solucion lmina bt ii 220 dodecaedro e icosaedro 20092010

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solucion de ejercicio dodecaedro

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  • Didrico: Dodecaedro e Icosaedro

    BT II 2.20

    CE

    NTR

    O

    Dib

    ujar

    las

    proy

    ecci

    ones

    del

    dode

    caed

    ro a

    poya

    do e

    n el

    PH

    , cuy

    aca

    ra-b

    ase

    es e

    l pen

    tgo

    no re

    gula

    r,di

    buja

    do e

    n pr

    oyec

    cin

    hor

    izon

    tal

    Dib

    ujar

    las

    proy

    ecci

    ones

    del i

    cosa

    edro

    apo

    yado

    en

    el P

    H, c

    uya

    cara

    -bas

    e es

    el tr

    ing

    ulo

    equi

    lte

    ro,

    dibu

    jado

    en

    proy

    ecci

    nho

    rizon

    tal

    A1

    H1

    L 1

    K1

    D1

    G1

    F 1J 1

    M1

    I 1

    B1

    O1

    C1

    E1

    I' 0

    F' 0

    F 0

    L 0

    h2

    h1h1h2

    h3

    G2

    F 2

    B2

    C2

    A2

    H2

    D2

    E2

    L 2K

    2J 2

    I 2

    A1

    F 1

    K1

    Q1

    R1

    B1

    G1

    M1

    S1

    H1

    N1

    T 1

    D1I 1

    P1

    J 1

    E1

    O1

    L 1

    V1

    M

    M' 0

    H' 0

    h1

    h2

    h1

    h2

    h3I 2

    C1

    E2

    A2

    D2

    B2

    C2

    H2

    G2

    M2

    N2

    L2

    P2

    J2

    F2

    K2

    Q2

    V2

    R2

    T2

    S2

    M0

    H0

    G0

    M'

    I 0

    Didrico: Dodecaedro e IcosaedroAGR

  • Didrico: Dodecaedro e Icosaedro

    BT II 2.20

    CE

    NTR

    O

    Icos

    aedr

    o: T

    enie

    ndo

    en c

    uent

    a lo

    vis

    to e

    n la

    intro

    duci

    n te

    ric

    a,te

    nem

    os la

    sig

    uien

    te c

    onst

    rucc

    in:

    1.S

    e di

    buja

    n do

    s pe

    ntg

    onos

    regu

    lare

    s de

    lado

    s A

    1B1

    y B

    1C1,

    aba

    timie

    ntos

    de la

    s ba

    ses

    de la

    s pi

    rm

    ides

    pen

    tago

    nale

    s, q

    ue fo

    rman

    el i

    cosa

    edro

    .S

    lo

    se h

    an n

    ombr

    ado

    aque

    llos

    abat

    imie

    ntos

    , que

    inte

    resa

    n pa

    ra le

    expl

    icac

    in

    2.S

    e di

    buja

    por

    I0

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    l lad

    o A

    1B1,

    que

    cor

    ta a

    la a

    ltura

    de la

    bas

    e M

    B1,

    en

    la p

    roye

    cci

    n I1

    . El r

    adio

    O1I

    1 es

    el d

    e la

    circ

    unfe

    renc

    ia, d

    onde

    est

    n la

    s pr

    oyec

    cion

    es h

    oriz

    onta

    les

    de lo

    s v

    rtice

    sin

    term

    edio

    s D

    , E, F

    , G, H

    e I

    , for

    man

    do u

    n he

    xgo

    no re

    gula

    r, qu

    e se

    dete

    rmin

    a po

    r int

    erse

    cci

    n co

    n la

    circ

    unfe

    renc

    ia, d

    e la

    s ln

    eas

    que

    unen

    cada

    vr

    tice

    de la

    bas

    e c

    on lo

    s pu

    ntos

    med

    ios

    del l

    ado

    opue

    sto.

    3.D

    eter

    min

    aci

    n de

    la a

    ltura

    h1,

    par

    a el

    lo:

    S

    e di

    buja

    por

    F1

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    l F1M

    1.

