danmarks tekniske universitet - uniguld.dkuniguld.dk/wp-content/guld/dtu/fysik...

Danmarks Tekniske Universitet

10020

Fysik 1 2016-17

Noter

Lasse Herskind s153746

Indhold

1 Blandet gøgl uge 1 + cos, sin og tan 11.1 Cos, Sin og Tan - Glemmer sku altid det lort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Arealer og volumener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Lineær bevægelse 12.1 Bevægelse med konstant acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 Bevægelse i flere dimensioner 13.1 I 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Kasteparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2.1 Maksimal højde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 Maksimal rækkevidde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.3 Relativ bevægelse - Galileitransformation - Kig i slides ellers . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4 Kræfter og newtons love 24.1 Newtons love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.1.1 Newtons 1. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.2 Newtons 2. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.3 Newtons 3. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.2 Krafttyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.1 Tyngdekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.2 Normalkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.3 Snorekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.4 Friktionskræfter - Kontaktfriktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5 Cirkelbevægelse 35.1 Hastighed og vinkelhastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2 Frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.3 Omløbstid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.4 Acceleration og vinkelacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.5 Flere accelerationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.6 Bevægelsesligningerne for cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.7 Kraft i jævn cirkelbevægelse - Centripetalkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.8 Rullebevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Arbejde og energi 56.1 Formlen over dem alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.2 Konstant kraft, 1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.3 Arbejde i flere dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.4 Fjederkraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6.4.1 Energi i fjeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.5 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.6 Luftmodstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 Energibevarelse 67.1 Bevægelse i tyngdefelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 Vandret fjederbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.3 Mekanisk energi og konservative kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.4 Nulpunkt potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.5 Totalenergibevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.5.1 For konservative kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.5.2 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.6 Ligevægtspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.7 Vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8 Impuls og stødprocessor 78.1 Impuls (bevægelsesmængde, momentum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.2 Impulsbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.3 Impuls og kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.4 Stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.5 Elastisk stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8.5.1 1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.5.2 Relativ hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.5.3 2 dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8.6 Uelastisk stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.7 Restitutionskoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9 Legemer og partikelsystemer 89.1 Massemidtpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89.2 Massemidtpunktssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99.3 Raketligninen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

10 Rotation 910.1 Kinetisk energi i rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910.2 Inertimoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910.3 Parallelaksesætningen - Inertimoment om forskudt akse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910.4 Kraftmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

10.4.1 Virkningslinjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.5 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.6 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

10.6.1 Stive legemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.6.2 Impulsmomentbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010.6.3 Impulsmomentsætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

11 Statisk ligevægt 1011.1 Ligevægtsbetingelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.2 Tyngdepunkt / støttepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

12 Gravitation 1112.1 Lokal tyngdeacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2 Gravitationslov - Tyngdekraft mellem kuglesymmetriske legemer . . . . . . . . . . . . . . 1112.3 Superpositionsprincippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4 Kuglesymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5 Potentiel energi i tyngdefelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.6 Undvigelseshastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.7 Satellitbevægelse - Cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8 Keplers love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

12.8.1 Kepler I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8.2 Kepler II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.8.3 Kepler III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

13 Væsker og faste stoffer 1213.1 Elasticitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2 Tryk i væske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

13.2.1 Tryk versus højde - væske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.2 Tryk versus højde - gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.3 Opdrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

13.3 Væskestrømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.1 Kontinuitetsligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.2 Bernoullis ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

13.4 Viskositet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.4.1 Hagen-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

13.5 Reynolds tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

14 Harmoniske svinginger 1314.1 Energi i fjeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

14.1.1 Mekanisk energibevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Simpelt (matematisk) pendul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 Fysisk pendul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.4 Dæmpet svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

14.4.1 Løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4.2 Energitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

14.5 Drevet harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6 Drevet dæmpet harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

15 Elektrisk ladning 1615.1 Coulombs lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2 Elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.3 Felt for ladet skive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.4 Dipol i uniformt elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

16 Gauss lov og elektrisk potential 1716.1 Elektrisk flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2 Gauss lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.3 Elektrisk potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.4 Elektrisk felt og potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

16.4.1 Uendeligt lang leder/ladet stang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.2 Uendeligt lang plan ladningsfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.3 Superpositionsprincippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.4 For alle ladninger - Skriv eksempel s 28 kapitel 22+23 . . . . . . . . . . . . . . . . 18

16.5 Elektrisk potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5.1 Potential og felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5.2 Uniformt felt - slide 32 kapitel 22-23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

17 Kapacitans og dielektrika 1817.1 Kapacitor / Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2 Potentialforskel og kapacitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3 Elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

17.3.1 Forskellige geometrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.4 Energi i kapacitorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

17.4.1 Potentiel energi i en kapacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.4.2 Elektrisk energi-tæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

17.5 Netværk af kapacitorer - Slide 26 kapitel 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.5.1 Serieforbindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.5.2 Parallelforbindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

17.6 Dielektriske materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

18 Magnetiske kræfter og felter 2018.1 Fænomenologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.2 Elektriske og magnetiske kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.3 Magnetisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.4 Magnetisk kraft pa en ladet partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.5 Arbejde for magnetiske kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.6 Feltlinjer og lidt flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.7 Ladet partikel i konstant magnetfelt, lidt cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.8 Samtidige elektriske og magnetiske felter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.9 Kraft pa en strømførende ledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.10Spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.11Hall-effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

19 Magnetiske kilder 2219.1 Magnetisk felt fra strømme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2 Magnetisk felt for leder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.3 Kraft mellem to ledere, strømførende ledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.4 Felt fra cirkulær spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.5 Amperes lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.6 Solenoide - Lang tætvundet spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7 Magnetiske materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

19.7.1 Magnetisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.8 Magnetisk permabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

20 Temadag 2420.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2420.2 Præcession af proton i magnetisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

20.2.1 Omløbstid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

21 How to be legendary 25

22 Eksempler 2522.1 Energibetragtninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.2 Lineær bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.3 Kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622.4 Bevægelsesligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922.5 Cirkelbevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.6 Impuls og stødprocessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.7 Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3222.8 Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3322.9 Væske og faste stoffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3422.10Strøm - kapacitorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3522.11Elektriske felter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622.12Magnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 BEVÆGELSE I FLERE DIMENSIONER Lasse Herskind

1 Blandet gøgl uge 1 + cos, sin og tan

Tal og enheder

• x betydende cifre. (Vi garenterer at tallets x+ 1 ciffer er ±5)

• Uden decimalkomma antages det at tallet er eksakt

• Nar vi regner angiver vi kun decimaler som ved den mindst præcise.

1.1 Cos, Sin og Tan - Glemmer sku altid det lort

ho

a

θ

Figur 1: Cos, Sin og Tan

sin(θ) =o

hcos(θ) =

a

htan(θ) =

o

a

1.2 Arealer og volumener

Figur Areal Volumen OverfladeCylinder π · r2 A · h 2 · r · π · h+ (2A)

Kugle4

3· π · r3 4 · π · r2

Tabel 1: Figure og shit

2 Lineær bevægelse

2.1 Bevægelse med konstant acceleration

v(t) = v0 + a · t (1)

v2(t) = v20 + 2 · a · (s− s0) (2)

s(t) = s0 + v0 · t+a · t2

2(3)

s(t) = s0 +v(t) + v0

2· t (4)

3 Bevægelse i flere dimensioner

I flere dimensioner kan vi have en acceleration uden at have en ændring i farten.Dette vil være tilfældet hvis retningen ændres.

~aave =∆~v

∆t=~v2 − ~v1

t2 − t1

3.1 I 3D

~r(t) = x(t)x+ y(t)y + z(t)z ~v(t) =d~r

dt~a(t) =

d~v

dt

Side 1 af 41

4 KRÆFTER OG NEWTONS LOVE Lasse Herskind

3.2 Kasteparabel

v0 =

[v0 · cos(θ)v0 · sin(θ)

]x(t) = x0 + vx0 · t t =

x(t)− x0

vx0

y(t) = y0 + vy0 · t−1

2g · t2

y(x) = y0 +vy0

vx0· x− g

2 · v2x0

· x2

y(x) = y0 + tan(θ0) · x− g

2 · v20 · cos(θ0)2

· x2

3.2.1 Maksimal højde

H = y0 +v2y0

2g= y0 +

v20 · sin(θ0)2

2 · g(5)

3.2.2 Maksimal rækkevidde

R = 2 · vx0 · th =v2

0

g· sin(2θ0) (6)

3.3 Relativ bevægelse - Galileitransformation - Kig i slides ellers

~r1 = ~rm1 + ~rm → ~rm = ~r1 − ~rm1

↓~vo1 = ~vm1 + ~vom → ~vom = ~vo1 − ~vm1

Konstant ~vm1 → ~a01 = ~aom

4 Kræfter og newtons love

4.1 Newtons love

4.1.1 Newtons 1. lov

Hvis den resulterende kraft pa et legeme er nul vil legemet ligge stille, eller bevæge sig med konstanthastighed


Et legemes acceleration kan findes ud fra den resulterende kraft pa legemet ved formlen

~Fres = m · ~a (7)


To legemer pavirker hinanden med ligestore modsatrettede kræfter.

