de l’euro al joule. f´ısica del medi ambientpagines.uab.cat/dcampos/sites/pagines.uab.cat... ·...

De l’euro al Joule. Fısica del medi ambient

Francesc XavierAlvarez, Daniel Campos

Facultat de CienciesDepartament de Fısica

Bellaterra

12 de gener de 2017

Index

Index iv

I Aplicacions 1

1 El consum de combustible en un cotxe 31.1 Energia per al transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 A que destina el cotxe la benzina? . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Conceptes fısics relacionats amb el transport . . . . . . .. . . . 51.4 Friccio amb l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Friccio amb els eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Rendiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Estalvi energetic en xifres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 El transport ferroviari 192.1 El tren de rodalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 AVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 La catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 El KERS, els trens i els tramvies . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Contaminacio acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Eficiencia energetica a l’habitatge 313.1 Electrodomestics i aparells electrics . . . . . . . . . . . .. . . 323.2 Aigua calenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Climatitzacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Aillaments termics 454.1 Calcul de resistencies termiques . . . . . . . . . . . . . . . .. 454.2 Inercia termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iv

INDEX v

4.3 Confort termic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 Proposta de projectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 L’energia nuclear 575.1 Relacio entre massa i energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Fusio i fissio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Energia alliberada en els processos nuclears. . . . . . . . .. . . 625.4 Fissio nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.5 Residus nuclears. Llei de la desintegracio . . . . . . . . . .. . 665.6 Plantes d’energia nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.7 Accidents nuclears. Apagada freda dels reactors . . . . . .. . . 685.8 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 El vent i l’energia eolica 736.1 Energia cinetica de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2 Rendiment d’un aerogenerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Emplacament d’un aerogenerador . . . . . . . . . . . . . . . . 796.4 Funcionament d’un aerogenerador . . . . . . . . . . . . . . . . 826.5 Disseny de les pales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.6 El vent com a alternativa energetica . . . . . . . . . . . . . . . .856.7 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Energia solar 917.1 Radiacio solar incident . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.2 Potencial energetic de l’energia solar . . . . . . . . . . . . .. . 977.3 Energia solar termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.4 Energia solar fotovoltaica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.5 Fotosıntesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.6 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8 Energia hidroelectrica i mareomotriu 1118.1 Centrals hidroelectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Capacitat hidroelectrica d’una conca . . . . . . . . . . . . . .. 1178.3 Sistemes d’integracio en la demanda energetica . . . . .. . . . 1198.4 Efectes ambientals de les centrals hidroelectriques .. . . . . . . 1218.5 Centrals mareomotrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.6 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9 Energıa hidroelectrica y mareomotriz 1319.1 Centrales hidroelectricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

vi INDEX

9.2 Capacidad hidroelectrica de una cuenca . . . . . . . . . . . . .1379.3 Sistemas de integracion en la demanda energetica . . . .. . . . 1399.4 Efectos ambientales de las centrales hidroelectricas. . . . . . . 1419.5 Centrales mareomotrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10 Cicle de vida del petroli 15110.1 Extraccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.2 Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.3 Distribucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.4 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11 Transport electric i contaminacio electromagnetica 16311.1 Generacio d’electricitat. Motors electrics . . . . . .. . . . . . . 16311.2 Per que corrent altern? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.3 Resistivitat i resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16811.4 Perdues d’energia en la xarxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.5 Contaminacio electromagnetica i soterrament de lınies . . . . . 17011.6 Llamps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.7 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12 Emmagatzematge d’energia 17512.1 Bateries electroquımiques. Piles . . . . . . . . . . . . . . . .. 17612.2 Condensadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.3 Bateries de rotacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.4 Emmagatzematge per bombeig hidroelectric . . . . . . . . .. . 18312.5 Emmagatzematge per compressio de gas . . . . . . . . . . . . . 18412.6 L’hidrogen com a alternativa de futur . . . . . . . . . . . . . . .18612.7 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

13 El cicle de l’aigua 19113.1 Pluviometria i energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.2 Humitat i xafogor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313.3 Formacio de nuvols i gotes de pluja . . . . . . . . . . . . . . . .19713.4 L’energia de la pluja. Centrals hidroelectriques . . .. . . . . . . 198

14 La informacio meteorologica 20314.1 Formacio de borrasques i anticiclons . . . . . . . . . . . . . .. 20314.2 Mapes del temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

15 El canvi climatic 21115.1 El canvi climatic d’origen natural i antropic . . . . . .. . . . . 211

INDEX vii

15.2 El balanc energetic de La Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21315.3 Models de canvi climatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

16 Satel.lits 21916.1 Newton, la Lluna i la poma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21916.2 Satel·lits geoestacionaris. El meteosat . . . . . . . . . .. . . . 22116.3 GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22216.4 Energia per sortir de la Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22216.5 Caiguda de satel·lits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

17 Dispersio de contaminants 22517.1 Contaminacio a l’atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22617.2 Contaminacio en medi lıquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23417.3 Filtracions en medis porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

18 Fısica dels nuvols. Aerosols 23918.1 Mida dels aerosols. Metodes optics . . . . . . . . . . . . . . .. 23918.2 Composicio dels aerosols. Espectroscopia de masses .. . . . . 23918.3 Fısica dels nuvols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

19 Acustica i medi ambient 24319.1 Aspectes fisiologics del so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24319.2 L’escala decibelica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24519.3 Contaminacio acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24619.4 Aplicacions ambientals dels ultrasons . . . . . . . . . . . . .. 249

20 Metodes de datacio 25320.1 Datacio per radiocarboni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25320.2 Datacio per hidracio obsidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . .258

21 El preu de la pressa 26121.1 La velocitat de conduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26221.2 L’AVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26421.3 Els aires condicionats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26521.4 Rendiment industrial a maxima potencia . . . . . . . . . . .. . 26621.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

22 El preu de la comoditat 26922.1 El confort de la calefaccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26922.2 El transport public . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27122.3 L’hipermercat vs el supermercat . . . . . . . . . . . . . . . . . 27322.4 Bany o dutxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

viii INDEX

22.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

II Teoria 275

A Mecanica 277A.1 Magnituds cinematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277A.2 Lleis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279A.3 Equacions del moviment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280A.4 Moviment rectilini uniformement accelerat . . . . . . . . . .. . 281A.5 Interpretacio de grafiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282A.6 Equacions del moviment circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 283A.7 Forces centrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285A.8 Forces fictıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286A.9 Mecanica d’un solid rıgid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

B Treball i energia 293B.1 Treball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293B.2 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294B.3 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295B.4 Forces no concervatives: dissipacio d’energia . . . . . .. . . . 296B.5 Teorema treball-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297B.6 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298B.7 Rendiment energetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

C Dinamica de fluids 301C.1 Principi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301C.2 Pressio hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302C.3 Principi d’Arquımedes. Flotacio. . . . . . . . . . . . . . . . .. 303C.4 Equacio de continuitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305C.5 Equacio de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306C.6 Viscositat. Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 307C.7 Llei de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

D Termodinamica 313D.1 Primer principi de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . 314D.2 Calorimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315D.3 Gasos ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318D.4 Segon principi de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 320D.5 Maquines termiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

E Fenomens de transport de materia 325

INDEX ix

E.1 Difusio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325E.2 Moviment de cossos en fluids. Regim viscos i inercial . .. . . . 327

F Oscil·lacions i ones 331F.1 Moviment oscil·latori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331F.2 Ressonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333F.3 Moviment ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334F.4 Interferencia i ones estacionaries . . . . . . . . . . . . . . .. . 337F.5 Ones sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338F.6 Efecte Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

G Electromagnetisme 345G.1 Electroestatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345G.2 Circuits i corrent electric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347G.3 El camp magnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353G.4 Induccio magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Index de figures 359

Part I

Aplicacions

1

CAPITOL 1El consum de combustible en un

cotxe

1.1 Energia per al transport

Segons el darrer informe publicat a la web de l’Institut Catala de la Energia, gai-rebe el 40% de l’energia que es consumeix a Catalunya es destina al transport.Aixo es una quantitat molt elevada d’energia, i indica d’una forma clara la im-portancia que te el seu control a l’hora de reduir la despesa energetica al nostrepais. L’increment en el preu del petroli a mida que aquest recurs es va esgotantfa encara mes necessari aquest control. Aixı doncs veiem que es molt necessarifer un estudi detallat de la despesa que fem en aquest apartatper tal de saber dequina forma podem reduır-la al maxim.

1.2 A que destina el cotxe la benzina?

Aquesta pregunta es la que hem de respondre i, evidentment quan parlem debenzina ens estem indirectament referint a l’energia, ja que es just a traves decremar combustible que un cotxe aconsegueix aquesta energia.

Amb la utilitzacio de formules molt senzilles de la fısica general, podemarribar a fer-nos una idea clara de quins son els aspectes m´es importants queinfluencien en el consum d’un vehicle. Nosaltres n’estudiarem quatre en concret:

• Friccio amb l’aire: Es el resultat de les colisions de les partıcules d’airecontra un cos a mesura que aquest es va desplacant a traves seu. Cadaxoc s’emporta una petita part de l’energia cinetica del cosque es desplaca.

3

4 CAPITOL 1. EL CONSUM DE COMBUSTIBLE EN UN COTXE

Figura 1.1: Despesa d’energia a Catalunya per sectors.

Una sola partıcula no dissipa gaire energia, pero com aquest proces esrepeteix amb una quantitat molt elevada de partıcules, al final l’efecte esfa perceptible.

• Friccio amb els eixos: Els engranatges del cotxe freguen quan ens posemen moviment. Aquesta friccio transforma energia cinetica en calor delseixos, que com a consequencia s’escalfen. Per tal de redu¨ır al maximaquesta, engreixem el motor, pero tot i aixı sempre es produıra en aquestselements una dissipacio d’energia quan el cotxe estigui avancant.

• Inercia: Per tal d’augmentar la velocitat d’un objecte (´es a dir accelerar-lo), necessitem fer un aport d’energia. Al augmentar la velocitat, un cosaugmenta la seva energia cinetica. Aquesta ha de sortir obviament delcombustible consumit.

