne dépendent pas de la fréquence Le signal de sortie est seulement retardé → pas de distorsion due à la phase

Filtrage analogiqueLes filtres sont souvent classés selon la forme de leur fonction de transfert, ou des fréquences qu’ilslaissent passer ou non. Ainsi les filtres les plus courants sont les suivants :

1. filtre passe-haut : ne laisse passer que les fréquences au-dessus d’une fréquence de coupure. Il atténueles autres (basses fréquences).

2. filtre passe-bas : ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de coupure.3. filtre passe-bande : ne laisse passer qu’une certaine bande de fréquences (et atténue tout ce qui est

au-dessus ou en dessous).4. filtre rejecteur ou coupe-bande : le complémentaire du passe-bande, il atténue une plage de fréquences.5. filtre passe-tout ou déphaseur : filtre qui a idéalement un gain unitaire sur toute la plage de fréquence

utilisée. Il est utilisé pour modifier la phase d’un système.

Passe Bas Passe Haut Passe Bande Coupe Bande

fc fc fcb fchf0 fcb fchf0

Table II.1 – Différents types (ou classes) de filtres.

II.1.2 Le filtre idéalUn filtre idéal doit transmettre sans distorsion, ni déphasage, avec un gain constant les composantesutiles (eg., bande passante) et “couper ” les signaux indésirables (eg., bande coupée), avec une transitionverticaleEn pratique, la synthèse du filtre idéal est impossible. Le gain constant dans la bande passante, etl’atténuation infinie dans la bande atténuée et des transitions verticales donnent une caractéristiquede réponse physiquement irréaliste.Pour qu’un filtre soit physiquement réalisable il doit être :

1. stable : degrés(Num) < degrés(Den) (H(p) = Num(p)Den(p) )

2. causale : x(t) = 0 et y(t) = 0, ∀t < 0


II.2 Synthèse des filtres analogique 24

Ainsi, il n’y a pas de “bon filtre” : plus la pente d’atténuation est importante, plus le retard augmente,de même quand la fréquence diminue.Il faut alors chercher un compromis entre :

• Transition progressive entre la Bande Passante (BP) et la Bande Coupée (BC) ;

• Irrégularité du gain dans la BP ;

• Affaiblissement dans la BC ;

• Irrégularité du temps de propagation τg(f) ;

→ Conception d’un filtre “réalisable” ⇒ spécification d’un gabarit

II.2 Synthèse des filtres analogique

Fig. II.2 – Méthode de synthèse des filtres.

II.2.1 Gabarit

fp fa

Amax

Amin

a Passe bas b Passe haut

Amin

Amax

fafp

- fp+ fa

+

c Passe bande

Amax

Amin

fpfa- fp+fa+

d Coupe bande

Fig. II.3 – Gabarit pour la synthèse de filtre réels

Le cahier des charges d’un filtre réel est donné dans le domaine des fréquences à l’aide d’un gabarit.Celui-ci donne des indications concernant :

• le gain G dans la bande passante (BP) : GdB = |H(ω)|dB ;• l’atténuation AdB dans la Bande Coupée (BC) : AdB =

∣∣H−1(ω)∣∣dB

;

• la (ou les) fréquence(s) de coupure : |H(fc)|max |H(f)|

• la largeur de la (des) bande(s) de transition ⇔ raideur k



Passe bas : k =fpfa

Passe haut : k = fafp

Passe bande : k =∆fp∆fa

Coup bande : k = ∆fa∆fp

À la donnée du gabarit sont éventuellement ajoutées des spécifications telles que

• l’amplitude de l’ondulation dans les bandes passantes et/ou de coupure ;

• l’uniformité du temps de propagation dans la bande passante (phase linéaire).

Exemple II.2.1 (Gabarit d’un filtre passe bas). On a

• Amax : atténuation maximale (en dB) dans la BP

• Amin : atténuation minimale (en dB) dans la BC

• fp : fréquence limite de la BP

• fa : fréquence du début de la BC

• k =fpfa

: sélectivité du filtre 7→ largeur de la BT

Exemple II.2.2 (Gabarit d’un filtre passe bande). On a

• Largeur de bande : ∆fp = f+p − f−p

• k =∆fp∆fa

=f+p −f−pf+a −f−a

: sélectivité du filtre

• Fréquence centrale : f0 =√f+p f−p

• Largeur de bande relative : B =∆fpf0

→ Pour la synthèse de filtres, il faut un gabarit symétrique ⇔f−a f

+a = f−p f

+p = f20

Exercice II.1 (Spécification d’un filtre (ie., le cahier des charges)). On a besoin d’un filtre pour traiterles signaux provenant d’une cellule d’acquisition, qui sont perturbés par des signaux de bassesfréquences. Le signal que notre système doit transmettre possède une fréquence de 1000Hz, et uneamplitude de 10V. Grâce à un analyseur de spectre, on s’aperçoit que les fréquences parasites sontinférieure à 500Hz et ont une amplitudes ne dépassant pas 2V. On veut obtenir à la sortie un signalsupérieur à 7V, et les signaux parasites de doivent pas dépasser 200mV.

→ Quel est le gabarit du filtre répondant aux spécifications ?



II.2.2 NormalisationAfin d’établir des résultats valables pour tous les filtres, on effectue une normalisation du gabarit.

1. Normalisation des fréquences : Cette étape consiste à choisir comme unité de fréquence non pasle Hz, mais une fréquence fN associée au gabarit et qui est :• Passe bas et Passe haut : fN = fp

• Passe bande et Coupe bande : fN = f0

→ Valeur normalisée de la fréquence : F = ffN

(⇔ ωωN

= Ω ⇒ ppN

= P = Ω)

P 6= 2πF

2. Normalisation en amplitude : GN (ou AN )→ Ramener le prototype au gain unité

3. Normalisation des composants : il s’agit de définir le composant unité qui permettra de faciliterla phase dénormalisation.

II.2.3 TranspositionTransposition passe-haut/passe-basPour transformer un filtre passe-bas en un filtre passe-haut (et réciproquement), on fait subir à lavariable complexe normalisée P la transformation suivante : p↔ P = 1

p

←→|HHaut(P )| =

∣∣HB( 1P )∣∣

Fig. II.4 – Transposition passe haut/passe bas

Transformation passe-bande/passe-bas

On applique la relation de transposition en fréquence : p ↔ P = 1B

(p+ 1

p

), où B =

∆fpf0

, est lalargeur de bande relative.

←→|HBD(P )| =

∣∣∣HB(P2+1B·P )

∣∣∣

Fig. II.5 – Transposition passe haut/passe bas

On considère uniquement les gabarits symétriques : f−a f+a = f−p f

+p = f2

0

Il est ainsi suffisant de disposer des réponses fréquentielles des filtres passe-bas. En effet, à partirde ces prototypes normalisés, on aboutit par simple changement de variable (transposition), à lacatégorie passe-haut, passe-bande ou coupe-bande désirée.



II.2.4 Fonctions de transfert des filtresUn Filtre est un SLI caractérisé par sa FT :

H(P ) =amP

m + . . .+ a1p+ a0

Pn + . . .+ b1P + b0=N(P )

D(P )

où n définit l’ordre du filtre, qui doit bien entendu satisfaire à n > m ; et D(P ) doit être un polynômede Hurwitz.

Le SLI est stable, si les pôles de H(P ) sont à racines réelles négatives. Déphasage minimum, si les zéros de H(P ) sont à partie réelle négative.

→ Pour respecter les spécifications données pour H(P ), il s’agit de rechercher les pôles et leszéros de H(P ) en tendant vers les conditions idéales : 1 dans la bande passante et 0 dans labande coupée.

