curs 13 extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/am1-curs/c13-am1.pdfcurs...
TRANSCRIPT
![Page 1: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/1.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Curs 13Extremele functiilor de mai multe variabile
Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"
Iasi 2014
![Page 2: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/2.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
DefinitieFie functia f : D → R, unde D ⊆ Rp, si a ∈ D.
(i) Punctul a se numeste punct de maxim local al functiei f dacaexista exista o vecinatate V a punctului a astfel încât
f (x)− f (a) ≤ 0, ∀x ∈ V ∩ D.
(ii) Punctul a se numeste punct de minim local al functiei f dacaexista o vecinatate V a punctului a astfel încât
f (x)− f (a) ≥ 0, ∀x ∈ V ∩ D.
(iii) Punctele de maxim si minim local se numesc puncte deextrem local.
![Page 3: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/3.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
ObservatiePunctul a este punct de extrem local daca exista o vecinatate Va punctului a astfel încât diferenta
f (x)− f (a)
sa pastreze semn constant sau sa fie nula pe V ∩ D.
![Page 4: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/4.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
DefinitieFie D ⊆ Rp o multime deschisa, a ∈ D si f : D → R o functiediferentiabila în a.Punctul a ∈ D se numeste punct critic (stationar) pentru functiaf daca toate derivatele partiale de ordinul întâi ale functiei f seanuleaza în a, adica
∂f∂xi
(a) = 0, ∀i = 1,2, ...,n.
ObservatiePunctul a ∈ D este punct critic pentru f daca si numai daca
df (a) = 0.
![Page 5: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/5.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Teorema lui Fermat pentru functii de mai multe variabileFie D ⊆ Rp o multime deschisa, a ∈ D si f : D → R.Daca:
• f este diferentiabila în a si
• a este punct de extrem local pentru f ,
atunci a este punct critic pentru f .
![Page 6: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/6.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
DemonstratieVom demonstra teorema în cazul p = 2.
Fie a = (x0, y0) ∈ D un punct de maxim local pentru functia f .
Deci, exista o vecinatate V a punctului (x0, y0) astfel încât
f (x , y)− f (x0, y0) ≤ 0, ∀ (x , y) ∈ V ∩ D.
Fara a restrânge generalitatea, putem considera V ⊆ D,întrucât multimea D este o multime deschisa.În particular, are loc
f (x , y0)− f (x0, y0) ≤ 0, ∀x ∈ V1,
unde V1 este restrictia vecinatatii V pentru y egal y0, deci ovecinatate a punctului x0.
![Page 7: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/7.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Rezulta ca functia de o singura variabila g : V1 → R, definitaprin
g (x) = f (x , y0) ,
satisface inegalitatea
g (x)− g (x0) ≤ 0, ∀x ∈ V1,
adica x0 este punct de maxim pentru g.
Cum g este derivabila în x0, conform Teoremei lui Fermatrezulta ca
g′ (x0) = 0.
![Page 8: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/8.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Dar
g′(x0) = limx→x0
g(x)− g(x0)
x − x0= lim
x→x0
f (x , y0)− f (x0, y0)
x − x0
=∂f∂x
(x0, y0).
În concluzie, am obtinut∂f∂x
(x0, y0) = 0.
Analog, se arata ca∂f∂y
(x0, y0) = 0.
![Page 9: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/9.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
ObservatieTeorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local ale uneifunctii diferentiabile se gasesc printre punctele sale critice,adica printre solutiile sistemului
∂f∂x1
(x1, x2, ..., xp) = 0...
∂f∂xp
(x1, x2, ..., xp) = 0.
ObservatieReciproca acestei teoreme este falsa. Nu orice punct critic estepunct de extrem, cum se poate vedea din exemplul urmator.
![Page 10: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/10.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Exemplu
Fie functia f : R2 → R, definita prin
f (x , y) = x2 − y2.
Avem∂f∂x
(x , y) = 2x ,∂f∂y
(x , y) = −2y si obtinem ca punctul
(0,0) este punct critic. Dar, în (0,0) functia nu are nici minimlocal, nici maxim local, deoarece
f (x ,0) = x2 ≥ 0 = f (0,0) ,
f (0, y) = −y2 ≤ 0 = f (0,0) .
