OTRASESFERASGEODESICASCualquieradelos5sólidosplatónicosesinscribibleenunaesferaquedaasientoatodoslosvérti-cesdecadapoliedro.Así,eltetraedrosepareceaunaesferaaunquesólotiene4puntosesféricos.Eldodecaedrotiene20;ésteseparecemásaunaesfera,peronodemasiado:ruedapocoymal.Truncandolospoliedrosplatónicos,Arquímedesconsiguióqueéstosrodaranmejor.Taleselcasodesuicosaedrotruncadoquetiene60vértices.Seconsiguerebanandocadaunodelos12vérticesdelicosaedroregulardemaneraquedesaparecentodosellos,peroalhacerlo,aparecen5nuevosporcadaunoeliminado:losvértices,ademásdeserlodelpoliedro,losondeunapirámidepentago-nal:elcorteproduceunpentágonobajocadavérticedesaparecido.Eltruncamientohadeproducirseconunplanonormalalaalturadeesapirámideporunpuntoquedistedelvérticedeella1/3dedichaaltura.Altruncarsegúnsustresvértices,eltriánguloequilá-terodecadacaralateraldelapirámide(ycaradelicosaedro)seconvierteenunhexágono.Elresultadoesquedondehabíaunvérticeapareceunpentágonorodeadode5hexágonos.Eltotaldecarases32:12pentágonos(unoporcadavértice)más20hexágonos(unoporcadacara).Losladosdelospentágonosydeloshexágonos(todosregulares)soniguales:sonlas90aristasdelicosaedrotruncado(60vértices+32caras–2=90aristas,segúnEuler).Parafacilitarunagranconstrucciónpuedentriangularsetantoloshexágonoscomolospentágonos.Lostriángulosdelhexágonosonequiláterosylosdelpentágono,isósceles(elradiodeunpentá-

gonoesmenorquesulado:r≈0,85l).Esospolígonossepuedeninclusopiramidarparaobtener32nuevosvértices(unoporcadacara)situadosenlaesferacircunscritaalicosaedrotruncado.Estaideaeslaqueyovoyadesarrollar,noapartirdeunicosaedrotruncado,sinodeundodecae-droydeunicosaedroregulares,respectivamente.Consumaniobradetruncamiento,Arquímedesesferificólospoliedrosplatónicosabasedequitarlesmateria.Yovoyahacerlocontrario:voyaesferificarundodecaedroyunicosaedroregularesaumentándolesmateria.

DODECAEDROParaaumentarelparecidodeundodecaedroregularconunaesfera,imaginemosaaquelinscritoensuesfera.Unamoselcentro(deesferaydodecaedro)conelcentrodeunacaradelpoliedropro-longandoestalíneahastaquetoqueenlaesfera.Elpuntoobtenidoasíserácomúnalaesferayaunnuevopoliedroquesecrearáasentandosobrelacaradeldodecaedrounapirámidepentagonaldevérticeelpuntoobtenidoenlaesfera.Haciendoestaoperaciónconlas12carasdeldodecaedrotenemosunnuevopoliedrode32vérti-ces:Sus20originalesmáslos12nuevosqueseañaden.Sepuedecomprobarqueestenuevopoliedroruedamuchomejorqueeldodecaedro.LaFig.1lorepresentamostrandolarelaciónquetambiénsedaenélentrepentágonosyhexágonos.Esunarelacióndistintaaladescritaparaelicosaedrotruncado,ymuyparticular.Aquí,pentágonos(ama-rillos)yhexágonos(verdes)estánimbricados.

Lospentágonossonregularesdeladolyradiop(verFig.4).Estántrianguladosen5triángu-losisóscelesiguales.Loshexágonossonirregulares.Sus6ladosigualesmidenp.Susradiosmiden,alternati-vamente,lyp.Sus6triángulosisósceles(lpp)sonigualesperoestándispuestosenalternan-ciadesimetríasalaredonda.Cuandohablodepentágonosyhexágonosyasevequepropiamentemeestoyrefiriendoalasvistasenplantaqueofrecensusrespecti-vaspirámides.Lapirámidepentagonalesregular;subaseeselpentágono–caradeldodecaedroysualtura,acalcular,esladiferenciaentreelradiodeesfera–dodecaedroyladistanciadelcentrodelpoliedroaldeunadesuscaras.

LaFig.2muestralacaradeundodecaedroyeldesarrollodeéste.LarelaciónentreelradioRdeldodecaedroresultanteyelladodesucara(l)es:R/l=1,4012586.

