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Crescimento Econmico. Modelo de Solow.

De 1947 a 2009, o PIB per capita (PIB ou renda por pessoa) do Brasil, em termos reais

(ou seja, j descontada a variao dos preos), foi quase quintuplicado. Ou seja, houve

grande variao da renda ao longo do tempo. Se compararmos as rendas entre os

diversos pases no mesmo instante temporal, tambm haver enormes disparidades. Por

exemplo, a renda per capita do Brasil, em 2004, era quase dez vezes maior que a renda

per capita da Nigria, e quase 5 vezes menor que a renda per capita dos EUA.

Como se v, podemos notar que h grandes diferenas entre as rendas de um mesmo

pas ao longo do tempo e tambm h grandes disparidades entre as rendas quando se

comparam pases diferentes. Mas, o que ser que causa essas diferenas?

O economista Robert Solow desenvolveu uma teoria para explicar o crescimento

econmico de longo prazo e nos ajudar a compreender aquilo que causa essas diferenas

na renda de um mesmo pas ao longo do tempo e entre os pases. O modelo de Solow

nos mostra como a poupana, o crescimento populacional e o progresso tecnolgico

afetam o nvel de produo/renda de uma economia, e o seu crescimento ao longo do

tempo.

Nossa abordagem do modelo dar-se- por partes. Primeiro, ns veremos como a

poupana determina a acumulao de capital na economia. Nesta parte, ser pressuposto

que a quantidade de trabalhadores (fora de trabalho) e a tecnologia so constantes.

Segundo, ns introduziremos o crescimento populacional, considerando a tecnologia

fixa. Por ltimo, introduziremos a tecnologia no modelo.

3.1. A funo de produo por trabalhador

Comearemos nossa anlise a partir da funo de produo Cobb-Douglas. No modelo

de Solow, no importante avaliarmos ou sabermos o tamanho da economia, mas to

somente a questo do quanto ela cresce. Por isso, mais conveniente trabalharmos com

a produo por trabalhador, em vez da produo total. Para que isso seja possvel, ns

dividimos a funo de produo por L:

Y/L = F(K/L, L/L)

Y/L = F(K/L, 1)

No modelo de Solow, pressuposto que a produo apresenta retornos constantes de

escala. Desta forma, ao dividirmos os fatores de produo (K e L) por L, temos a

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certeza que a produo resultante ser Y dividido por L. a suposio da existncia de

retornos constantes que nos d essa garantia.

Para tornar o nosso trabalho mais prtico, em vez de, a todo o momento, ficarmos

escrevendo Y/L ou K/L, faremos y=Y/L e k=K/L, de tal forma que y (letra minscula)

corresponde produo por trabalhador e k (letra minscula) corresponde ao capital por

trabalhador. O nmero 1 (resultante da diviso de L por L) uma constante e pode ser

ignorado. Assim, podemos reescrever a funo de produo por trabalhador, que ser

utilizado no nosso modelo: y = f(k)

Esta funo de produo nos informa que a produo por trabalhador funo do

estoque de capital por trabalhador. Se traarmos um grfico de y em funo de k,

teremos algo como representado na figura 03:

Fig.3

Observe na figura 03 que, medida que a quantidade de capital por trabalhador

aumenta, a funo de produo fica cada vez menos inclinada. A inclinao da funo

dada pela sua derivada (Ay/Ak=dy/dk). A derivada, por sua vez, igual ao produto

marginal do capital. Como a inclinao vai diminuindo, podemos concluir que a

produtividade marginal do capital decrescente. Quando k baixo, o trabalhador possui

pouca quantidade de capital com que trabalhar. Neste caso, uma unidade adicional de

capital far com que a produo aumente bastante. Ou seja, quando o nvel de k baixo,

o Pmgk (= inclinao da funo de produo) alto. Quando o k alto, o trabalhador

possui grande quantidade de capital com que trabalhar. Neste caso, uma unidade

adicional de capital no far muita diferena, de modo que esta unidade adicional faz a

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produo aumentar bem mais discretamente. Ou seja, quando o nvel de k alto, o

Pmgk baixo.

3.2. O papel da poupana na acumulao de capital A partir do estudo das Contas

Nacionais, ns sabemos que a produo da economia

Y = C + I + G + X - M

Se dividirmos tudo por L, de forma a termos todos esses agregados por trabalhador e,

adicionalmente, considerarmos uma economia fechada (sem os agregados X e M) e sem

governo (sem o agregado G), teremos

y = c + i (1)

A expresso (1) mostra que a produo por trabalhador, y, dividida entre consumo por

trabalhador, c, e investimento por trabalhador, i.

Suponha que as pessoas poupem uma frao s de sua renda. Essa frao s significa um

montante percentual. Por exemplo, se os consumidores de determinado pas poupam

30% de suas rendas, ento, a frao s ser igual a 0,3. Ao mesmo tempo, se os

consumidores poupam a frao s de suas rendas, ento, eles consomem uma frao (1 -

s). Por exemplo, se os consumidores poupam 30% de suas rendas (s = 0,3), ento, eles

consomem 70% de suas rendas (1 - s = > 1 - 0,3 = > 0,7).