Il s’agit de placer :• les zéros : dans la bande atténuée• les pôles : dans la bande passante

Toutefois, de nombreux travaux ont permis de définir des caractéristiques de filtres standards quipermettent de faire face à la majorité des contraintes de filtrage. Ces fonctions “classiques” (appelésfonctions d’approximations) ne permettent pas de satisfaire simultanément toutes les contraintesprécédemment présentées, mais ont été définit et optimisées pour certaines d’entre elles.

Fonction d’approximationsLe but de l’approximation est de transformer des spécifications portant sur l’affaiblissement ou ledéphasage d’un filtre en une fonction de transfert qui les vérifie.

Remarque II.1. Nous nous intéresserons plus particulièrement ici à l’approximation de l’atténuation.Si la phase ou le délai de groupe du filtre doivent également respecter des spécifications précises, ilfaudra se souvenir de corriger la phase des filtres obtenus, en ajoutant des cellules correctrices dephase.

La synthèse d’un filtre s’effectue à travers la construction de sa fonction d’atténuation A(P )

→ Pour simplifier l’étude, il s’agit de rechercher principalement la fonction caractéristique du filtreK(P ) :

A(P )2 = 1 + |K(P )|2 (II.2)⇔ Dans la bande coupée (atténuation maximale), les zéros sont

sur l’axe des imaginaires (ie., annulation complète)

La majorité des familles de réponses sont alors données sous la forme :

A(P ) = A0

√1 + |K(P )|2,

où A(P ) représente l’atténuation en fonction de la fréquence et est aussi vue comme étant la “fonctiond’approximation” (ou à approximer) ; et le terme A0 est une constante.

On distingue deux familles de fonctions d’approximations qui aboutissent à deux grandes catégoriesde filtre :• Les filtres polynomiaux : fonction de Butterworth ; fonction de Tchebychev ; fonction de Bessel ;

etc. . .• Les filtres non-polynomiaux (ou à zéros de transmission)



Filtres de Butterworth

Fig. II.6 – Filtres de Butterworth

Les filtres de Butterworth ont les courbes de réponseles plus plates (maximally flat) dans la bande passante(ie. pas ou peu d’oscillation). Dans la cas du filtrede Butterworth, la pulsation caractéristique ω0 estgénéralement égale à la pulsation de coupue à −3dB.

La fonction caractéristique d’un filtre de Butterworthest donnée par :

K(Ω) = εΩn (II.3)

et donc sa réponse en atténuation s’écrit :

A(Ω) =√

1 + ε2Ω2n (II.4)

Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre n du filtre de Butterworth à partir desparamètres : Amax, Amin et 1/k du prototype passe bas :

• Facteurs d’ondulations :ε =

√10Amax/10 − 1 (II.5)

• Ordre n du filtre :

n ≥log(10Amin/10 − 1

)− 2 log ε

2 log 1/k(II.6)

Ayant dimensionné le filtre, la FT s’obtient en satisfaisant :

|H(Ω)| = 1√1 + ε2Ω2n

(II.7)

ce qui conduit à rechercher les pôles du dénominateur de |H(Ω)|2 et revient à résoudre l’équation :1 + ε2(−P )2n = 0. Il vient que les pôles de H(P ) s’obtiennent à partir :

Pi = ε−1n exp

(π

2i+ n+ 1

2n

), i = 0, .., 2n− 1 (II.8)

Seuls les pôles à partie réelle négative sont conservés

Abaque de Butterworth

Il existe des abaques et des tables (pré-calculés) qui permettent de déterminer l’ordre et la fonctionde transfert de Butterworth.

Remarque II.2. Les tables sont en général fournies pour ε = 1, c’est-à-dire pour Amax = 3dB.Il fautdonc transformer la FT pour répondre aux spécification. Pour cela, il s’agit de transformé chaquecoefficient ak comme suit :

Ak =ak(

ε−1N

)kElles donnent le polynôme de Butterworth, qui correspond au dénominateur de la fonction de transfertdu prototype passe-bas. Il ne reste alors qu’à effectuer la transposition inverse (si nécessaire) et àdénormaliser.



Coefficient de :D(p) = pn + a1p

n−1+ . . . + a1p + 1N a1 a2 a3 a4

2√

2

3 2 2

4 2.6131 3.4142 2.6131

5 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361...

...

Fig. II.7 – Abaque et table de Butterworth

Filtres de Tchebychev

Fig. II.8 – Filtres de Tchebychev

Dans certaines applications, il n’est pas nécessaire d’avoir uneréponse en amplitude très plate dans la bande passante. Dans cecas, on peut préférer la caractéristique de Tchebychev (ou Che-bychev). Dans l’approximation de Tchebychev les spécificationsdu gabarit autorisent une ondulation dans la bande passante dufiltre, mais offre une coupure plus raide dans la bande de transitionque la caractéristique de Butterworth. Notamment, les filtres deTchebychev présentent un grand intérêt pratique car de tous lesfiltres polynomiaux, ce sont ceux qui présentent la coupure la plusbrutale pour un ordre N donné. Cependant les inconvénients sontun temps de propagation de groupe τg peu constant, et une réponsetransitoire trop agitée, ce qui peut provoquer des distorsions parexemple dans les cas des signaux impulsionnels.

La fonction caractéristique d’un filtre de Tchebychev est donnée par :

K(Ω) = εTn(Ω) (II.12)

et donc sa réponse en atténuation s’écrit :

A(Ω) =√

1 + ε2T 2n(Ω) (II.13)

Tn(x) représente le polynôme de Tchebychev de degré n, défini par :Tn(x) = cos (n acosx) , pour |x| ≤ 1Tn(x) = cosh (n acoshx), pour |x| > 1

On montre que le polynôme de Tchebychev se défini également par la formule de récurrence suivante :Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)avec T0(x) = 1, et T1(x) = x



Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre N du filtre de Tchebychev à partir desparamètres : Amax, Amin et 1/k du prototype passe bas :

• Facteur d’ondulations :ε =

√10Amax/10 − 1 (II.14)

• Ordre n du filtre :

n ≥acosh

(√10Amin/10−110Amax/10−1

)acosh (Ωa)

(II.15)

Comme pour Butterworth, il s’agit de satisfaire l’équation (II.7), ce qui conduit rechercher les pôlesdu dénominateur de |H(Ω)|2 et revient à résoudre l’équation : 1 + ε2T 2

n(−P ) = 0. On montre queles pôles de H(P ) sont situés sur une ellipse :

Pi =

[sin

(2i− 1

2nπ

)sinh(q)

]+

[cos

(2i− 1

2nπ

)cosh(q)

], i = 1, .., 2n (II.16)

avec q = 1n asinh

(1ε

).

Remarque II.3 (cosinus et sinus hyperbolique). La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh (ou ch),est la fonction réelle définit par : cosh(x) = ex+e−x

2 . Sa fonction réciproque, noté acosh (ou arccosh),

est définit par : acosh (x) = ln(x+√x2 − 1

)La fonction sinus hyperbolique, notée sinh (ou sh), est la fonction réelle définit par : sinh(x) = ex−e−x

2 .

Sa fonction réciproque, noté asinh (ou arcsinh), est définit par : asinh (x) = ln(x+√x2 + 1

)Abaque de TchebycheffIl existe des abaques et des tables qui permettent de déterminer l’ordre et la FT de Tchebycheff.

