cuadejercicios

CUADERNO DE EJERCICIOS

INTRODUCCIÓN A LAS

MATEMÁTICAS

Instituto Tecnológico Autónomo de México

Enero 2013

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CONTENIDO Capítulo I Aspectos básicos de Álgebra.

Capítulo II Funciones.

1.- Conjuntos e intervalos.

2.- Conjuntos en el plano cartesiano.

3.- Función par, función impar. Capítulo III Ecuación, líneas rectas, aplicaciones y desigualdades lineales.

1.- Línea recta (ecuaciones y graficas).

2.- Aplicaciones de la ecuación lineal.

3.- Depreciación lineal.

4.- Modelo lineal de costo total, ingresos y utilidades.

5.- Modelo lineal de la oferta y la demanda.

6.- Desigualdad lineal con una y dos variables.

Capítulo IV Funciones cuadráticas y desigualdades cuadráticas.

1.- Ejercicios de aplicación. Capítulo V Otras funciones, operaciones gráficas, ecuaciones con radicales,

desigualdades con valores absolutos.

Capítulo VI Operaciones con Funciones, Función composición, funciones inv. función

recíproca y funciones racionales

1.- Función composición.

2.- Funciones biunívocas.

3.- Función inversa.

4.- Gráfica de la función recíproca

5.- Funciones racionales.

Capítulo VII Función exponencial y función logarítmica.

1.- Ecuaciones logarítmicas y ecuaciones exponenciales.

2.- Funciones recíprocas de funciones exponenciales y logarítmicas.

3.- Ejercicios de interés compuesto.

Capítulo VIII Funciones trigonométricas.

Capítulo IX Cónicas y semicónicas.

1

CAPÍTULO I

ASPECTOS BASICOS DE ÁLGEBRA.

El propósito es repasar aspectos básicos de álgebra.

I. Factorizar las siguientes expresiones sacando como factor común el término que se

señala a la derecha.

a) 2a2

+ 4ab – 8a3b

2

(2a)

b) 3x2

y3

– 5x4

y (3x2

y)

c) - 2a4

b + 3a3

b2 (- 2a

2 b)

II. A partir del producto notable (a + b)2

= a2

+ 2ab + b2

1.- Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado.

a) (2x – 3y)2

b) (- 5x + 4)2

c) (2xy- 3y2)2

III. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como binomios al cuadrado.

a) x2

– 10x + 25

b) y2

+ 14y + 49

c) 4y2

+ 20y + 25

d) 25x4

y2

– 30x2

y2

+

9y2

IV. A partir del producto notable (x + a) (x + b) = x2

+ (a + b)x + ab.

1.- Desarrollar los siguientes productos

2

a) (x – 3) (x + 2) b) (2x – 5) (2x + 1)

c) (- 3y – 8) (- 3y – 5)

V. Factorizar los siguientes trinomios como el producto de dos binomios.

a) x2

– 4x – 21

b) x2

+ 3y – 10

c) 9x2

– 12x – 12

d) 4y2

+ 10y + 4

VI. A partir del producto notable (a + b) (a – b) = a2

– b2.

1.- Desarrollar los siguientes productos

a) (2x – 5) (2x + 5)

b) (- 3x + 1) (- 3x – 1)

c) (6x – 2y) (6x + 2y)

VII. Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados como el producto de binomios

conjugados.

a) x2

– 49

b) 4x2

– 25y4

c) - 9x2

+ 36y8

d) - 64 + 9x10

3

VIII. Obtener las raíces o ceros de las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1.- Aplicando la fórmula general

a) 5x2

– 8x + 3 = 0

b) 4x2

+ 12x – 7 = 0

2.- Factorizando la ecuación.

a) x2

– 6x + 9 = 0

b) x2

+ 3x - 10 = 0

c) x2

– 25 = 0

d) 3x2

+ 5x = 0

X. Resolver por cualquier método los siguientes sistemas de ecuaciones y comprobar sus

resultados.

a) 3x + 4y = – 6

3x + 5y = 5

4

b) 5x + 6y = - 8

x + 4y = 11

c) 2x + 3y + 4z = 4

3x – 2y – 6z = 7

5x + 7y + 8z = 9

d) 2x – 3y = 4

6x + 2z = 9

5y + 4z = 7

e) 3x – y = 8

x + z = 1

3y + 2z = 5

XI. De las siguientes ecuaciones, despejar la variable que se indica. a) F = 9/5 C + 32 (C)

b) V = π r2

h (h)

(b)

XII. Simplificar las siguientes expresiones.

a) (3- 4

∙ 35)2

b) (73/7

– 2)2

c) (a2 + 3n

)2

d) (2a2/b

3)3

e) 43/2

5

f) (8)- 2/3

g) (16x16

)1/4

h) (-27a27

)- 1/3

XIII. Resolver los siguientes problemas traduciendo, el enunciado del problema en una

expresión matemática y de ahí obteniendo la respuesta.

a) Hace 5 años, María tenía el doble de edad de su hermano. Encuentre la edad actual de

María si ahora la suma de las edades es de 40. b) En una clase de matemáticas para la administración hay 52 estudiantes. Si el número de

varones es 7 más que el doble de mujeres, determine el número de chicas que hay en clase.

c) La suma de dos números enteros impares consecutivos es de 76. ¿Cuáles son esos

números?

d) El perímetro de un rectángulo es 310 m. El largo es 25 metros mayor que el ancho.