• Rendiment: Tot motor porta associat un rendiment termodinamic (η) queindica quina quantitat de l’energia consumida esta destinada realment afer un treball util (un desplacament en el nostre cas). La resta de l’energiaes perd en forma de calor. Termodinamicament es pot demostrar que esimpossible aprofitar absolutament tota l’energia en una maquina termica.

Els tres primers termes estan relacionats amb la mecanica,mentre que l’ultimho esta amb la termodinamica. Un cop haguem analitzat totsquatre termes,serem capacos de fer-nos una idea de quina es la millor forma d’estalviar energiaquan parlem de transport.

1.3. CONCEPTES FISICS RELACIONATS AMB EL TRANSPORT 5

Combustible PC (MJ/kg)Hidrogen 114,0

Propa 50,35Buta 49,51

Benzina 46,0 - 47,3Petroli cru 42 - 44

Gasoil (carburant Diesel) 44,8Gas natural 30 - 33

Etanol 29,7Hulla d’alta qualitat 27 - 29

Carbo comu 22 - 24Lignit d’alta qualitat 18 - 20

Fusta 14 - 15

Taula 1.1: Taula de poders calorıfics de diferents combustibles. A traves d’aquest valor podem calcularquanta energia es pot extreure d’una quantitat d’una determinada substancia. En el cas delcombustible d’automobil, dependra de si es tracta d’un vehicle de benzina, diesel, que utilitzagas-oil, d’etanol o que finciona amb pila d’hidrogen.

Poder Calorıfic

Per tal de poder relacionar d’una forma mes objectiva energia i benzina, neces-sitem una magnitud anomenada poder calorıfic (PC). Aquestaens indica quantaenergia per unitat de massa podem obtenir al cremar un combustible.

A la Taula 1.1 es dona el poder calorıfic (PC) de diferents substancies. Obser-vem que la benzina i d’altres derivats del petroli es troben en les posicions mesaltes de la taula. Aixo es perque son una de les substancies mes energetiquesque es coneixen, i aquest es el motiu per el qual la nostra societat no els puguireemplacar de forma tan facil com voldria.

A traves d’aquest poder calorıfic, si calculem la demanda d’energia d’undesplacament (∆E), podrem calcular la demanda en combustible (mc) tot utilit-zant aquest parametre a traves de l’expressio

mc =∆E

PC, (1.1)

aixı doncs, aquesta magnitud ens permetra saber la quantitat de litres de com-bustible que gasta el nostre vehicle en funcio de l’us que enfem.

1.3 Conceptes fısics relacionats amb el transport

Els conceptes mes importants que s’utilitzen en aquest capıtol son basicamentels de forca, energia i potencia. Tots tres conceptes estan ıntimament relacio-


nats, pero cadascun descriu una cosa diferent. Tot i que totes tres son paraulesampliament conegudes, val la pena dedicar un esforc a distingir-los fısicamentper tal de poder parlar amb propietat.

Transport significa moure objectes d’un punt a un altre. Si volem moure unobjecte que inicialment no ho esta fent, el que volem fer esmodificar la sevavelocitat. En fısica anomenem acceleracio a aquest fenomen i per aconseguir-ho hem de fer necessariament una forca. Segons la llei de Newton, si volemprovocar una acceleracioa a un objecte de massam, hem de fer una forca iguala

F = ma. (1.2)

El motor d’un cotxe es el que ha de realitzar aquesta forca sobre el vehicle.La forca que fem sobre un objecte pero, no ens indica pas si els efectes que

aquesta ha causat son grans o petits. Aixı doncs, podem feruna forca molt granpero durant un temps massa petit com perque l’objecte que la rep es mogui (p. e.donar un cop de puny a un cotxe) o una petita forca durant un temps prou granperque l’objecte acabi movent-se (com quan empenyem un cotxe que s’ha ava-riat). L’energia es la magnitud que ens descriu fins a quin punt els efectes d’unaforca s’han fet significatius. Per tal d’ajudar a quantificar l’energia necessitemintroduir el concepte de treball. Definim el treball realitzat per una forca com elproducte de la forca per el desplacament en el que aquesta ha actuat.

W = ~F · ~d. (1.3)

Aixı doncs, per fer un gran treball, hem de fer una gran forca durant un desplacamenttambe gran. Aquesta magnitud es l’energia que ha guanyat el vehicle i en relacioamb el tema tractat en aquest capıtol (transport), esta ıntimament relacionat ambla quantitat de benzina consumida.

Un altre fet important en el transport es la rapidesa amb la que aconseguimla velocitat requerida. Aquesta esta relacionada amb un altre concepte fısic, lapotencia. Definim aquesta com el ritme al quan es consumeix energia. Aixıdoncs, si gastem una quantitat d’energia∆E = W durant un temps∆t, hauremdesenvolupat una potencia

P =∆E

∆t. (1.4)

Per entendre-ho a la practica podem pensar que gairebe tots els vehicles podenarribar a una velocitat de 50 km/h, i per tant obtenir la mateixa energia cinetica(si tenen la mateixa massa). La diferencia entre un vehiclei un altre ve per eltemps que necessiten per aconseguir aquesta velocitat, essent mes potent el quenecessita menys temps. La representacio tradicional d’uncotxe d’alta potencia

1.4. FRICCIO AMB L’AIRE 7

Figura 1.2: La friccio amb l’aire

es la d’un vehicle esportiu i associem a conduccio d’alta potencia com aque-lla que es fa a unes acceleracions molt elevades o a mes velocitat si ens estemreferint a un trajecte a velocitat constant.

Tot seguit veurem com utilitzar aquests tres conceptes en relacio amb el mo-viment d’un cotxe en diferents situacions com poden ser conduint per autopistao per ciutat.

1.4 Friccio amb l’aire

A mesura que ens desplacem per un fluid, anem xocant amb les partıcules queformen aquest. Cada xoc frontal serveix per transferir una quantitat de movimentcap a la partıcula. La suma d’una infinitat de petites transferencies com aquestaaconsegueix frenar-nos.

No cal, pero, calcular la quantitat d’energia que perdem xoc a xoc. En comp-tes d’aixo disposem d’expressions per a calcular de forma efectiva la forca defriccio que experimenta un cos quan es mou a traves de l’aire en funcio de dife-rents magnituds relacionades amb aquest. Aquesta expressio es

Fa =1

2ρCAv2, (1.5)

on ρ es la densitat del medi on es mou l’objecte (en aquest cas l’aire), A esl’area transversal del vehicle (l’area que aquest te si el veiem frontalment),v lavelocitat a la que es mou l’objecte iC es el coeficient aerodinamic, que indica lafacilitat que te aquest per moure’s atraves de l’aire. Aquest coeficient es el queintenten millorar molts enginyers en els tunels de vent.

Quan un cotxe es mou, el motor fa una forca (Fm), i aquesta ha de vencer laresta de forces que s’oposen al moviment (Ff ). Partint de la llei de Newton

Fm − Ff = ma (1.6)

A l’iniciar el moviment la forca de friccio amb l’aire es despreciable, pero amesura que ens anem accelerant, aquesta forca esdeve cadacop mes important.


Quan el vehicle viatja per una autopista a velocitat constant, el motor ha de feruna forca per oposar-se a la friccio que majoritariamentve provocada per l’aire.Si el cotxe va a velocitat constant (a = 0), tota la forca que fa el motor esdedica exclusivament a contrarrestar la friccio exercidaper l’aire. Aixi doncs,per calcular quanta forca ha de fer el motor per anar a una velocitat concretatenim que igualar les forces.

Fm = Ff =1

2ρCAv2 (1.7)

Per tenir alguna referencia, calcularem algun exemple concret. Suposem queviatgem en un utilitari standard que te una area transversal deA = 2 m2 i uncoeficient aerodinamic deC = 0.3. La densitat de l’aire es deρ = 1.2 kg/m3.

Amb aquestes dades podem calcular la forca que ha de fer el motor per anar auna velocitat constant de 80 o 160 km/h. Primerament, si volem calcular aquestaforca en Newtons hem de passar la velocitat a les unitats delSI (m/s). Les duesvelocitats corresponen a 22.22 i 44.44 m/s respectivement

Fm(22.22) =1

2· 1.2 · 0.3 · 2 · 22.222 = 177.7 N (1.8)

Fm(44.44) =1

2· 1.2 · 0.3 · 2 · 44.442 = 711.0 N (1.9)

Veiem que l’exponent 2 de la velocitat ha fet que es multipliqui per 4 la forcaque ha de fer el motor. Aixo ja ens permet invalidar la falsa creenca que cal eldoble de forca per anar el doble de rapid.

Podem comparar les dades obtingudes amb alguna referenciade pes per talde fer-nos una idea del que significa. 177.7 N es el pes de 18 kgi 711.0 N es elpes de 72.6 kg. Aixı doncs, el motor d’un cotxe ha de fer la mateixa forca peranar a 160 km/h que la que hauriem de fer per aguantar una persona a l’aire.

Potencia

La segona magnitud que podem calcular es la potencia desenvolupada. Aquestaes pot obtenir deP = Fv. OnF es la forca que fa el cotxe iv es la velocitat a laque circula. Substituint l’expressio que hem obtingut pera la forca,

Pm = Fmv =1

2ρCAv3 (1.10)

Veiem que en aquest cas, el quadrat s’ha transformat ara en uncub. Aixıdoncs, ja podem preveure que per anar el doble de rapid necessitem un cotxe

1.4. FRICCIO AMB L’AIRE 9

que sigui vuit vegades mes potent. Tornant a l’exemple anterior, la potenciadesenvolupada per el cotxe anant a 80 o a 160 km/h es

Pm(22.22) =1

2· 1.2 · 0.3 · 2 · 22.223 = 3949 W (1.11)

Pm(44.44) =1

2· 1.2 · 0.3 · 2 · 44.443 = 31595 W (1.12)

Una de les coses que podem observar es que el Watt es una unitat massapetita per descriure la potencia d’un motor. Per a aixo disposem d’una magnitudmes addient com es el cavall de vapor (CV) (1 CV=735.5 W). Aixı doncs, lapotencia desenvolupada per el motor anant a 80 o a 160 km/h es de 5.37 i 42.6CV.

