Critério de Convergência e Divergência de Séries + Condição necessária de

convergência

Demonstração :Faremos em sala.

+ Observação: A recíproca do teorema não é verdadeira. Exemplo:

Série harmônica 1

𝑛∞𝑛=1

Se a série 𝑎𝑛∞𝑛=1 , for convergente

então 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ 𝒂𝒏= 𝟎 .

Critério de Convergência e Divergência de Séries + Condição suficiente de

divergência – Teste da Divergência

+ Exemplo: Verifique a natureza da série

4𝑛2 + 1

𝑛2

∞

𝑛=1

Se 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ 𝒂𝒏 não existir ou se

𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ 𝒂𝒏≠ 𝟎, então a série

𝑎𝑛∞𝑛=1 é divergente.

Propriedades das séries convergentes

Sejam 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 e 𝑏𝑛

∞𝑛=1 séries convergentes e 𝑐 uma

constante, então

i. 𝑐 𝑎𝑛 = 𝑐∞𝑛=1 𝑎𝑛

∞𝑛=1

ii. (𝑎𝑛 ∞𝑛=1 + 𝑏𝑛) = 𝑎𝑛

∞𝑛=1 + 𝑏𝑛

∞𝑛=1

iii. (𝑎𝑛 ∞𝑛=1 − 𝑏𝑛) = 𝑎𝑛

∞𝑛=1 − 𝑏𝑛

∞𝑛=1

Testes de Convergência : Teste da Integral

+ 1

𝑛2 ∞

𝑛=1

+ 1

𝑛 ∞

𝑛=1

Testes de Convergência : Teste da Integral

Seja 𝑓 uma função contínua, positiva e decrescente em [𝑐,∞) e

seja 𝑎𝑛= 𝑓(𝑛). A série 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 será:

+ Convergente se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

1 for convergente.

+ Divergente se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

1 for divergente.

Testes de Convergência : Teste da Integral

Exemplos:

1) Teste a série 1

𝑛2+1 ∞

𝑛=1 quanto à convergência ou divergência.

2) Série Harmônica de ordem 𝑝

1

𝑛𝑝 ∞

𝑛=1

Mostre que a série 𝑝 converge

para 𝑝 > 1 e diverge quando 𝑝 ≤ 1.

Testes de Convergência : Teste da Integral

Exercícios:

1. Use o teste da integral para avaliar a convergência das séries.

a) ln 𝑛

𝑛 ∞

𝑛=1

b) 𝑛𝑒−𝑛2∞

𝑛=1

Testes de Convergência : Teste da Comparação Teste da Comparação Direta

Supondo que 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 𝑒 𝑏𝑛

∞𝑛=1 sejam séries de termos positivos.

i) Se 𝑏𝑛 ∞𝑛=1 converge e 𝑎𝑛≤ 𝑏𝑛, ∀n ∈ 𝑍+ então

𝑎𝑛 ∞𝑛=1 converge.

ii) Se 𝑏𝑛 ∞𝑛=1 diverge e 𝑎𝑛≥ 𝑏𝑛, ∀n ∈ 𝑍+ então 𝑎𝑛

∞𝑛=1 diverge.

Testes de Convergência : Teste da Comparação Exemplos:

a) 1

2+5𝑛 ∞

𝑛=1

b) 3

𝑛−1 ∞

𝑛=2

c) cos 𝑛

𝑛2 ∞

𝑛=1

Testes de Convergência : Teste da Comparação Teste da Comparação no Limite

Supondo que 𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛 sejam séries de termos positivos. Se

lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛= 𝑐,

onde 𝑐 é um número finito e 𝑐 > 0 então ambas as séries

convergem ou ambas divergem.

Testes de Convergência : Teste da Comparação Avalie as séries usando o teste da comparação no limite

a) 3𝑛+1

4𝑛3+𝑛2−2 ∞

𝑛=1 b) 5

𝑛2+2𝑛+7 ∞

𝑛=1

c) 1

2𝑛−1 ∞

𝑛=1 d) 8𝑛+ 𝑛

5+𝑛2+𝑛72

∞𝑛=1

Séries Alternadas

(−1)𝑛𝑏𝑛

∞

𝑛=1

= −𝑏1 + 𝑏2 − 𝑏3 +⋯+ (−1)𝑛𝑏𝑛

(−1)𝑛+1𝑏𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 −⋯+ (−1)𝑛+1𝑏𝑛

Testes de Convergência : Teste da Série Alternada Se a série alternada

(−1)𝑛+1𝑏𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 −⋯+ (−1)𝑛+1𝑏𝑛

com 𝑏𝑛 > 0 satisfazer as condições seguir, então ela converge.

i) 𝐛𝐧+𝟏≤ 𝐛𝐧, ∀ 𝐧 ∈ 𝒁+

ii) 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝐛𝐧= 𝟎

Testes de Convergência : Teste da Série Alternada

Testes de Convergência : Teste da Série Alternada Avalie as séries alternadas

a) −1 𝑛−1

𝑛 ∞

𝑛=1

b) −1 𝑛2𝑛

3𝑛−1 ∞

𝑛=1

c) −1 𝑛−12𝑛

4𝑛2−3 ∞

𝑛=1

Convergência Absoluto: Série Alternada

Definição: Uma série an é absolutamente convergente se a série

an = a1 + a2 + a3 +⋯+ an

for convergente.

Definição: Uma série que é convergente, mas não absolutamente

convergente é denominada condicionalmente convergente.

Convergência Absoluto: Série Alternada + Exemplos: Série absolutamente convergente

(−1)𝑛

𝑛2

∞

𝑛=1

+ Série condicionalmente

convergente

(−1)𝑛−1

𝑛

∞

𝑛=1

Convergência Absoluto: Série Alternada + Teorema:

Se uma série an é absolutamente convergente, então a

série é convergente.

Testes de Convergência : Teste da Razão

Se lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛= 𝐿, então a série an é:

i) Absolutamente convergente (e portanto convergente), se 𝐿 < 1.

ii) Divergente, se 𝐿 > 1.

iii) Nada se pode concluir, se 𝐿 = 1.

Recomendado para séries que envolvem Fatoriais, Produtos notáveis e

potências.

Testes de Convergência : Teste da Raiz

Se lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛 = L, então a série an é:

i) Absolutamente convergente (e portanto convergente), se 𝐿 < 1.

ii) Divergente, se 𝐿 > 1.

iii) Nada se pode concluir, se 𝐿 = 1.

Recomendado para séries em que os fatores do termo geral estão

elevados ao expoente n.

Utilizando os Testes da Razão e da Raiz, determine a natureza das séries

a) 1

(log 𝑛)𝑛 ∞

𝑛=1 b) 23𝑛+1

𝑛𝑛 ∞

𝑛=1

c) −1 𝑘+15𝑘

𝑘! ∞

𝑘=0 d) −1 𝑛 𝑛𝑛

(ln 𝑛)𝑛 ∞

𝑛=2

e) 5𝑛+1

(ln 𝑛)𝑛 ∞

𝑛=2

Séries envolvendo todos os testes estudados 1. Avalie as séries

a) −1 𝑛−1 7

6𝑛−1 ∞

𝑛=1 b) 𝑛

𝑛+3 ∞

𝑛=1

c) 4𝑛2−2𝑛+6

8𝑛7+𝑛−8 ∞

𝑛=1 d) 𝑘+4 !

4!𝑘!4𝑘 ∞

𝑘=1

Séries envolvendo todos os testes estudados

2. Mostre que 1

5𝑛+2 ∞

𝑛=1 diverge.

a) Pelo Teste da Integral.

b) Utilizando outro teste que julgar adequado