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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Cuerpos geométricos
David Matellano
Departamento de matemáticas. IES Ángel Corella. (Colmenar Viejo)
24 de abril de 2017
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David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
índice de contenidos I1 Definición de poliedro
Clasificación de los poliedrosCóncavo-convexoRegulares-irregulares
2 Poliedros regularesTetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
3 Relación de Euler4 Principio de Cavallieri5 Prismas
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
índice de contenidos IIDesarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
6 PirámidesTipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
7 Cuerpos de revoluciónEl cilindro
Desarrollo de un cilindroÁrea de un cilindroVolumen de un cilindro
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
índice de contenidos IIIEl cono
Tipos de conosDesarrollo de un cono rectoÁrea de un cono rectoVolumen de un cono
La esferaDefinición.Área y volumen de una esfera:
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Definición de poliedro
Poliedro
Es un cuerpo cerrado delimitado por polígonos.
1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Definición de poliedro
PoliedroEs un cuerpo cerrado delimitado por polígonos.
1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Definición de poliedro
PoliedroEs un cuerpo cerrado delimitado por polígonos.
1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.
2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Definición de poliedro
PoliedroEs un cuerpo cerrado delimitado por polígonos.
1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.
3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Definición de poliedro
PoliedroEs un cuerpo cerrado delimitado por polígonos.
1 Cada uno de los polígonos que lo forman son caras.2 Los lados de dichos polígonos se llaman aristas.3 Los puntos de concurrencia de las aristas reciben el nombre de vértices.
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Clasificación de los poliedrosConcavidad y convexidad
Poliedro cóncavo o convexo
1 Cóncavo:⇒ Un segmento entre dos puntospuede salir del poliedro.
2 Convexo:⇒ Un segmento entre dos puntosnunca sale del poliedro.
poliedros cóncavo-convexo
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Clasificación de los poliedrosConcavidad y convexidad
Poliedro cóncavo o convexo1 Cóncavo:⇒ Un segmento entre dos puntos
puede salir del poliedro.
2 Convexo:⇒ Un segmento entre dos puntosnunca sale del poliedro.
poliedros cóncavo-convexo
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Clasificación de los poliedrosConcavidad y convexidad
Poliedro cóncavo o convexo1 Cóncavo:⇒ Un segmento entre dos puntos
puede salir del poliedro.2 Convexo:⇒ Un segmento entre dos puntos
nunca sale del poliedro.
poliedros cóncavo-convexo
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Poliedros regularesDefinición
¿Qué es un poliedro regular?
Es aquel formado exclusivamente por polígonos regulares iguales y en cuyosvértices concurren siempre el mismo número de aristas.Si no es regular, se dice irregular.Solamente hay cinco poledros regulares.
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Clasificación de los poliedros
Poliedros regularesDefinición
¿Qué es un poliedro regular?Es aquel formado exclusivamente por polígonos regulares iguales y en cuyosvértices concurren siempre el mismo número de aristas.Si no es regular, se dice irregular.Solamente hay cinco poledros regulares.
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El tetraedroPoliedro formado por 4 triángulos equiláteros
Tetraedro
Caras, aristas y vértices:
1 4 Caras2 6 Aristas3 4 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El tetraedroPoliedro formado por 4 triángulos equiláteros
Tetraedro
Caras, aristas y vértices:1 4 Caras
2 6 Aristas3 4 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El tetraedroPoliedro formado por 4 triángulos equiláteros
Tetraedro
Caras, aristas y vértices:1 4 Caras2 6 Aristas
3 4 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El tetraedroPoliedro formado por 4 triángulos equiláteros
Tetraedro
Caras, aristas y vértices:1 4 Caras2 6 Aristas3 4 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El hexaedro o cuboPoliedro formado por 6 cuadrados.
Cubo o hexaedro
Caras, aristas y vértices:
1 6 Caras2 12 Aristas3 8 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El hexaedro o cuboPoliedro formado por 6 cuadrados.
Cubo o hexaedro
Caras, aristas y vértices:1 6 Caras
2 12 Aristas3 8 Vértices
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El hexaedro o cuboPoliedro formado por 6 cuadrados.
Cubo o hexaedro
Caras, aristas y vértices:1 6 Caras2 12 Aristas
3 8 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El hexaedro o cuboPoliedro formado por 6 cuadrados.
