curs teoria sistemelor

tefan Ababei

TEORIA SISTEMELOR I ELEMENTE DE REGLAJ AUTOMAT

Editura TEHNICA-INFO CHIINU 2006

CZU 681.51 (075.8) A 11

tefan Ababei Teoria sistemelor i elemente de reglaj automat Editura TEHNICA-INFO, Chiinu, 2006. 292 p.

Refereni tiinifici: Dan Rotar, doctor inginer, profesor la Universitatea din Bacu, Romnia

Mihai Romanca, doctor inginer, profesor la Universitatea Transilvania Braov, Romnia

Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii Ababei, tefan

Teoria sistemelor i elemente de reglaj automat/tefan Ababei. Ch.: TEHNICA-INFO, 2006 (Tipogr. Iai). 294 p.

Bibliogr. p.291-292 (52 titluri.) ISBN 978-9975-910-04-0 300 ex.

681.51 (075.8)

Consilier editorial: Alexandru MARIN, doctor n tiine tehnice, DHC, profesor la Universitatea Tehnic din Moldova, Chiinu

ISBN 978-9975-910-04-0 t. Ababei, 2006

CUPRINS

CAP. I. NOIUNI INTRODUCTIVE 9 1.1. Sistem i mediu 9

1.2. Definirea noiunii de teoria sistemelor i automatic 10 1.3. Elementele unui sistem automat 11

1.4. Reglare automat. Sistem de reglare automat 14 1.4.1. Clasificarea sistemelor de reglare 15 1.5. Noiuni introductive referitoare la sistemele dinamice 16 1.5.1. Semnale 16 1.5.1.1. Clasificarea semnalelor 17 1.5.1.2. Semanle definite printr-o distribuie 17 1.5.1.3. Reprezentarea temporal a semnalelor continui n timp 19 1.5.1.4. Reprezentarea temporal a semnalelor discrete n timp 20 1.5.2. Modele matematice 21 1.5.2.1. Obinerea modelelor matematice pe cale analitic 21 1.5.3. Tipuri de sisteme 26 CAP. II. DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DINAMICE NETEDE 28 2.1. Modelul matemetic intrare-ieire al sistemelor monovariabile, liniare, cu parametri concentrai 28 2.2. Analiza sistemelor automate liniare i continui prin metode operaionale 30 2.2.1. Transformata Laplace 30 2.2.2. Funcia de transfer 32 2.2.2.1. Dependena funciei de transfer de sarcin 32 2.2.2.2. Reprezentarea grafic a funciei de transfer 34 2.2.2.3. Schema funcional 38 2.2.2.4. Reducerea formei schemelor funcionale complexe 43 2.2.2.5. Calculul funciei de transfer pentru elementele tip ale sistemelor de reglare 43

automat 2.2.2.6. Calculul rspunsului unui sistem pe baza funciei de transfer 45 2.2.2.7. Calculul erorii n regim staionar cu ajutorul funciei de transfer 47 2.3. Analiza n domeniul timpului a sistemelor netede 51 2.3.1. Calculul rspunsului sistemelor netede 51 2.3.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru calculul condiiilor iniiale convenionale 52

ale sistemelor netede 2.3.3. Determinarea condiiilor iniiale 53 2.3.4. Rspunsul la impuls 55 2.3.5. Rspunsul indicial 56 2.4. Analiza n frecven 59 2.4.1. Transformata Fourier 59 2.4.2. Teorema eantionrii (Shanon) 61 2.4.3. Rspunsul unui sistem liniar la o intrare sinusoidal 62 2.4.4. Caracteristica amplitudinii i a fazei 64 2.4.5. Caracteristici de frecven n reprezentare logaritmic 66

2.4.5.1. Reprezentarea prin caracteristici a funciei de transfer a unor elemente tip 67 2.4.6. Performanele unui sistem n domeniul frecvenelor 73 2.4.7. Legtura dintre rspunsul n timp i rspunsul n frecvena 73 2.4.8. Indici de performan n domeniul timpului 76 2.5. Elemente tipice din compunerea sistemelor automate netede 78 2.5.1. Analiza principalelor elemente tipice netede 80 2.5.1.1. Element proporional (element de tip P) 80 2.5.1.2. Element cu ntrziere de ordin 1(PT1) 81 2.5.1.3. Element cu ntrziere de ordin 2 (PT2) 84 2.5.1.4. Element integrator (I) 92 2.5.1.5. Element derivativ (D) 93 CAP. III. DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 96 3.1. Modelul matematic intrare ieire al sistemelor discrete 96 3.2. Analiza sistemelor discrete prin metode operaionale 97 3.2.1. Aplicarea transformatei Z n studiul sistemelor discrete n timp 97 3.2.1.1. Proprietile transformatei Z 98 3.2.2. Funcia de transfer a unui sistem discret n timp 101

3.2.3. Funcia de transfer a unui sistem cu eantionare 102 3.2.4. Rspunsul unui sistem discret n timp 103 3.2.4.1. Utilizarea funciei de transfer discrete i a transformatei Z inverse la calculul 105 rspunsului unui sistem discret n timp 3.3. Rspunsul la impuls a unui sistem discret n timp 106 3.4. Analiza n frecven a sistemelor discrete 108 3.4.1. Teorema eantionrii 108 3.4.2. Caracteristici de frecven pentru sisteme discrete 109 3.5. Elemente tipice din compunerea sistemelor discrete 110 CAP. IV. DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 117 4.1. Metode de alegere a variabilelor de stare pentru sisteme netede monovariabile 118 4.1.1. Forma canonic controlabil 118 4.1.2. Forma canonic observabil 119 4.1.3. Forma canonic diagonal 120 4.1.4. Variabile de stare fizice 124 4.2. Sisteme multivariabile netede 127 4.2.1. Matricea de tranziie 127

4.2.1.1. Determinarea matricii de tranziie a strilor 129 4.2.1.2. Metode de calcul a matricii de tranziie 129

4.2.3. Soluia ecuaiei neomogene 135 4.2.4. Rspunsul la impuls 136 4.2.5. Matricea de transfer 137 4.2.6. Sisteme dinamice echivalente 138 4.2.7. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor netede 139 4.2.7.1. Controlabilitatea strilor sistemelor netede 139 4.2.7.2. Observabilitatea sistemelor liniare netede 142 4.2.8. dualitatea sistemelor dinamice 144 4.3. Descrierea intern a sistemelor discrete 145

4.3.1. Alegerea variabilelor de stare pentru sistemele monovariabile 145 4.3.1.1. Variabile de stare sub forma canonic controlabil 146 4.3.1.2. Variabile de stare sub form canonic observabil 148 4.3.1.3.Variabile de stare sub form canonic diagonal 150 4.3.1.4. Variabile de stare fizice 151 4.3.2. Sisteme discrete multivariabile 154 4.3.2.1. Ecuaia intrare-ieire 154 4.3.2.1. Rspunsul al impuls 155 4.3.2.3. Matricea de transfer 156 4.3.2.4. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor discrete 156

CAP. V. STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 157 5.1. Stabilitatea extern a sistemelor netede 158 5.1.1. Criteriul matematic general de stabilitate 158 5.1.2. Criteriul Algebric (Ruth-Hurwitz) 160 5.1.3. Criteriul Cramer-Leonhard 161 5.1.4. Metoda locului rdciniilor 163 5.1.5. Criteriul de stabilitate Nyquist 166 5.1.6. Marginea de amplitudine i marginea de faz; criteriul lui Bode 168 5.2. Stabilitatea extern a sistemelor discrete 171 5.2.1. Criteriul matematic general de stabilitate a sistemelor discrete 171 5.2.2. Criteriul Schur-Cohn 171 5.2.3. Criteriul Jury 172 5.2.4. Criterii bazate pe transformri omografice 173 CAP. VI. SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 174 6.1. Problemele sintezei SALC 174 6.2. Proiectarea prin ncercri 174 6.2.1. Reprezentri grafice utilizate la proiectarea prin ncercri 175 6.2.2. Amplasarea elementelor de corecie 178 6.2.3. Reele de compensare 178 6.2.3.1. Reele cu avans de faz (reele derivative) 179 6.2.3.2. Reele cu ntrziere de faz (reele integratoare) 180 6.2.3.3. reele cu ntrziere I avans de faz (integro-derivative) 181

6.2.4. Realizarea proiectrii prin metoda ncercrii-etapa compensrii 183 6.3. Proiectarea analitic bazat pe localizarea punctelor singulare ale sistemului 186

6.3.1. Determinarea funciei de transfer a sistemului deschis din specifiaii 186 6.3.1.1. Determinarea excesului poli-zerouri 186 6.3.1.2. Localizarea punctelor singulare funcie de performanele de regim static 187 6.3.1.3. Legtura dinre performanele de regim dinamic i localizarea punctelor singulare 190 6.3.2. Determinarea funciei de transfer a sistemului deschis din funcia de transfer a 190

sistemului nchis 6.3.2.1. Metoda reprezentrii grafice a polinoamelor 191 6.3.3. Determinarea funciei de transfer a elementului de compensare 193 6.3.3.1. Implementarea reelelor de corecie cu ajutorul cuadripolilor pasivi RLC 194 CAP VII. STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT 197 7.1. Noiuni introductive 197 7.2. Statica SRA cuplate la ieire 200 CAP. VIII. REGULATOARE AUTOMATE 204 8.1. Principii generale. Clasificri 204 8.1.1. Locul regulatorului automat ntr-un sisteme de reglare automat 204 8.1.2. Structura de baz a regulatorului 205 8.1.3. Clasificarea regulatoarelor automate 206 8.2. Caracterizarea funcional a regulatoarelor automate 207 8.2.1. Regulatoare liniare 207 8.2.1.1. Regulator proporional 207 8.2.1.2. Regulator integral (de tip I) 209 8.2.1.3. Regulator proporional-integrativ (PI) 210 8.2.1.4. Regulator proporional derivativ (PD) 210 8.2.1.5. Regulator proporional-integro-derivativ (PID) 211 8.2.2. Caracterizarea funcional a regulatoarelor continui neliniare 214 8.2.2.1. Regulatorul bipoziional 214

8.2.2.2. Regulatorul tripoziional 215 8.3. Criterii de alegere i acordare a regulatoarelor 215 8.3.1. Obiectivele proiectrii n cazul utilizrii regulatoarelor automate 215 8.3.2. Criterii de alegere a regulatoarelor 216 8.3.2.1. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilor procesului reglat 216 8.3.2.2. Alegerea tipului de regulator funcie de natura fizic a parametrului reglat 219

8.3.2.3. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilor de frecven a procesului 219 8.3.3. Criterii de acordare a regulatoarelor 223 8.3.3.1. Criteriul modulului. Varianta Kessler a criteriului modulului 223 8.3.3.2. Criteriul suprafeei minime a erorii ziegler Nichols 225 8.3.3.3. Criteriul suprafeei patratice a erorii 227 8.3.3.4. Metode de acordare bazate pe funcia de transfer a prii fixe 227