Podemos, ento, expressar a funo consumo da seguinte maneira:

c = (1 - s)y (2)

Se substituirmos essa funo consumo na expresso (1), teremos o seguinte:

y = (1 - s)y + i

y = y - sy + i

i = sy (3)

A expresso (3) nos mostra que o investimento igual frao da renda que poupada.

Por exemplo, se os consumidores poupam 30% de suas rendas (s = 0,3), exatamente

esses 30% da renda (sy = 0,3y) que representaro o montante de investimento. Ou seja,

a expresso mostra que a poupana igual ao investimento e a taxa de poupana, s,

tambm a frao da produo/renda destinada ao investimento.

Assim, podemos entender, em ltima anlise, que a taxa de poupana, s, determinada a

distribuio da produo entre o consumo e o investimento e, por conseguinte,

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determina tambm a acumulao de capital, j que investir significa acumular capital.

Quanto maior a poupana, maior ser a acumulao de capital (maior o investimento) e

menor o consumo.

3.3. Crescimento do estoque de capital e o estado estacionrio

No ltimo tpico, j vimos que a poupana determina o investimento e este, por sua

vez, influencia diretamente a acumulao de capital. Neste tpico, ns veremos

detalhadamente a questo do estoque de capital (k). Afinal, a produo por trabalhador

depende do capital por trabalhador [lembre que y=f(k)]. Logo, fundamental

entendermos o que influencia o capital (k).

Considerando que a quantidade de trabalhadores e a tecnologia so constantes, o

estoque de capital influenciado basicamente por duas variveis: o investimento e a

depreciao.

Investimento significa gasto com a aquisio de estoque de capital, logo, ele faz com

que o estoque de capital cresa. Depreciao significa o desgaste do estoque de capital,

fazendo-o diminuir de valor. Logo, ela faz com que o estoque seja reduzido.

O investimento por trabalhador, i, igual a sy. Se substituirmos y por f(k), tendo vista

que y = f(k), chegaremos a i = s.f(k). Desta forma, podemos representar o investimento

no mesmo diagrama exposto na figura 03. Na figura 04, abaixo, podemos visualizar a

curva do investimento por trabalhador, i:

Fig. 4

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A curva mais clara mostra a curva do investimento em funo do capital por

trabalhador. A taxa de poupana, s, determina a distribuio da produo entre consumo

e investimento. A distncia entre o eixo horizontal e a curva do investimento mostra o

montante do investimento por trabalhador, que i = s.f(k). A distncia entre o eixo

horizontal e a curva da produo (curva mais escura) representa a produo por

trabalhador, y = f(k). A parte da produo que no poupada e, por conseguinte, no

vira investimento destinada ao consumo. Assim, a diferena entre curva da produo e

a curva do investimento representa o consumo por trabalhador, c. Todos estes dados

esto representados graficamente na figura 04.

Ainda falta incorporar a depreciao ao modelo, afinal, ns j vimos que ela altera o

estoque de capital, reduzindo-o. Para incorpor-la ao modelo, pressupomos que uma

frao do estoque de capital se desgasta a todo ano. Nesse caso, (delta) a taxa de

depreciao. Essa uma taxa percentual e se refere ao desgaste do estoque de capital no

perodo de 01 ano. Por exemplo, suponha que o capital dure, em mdia, 10 anos. A taxa

de depreciao, nesse caso, corresponde a 10% ao ano ( = 0,1). O montante de capital

por trabalhador que se deprecia a cada ano corresponde taxa de depreciao, ,

multiplicada pelo capital por trabalhador, k. Ou seja, o valor total da depreciao anual

p/ trabalhador corresponde a k. Graficamente, a depreciao ser uma reta que mostra

que, quanto maior o capital por trabalhador, k, maior ser o montante da depreciao,

k. A inclinao dessa reta ser igual a . Veja na figura 05:

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A funo de depreciao igual 5k. Sua inclinao ser igual a sua derivada em funo

de k. Fazendo ento d(5k)/dk, chegamos concluso que a inclinao ser igual a 5. Ou

seja, a inclinao da funo de depreciao (5k) a taxa de depreciao (5).

Quando o capital por trabalhador, k, 0, a depreciao, k, tambm ser igual a 0.

Quando o estoque de capital vai aumentando, o montante de depreciao tambm

aumenta. Quando maior for a taxa de depreciao, , maior ser o montante de

depreciao por trabalhador decorrente do aumento do estoque de capital por

trabalhador. Nota: no confunda a taxa de depreciao, , com a depreciao, que

igual taxa multiplicada pelo estoque de capital, k.

Conforme foi comentado, o estoque de capital influenciado positivamente pelo

investimento e negativamente pela depreciao. Assim, podemos expressar a variao

no estoque de capital (Ak) da seguinte forma:

a variao no estoque de capital. Veja que, havendo investimento, o capital

varia positivamente. Havendo depreciao, o estoque de capital diminui (varia

negativamente). Como i=sy, e y=f(k), podemos reescrever a expresso:

Se pensarmos que a economia se equilibra quando no temos variao no estoque de

capital podemos desenvolver a expresso acima a fim de determinar o nvel de capital

em que a produo da economia se equilibra e no tende a mudar.