Cubo o hexaedro
Caras, aristas y vértices:1 6 Caras2 12 Aristas3 8 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El octaedroPoliedro formado por 8 triángulos equiláteros
Octaedro
Caras, aristas y vértices:
1 8 Caras2 12 Aristas3 6 Vértices
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Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El octaedroPoliedro formado por 8 triángulos equiláteros
Octaedro
Caras, aristas y vértices:1 8 Caras
2 12 Aristas3 6 Vértices
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El octaedroPoliedro formado por 8 triángulos equiláteros
Octaedro
Caras, aristas y vértices:1 8 Caras2 12 Aristas
3 6 Vértices
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El octaedroPoliedro formado por 8 triángulos equiláteros
Octaedro
Caras, aristas y vértices:1 8 Caras2 12 Aristas3 6 Vértices
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El dodecaedroPoliedro formado por 12 pentágonos regulares
Dodecaedro
Caras, aristas y vértices:
1 12 Caras2 30 Aristas3 20 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
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Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El dodecaedroPoliedro formado por 12 pentágonos regulares
Dodecaedro
Caras, aristas y vértices:1 12 Caras
2 30 Aristas3 20 Vértices
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Principio de CavallieriPrismas
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TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El dodecaedroPoliedro formado por 12 pentágonos regulares
Dodecaedro
Caras, aristas y vértices:1 12 Caras2 30 Aristas
3 20 Vértices
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El dodecaedroPoliedro formado por 12 pentágonos regulares
Dodecaedro
Caras, aristas y vértices:1 12 Caras2 30 Aristas3 20 Vértices
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El IcosaedroPoliedro formado por 20 triángulos equiláteros
Icosaedro
Caras, aristas y vértices:
1 20 Caras2 30 Aristas3 12 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El IcosaedroPoliedro formado por 20 triángulos equiláteros
Icosaedro
Caras, aristas y vértices:1 20 Caras
2 30 Aristas3 12 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El IcosaedroPoliedro formado por 20 triángulos equiláteros
Icosaedro
Caras, aristas y vértices:1 20 Caras2 30 Aristas
3 12 Vértices
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
El IcosaedroPoliedro formado por 20 triángulos equiláteros
Icosaedro
Caras, aristas y vértices:1 20 Caras2 30 Aristas3 12 Vértices
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TetraedroCuboOctaedroDodecaedroIcosaedroResumen de los poliedros regulares
Resumen de los poliedros regularesTabla con sus características
Poliedros regulares:Poliedro Caras N.o de
carasVértices Aristas
Tetraedro Triángulos 4 4 6Cubo Cuadrados 6 8 12
Octaedro Triángulos 8 6 12Dodecaedro Pentágonos 12 20 30Icosaedro Triángulos 20 12 30
Cuadro 1: Poliedros regulares o sólidos platónicos.
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
La relación de EulerCaras, vértices y aristas en un poliedro
Relación de euler
En un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:C + V = A+ 2Podemos comprobarlo en la tabla 1 :
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
La relación de EulerCaras, vértices y aristas en un poliedro
Relación de eulerEn un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:
C + V = A+ 2Podemos comprobarlo en la tabla 1 :
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
La relación de EulerCaras, vértices y aristas en un poliedro
Relación de eulerEn un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:C + V = A+ 2
Podemos comprobarlo en la tabla 1 :
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
La relación de EulerCaras, vértices y aristas en un poliedro
Relación de eulerEn un poliedro convexo, (ver 2), el número de caras, vertices y aristas cumple:C + V = A+ 2Podemos comprobarlo en la tabla 1 :
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El principio de CavalieriEnunciado por Bonaventura Cavalieri en el S XVII
Enunciado
Si dos cuerpos poseen la misma altura y además tienen igual área en sus seccionesplanas realizadas a alturas iguales, poseen entonces igual volumen.
Consecuencias para el cálculo de volúmenes:Si en un cuerpo todas las secciones planas realizadas a cualquier altura son deigual área, el volumen de dicho cuerpo será el producto del área de su base por sualtura.
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PirámidesCuerpos de revolución
El principio de CavalieriEnunciado por Bonaventura Cavalieri en el S XVII
EnunciadoSi dos cuerpos poseen la misma altura y además tienen igual área en sus seccionesplanas realizadas a alturas iguales, poseen entonces igual volumen.