Side 2 af 41

5 CIRKELBEVÆGELSE Lasse Herskind

4.2 Krafttyper

Fundamentale kræfter MekanikkræfterTyngdekraft Tyngdekraft

Elektromagnetisk kraft

Kontaktkræfter:

• Normalkraft

• Snorekraft

• Friktionskraft

Svage kernekræfterStærke kernekræfter

4.2.1 Tyngdekraft

Vi antager at den er uafhængig af højden og ligefrem proportional med massen

~Fres = −m · g · y = m · ~a → ~a = −g · y

4.2.2 Normalkraften

Den kraft som forhinde at ting falder gennem faste overflader. Denne er altid vinkelret pa fladen. Nor-malkraften er kun i stand til at skubbe.

~Fnormal = −~Ftyngde

4.2.3 Snorekraft

Snorekraften formidler kraften. Trækket vil altid ga langs snoren.Snore kan kun trække, ikke skubbe

Snorspænding er her defineret som den ydre kraft ~Fy

~Fr = −~Fs~Fres = ~Fy + ~Fr = m · ~a = 0 → ~Fr = −~Fy

4.2.4 Friktionskræfter - Kontaktfriktion

Statisk friktion virker mod en ydre kraft ved stilstand, denne kraft er præcis stor nok til at modvirkebevægelse.

Ffriktion = µs ·N

Er vi i bevægelse vil vi istedet have en kinetisk friktion

Ffriktion = µk ·N (8)

5 Cirkelbevægelse

Polære koordinater

r =√x2 + y2 x = r · cos(θ)

θ = tan−1(yx

)y = r · sin(θ)

I polære koordinater benytter vi istedet for x og y nogle nye enhedsvektorer

r = x · cos(θ) + y · sin(θ) t = x · sin(θ) + y · cos(θ)

Side 3 af 41

5 CIRKELBEVÆGELSE Lasse Herskind

5.1 Hastighed og vinkelhastighed

v = r · ω ↔ ω =v

rω =

dθ

dt

5.2 Frekvens

ω = 2 · π · f

5.3 Omløbstid

T =2 · πω

5.4 Acceleration og vinkelacceleration

a = r · α ↔ α =a

r

5.5 Flere accelerationer

~a = r · α · t− ω2 · r · r~at = r · α

~ac = ω2 · r = ω · v =v2

r(9)

C

P

~v

~at

~ac

~a

~r

Figur 2: Kraftdiagram for cirkelbevægelser. Lidt skævt

5.6 Bevægelsesligningerne for cirkelbevægelse

De samme ligninger som for lineær bevægelse, her ændret sa de er med cirkelbevægelse, subsection 2.1

ω(t) = ω0 + α · tω2(θ) = ω2

0 + 2 · α · (θ − θ0)

θ(t) = θ0 + ω0 · t+α · t2

2

θ(t) = θ0 +ω(t) + ω0

2· t

Side 4 af 41

6 ARBEJDE OG ENERGI Lasse Herskind

5.7 Kraft i jævn cirkelbevægelse - Centripetalkraften

Her antages ingen vinkelacceleration α = 0

~a = −v2

r· r ⇒ ~Fres = −m · v

2

r· r

5.8 Rullebevægelse

Her star kontaktfladen stille, det er eksempelvis et hjul der ruller istedet for bare at glide henover jorden.Dette medfører statisk friktion mellem hjul og vej

v = r · ω

6 Arbejde og energi

6.1 Formlen over dem alle

W = F · d (10)

W = work F = force d = distance

W =∑i

Wi

6.2 Konstant kraft, 1 dimension

Ekin =m · v2

2(11)

∆Ekin = F ·∆s ∆Ekin =m · (v2

1 − v20)

2W = ∆Ekin

Husk At der skal være en ændring i energi for at der er et arbejde. Arbejdet vil altsa være nul hvisnoget bevæger sig i konstant hastighed

6.3 Arbejde i flere dimensioner

W =

∫~F · d~r = ∆Ekin

6.4 Fjederkraften

~Fs = −x · k · (x− x0)

W = −k · (x1 − x0)2

2

6.4.1 Energi i fjeder

Potentialfunktion

U(x) =1

2· k · x2 (12)

6.5 Effekt

P =dW

dtP = ~F • ~v

Side 5 af 41

7 ENERGIBEVARELSE Lasse Herskind

6.6 Luftmodstand

Fdrag =cd ·A · ρ · v2

2

Fdrag + Ftyngde =cd ·A · ρ · v2

2−m · g = 0 → vmax =

√2 ·m · gcd ·A · ρ

7 Energibevarelse

7.1 Bevægelse i tyngdefelt

Wg = −m · g · (y2 − y1) = K2 −K1

U(y) ≡ mgyWg = −(U(y2)− U(y1)) = K2 −K1

K2 + U(y2) = K1 + U(y1)

7.2 Vandret fjederbevægelse

Figur 3: Fra slides

U(x) ≡ 1

2k(x− x0)2

Wab = −(U(x1)− U(0)) Wbc = −(U(−x1)− U(x1))

Wac = Wab +Wbc

Med friktion

U(x) ≡ 1

2k(x− x0)2 f = m · g · µk

Wab = −(U(x1)− U(0))− fx1 Wbc = −(U(−x1)− U(x1))− fx1 · 2Wac = Wab +Wbc

7.3 Mekanisk energi og konservative kræfter

En kraft er konservativ hvis den er uafhængig af vejen mellem to punkter.

7.4 Nulpunkt potentiel energi

Vi kan frit vælge nulpunkter for potentiel energi.

Side 6 af 41

8 IMPULS OG STØDPROCESSOR Lasse Herskind

7.5 Totalenergibevarelse

7.5.1 For konservative kræfter

∆Emek = ∆K + ∆U = 0

7.5.2 Generelt

Wf er arbejdet for ikke-konservative kræfter

∆Emek = ∆K + ∆U = Wf

Etotal = Emek + Erest ∆Erest = −Wf

∆Etotal = ∆Emek + ∆Erest = 0

7.6 Ligevægtspunkter

F (x) = −dUdx

I et ligevægtspunk, xmin, er F (xmin) = 0.Stabilt vs. ustabilt. I et stabilt ligevægtspunkt vil vi nærme os ligevægtspunktet hvis vi er nær, ustabilt

vil vi flyve væk.

7.7 Vendepunkter

Et vendepunkt er der hvor den kinetiske energi er 0.

8 Impuls og stødprocessor

8.1 Impuls (bevægelsesmængde, momentum)

~p = m · ~v (13)∫ t2

t1

~Fdt = ∆~p ~Fave =∆~p

t2 − t1

8.2 Impulsbevarelse

d~Ptotdt

= 0 ~Ptot =∑i

~pi

8.3 Impuls og kinetisk energi

Ekin =m · v2

2~p = m · ~v

Ekin =| ~p |2

2m

8.4 Stød

~p1i + ~p2i = ~p1f + ~p2f

∑j

~pij =∑j

~pfj

8.5 Elastisk stød

Et stød hvor den samlede kinetiske energi er bevaret.

| ~p1i |2

2m1+| ~p2i |2

2m2=| ~p1f |2

2m1+| ~p2f |2

2m2

Side 7 af 41

9 LEGEMER OG PARTIKELSYSTEMER Lasse Herskind

8.5.1 1 dimension

p1fx =m1 −m2

m1 +m2p1ix +

2m1

m1 +m2p2ix

p2fx =2m2

m1 +m2p1ix +

m2 −m1

m1 +m2p2ix

8.5.2 Relativ hastighed

v1fx =m1 −m2

m1 +m2v1ix +

2m2

m1 +m2v2ix

v2fx =2m1

m1 +m2v1ix +

m2 −m1

m1 +m2v2ix

8.5.3 2 dimensioner

Husk hertil at hvis en partikel ligger stiller og du skyder en anden en pa den og de har samme masse savil deres impulser nu være vinkelrette.

8.6 Uelastisk stød

I et fuldstændigt uelastisk stød har de to legemer samme hastighed efter stødet, og tabet af energi ermaksimalt.