Podem observar que les dades que hem obtingut son del tot coherents ambla realitat. Les potencies dels utilitaris ronden entre els 70 i els 90 CV. Tal icom veurem mes endavant, la potencia nominal d’un cotxe s’ha de multiplicarper el rendiment per tal d’obtenir la potencia util. Per fer una aproximacio, hemde comptar que la potencia util es aproximadament de l’ordre de la meitat de lanominal (per tant, entre 35 i 45 CV). Aixı, hem vist que quan un cotxe circulaa maxima potencia (util) es mou a 160 km/h, que correspon amb les velocitatsmaximes a les que poden circular aquest tipus de vehicles.

Aprofitem el calcul que hem fet per comparar-lo amb el consumd’electri-citat. Tot sovint anem amb molt de compte en apagar les llums de casa quan al’habitacio no hi ha ningu. Tenim molta consciencia que hem de reduir el consumen electricitat. Pero podem veure que en comparacio les despeses energetiquesen automocio son considerablement superiors.

Una bombeta de baix consum dissipa, pel cap alt, uns 20 W de potencia.Si comparem la potencia dissipada per el cotxe quan circulaamb la que dissipauna bombeta podrem veure a quantes bombetes enceses equivalcircular a lesvelocitats que hem caluclar tot dividint ambdues magnituds.

Pm(22.22) = 3949W · 1 bombeta

20W≃ 198 bombetes (1.13)

Pm(44.44) = 31595W · 1 bombeta

20W≃ 1580 bombetes (1.14)

Podem veure aixı que circular a 80 km/h equival a tenir enceses unes 198bombetes, mentre que fer-ho a 160 k/h equival a encendre 1580bombetes. Aixıdoncs, quan a l’autopista decidim anar a 160 en compte de a 80,a mes de l’aug-ment en el risc de patir un accident, equival a tenir 1580-190=1390 bombetesadicionals enceses amb el correspenent malbaratament que aixo significa.


La vigilancia que fem de les llums enceses es una bona formade prendreconsciencia de que l’energia es un be que no hem de malgastar, pero acabemd’observar que el problema de l’energia al planeta no recau precisament en elconsum de llum que fem sino que hi ha d’altres formes d’utilitzacio de l’ener-gia, com per exemple el transport, que suposen despeses moltmes elevades;son precisament aquestes, doncs, que cal optimitzar de manera especial per tald’augmentar la nostra eficiencia.

1.5 Friccio amb els eixos

Si posem el cotxe en punt mort, agafem una bascula com les quetenim a casai empenyem el cotxe a traves d’aquesta per tal que marqui quanta forca estemfent, ens adonarem que no cal pas gaire forca per tal de desplacar el cotxe.

Amb una forca d’uns 5 kp* podem arribar a moure un cotxe. Aix`o sonaproximadament uns 50 N de forca. Si comparem aquest valor amb el valorde les forces obtingudes anteriorment, ens adonem de la pocaimportancia queaquest te en el consum global quan circulem a altes velocitats. Circulant a 80km/h aquest significa un 20 % del que consumim per efecte de la friccio ambl’aire, mentre que a 160 significa el 7 % d’aquest terme.

L’energia dissipada per efecte de la friccio amb els eixos en un trajecte de,per exemple 1 km es de

E = F · d = 50 · 1000 = 50.000 J. (1.15)

*El kilopondi es la quantitat de forca que s’ha de fer per sostenir un objected’1 kg de massa. Com que la balanca esta graduada per donar-nos el valor enkilograms, el que ens dona la mesura quan parlem de forces son kilopondis.L’equivalencia amb el S.I. entre unitats es 1 kp = 9.8 N.

1.6 Inercia

Un tercer aspecte per analitzar es el paper que te la inercia sobre el consum. Lainercia d’un objecte pot interpretar-se com la resistencia a canviar el seu estat demoviment. Reescribint l’equacio que hem utilitzat abans

Fm = ma + Ff , (1.16)

observem que la forca del motor es destina a dues tasques diferents, per una partvencer la friccio (Ff ), i per l’altra a accelerar el cotxe (ma). En la seccio defriccio amb l’aire hem considerat que el cotxe anava a velocitat constant i pertant el termema es feia zero. Ara calcularem el cas contrari, suposarem que

1.6. INERCIA 11

anem a una velocitat prou petita perque la friccio amb l’aire sigui despreciablei per tant anularemFf , mantenint tan sols el terme inercial. Aquesta situacioes la que ens trobem quan conduim normalment per ciutat, on les velocitats sonpetites i estem constantment accelerant i frenant per causadels semafors.

Per tal d’obtenir valors de referencia, plantejem el seguent problema. Supo-sem que ens trobem en un semafor en vermell amb un cotxe de 800kg de massa.Quan es posa verd, accelerem fins que aconseguim una velocitat vmax = 30−60km/h a meitat del trajecte, a uns 100 m de distancia del semafor. Un cop acon-seguida aquesta velocitat, i veient que el seguent semafor tambe es troba envermell, anem reduint la velocitat fins a quedar aturats. Quanta benzina hauremgastat i en que s’ha transformat finalment?

El que podem calcular inicialment es l’acceleracio que cal portar per tal depassar d’estar aturats a anar a una velocitat de 30/60 km. Passades a unitats delSI, les velocitats son 8.33/16.67 m/s. L’acceleracio la podem calcular a traves del’equacio cinematica en un moviment MRUA

v2f − v20 = 2ad, (1.17)

on vi,f son la velocitat inicial o final,d es l’espai recorregut ia es l’acceleracioque volem calcular. En el nostre cas sortim del repos, per tant vi = 0. Aıllantl’acceleracio obtenim

a =v2f2d

. (1.18)

Per a les dues velocitats finals les acceleracions respectives valen

a(8.33) =8.332

2 · 100 = 0.347 m/s2 (1.19)

a(16.67) =16.672

2 · 100 = 1.389 m/s2. (1.20)

Amb l’acceleracio podem calcular la forca a traves de la segona llei

F (8.33) = 800 · 0.347 = 277.6 N (1.21)

F (16.67) = 800 · 1.389 = 1111.2 N. (1.22)

Aixı doncs, si en comptes d’accelerar fins a 30 km/h ho fem a 60km/h, estemgastant 4 vegades mes.

Per tal de comprovar que no hem comes un gran error al eliminar la fric-cio amb l’aire, compararem els valors obtinguts amb la forc¸a que cal per talde vencer la friccio amb l’aire si circulem a la velocitat tıpica per ciutat que esd’uns 50 km/h = 13.89 m/s. Si fem servir les dades que hem utilitzat en la secciodedicada a la friccio amb l’aire obtenim una forca de

Fm(13.89) =1

2· 1.2 · 0.3 · 2 · 13.892 = 69.5 N. (1.23)


Aixı doncs, obtenim un valor de forca que tambe es petit en comparacio amb elvalor obtingut quan considerem la inercia.

Energia i Potencia

Calculem tot seguit, quanta energia consumim quan fem aquests desplacaments.Obtindrem l’energia tot calculant el treball realitzat perles forces que hem ob-tingut.

E(8.33) = 277.6 · 100 = 2.776 · 104 J (1.24)

E(16.67) = 1111.2 · 100 = 11.112 · 104 J. (1.25)

Aquesta es l’energia divivida per el temps que dura el tram d’acceleracio ensdonara la potencia desenvolupada. El temps es pot obtenira traves de

d =1

2a∆t2, (1.26)

ja que la velocitat inicial es 0. Aixo ens permet calcular el temps en cada cas

∆t(8.33) =

√

2 · 1000.347

= 24.0 s (1.27)

∆t(16.67) =

√

2 · 1001.389

= 12.0 s, (1.28)

de forma que els valors de potencia son

P (8.33) =2.776 · 104

24= 1156 W (1.29)

P (16.67) =11.112 · 104

12= 9260 W. (1.30)

S’observa, doncs, que accelerar bruscament implica una despesa energetica moltelevada. Decidir accelerar fins a 60 km/h requereix una potencia vuit vegadesmes gran que si decidim anar a 30 km/h.

Si fem la mateixa comparacio que en el cas de la friccio amb l’aire

P (8.33) =1156W

20W= 58 bombetes (1.31)

P (16.67) =9260W

20W= 463 bombetes (1.32)

Com a conclusio podem doncs dir que quan circulem per ciutat, el consumd’un vehicle va basicament destinat a modificar la seva velocitat i no pas a vencerfriccions. Per tant, moderar l’acceleracio es una bona mesura quan parlem d’es-talvi energetic. Una conduccio suau i no pas agressiva pot ajudar-nos a estalviarsignificativament el consum de benzina en ciutat!

1.7. RENDIMENT 13

1.7 Rendiment

Tota maquina termica, i el motor com a exemple tıpic d”aquestes, converteix entreball util l’energia que obte d’una font. En el cas d’un cotxe, l’energia s’obtede la combustio de la benzina. Aquest aprofitament pero, nopot ser total. Totamaquina perd sempre una part d’aquesta energia en forma de calor.