Ou seja, a produo da economia se equilibra e no tende a mudar em um determinado

nvel de capital (k*) em que o montante de investimento por trabalhador [i=sf(k) ]

igual ao montante de depreciao por trabalhador (k). Se a economia estiver neste

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determinado nvel de estoque de capital, o estoque de capital no variar uma vez que o

investimento, que faz aumentar o k, e a depreciao, que faz diminuir o k, so iguais, a

variao de k ser igual a 0.

Este nvel de capital (k*) em que investimento igual depreciao (e Ak=0)

chamado de nvel de capital no estado estacionrio. Como o prprio nome sugere, o

estado estacionrio significa uma situao de equilbrio da economia, em que esta

permanece "estacionada". Qualquer economia, independentemente do estoque de capital

p/ trabalhador que possua, tender ao nvel de capital de estado estacionrio e, uma vez

atingido o estado estacionrio, a economia nele permanecer. Ou seja, a economia, com

o passar do tempo, se ajusta automaticamente para o estado estacionrio. Da, podemos

concluir que o estado estacionrio representa o equilbrio de longo prazo da economia.

Graficamente, o nvel de capital do estado estacionrio (k*) aquele em que a curva do

investimento intercepta a reta da depreciao. Neste ponto, investimento = depreciao

e, consequentemente, Ak=0. Tal situao pode ser visualizada na figura 06:

Fig. 6

Podemos entender o ajustamento automtico da economia em direo ao nvel de capital

no estado estacionrio por meio da figura 6.

Se a economia estiver com um nvel de capital inferior ao nvel de capital no estado

estacionrio, por exemplo, k1 na figura 06, isto significa que o investimento excede o

montante de depreciao, pois a curva do investimento superior curva da

depreciao para nveis de capital menores que k*. Neste caso, medida que o capital

cresce, a depreciao tambm cresce. Com o passar do tempo, o capital ir crescer at

quando o investimento for exatamente depreciao.

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Se a economia estiver com um nvel de capital superior ao nvel de capital no estado

estacionrio, por exemplo, k2, isto significa que a depreciao excede o investimento.

Isto quer dizer que o capital se desgasta (se deprecia) mais rapidamente do que est

sendo substitudo. Neste caso, o estoque de capital diminuir at o nvel de capital

estacionrio, quando a depreciao iguala o investimento.

Note que, no estado estacionrio, todo o investimento para aumentar a produo

utilizado para repor o capital desgastado, de forma que o investimento no alterar os

nveis produo e consumo, que permanecem constantes durante o estado estacionrio.

3.4. A poupana e o crescimento

No ltimo tpico, ns vimos que a economia sempre tender automaticamente ao nvel

de capital do estado estacionrio (onde o investimento iguala a depreciao e onde a

produo constante) e nele permanecer. Mas, como ser possvel para o governo

fazer o pas crescer, de modo a aumentar o produto por trabalhador e, assim, melhorar o

padro de vida da populao?

A resposta est na taxa de poupana. Considere o que acontece com uma economia

quando a taxa de poupana aumenta. Se a taxa de poupana aumentar, o investimento

tambm aumentar, pois o termo sf(k) estar maior, uma vez que houve aumento de s.

Graficamente, isto significa que a curva do investimento ser "rotacionada" para cima,

ficando mais inclinada. Veja na figura 07:

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Aps o aumento da taxa de poupana, de s1 para s2, a curva do investimento

rotacionada para cima, no sentido de aumento do investimento. O novo estado

estacionrio, onde o novo investimento iguala a depreciao ocorre em um nvel de

capital por trabalhador maior (k2*) que o nvel antigo, onde a taxa de poupana era si.

A explicao para esse aumento no nvel de capital por trabalhador no estado

estacionrio a seguinte: aps o aumento da taxa de poupana, o investimento tambm

aumenta, uma vez que investimento igual poupana. Como o investimento aumenta,

mas a depreciao se mantm constante, momentaneamente, o investimento exceder a

depreciao fazendo o estoque de capital variar positivamente. Desta forma, o estoque

de capital aumentar aos poucos, at que a economia alcance o novo estado

estacionrio, k2*, que tem estoque de capital superior ao do antigo estado estacionrio.

Diante do que foi apresentado, o que podemos concluir sobre a relao entre poupana e

crescimento econmico? Uma poupana maior provoca um crescimento do capital e,

por conseguinte, do produto por trabalhador (o produto, y, funo do capital, k, ento,

se este aumenta, o produto por trabalhador tambm aumenta), mas tal crescimento

momentneo. Ele dura apenas at a economia atingir o novo estado estacionrio. Ou

seja, uma taxa de poupana mais alta faz aumentar o nvel da renda per capita (ou

produto/renda por trabalhador), mas no influencia a sua taxa de crescimento no longo

prazo.

Desta forma, podemos entender que se a taxa de poupana for alta, a economia ter um

grande estoque de capital e um nvel de produo elevado, no estado estacionrio. Se a

taxa de poupana for baixa, a economia ter um pequeno estoque de capital e um nvel

de produo reduzido no estado estacionrio. Conforme se v, taxas de poupana mais

elevadas no significam crescimento sustentado, uma vez que a economia cresce, mas

apenas at atingir o novo estado estacionrio, onde nele permanecer.