Fig.2

Fig.1

NOTACuandodécifrasderelaciónsinexplicarsuorigen,hayquereferirsealoscálculosdesarrolladosenesteenlace:

http://www.caprichos-ingenieros.com/ewExternalFiles/Extraordinario%202000.pdfydentrodeél,enlaspágs.191(207)/195(211).Lasmagnitudessedanenfuncióndelladoldelpoliedro.EnlacarapentagonaldelaizquierdadedichaFig.2setiene:r=radio=0,8506508la=apotema=0,6881909lA=granapotema=r+a=1,5388417l

LaFig.3esuncuriosocortediametraldeldodecaedroconsistenteenunhexágonoirregulardela-dosAAlAAl.Alaizquierdaseveelpoliedromostrandoenrojolapartevistadelcorteyasudere-cha,elcortepropiamentedicho. EstafiguradelcortesehapodidodibujargraciasaqueantessehancalculadoslosángulosE(épsi-lonenelenlace)yG(gammaenelenlace).Susvaloresresultaronser:E=116,56505oG=121,71748oAsísehadibujadoeltrapezoideVEGVdebaseVV;elotroquequedaasuderechaseobtienegiran-do180ºelanterior.VVeseldiámetro,ysupuntomedioOelcentro,respectivamente,deldodecae-droydesuesferacircunscrita.

Fig.3

LacuriosidaddelcorteevidenciaquelasinterseccionesAAnosonpuntosdelaesfera:sonelpuntomediodeunladodeldodecaedro.Encambio,sísonpuntosdelaesferalasinterseccionesAl.AsimismosepuedeobservarqueenunagranapotemaA,Weselcentrodelpentágono-cara,yVWsuradior.AlfinalresultaqueWXeslaalturadelapirámidepentagonalaañadirquebuscamos,siendoWX=OX–OWWX=R–OWR=1,4012586lOW=√(R2–r2)=l√(1,40125862-0,85065082)=1.1135165lWX=(1,4012586–1.1135165)l=0,2877421lElladodelapirámidebuscadaseráVX=p(asíesllamadaensudesarrollo,Fig.4):VX=√(WX2+WV2)=l√(0,28774212+r2)=l√(0,28774212+0,85065082)=0,897999lLapirámideencuestióntendrádebaseelpentágonodeunacaradeldodecaedroysuscincocaraslateralesserántriángulosisóscelesdebaselyladosigualesVX.LaFig.4essudesarrollo.Hayqueinsistirenquelostriángulosdelapirámide,talcomosedemuestra,nosonequiláteros,aunquepuedaparecerqueloson.LaFig.1,antesmostrada,eselnuevopolie-droresultantecomoesferageodésica.Ob-sérveseenellacómocadanuevovérticereflejaelpentágono(deladol)inscritoenlaesfera,porquefuecaraeneldodecaedro.Ycómolosprimitivosvérticesdeldodecae-dro(losvérticesdelanteriorpentágono)sonelcentrodelhexágonotanpeculiarantesdescrito.

Fig.4

ICOSAEDRONOTA Aunqueahoraseempleenlasmismasletrasqueantesseemplearonparaeldodecaedro,enestenuevoapartadosereferiránsóloalicosaedro.Unicosaedropuedeserconsideradocomounconjuntode20pirámidestriangularesequiláterasadosadas,consusvérticescomunesreunidosenelcentrodelpoliedro(ydesuesferacircunscrita).Tienenaparienciaescasamentealargada.Deboreconocerqueestapirámidealargadaylaqueluegollamaréchatanoestánrepresentadasdeformamuyconvincenteenlasfigurasquesiguen.Eslaservidumbreparahacerverloquedeellassenecesita.EstapirámideesladelaFig.5convérticeO(centrodelpoliedro).SubaseeseltriánguloequiláterorojodeladolysusaristaslateralessonlosradiosRdelpoliedro.ElcentrodelacaraeselpuntorojodelaFig.6.EnlaFig.7sevenunidosesecentrodecaraconelcentroOdelicosaedro.Elseg-mentoresultanteBeslaalturadelapirámidealargada.

EnelenlaceindicadoalprincipiosehacalculadoelradioRdelicosaedroquevale,enfuncióndesulado:R=0,9510565lYasevequeelradiodelicosaedroesunpocomenorquesulado.SirecordamosqueeneldodecaedroessuRadio/sulado=1,4012586,resultaqueinscribiendoenesferasigualesunicosaedroyundodecaedro,elladodelicosaedroresultaser1,4012586/0,9510565=1,4733705vecesmásgrandequeeldeldodecaedro(casivezymedia).