¿Cuál es el largo y el ancho de este rectángulo?

CAPÍTULO II

FUNCIONES

I. Conjuntos e intervalos. 1.- Mostrar en la recta de los números reales los conjuntos presentados en los problemas

siguientes. Además, expresar como intervalo, estos mismos conjuntos.

6

II. Conjuntos en el plano cartesiano.

1.- Identificar en el plano cartesiano los conjuntos de puntos (x, y) tales que:

7

2.- Proporcionar una expresión como conjunto de la región que se presenta en cada una de

las siguientes gráficas

8

III. Determinar si cada una de las siguientes gráficas es función:

9

IV. Indicar si las relaciones que se presentan a continuación son funciones:

Dominio Contradominio

B● ●D

G● ●H

A● ●E

12

(a)


E ●

F ● ●H

G● ●I

●J

(b) ●K


C ●

D ● ●F

E ●

(c)


●H

C ● ● I

D● ●J

E● ● K

(d)

13

V. Decir si son función: a) La relación de alumnos con su clave única.

b) La relación entre las calificaciones parciales y los alumnos de un grupo.

VI. Dibujar los siguientes conjuntos de parejas ordenadas y determinar cuáles definen una

función

x : - 3, - 2, - 1, 2 y 3.

a) f (x) = 2x – 3 b) f(x) = x2

c) f(x) = x3

d) f(x) = 2x

X. Las gráficas que se muestran a continuación, corresponden a diversas funciones.

Determine para cada una de ellas lo siguiente:

a) Dominio y rango.

14

b) Intervalos en los que es creciente y decreciente.

c) Intervalos donde es positiva y negativa.

15

XI. FUNCIÓN PAR, FUNCIÓN IMPAR

1.- ¿Cómo se determina analítica y geométricamente si una función es par? 2.- ¿Cómo se determina analíticamente y geométricamente si una función es impar?

3.- ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones pares y cuáles a impares?

23

4.- En cada caso completar la gráfica para que represente una función par.

27

5.- En cada caso completar la gráfica para que represente una función impar.

29

XII. Determinar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos.

a) f(x) = (x – 2)2 b) f(x) = x

2 + 3

c) f(x) = 3x + 1

d) f(x) = 1/x e) f(x) = - x3 f) f(x) = x

3 + 2

30

CAPÍTULO III

LÍNEA RECTA, APLICACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES. I. LÍNEA RECTA (ECUACIONES Y GRÁFICAS)

1.- Obtener la pendiente y la gráfica de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos,

identificando en cada caso el signo y el valor de la pendiente.

a) A(3, 1) y B(6, 2) b) A(- 1, - 2) y B(3, 6) c) A(2, 0) y B(0, 4) d) A(0, 2) y B(0, 4) e) A(3, 2) y B(3, - 1) f) A(3, 4) y B(- 2, 4)

2.- A partir del valor de la pendiente y las coordenadas de un punto obtener las coordenadas

de un segundo punto y trace la gráfica correspondiente:

a) m = 2, B(3, 1) b) m = 2/3, P(0, 3) c) m = -1, (4, 2)

d) m = - A(1, - 2) e) m = 0, C(1, 3)

3.- Graficar las rectas que pasan por el origen y que tienen pendiente:

a) m = 2 b) m = c) m = - 2 d) m =

Sugerencia: para obtener la grafica de cada recta, obtenga las coordenadas de un segundo

punto a partir del valor de la pendiente.

4.- Indicar para cada una de las siguientes gráficas de recta, si la pendiente es positiva,

negativa, cero o indeterminada.

31

5.- Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto dado y con la pendiente

indicada.

a) P(4, - 1) y m = - 3 b) P(- 3, 2) y m = 2 c) P(- 6, - 5) y m = 2/3

33

6.- Obtener las ecuaciones y gráficas de las rectas vertical y horizontal que pasan por los

siguientes puntos:

a) P(3, - 5) b) R(-2, 7) c) D(- 1, - 3)

7.- Obtener la ecuación de cada una de las líneas rectas que satisfacen las siguientes

condiciones:

a) pasa por los puntos (2, 1) y (5, 4). b) pasa por el punto (6, - 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (5, 1) y (2, 8).

c) pasa por el punto (-1,0) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (4,1) y

(5,3). d) pasa por el punto (4, 0) y es paralela a la recta 3x – y – 5 = 0.

e) pasa por el punto (3, 2) y es perpendicular a la recta x + 2y – 6 = 0.

f) pasa por el punto (2, 3) y por el punto de intersección de las rectas x + y – 5 = 0 y 2x – y

+ 3 = 0. g) pasa por el origen y es paralela a la recta 3x – 2y = 6.