R = 1 Elastisk stød

R =1

2Fuldstændig uelastisk stød

Da to elementer her fortsætter med samme hastighed kan dette regnes:

~vf =m1

m1 +m2· ~v1i +

m2

m1 +m2· ~v2i

Ki −Kf =1

2· m1 ·m2

m1 +m2· |~v1i − ~v2i|2

Efin = R · Eini

p1f = p1i1−√

2 ·R− 1

2p2f = p1i ·

1 +√

2 ·R− 1

2

8.7 Restitutionskoefficient

ε =|~v1f − ~v2f ||~v1i − ~v2i|

For stillestaende legeme 2

ε =√

2 ·R− 1

9 Legemer og partikelsystemer

9.1 Massemidtpunkt

~R =1

M

∑i

mi · ~r M =∑i

mi

~R =1

M

∑i

ρi∆V·∆V ~R =

1

M

∫V

~rρ(~r)dV

~P =d

dt

∑i

mi · ~ri = M · d~R

dt≡M~V

Side 8 af 41

10 ROTATION Lasse Herskind

Kræfter

~Fres,i = ~Fext,i +∑j 6=i

~Fj→i

d~P

dt=∑i

d~pidt

=∑i

~Fres,i =∑i

~Fext,i +∑i

∑j 6=i

~Fj→i

9.2 Massemidtpunktssætningen

Massemidtpunktets bevægelse er bestemt af de ydre kræfter alene via Newtons 2. lov

d~P

dt= M

d~V

dt= M

d2 ~R

dt2=∑i

~Fext,i

9.3 Raketligninen

~vr = vc · ln(mi

mf

)

10 Rotation

10.1 Kinetisk energi i rotation

Erot =1

2

5∑i=1

mi · v2i =

1

2

5∑i=1

mi · r2i · w2

i

Emek = Etrans + Erot Ekin =1

2M · v2 Erot =

1

2I · ω2 (14)

10.2 Inertimoment

Den energi det kræver for at et legeme bringes i bevægelse

I =

∫V

ρ (~r) r2⊥dV r⊥ = afstand til akse ω =

v

R

Figur 4: Inertimomenter

10.3 Parallelaksesætningen - Inertimoment om forskudt akse

Icm =

∫V

ρ(~r)r2⊥dV

I|| =

∫V

ρ(~r′)r′2⊥dV

′ = Icm +Md2 d = forskydning fra mcm

Side 9 af 41

11 STATISK LIGEVÆGT Lasse Herskind

10.4 Kraftmoment

Beskriver en krafts evne til at ændre rotationen pa et legeme om egen akse. Enheden som bruges omkraftmomentet er Newton meter, hvilket reelt er lig Joule.

τ = R · Ftan = I · α =∣∣∣~r × ~F

∣∣∣ ~τ = ~r × ~F (Nm/J) (15)

10.4.1 Virkningslinjer

En nemmere made at beregne τ frem for krydsprodukt vil være at gøre brug af virkningslinjen. Dettegøres ved at forlænge ~F og derefter finde den korteste afstand til massemidtpunktet (d). Vi kan nu beregnedenne som:

τ = F · r⊥ (16)

Husk at ~τres = 0 omkring massemidtpunkt, ikke nødvendigvis i andre punkter.

10.5 Effekt

P = τzωz

10.6 Impulsmoment

~L = ~r × ~p L = r · p

Herfra kan vi regne det resulterende kraftmoment:

~Fres =d~p

dt~τres =

d~L

dt

10.6.1 Stive legemer

~L = I · ~ω Ls = I · ωz~L = M · ~rcm × ~vcm + ~Lrot,cm

10.6.2 Impulsmomentbevarelse

Der er impulsmomentbevarelse hvis kraften virker i origo eller ~r er parallel med kraften.

10.6.3 Impulsmomentsætningen

Beskriver sammenhængen mellem vinkelacceleration og kraftmoment. Her kan du hurtigt komme over ogtænkte pa signaturligningen. Kig der hvis i tvivl.

τ = I · α

11 Statisk ligevægt

Handler om hvorvidt bygninger eller lignende bliver staende.Der ma altsa ikke være resulterende kræfter eller kraftmomenter.

11.1 Ligevægtsbetingelser

~Fres = ~0∑i

Fxi = 0∑i

Fyi = 0∑i

Fzi = 0

~τres = ~0∑i

τxi = 0∑i

τyi = 0∑i

τzi = 0

Side 10 af 41

12 GRAVITATION Lasse Herskind

11.2 Tyngdepunkt / støttepunkt

For at vurdere hvorvidt en bil vil tippe eller ej i forhold til en hældning kan vi tegne en lodret linje somgar gennem massemidtpunktet. Vil linjen ligge uden for støttepunkterne vil der være mulighed for attippe.

12 Gravitation

12.1 Lokal tyngdeacceleration

g =G ·MR+ h

2

h = højden af legemets overflade

12.2 Gravitationslov - Tyngdekraft mellem kuglesymmetriske legemer

F =G ·m1 ·m2

r2G = 6.67428 · 10−11Nm

2

kg2

12.3 Superpositionsprincippet

Skal vi regner tyngdekraften mellem flere end 2 legemer, kan vi blot lægge dem sammen. Husk dog herat vi gør det som vektorer sa en x-retning og en y-retning.

12.4 Kuglesymmetri

En masse inden for en kugleskal vil ikke blive pavirket af en tyngdekraft. En masse uden for kugleskallenvil blive pavirket at en tyngekraft som beregnet tidligere, nemlig med afstanden til centrum af kuglen.

12.5 Potentiel energi i tyngdefelt

Ug =−G ·M ·m

r

Wg =

∫ r2

r1

~Fg • d~r = −∆U = U(~r1)− U(~r2)

12.6 Undvigelseshastighed

vesc(R) =

√2 ·G ·Me

Re

12.7 Satellitbevægelse - Cirkel

Fg =Me ·m ·G

r2Fc = m · v

2

r

v =

√Me ·Gr

T =2 · π · rv

E = K + U =m ·Me ·G

2r− m ·Me ·G

r= −m ·Me ·G

2r=U

2

12.8 Keplers love

12.8.1 Kepler I

Planeter bevæger sig i ellipsebaner med solen i det ene brændpunkt.

Side 11 af 41

13 VÆSKER OG FASTE STOFFER Lasse Herskind

12.8.2 Kepler II

Lige store arealer overstryges i lige store tidsrum. Dette skyldes at solens impulsmoment er bevaret,Kapitel 12 slide 32.

12.8.3 Kepler III

Omløbstiden er proportional med længden af den halve storakse opløftet i 32

a =rmin + rmax

2T =

2π · a 32

√Gms

13 Væsker og faste stoffer

13.1 Elasticitetsteori

F

A= Mekanisk spænding / Stress

∆L

L= Tøjning / Strain

∆L

L,

∆V

V,

∆x

Lkaldes tøjning

F

A= Y · ∆L

LY = Young’s Modul

F

A= B · ∆V

VB = Kompressibilitetsmodul

F

A= G · ∆x

LG = Forskydningsmodul

13.2 Tryk i væske

Kraft fra indkommende molekyler fra begge sider.

p =dF⊥dA

∆p = ρ · g · h

13.2.1 Tryk versus højde - væske

F1 = −A · p1 Trykkraft fra toppen af volumenelementet, trykker ned

F2 = A · p2 Trykkraft fra bunden, trykker opad

m · g = ρ ·A · (y1 − y2) · g Trykker ned af

13.2.2 Tryk versus højde - gas

m = A ·∆h · ρ0 ·p

p0ρ(h) = ρ0 · e

−h·ρ0·g

p0

13.2.3 Opdrift

Opdriften er lig vægten af den væske der fortrænges.

13.3 Væskestrømning

Laminar = konstant strømining over tidTurbulent strømning = Kaotisk og tidsafhængig.

13.3.1 Kontinuitetsligning

V1 = V2 A1 · v1 = A2 · v2

Side 12 af 41

14 HARMONISKE SVINGINGER Lasse Herskind

13.3.2 Bernoullis ligning

Friktionsløs strømning med tryk- og højdeforskelle: Ændring i potentiel og kinetisk energi af et væskee-lement ma komme fra det arbejde der udføres af trykforskellen i strømningen.

dF = A(p+ dp)−A · p = A · dp

p1 + ρ · g · y1 +ρ · v2

1

2= p2 + ρ · g · y2 +

ρ · v22

2

13.4 Viskositet

Væskelag med forskellige hastighed har friktion imellem sig - viskositet.