L’esquema general d’una maquina termica seria el de la Figura??. Aquestaobte una quantitat d’energiaQc d’una font calenta a una temperaturaTc. Part d’a-questa energia es converteix en treball utilW , pero la resta es destina a escalfaruna font freda aTf cedint-li una quantitat d’energiaQf . Segons la conservaciode l’energia

Qc = W +Qf . (1.33)

Definim el rendiment com el quocient entre l’energia util i la que s’ha tret de lafont freda

η =W

Qf. (1.34)

aixı doncs, si el rendiment es 1, tota l’energia extreta dela font calenta s’utilitzade forma util en treball, mentre que si es 0, el treball util es zero i tota l’energiaes perd en forma de calor. El rendiment d’una maquina real esta enmig d’aquestsextrems. Podem sempre millorar el rendiment d’una maquina, pero existeix unallei termodinamica que en limita el maxim al que es pot arribar en funcio de lestemperatures de funcionament (Tc, Tf ),

η ≤ 1− Tf

Tc

. (1.35)

En el cas d’un cotxe, la temperatura calenta correspon a la temperatura a la quecrema el combustible (uns 6000 C=873 K), mentre que la freda esta propera a latemperatura ambient (200 C=293 K). Amb aquestes temperatures, el rendimentmaxim que podem obtenir es de

η ≤ 1− 293

873= 0.66. (1.36)

Aquest doncs es el rendiment maxim que podem aconseguir a traves d’un motorde cotxe.

1.8 Estalvi energetic en xifres

Veiem doncs quan comparem les potencies dissipades amb la potencia dissipadaper una bombeta que la conduccio agressiva implica el malbaratament equivalental d’engegar innecessariament moltıssimes bombetes de baix consum. Podem


ara avaluar d’una forma mes quantitativa que la mesura d’apagar els llums acasa quan no els necessitem es mes aviat una forma de conscienciar la poblacioque una forma correcta d’afavorir l’estalvi energetic ja que, comparada amb elconsum d’un vehicle veiem que aquesta ultima es ordres de magnitud superior ala primera.

Molt sovint es plantejen mesures d’estalvi que pretenen reduir el consum.Algunes d’elles poden ser molt eficients, com per exemple hemvist reduir lavelocitat de la circulacio. D’altres son fins a cert punt més un acte simbolic quea una mesura d’estalvi real, ja que, com hem vist, determinats consums resulteninsignificants en comparacio amb altres despeses energetiques.

La Taula 1.2 presenta una comparacio de l’estalvi energetic aproximat querepresenten alguns petits gestos quotidians que hom pot realitzar.

Mesura Estalvi (MJ)Apagar un stand-by durant 24h 0.3Descongelar 1kg de carn de forma tradicional 0.3Reduir el temps de dutxa de 10’ a 5’ 2Passar de conduccio esportiva a conservadora (1/2 h) 10

Taula 1.2: Estalvi energetic

Exercicis

1. Medeix l’amplada, la llargada i l’altura de la teva ma. Calcula l’area i apartir d’aquesta, i fent servir un coeficient aerodinamic d’aproximadamentC = 0.5 calcula la forca que has de fer per mantenir la ma en posicióvertical o horitzontal quan la treus per la finestra del cotxesi aquest circulaa 100 km/h. Compara els resultats obtinguts amb les masses que tenen elspesos igual a les forces obtingudes.Es coherent el resultat?

2. Un cotxe de F1 te una potencia util d’uns 350 CV (700 CV nominals) ipot arribar a anar a uns 300 km/h. ‘La seva area transversal és d’apro-ximadament 1.7 m2. A partir d’aquestes dades, calcula el seu coeficientaerodinamic. Et resulta sorprenent en resultat? (Es creu falsament queels cotxes de F1 tenen coeficients aerodinamics molt petitsquan en rea-litat aixo no es cert. En realitat estan dissenyats per transformar part dela forca de friccio amb l’aire en una forca cap avall per tal que el cotxe”s’agafi”mes a la pista. Aixı en les corbes i en les acceleracions el cotxete mes adherencia.

3. Un dels termes no tractats al llarg del capıtol es el de l’accio dels frenssobre un vehicle. Aquest no es una altra forma de friccio que es suma a la

1.8. ESTALVI ENERGETIC EN XIFRES 15

resta de termes quan premem el pedal del fre. Suposem que un cotxe de750 kg que circula a 50 km/h frena de cop i necessita 15 metres per quedarcompletament aturat. Calcula

a) L’energia cinetica del vehicle quan s’estava movent a 50km/h

b) La forca que fan els frens si considerem que en la frenada son elsunics que estan fent treball.

c) Compara la forca calculada anteriorment amb la forca defriccio ambl’aire si el cotxe tingues un coeficient aerodinamic deC=0.3 i unaarea transversal de 2 m2. Resulta important aquest terme en compa-racio amb els frens?

d) La distancia de frenat que necessitaria el mateix vehicle si en comp-tes d’anar a 50 km/h anes a 100 km/h.

4. Una de les circumstancies del trafic en les quals el nostre consum augmen-ta mes en els embussos. A continuacio fem un exercici per a comparar elsconsums en un mateix tram depenent de si el fem a velocitat constant, ambunes poques parades (semafors) o en un embus. Suposem que elnostrecotxe te una massa de 1.500 Kg, una area efectiva de 2 m2, un coeficientaerodinamics de 0,3 i una forca de fregament intern de 50 N.

a) Calculeu l’energia gastada en fregament amb els eixos en recorrer untrajecte de 1Km.

b) Calculeu (tambe en 1 Km) l’energia gastada en fregament amb l’airesi anem a velocitat constant de 60 Km/h.

c) Calculeu l’energia que gastarıem en accelerar des de 0 fins a 60Km/h, i l’energia que gastarıem en accelerar des de 0 fins 30 Km/h.

d) Calculeu la distancia recorreguda

e) Calculeu l’energia gastada en quedar-nos aturats 15 segons, tenint encompte que el cotxe consumeix 1 litre de benzina per hora quanestaaturat (poder calorıfic de la benzina: 40.000 J/l).

f) Feu servir tots els resultats anteriors per comparar ara el cost energetictotal de recorrer 1 Kmi) a velocitat constant de 60 Km,ii) fent 4parades pel mig i quedant-nos 15 segons aturats cada vegada (acce-lerant de 0 a 60 Km/h per remprendre la marxa cada vegada en untemps que considerarem menyspreable),iii) fent 20 parades pel migi quedant-nos aturats 15 segons cada vegada (accelerant de 0a 30Km/h per remprendre la marxa cada vegada en un temps que consi-derarem menyspreable).


5. Molta gent opina que comprar un cotxe gran (un tot terreny,per exemple)es poc ecologic perque te un consum major. Podem fer una estimacioteorica de fins a quin punt aixo es cert. Compararem un vehicle mes aviatpetit (1200 Kg de massa i 1,5 m2 d’area efectiva) amb un tot terreny gran(1.800 Kg de massa i 2 m2 d’area efectiva).

a) Si el fregament intern del cotxe petit es de 50 Newtons i suposemque el fregament amb els eixos es proporcional a la massa, deduiu elfregament intern del cotxe gran. Quantes vegades mes consumeix enfregament intern en cotxe gran que el petit?.

b) Si el coeficient aerodinamic dels dos cotxes es igual a 0,3 calculeuquantes vegades mes consumeix en fregament amb l’aire el cotxegran.

c) Quantes vegades mes consumeix en accelerar el cotxe gran?

d) Si suposem que, fent-ne un us combinat per ciutat i carretera, el 10%de la despesa d’un cotxe es fregament intern, el 40% es fregamentamb l’aire i el 50% es deguda a acceleracions, calculeu quantes ve-gades mes en global consumeix el cotxe gran.

e) Quantes vegades mes potencia necessita el motor del cotxe gran pera vencer el fregament amb l’aire? I per accelerar?

6. Imagineu que fem experiments per tal de mesurar la forca de fregamentintern d’un cotxe de 1.500 Kg.

a) Primer posem el cotxe en pla i l’empenyem amb una balanca.Obser-vem que per tal de mantenir un moviment a velocitat constant hemde fer una forca tal que la balanca marca 6 Kg. Quina es la forca defregament?

b) Una vegada ja esta en moviment deixem anar el cotxe en pla fins ques’aturi. El cotxe recorre aixı 3 metres i triga 8 segons en aturar-se.Suposant que la forca de friccio amb els eixos sigui la mateixa total’estona deduiu el valor de l’acceleracio de frenada i el dela forca defriccio.

7. Consum d’un cotxe en pendent.Farem una estimacio per a veure comvaria el consum de benzina d’un cotxe de 1.500 Kg quan pujem o quanbaixem una muntanya.

a) Quanta energia potencial es necessaria per a pujar un desnivell de500 metres?

1.8. ESTALVI ENERGETIC EN XIFRES 17

b) Si el cotxe destina el 50% de l’energia a vencer l’energiapotencial,quanta benzina necessita per a pujar la muntanya de l’apartat anterior,suposant que el rendiment del cotxe es del 25% (poder calor´ıfic de labenzina: 40.000 KJ/litre).

c) Si la carretera te un pendent del 20% vol dir que hem d’avancar 100metres de carretera per a superar un desnivell de 20 metres. Quinapotencia necessita fer el cotxe per a pujar aquest pendent a50 Km/h(considerant tots els fregaments menyspreables)?

d) En baixar el cotxe gairebe no necessita gastar energia, nomes el con-sum corresponent al cotxe aturat i el necessari per a accelerar despresde cada corba, tenint en compte que les corbes a la muntanya s´onmolt tancades. Si la muntanya te 30 corbes i a la sortida de cada unahem d’accelerar des de 30 Km/h fins 60 Km/h calculeu la despesa(en litres de benzina) que cal per baixar (agafeu de nou un rendimentdel 25%).

CAPITOL 2El transport ferroviari

El transport ferroviari es un dels transports mes sostenibles dels que existeixen.El fet que funcioni amb energia electrica fa que tingiui dosavantatges. Prime-rament l’eficiencia dels motors electrics es significativament superior a la delsmotors de combustio . En segon lloc, els motors electrics tenen la possibilitat defuncionar a la inversa com generadors, cosa que els permet encertes ocasionsrecuperar part de l’energia cinetica i guardar-la en energia electrica. Per contra,el seu elevat pes fa que la quantitat de passatgers que ha de transportar hagi desuperar un lımit determinat per arribar a l’eficiencia optima. En aquest capıtolestudiarem la fısica relacionada amb el transport a traves de lınies ferrees, estu-diant diferents tipus de transport, el tren de rodalies, el tren d’alta velocitat i eltranvia.