CAP. IX. ELEMENTE DE EXECUIE 229 9.1. Locul i rolul elementelor de execuie n cadrul sistemelor de reglare automat 229 9.2. Elemente de acionare 230 9.2.1. Elemente de acionare pneumatic 230 9.2.1.1. Elemente de acionare pneumatic cu membran cu simplu efect 230 9.2.1.2. Elemente de acionare pneumatic cu piston cu simplu i dublu efect 231 9.2.2. Elemente de acionare hidraulice 232 9.2.3. Elemente de acionare electric 233 9.3. Organe de reglare 235 9.4. Alegerea i dimensionarea elementelor de execuie 239 CAP. X. TRADUCTOARE 241 10.1 Caracteristicile traductoarelor. Clasificri 241 10.1.1. Clasificarea traductoarelor 243 10.2. Traductoare analogice 243 10.2.1. Traductoare parametrice rezistive 243 10.2.1.1. Traductoare reostatice 244 10.2.1.2. Traductoare termorezistive 245 10.2.1.3. Traductoare tensometrice 245 10.2.2. Traductoare parametrice inductive 246 10.2.2.1. Traductoare cu ntrefier 247

10.2.2.2. Traductoare de tip transformator 247 10.2.2.3. Traductoare cu miez mobil 248 10.2.3. Traductoare parmetrice capcitive 249 10.2.3.1. Traductoare cu distana dintre armturi variabil 249 10.2.3.2. Traductoare cu suprafaa armturilor variabil 249 10.2.3.3. Traductoare cu permitivitatea dielectricului dintre armturi variabil 250 10.2.4. Traductoare generatoare 250 10.2.4.1. Traductoare de inducie 250 10.2.4.2. Traductoare termolelectrice 251 10.2.4.3. Traductoare Hall 251 CAP XI. SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 253 11.1 Automat finit 253 11.2. Realizabilitatea fizic a expresiilor logice 254 11.2.1. Reprezentarea funciilor booleene 254 11.2.2. Particularitile elementelor fizice utilizate n implementarea schemelor logice 255 11.2.2.1. Implementarea cu relee 255 11.2.2.2. Implementarea cu elemente pneumatice 257

11.2.2.3. Implementarea cu elemente hidraulice 258 11.2.2.4. Implementarea cu elemente electronice de comutaie 258

11.3. Clasificarea schemelor logice 259 11.3.1. Scheme logice combinaionale 259 11.3.2. Noiunea de schem secvenial 260

11.3.2.1. Scheme secveniale asincrone 261 11.3.2.2. Scheme secveniale sincrone 263

11.4. Metode de proiectare a schemelor logice 266 11.4.1. Sinteza schemelor logice combinaionale 266 11.4.1.1. Etape i operaii logice utilizate 266 11.4.1.2. Sinteza schemelor combinaionale cu o singur ieire 267 11.4.1.3. Minimizarea cshemelor combinaionale cu mai multe ieiri 270 11.4.2. Sinteza schemelor secveniale asincrone cu linii de ntrziere 276 11.4.2.1. Descrierea funcionrii automatului 276 11.4.2.2. Determinarea matricii (tabelei) primitive a strilor i a ieirilor 277 11.4.2.3. ntocmirea matricii reduse a strilor i a ieirilor 278 11.4.2.4. Codificarea strilor matricii reduse 279 11.4.2.5. Determinarea matricii de tranziie a strilor i obinerea funciilor de excitaie 281 11.4.2.6. Determinarea funciilor de ieire 281

11.4.2.7. Implementarea schemei 282 11.4.2.8. Analiza schemei obinute 282

11.4.3. Sinteza schemelor secveniale sincrone cu automate elementare 282 11.4.4. Sinteza schemelor secveniale sincrone 286

11.4.4.1. ntocmirea organigramelor 286 11.4.4.2. Etapele sintezei schemelor logice secveniale sincrone 287

BIBLIOGRAFIE 291

NOIUNI INTRODUCTIVE

9

I. NOIUNI INTRODUCTIVE

1.1. Sistem i mediu

Noiunea de sistem este o noiune complex, n literatura de specialitate gsindu-se multiple definiii. Am preferat-o pe cea din [1], i anume: n sens fizic larg, prin sistem se nelege un complex unitar, relativ delimitat fa de mediu, printr-o structur intern. Pentru explicitarea acestei definiii vom apela la un exemplu, a crei schem este prezentat n fig. 1.1:

n figur este prezentat un ansamblu format dintr-un recipient (R), n care se afl lichid; prin reglarea deschiderii ventilului de intrare (V1) se poate modifica debitul de intrare (Qi), iar prin modificarea deschiderii ventilului (V2) se poate modifica debitul de ieire (Qe). n recipient se mai afl o spiral (SC) prin care circul un agent de nclzire al crui debit (Q1) poate fi reglat cu ajutorul ventilului (V1).

Pentru desfurarea corect a procesului tehnologic reprezentat n figur presupunem c este necesar s fie rezolvate simultan dou probleme: a) S se modifice adecvat debitul de intrare Qi , astfel nct nivelul lichidului n recipient (h) s rmn constant, indiferent de variaia debitului de ieire Qe; acest lucru poate fi realizat prin intermediul unui operator uman, care s urmreasc nivelul lichidului din recipient i n funcie de tendina de modificare a acestuia s regleze debitul de intrare, sau utiliznd un echipament specializat

(un regulator automat de nivel) care s realizeze aceeai funcie ca i operatorul uman. Elementele care concur la realizarea scopului propus acioneaz ntr-o anumit ordine i sunt intercorelate.

Fig. 1.1.

Dei din punct de vedere fizic spirala se afl n interiorul recipientului, nclzirea lichidului nu influeneaz pstrarea constant a nivelului (neglijnd dilatarea recipientului i a lichidului). S-a pus n eviden un prim sistem. b) S se modifice adecvat debitul Qt al agentului termic astfel nct temperatura lichidului din recipientul R s rmn constant. Ca i prima problem, aceast problem poate fi rezolvat utiliznd un operator uman sau un echipament automat specializat (regulator de temperatur). i n acest caz se evideniaz o unitate, respectiv un sistem; de aceast dat, variaia nivelului din recipient aparine unitii, deoarece temperatura lichidului (determinat de schimbul de cldur ntre agentul de nclzire i lichidul din recipient) depinde de volumul lichidului din recipient (conform legii calorimetriei), deci de nivelul lichidului din recipient, care la rndul su depinde de debitele Qi i Qe.

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT

10

Pe baza acestui exemplu se pot formula urmtoarele caracteristici relative la noiunea de sistem: 1. Pentru un sistem este esenial faptul c prile sale componente sunt ntr-o anumit relaie, care constituie totodat criteriul de delimitare fa de mediul exterior. 2. Prile sau elementele componente au funcii precise i ocup n cadrul sistemului poziii bine determinate, ceea ce permite s se afirme c sistemul se caracterizeaz printr-o anumit structur. 3. ntre mrimile fizice ale sistemului exist legturi de cauzalitate concretizate n procesarea substanei, energiei i informaiei n conformitate cu legile generale ale naturii. 4. Legturile de cauzalitate pot fi astfel ordonate nct n cadrul sistemului s existe legturi inverse reacii. Acest tip de conexiune este specific sistemelor cibernetice. 5. Aciunea comun a prilor sistemului asigur realizarea unui anumit scop; prin reuniunea prilor, sistemul dobndete caliti noi, care nu pot fi identificate din analiza prilor sale, luate separat. 6. Realizarea scopului propus n exemplul dat, se poate face utiliznd un operator uman sau un regulator automat. Funcional, cele dou soluii au la baz aceeai structur abstract a comunicaiilor ntre prile sistemului. Faptul acesta arat c legturile din cadrul sistemului pot fi descrise pe baza unei scheme abstracte. Sistemele care au aceeai schem abstract sunt izomorfe. 7. Noiunea de sistem este relativ deoarece una i aceeai realitate fizic poate cuprinde diverse sisteme corelate sau nu ntre ele. 1.2. Definirea noiunii de teoria sistemelor i automatic n natur regsim sisteme care se bucur de proprietile enunate mai nainte, n cele mai diverse domenii (economie, biologie, tehnic, etc.). Analiza unitar a unei asemenea diversiti de sisteme impune elaborarea unor principii, a unor metode i reguli generale pe baza crora s se poat face aprecieri asupra sistemelor din cele mai diverse domenii. Teoria sistemelor este tiina care se ocup cu elaborarea metodelor de studiu cele mai generale utilizabile n studierea sistemelor din cele mai diverse ramuri de activitate. O categorie aparte de sisteme o formeaz sistemele automate. Acestea sunt sisteme tehnice care funcioneaz n mod automat (fr intervenia omului) pentru realizarea unui scop impus de realizatorii sistemelor respective. Automatica este ramura tiinei care se ocup de elaborarea metodelor de analiz i sintez a sistemelor automate. Implementarea practic a principiilor i metodelor automaticii poart numele de automatizare. Automatizarea proceselor industriale rezolv cu succes probleme legate de asigurarea unor regimuri optime dorite pentru acestea fr intervenia subiectiv a operatorului uman, asigur conducerea unor procese greu accesibile n care prezena omului este imposibil. Problematica general a automaticii ca ramur a tiinei conducerii vizeaz n primul rnd conceperea structurilor i strategiilor optime pentru conducerea proceselor i n al doilea rnd implementarea pe un suport fizic (hardware) corespunztor acestor strategii. O prim problem strns legat de elaborarea structurilor i strategiilor de conducere, o constituie construcia modelelor funcionale i structural-funcionale pentru procesele supuse automatizrii, respectiv identificarea ct mai exact a proceselor tehnologice. O alt

NOIUNI INTRODUCTIVE

11

problem ce se impune rezolvat n cadrul automaticii, o reprezint sinteza structurilor i strategiilor de conducere, n vederea realizrii unor obiective prestabilite la valori optime. Odat elaborat structura teoretic a sistemelor de reglare precum i a strategiei de conducere a acestora, este necesar s se analizeze posibilitatea implementrii acesteia cu elemente fizice (dispozitive de automatizare) care s realizeze ct mai fidel, cu o fiabilitate maxim i pre minim, performanele i strategiile de conducere determinate teoretic. O ultim etap n realizarea sistemelor automate este validarea structurilor hardware alese la etapa precedent, acest lucru realizndu-se prin determinarea performanelor structurilor hardware alese pentru implementare. Soluia de automatizare este determinat de tipul procesului supus automatizrii, de particularitile i complexitatea acestuia, de gradul de cunoatere a procesului i de cerinele de performan impuse acestuia. Gradul de automatizare i complexitatea echipamentelor destinate conducerii unui proces sunt determinate de complexitatea strategiilor sintetizate, de cerinele de performan impuse sistemului de conducere.

1.3. Elementele unui sistem automat i ale unui sisteme de reglare automat

Obiectivele sistemelor automate sunt definite n general prin realizarea unor anumite legturi ntre dou sau mai multe mrimi fizice, chiar dac acestea nu sunt legate prin legi fizice. Pentru exemplificare vom presupune c dorim s realizm o dependen impus ntre dou mrimi variabile n timp i(t) i y(t), dependen exprimat printr-o funcie: f(i,y,t)=0 (1.1) Pentru aceasta vom intercala ntre ele un dispozitiv de automatizare (DA) care va realiza aceast funcie ca n figura 1.2.

Fig. 1.2.

Ne propunem s realizm prin intermediul unui dispozitiv de automatizare legtura ntre iluminatul interior al unei camere Ei i iluminatul exterior Ee.

