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Curso Básico de ComputaciónAutómatas finitos y expresiones regulares

Feliú Sagols Troncoso

MatemáticasCINVESTAV-IPN

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2010

Curso Básico de Computación (Matemáticas) Autómatas finitos y expresiones regulares 2010 1 / 34

2 Autómatas finitos y expresiones regulares

2.2 Definiciones básicasUn autómata finito (AFD) consiste de un conjunto finito de estados yun conjunto de transiciones de estados a estados que ocurren con laentrada de símbolos escogidos de un alfabeto Σ. Para cada símboloque entra existe exactamente una transición que sale de cada estado.Un estado, denotado usualmente por q0, es el estado inicial, quemarca el inicio del autómata. Se designa a algunos estados comoestados finales o estados de aceptación.


Una gráfica dirigida, se llama diagrama de transición, y se asocia conun AFD de la manera siguiente: los vértices de la gráficacorresponden a los estados del AFD. Si existe una transición delestado q al estado p con entrada a, entonces existe un arco llamadoa del estado q al estado p en el diagrama de transición. El AFDacepta una cadena x si la secuencia de transición que corresponde alsímbolo x lleva de un estado inicial a un estado de aceptación.


Ejemplo:

En el diagrama de transición de un AFD (Ver figura 2.1), el estadoinicial q0, se indica por la flecha etiquetada como “inicio". Existe unsolo estado final, en este caso q0, indicado con un círculo doble. ElAFD acepta todas las cadenas con un número par de 0’s y 1’s.


0q q

1

q2

q3

a b

d

c

10 0

1

0

1

1

Figura 2.1

Inicio

0


Formalmente denotamos a un autómata finito por una 5-tupla(Q,Σ, δ, q0, F ), donde Q es un conjunto finito de estados, Σ es unalfabeto finito de símbolos (de entrada), q0 está en Q y es el estadoinicial, F ⊆ Q es el conjunto de estados finales, y δ es la función detransición que transforma Q × Σ a Q. Es decir, δ(q, a) es un estadopara cada estado q y una entrada a.


Se dice que una cadena x es aceptada por un AFDM = (Q,Σ, δ, q0, F ) si δ(q0, x) = p para algún p en F . El lenguajeaceptado por M, denotado por L(M), es el conjunto{x | δ(q0, x) está en F}. Un lenguaje es un conjunto regular si es unconjunto aceptado por un AFD.


Ejemplo:Considere el diagrama de transición de la figura 2.1. En notaciónformal el AFD queda denotado por M = (Q,Σ, δ, q0, F ), dondeQ = {q0, q1, q2, q3}, Σ = {0, 1}, F = {q0}, y δ es:

EntradasEstados 0 1

q0 q2 q1

q1 q3 q0

q2 q0 q3

q3 q1 q2


Suponga que 110101 es una entrada para M . Note que δ(q0, 1) = q1

y δ(q1, 1) = q0.Así

δ(q0, 11) = δ(δ(q0, 1), 1) = δ(q1, 1) = q0

De esta manera 11 está en L(M). Como δ(q0, 0) = q2, se tiene

δ(q0, 110) = δ(δ(q0, 11), 0) = δ(q0, 0) = q2

De esta manera encontramos que:

δ(q0, 1101) = q3

δ(q0, 11010) = q1


y finalmente:δ(q0, 110101) = q0

La secuencia entera de estados es:

q10q1

1q00q1

2q03q1

1q0

Así 110101 está en L(M).


2.3 Autómatas Finitos No DeterminísticosSi se modifica el módelo del AFD y se permiten cero, uno o mástransiciones de un estado bajo la misma entrada, entonces se llega aun nuevo módelo de autómata llamado autómata finito nodeterminístico (AFND). Un diagrama de transición de un AFND semuestra en la figura 2.2:


q1

q2

q0

q3

q4

00

1

1

Inicio

01

01

01

Figura 2.2


Una secuencia de entrada a1a2 · · · an es aceptada por un AFND siexiste una secuencia de transición, que corresponda a la secuencia deentrada, que lleva del estado inicial a algún estado final. Por ejemplo,01001 es aceptada por el AFND de la figura 2.2 porque existe unasecuencia de transiciones q0, q0, q0, q3, q4, q4 etiquetadas por0,1,0,0,1.


