dasar kalkulus vektor
TRANSCRIPT
1
Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk
Medan dan Gelombang EM
2
Dasar-dasar Vektor
zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA
Konvensi: Vektor ditulis dengan anakpanah diatas atau cetak tebal
Vektor biasanyafungsi dari koordinatspasial
Konvensi:
vektor satuan dilambangkandengan topi diatasnya
magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z)ke arah sumbu-y
A
Aaor a
212z
2y
2x AAAA
3
Penjumlahan vektor
zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC
Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)
4
Vektor posisi dan vektor jarak
z2y2x22
z1y1x11
azayaxR
azayaxR
Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:
z12y12x12
1212
azzayyaxx
RRR
21212
212
212
12
zzyyxx
Rd
5
Vektor posisi dan vektor jarak
Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1)
Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az
Vektor posisi OQ = rQ = 2ax - 2ay + az
Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az
6
Perkalian titik (perkalian skalar)
ABBABA cos
• Selalu menghasilkan bilangan skalar• A cos(AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B.• Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar
nol:• A·A=|A|2=A2
0ˆˆ yx
7
Perkalian titik (perkalian skalar)
332211
z3y2x1
z3y2x1
AB
BABABABA
aBaBaBB
aAaAaAA
θcosBABA
8
Perkalian silang (perkalian vektor)
Aturan sekrup putar bisa dipakai:Pemutaran A ke B menggerakkansekrup ke arah vektor hasil
Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal.
!!!!PENTING!!!
9
Perkalian silang (ljt)
Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.
xa
yaza
yzx
yxz
zyx
aaa
aaa
aaa
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
10
Triple ProductsHasil operasi lain yang penting:
BACACBCBA
Scalar triple product
Vector triple product (aturan bac-cab)
BACCABCBA
Menghasilkan skalar
Menghasilkan vektor
11
VECTOR REPRESENTATION
3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS:
• RECTANGULAR
• CYLINDRICAL
• SPHERICAL
Choice is based on symmetry of problem
Examples:
Sheets - RECTANGULAR
Wires/Cables - CYLINDRICAL
Spheres - SPHERICAL
12
Sistem Koord. Kartesian
x
y
z
(x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d!
yxz
zyx
a dz dxa dz dyady dxsd
a dzady adx ld
dzdy dx dv
xaya
za
13
Sistem Koord. Kartesian
yxz
zyx
a dz dxa dz dyady dxsd
a dzady adx ld
dzdy dx dv
14
Sistem Koord. Tabung atau Silindris
z
y
x
(, , z)Perhatikan kuantitas diferensial:dV, dS and d!
dz d d dv
a dz d sd
a dza d a dld z
za
a
a
15
Sistem Koord. Tabung atau Silindris
dz d d dv
a dz d sd
a dza d a dld z
16
Sistem Koordinat Bola
z
y
x
r
(r, ,
nb : harga adalah 0 sampai , bukan 0 sampai 2
Lihat lagi kuantitas diferensial:dV, dS and d!
d dθdr sinθ r
a d dθ sinθ r
a d sinθr a dθr adr ld
2
r2
θr
dv
sd
a
a
ra
17
Sistem Koordinat Bola
d dθdr sinθ rdv
a d dθ sinθ rsd
a d sinθr a dθr adr ld
2
r2
θr
18
Transformasi KoordinatKadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola :
cosAsinAA
sinAsincosAcoscosAA
cosAsinsinAcossinAA
yx
zyx
zyxr
Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan
19
Soal2
1. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3)Cari :
– Vektor dari A ke C– Vektor satuan dari B ke A– Jarak dari B ke C
•-ax+8ay-4az
•0,762ax-0,127ay-0,635az
•12,45
20
Soal2
2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh
W=4x2y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2) az
Cari : – Besar medan di P(2,-3,4)
– Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P
– Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan
• 53,4• -0,899ax-0,412ay+0,150az• +- 0,455
21
Soal2
3. Diketahui F = 2ax -5ay-4az ; G = 3ax +5ay+2az
Cari : – F.G– Sudut antara F dan G– Panjang proyeksi F pada G– Proyeksi vektor F pada G
• -27,0• 130,8 o
• -4,38
• -2,13ax-3,55ay-1,42az
Medan Elektromagnetik. Sukiswo 22
23
Soal2
4. Diketahui F = -45ax +70ay+25az ; G = 4ax -3ay+2az
Cari : – F x G– ax (ay x F)– (ay x ax ) x F– Vektor satuan yang tegak lurus F pada G
• 215ax+190ay-145az• -45ay• -70ax-45ay
• +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)
24
Soal2
5. Diketahui P(ρ=6,φ=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)
Cari : – Jarak dari P ke titik asal– Q tegak lurus pada sumbu z– P ke Q
• 6,71• 3,16• 11,20
25
Soal2
6. a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabung
b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya 23 cos2
2
ze
• 240+z2 –ρ2 sin 2φ• 8,66
26
Soal2
7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung
b. Cari medan F dalam koord cartesian jika
F= ρ cosφ aρ
• ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ
•
yx yaxayx
x
22
27
Operator Del =
Bola a sin r
a r
ar
Tabung az
aa
Cartesian az
ay
ax
r
z
zyx
28
Grad, Div dan Curl
an vektormenghasilkuntuk vektor pada beroperasi :CurlAAA
zyx
aaa
A CurlA
skalaran menghasilkuntuk vektor pada beroperasi :Divz
A
y
A
x
AA DivergensiA
an vektormenghasilkuntuk skalar fungsi pada beroperasi :Grad
az
ay
ax
Gradien
EMmedan teoridalammendasar sangat yang halmerupakan dan ldiferensiaoperator adalah Ketiganya
zyx
zyx
zyx
zyx
29
Gradien dari medan skalar
Jika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad atau Adalah vektor menurut aturan berikut:
dibaca“del phi”
Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu-kaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu.Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadifungsi vektor.