2.1 El tren de rodalies

Els trens de rodalies estan pensats per distribuir molts passatgers en les proxi-mitats de grans ciutats. L’elevat nombre de parades que han de realitzar fa quetiguin una velocitat mitjana molt menor que la que podria tenir si tan sols esdesplaces des d’un punt a un altre sense parades intermitges.

Tal i com s’estudia en el capıtol dedicat a l’automocio, hiha dos principalsresistencies que hem de vencer quan ens movem a velocitatsmoderades. Prime-rament existeix la inercia. Aquest terme prove de la resistencia d’un objecte amodificar la seva velocitat. Com diu la primera llei de Newton, un cos neces-sita l’accio d’una forca si vol modificar la velocitat a la que va. La segona lleiconcreta mes i diu que la forcaF ha de valer exactament

F = ma (2.1)

19

20 CAPITOL 2. EL TRANSPORT FERROVIARI

onm es la massa de l’objecte ia es l’acceleracio que el cos experimenta.Una segona resistencia es la que imposa la friccio amb l’aire. En el cas

d’un objecte aproximadament esferic amb una area transversalA aquesta valdria(1/2)ρCAv2, on ρ es la densitat de l’aire,v es la velocitat a la que ens movemi C es un coeficient de friccio que per a un vehicle standar val aproximadament0.3. La gran longitud fa que haguem de recorrer a alguna modificacio d’aquestallei per tal de fer apareixer la seva longitud a part de la seva seccio transversal. Aefectes practics, la friccio que afegeixen les parets laterals d’un tren estandar fanque el coeficient de friccio passi d’un valor de 0.3 a 1-1.4, depenent de si estemestudiant un tren de rodalies o un d’alta velocitat.

El primer estudi que podem fer es el de veure quant valen els dos termes enles condicions habituals de funcionament. Per tal de fer elscaluls utilitzarem untren de rodalies Civia amb les dades tecniques que apareixen a la Taula 2.1.

Magnitud Variable ValorAmplada W 2.94 mAlcada H 4.26 mLongitud L 98 mMassa m 150 tAcceleracio de servei a 1 m/s2

Velocitat maxima vm 120 km/hPotencia nominal P 2200 KW

Taula 2.1: Dades tecniques d’un tren tipus Civia de 5 moduls

Suposem que aquest tren de rodalies, partint del repos, comenca a accelerar-se per tal d’anar a l’estacio seguent. La forca que necessita fer per tal de tenirl’acceleracio de servei es

Fa = ma = 1.5 · 105 · 1 = 1.5 · 105 N. (2.2)

Aquesta acceleracio es mantindra fins que el tren aconsegueix arribar a la velo-citat maxima durant un temps

∆t =∆v

a=

33.3− 0

1= 33.3 s. (2.3)

La distancia que necessita per aconseguir aquesta velocitat la podem trobar apartir de les lleis de la cinematica del MRUA,

∆x =v2m2a

=33.32

2 · 1 = 555 m. (2.4)

Com podem veure, es una distancia forca gran. La distancia tıpica entre duesestacions de rodalies es d’entre 2 a 5 km, de forma que podem dir que un tren derodalies es passa una bona part del trajecte accelerant.

2.1. EL TREN DE RODALIES 21

Un cop sabem la forca que fa el tren per accelerar-se, calcularem quanta n’hade fer anant a la velocitat maxima per vencer la forca de friccio

Ff =1

2ρCAv =

1

2· 1.2 · 1 · (2.94 · 4.26) · 33.32 = 8.332 · 103 N, (2.5)

on hem utilitzat com a dades la densitat de l’aireρ = 1.2 kg/m3, un coeficientaerodinamic tıpic d’un trenC = 1, i finalmentA = W ·H tot utilitzant les dadesde la taula 2.1 per a mesurar l’area.

Observem la gran diferencia entre la forca que es necessita per posar en mo-viment el tren i la que es necessita per mantenir-lo en moviment sota l’accio deles forces de friccio. La maquina necessita tan sols1.5 ·105/8.33 ·103 = 0.055 =5.5% de la seva potencia per vencer la friccio.

Energia

El fet que la forca per accelerar sigui molt major que la necessaria per vencerla friccio no significa que gasti molta mes energia en un proces o l’altre. Hemde multiplicar la forca per la distancia per tal d’obtenirl’energia destinada a unterme o a l’altre. Per a fer els calculs Ssuposarem que fem untrajecte d’uns 5 kmentre dues estacions dels quals ens passem 555 m accelerant.L’energia dissipadaen accelerar actuara en aquests metres, pero per vencer la friccio a l’aire el trenha de fer forca durant tot el viatge.

Wa = Fa ·∆x = 1.5 · 105 · 555 = 8.33 · 107 J (2.6)

Wf = Ff ·∆x = 8.33 · 103 · 5000 = 4.16 · 107 J (2.7)

Aquestes dues energies son molt diferents si pensem en termes d’estalvi. Laprimera ha estat destinada a posar el tren en moviment. A la practica aquestaesta enmagatzemada en forma d’energia cinetica i una granpart d’aquesta pot serrecuperada en forma d’energia electrica. La segona s’ha perdut completamenten forma de moviment de la massa d’aire circundant i no es pot recuperar enabsolut.

Quan el tren arriba a l’estacio ha de frenar. Antigament elsfrens eren simplessistemes de friccio que el que feien era transformar l’energia cinetica del tren enenergia termica del mecanisme de frenada. Aquests son elsanomenats frensreostatics. Una forma mes intel·ligent de frenar seria elde guardar aquesta ener-gia cinetica en una altra forma menys degenerada d’energia, com per exemplel’energia electrica. Aquesta es la funcio dels frens anomenats dinamics.

Potencia

Una de les limitacions mes importants pel que fa al transport prove de la potenciadesenvolupada. La forca i l’energia no ens poden donar una idea de la dificultat


que implica moure un objecte. Dit d’altra forma, amb una forc¸a menor podemarribar a desplacar-nos la mateixa distancia pero amb m´es temps. Com que unade les finalitats del transport es la de reduir el temps de desplacament, necessitemparlar de potencia a l’hora de parlar d’un vehicle ja que esaquesta en ultimainstancia que en determina la velocitat maxima. En el cas calculat en l’anteriorapartat, la potencia mitjana del tren quan esta accelerant

Pa =∆E

∆t=

8.33 · 10733.3

= 2.5 · 106 W = 2500 kW, (2.8)

mentre que quan tan sols esta vencent la forca de friccio podem utilitzar l’ex-pressio

Pf = Fv = 8.332 · 103 · 33.3 = 2.77 · 105 W = 277 kW. (2.9)

Observem altre cop com el tren funciona al lımit de potencia quan s’esta accele-rant, mentre que quan va a velocitat constant, el motor funciona al 10% d’aquestapotencia.

En el primer cas hem fet servir l’expressio∆E/∆t perque en el tram acce-lerat la velocitat no es constant, mentre que quan estem considerant la friccio,com que aquesta si que ho es, podem fer servirFv.

2.2 AVE

Els trens d’alta velocitat tenen unes necessitats energetiques forca diferents queles dels trens de rodalies. Gran part de l’energia que gastenes destina a vencerla friccio amb l’aire. Els termes inercials tenen forca menys importancia pel quefa a la despesa energetica.

Aixı doncs, en aquest cas comencarem a calcular la despesapel terme defriccio amb l’aire. La maxima velocitat a la que pot anar unAVE es d’entre 300i 350 km/h. Per als nostres calculs utilitzarem 325 km/h. Laforca de friccio queha de vencer el tren es de

Fa =1

2ρCAv2 =

1

21.21(2.95 · 3.89)90.282 = 5.61 · 104 N (2.10)

La potencia que necessita per vencer aquesta forca de friccio es de

P = Fv = 5.61 · 104 · 90.28 = 5.1 · 106 W = 5.1 MW. (2.11)

Aixı doncs, per vencer la forca de friccio, es necessari una potencia molt meselevada que en el cas dels vehicles urbans.

2.2. AVE 23

Abans d’aconseguir arribar a la velocitat punta, el tren ha hagut d’accelerar.Si la maxima potencia que pot desenvolupar el tren es la que te a maxima velo-citat (cosa raonable de pensar en aquest cas peque es tractad’un tren dissenyatper anar el mes rapid possible), el temps que trigaria en aconseguir la velocitatmaxima partint del repos i sense considerar els efectes defriccio seria

t =E

P=

12mv2

P=

12· 4.25 · 105 · 90.282

5.1 · 106 = 340 s = 5.6 min, (2.12)

on hem dividit l’energia cinetica que te el tren per la pot`encia de la lınia. Aixocorrespon molt be amb la realitat d’un tren d’alta velocitat, que necessita del’ordre de cinc minuts per aconseguir la velocitat de creuer.

Hem simplificat al maxim els calculs en les ultimes seccions i en el capıtolanterior per poder demostrar que la simplicitat dels calculs no esta ni de bon trosrenyida amb la correcta interpretacio dels resultats. Podem dir que els resultatsno son exactes, pero no podem dir pas que les conclusions que hem tret siguinerronies. Per tal d’orientar aquell que volgues refinar una mica mes el model,l’equacio de Newton hauria de considerar en tot moment els termes d’acceleracioi de friccio

Fm − 1

2ρCAv2 = ma. (2.13)

Com que l’acceleracio es la derivada de la velocitat, aquesta ultima equacio es-deve una equacio diferencial

dt =m

Fm − 12ρCAv2

dv. (2.14)

Equacio que s’hauria d’integrar per obtenirv(t). Aquesta pero, dependra quetinguem una hipotesi de com actual la forca en funcio de lavelocitat. Hom po-dria pensar que una forma seria suposar que la forcaFm es constant al llarg deltrajecte, pero aixo no es en absolut cert, com hem demostrat al comparar la forcaque necessita per accelerar i la que necessita per vencer lafriccio. A mes, atraves de la solucio no podem veure quina fraccio de la forca es destina a acce-lerar i quina a vencer la friccio, havent d’anar a les equacions que hem utilitzatanteriorment per respondre aquesta pregunta. Tot aixo ensporta a concloure que,tot i millorar en la precisio matematica, aquesta ultimaexpressio ens ha impeditfer un calcul mes util.

