CUESTIONARIO DFT 1) Cul es la diferencia entre la DFT y la FFT?

Hay una diferencia clara: "DFT" hace alusin a una transformacin o funcin matemtica, independientemente de cmo se calcule, mientras que "FFT" se refiere a una familia especfica de algoritmos para calcular DFTs.

para k pares para k impares 2) Escriba las caractersticas de la DFT para un sistema discreto en el tiempo. La DFT requiere que la funcin de entrada sea una secuencia discreta y de duracin finita. Utilizar la DFT implica que el segmento que se analiza es un nico perodo de una seal peridica que se extiende de forma infinita. La DFT es una transformada de Fourier para anlisis de seales de tiempo discreto y dominio finito. La entrada de la DFT es una secuencia finita de nmeros reales o complejos

3) Seaorden .

una secuencia tal que

,

o

, siendo

su DFT de

Demuestre la identidad de Parseval

Calcule la DFT de orden

con

de la seal

Utilice los resultados de a) y b) para determinar la suma

RESOLUCIN: Aplicando la definicin de la DFT se tiene

Si se conjuga la anterior expresin, se tiene

Con lo que

Las exponenciales complejas presentan la propiedad de ortogonalidad dada por:

Se tiene entonces

Con lo que

Y por tanto queda demostrada la identidad de Parseval. Aplicando la definicin de la DFT, se tiene

Nos piden determinar el sumatorio

Comparando el trmino general del sumador con el obtenido en el apartado b), tenemos que , por lo que

y

Como

4) Dada la funcin

, con =1Khz, D=0.5ms y N=8 hallar la DFT

Se tiene la secuencia de muestreos:

Los coeficientes de la DFT son:

5) Qu recupera la TransformadaTransformada?

Inversa de Fourier e indique la formula de la

Recupera la versin peridica de la secuencia sobre la cual se ha calculado la DTF y su frmula es:

6) Explique el fenmeno de Aliasing. Aliasing la frecuencia de Nyquist de una seal es el doble de la mxima frecuencia presente en dicha seal. El teorema del muestreo nos dice que para muestrear adecuadamente una seal debemos muestrear al menos con la frecuencia de Nyquist. Cuando se muestrea por debajo de la frecuencia de Nyquist se produce el fenmeno denominado aliasing(palabra que procede de alias). Este fenmeno consiste en que las frecuencias superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo aparecen como frecuencias distintas en la seal muestreada (esto es con un alias). 7) Para 16 muestras de la seal temporal: cos(2nt/16), con n=0..15 cul es la grafica de su primer armnico explique?

Se toman 16 muestras en un perodo de la seal temporal. La grfica temporal est en unidades de t, que es el intervalo de muestreo. Se dice que es la primera armnica.Si la seal que se va a muestrear tiene una frecuencia mxima, para poder recuperar dicha seal, a partir de sus muestras, debe muestrersela con una frecuencia que sea el doble de la frecuencia mxima. Es decir dos muestras por perodo a lo menos. Si la seal vara ms rpido que la mitad de la frecuencia de muestreo no puede recuperrsela a partir de las muestras.

8) En qu campos de la ciencia es aplicable la DFT? Explique cmo y ponga un ejemplo. La transformada discreta de Fourier tiene mltiples aplicaciones en diferentes campos: 1. Geologa. En la investigacin ssmica y explosiones de ensayos nucleares, ya que generan espectros de frecuencias diferentes. Ej: sismgrafo. 2. Comunicaciones. Para entender cmo se comporta una seal cuando pasa a travs de filtros, amplificadores y canales de comunicacin, al enviar informacin todava tiene un contenido de frecuencia. Ej: repetidoras de seal. 3. Astronoma. Para utilizar las ondas de radio o de radar en lugar de luz. Ej: radares 9) Qu se obtiene al aplicar la DFT?, explique a travs de una aplicacin. La DFT transforma una seal en otra, obteniendo una representacin en el dominio de la frecuencia, siendo la seal original una seal en el dominio del tiempo. El ruido en las imgenes, generalmente, se localiza en las altas frecuencias. Por tanto, una forma simple de eliminacin de ruido, consiste en realizar la DFT de la imagen, y poner a cero los coeficientes de las altas frecuencias.

10)

Determine la seal temporal que da lugar a la siguiente DFT:

RESOLUCIN: Aplicando la expresin general de la IDFT a la expresin proporcionada,

Y sustituyendo valores

, se llega a

Los valores de la secuencia recuperada son

11)

Explique el proceso para el tratamiento de la seal al aplicar la transformada de Fourier o como interviene?

Despus de la adquisicin la seal es filtrada y normalizada.

Se aplica la FFT es una versin eficiente de la DTF (transformada discreta de Fourier). La DTF de una secuencia de duracin finita. Utilizando el algoritmo de la FFT se visualiza la seal mostrada en la Figura.

Para disminuir el costo computacional y aumentar la velocidad de procesamiento la seal es promediada mediante un filtro de corrimiento.

12)

Demuestre el efecto del solape temporal

A continuacin se va a demostrar el efecto del solape temporal que tiene el muestreo en frecuencia, dual al efecto del solape frecuencial al muestrear una seal temporal. Para ello se utilizar la seal . RESOLUCIN: En primer lugar se determina su transformada de Fourier. Esta transformada viene definida por la siguiente expresin:

A continuacin se toman N componentes equidistantes de dicha respuesta en frecuencia que vendrn dadas por la relacin . Este muestreo proporciona una secuencia de valores complejos. Asimilando dicha serie a un desarrollo en serie de Fourier, se determinar la respuesta temporal que da lugar a dicha secuencia de coeficientes usando el comando ifft de MATLAB. Finalmente, se representarn las dos secuencias. El siguiente programa implementa lo comentado en este apartado.

13)

Explique el algoritmo mariposa para la FFT para una serie de 4 puntos.

Dada las secuencias e Determinar la convolucin circular de las dos frecuencias. Determinar la convolucin lineal de las dos frecuencias.

14)

, utilice la DFT para:

15) Indique dos transformadas con las cuales la DTF tiene relacin: - Transformada Z -Transformada contina de Fourier (CFT) 16)Para los siguientes nmeros de puntos calcule el nmero de multiplicaciones complejas en el clculo directo y en el algoritmo FFT: # de Puntos(N) Multiplicaciones Complejas en Calculo directo FFT 4 8 16 256 1024 14 64 256 65536 1048576 4 12 32 1024 5120 Multiplicaciones complejas en el algoritmo

17)