DefinitieUn punct critic care nu este punct de extrem se numeste punctsa.
![Page 11: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/11.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Conditii suficiente pentru ca un punct critic al unei functii de maimulte variabile sa fie punct de extrem:
Teorema
Fie D ⊆ Rp multime deschisa, f ∈ C2 (D) si a ∈ D punct criticpentru f .Daca forma patratica d2f (a) este:
(i) pozitiv definita, atunci a este punct de minim local;
(ii) negativ definita, atunci a este punct de maxim local;
(iii) nedefinita, atunci a nu este punct de extrem (a este punctsa).
![Page 12: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/12.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Exercitiu
Sa se afle punctele de extrem ale functiei f : R3 → R, definitaprin
f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y − 6z.
Solutie. Aflam mai întâi punctele critice ale functiei f . Pentruaceasta rezolvam sistemul
∂f∂x
(x , y , z) = 0∂f∂y
(x , y , z) = 0
∂f∂z
(x , y , z) = 0
echivalent cu
![Page 13: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/13.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
2x + 2 = 02y + 4 = 02z − 6 = 0.
Deci, avem un singur punct critic: M0 (−1,−2,3) .
Pentru a stabili daca M este punct de extrem, vom apela ladiferentiala de ordinul doi în punctul M0.În acest scop calculam valorile derivatelor de ordinul doi înacest punct.
∂2f∂x2 (x , y , z) = (2x + 2)′x = 2, deci
∂2f∂x2 (−1,−2,3) = 2,
∂2f∂y2 (x , y , z) = (2y + 4)′y = 2, deci
∂2f∂y2 (−1,−2,3) = 2,
![Page 14: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/14.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
∂2f∂z2 (x , y , z) = (2z − 6)′z = 2, deci
∂2f∂z2 (−1,−2,3) = 2,
∂2f∂x∂y
(x , y , z) = (2y + 4)′x = 0, deci∂2f∂x∂y
(−1,−2,3) = 0,
∂2f∂x∂z
(x , y , z) = (2z − 6)′x = 0, deci∂2f∂x∂z
(−1,−2,3) = 0,
∂2f∂y∂z
(x , y , z) = (2z − 6)′y = 0, deci∂2f∂y∂z
(−1,−2,3) = 0.
![Page 15: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/15.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Atunci
d2f (−1,−2,3) (h) = 2h21 + 2h2
2 + 2h23 = 2
(h2
1 + h22 + h2
3
)> 0
pentru orice h = (h1,h2,h3) 6= (0,0,0) .
Deci, d2f (−1,−2,3) este o forma patratica pozitiv definita.
Prin urmare, punctul M0 (−1,−2,3) este punct de minim local.
Valoarea minima locala este
fmin = f (−1,−2,3) = −4.
![Page 16: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/16.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Teorema
Fie D ⊆ Rp o multime deschisa, f ∈ C2 (D) si a ∈ D un punctcritic pentru f . Fie H matricea hessiana a functiei f în punctul a,adica
H =
[∂2f
∂xi∂xj(a)
]1≤i,j≤n
,
si ∆1,∆2, ...,∆p minorii principali ai matricei.(i) Daca numerele ∆1,∆2, ...,∆p sunt strict pozitive, atunciforma patratica d2f (a) este pozitiv definita si a este punct deminim local.(ii) Daca numerele −∆1,∆2, ..., (−1)p ∆p sunt strict pozitive,atunci forma patratica d2f (a) este negativ definita si a estepunct de maxim local.(iii) Daca numerele ∆1,∆2, ...,∆p sunt nenule si nu satisfacconditiile de la punctele (i) sau (ii), atunci a nu este punct deextem.
![Page 17: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/17.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
ExercitiuSa se gaseasca punctele de extrem ale functiei
f : R3 → R, f (x , y , z) = x2 + 3y2 + 2z2 − 2xy + 2xz.
Solutie. Determinam punctele critice ale functiei f , rezolvândsistemul:
∂f∂x
(x , y , z) = 0∂f∂y
(x , y , z) = 0
∂f∂z
(x , y , z) = 0,
echivalent cu 2x − 2y + 2z = 0
6y − 2x = 04z + 2x = 0.