    Se

    dibu

    ja c

    on c

    entro

    M1

    y ra

    dio

    M1A

    1 (a

    ltura

    del

    tri

    ngul

    o) u

    n ar

    co q

    ueco

    rta a

    la p

    erpe

    ndic

    ular

    ant

    erio

    r en

    el p

    unto

    F' 0.

    El s

    egm

    ento

    F1F

    '0 =

    h1es

    la a

    ltura

    de

    los

    vrti

    ces

    D, E

    y F

    .4.

    Det

    erm

    inac

    in

    h 2:

    S

    e di

    buja

    por

    I1

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    l B1I

    1.

    Se

    dibu

    ja c

    on c

    entro

    B1

    y ra

    dio

    el la

    do d

    el tr

    ing

    ulo

    un a

    rco

    que

    corta

    a la

    perp

    endi

    cula

    r ant

    erio

    r en

    el p

    unto

    I'0.

    El s

    egm

    ento

    I1I

    '0 =

    h2 a

    ltura

    de

    los

    vrti

    ces

    G, H

    e I

    .5.

    La a

    ltura

    h3

    = h1

    + h

    2 es

    la d

    e lo

    s v

    rtice

    s K

    , L y

    J, q

    ue s

    e pr

    oyec

    tan

    horiz

    onta

    lmen

    te s

    egn

    un

    trin

    gulo

    inv

    ertid

    o re

    spec

    to d

    el b

    ase.

    6.S

    e di

    buja

    n ln

    eas

    para

    lela

    s a

    la L

    T, p

    or e

    ncim

    a y

    a la

    dis

    tanc

    ia h

    1, h

    2 y

    h3.

    7.S

    e di

    buja

    n ln

    eas

    para

    lela

    s a

    la L

    T, p

    or e

    ncim

    a y

    a la

    s di

    stan

    cias

    h1,

    h2

    yh 3

    .8.

    Des

    de la

    s pr

    oyec

    cion

    es h

    oriz

    onta

    les

    de lo

    s v

    rtice

    s de

    l dod

    ecae

    dro,

    se

    dibu

    jan

    las

    lnea

    s de

    pro

    yecc

    in,

    cor

    tand

    o a

    las

    para

    lela

    s an

    terio

    res,

    sin

    olvi

    dar l

    a LT

    , en

    las

    proy

    ecci

    ones

    ver

    tical

    es d

    e lo

    s v

    rtice

    s de

    ldo

    deca

    edro

    , que

    uni

    das

    conv

    enie

    ntem

    ente

    dan

    la p

    roye

    cci

    n ve

    rtica

    l del

    dode

    caed

    ro.

    Tant

    o en

    el c

    aso

    del d

    odec

    aedr

    o co

    mo

    del i

    cosa

    edro

    , se

    les

    pued

    ese

    ccio

    nar p

    or p

    roye

    ctan

    tes,

    y o

    bten

    er s

    us tr

    ansf

    orm

    adas

    , de

    igua

    l man

    era

    aco

    mo

    se re

    aliz

    o en

    cas

    os a

    nter

    iore

    s. E

    n ca

    so d

    e qu

    e el

    pla

    no s

    ea o

    blic

    uo, e

    lpr

    oced

    imie

    nto

    ms

    con

    veni

    ente

    es

    el c

    ambi

    o de

    pla

    no, a

    unqu

    e ha

    ya q

    uedi

    buja

    r la

    nuev

    a pr

    oyec

    cin

    ver

    tical

    .

    Dod

    ecae

    dro:

    Ten

    iend

    o en

    cue

    nta

    lo v

    isto

    en

    la in

    trodu

    cin

    ter

    ica,

    tene

    mos

    la s

    igui

    ente

    con

    stru

    cci

    n:

    1.S

    e di

    buja

    a p

    artir

    del

    pen

    tgo

    no d

    ado,

    AB

    CD

    E, o

    tro p

    ent

    gono

    del

    mis

    mo

    lado

    , por

    eje

    mpl

    o B

    1C1,

    est

    e pe

    ntg

    ono

    es e

    l aba

    timie

    nto

    de la

    futu

    ra c

    ara

    BC

    HM

    G. L

    a po

    sici

    n d

    e s

    te d

    epen

    de d

    el e

    spac

    io d

    ispo

    nibl

    e.2.

