CURVE IN COORDINATE POLARI USANDO GEOGEBRA

• Si ricorda che il punti si inseriscono con la sintassi

!

6;"

4

#

$ %

&

' ( dove pigreco va

inserito con la parola pi • Che le curve vanno inserire in forma parametrica, con la sintassi del

comando Curva che è la seguente: Curva[Espressione e1, Espressione e2, Parametro t, Numero a, Numero b]: Questo comando definisce e traccia la curva in forma parametrica avente la x definita dall'espressione e1 e la y dall'espressione e2 (dipendenti dal parametro t nell’intervallo [a, b]

• Ad esempio la cardioide

!

" =1# cos$ va inserita Curva[(1-cos(t)) cos(t), (1-cos(t)) sin(t),t,0,2 pi]

• Si possono utilizzare degli slider per modificare rapidamente le curve. Utilizzare gli slider soprattutto in presenza di parametri.

ALCUNE CURVE INTERESSANTI

SPIRALE UNIFORME Si chiama spirale uniforme una spirale il cui passo, cioè la distanza tra una spirale e la successiva, è costante. Tale curva è nota come spirale di Archimede e ha equazione

!

" = m# con m numero che determina la diversa forma della spirale. Essa si genera ad esempio quando un punto mobile P si muove a velocità uniforme su un’asta che a sua volta ruota uniformemente attorno a un punto con velocità angolare

costante. Altro esempio: un elettrone ruota con velocità angolare costante e contemporaneamente il raggio della traiettoria aumenta unformemente.

Nella SPIRALE LOGARITMICA o equiangolare il passo non è costante ma varia seguendo una ben determinata legge. Tale curva, studiata inizialmente da Cartesio e Torricelli, ha equazione

!

" = m# . Ad esempio: un elettrone

immerso in una camera a bolle può venir sollecitato in modo che la sua traiettoria sia una spirale non a passo costante: l’elettrne ruota con velocità angolare costante ma durante la rotazione la distanza dimezza ogni secondo. Si noti che se I

valori di m sono in successione aritmetica I valori di

!

" sono in successione geometrica. Tale spirale è detta logaritmica perchè, pur non essendo costante il passo, è costante il rapporto dei passi. Si noti che la spirale logaritmica è infinita nei due versi

La CICLOIDE è la curva generata da un cerchio che rotola, senza strisciare, lungo

una retta. Se il cerchio rotola, senza strisciare, non su una retta ma su una circonferenza otterremo l’IPOCICLOIDE se il cerchio è all’interno della circonferenza, e EPICICLOIDE se è all’esterno. Al variare del raggio del cerchio si ottengono diverse

curve. L’ASTEROIDE, cioè l’opocicloide che si ottiene quando il raggio del cerchio è è ¼ del raggio della circonferenza fissa;

!

x = 4acos3"

y = 4asin3"

# $ %

la CARDIOIDE che è l’epicicloide che si ottiene quando il raggio del cerchio mobile è uguale a quello della circonferenza fissa.

!

" = a(1# cos$ )

La LEMNISCATA DI BERNOULLI è il luogo dei punti del piano tali che il prodotto delle distanze da due punti fissi detti fuochi è uguale al quadrato della

semidistanza focale.

!

" = a cos2#

ESERCIZI

1. Scrivere tutte le equazioni delle seguenti curve

2. Disegnare le seguenti coniche prestando attenzione alle variazioni

dell’equazione e del disegno

a.

!

" =1

1+3

4cos#

!

" =1

1#3

4cos$

b.

!

" =1

1+3

4cos#

!

" =1

1+1

2cos#

!

" =1

1+1

4cos#

!

" =1

1+ 0,1cos#

c.

!

" =1

1+1

2cos#

!

" =2

1+1

2cos#

d.

!

" =1

1+ 2cos#

!

" =1

1# 2cos$

e.

!

" =1

1+ 6cos#

!

" =1

1+ 4cos#

!

" =1

1+ 2cos#

!

" =1

1+3

2cos#

f.

!

" =1

1+ 2cos#

!

" =2

1+ 2cos#

g.

!

" =1

1# sin$ applicare rotazione di

!

"

2;";3"

2 e farne i grafici

h.

!

" =

1

2

1# sin$

!

" =1

1# sin$

!

" =2

1# sin$

i.

!

" =

1

2sin#

1$ sin2#

!

" =sin#

1$ sin2#

!

" =2sin#

1$ sin2#

3. Disegnare con geogebra le seguenti curve

a. Spirale iperbolica

!

" =1

#

b. Spirale logaritmica

!

" = e5#

c. Spirale di Galileo

!

" = 2 # 3$ d. Lumaca di Pascal

!

" = a(1+ 2cos# ) e. Cardioide

!

" = 3+ 2sin#

f.

!

" =b

sin#

g. Rosa a tre foglie

!

" = asin3# con a variabile h. Rosa a quattro foglie

!

" = asin2# con a variabile i. Leminiscata di Bernoulli

!

" = a cos2# con a variabile

4. Disegnare sullo stesso piano polare le seguenti spirali uniformi (di Archimede)

!

" =#

!

" = 2#

!

" =1

2#

!

" = #$

5. La cardioide ha equazione generale

!

" = a(1+ cos# ) . Disegnare il caso a=2.

Applicare poi la rotazione di

!

"

2;";3"

2, farne i grafici e scriverne le equazioni.

6. Equazione dell’asteroide

!

x = 4acos3"

y = 4asin3"

# $ %

. Disegnarlo per a=1 e a=2

7. Equazione della cicloide

!

x = r" # rsin"

y = r # rcos"

$ % &

. Disgnarla al variare di r.

8. Generalizzare l’esercizion 2 g,h disegnando

!

" = sinn# con a. n=1, 1/2, 1/4, 1/6 b. n=1/3, 1/5, 1/7 c. n=2/3, 2/5, 3/5, 3/7, ¾, 5/6, 5/7, 6/7,… d. osservare poi la differenza tra

!

" = sin(2n +1)# e

!

" = sin(2n)#

ALTRE CURVE CURIOSE

e. Parabola virtuale di Gregorio di San Vincenzo

!

x = 2acos2"

y = 2(acos" + bsin" )

# $ %

f. Concoide di Nicomede

!

" =a

cos#+ k

g. Cissoide de Diocle

!

" = asin# $ bsin

2#

cos#

h. Lituo

!

"2# = a2

i. Kappa

!

x = acos"

sin"y = acos"

#

$ %

& %

j. Apienne

!

x = r(1+ cos" )

y =r

1+ sin"

#

$ %

& %

k. Nefroide

!

x = a(3cos" # cos3" )

y = a(3sin" # sin3" )

$ % &

l. Strofoide

!

x = a(" 2 #1) /(" 2+1)

y = a" (" 2 #1) /(" 2+1)

$ % &

m. Strofoide si Freeth

!

" = 4acos2# cos#

n. Deltoide

!

x = 2acos" + acos2" )

y = 2asin" # asin2" )

$ % &

o. Bicorno

!

x = acos"

y =asin

2"

2 + sin"

#

$ %

& %

p. Clotoide

!

x = cos("t 2 /2)0

#

$ dt

y = sin("t 2 /2)0

#

$ dt

%

& '

( '