Un dispozitiv automat ca cel din figura 1.3. va realiza ceea ce ne-am propus. Instalaia este compus dintr-o lamp L alimentat la o surs de tensiune U prin intermediul uni reostat R. Dispozitivul de automatizare este format din celula fotoelectric CFE care msoar iluminarea exterioar Ee, un amplificator AMP i un motor M care acioneaz cursorul reostatului i care este alimentat cu tensiunea de la ieirea amplificatorului. Elementele ce alctuiesc dispozitivul de automatizare precum i legturile funcionale dintre acestea sunt reprezentate n fig. 1.4. Elementul 1 celula fotoelectric realizeaz transformarea mrimii de intrare (iluminarea exterioar) ntr-o mrime accesibil celorlalte elemente ale dispozitivului de automatizare (o tensiune proporional cu iluminarea). Aceast funcie se realizeaz n caz general de traductorul de intrare. Semnalul (mrimea) de intrare n elementul 1, Ee (iluminarea exterioar) este numit n general mrime de intrare i este notat cu i. Semnalul de


12

ieire al traductorului (n cazul nostru tensiunea v poart numele de mrime de acionare, se noteaz cu a i constituie mrimea de intrare pentru elementul 2.

Fig.1.3

Fig. 1.4.

Elementul 2 (Amplificatorul AMP) prelucreaz semnalul primit de la traductor i genereaz la rndul su un semnal (n cazul nostru o tensiune proporional cu tensiunea celulei fotoelectrice) care s comande elementul 3 n scopul realizrii de ctre DA a scopului propus. n caz general elementul 3 poart numele de element de amplificare i comand iar semnalul generat de el (n cazul nostru tensiunea V) se numete semnal (mrime) de comand i se noteaz cu u. Elementul 3 (motorul M n cazul exemplului nostru) realizeaz o aciune (o rotaie n exemplul nostru) care este n general de natur mecanic (rotaie, translaie), capabil s influeneze procesul tehnologic n sensul dorit. El se numete n caz general element de execuie iar mrimea generat de el mrime de execuie., notat n caz general cu m. Elementele 1-3 formeaz mpreun dispozitivul de automatizare. Elementul 4 reprezint instalaia automatizat (numit uneori procesul tehnologic supus automatizrii, pe scurt PT) iar la ieirea lui se obine mrimea de ieire (n cazul nostru iluminatul Ei) notat n caz general cu y, mrime ce trebuie corelat cu mrimea de intrare. Dispozitivul de automatizare mpreun cu instalaia tehnologic formeaz sistemul automat. Pentru o iluminare exterioar constant (deci pentru o aceeai poziie a cursorului pe rezistena R) trebuie s avem o iluminare constant Ei. Dac ns la Ee =constant variaz tensiunea de alimentare a becului U, atunci Ei se va modifica n sensul modificrii lui U; Acelai lucru se ntmpl dac se modific rezistena becului sau a rezistorului R (datorit uzurii sau mbtrnirii, de exemplu). Exist dou posibiliti de a corecta funcionarea instalaiei. 1. S intercalm n circuitul becului o rezisten variabil care s aib o curb de variaie astfel nct s compenseze variaia tensiunii de alimentare U a becului; acest lucru

NOIUNI INTRODUCTIVE

13

presupune ca s fie cunoscut anticipat curba de variaie a tensiunii U. Pentru a realiza o corecie eficient ar trebui introduse un numr de rezistene variabile egal cu numrul factorilor perturbatori care pot interveni n funcionarea instalaiei. n caz general acest lucru nu este posibil pentru c pe de o parte nu putem cunoate modul de evoluie n timp a factorilor perturbatori dintr-o instalaie i chiar dac am cunoate acest lucru, compensarea prin mijloace tehnice a fiecrui factor perturbator ar duce la un pre prea mare al DA.

Fig. 1.5.

Fig. 1.6.

2. S realizm o supraveghere simultan a celor dou iluminri i atunci cnd Ee=constant iar Ei variaz s acionm n aa fel nct s compensm aceast variaie. Un operator uman ar putea realiza acest lucru dac ar avea afiate la un loc valorile celor dou iluminri (Ei i Ee), iar cnd Ee = ct. i Ei tinde s varieze ar aciona asupra cursorului reostatului R astfel nct s compenseze variaia lui Ei. nlocuirea operatorului uman se poate face prin modificarea instalaiei ca n figura 1.5. Prin introducerea celulei fotoelectrice CFE2 i legarea ei n sens opus lui CFE1 vom transmite amplificatorului AMP un semnal egal cu diferena de tensiune v1-v2; astfel motorul M va fi acionat numai cnd diferena v1-v2 este diferit de zero. Schema funcional a instalaiei este prezentat n figura 1.6. Observm c fa de schema din fig. 1.4. au aprut dou noi elemente: - elementul 5 celula fotoelectric CFE2 care are ca intrare mrimea de ieire din sistem (Ei n cazul nostru) i genereaz la ieirea lui un semnal compatibil cu DA, n relaie cu


14

y. n caz general el poart numele de traductor de reacie iar mrimea general se numete reacie i se noteaz de obicei cu r. - elementul 6 face compararea prin diferen a mrimilor obinute de la traductoarele de intrare i de reacie i aplic acest semnal notat cu (eroare) amplificatorului 2. n cazul instalaiei noastre acest element a fost obinut prin legarea n opoziie a celor dou celule fotoelectrice. Analiznd schemele din fig. 1.4. i 1.6. observm cteva deosebiri: 1. Sensul de transmisie a semnalului este unic n cazul schemei din fig. 1.4., de la intrare spre ieire, i dublu, att de la intrare spre ieire pe ramura superioar ct i de la ieire spre elementul de comparaie pe ramura inferioar. 2. Schema din fig. 1.4. se prezint ca un circuit deschis iar cea din fig. 1.6. se prezint ca un circuit nchis (cu reacie). Rezult o prim clasificare a instalaiilor de automatizare: a) Instalaii cu circuit deschis care au o singur cale de transmitere a informaiei, aceasta circulnd de la intrare spre ieire. Am vzut c aceste instalaii nu preiau informaii referitoare la mrimea de ieire, deci nu sunt sensibile la eroare. Precizia acestor instalaii depinde numai de liniaritatea elementelor componente. Conectarea la instalaia automatizat se realizeaz printr-un singur punct. b) Instalaii de automatizare cu circuit nchis care au dou sensuri de transmitere a informaiei, corespunztor celor dou ci de transmitere a informaiei, care sunt conectate la instalaia automatizat n dou puncte: legtura principal (legtura direct) care asigur transmiterea informaiei de la intrare spre ieire i legtura secundar (legtura invers sau reacia) care asigur transmiterea informaiei de la ieire spre intrare. Aceste instalaii stabilesc un circuit nchis i sunt denumite n mod curent bucle de automatizare. Schemele de automatizare n circuit nchis nu sunt sensibile la mrimea de intrare ci la diferena dintre mrimea de intrare (sau mrimea dependent de aceasta) i mrimea de reacie (care poate fi chiar mrimea de ieire sau o mrime dependent de aceasta); n cazul exemplului nostru g=v1-v2. Deducem c instalaia automatizat n circuit deschis este un caz particular al instalaiei cu circuit nchis la care s-a ntrerupt reacia (fcnd v2=0 rezult =v1=mrimea de intrare n elementul de comand a instalaiei de automatizare deschise).

1.4. Reglare automat. Sistem de reglare automat

Reglarea automat este definit ca fiind un ansamblu de operaii care se efectueaz n circuit nchis, alctuind o bucl echipat cu dispozitive anume prevzute, cu ajutorul crora se efectueaz o comparaie prin diferen a valorii msurate a unei mrimi din procesul reglat, cu o valoare prestabilit, constant sau variabil n timp, i se acioneaz asupra procesului astfel nct s se tind spre anularea acestei diferene. Schema funcional a unui sistem de reglare automat este prezentat n fig. 1.7. Cel mai important element al sistemului de reglare automat este regulatorul automat (RA); din punct de vedere constructiv, n general, regulatoarele automate conin nglobate i elementele de comparaie avnd deci dou intrri, una pentru semnalul de intrare (referin), iar alta pentru semnalul reacie. n instalaii regulatorul poate fi reprezentat de un calculator numeric care are implementai algoritmi de reglare. n sistemele de reglare automat se ntlnesc de obicei i alte elemente menite s asigure buna funcionare a sistemului sau s ofere informaii suplimentare despre diferite

NOIUNI INTRODUCTIVE

15

mrimi din sistem precum: convertoare, adaptoare, elemente de calcul, nregistratoare, surse de energie, etc.

Fig. 1.7. (Legend: TrI traductor de intrare; Ec comparator diferenial; RA regulator automat; EE element de execuie; IT instalaie

tehnologic; TrR traductor de reacie; P perturbaie; W perturbaie pe calea de reacie)

1.4.1. Clasificarea sistemelor de reglare

Exist mai multe criterii de clasificare a sistemelor de reglare: 1. Dup principiul de funcionare deosebim: a) sisteme de reglare convenionale de baz la care mrimea de ieire (y) urmrete mrimea de intrare (i) i care la rndul lor pot fi: - sisteme de urmrire la care mrimea de ieire urmrete mrimea de intrare indiferent de evoluia n timp a mrimii de intrare; - sisteme de reglare automat la care mrimea de intrare are o evoluie n timp predeterminat; b) sisteme de reglare specializate care pot fi adaptive, optimale sau extremale. 2. Dup aspectul variaiei n timp a mrimii de intrare: a) sisteme de stabilizare automat la care mrimea de intrare este fix (invariant n timp) se mai numesc i sisteme de reglare automat cu consemn fix; b) sisteme de reglare automat cu program variabil la care mrimea de intrare are o evoluie impus n timp; c) sisteme de reglare automat de urmrire la care mrimea de intrare variaz aleatoriu. 3. n funcie de viteza de variaie a mrimii de ieire: a) sisteme de reglare automat pentru procese lente; b) sisteme de reglare automat pentru procese rapide; 4. n funcie de numrul de intrri i ieiri: a) sisteme de reglare cu o singur intrare i o singur ieire; b) sisteme de reglare cu mai multe intrri i/sau ieiri. 5. n funcie de natura comenzii: a) cu comand continu, cnd mrimea de comand (u) a regulatorului automat este o funcie continu; b) cu comand discret, cnd mrimea de comand este un tren de impulsuri (modulat n amplitudine, frecven, faz, etc.). 6. Dup complexitatea schemei funcionale: a) simple, care au o singur bucl; b) complexe, care au mai multe bucle i care pot fi:


16

- n cascad, la care n cursul reglrii pe lng mrimea de ieire sunt reglate i alte mrimi intermediare; - cu reglare combinat, la care n schem sunt prevzute mai multe regulatoare care ns intervin numai n anumite momente funcie de evoluia unor parametri din instalaia tehnologic.

