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14. Studio grafico completo di funzioni
Davide [email protected]
Esercitazioni di Analisi Matematica 1
Studio elementare di funzioni data f (x)
(1) Trova il dominio.
(2) Studia la simmetria e la periodicità (questo punto puòessere posticipato).
(3) Trova le eventuali intersezioni con gli assi.
(4) Studia il segno.
(5) Calcola i limiti agli estremi del dominio e trova gli eventualiasintoti.
Ad ogni passo, rappresentiamo graficamente le informazioniottenute.
Studio completo di funzioni data f (x)
(6) Calcola la derivata prima f ′(x) e stabilisci dove è definita(dom f ′ ⊆ dom f ).
(7) Trova i punti critici, cioè risolvi f ′(x) = 0.
(8) Studia il segno di f ′(x), cioè risolvi f ′(x) > 0, studia lamonotonia e trova i punti di massimo e di minimo locale(ascisse e ordinate).
(9) Calcola la derivata seconda f ′′(x) e stabilisci dove èdefinita.
(10) Studia il segno di f ′′(x), stabilisci la convessità e trova glieventuali punti di flesso: a tangente orizzontale sef ′(x0) = 0, a tangente obliqua se f ′(x0) ∈R\ {0}, a tangenteverticale se lim
x→x0f ′(x) ∈ {+∞,−∞ }.
Ad ogni passo, rappresentiamo graficamente le informazioniottenute.
Esercizio 1Traccia il grafico di f (x) = e1/x.
f (x) = e1/x
x
f (x)
Esercizio 2Traccia il grafico di f (x) = lnx
xe determina imm f . Trova gli
estremi dell’insieme A ={
lnnn : n ∈N, n Ê 1
}.
f (x) = lnxx
x
f (x)
Esercizio 3 (Analisi 1, 3 Settembre 2012)Sia data la funzione
f (x) = ln
2+√
|sinx|2+cosx
.
Delle seguenti affermazioni(a) f è derivabile nel suo dominio (b) x =π è un punto dicuspide (c) f ′(π/2) = 1
4(2p
2+1)(d) minR f = 0
(e) maxR f = ln(2+ 1
4p3
)le uniche corrette sonoA : (a), (c), (d) B : (b), (c), (e) C : (a), (c), (e)D : (b), (d), (e).
Abbiamo già ottenuto:
• dom f =R;• f è pari e 2π-periodica;• (0, ln2) è l’unico punto di intersezione con gli assi;• f (x) > 0 per ogni x reale;• (π, ln2) è un punto del grafico di f ;• non esistono i limiti di f (x) per x →±∞ e non ci sono
asintoti.
f (x) = ln
(2+
√ |sinx|2+cosx
)
x
f (x)
ln2
π
Esercizio 4 (Analisi 1, 1 Febbraio 2012)Sia data la funzione
f (x) = x
2+arctan
1
x+2.
Delle seguenti affermazioni(a) f è derivabile nel suo dominio (b) f ′(−3) = 0 (c) x =−1 èun punto di massimo relativo (d) f è crescente su ]−∞,−3](e) f ammette un punto di minimo assolutole uniche corrette sonoA : (a), (d), (e) B : (a), (b), (d) C : (b), (c), (d)D : (a), (c), (d).
Abbiamo già ottenuto:
• dom f = ]−∞,−2[∪ ]−2,+∞[;• f non è simmetrica e non è periodica;• (0,arctan 1
2 ) è l’intersezione con l’asse y;• abbiamo tralasciato le intersezioni con l’asse x e lo studio
del segno;• lim
x→(−2)±f (x) =−1± π
2(non ci sono asintoti verticali);
• limx→±∞ f (x) =±∞ e y = 1
2 x asintoto obliquo completo.
f (x) = x
2+ arctan
(1
x+2
)
x
f (x)
−2
π2 −1
−π2 −1
Esercizio 5 (Analisi 1, 11 Giugno 2012)Sia data la funzione
f (x) = 33p
ex −2+ ln|ex −2| .
Delle seguenti affermazioni(a) il dominio di f è ]ln2,+∞[ (b) f è pari(c) lim
x→(ln2)+f (x) =+∞ (d) f ammette asintoto orizzontale per
x →−∞ (e) f ammette y = x come asintoto obliquo perx →+∞le uniche corrette sonoA : (a), (c), (e) B : (b), (e) C : (b), (d)D : (c), (d), (e).
Abbiamo già ottenuto:
• dom f = ]−∞, ln2[∪ ]ln2,+∞[;• f non è simmetrica;• (0,−3) intersezione con l’asse y;• abbiamo tralasciato le intersezioni con l’asse x e lo studio
del segno;• y = x asintoto obliquo destro;
• y = ln2− 33p
2asintoto orizzontale sinistro;
• x = ln2 asintoto verticale completo;• lim
x→ln2±f (x) =±∞.
f (x) = 33p
ex −2+ ln|ex −2|
x
f (x)
ln2ln2− 3
3p2
Esercizio 6 (Analisi 1, 11 Giugno 2012)Sia data la funzione
f (x) = 33p
ex −2+ ln|ex −2| .
Delle seguenti affermazioni
(a) f è derivabile nel suo dominio (b) f ′(ln4) = 2[
1− 13p2
](c) f è sempre decrescente sul suo dominio (d) f ammetteun punto di minimo relativo in ln3 (e) f ammette un punto diminimo relativo in ln4
le uniche corrette sonoA : (b), (c) B : (a), (b), (d) C : (a), (b), (e)D : (a), (d).
f (x) = 33p
ex −2+ ln|ex −2|
x
f (x)
ln2ln2− 3
3p2
Esercizio 7Dimostra che, per ogni x > 0, risulta
arctan1
x= π
2−arctanx .
Esercizio 8Dimostra che 1+ t É et per ogni t ∈R. Traccia il grafico dif (x) =
pe7x −7x−1.
f (x) =p
e7x −7x−1
x
f (x)
Esercizio 9Traccia il grafico di f (x) = sinx+4sin
x
2.
f (x) = sinx + 4sinx
2
x
f (x)
1
π
Esercizio 10Dimostra che l’equazione
ln(2+arctanx) = 1−x2
ha esattamente due soluzioni, di cui una nell’intervallo ]0,1[ euna nell’intervallo ]−1,0[.Suggerimento: studia f (x) = ln(2+arctanx)+x2 −1 e dimostra che f ′(x) > 0 perx Ê 0, f ′(x) < 0 per x É−1, f ′′(x) > 0 per x ∈ [−1,0].
Esercizio 11Traccia il grafico delle seguenti funzioni:
(a) f (x) = 2|x|e−(x2+1);
(b) f (x) = x+√
x2 −1;
(c) f (x) = |x2 −2x−8|x2 ;
(d) f (x) = arcsinx
3+
√|x−1| ;
(e) f (x) =(1+ 1
x
)x
;
(f) f (x) = |x| x|x−1| .
Esercizio 12Dimostra che ex É 1
1−xper ogni numero reale x < 1.