h) su gráfica interseca a los ejes cartesianos en x = 2 y en y = - 3.

i) pasa por le punto (3, 2) y por la ordenada al origen de la recta 2x + y + 3 = 0.

j) pasa por el punto (- 4, - 3) y por la intersección con el eje x (abscisa al origen) de la

recta – 3x – 2y + 6 = 0.

k) Demuestre usando el concepto de pendiente que los ´puntos A(2, 5), B(3, 7) y C(1, 3)

son colineales (están alineados sobre una línea recta). l) Las ecuaciones de los lados de un triangulo son x + 2y = 5, 2x + y = 7 y y = x +

1, obtenga las coordenadas en cada vértice. m) Verifique si concurren en el mismo punto las rectas y = 3x – 17, 2y = x – 9 e y = -

2x + 8. n) ¿Qué valor debe tener c para que las rectas 3x + y = 2, 2x – y – 3 = 0 y 5x + 2y

+ c = 0.concurran en el mismo punto?

o) Encontrar el valor del parámetro k para que la recta x + ky – 2 = 0 tenga ordenada al

origen igual a 4.

34

p) Encontrar el valor del parámetro k para que el punto P (3, - 4) esté sobre la recta kx +

3y – 6 = 0.

8.- Obtenga la intersección con los ejes cartesianos (eje x e eje y) de cada una de las

siguientes rectas. A partir de estas intersecciones, dibuje la gráfica correspondiente.

a) 2x + y = 4 b) - x + 2y + 6 = 0 c) 4x – 2y – 10 = 0 d) 2x + 3y = 0

9.- A partir de cada una de las gráficas de línea recta que se presentan a continuación,

obtener la ecuación de cada línea. Además indique los intervalos donde es positiva y donde

es negativa.

35

II. APLICACIÓNES DE LA ECUACIÓN LINEAL

1.- Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto (tipo A y tipo B). Cada unidad del

tipo A requiere de 2 horas – máquina para su producción y cada unidad del tipo B de 5

horas – máquina. Hay 280 horas – máquina disponibles cada semana.

a) Si x representa un número de unidades del tipo A que se producen cada semana y el

número de unidades del tipo B; encuentre una ecuación lineal en x e y y si se emplean todas

las horas disponibles.

b) ¿Cuál es la pendiente de la ecuación lineal obtenida en el inciso anterior? ¿qué

representa?

c) ¿Cuántas unidades del tipo A se pueden fabricar a la semana si se decide fabricar 30

unidades del tipo B?

2.- Una empresa fabrica sillas y mesas de caoba, para cada silla se utilizan 2 tablas de caoba

y para cada mesa 5 tablas de caoba. Si se dispone de 400 tablas de caoba en total, encuentre

la relación entre el número de sillas y mesas que se pueden fabricar si se utilizan todas las

tablas disponibles.

3.- Una primera agencia que renta autos (agencia A) cobra $140 de cuota fija más $1.50 por

cada km. Una segunda agencia (agencia B) cobra $200 más $0.50 por km. ¿Qué agencia es

la que ofrece el menor costo?

37

4.- Una pequeña compañía mueblera fabrica dos productos: sofás y sillones. Para la

producción de cada sofá se requiere de 8 horas de mano de obra y para producir cada sillón

se requiere de 6 horas. Cada sofá requiere de $600 de materiales y cada sillón de $350. La

compañía dispone de 340 horas de mano de obra por semana y puede comprar $22,500 en

materiales. ¿Cuántos sofás y sillones puede producir por semana usando todos los recursos

materiales y humanos?

5.- Un joven universitario recibe un préstamo, por parte de un familiar de $8,250 sin

intereses. El estudiante pagará $125 al mes hasta saldar su deuda.

a) Determinar la ecuación lineal que relacione la cantidad V (en pesos) restante a pagar en

términos del tiempo t (en meses)

b) ¿Qué cantidad deberá después de pagar 20 meses? c) ¿Después de cuántos meses deberá $5,000?

d) ¿En cuántos meses terminará de pagar su deuda?

6.- Una compañía vitivinícola decide producir 10,000 litros de jerez mezclando vino

blanco, que tiene un contenido de alcohol del 10% por volumen, con brandy que tiene un

contenido de alcohol del 35%. Se requiere que el contenido de alcohol del jerez sea de un

15%. Determine cuántos litros de vino blanco y cuántos de brandy se deben mezclar para

obtener el resultado deseado.

7.- Una empresa produce dos tipos de productos (tipo A y tipo B) empleando dos máquinas

(máquina 1 y máquina 2). Para producir una unidad del tipo A se requieren 3 hrs. de la

máquina 1 y 1 hr. de la máquina 2. Cada unidad del tipo B requiere 1 hr. de la máquina 1 y

2 hrs. De la máquina 2. Si se dispone de 45 hrs. en la máquina 1 y 20 hrs. de la máquina 2

¿cuántas unidades se podrán producir si se emplea todo el tiempo disponible de las dos

máquinas?