1.5. Noiuni introductive referitoare

la sistemele dinamice

1.5.1. Semnale

n timpul funcionrii oricrui sistem automat, n elementele care l constituie se proceseaz materie sau energie. Legturile ce se stabilesc ntre diferitele elemente ale sistemelor automate sunt materializate prin mrimi fizice care se transmit ntre aceste elemente. Indiferent de natura fizic i de parametrii acestor mrimi fizice, ceea ce le este comun tuturor, este c ele pot fi caracterizate n fiecare moment prin anumite valori ale parametrilor acestor mrimi, adic conin o ncrctur informaional ce se transmite ntre elementele sistemului. n analiza sistemelor proprie teoriei sistemelor se ia n considerare n primul rnd caracterul informaional al mrimilor implicate n funcionarea sistemului respectiv, acest mod de abordare conferind analizei cel mai nalt grad de generalitate. Ceea ce caracterizeaz orice fel de informaie este faptul c ea nu este cunoscut dinainte. O mrime fizic prin care se transmite o informaie se numete semnal. Mrimile fizice sunt caracterizate de o multitudine de parametri fizici (de exemplu o tensiune alternativ este caracterizat de frecven, amplitudine, defazaj); nu toi parametrii ce caracterizeaz mrimea fizic transmit informaia n cadrul legturilor dintre elementele sistemului. JC JR e

Fig.1.8.

Parametrul care se modific dependent de informaia transmis de semnalul respectiv se numete parametru informaional. n cazul oricrei transmisii de informaie exist implicit un emitor i un receptor al informaiei. Legtura ntre informaie i parametrul informaional se realizeaz pe baza unui cod la emitorul informaiei. Pentru ca s poat fi neles ntregul coninut informaional al unui semnal, este necesar ca la receptor s se realizeze operaia invers, adic din variaia parametrului informaional s fie extras, pe baza aceluiai cod, ca i la emisie, informaia.

Pentru exemplificare vom considera cazul msurrii unei temperaturi cu un termocuplu ca n figura 1.8.; informaia este constituit de valoarea temperaturii . La capetele jonciunii reci (JR) a termocuplului apare o tensiune continu, a crei valoare este proporional cu temperatura jonciunii calde (JC). Semnalul este constituit n acest caz de tensiunea continu ce apare la capetele jonciunii calde iar parametrul informaional este constituit din valoarea efectiv a tensiunii (e).

NOIUNI INTRODUCTIVE

17

1.5.1.1. Clasificarea semnalelor Se pot stabili diverse criterii de clasificare a semnalelor: 1. Dup efectele produse asupra sistemului n care acestea sunt transmise:

a) semnale utile, care introduc efecte dorite; b) semnale perturbatoare, care introduc efecte nedorite asupra sistemului.

2. Dup natura mrimii fizice care constituie suportul semnalului: a) semnale electrice (tensiune, curent, parametrii de circuit); b) semnale mecanice (fore, cupluri, etc.); c) semnale hidraulice (presiuni de lichide); d) semnale pneumatice (presiuni de gaze).

3. Dup mulimea valorilor pe care le poate lua parametrul informaional ntre dou valori ale acestuia: a) semnale analogice, atunci cnd mulimea valorilor pe care le poate lua parametrul informaional este o mulime inclus n mulimea numerelor reale; b) semnale numerice la care mulimea valorilor parametrului informaional este o mulime inclus n mulimea numerelor ntregi. 4. Dup modul de definire a parametrului informaional funcie de variabila de timp: a) semnale continui n timp, la care pentru fiecare valoare a variabilei timp este definit o valoare a parametrului informaional; b) semnale discrete n timp, la care valorile parametrului informaional sunt definite numai pentru diferite valori admisibile ale variabilei de timp. 5. Dup previzibilitatea evoluiei n timp: a) semnale deterministe, la care valoarea parametrului informaional poate fi cunoscut aprioric pentru orice valoare admisibil a timpului; b) semnale nedeterministe, la care pentru orice valoare admisibil a timpului nu se poate face dect o estimare probabilistic a valorilor parametrului informaional.

1.5.1.2. Semnale definite printr-o distribuie

Vom defini noiunea de distribuie prin analogie cu definirea unei funcii. O funcie este un procedeu prin care se asociaz fiecrui numr din mulimea de definiie un numr (nici unul, mai multe sau o infinitate) din mulimea valorilor. O distribuie T este un procedeu care asociaz fiecrei funcii din mulimea de definiie un numr notat , sau T(). Funciile pe care opereaz distribuia T aparin unui domeniu D. Funciile satisfac condiii severe:

a) funciile sunt nule n afara unui interval finit ; b) funciile sunt indefinit derivabile; c) pe D domeniul funciilor , este definit funcia norm, . care

permite s se msoare distana dintre dou funcii 21 . Un ir de funcii n din D converge la implic faptul c toate distanele n ,

)1()1( n , ...... )()( pnp , tind ctre zero cnd n tinde la infinit. Distribuia este un procedeu liniar i continuu.


18

Unei funcii continui i integrabil pe orice interval finit i se poate asocia o distribuie notat [f], astfel:

[ ]

= dtttff )()(, (1.2)

O distribuie important este distribuia Dirac notat care asociaz fiecrei funcii numrul (0):

)0(, = (1.3)

n mod asemntor se definete a astfel ca:

)(, aa = (1.4)

Un exemplu sugestiv referitor la modul de definire al distribuiei l constituie curentul care apare ntr-un circuit n care este conectat o capacitate la conectarea circuitului ca n fig. 1.9. Considernd tensiunea pe condensator definit de:

> Dac distribuia este asociat unei funcii continui f atunci:

= Dac distribuia este asociat unei funcii discontinui n punctul a, atunci:

= +{f(a+)-f(a-)}(a)=+f unde s-a notat f(a+) valoarea n vecintatea din dreapta iar cu f(a-) valoarea din vecintatea din stnga lui punctului a a funciei f(t), iar: f=f(a+)-f(a-)=saltul funciei n punctul a. Distribuia [f] exist pentru c f este local integrabil.

NOIUNI INTRODUCTIVE

19

1.5.1.3. Reprezentarea temporal a semnalelor continui n timp

Principalele semnale utilizate n analiza sistemelor continui sunt: a) Semnalul treapt unitar (t) este definit de relaia:

>


20

r(t) tg=1 t Fig. 1.12

Semnalul ramp exprim viteza de variaie a mrimii considerate iar reprezentarea grafic este prezentat n figura 1.12. Trebuie remarcat faptul c panta semnalului ramp poate fi diferit de unitate.

d) Semnalul armonic sinusoidal este un semnal periodic necauzal definit prin relaia: u(t)= sin t (1.11)

i este utilizat pentru a studia comportarea sistemelor n domeniul frecvenelor. Uneori se folosete semnalul armonic complex mult mai uor de manipulat: u(t)=ejt (1.12) 1.5.1.4. Reprezentarea temporal a semnalelor discrete n timp

Principalele semnale discrete utilizate n studiul sistemelor sunt: a) Semnalul impuls unitar discret (k) definit de relaia:

0 pentru k 0

(k)= (1.13) 1 pentru k=0

iar graficul este prezentat n figura 1.13.

b) semnalul treapt discret (k) definit de relaia: 0 pentru k

NOIUNI INTRODUCTIVE

21

1.5.2. Modele matematice

Prin analiza unui sistem se urmrete determinarea comportrii sistemului respectiv n diferite condiii, comportare ce este descris prin evoluia anumitor mrimi ce intervin n funcionarea sistemului respectiv. O analiz exhaustiv n domeniul sistemelor tehnice ce ar implica determinarea evoluiei tuturor mrimilor ce intervin n funcionarea sistemului respectiv, este pe de o parte foarte dificil de realizat, iar pe de alt parte lipsit de utilitate practic deoarece influena anumitor mrimi asupra evoluiei generale a sistemului este neglijabil n raport cu alte mrimi. Teoria sistemelor elaboreaz legi generale pe baza crora se poate face analiza sistemelor tehnice i fizice din cele mai diverse domenii. Pentru ca aceste reguli cu caracter general s poat fi aplicate unor sisteme particulare este necesar ca, n prealabil, acestea s fie prezentate ntr-o form general care s uniformizeze modul de prezentare a sistemelor; aceast form general de prezentare se constituie ca un model a sistemului respectiv. Un model a unui sistem este o imagine a acestuia, care reflect ntr-o form simplificat i idealizat i cu o acuratee suficient (determinat de necesitile practice de utilizare) relaiile cauzale ce se stabilesc ntre elementele sistemului (structura acestuia) i care determin evoluia mrimilor de interes pentru analiza sistemului respectiv. Deoarece limbajul cu gradul de universalitate cel mai ridicat este limbajul matematic, forma cea mai general i n acelai timp cea mai abstract de prezentare a modelelor o va reprezenta modelul matematic. Un model matematic ataat unui sistem reprezint un set de relaii matematice de tipul ecuaiilor algebrice sau difereniale n care sunt implicate variabile fizice specifice sistemului respectiv, pe baza creia se poate obine o caracterizare cantitativ a funcionrii sistemului ct mai apropiat de realitate. Modelele matematice utilizate pentru caracterizarea proceselor pot fi structurale sau sintetice. Parametrii unui model structural au o interpretare structural natural i sunt determinai pe baza legilor fizice ce guverneaz sistemul cruia i este ataat modelul matematic. Modelele sintetice nu sunt bazate pe legile fizice ce caracterizeaz sistemul respectiv. Un model matematic eficient trebuie s satisfac urmtoarele cerine: -universalitate (se poate aplica tuturor obiectelor ce fac parte dintr-o clas de interes); -un numr limitat de parametri; -identificabilitatea parametrilor. Modelele matematice se pot obine pe cale analitic, pe cale experimental sau prin metode mixte. Pe baza unui model matematic corect ntocmit se pot explica anumite aspecte ale funcionrii sistemului deja cunoscute i se pot face predicii asupra funcionrii sitemului n diverse situaii. 1.5.2.1. Obinera modelelor matematice pe cale analitic Obinerea pe cale analitic a modelelor se face pe baza legilor fizice ce guverneaz sistemul respectiv i care determin legturile ntre elementele sistemului respectiv. Etapele obinerii pe cale analitic a unui model matematic sunt: 1. Stabilirea conexiunilor exterioare ale procesului cu mediul i a ipotezelor simplificatoare utilizate n elaborarea modelului, ipoteze ce vor micora efortul de modelare