    Se

    dibu

    ja d

    esde

    H0,

    aba

    timie

    nto

    del f

    utur

    o v

    rtice

    H, u

    na l

    nea

    perp

    endi

    cula

    r al l

    ado

    (su

    prol

    onga

    cin

    ), B

    C, q

    ue c

    orta

    a la

    lne

    a M

    C1,

    en

    la p

    roye

    cci

    n H

    1.3.

    Las

    proy

    ecci

    ones

    hor

    izon

    tale

    s de

    los

    vrti

    ces

    F, G

    , H, I

    , J, K

    , L, M

    , N y

    Pes

    tn

    sobr

    e la

    circ

    unfe

    renc

    ia d

    e ce

    ntro

    O1

    (l d

    el p

    ent

    gono

    bas

    e) y

    radi

    oO

    H1,

    form

    ando

    un

    dec

    gono

    regu

    lar,

    que

    se d

    eter

    min

    a po

    r int

    erse

    cci

    nco

    n la

    circ

    unfe

    renc

    ia, d

    e la

    s ln

    eas

    que

    unen

    cad

    a v

    rtice

    de

    la b

    ase

    con

    los

    punt

    os m

    edio

    s de

    l lad

    o op

    uest

    o.4.

    Det

    erm

    inac

    in

    de la

    altu

    ra h

    1, p

    ara

    ello

    :

    Se

    dibu

    ja p

    or H

    1 un

    a ln

    ea p

    erpe

    ndic

    ular

    a la

    pro

    yecc

    in

    de la

    aris

    ta C

    1H1.

    S

    e di

    buja

    con

    cen

    tro C

    1 y

    radi

    o el

    lado

    del

    pen

    tgo

    no b

    ase,

    un

    arco

    que

    corta

    a la

    per

    pend

    icul

    ar a

    nter

    ior e

    n el

    pun

    to H

    ' 0. E

    l seg

    men

    to H

    1H'0

    = h1

    altu

    ra d

    e lo

    s v

    rtice

    s F,

    G, H

    , I y

    J.

    5.D

    eter

    min

    aci

    n de

    la a

    ltura

    h2:

    S

    e di

    buja

    por

    M1

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    la l

    nea

    M'M

    1.

    Se

    dibu

    ja c

    on c

    entro

    M' y

    radi

    o la

    altu

    ra M

    'M0

    del p

    ent

    gono

    , un

    arco

    que

    corta

    a la

    per

    pend

    icul

    ar a

    nter

    ior e

    n el

    pun

    to M

    ' 0. E

    l seg

    men

    to M

    1M'0

    = h2

    altu

    ra d

    e lo

    s v

    rtice

    s K

    , L, M

    , N y

    P.

    6.La

    altu

    ra h

    3 =

    h1 +

    h2

    es la

    de

    los

    vrti

    ces

    Q, R

    , S, T

    y U

    , de

    la ta

    pa-b

    ase

    supe

    rior,

    que

    se p

    roye

    ctan

    hor

    izon

    talm

    ente

    seg

    n u

    n pe

    ntg

    ono

    inve

    rtido

    resp

    ecto

    del

    bas

    e.7.

    Se

    dibu

    jan

    lnea

    s pa

    rale

    las

    a la

    LT,

    por

    enc

    ima

    y a

    las

    dist

    anci

    as h

    1, h

    2 y

    h 3.

    8.D

    esde

    las

    proy

    ecci

    ones

    hor

    izon

    tale

    s de

    los

    vrti

    ces

    del d

    odec

    aedr

    o, s

    edi

    buja

    n la

    s ln

    eas

    de p

    roye

    cci

    n, c

    orta

    ndo

    a la

    s pa

    rale

    las

    ante

    riore

    s, s

    inol

    vida

    r la

    LT, e

    n la

    s pr

    oyec

    cion

    es v

    ertic

    ales

    de

    los

    vrti

    ces

    del

    dode

    caed

    ro, q

    ue u

    nida

    s co

    nven

    ient

    emen

    te d

    an la

    pro

    yecc

    in

    verti

    cal d

    eldo

    deca

    edro

    .