az
ay
ax
Grad zyx
30
Contoh gradien
2
2
, ,
ˆ ˆ ˆMaka 2
z
z z
x y z x y xe
x e x x y xe z
Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan
ˆ ˆ ˆ5 4 2P x y z
Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan munculpada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah 28
21P
turunanberarah
31
Rapat fluksOperator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor !Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber
Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor).
Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya).
medanseragam
medan tak seragam
32
DivergensiDivergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasanMendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya:
Secara matematika:
Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.
z
E
y
E
x
EE DivergensiE zyx
33
Contoh divergensi
x6x
x0x6E
zzxyz2xx3E
2
2
22
Di titik (2,-2,0)
160,2,2
E
Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.
34
Curl (Rotasi=Pusaran)
Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya.
Medan B seragam,curl-nya nol.
medan tak-seragam,Curl-nya tidak nol.
35
Perhitungan curl
teksbookpadaditemukan bisalain koordinat sistemUntuk
Cartesian
BBBzyx
aaa
B CurlB
zyx
zyx
36
Operator penting lainnya
2
2
2
2
2
22
z2
y2
x22
2
z
V
y
V
x
VV
AAA
0
0
A
A
AAA
Dua rumus ini sangatbermanfaat pd pembaha-san mendatang.
Operator Laplacian
37
Operator Laplacian (1)
Ingat: ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆx y z
x y zx y z
A x A y A z
Sekarang 2 2 2
2 2 2
yx zAA A
x y z
x y y
Untuk praktisnya ditulis: 2 baca “del kuadrat”
38
Laplacian (2)
Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor
ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE
Jika
Maka,2 2 2
22 2 2
2 2 2ˆ ˆ ˆx y z
E Ex y y
x E y E z E
Dapat juga ditunjukkan bahwa:
2E E E
“curl curl dari E”
39
Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl
zyx
zyx
AAAzyx
zyx
z
A
y
A
x
Az
zy
yx
x
ˆˆˆ
ˆˆˆ
A
A
40
Teorema integral
(teorema divergensi)v S
E dv E dS
Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan.
(teorema Stokes)S C
B dS B dl
Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaanmenjadi integral garis.
permukaan atau lintasan tertutup
41
Integral garis/permukaan
Contoh: teorema Stoke
rn ˆˆ
(teorema Stoke)S C
B dS B dl
Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan.
Hitung integral ini sepanjang garis-batasdari segmen.
42
Permasalahan nilai batas
Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas.
Secara umum ada tiga jenis syarat batas:•Syarat batas jenis Dirichlet•Syarat batas jenis Neumann•Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)
43
Syarat batas jenis Dirichlet
S
Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukansuatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada .
gV
Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.
44
Syarat batas jenis Neumann
Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada .f
dn
dV
S
f
dn
dV
Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.
45
Contoh (1) batas bidang (planar)
Hi EiEr
Hr
x
r i
tHtEt
22
11
Kita perlu pernyataan mengenai medan normaldan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus-kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yanglainnya (y<0).
y
incidentreflected
transmitted
46
Contoh (2): bumbung gelombang
0y,xEkyx
z2c2
2
2
2
02
2
2
2
2
yxHkyx zc ,
X
Y
a
b ,
Perlu Ez=0 pada semua dinding syarat batas Dirichlet
perlupada dinding. syarat batas Neumann
dan 0z zH H
x y
47
Syarat batas dalam EM
Et1 n111
222 Et2
E tangensial kontinyu
n111
222 Ht2
Ht1
n × (H1-H2)=Js
n111
222
Bn1
Bn2
B normal kontinyu
n111
222D2n
D1n
n·(D1-D2)=s
Ekivalen
48
Lihat contoh berikut
Et1 n111
222 Et2
E tangensial kontinyu
Hal ini menyatakan bahwamedan (listrik) tangensial dalamdaerah-1 adalah sama denganmedan (listrik) tangensial padadaerah-2.Ini tdk menyatakan apapunmengenai kompenen lain dr E.
Jika kita punya: ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE
Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!n E
49
Dan satu contoh lagi
n111
222 Ht2
Ht1
n × (H1-H2) = Js
Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus.
Hal ini umum terjadi. Jikamedium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi:
1ˆ sn H J Ini berarti bahwa komponen
tangensial dari medan H adalah arus permukaan.
“permukaan”
50
Contoh:
0
0
2 20
2 2
ˆ memenuhi 0
ˆ
ˆ memenuhi 0d
j zi i
j zr r
j zt t d
E xE eE
E xE e
E xE e E
z0
d
Ei atau Er
Et
Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa(pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.
0
1i r t
ti r
d
E E E
EE E
Z Z