Fig.5 Fig.7Fig.6

Hagamosahoralomismoquehicimosantesconeldodecaedro,esdecir,prolonguemosBhastato-carlasuperficiedelaesferacircunscrita:lanuevalongitudtotalobtenidaseráR.EnlaFig.8seven,encirculitos,cuatropuntosdelaesferacircunscrita:lostresvérticesdelacararojayelnuevopun-toqueacabamosdeobtener.Setrata,endefinitiva,deadosaralapirámidedevérticeO,ysobresubasetriángulo-equilátera,yhaciafuera,otrapirámidechatadealturahigualaladiferenciaquehayentreRyB.Fig.9:Laalturadelapirámidealargada(B)eselcatetomayordeuntriángulorectángulocuyahi-potenusaesRysucatetomenor,elradiordeltriánguloequilátero-caradelicosaedro.Será,pues:B2=R2–r2Siendor=(√3/3)lr2=l2/3B2=0,95105652l2–l2/3=0,5711751l2B=0,7557612lLaalturadelapirámidechatahvaldráh=R–B=0,9510565l-0,7557612l=0,1952953lLascarasdeesapirámideserántriángulosisóscelesdebaselyladosigualesax.EnlaFig.10sevequexeslahipotenusadeuntriángulorectángulocuyoscatetossonryh,demaneraquetendremosx=√(r2+h2)=√(l2/3+0,19529532l2)=0.6094863l

Fig.8

Fig.9

LaFig.11eseldesarrollodelapirámidedeFig.10.YlaFig12eselpoliedroresultanteequivalentealaesferageodésicabasadaenunicosaedro.Enellasepuedeapreciarunpentágonoregularamari-lloyunhexágonoirregularverdequeresultasersemejantealyavistoenlaFig.1deldodecaedrogeodésico.Ambostienenigualessusánguloscorrespondientes.

Fig.11

Fig.10

Fig.12

Enelcuadrosiguientesepuedencompararlascaracterísticasdelicosaedrotruncadoylasdeldo-decaedroeicosaedroconvexosyregulares,conlasdelosmismospoliedrosgeodésicos(1y2)quehanresultadoalfinal.Sevequeestosdosúltimostienenelmismonúmerodecaras,aristasyvérti-ces.Yquesonbiensuperioresalospoliedrosregularesenmateria,precisamente,decantidaddecaras,aristasyvértices.Asimismoseponedemanifiestoquelasumadecaracterísticasdelosdospoliedrosgeodésicosydelicosaedrotruncado,eslamisma:60+90+32=182.CODANº1(Semejanzadeestospoliedros1y2conlosestrellados)

Enelenlacequedabaalprincipio,págs.211(227)/219(235),tratodelos4poliedroses-trelladosregularesquepuedenexistirsegúnEuler.ElqueyollamoallípoliedroestrelladoNº3,deespecieépsilon=3,tienecomobaseundodecaedroregularconvexoalqueseleadosan,encadacara,pirámidespentagonalesregularesdealtura1,3763819l.Elpoliedro2delcuadrotiene,encambio,pirámideschatasdealtura0,2877421l.ElqueyollamoallípoliedroestrelladoNº4,deespecieépsilon=7tienecomobaseunicosaedroregularconvexoalqueseleadosan,encadacara,pirámidestriangularesregularesdelado1,618034l.Elpoliedro1delcuadrotiene,encambio,pirámideschatasdelado0.6094863l.CODANº2(Unproductoderivado) Mientrastrabajabaentodoesto,miamigoMarianomeenseñaelmagníficolibrodemicono-cidoelinglésPaulJacksontituladoTEXTURASENPAPEL,técnicasdediseñodesuperficies.Locom-próenelCentroNiemeyerdeAviésymeloenseñóporsospecharqueseríademiinterés.Yloera:comotodolodeeseautor.Aélloconozco,enladistancia,desdesuaportaciónal2ºEncuentroInternacionaldelaCienciadelOrigamiyelOrigamicientofico,deOtsu,Japón(1994;UniversidadSeiandeArteyDiseño).Allí,PaulJacksonpresentólaponenciaOnecreaseorigami:lessismore,quemefascinó.Después(creoquefueen2011)tuveocasióndecomerconél,sumujerysuniñaenElEscorialconmotivodelaXIVConvenciónPapiroflexiaAEP(AsociaciónEspañoladePapiroflexia).Puesbien,comoteníaunsobrantedelpapelespecialqueempleoenmispoliedrosgeodésicos,pen-séejecutarconélunapequeñamuestra(Fig.13)delplisadoenespigaquesemuestraenellibrodePaulJackson(Página93).Sobreellavoyahacerunoscomentarios.

