2. Derivate e differenziabilità

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 2A.A. 2016/17

Derivate parziali

Derivate direzionali

Differenziabilità

Data f (x,y), la derivata parziale rispetto a x calcolata nel punto

(x0,y0) si indica con ∂xf (x0,y0) o∂f

∂x(x0,y0).

Si calcola considerando y costante e derivando rispetto a x, poisi sostituisce il punto (x0,y0).

Nota. Possiamo sostituire y = y0 prima di derivare rispetto a x.

Analogamente per la derivata rispetto a y, indicata con

∂yf (x0,y0) o∂f

∂y(x0,y0) (i ruoli di x e y sono scambiati).

Esercizio 1Data f (x,y) = ln(1+x2 +y), calcola

∂xf (1,0) , ∂yf (1,2) .

Esercizio 2Data f (x,y) = y

ln(1+x2 +y)

earctan(x+cosy)+ (|x3 −2xy|sin3 y+1)x2,

calcola ∂xf (1,0).

Il gradiente di una funzione f (x,y) è la funzione vettoriale

∇f = (∂xf ,∂yf ) .

Il gradiente di una funzione f (x,y,z) è la funzione vettoriale

∇f = (∂xf ,∂yf ,∂zf ) .

Esercizio 3Calcola ∇f (1,1), dove f (x,y) = (x+y)3 +cos(πy) .

Esercizio 4Calcola ∇f (1,2,2), dove f (x,y,z) = arctan(x+2y+z2) .

Nei punti di raccordo o dove non è garantita la derivabilità (siannulla l’argomento di moduli o radici), è necessario usare ladefinizione di derivata parziale:

∂xf (x0,y0) = limh→0

f (x0 +h,y0)− f (x0,y0)

h,

∂yf (x0,y0) = limk→0

f (x0,y0 +k)− f (x0,y0)

k.

Esercizio 5Calcola ∇f (0,0), dove f (x,y) = (x+y)|x| .

Esercizio 6Calcola ∂xf (0,0) e ∂yf (0,0) per f :R2 →R data da

f (x,y) ={

y ey +x se |y| > x2 ,

x2 + ln(1+arctany2) se |y| É x2.

f (x,y) ={

y ey +x se |y| > x2 ,

x2 + ln(1+arctany2) se |y| É x2.

Esercizio 7Determina α in modo che f (x,y) =

{sinx+y se y > 2x ,

αx+ siny se y É 2xammetta derivata parziale ∂xf in (0,0).

Esercizio 8

Data f (x,y) =y2 cos

1

yse y /= 0,

0 se y = 0,calcola ∂yf e verifica che non è continua in (0,0).

Data la superficie z = f (x,y) con f di classe C1 (derivate parzialicontinue), il piano tangente nel punto

(x0,y0, f (x0,y0)

)ha

equazione

z = f (x0,y0)+∂xf (x0,y0) (x−x0)+∂yf (x0,y0) (y−y0) .

Esercizio 9Determina il piano tangente a z = xy ex2y in (1,1).

Derivate parziali

Derivate direzionali

Differenziabilità

Data una funzione f di classe C1 e di n variabili, e un vettoren-dimensionale v non nullo, la derivata rispetto al vettore v di fè data da

∂vf = ∂f

∂v=∇f ·v .

La derivata direzionale rispetto a v, o nella direzione di v, è laderivata rispetto al vettore di norma uno

v

|v| .Nota 1. In entrambi i casi, basta f differenziabile (vedi poi).

Nota 2. Se v = (v1,v2,v3), allora |v| =√

v21 +v2

2 +v23.

Esercizio 10Data f (x,y) = x2 +y3 e v = (1,2), calcola ∂vf (1,1) e la derivatadi f nel punto (1,1) nella direzione di v.

Esercizio 11Calcola la derivata di f (x,y,z) = x+2z2 in (1,0,1) rispetto av = (2,3,0).

Nei punti di raccordo o dove non è garantita la derivabilità, laderivata di f (x,y) in (x0,y0) rispetto a un vettore v = (v1,v2)deve essere calcolata usando la definizione:

∂vf (x0,y0) = limt→0

f (x0 + tv1,y0 + tv2)− f (x0,y0)

t.