Essa concluso ajuda a entender por que muitos economistas condenam o excesso de

gastos pblicos. Se o governo gasta demais, ele reduz a poupana nacional de tal forma

que o investimento ser menor. Nesse sentido, os dficits oramentrios e a consequente

reduo da taxa de poupana tm um efeito negativo no longo prazo: estoque de capital

e renda (ou produo) per capita mais baixos.

Por fim, possvel entender por que h tantas diferenas nas rendas per capita entre as

naes. Pases que poupam e investem uma elevada frao de sua produo so mais

ricos do que os pases que poupam e investem uma frao mais baixa.

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3.5. A REGRA DE OURO

No ltimo tpico, ns vimos que quanto maior a taxa de poupana, maior ser o nvel

de capital e de renda no estado estacionrio. Essa concluso pode nos levar a pensar que

taxas de poupana mais elevadas significam sempre maior satisfao. No entanto, isso

no (inteiramente) correto. Imagine que um pas tenha uma taxa de poupana de

100%. No longo prazo, essa taxa de poupana resulta em maior estoque de capital e

renda possveis. Entretanto, qual a graa de se poupar 100% da sua renda e no

consumir qualquer coisa?

Em economia, o bem-estar est intimamente relacionado ao consumo. Quanto mais se

consome, mais satisfao os indivduos tm. Assim, perfeitamente claro que uma taxa

de poupana de 100% no traz o mximo de bem-estar para a sociedade. Na verdade, do

ponto de vista prtico, as pessoas esto pouco ligando para o valor do estoque de capital

da economia! Elas querem bem-estar! Ou seja, as pessoas se preocupam com a

quantidade de bens e servios que podem consumir.

Supondo que o governo tenha a capacidade de fixar a taxa de poupana no nvel que ele

quiser, ele procurar fix-la de tal forma que o bem-estar das pessoas seja maximizado.

Ou seja, o governo procurar fixar a taxa de poupana que leve ao estado estacionrio

em que o consumo das pessoas seja maximizado. O valor de k* nesta situao em que o

consumo maximizado chamado de nvel de capital da Regra de Ouro (kouro*)

Uma vez que definimos o conceito da Regra de Ouro, torna-se necessrio traduzir

algbrica e graficamente tal situao. Ns sabemos que a produo por trabalhador vai

para o consumo ou para o investimento (considerando a economia fechada e sem

governo): y = c + i

Isolando o consumo: c = y - i

A Regra de Ouro uma situao tal em que a economia est em um estado estacionrio,

ento coloquemos os asteriscos nas variveis para deixar claro que estamos tratando de

situaes em estado estacionrio: c* = y* - i*

Sabemos que a produo por trabalhador no estado estacionrio, y*, igual f(k*), em

que k* corresponde ao estoque de capital no estado estacionrio. Assim, c* = f(k*) - i*

Como estamos em um estado estacionrio, onde o investimento igual depreciao,

sabemos que i* = k*.

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Ento, c* = f(k*) - k*

A equao nos diz que o consumo no estado estacionrio ser a produo menos a

depreciao, ambas no estado estacionrio. Graficamente, ento, podemos deduzir que o

consumo, em estado estacionrio, ser a diferena entre a curva de produo por

trabalhador e a curva da depreciao. O nvel de capital em que essa diferena entre as

curvas seja a maior possvel (maior consumo possvel) representar o nosso estoque de

capital da regra de ouro.

Na figura 08, vemos que existe um nvel de capital (k*ouro) em estado estacionrio que

maximiza o consumo. Neste nvel de capital, note que a inclinao da curva de

produo exatamente igual inclinao da curva de depreciao.

Fig. 8

Se o estoque de capital em estado estacionrio menor que o do nvel da Regra de Ouro

(nvel de k* est entre 0 e kouro*), ento, um aumento no estoque de capital faz crescer

o produto mais do que a depreciao (que igual ao investimento), de modo que o

consumo aumenta. Nessa situao, a inclinao da funo de produo em estado

estacionrio maior que a inclinao da reta k* e o aumento do capital faz aumentar a

distncia entre essas duas curvas, que igual ao consumo.

Se o estoque de capital em estado estacionrio maior que o do nvel da Regra de Ouro

(nvel de k* maior que kouro*), ento, um aumento no estoque de capital faz crescer o

produto menos do que a depreciao (que igual ao investimento), de modo que o

diminui. Nessa situao, a inclinao da funo de produo em estado estacionrio

menor que a inclinao da reta k* e o aumento do capital faz diminuir a distncia entre

essas duas curvas.