13.4.1 Hagen-Poiseuille

Rv = π · r2 · v =π · r4 ·∆ · p

8 · η · l→ ∆p =

8 · η · l · vr2

r = radius rør l = længde af rør

13.5 Reynolds tal

Re =ρ · v · L

ηv = middel, L = tværsnit

Figur 5: Laminar ≤ 2000

14 Harmoniske svinginger

Partikel i fjeder: Periodisk bevægelse hvis der ikke er energitab

Amplitude(A) Størrelsen pa udsving fra centrum/start

Periode(T ) Tiden som en svingning tager

Frekvens(f)1

TAntal svingninger pr sekund

ω =

√k

mT =

2 · πω

f =1

T=

ω

2 · π(17)

Signaturligning

d2x

dt2= − k

m· x

Side 13 af 41


Harmonisk svingning

F = −k · x = m · ax

ax =d2x

dt2= −ω2 · x = − k

m· x

x(t) = A · sin(ωt+ θ0) ⇒ v(t) =dx

dt= A · ω · cos(ω · t+ θ0) ⇒ a(t) = −A · ω2 · sin(ω · t+ θ0)

x(0) = A · sin(θ0) v(0) = A · ω · cos(θ0)

θ0 = tan−1

(ω · x(t)

v(0)

)A =

√x2(0) +

v2(0)

ω2

14.1 Energi i fjeder

Potentialfunktion

U(x) =1

2· k · x2 (18)

14.1.1 Mekanisk energibevarelse

K + U =1

2·m · v2 +

1

2k · x2 = Emek

Emek =1

2m · v2(0) for x = 0

Emek =1

2· k ·A2 for x±A, v = 0

mv2(x) = k(A2 − x2

)⇒ v(x) = ±

√k

m· (A2 − x2) = ±ω ·

√A2 − x2

14.2 Simpelt (matematisk) pendul

Ft = −m · g · sin(θ) = m · at = m · l · d2θ

dt2

m · d2θ

dt2= −mg

lθ ⇒ d2θ

dt2= −g

lθ

T =2 · πω

= 2 · π ·

√l

gω =

√g

l

Generalt - For sma udsving

sin(θ) ≈ θF (x) ≈ F (x0) + (x− x0) · F ′(x0)

14.3 Fysisk pendul

τ = I · αz = I · d2θ

dt2⇒ d2θ

dt2=τ

I

τ = −m · g · sin(θ) · d ≈ −m · g · d · θ ⇒ d2θ

dt2= α = −m · g · d

I· θ = −ω2 · θ

θ(t) = A · sin(ω · t+ φ) ω =

√m · g · d

IT = 2 · π ·

√I

m · g · d

Side 14 af 41


14.4 Dæmpet svingning

b = dæmpningskonstanten

F = −k · x− b · vx ⇒ d2x

dt2= − b

m· dxdt− k

mx

ω0 =

√k

mωγ =

b

2m

14.4.1 Løsninger

Underdæmpning

x(t) = Ae−ωγt sin (ω′t+ θ0) ω′ =√ω2

0 − ω2γ

for b < 2 ·√km⇒ ω0 > ωγ

Kritisk dæmpning

x(t) = (x0 + t · C)e−ωγ ·t C = v0 + x0 · ωγfor b = 2 ·

√km⇒ ω0 = ωγ

Overdæmpning

x(t) = B · e−(ωγ+√ω2

γ−ω20)t + C · e−(ωγ+

√ω2

γ−ω20)t

B =x0

2− x0ωγ + v0

2 ·√ω2γ − ω2

2

C =x0

2+

x0ωγ + v0

2 ·√ω2γ − ω2

2

for b > 2 ·√km⇒ ω0 < ωγ

Hint Hvis vi kun skal se i forhold til amplituden sa kan vi bare tage denne ud for sig selv, vi fjerneraltsa bare sinus-delen

Kritisk er godt Den kritiske dæmpning vil være den hurtigste made at dæmpe svingningen helt.

14.4.2 Energitab

∆E = ∆K + ∆U = ∆Wandet

∆Wandet = −b · vx∆x ⇒ ∆Wandet

∆t= −b · vx ·

∆x

∆t= −b · v2

x

dE

dt= −b · v2

x

Tab pa en periode

Q ≡ 2 · π E

|∆E|≈ ω0

2 · ωγfor svag dæmpning ωγ ω0

14.5 Drevet harmonisk svingning

F (x, t) = −k · x+ Fd · cos(ωd · t) ⇒ d2x

dt2= − k

m· x+

Fdm· cos(ωd · t)

x(t) = B · sin(ω0 · t) + C · cos(ω0 · t) +Ad · cos(ωd · t)v(t) = ω0 · (B · cos(ω0 · t)− C · sin(ω0 · t))− ωd ·Ad · sin(ωd · t)

Ad =Fd

m · (ω20 − ω2

d)

x(0) = C +Ad v(0) = ω0 ·B fra begyndelsesbetingelserne

Side 15 af 41

15 ELEKTRISK LADNING Lasse Herskind

14.6 Drevet dæmpet harmonisk svingning

F (x, t) = −k · x− b · vx + Fd · cos(ωd · t) ⇒ d2x

dt2= − k

m· x− b

m· dxdt

+Fmaxm· cos(ωd · t)

Løses

Aγ =Fd√

m2 · (ω20 − ω2

d)2 + 4 · ω2d · ω2

γ

θγ =π

2− tan−1

(ω2

0 − ω2d

2 · ωd · ωγ

)x(t) = Aγ · cos(ωd · t− θγ)

15 Elektrisk ladning

• Elementarpartikler har elektrisk ladning - positiv eller negativ

• Modsatte ladninger tiltrækkes, ens frastødes

• ladning elektron og epsilon

e = 1.6 · 10−19 · C mproton = 1.67 · 10−27kg ε0 = 8.85 · 10−12 · C2

N ·m2

15.1 Coulombs lov

F =|q1q2|

4 · π · ε0 · r2C = (Coulomb)

1

4 · π · ε0= 9 · 109 · Nm

2

C2

15.2 Elektrisk felt

~E =~F0

q0

F0 =|qq0|

4 · π · ε0 · r2E =

F0

|q0|=

|q|4 · π · ε0 · r2

(19)

Ladningstæthed

dQ = 2 · π · σ · rdr σ =Q

πR2

15.3 Felt for ladet skive

Ex =σ

2 · ε0

1− 1√R2

x2+ 1

Ex ≈σ

2 · ε0for R >> x

For en uendelig flade med jævn ladningsfordeling homogent felt

Ex =σ

2 · ε0

15.4 Dipol i uniformt elektrisk felt

~F = ~F+ + ~F− = ~0

Side 16 af 41

16 GAUSS LOV OG ELEKTRISK POTENTIAL Lasse Herskind

Kraftmoment omkring midtpunkt af forbindelseslinjen

τ = τ+ + τ− = 2 · q · E · d2· sin(θ) = E · p · sin(θ) p = q · d

~τ = ~p× ~E

16 Gauss lov og elektrisk potential

16.1 Elektrisk flux

Flux inden for en kugleskal = 0, uden for en kugleskal defineres denne somq

ε0Flux siger noget om hvor meget der gar ”styrke”der gar ind og gar ud.Flux indføres som fladeintegralet af det elektriske felt vinkelret pa fladen.

Φ = ~E • ~A = ~E • (An) = E ·A · cos(θ)

Gennem lukket flade Husk her at der er to normalvektorer, som oftest vælger vi den som peger udfra fladen. Her har vi at der gar lige sa meget ind som der gar ud

Φ = −EA+ EA = 0

Kugleskal

Φ = E ·A =q

ε0E =

q

4 · π · ε0 · r2A = 4 · π · r2

16.2 Gauss lov

Φ =

∮ ∮~E • d ~A =

Q

ε0

Generelt

Φ =

∫~E • d ~A =

∫E cos(θ)dA

Lukket flade

Φ =

∮ ∮~E • d ~A =

∮ ∮E cos(θ)dA

16.3 Elektrisk potentiel energi

Ue =q1 · q2

4 · π · ε0 · r

Tre punktladninger

U =∑i<j

qi · qj4 · π · ε0 · rij

16.4 Elektrisk felt og potentiel energi

E =Q

4 · π · ε0 · r2Elektrisk felt fra Q

F = E · q0 =q0 ·Q

4 · π · ε0 · r2Elektrisk kraft pa testladning q0 fra Q (20)

U = q0 · V =q0 ·Q

4 · π · ε0 · rPotentiel energi for q0, Q

Side 17 af 41

17 KAPACITANS OG DIELEKTRIKA Lasse Herskind

16.4.1 Uendeligt lang leder/ladet stang

E =λ

2 · π · ε0 · rλ = ladningstæthed Q = λ · L (21)

16.4.2 Uendeligt lang plan ladningsfordeling

E =σ

2 · ε0

16.4.3 Superpositionsprincippet

Uq0 =q0

4 · π · ε0·∑i

qiri

16.4.4 For alle ladninger - Skriv eksempel s 28 kapitel 22+23

U =∑i<j

qi · qj4 · π · ε0 · rij

=1

4 · π · ε0·(q1 · q2

r12+q1 · q3

r13+q2 · q3

r23

)(22)

16.5 Elektrisk potential

V =Q

4 · π · ε0 · rV =

U

q0(23)

16.5.1 Potential og felt

Feltstryken er gradienten af potentialet.

~E = −5 V

16.5.2 Uniformt felt - slide 32 kapitel 22-23

U(y) = q0 · E · y V (y) = E · y

17 Kapacitans og dielektrika

17.1 Kapacitor / Kondensator

To ledere adskilt af et isolerende medie. Oplades ved at overføre ladning mellem de to ledere. Kapacitorener samlet set neutral.