N A(P ) pour ∆dB = 1dB

2 0.907P 2 + 0.9957P + 1

3 2.035P 3 + 2.011P 2 + 2.5206P + 1

4 3.628P 4 + 3.4568P 3 + 5.2749P 2

+2.6942P + 1

5 8.1415P 5 + 7.6271P 4 + 13.75P 3

+7.933P 2 + 4.7264P + 1

Fig. II.9 – Abaque et table de Tchebycheff



II.3 Filtre PassifsUn filtre est passif s’il ne nécessite pour fonctionner aucune source d’alimentation. Il est constituéessentiellement de résistances, de condensateurs et d’inductances.

Fig. II.10 – Topologie de Cauer

La synthèse d’un filtre passif se base communémentsur la topologie de Cauer qui fait l’hypothèse d’une“structure en échelle”.On montre alors que l’impédance du quadripôles’écrit :

Z(P ) =Nz

Dz= Z1 +

1

Y2 + 1Z3+ 1

Y4+...

(II.17)

Pour identifier les divers composants, il s’agit d’effec-tuer une division de polynômes : division Nz par Dz, soit :

1. Nz = DzQ1 +R1, soit Z(P ) = NzDz

= Q1 + R1Dz

= Q1 + 1Dz/R1

2. Dz = Q2R1 +R2, soit Z(P ) = NzDz

= Q1 + 1Q2+ 1

R1/R2

3. etc. . .

Il ne reste qu’à identifier : Z1 = Q1, Y2 = Q2, etc. . .On s’aperçoit que les quotients sont alternativement des impédances et des admittances.

Exercice II.2. Soit Z(P ) = 8P 4+24P 3+17P 2+12P+48P 3+24P 2+13P+1

, trouver le circuit RLC correspondant.

La synthèse de filtres passifs non dissipatif pouvait se résumer en la détermination d’une immittanceZ(P ) image de l’impédance d’entrée Z(P )D±ED±EZg.Pour synthétiser un filtre passif suivant la topologie de Cauer, on montre que l’on rencontre deux typesde structures : structure en T ou en structure Π. Chacune de ces topologies est formée de N branchescomportant au maximum deux éléments (un condensateur et une inductance) ; où N correspond àl’ordre de la fonction de transfert du filtre.

Structure en T

Fig. II.11 – Structure en T

On montre que pour une structure en T que l’impé-dance ZT (P ) s’écrit comme suit :

ZT (P ) =Zin

Zg=D + E

D − E

ZT (P ) = L1P +1

C2P + 1L3P+...

Structure en Π

Fig. II.12 – Structure en Π

On montre que pour une structure en Π que l’impé-dance ZΠ(P ) s’écrit comme suit

ZΠ(P ) =Zin

Zg=D − ED + E

ZΠ(P ) =1

C1P + 1L2P+ 1

C3P+...


II.4 Filtre Actifs 32

Passe BasZb = R Zb = Lbp Zb = 1

Cbp

Passe Haut :P ↔ p = 1

P

Zh = RZh = Lb

pZh = p

Cb

Passe Bande :P ↔ p = 1

B

(P + 1

P

) Zbd = R L′ = Lb/Bet C ′ = B/Lb

L′ = B/Cbet C ′ = Cb/B

Table II.2 – Transposition en fréquence des composants.

II.4 Filtre ActifsLes filtres actifs sont construits autour d’un ou plusieurs composants actifs associés à des résistanceset condensateurs (eg. les inductances difficiles à intégrer sont exclues). Les composants actifs sont destransistors bipolaires ou FET, mais le plus souvent des amplificateurs opérationnels (AOP).

L’inconvénient des filtres actifs sont la nécessité d’alimenter les composants actifs ; qu’il faille secontenter de signaux d’amplitudes limitée par les composants actifs ; le coefficient de surtension quipeut devenir très élevée (dans ce cas il y a risque d’oscillations spontanées). D’autre part, le niveau debruit et la présence de tension d’offset peuvent aussi limiter les domaines d’applications. Cependant, lesfiltres actifs sont généralement caractérisés par des impédance d’entrée très élevées et des impédancesde sortie très faibles, ce qui permet la mise en cascade de plusieurs cellules élémentaire sans se soucierdu problème d’adaptation ; ceci constitue l’avantage majeur des composants actifs.Ainsi de nombreuses cellules “actives” ont ainsi été décrites qui permettent de résoudre facilement desproblèmes de synthèse de filtres analogiques.

En particulier, tous les filtres analogiques peuvent être décrit à partir de fonctions élémentaires d’ordre1 ou 2. Il en est de même pour leur réalisation. Il suffit donc de connaître les circuits de base pourréaliser n’importe quel filtre d’ordre n.

II.4.1 Notion de sensibilité

Définition 1 (Sensibilités). Soit f une fonction (eg., gain, facteur de qualité, position d’un pôle, d’unzéro, etc.) d’un ensemble de paramètres x1, x2, . . . , xk (eg., valeurs des résistances, capacités, gains,fréquence, etc.) ; on la note donc f(x1, x2, . . . , xk).

On définit :

• la dérive relative (ou incertitudes, tolérances, etc) d’un paramètre xi : ∂xixi• la dérive relative de la fonction f : ∂ff• le taux de sensibilité Sfxi de f par rapport aux paramètres xi autour du point de fonctionnementx0i par :

Sfxi =∂f

∂xi

xif

∣∣∣∣x0i

(II.18)

Dans le cadre du filtrage, les imperfections les plus importantes sont :

• valeurs des composants différents des valeurs nominales ;

• gain fini et dépendant de la fréquence ;

• dépendance à la température, au vieillissement, dispersion de fabrication ;



• influence des capacités parasites,

• variation des impédances d’entrée/sortie, etc. . .

En outre on distingue deux types de sensibilités :

1. Sensibilité passive : xi = composants passifs

2. Sensibilité active : xi = paramètres composants actifs

Les composants actifs présentent l’inconvénient d’avoir des performances peu stables dans le tempset dépendant des variations des grandeurs extérieures telles que la température. Les éléments passifssont moins sujets à ce type de variation. Il convient cependant d’étudier l’influence des variations deséléments passifs sur la courbe de réponse du filtre, afin de tenir compte notamment des tolérances surla valeur des composants.

II.4.2 Cellules élémentaires du premier ordre

vin vout+−Z1

Z2

Fig. II.13 – Cellule active du 1er ordre

Soit le montage de la figure ci contre qui met en œuvre unAOP parfait.

La fonction de transfert de se montage s’écrit :

H(ω) =vout(ω)

vin(ω)= −Z2

Z1

On obtient ainsi les filtres actifs suivant :

• Passe-bas : Z1 = R1 et Z2 = R2//C

• Passe-haut : Z1 = R1 + C et Z2 = R2

Remarque II.4. On peut procéder de la même manière en considérant un montage amplificateur non-inverseur.

II.4.3 Cellules élémentaires du second ordreCellule à contre-réaction simple

Fig. II.14 – Cellule à contre-réaction.

On utilise un AOP et deux quadripôles (passifs linéaires) unen entrée et un autre en réaction entre la sortie et l’entréeinverseuse.On montre que la fonction de transfert est donnée par :

H(p) =vout(p)

vin(p)= −Y

A21

Y B12

Par conséquent, pour calculer la fonction de transfert H(p) du filtre, il suffit de savoir calculer desadmittances de transfert ; et il ne reste alors qu’à choisir l’association de quadripôles permettantd’obtenir la fonction de transfert souhaitée.



Y12 = Y21 = −1R(2+RC1p)

Y12 = Y21 = −R2C1C2p2+2RC2p+12R+R2C1p

Table II.3 – Filtre passe-bas du 2nd ordre

Structure de Rauch

Fig. II.15 – Schéma général d’une cellulede Rauch.