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Bem, graficamente j vimos de modo claro o nvel de capital da Regra de Ouro. Agora,

necessitamos expressar a regra algebricamente, pois isso o mais importante para

concursos. No nvel de capital da Regra de Ouro, a inclinao da produo e da reta k*

so iguais. Uma vez que a inclinao da funo de produo dada pelo Pmgk (ver o

porqu na figura 03) e a inclinao8 da reta k* igual a , a Regra de Ouro ser

descrita pela(s) equao(es):

No nvel de capital da Regra de Ouro, considerando crescimento populacional e

progresso tecnolgico constantes, o produto marginal do capital igual taxa de

depreciao. Ou, em outras palavras, o acrscimo de produo (que o Pmgk)

totalmente utilizado para repor a depreciao desse estoque de capital. Ainda podemos

dizer que o produto marginal lquido do capital (Pmgk menos a depreciao) nulo.

Por fim, antes de partirmos para o exemplo numrico, importante que voc tenha em

mente que a economia tende automaticamente a um estado estacionrio qualquer, mas

ela NO tende automaticamente ao estado estacionrio DA REGRA DE OURO. Se o

governo deseja o estoque de capital estacionrio da Regra de Ouro, ele precisa de uma

taxa de poupana especfica para alcan-lo.

Na figura 09, temos um estado estacionrio da Regra de Ouro. Observe que, para isso

acontecer, existe uma taxa de poupana exata. Se a taxa for mais alta, o estoque de

capital ser maior que o da Regra de Ouro. Se a taxa for mais baixa, o estoque ser

menor. Em ambos os casos, o consumo do estado estacionrio ser menor que o

consumo do estado estacionrio da Regra de Ouro.

A inclinao da reta 5k* igual sua derivada em relao a k*. Como d(k*)/k* igual

5, ento, sua inclinao ser igual a 5.

FIG09

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Maneira alternativa de encontrar a expresso da Regra de Ouro

Ns sabemos que o consumo da Regra de Ouro igual produo menos a depreciao,

tudo em estado estacionrio: c* = f(k*) - k*

Para sabermos qual ser o nvel de capital de estado estacionrio (k*) que nos d o

consumo mximo, basta derivar c* em relao a k* e igualar a derivada encontrada a 0:

d(c*)/dk* = d[f(k*)]/dk* - d(k*)/k*

A derivada da funo de produo [f(k*)] em relao a k* igual ao produto marginal

do capital (Pmgk). A derivada de k* em relao a k* igual a .

Assim, d(c*)/dk* = Pmgk -

Teremos c* mximo quando a sua derivada igual a 0, ento:

0 = Pmgk -

Pmgk =

PmgK =

3.6 O CRESCIMENTO POPULACIONAL

At agora, ns vimos que a acumulao de capital (investimento) por meio da poupana

ainda no explica o crescimento econmico sustentvel no longo prazo. Altas taxas de

poupana acarretam um crescimento temporrio at o prximo estado estacionrio.

A fim de tornarmos nossa anlise mais factvel, a partir de agora, vamos pressupor que

h crescimento populacional. Assim, em vez de pressupor que a populao seja fixa,

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como fizemos at o momento, vamos adotar a premissa que a populao e a fora de

trabalho crescem a uma taxa constante, n. Essa taxa, assim como a taxa de depreciao,

em valores percentuais e se refere ao perodo de 01 ano. Por exemplo, se a populao

do Brasil cresce cerca de 1% ao ano, n ser igual a 0,01.

A principal implicao de considerarmos o crescimento populacional em nosso modelo

se refere s foras que influenciam o estoque de capital por trabalhador. No item 3.3,

ns vimos que o estoque de capital por trabalhador era influenciado pelo investimento

(+) e pela depreciao (-). Pois bem, se o nmero de trabalhadores cresce, natural que

o capital por trabalhador diminua, afinal k=K/L.

Se L aumenta, k (letra minscula) diminui. Ou seja, o crescimento populacional faz com

que haja menos capital para ser distribudo para cada trabalhador. Para fins didticos,

consideramos que aumento da populao significa o mesmo que aumento da quantidade

de trabalhadores ou aumento da fora de trabalho. Assim, o estoque de capital por

trabalhador sofrer a influncia de trs foras em vez de duas:

Desta forma, a variao no estoque de capital por trabalhador ser:

Agora, no s a depreciao faz diminuir o k, mas tambm a taxa de crescimento

populacional, n. Quanto mais a populao cresce, mais negativa ser a variao do

estoque de capital por trabalhador (nos tens 3.1 a 3.6, presumimos que n=0).

No estado estacionrio, o capital no varia de modo que Ak=0. Assim, considerando um

crescimento populacional de n, o estado estacionrio ocorre quando

0 = i - ( + n)k

i = ( + n)k

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Este nvel de investimento chamado de investimento de equilbrio, e significa a

quantidade de investimento para manter constante o estoque de capital por trabalhador.

O investimento de equilbrio inclui a depreciao do capital (k) e o montante de

investimento necessrio para proporcionar capital aos novos trabalhadores (nk). Assim,

podemos entender que, no estado estacionrio, o efeito positivo do investimento sobre o

estoque de capital por trabalhador equilibra exatamente os efeitos negativos da

depreciao e do crescimento populacional.

Do ponto de vista grfico, a diferena que no teremos mais a reta k que diminui o

capital. Agora, temos a reta (+n)k em vez de somente k, uma vez que no somente a

depreciao, , mas tambm o crescimento populacional, n, faz diminuir o estoque de

capital por trabalhador.