22

fr a afecta prea mult acurateea (precizia cu care descrie cantitativ funcionarea sistemului) acestuia. 2. Stabilirea ecuaiilor de bilan dinamic pentru masele energiile sau impulsurile care apar n cadrul sistemului respectiv. n cadrul acestei etape pe baza ipotezelor simplificatoare stabilite la etapa 1, se pun n eviden elementele care realizeaz acumularea, disiparea sau transferul de mas, energie sau impuls i ecuaiile ce descriu funcionarea acestor elemente. Funcionarea elementelor care realizeaz acumularea de energie, mas sau impuls este descris cu ajutorul ecuaiilor difereniale, iar funcionarea elementelor disipative este descris cu ajutorul ecuaiilor algebrice ordinare. n aceast etap se stabilete ce tip de ecuaie se ataeaz fiecrui element. Ecuaiile de bilan care reflect variaiile acumulrilor, reprezint ecuaii difereniale, acestea fiind ecuaii de stare ale sistemului. 3. Stabilirea ecuaiilor de stare fizico-chimice; ecuaiilor generale stabilite anterior li se ataeaz mrimi fizico-chimice coerente, implicate n funcionarea sistemului respectiv. 4. Simplificarea modelului prin operaii specifice precum: - liniarizarea ecuaiilor neliniare n jurul punctului nominal de funcionare; - aproximarea ecuaiilor cu derivate pariale prin ecuaii difereniale ordinare; - reducerea ordinului ecuaiilor difereniale ordinare. 5. Validarea modelului; n cadrul acestei etape se face comparaie ntre datele deja cunoscute referitoare la funcionarea sistemului (din experimente deja realizate sau pe baza experienei anterioare cu privire la sisteme similare) i datele obinute prin calcul pe baza modelului matematic. De asemenea se fac predicii asupra funcionrii sistemului pe baza modelului matematic i se concep i se realizeaz experimente cu ajutorul crora s se verifice aceste predicii. Atunci cnd datele experimentale coincid cu cele teoretice (cu o marj de eroare impus de aplicaia respectiv) modelul matematic este corect. n caz contrar se corecteaz modelul matematic acionnd asupra ipotezelor simplificatoare de la etapa 1 sau asupra simplificrilor efectuate la etapa 4, pn cnd verificrile experimentale coincid cu prediciile teoretice fcute pe baza modelului, deci modelul este validat. Exist dou mari categorii de caracterizri a sistemelor prin modele matematice analitice:

a) Caracterizarea extern (caracterizare intrare-ieire) n acest caz sistemul este vzut ca un tot (cutie neagr) iar caracterizarea acestuia se face numai prin intermediul descrierii interaciunii cu mediul ca n fig. 1.16. Modelul matematic va fi constituit n acest caz dintr-un set de relaii ntre mrimile de intrare u ce acioneaz din exterior asupra procesului i mrimile de ieire y prin care sistemul acioneaz asupra mediului exterior. Aceste relaii se obin din condiii de echilibru dinamic al mrimilor ce intervin n funcionarea sistemului respectiv. Pentru exemplificare vom considera cazul unui sistem format dintr-un cuadripol de elemente pasive RLC ca n fig. 1.17.: mrimea de intrare n sistem este constituit de tensiunea de intrare Ui(t) iar mrimea de ieire din sistem de ctre mrimea de ieire Ue(t), ambele variabile n timp. Modelul matematic va descrie legtura n regim dinamic dintre mrimea de intrare i mrimea de ieire. n componena circuitului intr elementul disipativ constituit din rezistorul R i elemente acumulatoare (inductana L i capacitatea C)

NOIUNI INTRODUCTIVE

23

i R L u y Ui UR UL UC C Ue

Fig. 1.16 Fig. 1.17 Relaia ce caracterizeaz funcionarea unui element disipativ este o ecuaie algebric de forma: y(t) = Ku(t) (1.16) Relaia ce caracterizeaz funcionarea unui element acumulator este de forma:

y(t) =Kdtdu (1.17)

Pentru elementul R considernd mrimea de intrare i (curentul prin circuit) iar mrimea de ieire UR (cderea de tensiune pe rezistor) se particularizeaz astfel: UR(t) =Ki(t) (1.18) Pentru inductana L considerm mrimea de ieire UL (cderea de tensiune pe inductan) iar relaia capt forma particular:

UL = L dtdi (1.19)

Pentru elementul acumulator C, considernd mrimea de intrare UC(t) i mrimea de ieire iC(t) (curentul prin condensator) relaia se pune sub forma particular:

iC(t) = C dtduC (1.20)

Relaia de bilan dinamic din care se obine modelul matematic intrare-ieire este dat de legea lui Kirckhoff: ui =ur + uL + uC (1.21) innd cont c uC =ue i i = iC (quadripolul funcioneaz n gol) obinem:

ui = Ri + L dtdi + ue (1.22)

nlocuind i = iC din relaie obinem:

eee udtdURC

dtudLC ++2

2

(1.23)


24

Relaie ce constituie modelul matematic al sistemului constituit din quadripolul din fig. 1.17. Notnd Ue = y i Ui = u se obine relaia:

uydtdyRC

dtydLC =++2

2

(1.24)

Notnd n continuare: nLC=1 pulsaie natural

=LCR

2 - factor de amortizare

K = 1 factor de amplificare

obinem o form general a modelului matematic al unei categorii largi de sisteme dat de ecuaia:

uKydtdy

dtyd

nnn22

2

2

2 =++ (1.27) Descrierea extern este util n special n cazul analizei i a sintezei sistemelor monovariabile, forma general a modelului matematic intrare ieire fiind:

0),,.....,,,,......,,( )1()()1()( = tuuuyyyf mmnn (1.28) Pentru sistemele liniare, continui, cu parametrii concentrai forma general a modelului matematic a unui sistem de ordin n este: (1.29) ubububyayayay mm

mm

nn

nn

n0

)1(1

)(0

)2(2

)1(1

)( .............. +++=++++ unde an-1, an-2, ... ,a0, bm, bm-1, ... ,b0 sunt constante, y(t) este mrimea de ieire iar u(t) mrimea de intrare. Dup cum se observ, ecuaia (1.26) este o particularizare de ordin 2 (n=2, m=0) a modelului general prezentat de (1.28). Prin identificare a1 = 2n, a0 = n2, b0 = Kn2. Pornind de la descrierea extern exprimat de ecuaia (1.28) care reprezint modelul matematic intrare-ieire n domeniul real se poate obine modelul matematic intrare-ieire n domeniul complex i modelul intrare-ieire n frecven. Aplicnd transformarea Laplace n ambii membri ai relaiei (1.29) se obine modelul matematic intrare-ieire n domeniul complex reprezentat de funcia de transfer notat n general cu H(s), unde s este o variabil complex s = j; prin definiie, funcia de transfer este raportul dintre imaginea prin transformarea Laplace a rspunsului normal a unui sistem i imaginea prin transformarea Laplace a semnalului de intrare care a provocat acel rspuns. Din relaia (1.29) se obine:

01

1

01

1

..........

)()()(

asasbsbsb

sUsYsH n

nn

mm

mm

++++++==

(1.30)

NOIUNI INTRODUCTIVE

25

Funcia de transfer fiind determinat de coeficienii bm, bm-1, ... , b0, an-1, an-2, ... , a0 ca i modelul matematic n domeniul timpului descris de relaia (1.29), evoluia n planul complex a funciei de transfer va oferi informaii despre evoluia n planul real al semnalului de ieire y(t), deci va descrie funcionarea sistemului. nlocuind n relaia (1.30) variabila complex s cu j se obine funcia de transfer n fecven cu ajutorul creia se poate descrie comportarea sistemului atunci cnd la intrare este aplicat un semnal sinusoidal cu frecven variabil. b) Descrierea intern Descrierea intern a unui sistem este realizat de ctre ecuaiile intrare stare ieire a cror form general este:

)),(),(()( ttUtXftX = (1.31)

)),(()( ttXgtY = unde, fiind definite XXX = mulimea valorilor variabilelor de stare, UUU = mulimea valorilor semnalelor de intrare, YYY = mulimea valorilor variabilelor de ieire: - reprezint vectorul variabilelor de stare care determin comportarea unui sistem atunci cnd starea actual a sistemului i intrrile sunt cunoscute

;

nRtX X)(

)],....,[)(( 21T

nxxxtX =- reprezint vectorul de intrare mRtU U)( )]...,,[)(( 21 TmuuutU =- reprezint vectorul de ieire pRtY Y)( )],...,,[)(( 21 TpyyytY =

Modelul matematic ce asigur descrierea intern a unui sistem, numit i sistem dinamic neted, este reprezentat de ctre tripleta (,f,g) care satisface relaiile matematice (1.31), unde: 1- este clasa admisibil a funciilor de intrare; = },)({ UTtt iar TTT este mulimea valorilor variabilei independente de timp RT ; un operator extrage mrimile de comand u(t) din evoluiile admisibile (t):u(t)=(t); 2- f:Rn*Rm*R R n este o funcie continu n x i u i global Lipschitzian n raport cu x, adic fiind date dou faze x1 i x2 oarecare, exist un numr L astfel nct: ),,(),,( 21 tuxftuxf 21 xxL < ; 3- g:R*Rn Rp este o funcie continu. Condiiile 1 i 2 asigur existena local a soluiei ecuaiei difereniale x=f(t,x,u) pentru orice comand u(t)U i condiie iniial x()=x, soluie care se scrie: ,,,()( xttx = ) (1.32) Mulimea },,,({ Rtxt se numete traiectorie de stare, care trece prin x la momentul . Funcia (t,,x,) se numete funcie de tranziie a strilor. Atunci cnd variabila independent este definit pe mulimea numerelor ntregi, kZ atunci sistemele dependente de aceast variabil sunt sisteme discrete, modelele lor matematice similare ecuaiilor (1.29), (1.31) fiind:

- modelul matematic intrare-ieire n domeniul real pentru sisteme liniare invariante:


26

)(...)1()()(...)1()( 0101 kubmkubmkubkyankyanky mmn +++++=+++++ (1.33) pentru sistemele fizic realizabile n m. - modelul matematic intern: )),(),1(()1( kkUkXfkX +=+

(1.34) )),(()( kkXgkY = unde: 1 }RZ:(.)(.){ muuU = 2 - continu nmnf RR*R*Z: 3 - continu n raport cu x pn RR*Z: g 1.5.3. Tipuri de sisteme Pornind de la ecuaiile (1.31) care descriu modelul, matematic al sistemelor netede impunnd anumite restricii asupra funciilor f i g, se poate face urmtoarea clasificare a sistemelor dinamice: 1. Dac funcia f este liniar n x i u i funcia g este liniar n x atunci sistemul dinamic este liniar. Aceasta nseamn c se poate scrie: )()()()(),,( tUtBtXtAUXtf += (1.35) i: )()(),( tXtCXtg = (1.36) cu pxnnxmnxn tCtBtA R)(,R)(,R)( Dac f sau g nu sunt liniare sistemul este neliniar. n cazul sistemelor liniare funcia de tranziie a strilor (t,,x,) este o aplicaie liniar n argumentele x, Datorit liniaritii se poate scrie: ),,,(),,,(),,,( 22211122112211 xtcxtcccxcxct +=++ (1.37) 2. Dac variabila t nu apare explicit n funciile f i g atunci sistemul dinamic este invariant

n timp i se poate scrie pentru sistemele continui:

)()())(),(( tUBtXAtUtXf += (1.38)

)())(( tXCtXg = unde A,B,C sunt matrici constante de dimensiuni corespunztoare. Dac funciile f i/sau g depind explicit de timp atunci sistemul dinamic este variant n timp. 3. Dac n cazul ecuaiilor (1.31) se poate pune n eviden o singur variabil independent (t pentru sistemele netede) atunci sistemul este un sistem cu parametrii concentrai; cnd n (1.31) pot fi puse n eviden mai multe variabile independente sistemul

NOIUNI INTRODUCTIVE

27

este un sistem dinamic cu parametrii distribuii, ecuaiile care constituie modelul lor matematic fiind ecuaii cu derivate pariale. 4. Dac toate semnalele ce intervin n (1.31) sunt semnale deterministe atunci sistemul este un sistem determinist; dac cel puin unul din semnale este nedeterminist atunci sistemul este stocastic (nedeterminist). 5. Dac n spaiul strilor este un spaiu cu un numr finit de dimensiuni sistemul dinamic este un sistem finit dimensional; dac mulimea strilor este o mulime finit atunci sistemul este un sistem cu un numr finit de stri; dac un sistem cu un numr finit de stri are mulimea mrimilor de intrare i mulimea mrimilor de ieire finite, atunci sistemul este un sistem finit.