8.- Una persona invierte un total de $25,000 en tres diferentes inversiones al 8%, 10% y

12%. Los intereses totales de las inversiones al cabo de un año fueron de $2,400 y los

intereses devengados por las inversiones al 8% y al 12% fueron iguales. ¿Cuánto invirtió en

cada tasa?

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9.- Una tienda vende dos tipos de café, uno a $20 el kg. (tipo A) y el otro a $15 el kg. (tipo

B) por la misma cantidad. El propietario decide producir 50 kg. de un nuevo tipo de café

mezclando los tipos A y B vendiendo a $16 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada

tipo deberá mezclar sin alterar los ingresos obtenidos por la venta individual de los cafés?

10.- Una compañía emplea a 53 personas en dos sucursales. De estas personas, 21 tienen

una licenciatura. Si una tercera parte de las personas que trabajan en la 1era

sucursal y tres

séptimos de los que laboran en la 2ª sucursal tienen una licenciatura, ¿cuántos empleados

tiene cada sucursal?

11.- En una pequeña tienda se decide mezclar 10 kg. de nueces con 20 kg. de pistaches para

obtener un mezcla de 30 kg., con un valor de $420. Varias semanas después se decide

obtener una nueva mezcla de 23 kg., con un valor total de $300, mezclando 15 kg., de nuez

con 8 kg., de pistaches, ¿cuál es el precio por kilogramo de las nueces y los pistaches?

III. DEPRECIACIÓN LINEAL

1.- Se compra un automóvil nuevo en 160,000. a) ¿Cuál es la expresión para calcular el valor del auto después de t años, suponiendo que

se deprecia linealmente a razón de 20,000 cada año.

b) ¿Cuál es el valor del automóvil después de 5 años? Obtener la grafica de la expresión

obtenida en el inciso a).

2.- Se adquiere una televisión en $3,000 que se deprecia linealmente cada año un 15% de su

costo original.

a) ¿Cuál es la expresión para calcular el valor depreciado de la televisión después de t

años? b) ¿Cuál es el valor de la televisión después de 4 años de uso?

c) ¿Cuántos años tendrán que pasar para que se deprecie totalmente el televisor?

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3.- Una empresa adquiere una maquinaria nueva en $300,000. Si se deprecia linealmente en

$25,000 al año y si tiene un valor de rescate de $65,000. a) ¿Por cuánto tiempo estará la maquinaria en uso?

b) ¿Cuál es la expresión para el valor depreciado al paso del tiempo?

c) Obtenga la gráfica de la expresión anterior.

d) Interprete el significado de los valores intermedios sobre la línea recta de la gráfica

anterior.

IV. MODELO LINEAL DE COSTO TOTAL, INGRESOS Y UTILIDADES

1.- Un fabricante produce 100 llaveros con un costo total de $7,000 a la semana y de $8,000

si fabrica 120 llaveros en el mismo periodo.

a) Obtenga la expresión para el costo total suponiendo que es lineal. b) De la ecuación obtenida en el inciso anterior, identifique ¿el valor del costo variable

(Cv) y los costos fijos (Cf)?

2.- El costo al fabricar 10 máquinas de escribir es de $350,000 mientras que cuesta

$600,000 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. a) Suponiendo que la expresión para el costo total es lineal, obtenga esta relación en

función del número x de máquinas producidas.

b) Obtenga la gráfica del costo total en función del número de máquinas producidas. c) ¿Cuál será el costo de fabricar 15 máquinas de escribir?

3.- Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5,000 a la semana y el costo

variable es de $3.50 por unidad. Si el productor vende cada unidad a $6 cada uno.

a) Determine las expresiones lineales para el costo total, para los ingresos y para las

utilidades.

b) Obtenga el punto de equilibrio.

40

c) Calcule el número de unidades que hay que producir y vender a la semana para obtener

una utilidad de $1,000 semanales

d) Obtenga la pérdida cuando sólo se producen y venden 1,500 a la semana.

4.- Para un fabricante de juguetes, el costo de mano de obra y de materia prima por juguete

es de $15 y los costos fijos son de $2,000 pesos al día. Si vende cada juguete a $20.

a) ¿Cuántos juguetes deberá producir y vender cada día a fin de garantizar que el negocio

se mantenga en el punto de equilibrio?

b) Obtenga la gráfica para las utilidades e identifique sobre el eje de las abscisas la región

donde la utilidad es negativa (pérdida) y la región donde es positiva (ganancia).

5.- Una empresa fabrica un modelo de camisa deportiva con un costo variable de $40 y con

costos fijos se $35,000 al mes. Si se planea fabricar por lo menos 700 camisas al mes, ¿cuál

deberá ser el precio que deberá fijarse a cada camisa para ubicarse en el punto de

equilibrio?