Consecuencias para el cálculo de volúmenes:
Si en un cuerpo todas las secciones planas realizadas a cualquier altura son deigual área, el volumen de dicho cuerpo será el producto del área de su base por sualtura.
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El principio de CavalieriEnunciado por Bonaventura Cavalieri en el S XVII
EnunciadoSi dos cuerpos poseen la misma altura y además tienen igual área en sus seccionesplanas realizadas a alturas iguales, poseen entonces igual volumen.
Consecuencias para el cálculo de volúmenes:Si en un cuerpo todas las secciones planas realizadas a cualquier altura son deigual área, el volumen de dicho cuerpo será el producto del área de su base por sualtura.
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
PrismasDefinición y clasificación
Definición
Poliedro formado por dos polígonos iguales yparalelos llamados bases y unidos por sus caraslaterales.
1 Si una base está sobre la otra, es un prismarecto. Las caras laterales son rectángulos.
2 Si se desplaza una de las bases, es un prismaoblicuo. Las caras laterales son rectángulos yparalelogramos.
Prismas
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
PrismasDefinición y clasificación
DefiniciónPoliedro formado por dos polígonos iguales yparalelos llamados bases y unidos por sus caraslaterales.
1 Si una base está sobre la otra, es un prismarecto. Las caras laterales son rectángulos.
2 Si se desplaza una de las bases, es un prismaoblicuo. Las caras laterales son rectángulos yparalelogramos.
Prismas
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
PrismasDefinición y clasificación
DefiniciónPoliedro formado por dos polígonos iguales yparalelos llamados bases y unidos por sus caraslaterales.
1 Si una base está sobre la otra, es un prismarecto. Las caras laterales son rectángulos.
2 Si se desplaza una de las bases, es un prismaoblicuo. Las caras laterales son rectángulos yparalelogramos.
Prismas
Ap
h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
PrismasDefinición y clasificación
DefiniciónPoliedro formado por dos polígonos iguales yparalelos llamados bases y unidos por sus caraslaterales.
1 Si una base está sobre la otra, es un prismarecto. Las caras laterales son rectángulos.
2 Si se desplaza una de las bases, es un prismaoblicuo. Las caras laterales son rectángulos yparalelogramos.
Prismas
Ap
h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
Desarrollo de un prisma rectoConstrucción del prisma a partir de los polígonos que lo forman
Un ejemplo:
Ap
h
Ap
h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
Área de un prismaCálculo del área de un prisma recto
A partir del desarrollo concluimos:
Ap
hAp
h
1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma3 Al = Pb · h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
Área de un prismaCálculo del área de un prisma recto
A partir del desarrollo concluimos:
Ap
hAp
h1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma3 Al = Pb · h
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
Área de un prismaCálculo del área de un prisma recto
A partir del desarrollo concluimos:
Ap
hAp
h1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma
3 Al = Pb · h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
Área de un prismaCálculo del área de un prisma recto
A partir del desarrollo concluimos:
Ap
hAp
h1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma3 Al = Pb · h
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
Volumen de un prismaCálculo en prismas rectos y oblicuos
Como consecuencia del principio de Cavalieri (15)
1 V = Ab · h2 Es válido para cualquier prisma.
Prisma pentagonal
Ap
h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Desarrollo de un prisma rectoÁrea de un prisma rectoVolumen de un prisma
Volumen de un prismaCálculo en prismas rectos y oblicuos
Como consecuencia del principio de Cavalieri (15)1 V = Ab · h2 Es válido para cualquier prisma.
Prisma pentagonal
Ap
h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides
1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.
Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámideEs un poliedro formado por un polígono llamado base y caras triangulares, queconcurren en un punto llamado vértice.
Tipos de pirámides
1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.
Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides
1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.
Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.
Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.
Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.2 Regular o irregular.
Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.
Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.
Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.
Irregular. No es regular3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:
Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
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Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:Cóncava: La base es un polígono cóncavo.
Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Definición de pirámideTipos de pirámides
Definición de pirámide
Tipos de pirámides1 Recta u oblicua:
Recta: Ninguna cara lateral es un triángulo escaleno.Oblicua: No es recta. Hay triángulos escalenos.