17.2 Potentialforskel og kapacitans

Q = σ ·A

∆V = E · d =σ

ε0· d =

Q

Aε0· d

C =Q

∆V

C =Q

∆V←→ ∆V =

Q

C←→ Q = C ·∆V

17.3 Elektrisk felt

E =∆V

dE =

σ

ε0=

Q

A · ε0

Side 18 af 41

17 KAPACITANS OG DIELEKTRIKA Lasse Herskind

17.3.1 Forskellige geometrier

Figur 6: Slide 10 kapitel 24

17.4 Energi i kapacitorer

Arbejde for opladning (0 til Q), potential energi

W =

∫ Q

0

q

Cdq =

1

2C · (∆V )

2

17.4.1 Potentiel energi i en kapacitor

Ogsa kaldet elektrostatisk energi

U =Q2

2 · C=Q ·∆V

2=

1

2· C · (∆V )2

17.4.2 Elektrisk energi-tæthed

u =1

2

C · (∆V )2

A · d=

1

2ε0 · E2

17.5 Netværk af kapacitorer - Slide 26 kapitel 24

17.5.1 Serieforbindelse

Samme ladning (Q) pa C1 og C2

q

Ceq=∑i

qiCi

17.5.2 Parallelforbindelse

Samme potential(V) pa C1 og C2

Ceq =∑i

Ci

17.6 Dielektriske materialer

Dielektrisk permittivitet ε. Dielektrisk konstant κ

~Er = ~E − ~Ed =~E

κ=

σ

κ · ε0≡ σ

ε~E =

σ

ε0· x ε = κ · ε0

∆V = Er · d ⇒ C = κ · Cvac

Side 19 af 41

18 MAGNETISKE KRÆFTER OG FELTER Lasse Herskind

18 Magnetiske kræfter og felter

18.1 Fænomenologi

Rimeligt oplagt, + frastøder +, osv

18.2 Elektriske og magnetiske kræfter

F =|q1q2|

4 · π · ε0 · r2C = (Coulomb)

1

4 · π · ε0= 9 · 109 · Nm

2

C2

Coulombs lov fra 15.1

18.3 Magnetisk felt

Nord-enden af kompasnale peger i feltets retning.

18.4 Magnetisk kraft pa en ladet partikel

Krat pa en ladning q med en hastighed ~v i et magnetisk felt ~B. Enheden for ~B er Tesla

(N · sC ·m

)~F = q · ~v × ~B F =| q | ·v ·B · sin(θ)

Figur 7: Højrehandsregel for positiv ladning, brug venstre ved negativ

Husk Rent notationsmæssig bruges × hvis det er ind i planet og hvis det er ud af planet

18.5 Arbejde for magnetiske kræfter

W =

∫ ~r2

~r1

~F · d~r =

∫ t2

t1

~F · ~vdt ~F = q · ~v × ~B → ~F • ~v = 0

Den magnetiske kraft udfører intet arbejde.

18.6 Feltlinjer og lidt flux

Magnetiske feltlinjer peger i retning af det lokale felt. En kompasnal vil orientere sig med nord i retningaf feltet.

Side 20 af 41

18 MAGNETISKE KRÆFTER OG FELTER Lasse Herskind

Elektrostatik Feltlinjer slutter pa en ladning

Magnetisme Feltlinjer er altid lukkede - Ingen magnetisk ’ladning’.Fluxen ud af den lukkede flade vil altid være 0 for det magnetiske felt.∮ ∮

~B · d ~A = 0

18.7 Ladet partikel i konstant magnetfelt, lidt cirkelbevægelse

~F = q · ~v × ~B ⇒ ~F ⊥ ~v

F =| q | ·v ·B = m · v2

RR =

m · v| q | ·B

cyklotronradius ω =| q | ·Bm

18.8 Samtidige elektriske og magnetiske felter

~F = q · ~E + q · ~v × ~B

Fartudvælger - For at den samlede kraft bliver 0 Det er denne som skal bruges for at vi flyverlige igennem hastighedsfiltret.

v =E

B

18.9 Kraft pa en strømførende ledning

i =dQ

dtLadningsstrøm over tværsnit ~vd middelhastighed af ladningsbærere

n ladningsbærertæthed pr. volumen

dQ = n · q ·A · vd · dt ⇒ i =dQ

dt= n · q ·A · vd

~F = i · ~L× ~B = i · L ·B · sin(θ) ~L = vektor for strømleder (24)

For B-felt vinkeltret pa ledning

Samplet ladning Q = n · q ·A · L

Drifthastighed i = n · q ·A · vd → vd =i

n · q ·AMagnetisk kraft F = Q · vd ·B = i · L ·B

18.10 Spole

Hvis i tvivl om B, se pa Figure 9

Magnetisk moment

~µ = n · i ·A n = antal vindinger

Kraftmoment pa strømførende spole i magnetfelt

~τ = ~µ× ~B

Side 21 af 41

19 MAGNETISKE KILDER Lasse Herskind

Figur 8: Slide 41 kapitel 27

Potentiel energi af spole

dW = τdθ

U = −~µ • ~B = µ ·B · cos(θ)

18.11 Hall-effekt

Elektrisk polarisering i strømførende leder indtil elektrostatiske og magnetiske kræfter balancere.

q · E + q · vd ·B = 0 E = −vd ·B∆V = E · d i = A · n · q · vd

n · q =i

A · vd= − i ·B

A · E= − i ·B · d

A ·∆V

19 Magnetiske kilder

19.1 Magnetisk felt fra strømme

d ~B =µ0

4 · πi · d~s× r

r2dB =

µ0

4 · πi · ds sin(θ)

r2

Magnetisk felt fra strømfordeling - Biot-Savarts lov

~B =

∫d ~B =

µ0

4 · π

∫i · d~s× r

r2µ0 = 4 · π · 10−7 · Tm

A

Figur 9: Felt fra strømførende ledning

Side 22 af 41

19 MAGNETISKE KILDER Lasse Herskind

19.2 Magnetisk felt for leder

~B =µ0 · i1

2 · π · r⊥z (25)

Eksempel kan ses section 22.12.

19.3 Kraft mellem to ledere, strømførende ledning

~F1→2 =

∫i2d~l × ~B1 ⇒ F1→2 = i2 · L ·B =

µ0 · i1 · i2 · L2 · π · d

19.4 Felt fra cirkulær spole

~B =µ0 · ~µ

2 · π · (x2 +R2)32

=µ0 ·N · i ·R2

2 · (x2 +R2)32

19.5 Amperes lov

∮ ∮~E • d ~A =

q

ε0Elektrostatik∮ ∮

~B • d ~A = 0 Magnetostatik∮~B • d~s = µ0 · i Amperes lov

I ledning

i(r⊥) = itot ·r2⊥R2

B(r⊥) =µ0 · itot · r⊥

2 · π ·R2r⊥ < R

19.6 Solenoide - Lang tætvundet spole

B = µ0 · n · i

Felt uden for solenoide

BΦ =µ0 · i

2 · π · r

19.7 Magnetiske materialer

µ = i ·A = π · r2 · eT

= π · r2 · e · v2 · π · r

=e · v · r

2

L = m · v · r Impuls moment L = n · h

2 · π

µ =e · v · r

2=e · L2 ·m

= ne · h

4 · π ·m≡ n · µB

µB kaldes ogsa Bohr magneton

19.7.1 Magnetisering

~M =~µtotalV≡ χm ·

~B0

µ0≡ χm ~H

Side 23 af 41

20 TEMADAG Lasse Herskind

Felt i magnetisk materiale

~B = ~B0 + µ0 · ~M ≡= (1 + χm) · ~B0

19.8 Magnetisk permabilitet

I magnetiske materialer erstattes µ0 med µ

µ = (1 + χm) · µ0

20 Temadag

20.1 Spin

Lspin =

√3

4· h

2 · π~µspin = ±g · e · h

m· ~Lspin + for proton, − ellers

g mElektron 2 9.11 · 10−31 · kgProton 2.79 1.673 · 10−27 · kg

Neutron 1.91 1.675 · 10−27 · kg

Tabel 2: Elektroner, protoner, neutroner, vægt / masse og ladning

20.2 Præcession af proton i magnetisk felt

d~L

dt= ~τ ~τ = ~µ× ~B

20.2.1 Omløbstid

T =4 · π ·mp

gp · e ·B

Larmorfrekvens

Ω =2 · πT

=gp · e ·B2 ·mp

Side 24 af 41

22 EKSEMPLER Lasse Herskind

21 How to be legendary

Se pa definitioner for resultatet. Er det effekt kigger vi pa hvordan effekt er defineret og ser derfra om vikan opstille nogle kraftdiagrammer eller hvad vi nu har brug for. Dette fungere langt bedre end det lorthvor man bare kigger pa formler til noget virker.