Essa reta (+n)k chamada de reta do investimento de equilbrio, uma vez que (+n)k

igual ao investimento de equilbrio. A inclinao dessa reta ser igual a (+n).

Fig. 10

Estado estacionrio, onde i = (5+n)k

A incluso do crescimento populacional nos d alguns "insights" mais significativos

acerca do crescimento econmico sustentvel.

I O crescimento populacional explica em parte o crescimento do total da produo: No

estado estacionrio com crescimento populacional, o capital por trabalhador e tambm a

produo por trabalhador so constantes. No entanto, sabemos que o nmero de

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trabalhadores cresce a uma taxa n. Ora, se L cresce a uma taxa n, se y constante e, ao

mesmo tempo, y=Y/L, ento, Y tambm deve crescer a uma taxa n para que y seja

constante.

Assim, o total da produo tambm deve crescer a uma taxa n, para que a produo por

trabalhador seja constantes. Assim, o crescimento populacional nos ajuda a explicar o

crescimento sustentvel no total da produo. Se a populao cresce a uma taxa n,

ento, o total da produo tambm cresce a uma taxa n.

Nota muita ateno, pois estamos falando que o crescimento populacional explica o

crescimento sustentvel do total da produo, e no o crescimento do padro de vida

(que medido pela produo por trabalhador). No estado estacionrio com crescimento

populacional, o padro de vida do trabalhador (renda ou produo por trabalhador)

constante, no muda. Apenas o total da produo que muda, pois ela cresce a uma taxa

n.

II O aumento do crescimento populacional faz diminuir a renda per capita: O

crescimento populacional explica em parte a diferena de renda entre os pases. Se o

crescimento populacional de um pas aumenta (se n aumenta), a reta de investimento de

equilbrio ser rotacionada para cima, ficando mais inclinada. Isso acontece porque sua

inclinao dada por (+n). Ento, se n aumenta, a inclinao da reta tambm aumenta.

Veja os efeitos na figura 11, onde n aumenta de n1 para n2:

Fig. 11

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O aumento de n tornou a curva do investimento de equilbrio mais inclinada e o estado

estacionrio mudou do ponto 1 para o ponto 2, fazendo reduzir o estoque de capital

estacionrio por trabalhador (de k1 * para k2*). Dado que a produo por trabalhador

funo do capital por trabalhador [y=f(k)], essa reduo no estoque de capital tambm

reduz a produo per capita (ou renda per capita). Assim, o modelo de Solow nos

mostra que pases com maior crescimento populacional tm nveis mais baixos de PIB

per capita, o que bastante condizente com a realidade.

Nota na primeira parte do estudo do modelo, quando consideramos o crescimento

populacional nulo, ns vimos que uma alterao da taxa de poupana exerce um efeito

sobre o produto por trabalhador no estado estacionrio, mas no afeta a sua taxa de

crescimento no longo prazo. O mesmo acontece com o crescimento populacional. Sua

alterao exerce um efeito sobre o capital e sobre a produo per capita no estado

estacionrio, mas no afeta a sua taxa de crescimento, uma vez que, em estado

estacionrio, as variveis (y e k) permanecero constantes.

III Novo nvel de capital da Regra de Outro considerando o crescimento populacional:

A formulao terica do nvel de capital da Regra de Ouro continua a mesma: o nvel

de capital estacionrio em que o consumo por trabalhador maximizado. Quando no

consideramos o crescimento populacional, ns vimos que o consumo estacionrio

mximo quando a inclinao da curva de produo, f(k), igual inclinao da curva

de depreciao, k. Ou seja, quando Pmgk=. Agora, o que muda que no temos mais

curva de depreciao, mas sim curva de investimento de equilbrio, (+n)k. Assim, o

consumo estacionrio ser mximo quando a inclinao da curva de produo, que

igual ao produto marginal do capital, igual inclinao da curva do investimento de

equilbrio, que igual a (+n).

Desta forma, considerando o crescimento populacional sendo igual a n, o nvel de k*

que maximiza o consumo aquele em

No estado estacionrio da Regra de Ouro, o produto marginal do capital igual ao

somatrio da taxa de depreciao com a taxa de crescimento populacional. Ou, em

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outras palavras, o produto marginal do capital lquido da depreciao igual taxa de

crescimento populacional.

3.7. O PROGRESSO TECNOLGICO

A partir de agora, acrescentaremos mais uma fonte de crescimento econmico: o

progresso tecnolgico. O modelo de Solow no explica o que determina e o que

influencia o progresso tecnolgico, ele apenas o pega como um dado pronto, pr-

determinado. Ou seja, o progresso tecnolgico uma varivel exgena ao modelo de

Solow. Por isso, o modelo de Solow um modelo de crescimento exgeno. Neste

momento, vamos retornar funo de produo Cobb-Douglas do incio da aula:

Y = F(K, L)