28

CAP.II DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DINAMICE NETEDE

2.1. Modelul matematic intrare-ieire al sistemelor monovariabile, liniare,

invariante n timp cu parametrii concentrai

Pornind de la relaiile care descriu un sistem dinamic:

0)),((

0)),(),((=

=ttxg

ttutxf (2.1)

Pentru sistemele netede invariante n timp ecuaiile anterioare se particularizeaz astfel:

)()()()()()(

tDUtCXtYtBUtAXtX

+=+=

(2.2)

unde A,B,C,D sunt matrici de elemente constante de dimensiuni corespunztoare (A(nxn), B(nxm), C(pxn), D(pxm)); n cazul sistemelor monovariabile m=p=1. Introducnd un operator de derivare p, astfel nct p*f=df/dt, din prima relaie (2.2), presupunnd matricea A nesingular, se obine: (2.3) BuApIX 1)( = unde I este matricea unitate. Introducnd n cea de a doua ecuaie (2.2) rezult:

duBuApIadjCduBuApICty TT +=+= )()()( 1 (2.4)

unde s-a notat cu determinantul matricii (pI-A) care va fi un polinom de gradul n cu variabila p. Elementele matricii adj(pI-A) vor fi polinoame n p de grad cel mult n-1. Dac d=0 (cazul sistemelor proprii), atunci relaia (2.4) se poate scrie:

)()()()( tu

pQpPty = (2.5)

unde P(p) este un polinom de grad mxn iar Q(p) este un polinom de grad n n p. Explicitnd cele dou polinoame se obine:

)(....

....)(0

11

01

1 tuapap

bpbpbty nn

n

mm

mm +++

+++=

(2.6)

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR

29

innd cont de semnificaia operatorului p din (2.6) rezult:

)(....)()()(....)()( 0)1(

1)(

0)1(

1)( tubtubtubtyatyaty mm

mm

nn

n +++=+++ (2.7)

Relaia (2.7) constituie modelul matematic intrare-ieire n domeniul timpului al sistemului dinamic monovariabil neted liniar cu parametri concentrai exprimat de (2.2). n cazul sistemelor care nu sunt proprii relaia (2.70) rmne valabil cu precizarea c n acest caz n=m.

Relaia (2.7) descrie interaciunile sistemului dinamic cu mediul, sistemul fiind vzut n acest caz ca o cutie neagr asupra cruia acioneaz mrimea de intrare u din exterior i care reacioneaz prin intermediul mrimii de ieire y (vezi fig 2.1).

u(t) y(t)

Sistem dinamic

Fig. 2.1 A analiza un sistem descris de o ecuaie de tipul (2.7) nseamn a determina modul n care sistemul rspunde la diferite semnale de intrare, ceea ce presupune rezolvarea ecuaiei difereniale (2.7); pentru a putea rezolva aceast ecuaie diferenial este necesar s fie cunoscute condiiile iniiale pentru y(t) i cele n-1 derivate ale lui y precum i evoluia n timp a mrimii de intrare, att pentru t3.


30

2.2. Analiza sistemelor automate liniare i continui prin metode operaionale

2.2.1. Transformata Laplace Transformata Laplace obinuit (unilateral) a unei funcii f(t) se definete ca fiind):

(2.11)

===0 0

)()()()]([ dteetfdtetfsFtfL tjtst

unde s este o variabil complex s=+j. Transformata Laplace opereaz cu funcii care se consider nule pentru t 0

Pentru o asemenea funcie transformata Laplace este:

==0 0

)( tjtsstat eedteesF asas

esHtas

==

1)( 0)(

Aceast integral exist (este convergent) numai cnd >a. Deci pentru funcia f(t) = eat transformata Laplace exist cnd >a; valoarea lui 0=a se numete abscis de convergen (vezi fig. 2.2).


31

j a

Fig.2.2 Transformata Laplace invers este dat de relaia:

)]()(21)( 1 sFLdsesF

jtf

jc

jc

st+

==

(2.13)

unde c este abscisa de minim convergen i c este mai mare dect partea real a oricruia din polii funciei F(s); f(t) este funcia original iar F(s) =L [f(t)] poart numele de funcie imagine. Proprieti ale transformatei laplace: - Liniaritate: L [f1(t)+f2(t)]=L [f1(t)]+L [f2(t)]=F1(s)+F2(s) (2.14) L [af(t)]=aL []f(s)]=aF(s) (2.15) - Derivarea originalului: L [f(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0+)-sn-2f(0+)- ....-f(n-1)(0+) i dac f(0) ..... f(n-1)(0) = 0 atunci L [f(n)(t)]=snF(s) (2.16) - Integrarea originalului:

L =t

ssFdf

0

)(])([ (2.17) - Deplasarea imaginii

)()]([ asFtfeL at += (2.18) - Derivarea imaginii

)()]([ sFdsdttfL = (2.19)

- Integrarea imaginii

=0

)(])([ dssFttfL (2.20)

)()]([ asaFatfL = (2.21)

- Deplasarea originalului )()([ sFeatfL as= (2.22)

- Teorema valorii iniiale )(lim)(lim 0 ssFtf st = (2.23)

- Teorema valorii finale )(lim)(lim 0 ssFtf st = (2.24)


32

2.2.2. Funcia de transfer Fie un sistem liniar continuu i staionar descris de ecuaia diferenial: any(n)+an-1y(n-1)+ ...... +a1y+a0y=bmu(m) +bm-1u(m-1) + ..... +b1u+b0u (2.25) n care . mn Dac n momentul excitrii sale sistemul se afl n stare de echilibru de zero (y(0), y(0), .... , y(n)(0) = 0) i u(t)=0 pentru t


33

R + ui C ue Rs -

Fig.2.3

ei uRiu +=

se iii +=

dtdu

Ci ee = (2.30)

s

es R

ui =

Deci: es

eeesci uR

uCuRuiiRu ++=++= )()( / sau ies

e uuRRRCu =++ )1(/ (2.31)

sau sub form operaional:

)()()]1([ sUsURRRCs ie

s

=++ (2.32) dac circuitul funcioneaz n gol, Rs= i (2.32) devine: )()()1( sUsURCs ie =+ (2.33) obinndu-se urmtoarele expresii pentru funcia de transfer:

sRC

sH g += 11)( (2.34)

sCR

RR

sH

s

s

++=

1

1)( (2.35)

(2.34) pentru funcionarea n gol; (2.35) pentru funcionarea n sarcin.


34

2.2.2.2. Reprezentarea grafic a funciei de transfer Orice funcie de transfer este o funcie complex i poate fi reprezentat n planul complex Re[H(s)], Im[H(s)]. Variabila ei complex s=+j poate fi reprezentat grafic n planul Re(s)= i Im(s)=j. De aceea pentru a putea reprezenta grafic o funcie de transfer trebuie mai nti cunoscut conturul dup care variaz n planul (, j) variabila s (fig. 2.4a.). Pentru fiecare pereche (si, j) (i=1,2,3, ... ) se obine n planul funciei de transfer un vector complex. Hi(s)=Hre(i,i)+jHim(i,i)=Hre+jHim (2.36) j jHim s3 s3 s2 s1 s2 0 s1 Hre Fig.2.4.a. Fig. 2.4.b. Vrful acestuia descrie un contur care constituie reprezentarea grafic a respectivei funcii de transfer (fig. 2.4.b) Pe acest contur fiecare punct corespunde unei anume valori s i de aceea conturul trebuie gradat n valori ale variabilei s. S considerm o funcie de transfer care admite m zerouri i n poli pe care s-o scriem sub forma:

)).......()(())......()((

)(21

21

n

m

pspspszszszsAsH

= (2.37) Fie de asemenea n planul s un contur nchis C (fig. 2.5); se cere s se reprezinte graficul funciei de transfer (2.37) n cazul cnd vrful vectorului s parcurge conturul C n sensul indicat de sgeat (antiorar) considerat ca sens pozitiv. j s-zk Q zk s-p u C C Fig.2.5

jjjjjjjjjjjjjjj


35

Din fig. 2.5 se constat c termenii de forma s-zk respectiv s-p, care apar n expresia funciei de transfer sunt vectori care pleac din punctul de localizare al zeroului zk, respectiv al polului p i se opresc n punctul curent Q de pe contur. Exprimai sub form polar aceti vectori devin: (2.38)

== jkek eNpsRzs k respectiv Cu aceasta funcia de transfer devine:

).............(21

21 2121

..............)( nmj

n

m eNNNRRRsH +++

= (2.40) Dac punctul n care este localizat zeroul sau polul respectiv se afl n interiorul conturului C, atunci parcurgerea integral a acestuia n sens pozitiv duce la o variaie a argumentului respectiv cu 2, n caz contrar aceast variaie este egal cu zero. Ca atare se poate formula urmtoarea teorem: dac conturul nchis C din planul s cuprinde z zerouri i p poli ai funciei de transfer n interiorul su, atunci la parcurgerea integral a acestui contur n sens pozitiv, argumentul fazorului H(s) nregistreaz o variaie egal cu 2(z-p).

Altfel spus, graficul funciei de transfer (H(s) este un contur nchis care nconjoar originea de z-p ori. n cazul cel mai general o funcie de transfer se poate exprima n forma:

))......()()((

)).......()(()(21

21

221

q

m

pspspssszszszsAsH +

= (2.40) unde +2+q=n>m. j rej R +j1 0 Rej

C -j1

Un contur care cuprinde n interiorul su toate zerourile i toi polii funciei de transfer (2.40) situai n semiplanul drept i n acelai timp, nconjoar prin cercuri de raz infinit mic polii funciei de transfer situai pe axa imaginar a planului s poart numele de contur Nyquist i este prezentat n fig. 2.6.

Pentru a obine hodograful funciei de transfer cnd s parcurge n sens pozitiv un asemenea contur trebuie determinat evoluia vectorului de poziie H(s) atunci cnd s parcurge semicercurile de raz infinit mic i semicercul de raz infinit mare ale acestuia.

Fig.2.6 Se poate demonstra c:

a) Atunci cnd s parcurge n sens negativ un semicerc de raz infinit mic ce nconjoar polii de pe axa imaginar, n planul funciei H(s) se obine un hodograf sub form de arc de cerc de raz infinit mare cu centrul n originea axelor, vectorul rotindu-se n sens pozitiv.