    AGR

  • Didrico: Dodecaedro e Icosaedro

    BT II 2.20

    CE

    NTR

    O

    Dib

    ujar

    las

    proy

    ecci

    ones

    del

    dode

    caed

    ro a

    poya

    do e

    n el

    PH

    , cuy

    aca

    ra-b

    ase

    es e

    l pen

    tgo

    no re

    gula

    r,di

    buja

    do e

    n pr

    oyec

    cin

    hor

    izon

    tal

    Dib

    ujar

    las

    proy

    ecci

    ones

    del i

    cosa

    edro

    apo

    yado

    en

    el P

    H, c

    uya

    cara

    -bas

    e es

    el tr

    ing

    ulo

    equi

    lte

    ro,

    dibu

    jado

    en

    proy

    ecci

    nho

    rizon

    tal

    A1

    H1

    L 1

    K1

    D1

    G1

    F 1J 1

    M1

    I 1

    B1

    O1

    C1

    E1

    I' 0

    F' 0

    F 0

    L 0

    h2

    h1h1h2

    h3

    G2

    F 2

    B2

    C2

    A2

    H2

    D2

    E2

    L 2K

    2J 2

    I 2

    A1

    F 1

    K1

    Q1

    R1

    B1

    G1

    M1

    S1

    H1

    N1

    T 1

    D1I 1

    P1

    J 1

    E1

    O1

    L 1

    V1

    M

    M' 0

    H' 0

    h1

    h2

    h1

    h2

    h3I 2

    C1

    E2

    A2

    D2

    B2

    C2

    H2

    G2

    M2

    N2

    L2

    P2

    J2

    F2

    K2

    Q2

    V2

    R2

    T2

    S2

    M0

    H0

    G0

    M'

    I 0

    AGR

  • Didrico: Dodecaedro e Icosaedro

    BT II 2.20

    CE

    NTR

    O

    Icos

    aedr

    o: T

    enie

    ndo

    en c

    uent

    a lo

    vis

    to e

    n la

    intro

    duci

    n te

    ric

    a,te

    nem

    os la

    sig

    uien

    te c

    onst

    rucc

    in:

    1.S

    e di

    buja

    n do

    s pe

    ntg

    onos

    regu

    lare

    s de

    lado

    s A

    1B1

    y B

    1C1,

    aba

    timie

    ntos

    de la

    s ba

    ses

    de la

    s pi

    rm

    ides

    pen

    tago

    nale

    s, q

    ue fo

    rman

    el i

    cosa

    edro

    .S

    lo

    se h

    an n

    ombr

    ado

    aque

    llos

    abat

    imie

    ntos

    , que

    inte

    resa

    n pa

    ra le

    expl

    icac

    in

    2.S

    e di

    buja

    por

    I0

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    l lad

    o A

    1B1,

    que

    cor

    ta a

    la a

    ltura

    de la

    bas

    e M

    B1,

    en

    la p

    roye

    cci

    n I1

    . El r

    adio

    O1I

    1 es

    el d

    e la

    circ

    unfe

    renc

    ia, d

    onde

    est

    n la

    s pr

    oyec

    cion

    es h

    oriz

    onta

    les

    de lo

    s v

    rtice

    sin

    term

    edio

    s D

    , E, F

    , G, H

    e I

    , for

    man

    do u

    n he

    xgo

    no re

    gula

    r, qu

    e se

    dete

    rmin

    a po

    r int

    erse

    cci

    n co

    n la

    circ

    unfe

    renc

    ia, d

    e la

    s ln

    eas

    que

    unen

    cada

    vr

    tice

    de la

    bas

    e c

    on lo

    s pu

    ntos

    med

    ios

    del l

    ado

    opue

    sto.

    3.D

    eter

    min

    aci

    n de

    la a

    ltura

    h1,

    par

    a el

    lo:

    S

    e di

    buja

    por

    F1

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    l F1M

    1.

    Se

    dibu

    ja c

    on c

    entro

    M1

    y ra

    dio

    M1A

    1 (a

    ltura

    del

    tri

    ngul

    o) u

    n ar

    co q

    ueco

    rta a

    la p

    erpe

    ndic

    ular

    ant

    erio

    r en

    el p

    unto

    F' 0.