Tot aixo no ens ha de portar a creure que la complexitat matematica no siguidesitjable sino ha de demostrar-nos com, a vegades, la simplicitat ens ajuda aentendre millor la realitat que la complexitat tot i que la precisio que aconseguimsigui, obviament, menor.


2.3 La catenaria

Hem vist com la potencia dissipada en un tren d’alta velocitat es un ordre demagnitud superior a la dels trens de rodalies per vencer la friccio amb l’aire.Aixo fa que les electrificacions de les lınies d’alta velocitat hagin de ser diferentsde les necessaries en el cas dels rodalies. La potencia en els trens es subministraa traves de la catenaria. Les lınies ferrees es divideixen en trams d’uns 30 km alsquals dona energia una subestacio electrica. Cada tram ´es alimentat unicamentper una d’aquestes subestacions, existint entre cada tram una zona de transicioen la que la catenaria queda sense electrificar. A aquestes zones se les anomenazones neutres. No esdeve cap problema tenir zones no electrificades per a lacirculacio dels vehicles perque els vehicles tenen una inercia prou gran com perpoder passar d’un tram a l’altre sense problemes.

Per fer-nos una idea de les magnituds relacionades amb el subministrament,veiem un cas en concret. En la figura 2.1 podem veure un esquemade fun-cionament simplificat de l’alimentacio d’un tren. La subestacio treballa a unadiferencia de potencial∆V respecte al terra. Quan la maquina esta funcionant,aquesta es pot entendre com una resistencia que enllaca lacatenaria amb el ter-ra, tancant el circuit. La resistencia total del sistema es Rc + Rt on Rc es laresistencia del tram de catenaria iRt es la resistencia que ofereix el motor deltren. Amb el circuit tancat la intensitat que hi circula es

I =∆V

Rc +Rt. (2.15)

Per tal de poder moure el tren a la velocitat requerida, la condicio que hemd’imposar es que es mantingui la potencia, ja que aquesta ´es la que regula lavelocitat a la que pot circular el tren. En el cas del tren, la potenciaP demandadadepen de la intensitat que circula pel circuit

Pt = ∆V I = RtI2 =

Rt

(Rt +Rc)2∆V 2, (2.16)

on en l’ultima igualtat l’hem escrit per expressar el resultat en funcio del voltatgede treball.

El mateix corrent que circula per la maquina ha de circular tambe per la ca-tenaria, pero en aquest cas, com que la resistencia es menor, la potencia dissipadaen aquest tram es significativament menor.

Pc = ∆V I = RcI2 =

Rc

(Rt +Rc)2∆V 2. (2.17)

Aixı doncs, per aconseguir una potenciaPt en la maquina, la subestacio hade generar una potencia totalPtot = Pc + Pt.

2.3. LA CATENARIA 25

Figura 2.1: Esquema del circuit electric d’un tren

Si tot aquest muntatge el posem a un voltatge petit, la maquina ha d’impo-sar una resistencia petita per fer passar prou intensitat per tal d’aconseguir lapotencia requerida. Si la diferencia de potencial es elevada, la maquina podraaconseguir la mateixa potencia amb una resistencia mes elevada. Aixo fa queper a una mateixa potencia, els alts voltatges siguin sempre mes eficients que elsbaixos voltatges.

Per fer-ho en xifres, calculem per a un tren que dissipa 1 MW depotencia,quines son aproximadament les resistencies i potenciesdissipades en el cas delsdos voltatges usats en la xarxa ferrea catalana (25000 V (a)i 3000 V (b)). Persimplificar el problema, suposarem que tota la caiguda de potencial es dona ala maquina. Per fer-ho correctament hauriem de solucionarun sistema de segongrau.

En cada cas, la intensitat que ha de circular per la maquina per generar unapotencia de106 W es de

Ia =P

∆Va

=106

25000= 40 A Ib =

P

∆Va

=106

3000= 333 A (2.18)

La resistencia que ha d’imposar la maquina per aconseguiraquestes intensi-tats es, seguint la llei d’Ohm

Ra =∆Va

Ia=

25000

40= 625 ΩRb =

∆Vb

Ib=

3000

333= 9 Ω (2.19)

Si ambdos casos circulen per una catenaria de les mateixescaracterıstiques,hem de calcular primerament quina resistencia imposa aquesta sobre el circuit.Calculem el cas d’una catenaria d’uns 50 mm2 de seccio i una distancia a lasubestacio electrica de 10 km. La resistencia la podem obtenir a partir d’aquestescaracterıstiques i la resistivitat del coure (ρ = 16 · 10−9Ωm),

Rc =ρL

A=

16 · 10−9104

50 · 10−6= 3.2 Ω. (2.20)


Veiem, doncs, que en el primer cas la resistencia de la catenaria es menys-preable a la de la maquina, mentre que en el segon cas resultadel mateix ordre.La potencia dissipada en la catenaria en cada cas es

Pca = RI2 = 3.2·402 = 5120WPcb = RI2 = 3.2·3332 = 3.55·105 W. (2.21)

El primer cas significa un 0.512% de la potencia total, mentre que el segonrepresenta un 35.5%, comprovant aixı la millora significativa en l’eficienciaenergetica en el cas de l’alta tensio. Aquesta ultima xifra es la que porta a aquestaeleccio en el cas de trens d’alta velocitat.

2.4 El KERS, els trens i els tramvies

Com hem vist, l’energia cinetica que te un tren es elevad´ıssima. Aquest fet faque resulti molt interessant poder recuperar aquesta energia en el moment defrenat per tal de poder-la reutilitzar en una posterior accelerada.

Hi ha dos tipus principals de frens, els reostatics i els dinamics. Els pri-mers senzillament transformen l’energia cinetica en energia termica a traves dela friccio que imposen sobre les rodes. Els segons transformen part de l’ener-gia cinetica en energia electrica tot fent que el motor delvehicle funcioni a lainversa, o sigui, com a generador de corrent.

Un motor electric funciona tot aplicant un corrent altern sobre una bobina quedisposa d’un imant en el seu centre. El flux magnetic variable sobre l’espira liconfereix a aquesta un moviment de rotacio capac de moure un objecte. En el casdels trens, l’objecte que es mou acaba essent l’eix de les rodes de traccio. Aixıdoncs, amb el motor estem transformant l’energia electrica en energia mecanica.Funcionant a la inversa, movent l’eix es pot generar un corrent electric altern.L’energia capac de moure l’eix del motor es precisament lacinetica del vehicle.D’aquesta forma, s’aconsegueix frenar el vehicle perque la forca que es necessitaper moure la bobina sobre l’imant surt precisament de la inercia del vehicle.

El segon tipus de frens tenen sentit quan la quantitat d’energia dissipada siguiprou significativa respecte del total. En el cas d’un tren, onla massa es desco-munal, aquest terme pot arribar a ser molt important. Per veure’n un exemplecalculem quanta energia es perd en un AVE si, anant a 300 km/h,frenem en unsector per algun motiu fins a un avelocitat de 200 km/h. La variacio d’energiacinetica sera

∆Ec =1

2m(v2f − v2i ) =

1

24.25 · 105(90.32 − 55.52) = 1.08 · 109 J. (2.22)

Si frenem amb uns frens reostatics tota aquesta energia es perd en forma decalor. Una pregunta interessant que ens podem fer es, si recuperessim la meitat

2.5. CONTAMINACIO ACUSTICA 27

d’aquesta energia, quants kilometres a velocitat maximapodrıem recorrer. Siconsiderem la forca de friccio aerodinamica, la distancia seria

∆x =E

Fa

=5.4 · 1085.61 · 104 = 9.6 · 103 m = 9.6 Km!! (2.23)

Aquesta dada es prou explicativa dels motius que porten a laindustria ferroviariaa crear models de trens que recuperin l’energia cinetica.

L’energia recuperada en un tren no pot ser enmagatzemada en el mateix trenper diversos motius. Les bateries que enmagatzemen aquestaenergia no son,fins al moment, prou estables i segures com per posar-les en untransport public.Exemples d’aquesta inestabilitat els podem veure en els accidents ocorregutsdurant els primers anys d’implementacio dels KERS en la Formula 1. Un segonmotiu es la manca de necessitat d’enmagatzemar l’energia si disposem d’unasubestacio que la pot reaprofitar en tot moment.

Un cas particular forca original del reaprofitament de l’energia cinetica elconstitueixen les xarxes de tramvia d’algunes ciutats on aquest sistema de trans-port es forca habitual, com pot ser el d’Amsterdam. En aquestes xarxes, l’ener-gia electrica que s’obte del reaprofitament en una frenadaes utilitzat directamentper un altra tranvia que en aquell mateix moment esta accelerant. Aixı doncs,l’energia del sistema va entrant i sortint dels tramvies en funcio de les neces-sitats perque sempre hi ha en tot moment vehicles que cedeixen i vehicles queabsorbeixen energia. Per poder tenir un sistema com aquest,es necessari que escompleixin dues condicions. La primera es que hi hagi un elevat nombre de ve-hicles per assegurar que tenim en tot moment demandants i generadors. L’altracondicio es que la distancia entre vehicles no sigui tan elevada com per fer quel’energia es dissipi a traves de la xarxa. Aquestes condicions fan inviable aquesttipus de disseny en xarxes com les de rodalies.

2.5 Contaminacio acustica

Un dels inconvenients del transpot ferroviari es l’elevada contaminacio acusticaque generen. Viure al costat d’una lınia ferrea pot arribar a ser molt molest.Per fer-nos una idea, a uns 50 metres de distancia, la intensitat sonora que surtd’un tren en marxa es d’aproximadament 80 dB. Calculem primerament quin esel percentetge de l’energia que representa el so respecte del total d’un tres queestimarem en aproximadament 1 MW.