![Page 18: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/18.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Solutia unica a sistemului este x = y = z = 0, deci O (0,0,0)este singurul punct critic al functiei f .
Calculam derivatele partiale de ordinul al doilea pentru a stabilidaca acesta este punct de extrem.Avem:
∂2f∂x2 (x , y , z) = 2,
∂2f∂x∂y
(x , y , z) = −2,∂2f∂x∂z
(x , y , z) = 2,
∂2f∂y2 (x , y , z) = 6,
∂2f∂z2 (x , y , z) = 4,
∂2f∂y∂z
(x , y , z) = 0
![Page 19: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/19.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
În punctul O (0,0,0) avem:
∂2f∂x2 (0,0,0) = 2,
∂2f∂x∂y
(0,0,0) = −2,∂2f∂x∂z
(0,0,0) = 2,
∂2f∂y2 (0,0,0) = 6,
∂2f∂z2 (0,0,0) = 4,
∂2f∂y∂z
(0,0,0) = 0.
Prin urmare, minorii matricei hessiene sunt:
∆1 = 2, ∆2 =
∣∣∣∣ 2 −2−2 6
∣∣∣∣ = 8, ∆3 =
∣∣∣∣∣∣2 −2 2−2 6 02 0 4
∣∣∣∣∣∣ = 8.
Deoarece ∆1,∆2,∆3 > 0, forma patratica d2f (0,0,0) estepozitiv definita si O (0,0,0) este punct de minim local al functieif .
![Page 20: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/20.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Teorema
Fie D ⊆ R2 multime deschisa, f ∈ C2 (D) , a ∈ D punct criticpentru f . Notam
A =∂2f∂x2 (a) , B =
∂2f∂x∂y
(a) , C =∂2f∂y2 (a) .
Daca:
1) B2 − AC < 0 si A > 0, atunci a este punct de minim local;
2) B2 − AC < 0 si A < 0, atunci a este punct de maxim local;
3) B2 − AC > 0, atunci a nu este punct de extrem.
![Page 21: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/21.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Observatie
Daca B2 − AC = 0, nu putem afirma nimic despre punctul a.
În unele cazuri este punct de extrem al functiei f , în alte cazurinu este punct de extrem.
![Page 22: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/22.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Exercitiu
Sa se gaseasca punctele de extrem ale functiei f : R2 → R,definita prin
f (x , y) = x3 + y3 + 3xy .
Solutie. Observam ca f ∈ C2 (R2) .Aflam punctele critice, rezolvând sistemul:
∂f∂x
(x , y) = 3x2 + 3y = 0∂f∂y
(x , y) = 3y2 + 3x = 0,
![Page 23: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/23.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Solutiile sistemului sunt punctele O (0,0) si M (−1,−1) .
Verificam în continuare daca aceste puncte critice sunt punctede extrem.Calculam derivatele partiale de ordinul doi.
∂2f∂x2 (x , y) =
∂
∂x
(∂f∂x
)(x , y) =
(3x2 + 3y
)′x
= 6x ,
∂2f∂x∂y
(x , y) =∂
∂x
(∂f∂y
)(x , y) =
(3y2 + 3x
)′x
= 3,
∂2f∂y2 (x , y) =
∂
∂y
(∂f∂y
)(x , y) =
(3y2 + 3x
)′y
= 6y .
![Page 24: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/24.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Pentru punctul critic O (0,0) avem
A =∂2f∂x2 (0,0) = 0, B =
∂2f∂x∂y
(0,0) = 3,
C =∂2f∂y2 (0,0) = 0.
DeciB2 − AC = 9 > 0,
rezulta ca punctul O (0,0) nu este punct de extrem.
![Page 25: Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs 13 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile Facultatea de Hidrotehnica˘ Universitatea](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040201/5e46017468ec466963354eb5/html5/thumbnails/25.jpg)
Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile
Pentru punctul critic M (−1,−1) avem
A =∂2f∂x2 (−1,−1) = −6, B =
∂2f∂x∂y
(−1,−1) = 3,
C =∂2f∂y2 (−1,−1) = −6.
DeciB2 − AC = 9− 36 = −27 < 0.
Cum A < 0, rezulta ca punctul M (−1,−1) este punct de maximlocal.Valoarea maxima locala este
fmax = f (−1,−1) = 1.