    El s

    egm

    ento

    F1F

    '0 =

    h1es

    la a

    ltura

    de

    los

    vrti

    ces

    D, E

    y F

    .4.

    Det

    erm

    inac

    in

    h 2:

    S

    e di

    buja

    por

    I1

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    l B1I

    1.

    Se

    dibu

    ja c

    on c

    entro

    B1

    y ra

    dio

    el la

    do d

    el tr

    ing

    ulo

    un a

    rco

    que

    corta

    a la

    perp

    endi

    cula

    r ant

    erio

    r en

    el p

    unto

    I'0.

    El s

    egm

    ento

    I1I

    '0 =

    h2 a

    ltura

    de

    los

    vrti

    ces

    G, H

    e I

    .5.

    La a

    ltura

    h3

    = h1

    + h

    2 es

    la d

    e lo

    s v

    rtice

    s K

    , L y

    J, q

    ue s

    e pr

    oyec

    tan

    horiz

    onta

    lmen

    te s

    egn

    un

    trin

    gulo

    inv

    ertid

    o re

    spec

    to d

    el b

    ase.

    6.S

    e di

    buja

    n ln

    eas

    para

    lela

    s a

    la L

    T, p

    or e

    ncim

    a y

    a la

    dis

    tanc

    ia h

    1, h

    2 y

    h3.

    7.S

    e di

    buja

    n ln

    eas

    para

    lela

    s a

    la L

    T, p

    or e

    ncim

    a y

    a la

    s di

    stan

    cias

    h1,

    h2

    yh 3

    .8.

    Des

    de la

    s pr

    oyec

    cion

    es h

    oriz

    onta

    les

    de lo

    s v

    rtice

    s de

    l dod

    ecae

    dro,

    se

    dibu

    jan

    las

    lnea

    s de

    pro

    yecc

    in,

    cor

    tand

    o a

    las

    para

    lela

    s an

    terio

    res,

    sin

    olvi

    dar l

    a LT

    , en

    las

    proy

    ecci

    ones

    ver

    tical

    es d

    e lo

    s v

    rtice

    s de

    ldo

    deca

    edro

    , que

    uni

    das

    conv

    enie

    ntem

    ente

    dan

    la p

    roye

    cci

    n ve

    rtica

    l del

    dode

    caed

    ro.

    Tant

    o en

    el c

    aso

    del d

    odec

    aedr

    o co

    mo

    del i

    cosa

    edro

    , se

    les

    pued

    ese

    ccio

    nar p

    or p

    roye

    ctan

    tes,

    y o

    bten

    er s

    us tr

    ansf

    orm

    adas

    , de

    igua

    l man

    era

    aco

    mo

    se re

    aliz

    o en

    cas

    os a

    nter

    iore

    s. E

    n ca

    so d

    e qu

    e el

    pla

    no s

    ea o

    blic

    uo, e

    lpr

    oced

    imie

    nto

    ms

    con

    veni

    ente

    es

    el c

    ambi

    o de

    pla

    no, a

    unqu

    e ha

    ya q

    uedi

    buja

    r la

    nuev

    a pr

    oyec

    cin

    ver

    tical

    .

    Dod

    ecae

    dro:

    Ten

    iend

    o en

    cue

    nta

    lo v

    isto

    en

    la in

    trodu

    cin

    ter

    ica,

    tene

    mos

    la s

    igui

    ente

    con

    stru

    cci

    n:

    1.S

    e di

    buja

    a p

    artir

    del

    pen

    tgo

    no d

    ado,

    AB

    CD

    E, o

    tro p

    ent

    gono

    del

    mis

    mo

    lado

    , por

    eje

    mpl

    o B

    1C1,

    est

    e pe

    ntg

    ono

    es e

    l aba

    timie

    nto

    de la

    futu

    ra c

    ara

    BC

    HM

    G. L

    a po

    sici

    n d

    e s

    te d

    epen

    de d

    el e

    spac

    io d

    ispo

    nibl

    e.2.