V. MODELO LINEAL DE LA OFERTA Y LA DEMANDA

1.- A un precio de $25 por unidad, una empresa venderá 8,000 llaveros al mes; a $40 por

unidad, la misma empresa podrá producir 14,000 llaveros mensuales.

a) Obtenga la ecuación de la oferta (el precio en función de la cantidad), suponiendo que

es lineal.

b) A partir de la ecuación anterior determinar cuántos llaveros se podrán producir si el

precio se fijara en $35 por cada llavero.

c) Obtenga la gráfica correspondiente. 2.- Un fabricante de detergente en botella encuentra que las ventas son de 10,000 botellas al

mes cuando el precio es de $120 por botella, pero las ventas podrán aumentar hasta 12,000

unidades si el precio se reduce a $110.

a) Determine la ecuación de la demanda suponiendo que es lineal.

b) Obtenga la gráfica correspondiente (la cantidad como abscisa y el precio como

ordenada)

41

3.- A un precio de $2,400 la oferta de cierto artículo es de 120 unidades, mientras que la

demanda es de 560 unidades. Si el precio se eleva a $2,700 por unidad, la oferta y la

demanda serán de 160 unidades y 380 unidades respectivamente.

a) Obtenga las ecuaciones de la oferta y la demanda, suponiendo que ambas son lineales. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.

c) Obtenga las gráficas de la oferta y la demanda.

4.- Un fabricante puede ofrecer 2,000 pares de tenis al mes a un precio de $30 por par,

mientras que la demanda, a ese precio, será de 2,800 pares. Si el precio se incrementa a

$35 el par, el fabricante puede ofrecer 400 pares más, sin embargo la demanda se reduce

en 100 pares. a) Determine las ecuaciones de la oferta y la demanda, suponiendo que son lineales.

b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.

5.- Identifique de las dos siguientes ecuaciones, cuál corresponde a la demanda y cuál a la

oferta:

3p + 5x = 22, 2p – 3x = 2 a) Obtenga el punto de equilibrio (precio y cantidad)

4.- A un precio de $2,400, la oferta de cierto artículo es de 120 unidades, mientras que la

demanda, a ese precio es de 560 unidades. Si el precio del artículo se eleva a $2,700 por

unidad, la oferta y la demanda serán de 160 unidades y de 380 unidades respectivamente.

a) Determinar las ecuaciones de oferta y demanda, suponiendo que ambas son lineales. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.

42

d) 3(2x – 1) > 4 + 5 (x – 1) e) 7 > 5 – 2x ≥ 3 f) 5 < 2x + 7 < 13 g) 2 ≥ - 3 – 3x > - 7 h) 2x + 1 < 3 – x < 2x + 5 i) 3x + 7 > 5 – 2x ≥ 13 – 6x

j) 5x – 7 ≥ 3x + 1 ≥ 6x – 11 k) 4 – 2x < x – 2 < 2x - 4

2.- Resolver las siguientes desigualdades con dos variables identificando sobre el plano x,

y, la región solución.

a) 2x – 3y < 6 b) x + 2y – 4 > 0 c) 3x ≥ y – 6 d) 5x + 4y ≥ 20 e) 2x + 3 > 0 f) 4 – 3y < 0

x + 3y ≤ 4 y – 4x ≥ 0

g) 2x + y ≤ 6 h) 2x – y ≤ 4

x ≥ 0 x > - 2

y ≤ 0 y ≥ - 3

3.- Obtener la expresión de la desigualdad que corresponde a la región sombreada.

y y

C

C B

x x

A B

A

D C

x

A B

43

4.- Escribir la desigualdad correspondiente a cada una de las siguientes graficas.

y

D

E

C x

F

A B

(a)

y

D C

E x

A B

(b)

44

5.- Graficar en el plano cartesiano el conjunto de puntos P (x, y) que corresponde a cada

uno de los siguientes conjuntos.

a) A = {(x, y) R2

| x – 2y – 7 < 0, y ≤ 3 – 2x}

b) B = {(x, y) R2

| 2x – y + 4 < 0, 3x + 5y < 15, y ≥ - 1}

c) C = {(x, y) R2

| y < 3x + 3, x + 2y ≥ 2, x ≤ 2} 6.- Determinar la función f (x) si f es una función lineal que satisface las siguientes

condiciones:

e) f (0) = - 2 ; f (- 1) = - 4

f) f(3) = 5 ; f (4) = - 2

g) f(- 4) = 1 ; f(0) = 5

7.- En los siguientes incisos determinar la función f(x) si la gráfica de f es una línea recta

que cumple con:

a) Pendiente 3 y f (5) = 1 b) Pendiente – 1 y f(0) = 4

8.- Obtener la expresión para f (x) si f es una función lineal que satisface las siguientes

condiciones:

a) f(- 1) = 3 y la imagen de 1 es 2 b) f(2) = 5 y la imagen de 0 es 3

45

CAPITULO IV

I. FUNCIONES Y DESIGUALDADES CUADRÁTICAS. 1.- Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas determinar:

a) La concavidad.

b) Las coordenadas del vértice (utilizando la expresión h = - b / 2a para obtener la abscisa

del mismo), indicando si es punto máximo o un punto mínimo.

c) Las intersecciones con los ejes cartesianos. d) La gráfica correspondiente.