Generelt bare tegn det lort, det vil sa tit kunne hjælpe.

TEGN• Skriv eksemplet med bænken og to støttepunkter ind

• Nogle figure, skriv ned hvordan man regner deres arealer og voluminer - always forget

22 Eksempler

22.1 Energibetragtninger

Klods pa trisse

Figur 10: Fra quiz, uge 1

Spørgsmal Hvad er loddets fart nar det rammer jorden? Vi kan her bruge energibetragtninger,inertimoment og rotationsenergi (14) samt den kinetiske energi (11)

Epot = Erot + Ekin

Epot = m · g · h

Ekin =m · v2

2

Erot =2 · I · ω2

2ω =

v

RI =

M ·R2

2

m · g · h =m · v2

2+v2 ·M

2→ v =

√2 ·m · g · hM +m

22.2 Lineær bevægelse

Dragracer En 7 meter lang dragracer kører 402 m pa 4.5 fra staende start, antag konstant acceleration.

Spørgsmal Hvad er slutfarten?

Side 25 af 41


Vi tager her fat i bevægelsesligninger for lineær bevægelse (4). Og kan dermed opskrive

s = s0 +v + v0

2· t =

v

2· t → v =

s · 2t

v =402m · 2

4.5s≈ 178

m

s

Spørgsmal Hvor hurtigt bevæger bagenden sig over stregenvi skal her bruge svaret fra tidligere da vi sa kan beregne accelerationen ved at benytte (1)

v = a · t → a =v

ta =

178m

s4.5s

≈ 40m

s2

vi kan ny benytte reglen (2) og dermed regne

v2 = 2 · a · (s) v =

√2 · 40

m

s2· 7m ≈ 24

m

s

Raketopsendelse En raket har en acceleration pa 17m

s2og brændstof til 20 sekunder.

Spørgsmal Hvor højt kan raketten komme?Vi kan her benytte os af bevægelsesligningerne (1), (3) Skriv lige lidt om hvilke vi bruger

s0 =a · t2b

2v0 = tb · a

0 = v0 − g · t → t =v0

g=tb · ag

s = s0 + v0 · t−g · t2

2≈ 9285m

22.3 Kræfter

Rullende cylinder og trisse En homogen cylinder med masse M og radius R er via en snor forbundetmed en klods ligeledes med massen M. Trissen er masse og friktionsløs. Den statiske friktionskoefficientmellem underlag og cylindere er µs

Spørgsmal Hvad er klodsens acceleration nar cylinderen ruller?Kræftdiagram opstilles

M

M

M

M

T1

Ft

T1

Fgnid

τ

Figur 11: Fra eksamen 2016

Da kræfterne nu er indtegnet kan vi nemt opstille ligninger. Her benyttes newtons 2. lov (7) samtkraftmoment (15) og inertimoment for en cylinder ses pa Figure 4For kassen gælder:

Ft = M · g T1 =?

Fres = M · a = Ft − T1

Side 26 af 41


For cylinderen husker vi snorkraften ikke vil pavirke kraftmomentet da denne pavirker direkte i punktetvi regner for. For cylinderen gælder altsa:

T1 =? Ft = M · g Fnormal = Ft

Fgnid = Fnormal · µsFres = M · a = T1 − Fgnid

τ = R · Fgnid = I · α I =1

2·M ·R2

Vi har nu opstillet 3 funtioner med 3 ubekendte:

M · a = M · g − T1

M · a = T1 − Fgnid

R · Fgnid =1

2M ·R2 · a

R

Vi løser nu blot i Maple og far dermed:

a =2

5· g Fgnid =

1

5·M · g =

1

5· Fnormal T1 =

3

5M · g

Spørgsmal Hvad skal µs mindst være for at cylinderen ruller pa underlaget?Her kan vi blot henvise til forrige opgave hvor vi direkte af Fgnid kan aflæse at denne er 0.2. Dette

skyldes at

Fgnid = µs · Fnormal =1

5· Fnormal

Lod svingende om hovedet

Figur 12: Fra eksamen 2015 august opg 9

Spørgsmal Hvad er snorkraften hvis radius i cirkelbanen er 1.5 meter?For at kuglen vil holde sig i samme højde ma det være sandt at snorkraftens y-komposant gar ud med

tyngdekraften pa kuglen.

Ty = m · g Ty = T · sin(θ) θ = cos−1( rL

)

Vi omskriver sa saledes at vi finder snorkraften T og indsætter de givne værdier.

T =m · gsin(θ)

= 24.55N

Side 27 af 41


Lodder og trisser, nu pa skraplan

Figur 13: Fra eksamen 2015 august opgave 12

Spørgsmal Hvad bliver den nedadrettede acceleration af loddet?

m · a = −m · g + T

3 ·m · a = −T + Fgnid + Ftyngde Fgnid = 3 ·m · g · µk · cos(θ) Ftyngde = 3 ·m · g · sin(θ)

m · a+m · g = Fgnid + Ftyngde − 3 ·m · a ⇒ a = ±g4

(3 · cos(θ) · µ+ 3 · sin(θ)− 1)

Hvilket definition for accelerationen vi skal bruge kommer rent an pa hvordan vi ser pa systemet.

Gartner pahøre bed med trillebør

Figur 14: Fra eksamen 2015 aug opgave 13

Spørgsmal Hvad er den mindste kraft Fmin som gartneren skal pavirke trillebøren med for at denbegynder at rotere?

For at finde kraften her skal vi kigge nærmere pa kraftmomentet. Mere specifikt skal vi kigge nærmerepa virkningslinjer (16). Den mindste kraft der skal til for at rotationen begynder vil være nar kraften fragartneren gar ud med kraften fra tyngdekraften. Vi ser at virkningslinjen for tyngdekraften bliver nødt til

Side 28 af 41


at være vandret da vi ikke kan ”presse”igennem jorden. Virkningslinjen for gartneren vil sa være lodret.Vi kan herfra opskrive

τ = 0 = Fmin ·H −m · g · l ⇒ Fmin =m · g · lH

Spørgsmal Givet værdierne:

L = 130cm H = 80cm l = 60cm h = 70cm F = 150N I = 75kg ·m2

Hvor F > Fmin Hvad er trillebørens vinkelacceleration i det øjeblik hvor massemidtpunktet er lodret overrotationsaksen?

Vi ma her endnu engang have fat i kraftmoment. Dog denne gang i yderligere definitioner

τ = F · r⊥ = I · α

Vi mangler altsa blot at beregne virkningslinjen for kraften. Her skal vi huske at vi hælder trillebøren, sadenne vil ikke blot være H. Vi ser her hurtigt at angrebspunktet for gartneren ikke ligger pa linje medCM i forhold til rotationsaksen, og vi derfor lave en geometrisk beregning for at bestemme r⊥.

θ = θcm − θF θcm = tan−1

(h

l

)θF = tan−1

(H

L

)r⊥ =

√H2 + L2 · cos(θ)

Derefter er det blot at isolere α og beregne.

α =F · r⊥I

= 2.9067rad

s2

22.4 Bevægelsesligning

Barn kaster bold over hus

Figur 15: Opgave 3 fra 2016 eksamenssæt

Spørgsmal Hvad er den mindste fart bolden skal kastes med for at den lige kommer over taget oggribes af det andet barn i samme højde som den blev kastet?

Vi skal her bruge bevægelsesligninger for kasteparablen, vi kan her direkte benytte ligning: (5) og (6).Vi ser hurtigt at maxhøjden som skal opnas er 5 meter over udgangspunktet.

h = 5 = 1 +v2 · sin(θ)2

2 · g

l = 16 =v2

g· sin(2θ)

Vi kan nu bare løse og far dermed:

v = 13.334 θ = 0.72

Side 29 af 41


22.5 Cirkelbevægelse

Rutsjebaneloop En rutsjebanevogn kører ind i et loop, en kvart omgang. Vognen har massen m =

1000kg og hastigheden v1 = 20m

sloopet har radius pa 10 meter.

Spørgsmal Hvad er α og normalkraften?For at rutsjebanevognen skal blive hvor den er pa x ma det være sandt at:

N = Fc

Vi kan altsa regne centripitalkraften og har dermed normalkraften.

Fc = ac ·m ac =v2

R

N =v2

R·m

Da vognen ikke falder ned ma kraften opad være lig tyngdekraften, og da den tangentielle accelerationer langs y kan vi opskrive følgende:

Fy = m · a = m · α ·R a = R · α

Fy = −Ftyngde m ·R · α = −m · g → α = − gR

Spørgsmal Hastigheden er nu 13m

sog vi er i toppen af loopet. Hvad er α og normalkraften?

Vi er nu naet ind i loopet og antager at der ikke er nogen vinkelacceleration længere.

α = 0

Vi ved derudover at normalkraften ma være forskellen mellem centripital og tyngdekraften da vi skalhave en resulterende kraft pa 0 for ikke at bevæge os.