Ces cellules biquadratique utilisant un AOP avec réactionnégative multiple s’appellent aussi MLF (multi-loop feed-back), et sont des structures très utilisées. Elles corres-pondent à la structure ci-contre, où les impédances Zi (oude manière équivalente leurs admittances Yi) sont constituéesde capacités ou de résistances.

On montre que la fonction de transfert dans le cas d’AOPidéaux est donné par :

H =−Y1Y3

Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + Y3Y4(II.19)

Les différents types de filtres (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) sont ainsi réalisables, selon lechoix des composants réalisant les impédances Zi, comme le précise le tableau II.4.

Type de filtres Résistances CapacitésZ = R Z = 1/(Cω)

Passe-bas Z1, Z3, Z4 Z2, Z5

Passe-haut Z2, Z5 Z1, Z2, Z3

Passe-bande Z2, Z3, Z4 Z1, Z5

Z1, Z2, Z5 Z3, Z4

Table II.4 – Choix des impédances de la structure de Rauch.

Exercice II.4. Exprimer les fonctions de transfert du second ordre des différents filtres basés sur lastructure de Rauch. On identifiera les paramètres de la cellule du second ordre : G0, ζ et ω, en fonctiondes éléments du montage.

Structure de Sallen et Key

Fig. II.16 – Schéma général d’une cellulede Sallen-Key.

Dans ce type de circuits, l’amplificateur est monté en sourcecontrôlée, c’est-à-dire en amplificateur à gain constant (surles schémas présentés ci-après, ce gain vaut K). Il s’agitde structures connues également sous le nom de cellules deSallen-Key (SK).Une cellule de Sallen-Key correspond à la structure ci-contre, où les admittances Yi sont constituées de capacitésou de résistances. La fonction de transfert associée est don-née par l’expression générale, dans le cas d’AOP idéaux :

H(p) =KZ2Z4

Z2 (Z1 + Z3 + Z4) + Z1 (Z3 + Z4(1−K))(II.20)

Les différents types de filtres (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) sont ainsi réalisables, selon lechoix des composants réalisant les admittances Yi, comme le précise le tableau II.5.



Type de filtres Résistances CapacitésPasse-bas Z1, Z3 Z2, Z4

Passe-haut Z2, Z4 Z1, Z3

Passe-bande Z1, Z2, Z4 Z3, Z4

Table II.5 – Choix des impédances de la structure de Sallen-Key.

Exercice II.5. Exprimer les fonctions de transfert du second ordre des différents filtres basés sur lastructure de SK. On identifiera les paramètres de la cellule du second ordre : G0, ζ et ω, en fonctiondes éléments du montage.

Critères pour la conception d’un filtreChoix des composants passifs

→ Sensibilité des paramètres du filtre aux composants passif

La réponse d’un filtre peut être sérieusement altérée par la variation d’un ou plusieurs éléments entrantdans sa constitution. Les composants passifs entrant dans la réalisation des filtres doivent être précis etstables en fonction du temps et de la température. Ce sont donc des éléments coûteux. Les structuresnécessitant peu de composants passifs sont donc avantageuses. Aussi, l’obtention d’un filtre performantest conditionnée par un choix rigoureux de ses composants.

Choix des composants actifs (eg., de l’AOP)Le choix de l’amplificateur tiendra impérativement compte des critères suivants :

Produit gain-bande : celui-ci doit être suffisamment élevé pour que le gain A en boucle ouvertesoit largement supérieur au coefficient de surtension Q autour de la fréquence f0.

Slew-rate : pour minimiser les problèmes de distorsion, on rappelle qu’il faut que SR > max dVoutdt

Choix des structures :

Souplesse et facilité de réglage : les réglages seront faciles s’ils sont indépendants les uns des autres

Nombre de composants requis (coût, encombrement, etc.)

Faible sensibilité vis-à-vis de la variation des éléments passifs et actifs du filtre.


Chapitre IIIOSCILLATEURS SINUSOÏDAUX

III.1 IntroductionDans certaines applications, un dispositif instable générant un signal périodique à des fréquences biendéfinies est très utile. Par exemple, l’horloge d’un ordinateur, la base de temps d’un oscilloscope,radiocommunication (modulation/ démodulation), etc.En particulier, les oscillateurs sont des systèmes instables à unefréquence donnée. À ce titre, ils contrarient l’attention apportée à lastabilité dans l’étude des systèmes. En particulier, cette instabilitéfait que le système évolue de part et d’autre d’un équilibre stable :on dit qu’il “oscille”.

Oscillateur

Alim.

Sign.

périodique

En outre, l’une des particularités des oscillateurs résident dans le fait qu’ils peuvent délivrer sponta-nément un signal sans signal de commande. La puissance nécessaire au fonctionnement provient desalimentations de composants.

Les variations des grandeurs décrivant le système peuvent-être : périodique dans le temps, pseudo-périodiques (amortissement) s’il existe une dissipation d’énergie qui atténue progressive-ment l’amplitude des oscillations.

On distingue plusieurs types d’oscillateurs selon leur fonctionnement et leurs effets : Les oscillateurs libres qui lorsqu’on leur applique une force, ils ont tendance à revenir vers uneposition d’équilibre autour de laquelle il oscille ;

Les oscillateurs auto-entretenu qui utilisent une source d’énergie ;

Les oscillateurs sinusoïdaux (ou harmoniques) qui fournissent un signal quasi-sinusoïdal ; Les oscillateurs à relaxation (astable) qui produisent un signal non-sinusoïdal (créneaux, dents descie, etc.).

Nous nous intéresserons uniquement aux oscillateurs harmoniques, qui sont des générateurs designaux (quasi)-sinusoïdaux.

Exemple III.1.1. Les exemples les plus courants proviennent :

de la mécanique : pendule, système masse-ressort, etc.

de l’électricité : charge/décharge d’un condensateur, résonance, etc.

→ Mais aussi d’autres domaines de la chimie et de la physique (notamment enmécanique quantique)

Exercice III.1 (Système masse-ressort). Une masse m, relié à ressort de raideur k, est écartée de saposition d’équilibre x0 et relâchée sans vitesse initiale.

1. Exprimer l’équation différentielle du système, et identifier la pulsation propore ω0.2. Montrer que la solution générale de l’équation différentielle est : x(t) = X cos(ω0t+ ϕ)

Exercice III.2 (Système LC). Un condensateur C pleinement chargé est relié à une inductance L.1. Exprimer l’équation différentielle du circuit, et identifier la pulsation propore ω0.

37

III.2 Oscillateurs quasi-sinusoïdaux 38

III.2 Oscillateurs quasi-sinusoïdaux

Caractéristiques

Définition 1 (Oscillateur Harmonique). Un oscillateur harmonique est un système physique dontl’évolution au cours du temps, en l’absence d’amortissement et d’excitation, est régie par l’équationdifférentielle linéaire :

x+ ω20x = 0 (III.1)

où ω0 est la pulsation propre. La solution est décrite par une fonction purement sinusoïdale :

x(t) = X cos(ω0t+ ϕ) (III.2)

dont la fréquence fondamentale f0 ne dépend que des caractéristiques du système, et dontl’amplitude X = Cste et la phase ϕ ne dépendent que des CI.

→ Les oscillations d’un oscillateur harmonique sont purement sinusoïdale de période propre T0 = 2πω0

En pratique il est impossible de réaliser un signal purement sinusoïdal en raison des effets dissipatifs.On parle alors d’oscillateurs quasi-sinusoïdaux.