2 Regular o irregular.Regular. La base es un polígono regular y la pirámide es recta.Irregular. No es regular
3 Cóncava o convexa:Cóncava: La base es un polígono cóncavo.Convexa: La base es un polígono convexo. Ver (2)
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Elementos una pirámide regular.Apotemas y altura
Definiciones
1 Apotema básica. Es la apotema de labase (si tiene)
2 Apotema lateral. Altura de caraslaterales.
3 Altura. Es la distancia base-vértice4 Las tres forman un triángulo
rectángulo.
pirámide pentagonal regular
Apb
Ap h
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Elementos una pirámide regular.Apotemas y altura
Definiciones1 Apotema básica. Es la apotema de la
base (si tiene)
2 Apotema lateral. Altura de caraslaterales.
3 Altura. Es la distancia base-vértice4 Las tres forman un triángulo
rectángulo.
pirámide pentagonal regular
Apb
Ap h
V
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Elementos una pirámide regular.Apotemas y altura
Definiciones1 Apotema básica. Es la apotema de la
base (si tiene)2 Apotema lateral. Altura de caras
laterales.
3 Altura. Es la distancia base-vértice4 Las tres forman un triángulo
rectángulo.
pirámide pentagonal regular
Apb
Ap
h
V
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Elementos una pirámide regular.Apotemas y altura
Definiciones1 Apotema básica. Es la apotema de la
base (si tiene)2 Apotema lateral. Altura de caras
laterales.3 Altura. Es la distancia base-vértice
4 Las tres forman un triángulorectángulo.
pirámide pentagonal regular
Apb
Ap h
V
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Elementos una pirámide regular.Apotemas y altura
Definiciones1 Apotema básica. Es la apotema de la
base (si tiene)2 Apotema lateral. Altura de caras
laterales.3 Altura. Es la distancia base-vértice4 Las tres forman un triángulo
rectángulo.
pirámide pentagonal regular
Apb
Ap h
V
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Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Desarrollo de una pirámideEjemplo de desarrollo de una pirámide pentagonal regular
Desarrollo
Apb
Ap Apb
Ap h
V
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Cálculo del área de una pirámide regularA partir de su desarrollo obtenemos:
Área de una pirámide regular
Apb
Ap Apb
Ap h
V
1 A = Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma
3 Al = Pb ·Ap
2
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Cálculo del área de una pirámide regularA partir de su desarrollo obtenemos:
Área de una pirámide regular
Apb
Ap Apb
Ap h
V
1 A = Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma
3 Al = Pb ·Ap
2
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Cálculo del área de una pirámide regularA partir de su desarrollo obtenemos:
Área de una pirámide regular
Apb
Ap Apb
Ap h
V
1 A = Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma
3 Al = Pb ·Ap
2
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Cálculo del área de una pirámide regularA partir de su desarrollo obtenemos:
Área de una pirámide regular
Apb
Ap Apb
Ap h
V
1 A = Ab +Al
2 Ab : Depende de su forma
3 Al = Pb ·Ap
2
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Volumen de una pirámideSea una pirámide cualquiera:
Su volumen será:
1 V = Ab · h3
2 es la tercera parte del volumen deun prisma de iguales dimensiones.
Pirámide
Apb
Ap h
V
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Volumen de una pirámideSea una pirámide cualquiera:
Su volumen será:
1 V = Ab · h3
2 es la tercera parte del volumen deun prisma de iguales dimensiones.
Pirámide
Apb
Ap h
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
Tipos de pirámidesElementos de una pirámide regular.Desarrollo de una pirámideÁrea de una pirámideVolumen de una pirámide
Volumen de una pirámideSea una pirámide cualquiera:
Su volumen será:
1 V = Ab · h3
2 es la tercera parte del volumen deun prisma de iguales dimensiones.
Pirámide
Apb
Ap h
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Cuerpos de revoluciónDefinición
Sólido de revolución
Es el sólido obtenido al rotar una figura plana alrededor de un eje llamado eje derevolución.
Ejemplo:
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Cuerpos de revoluciónDefinición
Sólido de revoluciónEs el sólido obtenido al rotar una figura plana alrededor de un eje llamado eje derevolución.
Ejemplo:
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Cuerpos de revoluciónDefinición
Sólido de revoluciónEs el sólido obtenido al rotar una figura plana alrededor de un eje llamado eje derevolución.
Ejemplo:
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Cuerpos de revoluciónDefinición
Sólido de revoluciónEs el sólido obtenido al rotar una figura plana alrededor de un eje llamado eje derevolución.