Formalmente denotamos a un AFND por una 5-tupla (Q,Σ, δ, q0, F ),donde Q,Σ, q0 y F son los estados, entradas, estado inicial y estadosfinales, respectivamente, y δ es una transformación de Q × Σ a 2Q,es decir, δ(q, a) es el conjunto de todos los estados p tal que existeuna transición a de q a p.


Ejemplo:Considere el AFND de la figura 2.2, su función de transición δ estadada por:

EntradasEstados 0 1

q0 {q0, q3} {q0, q1}q1 ∅ {q2}q2 {q2} {q2}q3 {q4} ∅q4 {q4} {q4}


Y como entrada 01001.

δ(q0, 0) = {q0, q3}

δ(q0, 01) = δ(δ(q0, 0), 1) = δ({q0, q3}, 1) =

δ(q0, 1) ∪ δ(q3, 1) = {q0, q1}

Similarmente,δ(q0, 010) = {q0, q3}

δ(q0, 0100) = {q0, q3, q4}

yδ(q0, 01001) = {q0, q1, q4}


Equivalencia entre AFD y AFNDComo cada AFD es un AFND se tiene que las clases de lenguajesaceptados por un AFND incluye los conjuntos regulares (lenguajesaceptados por un AFD). Recíprocamente, demostraremos que paracada AFND se puede construir un AFD equivalente que acepte elmismo lenguaje.


Teorema (2.1)

Sea L un conjunto aceptado por un AFND. Entonces existe un AFDque acepta a L.

Demostración.Idea de la demostración: Lo que se hace es reemplazar al conjuntode estados Q por 2Q. De esta manera la relación δ : Q ×∆→ 2Q seconvierte en una función. Sin embargo, ahora el dominio debe sercambiado de la siguiente manera: se reemplaza δ por la siguientefunción:

δ̂ : 2Q × Σ→ 2Q

δ̂(A, s) =⋃

q∈A

δ(q, s)


Ejemplo:

Sea M = ({q0, q1}, {0, 1}, δ, q0, {q1}) un AFND dondeδ(q0, 0) = {q0, q1}, δ(q0, 1) = {q1}, δ(q1, 0) = ∅, δ(q1, 1) = {q0, q1}.Podemos construir un AFD M ′ = (Q, {0, 1}, δ′, [q0], F ) que acepte aL(M) como sigue:Q consiste de todos los subconjuntos de {q0, q1}. Denotamos loselementos de Q por [q0], [q1],[q0, q1] y ∅. Como δ(q0, 0) = {q0, q1},se tiene:

δ′([q0], 0) = [q0, q1]


Del mismo modo,δ′([q0], 1) = [q1]

δ′([q1], 0) = ∅

δ′([q1], 1) = [q0, q1]

Naturalmente,δ′(∅, 0) = δ′(∅, 1) = ∅


Finalmente,δ′([q0, q1], 0) = [q0, q1]

ya queδ({q0, q1}, 0) = δ(q0, 0) ∪ δ(q1, 0) =

{q0, q1} ∪ ∅ = {q0, q1}

yδ′([q0, q1], 1) = [q0, q1]

ya queδ({q0, q1}, 1) = δ(q0, 1) ∪ δ(q1, 1) =

{q1} ∪ {q0, q1} = {q0, q1}

El conjunto F de estados finales es {[q1], [q0, q1]}


Tarea:Escribir un programa que acepte como entrada un AFND y de comosalida un AFD.


2.4 Autómata Finito con movimientos-ǫSe puede extender el modelo del AFND para incluir transiciones conentrada vacía ǫ. Por ejemplo, la palabra 002 es aceptada por elAFND de la figura 2.3 con el camino q0, q0, q0, q1, q2, q2 con arcosetiquetados 0,0,ǫ,ǫ,2.


q0

q q1 2

1 2

Figure 2.3

0

Startε ε


Formalmente, se define un autómata finito no determinístico conmovimientos-ǫ como una 5-tupla (Q,Σ, δ, q0, F ) donde δ es lafunción transición que transforma Q × (Σ ∪ {ǫ}) a 2Q, es decir,δ(q, a) consiste de todos los estados p tal que existe una transiciónetiquetada por a de q a p, donde a es ǫ o un símbolo en Σ.