La réponse de l’oscillateur quasi-sinusoïdal est donc composé d’un terme fondamental (partiedésirée) et d’harmonique (à minimiser). Le signal peut en particulier se décomposer en série de Fourier :

x(t) = X0 cos(ω0t) +∞∑k=2

Xk cos(kω0t+ ϕn) (III.3)

On distingue classiquement deux types de structuresd’oscillateur harmonique :

1. les oscillateurs à réactions ;

2. les oscillateurs utilisant un dispositif à résistances négatives

Pour un oscillateur harmonique, il faut résoudre les problèmes suivants :

définition des conditions d’oscillations (conditions de phase, de gain ou d’amortissement) ;

détermination de la fréquence fondamentale d’oscillation ;

détermination de l’amplitude du signal de sortie ;

détermination de la forme ou de la “ pureté ” de l’onde fournie (taux d’harmonique)

Définition 2 (Taux d’harmoniques). Soit un signal période qui se décompose en série de Fourierdonner par la relation (III.3). Le taux d’harmonique est alors définit par :

η =

∞∑k=2

Xk

X0(III.4)


39 Chap. III Oscillateurs

III.3 Oscillateur à résistance négative

III.3.1 Principe

Dans un circuit RLC, il y a échange permanent d’énergie entre la bobine et lecondensateur.

Mais cette énergie décroit constamment à cause de la puissance dissipée pareffet joule dans la résistance R

Vy

R

L

C

Le signal utile Vy est une sinusoïde amortie (pseudo-périodique), voire unedécroissance exponentielle (apériodique) si R est trop importante.

Pour avoir des oscillations sinusoïdales, il faut fournir au circuit une énergie quicompense la dissipation PJ.

→ Une stratégie simple consiste à utiliser un dispositif ayant un effet dit de résistancenégative ρ (i.e. Pρ = ρI2

ρ < 0).Vy

Circuit résonant

Résistancenégative

Exercice III.3 (Circuit RLC). En considérant un circuit RLC parallèle :

1. Exprimer l’équation différentielle du circuit.

2. Caractériser la solution homogène, et en déduire les conditions d’oscillations (périodique, pseudo-périodique, et apériodique).

III.3.2 Résistance NégativeLa résistance d’un dipôle quelconque est caractérisé par sa courbe courant-tension.

La plupart des composants obéit à la loi d’Ohm : v = Ri.

Quelques composants présentent une courbe caractéristique non-linéaire.

→ Une notion de “résistance” peut quand même leurs être associée :

Résistance statique : Rstatic =v

i

∣∣∣P

Résistance dynamique : Rdyn. =∂v

∂i

∣∣∣∣P

P

i

vi2

i1

v1 v2

vΔiΔ

Pi

vi

v

i

v

ORAR

vΔ

iΔvi

La courbe présente La dipôle fournit de Résistance négativeune pente négative : la puissance : active :

Rdyn. < 0 Rstatic = v/i < 0 ρ =∂v

∂i=v

i< 0

La résistance négative peut être obtenue par des composants passifs ou des circuits actifs :

Résistance négative passive ; tube à gaz, diode à effet tunnel, diode Gunn ;

Résistance négative active : emploi de composants actifs (transistor ou AOP)


III.4 Oscillateur à réaction positive 40

Exercice III.4 (Résistance négative active). Montrer que le circuitactif ci-contre présente une impédance d’entrée Ze = ve

ienégative.

Rep.: ρ = −R0R1R2

Que se passe-t-il si on remplace R0 par une capacité C ou uneinductance L ?

R0

Ie

Ve

R2R1

III.3.3 Exemple de réalisation

0

R1R2

I

V

R

L

C

R

Fig. III.1 – Oscillateur à résistance négative.

Exercice III.5. Soit l’oscillateur à résistance négative de la figure III.1.1. Déterminer l’équation différentielle régissant le circuit.2. Qu’elle est la condition d’oscillation ?3. Caractériser la solution homogène, en déduire les expressions du courant i(t) et de la tension v(t).

III.4 Oscillateur à réaction positiveIII.4.1 PrincipeLa fonction d’un oscillateur harmonique est de fournir un signal sinusoï-dal.

Pour cela l’idée est de construire système bouclé à réaction positive, soitx = yr.

A(p)

B(p)

x

yr

y

→ On exploite alors l’instabilité du système : une simple perturbation entraîne l’apparition d’une réponsey sans application d’excitation extérieur. Si A(p) ∈ R et B(p) ∈ R : la réponse du système y peut être quelconque ; Si A(p) ∈ C et B(p) ∈ C : la réponse du système y n’apparaît que pour une fréquence biendéterminer, appelée fréquence d’oscillation.

Un oscillateur à réaction, contient donc nécessairement les élémentssuivants :

Une chaîne directe ou d’action de fonction de transfer A(p) ;

Une chaîne de retour ou de réaction de transmittance B(p)

→ La FT de l’oscillateur s’obtient classiquement :

H(p) =A(p)

1−A(p)B(p)(III.5)

A(p)

B(p)

x y



III.4.2 Critère de Barkhausen

Comme le signal d’entrée est nul, E(p) = 0, on peut écrire :Y (p) (1−A(p)B(p)) = 0

A(p)

B(p)

x

yr

y

Critère 1 (auto-oscillation). La condition d’oscillation, ou critère de Barkhausen, est donnée par :

∀Y (p) 6= 0, ⇒ A(p)B(p) = 1 (III.6)

Comme tout relation complexe, cela implique deux conditions sur le gain et la phase :

ReA(ω)B(ω) = 1 ⇔ |A(ω)B(ω)| = 1 (III.7)ImA(ω)B(ω) = 0 ⇔ argA(ω)B(ω) = 0 (III.8)

La première condition (III.7) permet de fixer une condition d’amplification ;

Si |A(ω)B(ω)| < 1 : le signal de retour est trop faible pour entretenir les oscillations qui tendentà disparaître ;

Si |A(ω)B(ω)| > 1 : les oscillations ne cessent de croître, et la sortie est distordue.

La seconde condition (III.8) permet quant à elle de fixer la fréquence des oscillations.

Remarque III.2. On peut également réaliser un oscillateur avec une réaction négative, dans ce casla condition d’oscillation (III.6) devient alors :

∀Y (p) 6= 0, ⇒ A(p)B(p) = −1 (III.9)

Remarque III.3. Dans la pratique :

L’amplitude des oscillateurs est limitée par la saturation des composants.

La condition d’accrochage est obtenue pour |A(ω)B(ω)| légèrement supérieur à 1.

III.4.3 Le pont de Wien

−

R1

+

R2

R C

R CVe Vy Vr

Fig. III.2 – Oscillateur à pont de Wien.

L’oscillateur à pont de Wien associe un AOP en amplification linéaire et un filtre sélectif (le quadripôleRC) appelé “pont de Wien”.

Chaîne directe : amplificateur A(p) =VyVe

Chaîne de retour : filtre B(p) =VrVy


III.4 Oscillateur à réaction positive 42

Condition d’oscillations :• Condition de gain (III.7) : |A(ω)| = |B(ω)|−1

• Condition de fréquence (III.8) : argA(ω) = 0⇔ argB(ω) = 0

→ La fréquence des oscillations correspond à la fréquence centrale du filtre.

III.4.4 Oscillateur à déphasageComme l’oscillateur à pont de Wien, il est du type à réaction et est utilisé en BF pour éviter lesinductances de fortes valeurs difficiles à trouver, chères et peu compatibles du point de vue CEM.

R1 −+

R2 C

RVe Vy Vr

CC

RRR3

Fig. III.3 – Oscillateur déphaseur.