i) f (x) = x2

+ 3x – 3 ii) f(x) = - x2

+ 2x – 1 iii) f(x) = - 3x2

– 6x – 5

iv) f(x) = 2x2

– 6 v) f(x) = - x2

+ 2x vi) f(x) = 2x2

– 4x + 7

2.- Expresar las siguientes funciones cuadráticas en la forma f(x) = a (x – h)2

+ k y de esta

expresión determinar:

a) La concavidad. b) Las coordenadas del vértice, indicando si es punto máximo o mínimo.

c) Las intersecciones con los ejes cartesianos.

d) La gráfica respectiva.

e) El dominio y rango correspondiente.

f) Los intervalos donde es creciente y donde es decreciente.

g) Los intervalos donde es positiva y donde es negativa.

i) f(x) = x2

– 6x + 11 ii) f(x) = 2x2

+ 12x + 16 iii) f(x) = - 3x2

– 6x – 5

iv) f(x) = x2

– 4x v) f(x) = - 4x2

+ 16 x – 13 vi) f(x) = - x2

+ 9

3.- Dadas las siguientes gráficas, obtener la expresión de la función cuadrática

correspondiente, indicando el dominio y rango correspondientes.

46

4.- Resolver analíticamente y gráficamente los siguientes sistemas:

a) f(x) = - x2

+ 4, g(x) = x + 2

b) f(x) = - x2

+ 2x + 6, g(x) = x2

– 6

c) f(x) = x2

– 6x + 10, g(x) = - 2x2

+ 12x – 17

d) f(x) = x2

– 2x – 2, g(x) = - x2

– x + 1

5.- A partir de cada función f (x), trazar su gráfica y realizar cada una de las operaciones

gráficas que se solicitan en cada inciso y expresar analíticamente cada una:

a) Sea f(x) = x2

i) g(x) = f (x) – 4

ii) h(x) = g(x – 3)

iii) i(x) = - h (x)

b) Sea f (x) = 2 (x – 3)2

+ 5

i) g(x) = f (x) + 3

ii) h(x) = g(x + 4)

iii) i(x) = - h (x)

6.- Sea f (x) = - (x + 2)2

+ 3

a) g(x) = f(x – 5)

b) h(x) = g(x) – 2

c) i(x) = - h (x)

7.- ¿Cuál es la diferencia principal entre la función f (x) = a x

2 + bx + c y la ecuación

ax2

+ bx + c = 0

49

8.- Si x2

+ kx – 5 + 3x = 0 encontrar dos valores de k, tales que esta ecuación cuadrática

tenga únicamente una sola raíz.

1.- El costo promedio por unidad (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es:

c(x) = 20 – 0,0002x2

a) Expresar la función como y = a (x – h)2

+ k

b) Determinar el valor del vértice utilizando el resultado del inciso anterior. Interpretar el

resultado.

50

2.- Ingreso máximo. El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto

artículo está dado por:

I(x) = 12x – 0,01x2

dólares Determinar el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de

maximizar ingresos. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo?

3.- La utilidad que obtiene una empresa por fabricar y vender x unidades de cierto producto

está dada por:

U(x) = - x2

+ 60x a) Determinar el número de unidades que hay que producir y vender para la utilidad sea

máxima.

b) Obtener el valor de la utilidad máxima. c) Obtener la gráfica correspondiente.

4.- Una empresa tiene costos fijos mensuales de $2,000 y el costo variable unitario es de

$25. El ingreso obtenido por vender x unidades está dado por:

I(x) = - 0,01x2

+ 60x

a) Determinar la expresión lineal para el costo total.

b) Determinar el número de unidades que hay que vender para que el ingreso sea máximo ¿A cuánto asciende ese ingreso máximo?

c) Obtener la expresión para la utilidad.

d) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que la utilidad sea máxima? ¿A

cuánto asciende esa utilidad máxima?

e) Obtener la gráfica del ingreso y de la utilidad.

51

6.- Los costos fijos semanales de una empresa por su producto son de $200 y el costo

variable es de $0.70. La empresa puede vender x unidades a un precio p por unidad en

donde 2p = 5 – 0,01x

a) ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso sea máximo? A cuánto asciende

ese ingreso máximo?

b) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para que la utilidad sea máxima? A

cuánto asciende esa utilidad máxima?

7.- La demanda del mercado de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al

consumidor es de p dólares, y es: 15p + 2x = 720. El costo en dólares de producir x

unidades está dado por

C(x) = 200 + 6x a) Obtener la expresión para la utilidad.

b) ¿Cuántas unidades se deben de producir y vender de modo que la utilidad sea máxima?

c) ¿Cuál es el precio que se debe fijar?

8.- La función de demanda de un producto es: p = 1,000 – 2q, en donde p es el precio

unitario (en dólares) y q es la demanda semanal por parte de los consumidores.

a) Determinar la expresión que relaciona el ingreso total del fabricante I(q) con el nivel de

producción .

b) Encontrar la cantidad demandada que maximiza el ingreso total y determinar dicho

ingreso máximo ¿qué precio corresponde a dicho ingreso?

c) ¿Cuál es el rango de valores que puede tomarse la variable q de manera que el ingreso

sea positivo?

