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"CURSO DE AVALIAÇÃO S0CIOECONÔMICA DE PROJETOS"
BRASÍLIABRASIL
CLAUDIA NERINA [email protected]
[email protected] - 2009
CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRAPARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS
• Valor do dinheiro ao longo do tempo.• Juros e taxas de juros.• Valores atuais e futuros num único valor monetário e de uma série de valores iguais ou diferentes.
“MOMENTO” Y “PERÍODO”
Momento: INSTANTE no tempo(exemplo: 30 de Julio de 2003)
Período: tempo decorrido entre dois momentos do projeto (exemplo: 30/7 á 30/8 de 2003)
Fluxo mensal
Momento 0 Momento 2Momento 1 Momento n
Segundo mêsPrimeiro mês
VALOR DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO
IDEIA CENTRAL: O valor atribuído a um real hoje é maior que o valor dado a um real disponível no futuro.
Não é o mesmo:R$ 100 hoje Promessa de
R$ 100 num mês
CAUSAS DESTA DIFERENÇA:
Impaciência Risco Oportunidades de investimento
CONCEITO DE JUROS
O QUÉ É JUROS?
Os juros é esse “adicional” que se pode obter se o dinheiro for aplicado numa alternativa de
investimento.TAXA DE JUROS
É uma forma de medir qual porcentagem representa os juros em relação ao capital investido.
Por exemplo:Invisto R$ 1.000Obtenho: R$ 60
Taxa: 60/1.000 = 0,06 = 6%
Importante: definir bem o período
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
1. JUROS SIMPLES
Os juros se recebem sobre o capital investido originalmente. Suposto: os juros são retirands em cada período.
Exemplo numérico: Se toma emprestado R$ 1.000 para ser devolvido em três anos, a juros simples. Taxa anual de juros: 10%
Período Dívida ao início
do ano Juros anuais
Dívida ao final do ano
1 1.000 100 1.100 2 1.100 100 1.200 3 1.200 100 1.300
Capital inicial (A) = 1.000
Capital final ou valor ou montante total (MT) = 1.300
Juros totais (IT) = MT – A = 300
Forma de calcular o IT:
300 = 1.000 . 3 . 0,10
Fórmula “principal”IT = A . n . TP
Fórmulas derivadas:
Montante total: MT = A + IT = A + (A . n . TP) = A . ( 1 + n . TP)
Taxa de juros: TP = IT / ( A . n)
2. JUROS COMPOSTOS
Os juros são recebidos sobre o capital investido originalmente ao qual vão sendo acumulados os juros que se vão ganhando. Suposto: os juros não são retirados em cada período.
Exemplo numérico: Se toma emprestado R$ 1.000 a ser pago em três anos, a juros compostos. Taxa anual de juros: 10%
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
Período Dívida ao início
do ano Juros anuais
Dívida ao final do ano
1 1.000 100 1.100 2 1.100 110 1.210 3 1.210 121 1.331
Capital inicial (A) = 1.000
Capital final ou valor ou MONTANTE TOTAL (MT) = 1.331
Juros totais (IT) = MT – A = 331
Forma de calcular o MT:
1.331 = 1.000 . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) = 1.000 . (1+ 0,10)3
Fórmula “principal”MT = A . ( 1 + i ) n
Fórmulas derivadas:
Juros totais: IT = MT - A = A . (1+i)n - A = A . [(1+i)n – 1]
Capital inicial: A = MT / (1+i)n
Taxa de juros: i = (MT / A)(1/n) - 1
NA AVALIAÇÃO DE PROJETOS:
Utiliza-se sempre JUROS COMPOSTOS O capital inicial (A) é denominado de VALOR PRESENTE (VP) O montante total (MT)é denominado de VALOR FUTURO (VF)
Portanto, centramos a atenção em duas fórmulas:
VF = VP . (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
EQUIVALÊNCIA DAS TAXAS DE JUROS
1. TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas de juros são proporcionais quando estando referidas a períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital inicial e se capitalizado a juros simples produzem o mesmo montante total em igual lapso de tempo.
Utilizando o exemplo anterior (juros simples)
Taxa 10% anual: MT = 1.000 . ( 1 + 3 . 0,10 ) = 1.300
Taxa 30% de 3 anos: MT = 1.000 . ( 1 + 1 . 0,30 ) = 1.300
No mesmo lapso (três anos) produzem o mesmo montante total. Pelo tanto, estas duas taxas são proporcionais.
Como se obtém outras taxas proporcionais a estas duas?
Supõe-se que se deseja obter uma taxa proporcional semestral à taxa mensal de 1%. O procedimento tem três etapas:
Primeira etapa: igualização do prazo
• Neste caso, o prazo se iguala em seis meses. • A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez.
Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso
• Mensal: MT = A . ( 1 + 0,01 . 6 )• Semestral: MT = A . ( 1 + TPsemestral . 1 )
Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo da TP
A . ( 1 + 0,01 . 6 ) = A . ( 1 + TP semestral . 1 )
1,06 = 1 + TP semestral . 1
(1,6 – 1) = TP semetral = 0,06
2. TAXAS EQUIVALENTES
As taxas de juros são equivalentes quando são referidas a períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital inicial e capitalizado a juros COMPOSTOS produzem o mesmo montante total em igual lapso de tempo
Utilizando o exemplo anterior (juros compostos)
Taxa 10% anual: MT = 1.000 . ( 1 + 0,10 )3 = 1.331
Taxa 33,1% três anos: MT = 1.000 . ( 1 + 0,331) = 1.331
No mesmo lapso (três anos), as taxas produzem o mesmo montante total. Portanto, estas duas taxas são equivalentes.
Como se obtém outras taxas equivalentes a estas duas?
Supõe-se que se deseja obter una taxa semestral equivalente à taxa mensal de 1%. O procedimento tem três etapas:
Primeira etapa: igualização do prazo
• Neste caso, o prazo se iguala em seis meses. • A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez.
Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso
• Mensal: MT = A . ( 1 + 0,01)6
• Semestral: MT = A . ( 1 + i semestral)1
Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo de i
( 1 + 0,01 )6 = ( 1 + i semestral)1
( 1,06152015) - 1 = i semestral
i semestral = 0,0615
Passar de uma taxa NOMINAL para outra EFETIVA
Taxa nominal anual
Taxa periódica proporcional
Taxa efetiva anual
Por proporcionalidade de taxas
Por equivalência de taxas
Um elemento essencial para poder passar de uma taxa nominal a uma efetiva é a
unidade de tempo definida para a capitalização de juros
Os resultados são diferentes
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Exemplo: Taxa nominal anual: 20%
Taxa mensal proporcional: TP anual = TP mensal x 12
0,2 / 12 = 0,0167 = TP mensal
Taxa efetiva anual: (1 + 0,0167)12 - 1 = TEA
0,2194 = TEA 21,94% > 20%
A capitalização é mensal
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Taxa bimestral proporcional: TP anual = TP bimestral x 6
0,2 / 6 = 0,0333 = TP bimestral
Taxa efetiva anual: (1 + 0,0333)6 - 1 = TEA
0,2174 = TEA21,74% > 20%
A TEA resultante com capitalização bimestral é menor que a TEA com capitalização mensal.Isto ocorre pois os juros passam a formar parte do capital a cada período e sobre quais são cobrados novos juros.
Exemplo: Taxa nominal anual: 20%
A capitalização é bimestral
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Taxa anual proporcional: TP anual = 20%
Taxa efetiva anual: (1 + 0,2)1 - 1 = TEA
0,20 = TEA
A TEA é igual a TNA, quando a capitalização é anual.
Exemplo: Taxa nominal anual: 20%
A capitalização é anual
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Taxa mensal proporcional: TP mensal = 1%
Taxa efetiva bimestral: (1 + 0,01)2 - 1 = i bimestral
0,0201 = i bimestral
Exemplo: Taxa nominal anual: 12%
A capitalização é mensal
Taxa efetiva mensal: (1 + 0,01) - 1 = i mensal
0,01 = i mensal
VALORES PRESENTES E VALORES FUTUROS
Valor futuro de uma soma presente
Valor presente de uma soma futura
Valor presente de um plano de prestações futuras diferentes
Valor presente de um plano de prestações iguais
Valor presente de um plano de prestações crescentes a uma taxa constante
1. VALOR FUTURO DE UMA SOMA PRESENTE
É o valor que essa soma (presente) terá ao final do tempo, considerando juros compostos.
Para efetuar o cálculo é necessário conhecer:
• A duração total do período• A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso• A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)
Soma presente (R$)
Valor Futuro (R$)
...JUROS...
Fórmula geral a aplicar
VF = VP . ( 1 + i ) n
Exemplo 1: Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de
2%?
VF = 150 . ( 1 + 0,02 )3 = 159,18
150 153 156,06 159,18
Exemplo 2: Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de 2%
durante dois meses e 5% no terceiro?
VF = 150 . ( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05 ) = 163,86
Se a taxa de juros muda o durante o lapso considerado, deve-se “separar” a fórmula geral
“CAPITALIZAÇÃO”
Fórmula geral a aplicar
VF = VP . ( 1 + i ) n
Exemplo 3: Qual é o valor futuro de R$ 100 ao final de 14 meses, se a taxa de juros efetiva semestral
é de 10%?
O primeiro a fazer é encontrar a taxa efetiva mensal:
i mensal = (1,1)(1/6) – 1 = 1,6012%
O valor futuro no momento 14 resulta:
VF14 = 100 . ( 1,016012)14 = 124,91
2. VALOR PRESENTE DE UMA SOMA FUTURA
É o valor que essa soma (futura) terá HOJE. Calcula-se utilizando juros compostos.