L’oscillateur déphaseur est construit à partir d’un étage amplificateur (à base d’AOP ou de transistor)et d’un filtre sélectif (le quadripôle réactif).

Chaîne directe : amplificateur A(p) =VyVe

Chaîne de retour : filtre B(p) =VrVy

Condition d’oscillations :• Condition de gain (III.7) : |A(ω)| = |B(ω)|−1

• Condition de fréquence (III.8) : argA(ω) = 0⇔ argB(ω) = 0

III.4.5 Forme générale

A0Ve

Rs

VeVy VrZ1Z3

Z2

Fig. III.4 – Forme générale d’un oscillateur.

La figure III.4 représente une forme “générale” d’un oscillateur.

Chaîne directe : L’étage amplificateur A(p) =VyVe

est supposé posséder une très grande impédance

d’entrée (e.g. FET, AOP). Il est ici caractérisé par son schéma équivalent de Thévenin.→ Ex.: Si le gain A0 est positif, il s’agit simplement d’un amplificateur inverseur.



Chaîne de retour :

• Impédance d’entrée : zy,in =VyIy

=z3 (z1 + z2)

z1 + z2 + z3

• Fonction de transfert : B(p) =VrVy

Condition d’oscillations :

−A0 z1 z3 = Rs (z1 + z2 + z3) + z3 (z1 + z2) (III.10)

Les impédances z1, z2 et z3 sont réalisés avec des éléments purement réactifs, soit :

z1 = X1, z2 = X2, z3 = X3

La condition d’oscillations (III.10) devient alors :

+A0X1X3 = Rs (X1 +X2 +X3)−X3 (X1 +X2) (III.11)

et conduit aux conditions suivantes :

A0X1 = X3 (III.12)X1 +X2 +X3 = 0 (III.13)

De ce fait,

• Si A0 est positif, X1 et X3 ont le même signe, et donc les impédances correspondantes z1 et z3 doiventde même nature.

• Comme X2 = −(X1 +X3), l’impédance z2 doit être de nature différente de celle z1 et Z3.

Exemple III.4.1 (Oscillateur de Colpitts). Si z1 et z3 sont des condensateurs, et z2 une inductance,on obtient l’ocillateur de Colpitts.

Exemple III.4.2 (Oscillateur de Hartley). Si z1 et z3 sont des inductances, et z2 un condensateur, onobtient l’ocillateur de Hartley.

A0Ve

Rs

VeVy VrC1C3

L2

a

A0Ve

Rs

VeVy VrL1L3

C2

b

Fig. III.5 – Oscillateur de a de Colpitts et b de Hartley.

III.4.6 InconvénientsPour maintenir une oscillation sinusoïdale en sortie, il faut maintenir la condition d’amplification|A(p)B(p)| = 1. Notamment, le critère de Barkhausen ne sera respecté que pour une fréquence :f = f0. D’une manière générale, les différents filtres B(p) n’étant pas très sélectif, les sinusoïdes nesont pas toujour très “pure”. La réalisation expérimentale de ces conditions est souvent impossible.Deux cas se présentent :

1. si |A(p)B(p)| < 1 pas de démarrage et si l’oscillation existe, elle s’amortie exponentiellement.


III.5 Oscillateur à résonateur 44

2. si |A(p)B(p)| > 1 les oscillations s’amplifient exponentiellement jusqu’à saturation de l’étage amplifi-cateur.

→ Pour remédier à ces limitations, il faut transformer la condition d’amplification en une conditiond’amplitude. Différentes solutions sont envisageable : asservir l’étage d’amplificateur A(p) sur l’amplitude du signal de sortie Vy ; utiliser un amplificateur non-linéaire, tel que Vy = f(Ve) :

Les valeurs efficaces doivent alors satisfaire :Vy = f(Ve)Ve = |B(p)|Vy

(III.14)

f(.)

B(p)

VyVe

Remarque III.4. Le démarrage des oscillations se fait de façon progressive, elles sont de plus en plusamplifiées jusqu’à leurs valeurs maximales. Pour obtenir le début des oscillations il faut avoir uneamplification suffisante, dans le cas où elle serait trop importante le signal de sortie serait déformée(saturation de l’étage amplificateur).

III.5 Oscillateur à résonateurIII.5.1 Le quartz piézoélectriqueLa fréquence des oscillateurs peut varier suite à une variation d’un paramètre (problème lié à latempérature, la tension d’alimentation. . . ).

→ Lorsqu’on a besoin de générer une fréquence de grande précision, on emploie des résonateurs constituésde cristaux piézoélectrique.

Définition 1 (L’effet piézoélectrique). La piézoélectricité est la propriété que possèdent certainscorps de se polariser électriquement sous l’action d’une contrainte mécanique, et réciproquementde se déformer lorsqu’on leur applique un champ électrique.

Définition 2 (Le Quartz piézoélectrique). Le quartz piézoélectriquepossède deux électrodes collées sur deux faces opposées sur un cristalde quartz (le quartz est un cristal naturel de silice : SiO2).Il correspond à un dipôle passif linéaire qui possède comme propriétéutile d’osciller à une fréquence stable lorsqu’il est stimulé électrique-ment.

AB

C0

C1 L1 R1

AB

Lorsqu’il est soumis à un champ électrique, le quartz se déforme par effet piézoélectrique inverse.Lorsque le champ est coupé, le quartz va générer à son tour un champ électrique lorsqu’il va reprendresa forme initiale, provoquant une ddp dans les électrodes. L’alternance de ces deux états, entretenuepar un composant actif, va se stabiliser sur une des fréquences de résonance du quartz.→ La fréquence de résonance dépend de la taille, de la forme, de l’élasticité et de la dispersion sonore

du quartz. Mais pour un quartz donné elle est fixe et très stable dans le temps : c’est la qualitéfondamentale de ce type de résonateur.

Exercice III.6. Calculer l’admittance y(ω) du schéma équivalent du quartz.

Rep.: En négligeant la résistance R1, on a : y(ω) = ω(C0 + C1)1−

(ωωp

)2

1−(ωωs

)En considérant ωs < ωp, tracer l’allure fréquentielle du module de l’admittance | y(ω)|dB.



Caractéristiques du quartz : Fréquences d’oscillations : de qqs. centaines de kHz à plusieurs dizaines de MHz ;

Classiquement : C0 C1 et R1 très faible (devant les autres impédances)Ex.: Ordre de grandeur : C0 ≈ 25 pF, C1 . 0.05 pF et L1 ≈ 0.2 H.

Le quartz a la particularité de ne pas beaucoup changer de taille avec la température ;Ex.: Un quartz de 32 kHz, perd ∼ 2 min par an à la température de +15/+ 35 C, et ∼ 8 min paran à +5/+ 45 C.

Pour éviter ce décalage pour des applications critiques, le quartz peut être monté dans un dispositifcontrôlé en température : on parle de Oven Controlled Crystal Oscillator (OCXO).

La sélectivité (capacité à filtrer très précisément la fréquence de résonnance tout en rejetant lesharmoniques et le bruit), est donné par le facteur de qualité Q du quartz ;Ex.: Q est généralement compris entre 104 et 106.

Fig. III.6 – Exemple de donnée constructteur pour des quartz.

III.5.2 Oscillateur de PierceUn oscillateur à quartz est dit oscillateur de Pierce.

La chaîne directe est un étage amplificateur (à base de transistor oud’AOP) ;

→ R1 est une résistance de polarisation : placer l’amplificateur dansson domaine linéaire et avoir un amplificateur inverseur de gainélevé.