N = Fc − Ftyngde

Ftyngde = m · g Fc = m · v2

r

N = m · v2

R−m · g = m ·

(v2

R− g)

22.6 Impuls og stødprocessor

Baseball En baseball med en masse m pa 0.15 kg kastes mod en slaer med en hastighed vi = 40 · ms

.

Slaeren rammer bolden sa den bliver sendt afsted med en vinkel pa 45 grader, modsat hvor den kom fra,

og en hastighed pa vf = 50m

s. Kontakten mellem bold og bat vare ∆t = 10−3s.

Spørgsmal Hvad er ændringen i impuls og den gennemsnitlige kraft

~pi = m · ~vi =

[−m · vim · 0

]~pf = m · ~vf =

[m · vf · sin(θ)m · vf · cos(θ)

]∆~p = ~pf − ~pi =

[m · (vf · sin(θ) + vi)

m · vf · cos(θ)

]=

[3.75 ·

√2 + 6

3.75 ·√

2

]· kg ·m

s

Fave =

∣∣∣∣∆~p∆t

∣∣∣∣ = 1.2485 · 104N

Side 30 af 41


Kasse skydes med fjeder

Figur 16: Eksamen 2016 opg 4

Spørgsmal Hvad er farten af klods 2 umiddelbart efter at klodserne har mistet kontakt til fjereden?

Da klodsene vil blive pavirket i lige stor grad nar fjederen skyder dem afsted vil impulsen pa klods 2være lig impulsen pa klods 1. Jævnfør definitionen af impuls (13) har vi:

2m · v = m · x · v x = 2

Vi ser altsa hurtigt at farten ma være dobbelt sa stor. Vi husker her at det er farten vi har med at gøreog vi skal altsa ikke tage højde for retningen, det er bare en størrelse her.

Spørgsmal Klods 2 og 3 mødes nu i et fuldstændigt uelastisk stød og bevæger sig mod højre. Hvilkenfart har kasserne 2 og 3 efter deres sammenstød

Da vi har et fuldstændigt uelastisk stød vil det være impulsbevarelse. Og vi kan som før opskrive:

m · 2v = 2m · x · v x = 1

Og det ses hurtigt at farten v

Spørgsmal Efter det fuldstændigt uelastiske stød bevæger klodserne 2 og 3 sig mod højre henoveren del af underlaget hvor overfladen er ru. Den kinematiske friktionskoefficient mellem klodserne ogunderlaget er µk. Fælleshastigheden af klodserne lige efter stødet er 1.0ms og µk = 0.2 Hvor langt bevægerkasserne 2 og 3 sig pa den ru overflade før de stopper?

Vi skal her have fat i definitionen af arbejde (10) og kinetisk energi (11) samt friktionskraften (8). Vikan herefter opskrive energibetragningerne:

A = Ekin =1

22m · v2

A = Fgnid · l Fgnid = 2 ·m · g · µk

Ekin = Fgnid · l → l =EkinFgnid

=1

2· v2

g · µk

Vi kan nu indsætte og far:

l = 0.25m

Side 31 af 41


Ishockey

Figur 17: Eksamen 2016 opg 7

Spørgsmal Hvad er størrelsen af puckens acceleration a og vinkelacceleration α i tidsrummet ∆t?Direkte af newtons anden lov (7) kan vi bestemme størrelsen af accelerationen som

a =F

m

Derudover ved vi at kraften er vinkelret pa og vi kan altsa opskrive kraftmomentet (15)

τ = F ·R = I · α→ α =F ·RI

=F ·R

12 ·m ·R2

=F

12m · r

Lige efter at staven har sluppet kontakten med pucken, nar pucken hen til et stykke af skøjtebanen,som ikke er glat. Dette stykke har længden L og den kinematiske gnidningskoefficient mellem puck og iser pa dette stykke µk. Det oplyses, at pucken har tilstrækkelig fart til at passere hele stykket.

Spørgsmal Hvad er puckens fart, vs, lige efter den har passeret stykket med længden L? Vi antagerher at vi har en konstant bremsende acceleration over stykket, og skal derfor bruge bevægelsesligningen(2)

v2s = v2

0 + 2 · a · L

For at finde v0 skal vi udnytte (1) v0 = a·t og da vi har tidsændringne ∆t skal vi blot finde accelerationen,hvilket vi kan gøre fra newtons anden lov (7)

Fres = m · a → a =Fresm

v0 =F ·∆tm

Vi kan nu bruge ovenstaende pa friktionskraften

Fgnid = m · g · µk

agnid =Fgnidm

= −µk · g

Vi kan nu opskrive det oprindelige udtryk med vores nye definitioner, og har nu hastigheden efter atpucken har passeret stykket L.

vs =

√(Fres ·∆t

m

)2

− 2 · µk · g · L

22.7 Harmoniske svingninger

Kasse pa fjeder møder gevær

Side 32 af 41


Figur 18: Eksamen 2016 opgave 12

Spørgsmal Hvad er fjederkonstanten (k)?Vi antager her at der er impulsbevarelse.

m · vi = vf · (M +m) → vf =m · viM +m

Vi antager samtidigt at der er energibevarelse og vi kan derfor beregne den kinetiske energi. Derudoverbenytter vi potentialfunktionen (18) til at bestemme energien i fjederen

Ekin =1

2· (M +m) · v2

f

Ufjeder =1

2· k · d2

Ekin = Ufjeder → k =(M +m) · v2

f

d2=

m2 · v2i

(M +m) · d2

Vi benytter nu følgende værdier: Kuglen har massen m = 3g en startfart pa 420 m/s. Klodsen harmassen m = 1.5kg. Efter riffelkuglens sammenstød og indlejring i blokken bliver fjederen sammentrykket12.0 cm.

Spørgsmal Hvad er den efterfølgende svingningstid for systemet?Vi ser her pa svingingstiden for en harmonisk svingning (17) og kan derefter ved brug af ovenstaende

udledning opskrive et udtryk:

k =m2 · v2

i

(M +m) · d2ω =

√k

(M +m)T =

2 · πω

T = 0.8999s

22.8 Statik

Stige op ad væg

Side 33 af 41


Figur 19: Stige

Indsæt tegning

Spørgsmal Find N , fs og µ sa stigen ikke glider - Husk vinklen skal være for bunden, deter ”forkert”pa tegningen Vi tager her brug af reglen τ = F · r⊥ fra (16)

Fx = fs −R = 0 fs = R

Fy = N − (Wl +Wm) N = Wl +Wm

τ = Wm · r · sin(θ) +Wl ·l

2· sin(θ)−R · l · cos(θ) = 0

R =Wm · r · sin(θ) +Wl ·

l

2· sin(θ)

l · cos(θ)=

(Wm ·

r

l+Wl

2

)· tan(θ)

fs = N · µ(Wm ·

r

l+Wl

2

)· tan(θ) = N · µ

µ =

(Wm · rl

+Wl

2

)· tan(θ)

Wl +Wm

22.9 Væske og faste stoffer

Heliumballon En heliumballon har en ballonradius pa 10 meter samt en masse af 1000 kg. Helium hardensiteten ρh0.164 kg

m3 og luft har densiteten ρ0 = 1.23 kgm3 . p0 = 1 · 105 · Nm2

Spørgsmal Hvor højt flyver ballonen?For at undersøge dette skal vi finde det tidspunkt hvor vi forskyder lige sa meget luft som vi har vægt

Side 34 af 41


med

Vb =4

3π · r3 ρ(h) = ρ0 · e

−ρ0 · gp0

·h

mtot = Vb · ρ+m mforskudt = ρ(h) · Vb

mtot = mforskudt → h =p0

ρ0 · gln

(ρ0 · Vh

M + ρh · Vh

)≈ 9.26km

Bernoulli

Figur 20: y er ens

Spørgsmal Hvordan forholder trykværdierne p1, p2, p3 sig til hinanden?Da vi ved at væskemængen som kommer igennem de forskellige skal være ens, ved vi at de rør med

store arealer vil have en lavere hastighed. Fra Bernoulle kan vi se at trykket og hastigheden pa rør 1 haren sammenhængen med rør 2. Og vi kan derfor hurtigt opstille

p3 > p1 > p2

22.10 Strøm - kapacitorer

Kapacitorer og afstand 1 To kapacitorer med kapacitanserne C1 = 30 · 10−12 ·F og C2 = 6 · 10−12Fsidder i serie i et kredsløb. Potentialfalder hen over denne seriekobling er pa V = 1000V .

Figur 21: Fra eksamen 2014 opg 4

Spørgsmal Hvad er erstatningskapacitansen Ceq for seriekoblingen, og hvad er den samlede elek-trostatiske energi.

Side 35 af 41


Ceq =

(1

C1+

1

C2

)−1

= 5 · 10−12F

U =1

2· Ceq · V 2 = 2.5 · 10−6J

Spørgsmal Den første kapacitor er en pladekapacitor hvor hver er pladerne har arealet A1 = 0.15m2.