A principal consequncia do progresso tecnolgico fazer com que cada trabalhador

produza mais. Ou seja, quanto maior a tecnologia, mais os trabalhadores sero

eficientes. Assim, possvel que, dependendo da tecnologia de produo, um

trabalhador, por exemplo, faa o trabalho de vrios em virtude da tcnica utilizada. A

fim de incorporar o progresso tcnico em nosso modelo, ns vamos introduzir uma nova

varivel na nossa funo de produo. a varivel "E", que significa eficincia da mo-

de-obra. Essa varivel "E" deve ser multiplicada por L, no sentido de que ela faz um

trabalhador produzir mais. Veja: Y = F(K, Lx E)

O termo LxE mede o nmero efetivo de trabalhadores (ou unidade de eficincia do

trabalho). Ele leva em conta o nmero de trabalhadores, L, e a eficincia da mo-de-

obra, E. A eficincia, por sua vez, determinada pela tecnologia do pas. Perceba que,

segundo essa nova funo de produo, o progresso tecnolgico (aumentos de E,

eficincia da mo-de-obra) tem o mesmo efeito que aumentos na fora de trabalho, L.

Por exemplo, suponha que um progresso tecnolgico faa com que um trabalhador hoje

tenha o dobro de eficincia de outro h dez anos. Isso significa que 01 trabalhador, em

2010, to produtivo quanto 02 trabalhadores no ano 2000. Em outras palavras, ainda

que o nmero de trabalhadores (L) permanea o mesmo nos anos de 2000 e 2010, o

nmero efetivo de trabalhadores efetivos (LxE) dobra, em virtude do progresso

tecnolgico.

Ns denominamos de "g" a taxa com que o progresso tecnolgico aumenta. Por

exemplo, se g=0,05l ento cada trabalhador passa a ser 5% mais eficiente a cada ano e,

19

por conseguinte, o total da produo aumenta como se a fora de trabalho tivesse

aumentado em 5%.

Essa suposio do modelo de que a tecnologia aumenta a eficincia da mo-de-obra faz

com que chamemos o "g" de progresso tecnolgico incrementador da mo-de-obra.

Uma vez que a fora de trabalho (L) cresce taxa n, e a eficincia da mo-de-obra (E)

cresce taxa g, o nmero efetivo de trabalhadores (LxE) cresce taxa (n+g).

Tambm importante ressaltarmos que se a eficincia da mo-de-obra (E) constante

(se, por exemplo, temos E=1), ento, no h progresso tecnolgico, de tal forma que

g=0. Este pressuposto foi adotado nos tpicos 3.1 a 3.6 desta aula.

Nos itens 3.1 a 3.6, ns analisamos a economia em termos de variveis "por

trabalhador". Agora, ns faremos essa anlise em termos de variveis "por trabalhador

efetivo" (ou por unidade de eficincia do trabalho). Para isso, basta dividirmos a funo

de produo com progresso tecnolgico por LxE (e no somente por L como temos

feito at o momento). Assim, teremos:

y = Y/(LxE)

k = K/(LxE)

A funo de produo por trabalhador efetivo ser funo do estoque de capital por

trabalhador efetivo: y=f(k)

Feitas essas consideraes iniciais, a nossa anlise ser igual quela realizada nos itens

precedentes. O estoque de capital por trabalhador efetivo variar segundo quatro foras:

o investimento (aumenta o k), depreciao (diminui o k), crescimento populacional

(diminui o k) e progresso tecnolgico (diminui o k). Assim, a variao do capital

A princpio, pode soar estranho dizer que o progresso tecnolgico diminui o k. Vamos

esclarecer esse ponto. Para isso, pense que agora estamos trabalhando com o capital por

trabalhador efetivo, de tal forma que k=K/(LxE). Assim, se h progresso tcnico (g>0),

ento haver aumento da eficincia da mo-de-obra, de forma que o valor de "E"

aumentar. Se o valor de "E" aumenta, o valor de k diminui. Conclumos ento que o

progresso tcnico faz reduzir o estoque de capital por trabalhador efetivo.

20

No estado estacionrio, Ak=0r ento:

i = ( + n + g)k

sf(k) = ( + n + g)k

Na figura 12, ns podemos visualizar o estado estacionrio com o progresso

tecnolgico:

Fig. 12

No estado estacionrio, o capital por trabalhador efetivo, k, constante. Uma vez que

y=f(k), o produto por trabalhador efetivo tambm constante.

H uma crucial diferena entre o estado estacionrio com progresso tcnico e sem

progresso tcnico. Quando consideramos a tecnologia, o capital e a produo por

trabalhador efetivo se mantm constantes no estado estacionrio. Isso inteiramente

diferente do estado estacionrio sem progresso tcnico. Neste, o capital e a produo

por trabalhador (conceito diferente de trabalhador efetivo) so constantes. Com base

nisso, tiramos importantes concluses. Veja:

Com tecnologia, ns sabemos que y constante em estado estacionrio e esse y

significa o produto por trabalhador efetivo: y = Y/(LxE)

Ao mesmo tempo, sabemos que L cresce a uma taxa n, e E cresce a uma taxa g. Assim,

o denominador da nossa frao Y/(LxE) cresce a uma taxa (n+g). Ora, se o

denominador de Y/(LxE) cresce a uma taxa (n+g), a nica maneira de y se manter

21

constante se o produto Y tambm crescer a uma taxa (n+g). Assim, conclumos que,

no estado estacionrio, o total da produo (ou produto total) cresce a uma taxa (n+g).