R1

A

X1

C1 C2

La chaîne de retour comporte : un quadripôle composé d’un quartz et de condensateurs. Le quadripôle correspond à un pont Π, qui provoque un déphasage de 180


III.6 Oscillateur contrôlé en tension 46

III.6 Oscillateur contrôlé en tensionDéfinition 1 (Oscillateur controlé en tension). L’oscillateurcontrôlé en tension (Voltage controlled oscillator – VCO) est unsystème électronique qui génère un signal dont la fréquence varieproportionnellement à la tension d’entrée.

VCOve fs

L’objectif consiste à obtenir fs = f0 +KV CO · ve,avec KV CO le gain du VCO. En pratique, on ce comportement linéaire uniquement sur une plage de tension/fréquence

→ Tout type d’oscillateur peut être modifié en oscillateur controlé en tension. Cette opération consisteà remplacer une (ou plusieurs) des capacités du montage par une (ou plusieurs) diode à capacitévariable : diode varicap.

Définition 2 (Diode varicap). Une diode varicap est un type de diode quiprésente la particularité de se comporter comme un condensateur dont la valeurde la capacité varie avec la tension inverse appliquée à ses bornes.

→ Cette diode peut être considérée comme un condensateur variable.

RrCT≡

a

0 1 2 3 4 5 6 740

60

80

100

120

140

160

CT (

pF

)

|Vd | (V)

CT (0)

b

Fig. III.7 – Diode varicap : (a) schéma équivalent et (b) courbe caractéristique typique

Lorsque la diode varicap est polarisée en inverse, sa capacité de transition en fonction de la tensioninverse qui lui est appliquée, est donné par :

CT (Vd) =C(0)√1 +

∣∣∣VdV0 ∣∣∣(III.15)

Exercice III.7. Soit l’oscillateur à résistance négative de la figure III.1, où le condensateur C estremplacé par une diode varicap Cx ≈ C0|Vd|−0.5.

1. Déterminer l’équation différentielle régissant le circuit.2. En déduire l’expression de la pulsation propre ω0.



ρ UVR L C

-R Cx

Rp

Fig. III.8 – Oscillateur commandé en tension.

Exercice III.8. On s’intéresse à un oscillateur constitué d’un résonateur RLC, d’une résistance négativeρ = −R, auquel on rajoute un circuit comprennant une diode varicap, dont on peut faire varier latension de polarisation U .

1. Montrer que la pulsation propre du circuit peut s’écrire : ω0 = 1√LC

(1 + Cx

C

)−0.5.

2. Dans le cas où C Cx, exprimer la pulsation linéarisée au premier ordre.

On applique une tension de polarisation composée, soit : u(t) = U0 + m(t), où m(t) est un signalmodulant. La diode varicap comprend alors deux termes : Cx = Cx0 + ∆Cx.

3. Montrer que la pulsation propre du circuit peut être approximée par : ω0 ≈ 1√LC

(1− Cx0

2C −∆Cx2C

)

III.7 Oscillateurs à relaxationLes oscillateurs de relaxation sont des oscillateurs non-linéaires, obtenues par augmentation continued’une contrainte, puis relâchement subit de celle-ci.

Il sont construit à partir d’un élément accumulant puis restituant de l’énergie.

La fréquence des oscillations dépend du débit de l’élément d’accumulation.

L’amplitude dépend des caractéristiques de l’élément d’accumulation.

Exemple III.7.1 (Montage astable). Soit le montage astable ci-contre. Cemontage oscille entre deux états instable.En particulier on a V− = ± R1

R1+R2Vsat

La capacité C est initialement déchargée : la sortie Vs = 0 est un étatinstable.

Si Vs = +Vsat : charge de la capacité ;

Si Vs = −Vsat : décharge de la capacité ;

-+

R1

C VsR2

R

Exercice III.9. En considérant le montage astable :

1. Déterminer l’équation différentielle régissant l’évolution de V−.

2. Exprimer la solution de l’équation différentielle, et en déduire la période du signal.

3. Dessiner l’allure du signal de sortie.

4. Quelle condition doit-on respecter vis-à-vis du slew rate pour que les signaux aient toujours l’apparencede créneaux ?

5. Que pourrait on rajouter au montage pour obtenir des signaux triangulaire ?


III.7 Oscillateurs à relaxation 48


Chapitre IVBOUCLES À VERROUILLAGES DE PHASE

IV.1 IntroductionIV.1.1 GénéralitésLes boucles à verrouillage de phase (Phase-Locked Loops – PLL) ou encore boucles à asservissementde phase, ont été inventées pour faire initialement de la détection synchrone. Il correspond donc à unasservissement de phase ou de fréquence.

On peut distinguer deux types d’applications :1. filtre passe-bande très étroit ;

Ex.: récupérer un signal porteur noyé dans du bruit.2. multiplieur de fréquence

Ex.: synthétiseurs de fréquence

L’information à considérer est la fréquence des signaux.

Lorsque la boucle est dite “verrouilée”, on a fs = fe PLLue(fe) us(fs)

IV.1.2 PrincipeUne boucle à verrouillage de phase est un système bouclé dans lequel la grandeur asservie est la phased’un signal alternatif. La figure IV.1 représente le schéma fonctionnel d’une PLL.

Diviseurde fréquence

Détecteurde phase

Filtre(passe-bas)

Oscillateurcommandé en tension us(fs)

ue(fe)

ur(fr)

uFuD

Fig. IV.1 – Schéma de principe d’une PLL.

Une PLL est constituée : Détecteur (ou comparateur) de phase (Phase-Frequency-Detector–PFD) qui élabore une tensionuD dont la valeur moyenne est fonction du déphasage entre les signaux d’entrée et de sortie ;

Un filtre passe-basqui lisse cette tension en gardant sa valeur moyenne et en supprimant lesharmoniques ;

Le cœur de la PLL : le VCO qui fournit en sortie un signal dont la fréquence dépend de uF . Diviseur de fréquence : fr = fs/N

En l’absence de signal d’entrée, le VCO fonctionne à sa fréquence naturelle d’oscillation f0. Si onapplique à l’entrée un signal de fréquence fe (voisin de f0) la PLL traverse un régime transitoire oùuD et uF varient de manière complexe. À la fin du transitoire la PLL est verrouillée à un état stablecaractérisé par : fs = fe.Une fois la boucle verrouillée, fe peut varier dans la plage de verrouillage sans que la PLL ne décroche,et on a toujours fs = fe. Si la fréquence d’entrée fe sort de la plage de verrouillage, la PLL décrocheet on revient à la situation d’une boucle non verrouillée (à éviter dans la pratique !). Pour raccrocherla PLL, il faut alors revenir au voisinage de f0 et pénétrer dans la plage de capture.

49

IV.1 Introduction 50

fs

fe

f0

décrochagedécrochage

f0+fvf0-fv

fsmin

fsmax

Capture

Verrouillage

f0+fcf0-fcf0

Fig. IV.2 – Les plages de capture et de verrouillage d’une PLL

Détecteurde phase

Filtre(passe-bas) VCO

Signal FMfe(t)=f0+ks(t)

fs(t)=f0+ks(t)

Information BF s(t)

Fig. IV.3 – La PLL utilisée en démodulateur FM.

Exemple IV.1.1 (La démodulation de fréquence). Pour démoduler un signal modulé en fréquence,on dispose d’un certain nombre de montages. Notamment, la PLL permet de réaliser d’excellentsdémodulateurs, en particulier lorsque le signal modulé est fortement bruité.