9.- En una tienda donde se venden calculadoras se ha encontrado que cuando las

calculadoras se venden en un precio de p dólares por unidad, el ingreso I como una función

del precio p es: I(p) = - 750p2

+ 15,000p ¿Cuál debe ser el precio unitario que maximice el

ingreso? Si se cobra ese precio ¿Cuál será el ingreso máximo?

52

10.- Una empresa tiene costos fijos mensuales de $2,000 y el costo variable por unidad de

su producto es de $25. Si la función de ingreso R por vender x unidades está por: R(x) =

60x – 0,01x2.

a) Determine la función de costo total

b) Determinar el número de unidades que deben venderse al mes para que se maximice

el ingreso, ¿cuál es ese ingreso máximo?

c) Determinar la función de utilidad ¿Cuántas unidades se deben de producir y vender de

modo que se maximice la utilidad?

d) ¿Cuál es esa utilidad máxima?

11.- La demanda mensual q de cierto artículo al precio p por unidad, está dada por:

q = 1350 – 45p. El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este

producto es de #5 y los costos fijos son de $2,000 al mes.

a) Determinar las ecuaciones de costo total e ingreso total, en términos del precio C(p) e

I(p) . b) Determinar la relación de utilidad en términos del precio Ut(p).

c) ¿Qué precio por unidad deberá fijarse al consumidor con el objeto de obtener una

utilidad máxima mensual?

d) ¿Cuál es el nivel de dicha utilidad?

12.- Fijación de precios. Si un editor fija el precio de un libro en 20 pesos cada uno,

venderá 10,000 ejemplares. Por cada peso de incremento en el precio, las ventas bajan en

400 copias. ¿Qué precio se debería fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo?

¿Cuál es el valor del ingreso máximo?, ¿Qué número de copias vendidas proporciona el

máximo ingreso?

13.- Si los manzanos se plantan con una densidad de 30 por acre, el valor de la cosecha

producida por cada árbol es de 100. Por cada árbol extra que se plante en un acre, el valor

de la cosecha disminuye en 3. ¿Cuál es el número de árboles que deben plantarse por acre

53

con el objeto de obtener el máximo valor de la cosecha? ¿Cuál es el valor máximo de la

cosecha? ¿Qué representan cada una de las variables y expresiones algebráicas que se

utilizaron para expresar la función y resolver el problema?

14.- Una cadena de televisión tiene 5,000 suscriptores cuando fija una cuota mensual de

$16.50. Por cada decremento de $0.50 en la cuota mensual, puede obtener 200

suscriptores más; a) Qué cuota maximizaría el ingreso mensual? b) A cuánto asciende

ese ingreso mensual?

54

4.- Indicar la sucesión de operaciones gráficas utilizadas para transformar la primera

gráfica en la segunda. Adicionalmente, expresar analíticamente ambas funciones.

56

c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que una inversión inicial de $36,000 se convierta

en $130,000 si el banco ofrece una tasa del 23% capitalizable mensualmente?

d) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que una inversión inicial P0 se triplique, si el

banco ofrece una tasa de interés compuesto del 9% capitalizable semestralmente?

3.- Qué tasa debe ofrecer un banco, para que en una capitalización mensual de intereses,

una inversión inicial de $68,000 se transforme en $100,000 al cabo de 5 años?

4.- Se invierten $37,600 a una capitalización continua de intereses a una tasa del 7%.

¿Cuál será el capital resultante al cabo de 4 años?

5.- Como extensión del problema No. 1, considerar que un banco D ofrece una

capitalización continua de intereses, a la misma tasa anual y por el mismo número de años

de inversión. ¿Cuál sería la inversión resultante?

V. EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL MODELO EXPONENCIAL

V.1 CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO

1. Pasadas 3 horas, se observa que la cantidad de bacterias de un determinado cultivo se

ha duplicado.

a) Aplique el modelo exponencial donde k es mayor que cero para

determinar la cantidad de bacterias en el cultivo en función del tiempo,

cuantificando el valor de k a partir de la información inicial.

b) Determine la cantidad de bacterias presentes en el cultivo después de seis

horas.

c) Calcule el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad de bacterias haya

crecido 30 veces su tamaño original.

2. La cantidad de bacterias en un cultivo después de t horas se obtiene a partir de la

ecuación expuesta en el ejercicio anterios.

a) Calcule la constante de crecimiento k si se sabe que después de 3 hroas la

colonia de bacterias se ha duplicado a partir de su población inicial.

b) Calcule el tiempo necesario para que la cantidad de bacterias se haya

duplicado.

3. La población de una comunidad pequeña se regula mediante la expresión

. Si la población inicial aumento 20% en 8 años, ¿cuál será la

población en 25 años? A través de la ecuación exponencial anterior, obtenga de 3 a 5

pares ordenados suficientemente espaciados, a fin de obtener la gráfica

correspondiente.