Para efetuar o cálculo é necessário conhecer:
• A duração total do período• A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso• A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)
Valor presente (R$)
Soma Futura (R$)
Fórmula geral a aplicar
VP = VF / ( 1 + i ) n
Exemplo 1: Qual é o valor presente de R$ 150 a receber dentro de três meses, se a taxa de juros mensal é de 2%?
VP = 150 / ( 1 + 0,02 )3 = 141,35
141,35 144,17 147,06 150
Exemplo 2: Qual é o valor presente de R$ 150 após três meses, si se estima que a taxa de juros mensal
será 2% durante dois meses e 5% no terceiro?
VP = 150 / [( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05) ] = 137,31
Se a taxa de juro muda durante o lapso considerado, deve-se “separar” a fórmula geral
“ATUALIZAÇÃO”
3. VALOR PRESENTE DE FUTURAS E DIFERENTES SOMAS DE DINHEIRO
É a soma dos valores presentes de cada soma futura (utilizando juros compostos).
SF1SF2
SF3SFn
VP1
VP2
VP3
VPn
...
...
+
VP
Cada una das somas deve ser ATUALIZADA devidamente
Exemplo: Qual é o valor presente das seguintes duas somas a receber no futuro: R$ 200 ao final de 10 meses e R$ 400 ao final de 18 meses? A taxa efetiva mensal: 10%.
200 400
11,77)10,1(
200)200$R(VP
10
+
94,71)10,1(
400)400$R(VP
18
05,149)10,1(
400
)10,1(
200)conjunto(VP 1810
4. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES IGUAIS
É a soma dos valores presentes de cada prestação(utilizando juros compostos).
O que é uma prestação? É uma soma de dinheiro que será paga ou recebida regularmente ao largo do tempo.
• Devem ser iguais em montante• Devem estar uniformemente distribuídas no tempo
Tipos de prestações
De acordo ao seu número:• Denominam-se ANUALIDADES se são prestações finitas • Denominam-se PERPETUIDADES se são prestações infinitas
De acordo ao momento de pagamento da primeira delas:• No principio do período denominam-se ADIANTADAS• Ao final do período denominam-se VENCIDAS• Em qualquer outro momento, denominam-se DIFERIDAS
a) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE VENCIDA
Diminuindo a segunda da primeira:
....)i1(
C
)i1(
CVP
2
0 1 2
1°C 2° C
....)i1(
C
)i1(
CC)i1(VP
2
CVP)i1(VP i
CVP
b) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE ADIANTADA
É como você atualizar todo o fluxo para o “momento –1” e em seguida capitalizar por um
período
0 1 2
1°C 2° C
)i1(i
CVP
Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral?
250 250 250 ……
Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações semestrais, se forem adiantadas?
250 250 …….250
VP = 250 / 0,10 = 2.500
VP = (250 / 0,10) . 1,1 = 2.500 . 1,1 = 2.750
Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo anual?
Primeiro: deve-se calcular a taxa efetiva semestral, já que as prestações são semestrais: 4,88% (equivalente à taxa de 10% anual).
Logo: a cota VP = 250 / 0,0488 = 5.122,02
Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais de R$ 250, se a primeira deve ser paga após 14 meses, calculadas a 10% efetivo anual?
c) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE VENCIDA
n)i1(
C....
)i1(
C
)i1(
CVP
2
1n)i1(
C....
)i1(
C
)i1(
CC)i1(VP
2
Diminuindo a segunda da primeira:
n)i1(
CCVP)i1(VP
i)i1(
1)i1(C
)i1(
11
i
CVP n
n
n
1° C 2° C Enésima
d) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE ADIANTADA
Enésima
0 1 2 n-1
1°C 2° C
)i1(i)i1(
1)i1(C)i1(
)i1(
11
i
CVP n
n
n
Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral?
250 250 250 250250 250
Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações semestrais, se forem adiantadas?
250 250 250 250 250250
82,088.110,0)10,1(
1)10,1(250VP 6
6
70,197.1)10,1(10,0)10,1(
1)10,1(250VP 6
6
Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250 calculadas a 10% efetivo semestral, se a primeira delas for paga após 2 meses?
Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250 calculadas a 1% efetivo mensal, se a primeira delas deve ser paga após 12 meses?
5. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES CRESCENTES A UMA TAXA CONSTANTE
Conceito 0 1 2 … n
Distribuição das cotas C C·(1+ ) … C·(1+ ) n-1
Taxa constante de crescimento:
C é o valor correspondente à primeira prestação/cota.
.)i()i1(
)1()i1(C
)i1(
)1(1
i
CVP
n
nn
n
n
.i
CVP
Se o número de prestações for infinito:
Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitos benefícios líquidos de transitar, calculadas a 10% efetivo anual?
Conceito 0 1 2 3 a4
Benefício líquido de transitar 95.000 96.900 98.838 ...
Taxa constante de crescimento: 2% anual
.1.187.500$R
)02,01,0(
000.95VP
Exemplo 2: ¿Qual é o valor presente dos benefícios se seu número for 20?
.925.209,02 $R
)1,1(
)02,1(1
)02,01,0(
000.95VP
20
20