Ejemplo:
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
El cilindroDefinición y elementos
El cilindro:
1 Sólido de revolución obtenido al rotar unrectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.
2 Elementos:
Radio (r)Altura (h)
figura
r
h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
El cilindroDefinición y elementos
El cilindro:1 Sólido de revolución obtenido al rotar un
rectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.
2 Elementos:
Radio (r)Altura (h)
figura
r
h
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
El cilindroDefinición y elementos
El cilindro:1 Sólido de revolución obtenido al rotar un
rectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.2 Elementos:
Radio (r)Altura (h)
figura
r
h
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
El cilindroDefinición y elementos
El cilindro:1 Sólido de revolución obtenido al rotar un
rectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.2 Elementos:
Radio (r)
Altura (h)
figura
r
h
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
El cilindroDefinición y elementos
El cilindro:1 Sólido de revolución obtenido al rotar un
rectángulo 360◦ alrededor de uno de sus lados.2 Elementos:
Radio (r)Altura (h)
figura
r
h
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Desarrollo de un cilindro
Desarrollo a partir de sus medidas
r
h
2πr
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cilindroCálculo a partir de su desarrollo
Desarrollo de un cilindro
r
h
2πr
Área:
1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cilindroCálculo a partir de su desarrollo
Desarrollo de un cilindro
r
h
2πr
Área:1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cilindroCálculo a partir de su desarrollo
Desarrollo de un cilindro
r
h
2πr
Área:1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cilindroCálculo a partir de su desarrollo
Desarrollo de un cilindro
r
h
2πr
Área:1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = 2π · r · h
4 A = 2π · r · (r + h)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cilindroCálculo a partir de su desarrollo
Desarrollo de un cilindro
r
h
2πr
Área:1 A = 2 ·Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = 2π · r · h4 A = 2π · r · (r + h)
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Volumen de un cilindroCálculo a partir de sus dimensiones
Como consecuencia del principiode Cavalieri (15)
1 V = Ab · h = π · r2 · h2 Es válido para cualquier
cilindro.
Cilindros
r
h
r
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
Volumen de un cilindroCálculo a partir de sus dimensiones
Como consecuencia del principiode Cavalieri (15)
1 V = Ab · h = π · r2 · h2 Es válido para cualquier
cilindro.
Cilindros
r
h
r
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono recto
Cuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:
Radio (r)Altura (h)Generatriz (g)g2 = r2 + h2
Figuras:
r
h g
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.
Elementos del cono:
Radio (r)Altura (h)Generatriz (g)g2 = r2 + h2
Figuras:
r
h g
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:
Radio (r)Altura (h)Generatriz (g)g2 = r2 + h2
Figuras:
r
h g
V
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El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:
Radio (r)
Altura (h)Generatriz (g)g2 = r2 + h2
Figuras:
r
h g
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:
Radio (r)Altura (h)
Generatriz (g)g2 = r2 + h2
Figuras:
r
h g
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:
Radio (r)Altura (h)Generatriz (g)
g2 = r2 + h2
Figuras:
r
h g
V
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono rectoCuerpo geométrico obtenido al rotar 360◦ untriángulo rectángulo alrededor de un cateto.Elementos del cono:
Radio (r)Altura (h)Generatriz (g)g2 = r2 + h2
Figuras:
r
h g
V
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono oblicuo
Cono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.Elementos del cono oblicuo:
Radio (r) o semiejes de la elipse a, bAltura (h)
Figuras:
r
h
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono oblicuoCono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.