• le signal injecté à l’entrée est un signal modulé en fréquence par une information s(t)• quand le VCO est verrouillé sur le signal d’entrée, la fréquence en sortie suit les variations de fréquence

à l’entrée• si la caractéristique du VCO est linéaire, la tension de commande uF variera comme la fréquence, i.e.

comme l’information s(t)

DiviseurN=60

Oscillateurà quartz

DiviseurM=7

Programmation

Détecteurde phase

Filtre(passe-bas) VCO

fs=NfQ/M9.43MHz

fQ=66MHz 566MHz

Carte mère Processeur

Fig. IV.4 – Exemple : production du signal d’horloge d’un processeur.

Exemple IV.1.2 (L’horloge d’un processeur). Un processeur nécessite pour fonctionner un signald’horloge qui n’est jamais produit dans la puce pour 2 raisons :

1. la température du processeur varie beaucoup, ce qui entraînerait des dérives importantes sur lafréquence d’horloge ;

2. le processeur peut être intégré sur différentes carte mère.Le processeur reçoit de la carte mère le signal d’horloge fQ. Puis la PLL interne du processeur asserviele signal d’horloge pour produire le signal d’horloge processeur fs.


51 Chap. IV PLL

IV.2 Le comparateur de phaseLe comparateur de phase doit donner en sortie une informationsur le déphasage entre le signal de sortie du VCO et le signald’entrée de la boucle.

→ Idéalement il fournit une tension uD proportionnelle à ladifférence de phase entre l’entrée et la sortie :Φ = ϕe − ϕr.

Détecteur de phase

(ωe, φe)

(ωr, φr)

uD=KD(φe-φr)

φ

Il existe différents types de détecteurs de phase : Les détecteurs de phase analogique :

• Les plus utilisés• Privilégiés lorsque le signal d’entrée est sinusoïdal, surtout en présence de bruit.

Les détecteurs de phase numériques :• Basés sur des CMOS, TTL ou ECL ;• Privilégiés pour les signaux d’entrée impulsionnels ou carrés ;

Le comparateur de phase est caractérisé par sa transmittance :

Kd =∂uD∂Φ

∣∣∣∣Φ=0

∝ 〈uD〉Φ

⇒ uD ∝ Kd(ϕe − ϕr) (IV.1)

IV.2.1 Le multiplieur de phase analogiqueLe détecteur de phase analogique est en fait un multiplieur analogique

ue(t) = Ue cos(ωet+ ϕe)

ur(t) = Ur cos(ωrt+ ϕr)

→ uD = Kue(t)ur(t)

uD =KUeUr

2(cos(ϕe − ϕr) + cos(2ωet+ ϕe − ϕr))

On s’intéresse à la valeur moyenne de ce signal :

〈uD(t)〉 =KUeUr

2cos(ϕe − ϕr) (IV.2)

A B (φe - φr)

<uD>

0-π/2-π +π+π/2

Fig. IV.5 – Caractéristique du multiplieur analogique.


IV.2 Le comparateur de phase 52

Après filtrage, la caractéristique est une sinusoïdale qui est nulle pour : (ϕe − ϕr) = ±π2

→ Le fonctionnement de ce type de détecteur de phase n’est linéaire que si l’on travaille autour del’erreur nulle :

Si la PLL est positive : le point d’accrochage se situe en A, −π2 ;

Si la PLL est négative : le point d’accrochage se situe en B, +π2 ;

→ Si la PLL est verrouillée, et fonctionne autour de sa fréquence centrale, on obtient la trans-mittance statique du comparateur de phase :

KD =∂uD∂Φ

∣∣∣∣Φ=0

= ±K2UeUr (IV.3)

La PLL se cale automatiquement autour d’un point de fonctionnement (A ou B).

• Si la PLL n’est pas verrouillée 2 fréquences apparaissent : (ωe − ωr) et (ωe + ωr)

VCC

ia ib

I

ic id ie if

VS2VS1

VEE

VA

VB

Fig. IV.6 – Exemple de réalisation d’un multiplieur analogique.

IV.2.2 Le ou-exclusifLe OU exclusif (XOR) joue, dans le domaine numérique, un rôlesimilaire à celui du multiplieur dans le domaine analogique.

Mais ne fonctionne qu’avec des signaux carrés.

ue(t)

ur(t)

uD(t)

Le niveau bas des signaux logiques est supposé être 0 alors que le niveau haut est égale à une valeurnotée Vdd. C’est généralement le cas des circuits intégrés logiques. La sortie du XOR fournit un signaldont le rapport cyclique et directement lié au déphasage Φ = ϕe − ϕr. La figure IV.7a illustre unexemple d’opération XOR effectuée sur les signaux. La période du signal de sortie est égale à la moitiéde celle des signaux appliqués sur les entrées du XOR, ce qui signifie que dans le spectre de ce signalil y a présence d’une fréquence qui est le double de celle des signaux d’entrée. Bien entendu, il y aégalement présence des harmoniques de cette fréquence doubleC’est la valeur moyenne du signal, 〈uD(t)〉 qui représente la composante utile destinée à commanderl’oscillateur.À l’équilibre, le point de fonctionnement se situe au voisinage du milieu des plages linéaires, près deA (−π/2) et B (+π/2). La transmittance statique du comparateur est alors :

Kd =∂uD∂Φ

∣∣∣∣Φ=0

=Vddπ

(IV.4)


53 Chap. IV PLL

ue(t)

ur(t)

uD(t)

VDD

VDD

Φ

<uD>

VDD

a

Φ

<uD>

π 2ππ/2-π -π/2-2π

AB

VDD

VDD/2

b

Fig. IV.7 – Détecteur de phase numérique OU-exclusif : a exemple de chronogramme, et b sacaractéristique.

IV.3 Analyse Dynamique

Comparateur de phase : uD(t) = KdΦ(t)TL−−→ UD(p)

Φ(p) = Kd

Filtre : F (p) = UF (p)UD(p) =

G0

1 + τp

→ On privilégie un ordre de filtre faible : ordre 1

FTBO : fsfe = ϕsϕe

= 2πKdKV COG0

p(1+τp) =H0

p(1 + τp)

FTBF : T (p) = H0H0+p(1+τp) =

1

1 + 1H0p+ τ

H0p2

Oscillateur contrôlé en tension (VCO) a pour rôle : fs = f0 +KV CO · uFTL−−→ fs(p)

UF (p) = KV CO.

Ceci nous permet d’établir le schéma fonctionnel de la PLL IV.8.

ΦKd F(p) KVCO

fsuFUD+

-

fe

fr

aΦ

Kd F(p) KVCOfsuFUD

+

-

φsφe

φr

b

Fig. IV.8 – Schéma bloc d’une PLL, en considérant une consigne a en fréquence ou b en phase.


IV.3 Analyse Dynamique 54


Annexe A

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1] Y. Thomas, Signaux et systèmes linéaires, Masson, 1994

[2] F. de Coulon, Théorie et traitement des signaux, Dunod, 1996

[3] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and systems, Prentice Hall, 1997

[4] B. Picinbono, Signaux et systèmes linéaires, Ellipses, 1998

[5] F. Manneville, J. Esquieu, Electronique: Systèmes bouclés linéaires, de communication et defiltrage, Dunod, 2001

[6] G. Mangiante, Analyse et synthèse des filtres actifs analogiques, Tec et Doc, 2005

[7] P. Horowitz, W. Hill, Traité de l’électronique analogique et numérique: Vol.1 Techniquesanalogiques, Broché, 2009

[8] J.P. Guillois, Signaux et systèmes linéaires continus, Hermes, 2011

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cours de signaux et systemes - dfolio(at)freedfolio.free.fr/pdf/teach/sigsys.pdf · de bourges...

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