Ejemplo:La función de transición del AFND de la figura 2.3 es:

EntradasEstados 0 1 2 ǫ

q0 {q0} ∅ ∅ {q1}q1 ∅ {q1} ∅ {q2}q2 ∅ ∅ {q2} ∅


Denotamos por ǫ-CERRADURA(q) al conjunto de todos los vérticesp tales que exista un camino de q a p etiquetado por ǫ.

Ejemplo:

En la figura 2.3, ǫ-CERRADURA(q0) = {q0, q1, q2}.


Seaǫ-CERRADURA(P) =

⋃

q∈P

ǫ-CERRADURA(q)

donde P es un conjunto de estados.

Definimos a δ̂ como:

1 δ̂(q, ǫ) = ǫ-CERRADURA(q)

2 Para w ∈ Σ∗ y a ∈ Σ,

δ̂(q,wa) = ǫ-CERRADURA(P)

donde P = {p | r ∈ δ̂(q,w), p ∈ δ(r , a)}

3 δ(R , a) =⋃

q∈R δ(q, a)

4 δ̂(R ,w) =⋃

q∈R δ̂(q,w) para el conjunto de estados R .


Se define a L(M), el lenguaje aceptado por M = (Q,Σ, δ, q0, F )como {w | δ̂(q0,w) contiene un estado en F}.

Ejemplo:Considere el AFND de la figura 2.3,

δ̂(q0, ǫ) =

ǫ-CERRADURA(q0) = {q0, q1, q2}

Así

δ̂(q0, 0) = ǫ-CERRADURA(δ(δ̂(q0, ǫ), 0))


= ǫ-CERRADURA(δ({q0, q1, q2}, 0))

= ǫ-CERRADURA(δ(q0, 0)

∪δ(q1, 0) ∪ δ(q2, 0))

= ǫ-CERRADURA({q0} ∪ ∅ ∪ ∅)

= ǫ-CERRADURA({q0}) = {q0, q1, q2}

Entonces

δ̂(q0, 01) = ǫ-CERRADURA(δ(δ̂(q0, 0), 1))

= ǫ-CERRADURA(δ({q0, q1, q2}, 1))

= ǫ-CERRADURA({q1}) = {q1, q2}


Equivalencia entre AFND con y sin movimientos-ǫ

Teorema (2.2)

Si L es aceptado por un AFND con transiciones-ǫ, entonces L esaceptado por un AFND sin transiciones-ǫ.


Demostración.Sea M = (Q,Σ, δ, q0, F ) un AFND con transiciones-ǫ. Se construyeM ′ = (Q,Σ, δ′, q0, F

′) donde:

F ′ =

F ∪ {q0} si ǫ-CERRADURA(q0)contiene estados de F

F en otro caso

y δ′(q, a) es δ̂(q, a) para q ∈ Q y a ∈ Σ. Note que M ′ no tienetransiciones-ǫ.La demostración se termina demostrando por inducción en |x | queδ′(q0, x) = δ̂(q0, x). Sin embargo, esto no es cierto para x = ǫ,porque δ′(q0, ǫ) = {q0} y δ̂(q0, ǫ) = ǫ-CERRADURA(q0)


Ejemplo:Si aplicamos la construcción del Teorema 2.2 a la figura 2.3, con lasiguiente función de transición δ̂(q, a)

EntradasEstados 0 1 2

q0 {q0, q1, q2} {q1, q2} {q2}q1 ∅ {q1, q2} {q2}q2 ∅ ∅ {q2}

El conjunto de estados finales F ′ incluye a q2 porque esta en F ytambién incluye a q0, porque ǫ-CERRADURA(q0) y F tienen unestado q0 en común. El diagrama de transición para M ′ se muestraen la figura 2.4.


q0

q qInicio

0

1 2

1 2

0,1 1,2

0,1,2

Figura 2.4


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