Bem, j vimos que o capital e o produto por trabalhador efetivo (y) em estado

estacionrio so constantes. Tambm j vimos que o produto total (Y), em estado

estacionrio, cresce a uma taxa (n+g). Mas, e quanto ao produto por trabalhador (Y/L)?

Ele cresce ou fica constante? Vejamos:

Multiplicando os dois lados por E, temos:

A expresso nos mostra que o produto por trabalhador (Y/L) igual ao produto por

trabalhador efetivo (y) multiplicado por E. Como sabemos que y constante e E cresce

a uma taxa g, temos ento a certeza de que o produto por trabalhador (Y/L) cresce

tambm a uma taxa g.

Uma vez que o produto por trabalhador (= renda per capita) o termo que define o

padro de vida dos cidados, nosso modelo pode finalmente explicar os crescimentos

sustentveis nos padres de vida que observamos ao longo dos anos. Ou seja, o modelo

de Solow nos diz que, no estado estacionrio, a taxa de crescimento da renda per capita

determinada exclusivamente pela taxa exgena de progresso tecnolgico, g.

Se houver progresso tecnolgico, a renda per capita das pessoas crescer mesmo que a

economia esteja em estado estacionrio. Quanto maior o progresso tcnico, maior o

crescimento da renda per capita. Isso nos ajuda a explicar por que uns pases possuem

renda per capita to mais elevada que outros. Certamente, o desenvolvimento

tecnolgico nestes pases de alta renda bem maior que aquele verificado nos pases

pobres.

22

Assim, podemos resumir quem cresce e quem fica constante no estado estacionrio,

com e sem progresso tcnico:

Por fim, falemos agora da Regra de Ouro com a introduo do progresso tecnolgico. O

nvel de capital da Regra de Ouro definido como o estado estacionrio que maximiza

o consumo por trabalhador efetivo.

Podemos deduzir o consumo da Regra de Ouro da mesma forma que fizemos nos itens

anteriores, s que agora estamos falando do consumo mximo por trabalhador efetivo e

tambm devemos considerar que a reta do investimento de equilbrio dada por

(+n+g)k*. Assim, o consumo ser

c* = f(k*) - (+n+g)k*

O consumo no estado estacionrio ser maximizado quando a inclinao da funo de

produo for igual inclinao da reta (+n+g)k*. Assim, temos consumo mximo por

trabalhador efetivo no estado estacionrio quando

No nvel de capital da Regra de Ouro, o produto marginal do capital lquido (Pmgk - )

igual taxa de crescimento do produto total (n+g).

3.8 RESDUO DE SOLOW

Uma das principais crticas a este modelo de Solow o fato de ele no investigar mais a

fundo a questo do progresso tcnico. O modelo apenas conclui que ele quem garante

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o crescimento de longo prazo, mas no o explica de forma mais detalhada. Conforme

ns vimos, neste modelo, a tecnologia considerada uma varivel exgena.

Neste contexto, Solow calculava o percentual de contribuio da tecnologia para o

crescimento econmica de forma residual. Vejamos como isso funciona. Suponha uma

funo de produo Cobb-Douglas:

Onde A o parmetro tecnolgico, K o capital, L a mo-de-obra, "a" e "1- a" so os

expoentes de K e L, e medem a participao do capital e da mo-de-obra,

respectivamente. O crescimento econmico (AY/Y) calculado por meio da seguinte

frmula:

O termo AY/Y representa o crescimento no produto. O termo a.AK/k representa a

contribuio do capital para o crescimento do produto. O termo (1 - a). AL/L representa

a contribuio da mo-de-obra para o crescimento do produto. O termo AA/A

representa a contribuio da tecnologia para o crescimento do produto e tambm

chamado de produtividade total dos fatores (PTF).

Essa produtividade total dos fatores (PTF), que contribuio da tecnologia para o

crescimento, no mensurvel de forma direta. Afinal, bem difcil imputar

numericamente qual o percentual do crescimento do produto que ocorreu devido

tecnologia. Assim, a PTF calculada residualmente, uma vez que possvel saber sem

maiores problemas qual foi a contribuio da mo-de-obra e do capital para o

crescimento do produto.

Por exemplo, suponha que, em 2010, a taxa de crescimento do PIB do Brasil tenha sido

de 6%, com expanso de 2% do capital e 1% da fora de trabalho, e as participaes do

capital e da mo-de-obra na produo so 0,3 e 0,7, respectivamente [ou seja, a = 0,3 e

(1 -a) = 0,7]. O clculo da PTF no perodo dado por:

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Ou seja, dos 6% de crescimento do PIB, 4,7% ocorreram devido ao crescimento

tecnolgico. Mas note que essa descoberta do quantum a tecnologia foi importante para

o crescimento foi obtida residualmente. Primeiro, sabiam-se os valores do crescimento

do produto, crescimento do estoque de capital, crescimento da fora de trabalho e suas

as contribuies para esse crescimento. A partir destes dados, residualmente, foi

possvel calcular a produtividade total dos fatores (contribuio da tecnologia para o

crescimento).