La intensitat sonora es defineix com

β = 10 logI

I0, (2.24)


a partir d’aquesta equacio podem calcular el flux d’energiaa partir dels 80 dBque hem pres de referencia

I = I0 exp β/10 = 10−1210(80/10) = 10−4W/m2. (2.25)

Aquesta quantitat s’ha de multiplicar per l’area sobre la que s’esta repartint l’e-nergia. En el nostre cas es igual a la meitat de la superfıcie d’una esfera de 50 mde radi.

P = 2πR2I = 2π · 502 · 10−4 = 1.57 W. (2.26)

Veiem doncs que la quantitat d’energia que es dissipa en forma de so resultamenyspreable respecte del total del tren.

Un segon aspecte que resulta interessant estudiar es la distancia a la quepodem viure d’una lınia ferrea. Els lımits d’intensitatsonora per llei dins d’unhabitatge es troben en promig prop de 45 dB durant el dia i de 30durant lanit. Una de les preguntes que ens podem fer es a quina distancia hem d’estarde la font per tal de sentir com a maxim aquest nivell d’intensitat. 45 decibelsequivalen a un flux d’energia de

I = I0 exp β/10 = 10−1210(45/10) = 3.16 · 10−8 W/m2. (2.27)

La distancia a la que ens hem de posar per tal que el tren anterior, amb unapotencia emesa total de 1.57 W, provoqui aquesta intensitat sonora es de

R =

√

P

2πI=

√

1.57

2π · 3.16 · 10−8= 2811 m. (2.28)

Obviament, aquestes distancies no son raonables, ja que implicaria que les lıniesde tren no podrien passar per les ciutats. Un metode per evitar aquesta molestiaes el d’aillar els habitatges que es troben propers a l’estacio amb vidres prougruixuits com per aıllar acusticament el so que els arribade l’exterior. Una frac-cio de l’energia sonora entra a la casa, pero una part rebota sobre els vidres, fentque la intensitat sonora que escoltem sigui significativament inferior. Quan anema comprar vidres aıllant del so, la caracterıstica a considerar es la reduccio en de-cibels que aquesta imposa. Uns bons vidres aıllants tenen com a caracterıstica30 dB de reduccio. Calculem que significa en energia aquesta dada.

Si la diferencia entre dins i fora es de 30 decibels, aixo vol dir que el quociententre intensitat val

IdIf

=I010

βd/10

I010βf/10= 10

(βf−30)

10−

βf10 = 10−3. (2.29)

Aixı doncs tan sols un 0.1% de l’energia que arriba a la finestra aconsegueixatravesar-la cap a l’interior de l’habitatge.


Exercicis

1. Comparem el consum d’un tren amb el del vehicle particular. Tindrem encompte les dades:

Tren CotxeMassa (tones) 200 1.5Seccio transversal (m2) 9 2Coeficient aerodinamic 1 0.3Forca fregament intern (N) 2000 20

a) Quantes vegades mes energia necessitem per accelerar untren de0 a 80 Km/h que un cotxe (SENSE tenir en compte cap efecte defregament)?

b) Si considerem que l’ocupacio del vehicle particular esde 2 perso-nes/vehicle, quina ha de ser l’ocupacio mınima del tren per a assegurar-nos que aquest sigui mes eficient nomes en el tram d’acceleracio?

c) Quantes vegades mes potencia necessitem per a mantenirun tren avelocitat constant de 80 km/h que un cotxe, tenint en compte tantfregaments amb l’aire com interns?

d) Comptant nomes el tram de velocitat constant, quina es la velocitatmınima a que s’ha d’anar per tal que sigui mes eficient transportar enun sol tren a 100 persones que fer-ho en cotxe (suposant de nouquehi ha 2 persones/cotxe)?

2. Un avio de vols comercials tıpic (Airbus A320) te una massa, quan estaple, d’uns 70.000 Kg i una area efectiva d’uns 120 m2. Amb tot aixopodem estimar el seu consum

a) Calculeu l’energia necessaria per a accelerar l’avio des de 0 Km/hfins a la seva velocitat de creuer (820 Km/h).

b) Quantes vegades mes gran es el valor anterior que l’energia que calper a accelerar un cotxe de 1.500 Kg des de 0 fins a 100 Km/h?

c) La densitat de l’aire atmosferic decreix amb la distancia h d’acordamb la formulaρ = ρ0e

−h/H , onρ0 es la densitat a nivell del mar (1,2Kg/m3) i H es un valor constant igual a 8500 metres. Si l’avio circulatıpicament a 10.000 metres d’alcada calculeu la densitatd’aire quehi troba.


d) A partir del resultat anterior i agafant un coeficient aerodinamic de0,03 (els coeficients dels avions son molt petits, d’aquestordre) de-duiu la potencia que consumeix l’avio degut al fregament amb l’airea la seva velocitat de creuer.

e) Suposant que tot el consum fos consequencia del fregament amb l’ai-re i que el motor de l’avio te un rendiment del 20% calculeu el con-sum en Kilograms de combustible per segon. (Poder calorıfictıpic:40.000 KJ/Kg).

3. Els trens de levitacio magnetica representen una nova tecnologia que s’haestes en alguns paısos, especialment al Japo. Aquests trens floten en l’airemitjancant un sistema d’atraccio i repulsio entre imans, la qual cosa evitaels fregaments amb la via i per tant el desgast dels seus mecanismes. Enalgunes notıcies es pot llegir que aquests trens consumeixen menys de lameitat de l’energia que un tren convencional anant a la mateixa velocitat.Com sabem, un tren de llarg recorregut basicament consumeix energia pera vencer els fregaments amb l’aire.

a) Calculeu la despesa energetica d’un tren d’alta velocitat TGV ananta 400 Km/h, sabent que te un coeficient aerodinamic de 1 i unaareafrontal de 10 m2.

b) Calculeu la despesa energetica del Transrapid TR-07, untren de levi-tacio alemany, anant tambe a 400 Km/h i sabent que el seu coeficientaerodinamic es 0.56 i la seva area efectiva es de 13 m2. Es certal’afirmacio de que el tren de levitacio magnetica gasta molta menysenergia?

c) A la despesa derivada dels fregaments amb l’aire el tren delevitacioha d’afegir fregaments de tipus magnetic que apareixen coma con-sequencia dels mateixos imans. Si aquest fregament augmenta en un20% la despesa energetica, quin dels dos trens consumeix m´es?

d) Finalment cal tenir en compte que la capacitat dels dos trens no esla mateixa. El TGV pot transportar a 385 pasatgers mentre queelTransrapid nomes 194. Quina es el consum energetic per passatgeren cada cas?

e) Si tecnologicament aconseguıssim eliminar els fregaments de tipusmagnetic i aconseguıssim fer un tren de levitacio amb lesmateixesdimensions que el TGV, quanta energia ens arribarıem a estalviar?

CAPITOL 3Eficiencia energetica a l’habitatge

Des dels mitjans de comunicacio i les administracions sovint es promouen cam-panyes per tal de fer un us mes responsable de l’energia a casa nostra. Perexemple, se’ns diu que es aconsellable no deixar els aparells electrics en situaciode stand-by durant la nit o si no estem a casa, o que procurem posar la calefaccioi l’aire acondicionat a unes temperatures raonables. Tot i que la despesa d’ener-gia en el sector domestic representa nomes una fraccio nomassa elevada de ladespesa energetica total a la nostra societat (14% a nivellde Catalunya, 11% anivell mundial, segons dades de 2007) aquestes practiquesson una bona manerade fer que la societat sigui conscient de la importancia de fer un us racional del’energia. A mes, en alguns casos aixo pot representar un petit estalvi economicper a moltes famılies.

Fins a quin punt son efectives des del punt de vista energetic aquestes me-sures d’estalvi? I com podem quantificar aquest estalvi? Tota la gent es mes omenys conscient d’alguns fets respecte a la factura electrica (o de gas) de casaseva, com per exemple el fet que la major part de la despesa la representen elssistemes de calefaccio i d’aire acondicionat. En aquest capıtol aprendrem conquantificar tots aquests conceptes. En realitat resulta molt senzill, aplicant al-gunes formules fısiques, fer calculs aproximats del consum energetic del nostrehabitatge, tot i que tenir-ne en compte tots els detalls es molt i molt difıcil, dona-da la quantitat de variables que s’han de considerar. A continuacio veurem comavaluar el consum dels aparells i elements tıpics que acostumem a tenir en un ha-bitatge i l’estalvi energetic que representa dur a terme unbon us dels mateixos.Farem emfasi especial en els sistemes de calefaccio, donada la seva importanciaen el consum total de l’habitatge, i analitzarem diferents sistemes per escalfarl’interior dels habitatges, alguns d’ells basats en l’us d’energies renovables, pertal de comparar l’eficiencia d’uns i altres.

31

32 CAPITOL 3. EFICIENCIA ENERGETICA A L’HABITATGE

3.1 Electrodomestics i aparells electrics

L’energia consumida per qualsevol maquina o aparell es potcalcular multiplicantel temps que esta en marxa per la potencia a la qual funciona:

P =∆E

∆t⇐⇒ ∆E = P∆t.

Observant la placa de caracterıstiques tecniques que porten els aparells podemconeixer la potencia maxima a que aquests poden funcionar. Per exemple, si laplaca de la planxa de casa nostra marca el seguent:

220− 240V 50− 60Hz 2200W

aixo ens diu que l’aparell esta preparat per funcionar ambun corrent altern d’a-proximadament220 Volts i amb una frequencia de50 Hz (que es l’estandar alqual funciona la xarxa domestica a Espanya i a la majoria de paısos), i que laseva potencia quan funcioni al maxim de capacitat sera de2200 Watts (es a dir,si es tracta d’un electrodomestic que te diferents graus de potencia o d’intensitataquesta seria la potencia corresponent al grau mes elevat).