Det oplyses at ε0 = 8.85 · 10−12 C2

N ·m2Bestem afstanden d1 mellem pladerne i første kapacitor, samt

størrelsen af det elektriske felt E1 der er mellem pladerne i første kapacitor

C1 =A · ε0d

→ d =A · ε0C1

= 0.0442m

Q1 = Qeq → C1 · V1 = Ceq · V → V1 =Ceq · VC1

= 167V

E =V

d= 3.7 · 103N

C

22.11 Elektriske felter

Elektron om lang lige leder En elektron udføre jævn cirkelbevægelse med baneradius ri feltet om-kring en uendelig lang positivt ladet stang. Den uendeligt lange positive stang gar gennem cirklen centromog er vinkelret pa cirklens plan. Ladningstætheden for stangen er λ

Spørgsmal Elektronens fart i banebevægelsen er givet ved:Vi far her brug for newtons anden lov (7), feltet for en uendeligt lang ladet leder (21), sammenhængen

mellem felt og kraft (20) og derudover cirkelbevægelse (9)Da vi har med en uendeligt lang leder at gøre og vi ved hvor meget et atom vejer kan vi beregne

det elektriske felt og herved kraften som kan bruges sammen med newtons anden lov og dermed regnehastigheden da vi har med en cirkelbevægelse at gøre om lederen.

E =λ

2 · π · ε0 · r

F = E · q =λ · q

2 · π · ε0 · r

a =F

m=

λ · q2 · π · ε0 · r ·m

a =v2

r→ v =

√a · r =

√λ · q

2 · π · ε0 ·m

Tre punktladninger

Figur 22: Slide 27 kapitel 22+33

Spørgsmal Beregn det arbejde der skal udføres pa den yderste positive ladning for at bringe denind fra det uendeligt fjerne. De to andre ladninger ligger fast Vi kan hertil benytte (22), derudover skal

Side 36 af 41


vi huske at indflydelsen gar mod 0 nar r →∞ altsa vil denne ikke have indflydelse i starttidspunktet.

W = ∆U U =∑i<j

qi · qj4 · π · ε0 · rij

q1 = −e q2 = q3 = −q1

Ustart =q1 · q2

4 · π · ε0 · r12Uslut =

1

4 · π · ε0·(q1 · q2

r12+q1 · q3

r13+q2 · q3

r23

)∆U = Uslut − Ustart =

e2

4 · π · ε0·(−1

2 · a+

1

a

)Potentialer for punkter

Figur 23: Slide 36 fra kapital 22/23

Spørgsmal Hvordan forholder de fire værdier af det elektriske potential sig til hinanden?Ser vi tilbage pa definitionen af elektrisk potential (23). Det samlede potential pa V1 kan sa opskrives

V1 =q

4 · π · ε0 ·d

2

− −q

4 · π · ε0 ·d

2

= 0

Dette var den hurtige da afstanden her bare var d2 . De andre er lidt mere besværlige. Vi kan dog hurtigt

se at det er gælden at

rq+V2< rq−V2

& rq+V3> rq−V3

Med dette kan vi opskrive

V2 > 0 & V3 < 0

Derefter ses det tydeligt at V4 er lige langt væk fra de to punkter og vil dermed have potentialet 0. Detsamlede forhold kan sa opskrives.

V2 > V1 = V4 > V3

Elektron affyres med 2 negative ladninger - Vend tilbage Et elektron i hvile pa y-aksen. Finddet elektriske potentiale pa y-aksen fra de to stationære ladninger Q

Side 37 af 41


Figur 24: Slide 36 kapitel 22+23

V =Q

4 · π · ε0 · r· 2 Q = −1.0nC r =

√d2 + y2

Spørgsmal Find elektronens terminalfart i det uendeligt fjerne Vi antager her at elektronen starteri y.

∆Epot = ∆Ekin Epot = U = V · q0 q0 = −e

Epot =Q · q0

4 · π · ε0 · r=

Q · q0

4 · π · ε0 ·√

2 · d2r =

√d2 + y2 y = d

Q · q0

4 · π · ε0 ·√

2 · d2=m · v2

2⇒ v =

√ √2 ·Q · e

2 · π · ε0 ·m · d≈ 1.5 · 107m

s

Ledningssløjfe mellem ledere To parallelle, lange ledere har afstanden 3a. Strømmen i begge ledereer I, med retning mod højre. Midt i mellem de to ledere befinder sig en kvadratisk strømsløjfe medsidelængde a og strøm I i den angivne retning


Hvad er størrelsen pa kraften F som pavirker strømsløjfenVi skal her ser for feltet for en leder, (25), hvorfra vi kan opstille et felt, fra nederste leder, til sløjfen.

Det samme felt vil være fra den øverste, og vi ganger altsa med 2

B =

(µ · I

2 · π · a− µ0 · I

2 · π · 2a

)· 2

Side 38 af 41


Da vi nu har beregnet feltet kan vi for at beregne kraftens størrelse blot benytte kraften pa en strømførendeledning i et felt (24).

F = i · L ·B =µ0 · I2

2 · πL = a

22.12 Magnetisme

Kompasnal

θ = 40Bjord

Bledning

Bkom


Som start ser vi at den lodrette komposant, jordens felt, pavirker nedad, sa nedad ma altsa være nord.For at ledningens felt skal ændre nalen i sadan en grad, skal den altsa pavirke mod venstre. Vi kan derefterbruge reglen vist pa Figure 9 og ser at strømmen vil ga nedad, altsa mod nord. Vi kan nu bruge vinklentil at finde forholdet mellem størrelserne af felterne. Dette kan vi opskrive gennem trekantsberegning

tan(40) =hosliggende

modstaende=BledningBjord

Ser vi pa definitionen for felt for en leder (25) kan vi opskrive Bledning som:

Bledning =µ0 · i

2 · π · dVi kan nu opskrive et samlet udtryk og isolere

tan(40) =µ0 · i

Bjord · 2 · π · d→ i =

2 · π · r ·Bjord · tan(40)

µ0

Vi indsætter nu og far dermed at

i = 6.71A

Fordobling af hastighed Et hastighedsfilter har et lodret elektrisk felt af størrelsen E og et vandretmagnetisk felt B. Elektroner med en bestemt fart V passere hastighedsfiltret i en retlinet bevægelse. Nufordobles elektronernes fart. Samtidigt ændres størrelsen af magnetfeltet og det elektriske felt.

Spørgsmal Hvordan skal de ændres saledes at begge ændres, men resultere i dobbelt fart for elek-tronet.

v =E

BB =

v

EE = v ·B

2 · v =E

B· 2

Vi skal altsa have fat i noget der samlet set fordobler. For at opna dette kunne vi umiddelbart fordobleE eller halvere B, problemet vil dog her være at vi sa kun ændre pa en af denne. Vi kan dog lave enomskrivning for at opna dette

2 · v =2 · EB

=

√2 ·√

2 · EB

=

√2 · EB√

2

Side 39 af 41


Felt fra to lige ledere

Figur 27: Fra slide 10 kapitel 28

Spørgsmal Beregn det magnetiske felt fra de to ledere i de tre viste punkter Vi kan her summerefelterne fra de to ledere. Felterne kan beregnes ved brug af (25).

~B(−x) = ~B1(x) + ~B2(x) =µ0 · (−1)

2 · π ·(x− a

2

) +µ0 · 1

2 · π ·(x+

a

2

) =µ0 · i2 · π

·

− 1

x− a

2

+1

x+a

2

~B(x) = ~B(−x)

~B(y) = 2 ·∣∣∣ ~B1

∣∣∣ · cos(θ) =µ0 · i · a

2 · π ·(y2 +

(a2

)2)

Alt godt fra havet - nu med lort (Cirkulær spole og harmonisk svingning)

Side 40 af 41


Figur 28: Fra eksamen 2015 august opg 17

Spørgsmal Bestem magnetfeltet BFor at bestemme magnetfeltet tager vi som start udgangspunkt i kraftmomentet. Vi skal her huske

at tage højde for at vi rotere i forhold til parallel med B. Det vil sige at vi far en vinkel mellem µ og Bsom vi skal tage højde for.

τ = µ ·B · sin θ = I · α

Vi skal her huske at det blev nævt at vi udfører sma svingninger om et felt, og vi ser derfor tilbage paharmoniske svingninger, hvorfra vi kan definere

sin θ ≈ θ

Derudover kunne vi ogsa fra dette felt definere

α = ω2 · θ ω =2 · πT

Herfra er det altsa muligt for os at opskrive og beregne.

B =2 · π ·mT 2 · i · n

≈ 15.8µT

Side 41 af 41

danmarks tekniske universitet - uniguld.dkuniguld.dk/wp-content/guld/dtu/fysik...

Documents