Alplisadoquenuestroautorllama“enherradura”yoprefierollamarlo“enespiga”porelparecidoconeltejidoenespiguilla.Elpapelqueusoparalosexterioresdelospoliedrosesunpapelfotográficoencolor,degramaje100ycolorazulmuyoscuro(blancoenelreverso;enlaFig.13,elanversoestáalaizquierdayelreversoaladerecha).Paraobtenerelblancodelaslíneasdeplegado,P.Jrecomiendapasarsobreellasunalimadeuñaspararetirareltintedelpapelydejaralavistaloblancodelfondo.Hayquesuponerqueestaoperaciónseharápresentandoelmodomontesobrelasuperficieoscura,paratodoslossegmentosdepliegue.Loquehagoenmicasoesdibujarconlápiztodaslaslíneasdeplegadoenelreversoblancodelpa-pelutilizandounaplantilladeespiga.Despuésrepasoesaslíneasconlapuntadeunatijerayunaregla.Comoesdifícilsaberaprioriquétramosdelíneaseránenmonteoenvalle,hagounplegadopreviodetodoslostramosenambossentidos.Sóloconestaoperacióntodaslostramosplegadostantoenmontecomoenvalle,vistosdesdeelladooscurodelasuperficieaparecen,apiezaacaba-da,segúnunafinalíneablancacomoconsecuenciadelmínimodesgarroproducidoenelplegadopreviosobrelacapadetintura.Otracuestión.Lafiguradelareferidapágina93muestrahorizontalmenteunalíneaenzigzagchatoquenosirvesinoparaconfundiralplegador,puesnopuedeserlíneadeplegado.Eltrucoquehaydetrásdeunafiguratanbellaeslaexistenciadeunosromboidesalargadosqueformanlaespigaasentadossobrelaslargaslíneasparalelas.Ladiagonalmenordeunromboidelodivideendostriángulosrectángulosigualesdemaneraquecadaunodeellostienesuhipotenusasobreunadelaslargaslíneasparalelasyelvérticedesuángulorectosobrelaotra(suadyacente).LaFig.15esla14completamenteaplastadamostrandoquenoexistelíneadeplegadoenladiagonalmenordelromboide.

Fig.13

Asísecumplelaimprescindiblecondiciónrequeridaparaquelosplegadosqueconfluyenenunnodoresultenaplastables,queesloqueseconsigueenlaFig.13.ElloeslaexpresióndelteoremadelincentrodeFushimiquedice:

“Paraproduciraplastamientoentornodeunnodo,escondiciónnecesaria(peronosuficiente)quelosángulosquetienencomovérticeelnodoycomoladoslaslíneasdeplegadoenélconcurrentessumen180otomadosenordenalterno”.

Delenunciadodelteoremasederivantrescosas:-Lodelordenalternoimplicaquelosángulosquehandeconcurrirenunnodoloseránennúmeropar.Deserimpar,algunalíneadeplegadosedesaprovechará.-Elnúmeroparesadmisibleencualquiercuantía.-Lacondicióndesuficienciaimplicaqueenelaplastamientonohadeproducirseinterferenciaentrelascarasaplastadas.Enlafiguradelapágina93dellibrodeP.Jlosromboidesaparecenatravesadosporaquelzigzagchatoqueaparentaserunalíneadeplegadoquenopuedeexistir.Encadanodoconcurren4planos,no6.

LaFig.14separecemásaunachistorrretaqueaunteo-rema.Yonopretendíaeso,peroelresultadoeselquees.Miintencióneraaplicaraunrelievecomoeldelasfiguras13elrecursoimaginativoydesingularrepercusiónestéti-cadelosplisadoscortadosqueP.Jdesarrollaenlapágina99desulibro.Yademás,queríaimplicarlosenplegadosaplastablesdemásdecuatroplanosconcurrentes.EnestaFig.14here-saltadoenazullas6líneasdeplegadoqueconvergenenunnodosatisfaciendolascondicionesdelteoremadeFushimiqueseexigenparaplegadosaplastables.

Fig.14

Fig.15