Elementos del cono oblicuo:
Radio (r) o semiejes de la elipse a, bAltura (h)
Figuras:
r
h
V
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono oblicuoCono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.Elementos del cono oblicuo:
Radio (r) o semiejes de la elipse a, bAltura (h)
Figuras:
r
h
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono oblicuoCono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.Elementos del cono oblicuo:
Radio (r) o semiejes de la elipse a, b
Altura (h)
Figuras:
r
h
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
DefiniciónTipos de conos
Definición de cono oblicuoCono cuyo eje de revoluvión no esperpendicular a su base. Esta puede ser circularo elíptica.Elementos del cono oblicuo:
Radio (r) o semiejes de la elipse a, bAltura (h)
Figuras:
r
h
V
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Desarrollo de un cono rectoObtención a partir de sus elementos:
Elementos del desarrollo
1 Radio y generatriz. (r y h)2 Ángulo α⇒ α = 360◦ · r
g
Desarrollo
g
r
α
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El cilindroEl conoLa esfera
Desarrollo de un cono rectoObtención a partir de sus elementos:
Elementos del desarrollo1 Radio y generatriz. (r y h)
2 Ángulo α⇒ α = 360◦ · rg
Desarrollo
g
r
α
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
Desarrollo de un cono rectoObtención a partir de sus elementos:
Elementos del desarrollo1 Radio y generatriz. (r y h)2 Ángulo α⇒ α = 360◦ · r
g
Desarrollo
g
r
α
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cono rectoObtención a partir de su desarrollo
Área de un cono:
1 A = Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)
Desarrollo
g
r
α
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El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cono rectoObtención a partir de su desarrollo
Área de un cono:1 A = Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)
Desarrollo
g
r
α
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cono rectoObtención a partir de su desarrollo
Área de un cono:1 A = Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)
Desarrollo
g
r
α
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cono rectoObtención a partir de su desarrollo
Área de un cono:1 A = Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = π · r · g
4 A = π · r · (r + g)
Desarrollo
g
r
α
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área de un cono rectoObtención a partir de su desarrollo
Área de un cono:1 A = Ab +Al
2 Ab = π · r2
3 Al = π · r · g4 A = π · r · (r + g)
Desarrollo
g
r
α
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Volumen de un conoObtención a partir de sus elementos
Volumen del cono:
1 Para cualquier cono: V = Ab · h3
2 Si la base es circular:V = π · r2 · h
33 Si la base es elíptica:V = π · a · b · h
34 Es la terecera parte del volumen
de un cilindro de dimensionesiguales.
Figuras:
David Matellano Cuerpos geométricos
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El cilindroEl conoLa esfera
Volumen de un conoObtención a partir de sus elementos
Volumen del cono:
1 Para cualquier cono: V = Ab · h3
2 Si la base es circular:V = π · r2 · h
33 Si la base es elíptica:V = π · a · b · h
34 Es la terecera parte del volumen
de un cilindro de dimensionesiguales.
Figuras:
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
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PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Volumen de un conoObtención a partir de sus elementos
Volumen del cono:
1 Para cualquier cono: V = Ab · h3
2 Si la base es circular:V = π · r2 · h
3
3 Si la base es elíptica:V = π · a · b · h
34 Es la terecera parte del volumen
de un cilindro de dimensionesiguales.
Figuras:
r
h
V
r
h g
V
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Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Volumen de un conoObtención a partir de sus elementos
Volumen del cono:
1 Para cualquier cono: V = Ab · h3
2 Si la base es circular:V = π · r2 · h
33 Si la base es elíptica:V = π · a · b · h
3
4 Es la terecera parte del volumende un cilindro de dimensionesiguales.
Figuras:
ab
h g
V
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Volumen de un conoObtención a partir de sus elementos
Volumen del cono:
1 Para cualquier cono: V = Ab · h3
2 Si la base es circular:V = π · r2 · h
33 Si la base es elíptica:V = π · a · b · h
34 Es la terecera parte del volumen
de un cilindro de dimensionesiguales.
Figuras:
r
h g
V
r
h
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Definición de esfera como sólido de revolución.Elementos
La esfera:
Sólido de revolución generado al girar 180◦ uncírculo alrededor de un diámetro.Se caracterizan por su radio.
Figuras
r
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Definición de esfera como sólido de revolución.Elementos
La esfera:Sólido de revolución generado al girar 180◦ uncírculo alrededor de un diámetro.Se caracterizan por su radio.
Figuras
r
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área y volumen de una esfera:Cálculo:
Área y volumen.
A = 4π · r2
V = 4π · r3
3
Figuras
r
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Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área y volumen de una esfera:Cálculo:
Área y volumen.A = 4π · r2
V = 4π · r3
3
Figuras
r
David Matellano Cuerpos geométricos
Definición de poliedroPoliedros regularesRelación de Euler
Principio de CavallieriPrismas
PirámidesCuerpos de revolución
El cilindroEl conoLa esfera
Área y volumen de una esfera:Cálculo:
Área y volumen.A = 4π · r2
V = 4π · r3
3
Figuras
r
David Matellano Cuerpos geométricos