    Se

    dibu

    ja d

    esde

    H0,

    aba

    timie

    nto

    del f

    utur

    o v

    rtice

    H, u

    na l

    nea

    perp

    endi

    cula

    r al l

    ado

    (su

    prol

    onga

    cin

    ), B

    C, q

    ue c

    orta

    a la

    lne

    a M

    C1,

    en

    la p

    roye

    cci

    n H

    1.3.

    Las

    proy

    ecci

    ones

    hor

    izon

    tale

    s de

    los

    vrti

    ces

    F, G

    , H, I

    , J, K

    , L, M

    , N y

    Pes

    tn

    sobr

    e la

    circ

    unfe

    renc

    ia d

    e ce

    ntro

    O1

    (l d

    el p

    ent

    gono

    bas

    e) y

    radi

    oO

    H1,

    form

    ando

    un

    dec

    gono

    regu

    lar,

    que

    se d

    eter

    min

    a po

    r int

    erse

    cci

    nco

    n la

    circ

    unfe

    renc

    ia, d

    e la

    s ln

    eas

    que

    unen

    cad

    a v

    rtice

    de

    la b

    ase

    con

    los

    punt

    os m

    edio

    s de

    l lad

    o op

    uest

    o.4.

    Det

    erm

    inac

    in

    de la

    altu

    ra h

    1, p

    ara

    ello

    :

    Se

    dibu

    ja p

    or H

    1 un

    a ln

    ea p

    erpe

    ndic

    ular

    a la

    pro

    yecc

    in

    de la

    aris

    ta C

    1H1.

    S

    e di

    buja

    con

    cen

    tro C

    1 y

    radi

    o el

    lado

    del

    pen

    tgo

    no b

    ase,

    un

    arco

    que

    corta

    a la

    per

    pend

    icul

    ar a

    nter

    ior e

    n el

    pun

    to H

    ' 0. E

    l seg

    men

    to H

    1H'0

    = h1

    altu

    ra d

    e lo

    s v

    rtice

    s F,

    G, H

    , I y

    J.

    5.D

    eter

    min

    aci

    n de

    la a

    ltura

    h2:

    S

    e di

    buja

    por

    M1

    una

    lnea

    per

    pend

    icul

    ar a

    la l

    nea

    M'M

    1.

    Se

    dibu

    ja c

    on c

    entro

    M' y

    radi

    o la

    altu

    ra M

    'M0

    del p

    ent

    gono

    , un

    arco

    que

    corta

    a la

    per

    pend

    icul

    ar a

    nter

    ior e

    n el

    pun

    to M

    ' 0. E

    l seg

    men

    to M

    1M'0

    = h2

    altu

    ra d

    e lo

    s v

    rtice

    s K

    , L, M

    , N y

    P.

    6.La

    altu

    ra h

    3 =

    h1 +

    h2

    es la

    de

    los

    vrti

    ces

    Q, R

    , S, T

    y U

    , de

    la ta

    pa-b

    ase

    supe

    rior,

    que

    se p

    roye

    ctan

    hor

    izon

    talm

    ente

    seg

    n u

    n pe

    ntg

    ono

    inve

    rtido

    resp

    ecto

    del

    bas

    e.7.

    Se

    dibu

    jan

    lnea

    s pa

    rale

    las

    a la

    LT,

    por

    enc

    ima

    y a

    las

    dist

    anci

    as h

    1, h

    2 y

    h 3.

    8.D

    esde

    las

    proy

    ecci

    ones

    hor

    izon

    tale

    s de

    los

    vrti

    ces

    del d

    odec

    aedr

    o, s

    edi

    buja

    n la

    s ln

    eas

    de p

    roye

    cci

    n, c

    orta

    ndo

    a la

    s pa

    rale

    las

    ante

    riore

    s, s

    inol

    vida

    r la

    LT, e

    n la

    s pr

    oyec

    cion

    es v

    ertic

    ales

    de

    los

    vrti

    ces

    del

    dode

    caed

    ro, q

    ue u

    nida

    s co

    nven

    ient

    emen

    te d

    an la

    pro

    yecc

    in

    verti

    cal d

    eldo

    deca

    edro

    .

    AGR

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