4. El crecimiento de una determinada comunidad se regula por la expresión

.

a) Si la población inicial se triplica en 5 años, ¿Cuánto tardará en cuadriplicarse?

b) Si la población de esta comunidad era de 25,000 después de 4 años, ¿cuál era la

población inicial?

5. La cantidad de bacterias en un cultivo crece de acuerdo a la expresión exponencial

señalada en el ejercicio anterior. Después de 3 horas se observa que hay 500 bacterias.

Luego de 9 horas desde el inicio hay 2,500. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

6. En una investigación de una especie de mosca se encuentra que a los 3 días la

población era de 400 ejemplares. Después de 7 días la colonia tenía 800 moscas.

a) Obtenga el valor de k para la expresión que regula el crecimiento de

esta especie (sugerencia: calcule la razón de crecimiento y el numero de días

transcurridos entre los registros).

b) ¿Cuál será la población de moscas en 15 días?

c) ¿Cuándo llegará la población de moscas a 6,000 ejemplares?

V.2 FUNCIÓN LOGÍSTICA

7. Un alumno enfermo de virus gripal asiste a un internado que tiene 3,000 estudiantes.

La gripa se empieza a extender después de t días del ingreso de alumno enfermo

mediante la siguiente función logística:

a) De acuerdo a este modelo, ¿cuántos alumnos habrán adquirido la gripa después

de 7 días?

b) ¿Cuánto tiempo pasará para que la mitad de la población de estudiantes se haya

infectado del virus de la gripa?

c) ¿Cuántos alumnos se infectarán después de un tiempo muy prolongado de

acuerdo al modelo utilizado?

V.3 DECAIMIENTO RADIOACTIVO Y VIDA MEDIA

8. La masa de una sustancia radioactiva en determinado momento era de 300 miligramos

( ). Pasadas 8 horas, la masa disminuyó un 3%. Suponiendo que la desintegración en

función del tiempo t estaba regulada por al expresión exponencial ,

determine inicialmente la constante de decaimiento k y de ahí, la cantidad de masa

después de 48 horas.

9. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo T que tarda en desintegrarse la

mitad de determinada cantidad de ese elemento, para transformarse en otro elemento

(estable). Determine la vida media de la sustancia radioactiva del ejercicio anterior,

considerando el valor del parámetro k, calculado en ese mismo problema.

10. El estroncio 90 es una sustancia radioactiva que tiene una vida media de 29 días.

Calcule la constante de decaimiento k del estroncio 90. Si la cantidad residual de una

muestra inicial después de t días se calcula con el modelo exponencial ,

¿cuánto tiempo tardará en decaer el 90% de la muestra?

11. La vida media del polonio 210 es de 140 días. Si representa la cantidad de

polonio 210 que queda después de t días, calcule inicialmente el valor de la constante

de decaimiento k. ¿Cuál es la cantidad que queda después de 60 días? ¿Después de 350

días?

V.4 DATACIÓN CON CARBONO

La edad aproximada de fósiles de materia que alguna vez fueron vivientes se

determina a través del método conocido como datación de carbono. El carbono 14 es un

elemento radioactivo que decae transformándose en el elemento nitrógeno 14 que es estable

(no radioactivo). La vida media del nitrógeno 14 es de 5,730 años. Este método se basa en el

hecho de que las plantas, animales y personas absorben carbono 14 en forma continua a través

de los procesos de respiración y alimentación y cesan de absorberlos cuando mueren.

12. Calcule el valor de la constante de decaimiento radioactivo k para el carbono 14,

sabiendo que su vida media es de 5730 años (recuerde que la vida media es el tiempo

que transcurre para que la mitad de una cantidad dada de una sustancia radioactiva se

desintegre).

13. Conociendo el valor de la constante de decaimiento radioactivo k calculado en el

ejercicio anterior, calcule el intervalo de edades posibles de un hueso fósil de animal

en un sitio arqueológico si se sabe por mediciones que ese hueso había perdido entre

el 80% y 85% de su carbono 14.

14. En unas cavernas se encontraron dibujos hechos con carbón vegetal. Determine la edad

aproximada de estos dibujos si se determinó que el 90% del carbono 14 de un trozo de

carbón vegetal que se encontró en la caverna había decaído por radioactividad.

15. En la década de 1990 unos alpinistas encontraron un cuerpo congelado de un hombre

en un glaciar. Se encontró que el cuerpo de este hombre contenía el 60% del carbono

14 de una persona viva, ¿cuál es la fecha aproximada de su muerte?

CAPÍTULO VIII

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

1. Encontrar la equivalencia en radianes de los siguientes ángulos en grados:

a) 360° b) 90° c) 60° d) 180° e) 270°

f)

45°

g) 15°

h) 30°

2. Encontrar la equivalencia en grados de los siguientes ángulos expresados en radianes:

a) b) c) d) e) f)

g)

h)

i)

3.- A partir del círculo unitario, identifique los valores de las funciones seno y coseno

como la ordenada y la abscisa respectivamente en ese círculo, para los siguientes ángulos:

cuadejercicios

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