36

b) Atunci cnd s parcurge n sens pozitiv semicercul de raz infinit mare al conturului Nyquist, se obine un hodograf sub form de arc de cerc de raz infinit mic cu centrul n originea axelor, vectorul rotindu-se n sens negativ.

n cazul cel mai general o funcie de transfer este dat de expresia (2.40) n care +2+q=n>m. Aceast funcie de transfer se caracterizeaz prin aceea c are un pol de ordin de multiplicitate n origine, are polii (-j1, +j1) situai pe axa imaginar, polii p1, .... ,pq i z1, .... ,zm situndu-se n afara axei imaginare. Pentru studiul sistemelor este foarte important s se cunoasc graficul funciei de transfer exprimat de relaia (2.40) atunci cnd conturul C (pe care se deplaseaz s) are forma din fig. 2.7. Acesta se caracterizeaz prin aceea c el nchide n interiorul su toate zerourile i toi polii funciei de transfer care se afl n semiplanul drept i n acelai timp nconjoar prin semicercuri de raz infinit mic polii funciei de transfer situai pe axa imaginar a planului s pentru care =)(sH . j +j1 rej R j 0 rej Rej j1+ P

j1 Rkejk

-j1 C j1 zk s =s0ejo

Fig.2.7 Fig.2.8 n felul acesta funcia H(s) devine analitic n orice punt al acestui contur. Un

asemenea contur poart numele de contur Nyquist. Pentru a obine locul de transfer al funciei H(s) este necesar s cunoatem ce devin n planul Hre-Him semicercurile de raz infinit mic i cele de raz infinit mare ale conturului Nyquist din planul s. Pentru aceasta s considerm n fig. 2.8 un semicerc de raz infinit mic ce nconjoar polul s=j1. Cnd s parcurge acest semicerc expresia sa este:

jrejs += 1 (2.41.a)

Pentru un zero oarecare zk (k=1,2,....,m), respectiv un pol oarecare p ( = 1,2,....q) putem scrie: i (2.41.b) kjkk eRzs

+= += jeSps

Respectiv: i (2.41.c) kjkk eRzs

= = jeSps


37

i cu aceasta expresia (2.40) devine:

+= +

m q

kj

qj

rj

r

m eSSSejeS

RRRAsH 1 1)(

211

21

.......)2(.....)(

(2.42)

Vectorul s se poate exprima sub form polar: 00

= jeSs La rndul su vectorul se poate exprima sub form polar: (2.43) jr ej +12 )(12

jr ej +i cu aceasta (2.42) devine:

)(

210

210

1 1

......)(......)(

=m q

kj

qr

m eSSSS

RRRAsH (2.44)

n aceast relaie att calculele R1......Rm, S1.......Sq i ct i argumentele 1.....m, 1......q, i sunt funcii de aa c ultima relaie se poate scrie:

])([)()( = jr

eMsH (2.45)

unde: q

m

SSSRRRAM

=......)(

.......)(10

21

; =m q

ke1 1

0)( cum ns semicercul de raz infinit mic se poate considera c att modulele ct i argumentele rmn constante cnd variaz de la /2 la /2 deci: i = const. (2.46) const. Ncu )( )( == jeNsH n plus N cnd 0. Cu alte cuvinte cnd s parcurge n sens negativ semicercul de raz infinit mic ce nconjoar polul s=j1, n planul funciei H(s) de obine un loc geometric n form de arc de cerc cu raza infinit mare i cu centrul n originea axelor. Argumentul fazorului respectiv H(s) variaz n acest caz de la /2 cnd =+ la +/2 cnd =- vectorul rotindu-se deci n sens pozitiv. Pentru a vedea ce se ntmpl cnd s parcurge semicercul de raz infinit mic din jurul originii (deci nconjoar polii de origine), vom menine notaia: 00

= jeSs cu meniunea c de aceast dat S0 este foarte mic, aceasta face ca n expresia (2.40) s s putem neglija vectorul punctului s fa de vectorii polilor i zerourilor respective. Deci:


38

)).....(2)(1(210

0

21 )).......()(()( qpppzm eS

zzzAsH

= (2.47) Notnd cu: (k=1,2,...); (2.48) kjkk eZz

= jePp = Obinem:

)

2()(

21210

21 1 10

)).......()(()).......()(()(

=

= em q

k jj

q

m eNePPPS

ZZZAsH (2.49)

unde i = m qkt1 1

)).....()(()).....()((

21210

2

q

m

PPPSZZZA

N = (2.50)

Deci semicercul de raz infinit mic ce nconjoar polul de origine devine n planul funciei H(s) un arc de cerc cu R = i cu centrul n originea axelor. Argumentul complex arg[H(s)] variaz de la t-/2 cnd =0+ la t+/2 cnd =0-. (2.51) = RS j cu Re n cazul transformrii semicercului de raz infinit mare al conturului Nyquist n planul funciei H(s), dat fiind c de data aceasta n conformitate cu fig. 2.8 vectorii zerourilor z1.....zm i polilor +/-j1, p1......pq se pot neglija n raport cu vectorul variabilei s, ecuaia devine:

===)(

2

1)( mnjmnnm

qa

m

eR

ASSA

SSSsAsH (2.52)

Rezult c dat fiind n>m, cnd s parcurge n sens pozitiv semicercul de raz infinit mare al conturului Nyquist de la =/2 (corespunztor valorii += ), n planul funciei, fazorul de raz infinit mic se rotete n sens negativ, ncepnd cu argumentul /2*(n-m) pentru = pn la /2*(n-m) cnd += . 2.2.2.3. Schema funcional Am vzut c sistemele sunt caracterizate prin funcia de transfer dat n general sub forma unui raport cu polinoame de variabil complex s=+j. Un mod de reprezentare a sistemelor care pune n eviden relaiile ce exist ntre diferitele pri componente ale unui sistem este schema funcional (exemplu fig. 2.9): 1 Regulatorul; 2 Elementul de execuie; 3 Elementul supus automatizrii; 4 Elementul de reacie; H1(s)=Y1/; H2(s)=Y2/Y1; H3(s)=Y1/Y2; H4(s)=Y4/Y; Y1-mrimea de comand; Y2 mrimea de execuie; Y mrimea de ieire (reglat); Y4 mrimea perturbatoare.


39

Mrimea perturbatoare poate fi aplicat direct sau prin intermediul unui bloc funcional la intrarea n elementul supus automatizrii sau la ieire (fig. 2.10) Y4 U + Y1 Y - -

H1(s)

H4(s)

H3(s) H2(s)

Fig. 2.9 P(s) P(s)

H2(s) H3(s)

Hp(s)

H2(s)

Hp(s)

H3(s)

Fig. 2.10 Pentru aflarea funciei de transfer a ntregului sistem vom prezenta mai nti regulile de operare cu funciile de transfer:

a) Legarea n serie:

U(s) Y1 Y2 Y

Fig. 2.11

H1 H2 H3

UHHHU

YHHU

YHUU

YsH ==== 12312323 111)( (2.53) 321)( HHHsH = pentru n elemente legate n serie:

= n kHH(s1

)


40

b) Legarea n paralel nainte:

Y1 U Y2 Y Y3

H1(s)

H2(s)

H3(s)

Fig. 2.12

321321321 )(1)(1)( HHHUHUHUHU

YYYUU

YsH +=+=+== (2.54) c) Legarea n paralel napoi:

U + Y - Y1 Fig, 2.13

Y=H1 =H1(U-Y1) =H1(U-H2Y); deci: Y+H1H2Y=H1U i:

21

1

1 HHHH += (2.55)

dac reacia este rigid (H2=1) atunci:

1

1

1 HHH +=

d) Eliminarea blocului pe calea de reacie. Pornind de la schema din figura 2.13, punnd condiia ca Y s fie egal obinem: U Y1+ Y Hx=1/H2 H1 H2

H1

H2

Fig. 2.14

221

1

21

21 1)1

()1

(H

HHH

HUHHH

HHU xx =+=+ (2.56)


41

e) Deplasarea unui bloc de sumare naintea unui bloc. Punnd condiia ca Y s fie egal rezult: U Y1 Y U Y2 Y +

+ Z Z

H1

Z Hx=1/H1

H1

Fig. 2.15

111

1)(H

HHHZUZHU xx =+=+ (2.57) f) Deplasarea unui bloc de sumare dup un bloc. U + Y1 Y U + Y + + Y1 + Z Z

H1 H1

Hx=H1

Fig2.16

Din condiia ca Y s fie egal se obine:

H1(U+Z)=H1U+HxZ; Hx=H1 (2.58) g) Deplasarea unui punct de intersecie naintea unui bloc.

Fig2.17 Punnd condiia ca valoarea semnalului Z s nu se modifice se obine:

HU=HxU Hx=H (2.59) h) Deplasarea unui punct de intersecie dup un bloc.

Fig. 2.18 Punn condiia ca Z s nu se modifice se obine: U=YHx=HUHx Hx=1/H (2.60)

Cu aceste operaii oricare ar fi sistem nchis poate fi pus sub forma canonic din fig. 2.19 unde H funcia de transfer a sistemului deschis i H0 funcia de transfer a sistemului


42

nchis, iar Hd funcia de transfer a elementului de comparaie; ntre aceste funcii se pot scrie relaiile:

; 0 UYHYH == i UH d

=

HHH += 10 (2.61)

0

0

1 HHH = (2.62)

000 11;11;1 H

Uy

UYU

UH

HHH d ====+==

dd HHUY

UYHHHH ==== 00 ;

Hd U Y + H0 -

H

Fig.2.19

Revenind la schema din fig. 2.9 considernd perturbaia = 0 rezult:

UHHHH

HHHYHHHH

HHHH +=+

=4321

321

4321

321

11 (2.63)

Considernd acum U=0 i P 0 (Y4)i aplicnd regulile de algebr prezentate obinem:

4321

3

1 HHHHHH

H p += (2.64)

sau:

PHHHH

HHY p +

=4321

3

1 (2.65)

Semnalul de ieire se obine prin principiul superpoziiei, deci:

PHHHH

HHU

HHHHHHHY p +

++=

4321

3

4321

321

11

sau: PspHsHYYY +=+= )()( 0021 unde H0 i H0p sunt funciile de transfer raportate la intrare , respectiv la reacie.


43

2.2.2.4. Reducerea formei schemelor funcionale complexe

Pentru sistemele care conin mai multe bucle i mai multe intrri, se poate obine o schem echivalent, a crei funcie de transfer se poate scrie pe baza relaiilor deja stabilite. Procedura de reducere a schemelor funcionale complexe poate fi prezentat sub forma urmtorului algoritm:

1. Se combin toate elementele legate n serie. 2. Se combin toate elementele legate n paralel. 3. Se combin toate buclele interioare(secundare). 4. Se deplaseaz punctele de sumare la stnga i/sau punctele de intersecie la dreapta

buclei principale, astfel nct s se obin bucle interne. 5. Se repet punctele 1-4 pn ce o form canonic a fost obinut. 6. Se repet punctele 1-5 pentru fiecare intrare a sistemului.

Exemplificarea acestui algoritm este prezentat n fig 2.18.

Fig 2.18

G)H+H(HH+GHH-1)H+H(HH =

GGHH-1

)H+H(HH+1

GHH-1)H+H(HH

= sH unde 2432112

4321

2121

431

121

4321

012

)( (2.66)

2.2.2.5. Calculul funciei de transfer pentru elementele tip

ale sistemelor de reglare automat.