Esercizio 12Dati v = (1,2), w = (−1,1) e f (x,y) = e|x|(|y|+x2), calcolare (seesistono)

∂vf (0,0) e ∂wf (1,3) .

f (x,y) = e|x|(|y|+x2) , w = (−1,1) .

Esercizio 13

Data f (x,y) ={

x2 se xy Ê 0,

x−y se xy < 0,calcolane la derivata in (0,0) rispetto a v = (1,2) e w = (1,−2).

Derivate parziali

Derivate direzionali

Differenziabilità

La funzione f (x,y) è differenziabile nel punto (x0,y0) seesistono (finite) le derivate parziali in (x0,y0) e

lim(h,k)→(0,0)

f (x0 +h,y0 +k)− f (x0,y0)−∂xf (x0,y0)h−∂yf (x0,y0)kph2 +k2

= 0.

Esercizio 14

Stabilisci se f (x,y) =

x3

x2 +y2se (x,y) /= (0,0) ,

0 se (x,y) = (0,0)è differenziabile in (0,0).

f (x,y) ={

x3

x2+y2 se (x,y) /= (0,0) ,

0 se (x,y) = (0,0) .

Esercizio 15

Per α ∈R, sia fα(x,y) =

ln(1+x2 +y2)(x+y)

(x2 +y2)2α+3(x,y) /= (0,0) ,

0 (x,y) = (0,0) .Determina per quali valori di α la funzione fα è differenziabile in(0,0).

fα(x,y) ={

ln(1+x2+y2)(x+y)(x2+y2)2α+3 (x,y) /= (0,0) ,

0 (x,y) = (0,0) .

Esercizio 16

Sia α ∈R e sia f (x,y) =

arctanx2

(x2 +y2)α−2(x,y) /= (0,0) ,

0 (x,y) = (0,0) .Determina per quali valori di α la funzione è differenziabile.

f (x,y) ={

arctanx2

(x2+y2)α−2 (x,y) /= (0,0) ,

0 (x,y) = (0,0) .

Esercizio 17

Verifica che f (x,y) =y2 cos

1

yse y /= 0,

0 se y = 0,è differenziabile in (0,0), ma non di classe C1 (hai già verificatoche ∂yf non è continua in (0,0)).

Esercizio 18

Data f (x,y) ={

e− 1

(x2+3y2)α se (x,y) /= (0,0) ,

0 altrimenti ,discutere continuità e differenziabilità di f su R2.

f (x,y) ={

e− 1

(x2+3y2)α se (x,y) /= (0,0) ,

0 altrimenti .

Esercizio 19 (Tema esame 14/01/2013)Studia continuità e differenziabilità in (0,0) di

f (x,y) =(e7sinx−1)

xy2

x2 +y2se (x,y) /= (0,0) ,

0 se (x,y) = (0,0) .

f (x,y) ={

(e7sinx −1) xy2

x2+y2 se (x,y) /= (0,0) ,

0 se (x,y) = (0,0) .

Nota.

f di classe C1 ⇒ f differenziabile

f differenziabile ⇒ f continua e ammette derivatarispetto a ogni vettore

Nota bene!

f ammette derivata rispetto a ogni vettorenon implica, in generale,

f continua

Esercizio 20Verifica che tutte le derivate direzionali di

f (x,y) =

(

x2y

x4 +y2

)2

se (x,y) /= (0,0) ,

0 se (x,y) = (0,0)

nel punto (0,0) sono nulle, ma f non è continua in (0,0).

Suggerimento: calcola la derivata direzionale rispetto a ungenerico versore (vettore di modulo 1) u = (cosα, sinα). Per lacontinuità, considera la restrizione a y = mx2.

Nota. La funzione precedente ha tutte le derivate direzionali∂uf (0,0) = 0, in particolare ∇f (0,0) = (0,0), dunque

∂uf (0,0) =∇f (0,0) ·u = 0 ∀u, |u| = 1,

ma f non è differenziabile in (0,0) (dato che non è continua).

Dunque l’uguaglianza

∂uf =∇f ·u ∀u

NON IMPLICA, in generale, la differenziabilità di f .