Pentru un element proporional definit prin relaia : y(t)=k1u(t)

aplicarea transformatei Laplace duce la Y(s)=k1U(s)

iar funcia de transfer are forma:

K = U(s)Y(s) = H(s) 1 (2.67)

Procednd n mod similar se obin funciile de transfer pentru elementele tip ale sistemului de reglare i anume:

-Element cu ntrziere de ordin nti ecuaia diferenial:


44

U(t)k =y +dtdyT 0

funcia de transfer

Ts+

k H(s) =1

0 (2.67)

-Element de ordin doi(armonic) - ecuaia diferenial:

)()()()( tuk = ty+dttdy2+

dttyd 2n02nn2

2

- funcia de transfer

+2+

k = H(s) 2nn

2

2n0

ss (2.68)

-Element cu ntrziere de ordin doi -ecuaia diferenial:

)()()( u(t)K = ty+dttdy)T+T(+

dttydTT 0212

2

21

- funcia de transfer

1)+T1)(+T(

K = H(s) 21

0

ss (2.69)

-Element cu timp mort

- ecuaia diferenial:

)-u(t = y(t) - funcia de transfer:

se = H(s) (2.70)

-Element de ntrziere cu timp mort - ecuaia diferenial:

)-u(tK =y +dtdyT 0

- funcia de transfer:

1)( 0 +=

TseKsH

s (2.71)

-Element de ntrziere de ordin doi cu timp mort

- ecuaia diferenial:

)-u(tK = ty+dttdy)T+T(+

dttydTT 0212

2

21 )()()( - funcia de transfer:


45

1)+T1)(+T(eK = H(s)

21

s-0

ss

(2.72)

-Element de anticipaie de ordinul nti - ecuaia diferenial

tu+dt

tduT = ty )()()(

- funcia de transfer: 1T = H(s) +s (2.73)

-Element de anticipaie de ordinul doi ecuaia diferenial:

)()(2)()( tu+dt

tdu+dt

tud = ty 2nn22

funcia de transfer:

+2+ = H(s) 2nn2 ss (2.74)

- Regulator PI - ecuaia diferenial:

(t)dt] T1+(t)[K = u(t)

i0

- funcia de transfer:

)T1+(1K = H(s)

i0 s

(2.75)

-Regulator PD

]dtd

T+(t)[K = u(t) d0

-Regulator PID ecuaia diferenial:

]dtd

T+(t)dtT1+(t)[K = u(t) d

i0

(2.77)

2.2.2.6. Calculul rspunsului unui sistem pe baza funciei de transfer

Pentru un sistem de ordinul nti descris de ecuaia

)()()( tuk = ty+dttdyT 0

funcia pondere se determin cu relaia:

ek = (t) -0 Tt

Th

funcia de transfer n cazul n care u(t)=(t) este:

1+TsK = Y(s) = H(s) 0


46

Pentru a obine rspunsul sistemului se folosete transformata Laplace invers: U(s)][H(s) =[Y(s)] = y(t) -1-1 LL (2.77)

adic

eTK =]

1+TsK[ = y(t) T

t-001-L

Pentru o intrare treapt unitar L[u(t)]=1/s, rspunsul sistemului fiind:

]e-[1K =] 1+TsTK-

sK[ =]

1+TsK

s1[ = [H(s)U(s)] = y(t) T

t-0

001-01-1- LLL

n cazul general cnd funcia de transfer a sistemului este cunoscut i dat sub forma :

a+.......+sa+sab+.......+sb+sb = H(s)

01-n

1-nn

n

01-m

1-mm

m

pentru aplicarea transformatei Laplace invers n vederea determinrii rspunsului sistemului la o intrare dat, este necesar dezvoltarea n sum de fracii simple a funciei.

Pentru un sistem a crei funcie de transfer are n poli reali simpli i intrarea este o treapt unitar, funcia de ieire poate fi pus sub forma :

+=n

j

jn

jj

mi

i

psC

sC

sas

sb = Y(s)

1

0

0

0 (2.78)

iar rspunsul sistemului se calculeaz cu relaia:

eC+C =] p+s

+s

C[ =[Y(s)] = y(t) tp-i1n

=1i0

1

n

=1i

011-1- i 1LL (2.79) unde C01, C11, C21, ......,Cn1 sunt reziduurile funciei Y(s). Reziduurile funciei Y(s) se calculeaz cu relaia:

ipsii1)Y(s)p+(s = C =| (2.80)

Dac o funcie complex F(s) are un numr pi de poli multipli de ordin de multiplicitate ni, adic:

)p+(sC =

)p+(s

sb = F(s) k

i

ikn

=1k

r

=1ini

r

=1i

jj

m

j=0 i

i

(2.81)

reziduurile acestei funcii se calculeaz cu relaia :

i

i

i

i

ps

nikn

k-n

iik F(s))p+[(sds

dk)!-n(

1 = C =

] (2.82)

Exemplu: S aflm transformata Laplace invers pentru funcia F(s)=1/(s+1)2(s+2);

funcia F(s) are un pol multiplu de ordin 2 i un pol simplu s=-2 deci :

2+sC+

)2+(sC+

1)+(sC = F(s) 212

1211 (2.83)

C11, C12 se calculeaz cu relaiile:


47

1 = 2+s

1 = 2)+(s)1+(s

1()1+(s = C: 2)=n ,2=k ,1=(iC

1 = )2+(s

1- = 2)+(s)1+(s

1)1+((sdsd = C : 2)=n ,1=k ,1=(iC

s2

212i12

2s

22

11i11

1

1

)=

=

C21 se calculeaz cu formula (2.80)

1 = 2)+(s)1+(s

12)(+(s = C : 2=p; 2=i

s221i

2

)=

deci: ttt etee

ssssF 22

11 ]2

1)1(

12

1[)]([ ++=+++++= LL

2.2.2.7. Calculul erorii n regim staionar cu ajutorul funciei de transfer.

Eroarea sistemului n regim staionar st se poate obine direct cu ajutorul funciei de transfer a sistemului deschis H(s) n condiiile n care reacia este rigid. Pentru sistemul din fig (2.19.b) funcia de transfer a sistemului deschis Hd(s) n condiiile n care reacia este unitar poate fi pus sub forma general:

(s)P(s)P

sK = H(s)

2

1 (2.84)

unde K reprezint factorul de amplificare al cii directe, reprezint numrul de poli n origine ai funciei pentru calea direct, iar polinoamele P1(s) i P2(s) au ultimul termen egal cu unitatea. Aceast expresie se obine dac plecnd de la forma general :

a+.......+sa+sab+.......+sb+sb = H(s)

01-n

1-nn

n

01-m

1-mm

m (2.85)

scoatem factor comun b0/a0=K este factorul de amplificare al sistemului deschis i deci vom avea :

(s)P(s)PK =

(s)P(s)P

ab =

1+.......+sa

a+saa

1+.......+sb

b+sbb

ab = H(s)

2

1

2

1

0

0

1-n

0

1-nn

0

n

1-m

0

1-mm

0

m

0

0 (2.86)

Dac H(s) are un pol multiplu de ordin n origine (P2(s) are rdcin multipl de ordin s=0) atunci:

ab = K 0

Valoarea definete tipul sistemului. Astfel sistemul definit n fig (2.19,a) este de tip 0 (=0) cel definit n fig (2.19,b) este de tip 1 (=1), iar sistemul definit n fig (2.19,c) este de tip 2 (=2)


48

innd seama de tipul sistemului i de tipul funciei aplicate la intrare, pornind de la expresia (2.83) a funciei de transfer a sistemului deschis se pot defini coeficienii de eroare n regim staionar a sistemului.

Fig. 2.19

Pentru intrarea treapt unitar se definete coeficientul de eroare de poziie Kp sub forma :

pentru

0=pentru K = (0)P(0)KP

= (s)Ps(s)PK = K 2

1

2

1sp

>

0lim 0

(2.87)

iar eroarea n regim staionar pentru intrare treapt unitar se definete astfel

()= st=1-y()=1-yst (2.88) sau aplicnd teorema valorii finale:

(s)][s = (t) = )( sF(s) = f(t)

st

st

limlimlimlim 0 (2.89)

unde (s) reprezint transformata Laplace a erorii sistemului care se poate calcula cu formula : U(s)

(s)P(s)P

sK+1

1 = U(s)H(s)+11 = (s)

2

1

(2.90)

s-a inut cont c:

)(sUH(s)+11 = (s)(s)H(s)-U(s) = Y(s)-U(s) = (s)

Pentru un sistem cu =0 i cu reacie rigid(unitar), eroarea n regim staionar este :

K+11 =

K+11 =

s1

sP(s)PK+1

1 s = p

2

1sst

)(

lim 0 (2.91)

Pentru intrarea ramp unitar se definete coeficientul de eroare de vitez :

1>pentru


1=pentru 0

= (s)Ps

(s)PK = sH(s) = K 2

1

21-

1ssv

00 limlim (2.92)

iar eroarea de regim staionar pentru un sistem de tip 1:


49

K1 =

K1 =

s1

(s)Ps(s)PK+1

1s = v

2

2

1sst

0lim (2.93)

Coeficientul de eroare de acceleraie se definete pentru un sistem cu reacie unitar la intrarea creia se aplic o funcie parabol unitar u(t)=t2/2.

1>pentru


0=pentru 0

= (s)Ps(s)PK =H(s)] s[ = K

2

1

22-

1s

2sa

00 limlim (2.94)

iar eroarea de regim staionar pentru un sistem de ordin 2:

K1 =

K1 =

(s)P(s)PK+s

1 = s1

(s)Ps(s)PK+1

1s = (s)s = a12

s3

21

ssst

2

0

2

00 limlimlim (2.95)

Cunoaterea coeficienilor de eroare uor calculabili din funcia de transfer a sistemului deschis permite calcului erorii n regim staionar, respectiv aprecierea preciziei sistemului n regim staionar.

Rezultatele obinute pentru sistemele cu reacie unitar pot fi extinse i la sistemele de reacie neunitar ns stabil astfel :

Dac H(s) reprezint funcia de transfer a sistemului real, iar Hi(s) reprezint funcia de transfer a sistemului ideal (care realizeaz ieirea dorit) eroarea se obine ca diferen ntre cele 2 mrimi Yi(s) i Y(s) obinute la ieirea sistemelor cu funciile de transfer Hi(s) i H(s) vezi figura (2.20).

Fig. 2.20

Eroarea de regim staionar se calculeaz n acest caz cu relaia : H(s)]-(s)sU(s)[H =Y(s)] -(s)Ys[ =(s)] [s = isissst 000 limlimlim (2.96)

iar coeficienii de eroare sunt definii astfel :

aa

aa

aa

unitar parabol intrareapentru H(s)]-(s)H[

s1

1 = K

unitar ramp intrarepentru H(s)]-(s)H[ s

1

1 = K

unitar treapt intrarepentru H(s)]-(s)H[

1 = K

i2s

a

is

v

isp

0

0

0

lim

lim

lim

(2.97)

innd seama de relaia anterioar i de definirea coeficienilor de eroare Kp, Kv i Ka eroarea staionar pentru un sistem cu reacie neunitar se calculeaz cu formulele :


50

aa

a

a

unitar parabol intrarepentru - K1 =

unitar rampa intrarepentru - K1 =

unitar treapta intrarepentru - K1 =

,a

st

,v

st

,p

st

Pentru a stabili o relaie ntre coeficienii de eroare n general, Kp, Kv, i Ka i coeficienii de eroare pentru sistemul cu reacie unitar, considerm c sistemul dorit (ideal) are funcia de transfer egal cu unitatea Hi(s)=1, iar sistemul real are reacia unitar H0(s)=H(s)/1+H(s). innd seama de definiia coeficienilor de eroare, se obine :

K = H(s)s1 =

H(s)+11

s1

1 = K

K = sH(s) =

H(s)+11

s1

1 = K

K+1 = H(s) +1 = ]

H(s)+11[

1 = K

a2s

2s

curs teoria sistemelor

Documents