Per tant, si suposem que ens passem una hora (que son3600 segons) amb laplanxa encesa l’energia consumida sera, en Sistema Internacional,

∆E = 22003600 = 7, 92106J

Si volem fer el mateix calcul en quiloWatts hora (kWh), que es la unitat d’ener-gia que figura en la nostra factura de la llum, farem el calculposant la potenciaen quiloWatts (2,2) i el temps en hores (1):

∆E = 2, 21 = 2, 2kWh

A partir d’aquest calcul podem veure, per exemple, fins a quin punt es meseficient una planxa que tingui un sensor de temperatura, de manera que nomeses posa en marxa quan la temperatura decau per sota d’un cert llindar, respecteuna planxa antiga que esta contınuament funcionant. Imaginem que la planxaamb sensor de temperatura en comptes d’estar l’hora senceraen funcionamentnomes ho esta realment durant 35 minuts. Aleshores l’energia consumida es

∆E = 2, 235

60= 1, 28kWh

Si la planxa amb sensor de temperatura costa90 euros, i la que no en te costanomes60 euros, quantes hores haurıem de planxar per amortitzar economicamentla planxa mes cara (es a dir, per recuperar els30 euros de diferencia)? Per a

3.2. AIGUA CALENTA 33

saber-ho necessitem saber a quant ens cobra la companyia el`ectrica cada kWhconsumit. A data de 2011 un preu forca estandar serien0, 15 euros/kWh. Aixovol dir que quan haguem estalviat una energia de

301kWh

0.15= 200kWh

haurem aconseguit amortitzar els30 euros de diferencia. Com que cada horaque fem servir la planxa amb el sensor estem estalviant2, 2−1, 28 = 0, 92 kWhd’energia respecte l’aparell poc eficient, per a arribar als200 KWh necessitaremfer servir l’aparell durant

200kWh1h

0, 92kWh= 217h.

De la mateixa manera, si el temps de vida mig d’una planxa son, per posarun exemple, 1000 hores de funcionament abans d’espatllar-se, aleshores l’estalvieconomic total que representa la planxa mes eficient es de

1000h0, 92kWh

1h

0.15

1kWh− 30 = 108

on ja hem restat els30 euros que hem hagut de pagar de mes inicialment. Pertant, a la llarga surt forca a compte comprar l’electrodom`estic amb el sensor detemperatura, no nomes des del punt de vista ambiental sinotambe economic.

Aquests calculs que hem fet per l’exemple de la planxa son extrapolables apracticament qualsevol aparell electric que tinguem a casa.

3.2 Aigua calenta

Existeixen al mercat diferents sistemes per abastir el condum d’aigua calentad’un habitatge. Pel que fa al que ens interessa aquı, que esestudiar-ne el consumenergetic, basicament podem distingir dos tipus de sistemes: (i) Els que escalfenl’aigua al mateix moment de consumir-la (per exemple, escalfadors de gas), (ii)Els que emmagatzemen l’aigua calenta en un diposit o caldera.

Per a coneixer l’eficiencia en cada cas cal tenir clar en quins conceptes s’-ha de fer servir l’energia. En primer lloc per a escalfar una massam d’unasubstancia (en aquest cas aigua) fins a una certa temperatura cal una energia enforma de calor que, d’acord amb l’equacio XX, ve donada per

Q = mc∆T = ρV c∆T

on c es el calor especıfic de l’aigua (4180 J/Kg K), i hem fet servir que la massaes el volumV multiplicat per la densitatρ perque normalment mesurem l’aigua


consumida en litres. D’acord amb aixo, podem calcular la despesa energeticamınima d’una dutxa. Si l’aigua abans d’escalfar-se esta a150C (temperaturaambient) i nosaltres ens volem donar una dutxa a380C, aleshores en funcio delslitres d’aigua que gastem tenim una despesa energetica de

10litres → E = 1104180(311− 288) = 9, 6105J

15litres → E = 1154180(311− 288) = 1, 4106J

20litres → E = 1204180(311− 288) = 1, 9106J

(cal tenir en compte que a la practica l’aigua no s’escalfa exactament a380C,sino que s’escalfa a una temperatura mes gran, de500C o 600C, i posteriormentes barreja amb aigua freda per a obtenir la temperatura desitjada; no obstant,considerar aquests detalls no canviara el valor de l’energia necessaria).

Aquest, com hem dit, sera el consum mınim que necessitarem, pero no esl’unic. Per una banda, hem de tenir en compte que hi ha perdues en les canona-des que transporten l’aigua, tant degudes a transmissio decalor cap a l’exteriorde la canonada com degudes a efectes de fregament en el fluid que hi circula.No obstant, aquestes perdues en una instal·lacio estandar d’un habitatge es potconsiderar que son petites.

Per altra banda, si fem servir un diposit que emmagatzema l’aigua continu-ament hem de subministrar l’energia a l’aigua per tal de compensar les perduesen el diposit, que contınuament deixa escapar una petita quantitat de calor cap al’exterior. Aquestes perdues seran degudes principalment a conduccio de calor.Per tant, si suposem que el diposit te2 m2 d’area exterior, que la diferencia detemperatures entre l’interior del diposit i l’exterior es de40 K i que esta recobertd’algun material que sigui un bon aıllant (per exemple, unacapa de1 cm d’unmaterial amb conductivitat termica0.02 W/mK) aleshores podrem aplicar la lleide Fourier (Equacio XX):

J = Aλ∆T

∆x= 20.02

40

0.01= 160W

que ens dona la quantitat de calor per unitat de temps que perd el diposit. Sisuposem que la caldera esta encesa les 24 hores del dia (que son86400 segons),com passa sovint, aixo implica unes perdues de

∆E = P∆t = 16086400 = 1, 4107J

cada dia. Com observem, la quantitat d’energia perduda aix´ı es gran comparadaamb l’energia necessaria per a dutxar-nos. Vol dir aixo que els sistemes basatsen diposit consumeixen mes? En general, sı. Pero un delsinconvenients delssistemes que escalfen l’aigua al moment consisteix en que s’ha d’aconseguir

3.3. CLIMATITZACIO 35

que l’aigua faci un salt de temperatura molt gran en un temps molt petit. Podemfer una estimacio de la potencia que aquests sistemes necessiten; suposem quecada segon passen0, 1 litres d’aigua per l’escalfador, que fa que l’aigua s’escalfides de150C fins a600C. L’energia necessaria per a produir aquest escalfamentes

E = ρV c∆T = 10, 14180(333− 288) = 1, 9104J

i com que aixo passa cada segon, aplicantP = ∆E/∆t obtenim que caldriauna potencia de1, 9·104W o, el que es el mateix,19 kW. La xarxa electrica d’unhabitatge normal no esta preparada per suportar aquesta potencia; es per aixoque es molt complicat trobar al mercat escalfadors d’aiguaelectrics, i en canvitots ells acostumen a funcionar amb gas, ja que amb la combustio de gas sı esmes factible aconseguir potencies d’aquest ordre.

3.3 Climatitzacio

Els sistemes de climatitzacio son tots aquells sistemes odispositius que servei-xen per a regular la temperatura d’un espai; aixo inclou tant sistemes de cale-faccio com de refrigeracio. Tal com hem fet abans per a estudiar els sitemesd’escalfament d’aigua, hem de pensar en que s’ha de gastar l’energia que consu-meixen els sitemes de climatitzacio. Basicament, hi ha dos termes principals: (i)cal energia per a escalfar (o refredar) l’aire d’un habitatge fins a una certa tem-peratura, i (ii) en segona instancia cal energia per a compensar les perdues decalor cap a l’exterior i mantenir l’habitatge a una temperatura constant. Ara enscentrarem sobretot en el primer d’aquests dos punts, mentreque el referent a lesperdues sera estudiat mes en detall en el proper capıtol. La calor necessaria pera escalfar o refredar un volum d’aireV vindra donada, com en l’apartat anteriorpel cas de l’aigua, per l’equacio

Q = ρV c∆T

on la unica diferencia es que la densitat i el calor espec´ıfic ara han de ser elsde l’aire (1, 2 Kg/m3 i 1000 J/Kg K). Per exemple, si tenim un habitatge de100m2 amb una distancia del terra al sostre de2, 5 metres i volem escalfar100Cl’habitatge per tal d’arribar a una temperatura agradable,necessitem una energiade

Q = 1.2 (1002, 5) 100010 = 3106J = 0, 83kWh

A continuacio, estudiem l’eficiencia i el cost de diferents sistemes de clima-titzacio per tal d’obtenir aquest escalfament.


Llar de foc

El principi de funcionament d’una llar de foc a nivell energ`etic es molt senzill.Nomes necessitem coneixer el poder calorıfic de la llenya; es a dir, la quantitatde calor obtinguda en cremar-ne una certa quantitat. Podem agafar com a valorestandar per a la llenya seca2·104 KJ/Kg. Aixo vol dir que necessitem unaquantitat de

3106J1Kg

2107J= 0.15Kg

de llenya, suposant que el100% de la calor obtinguda a la llar de foc es destinaefectivament a escalfar l’habitatge. Si tinguessim en compte el rendiment delsistema, suposant que nomes un40% del calor s’aprofita i la resta es perd (per laxemeneia o degut a combustions incompletes) tindrıem que calen0, 375 Kg dellenya, que es un valor sorprenentment petit per a escalfarun habitatge sencer.La rao es que la llar de foc a la practica es troba en un punt concret de la casai a mes la calor s’hi genera (la llenya crema) forca lentament, de manera que amida que la calor es va generant una part es va perdent (per lesparets, sostres,etc); si la cas estigues perfectament aıllada, en realitat nomes faria falta aquestapetita quantitat de combustible per a escalfar-la.

Radiadors electrics

Un radiador electric (o qualsevol estufa electrica en general) es basicament unaresistencia electrica connectada directament a la xarxadomestica. Per tant, elseu consum es pot calcular com el d’un electrodomestic, talcom hem vist a l’a-partat XX. Per exemple, si tenim a l’habitatge un conjunt de8 radiadors encesosde 800 W de potencia cadascun, tenim una potencia total de6400 W, que sig-nifica que cada segon s’estan consumint6400 J. Caldria ara saber quina part del’energia consumida pot ser realment convertida pel radiador en energia destina-da a escalfar l’habitatge. Suposant que fos el90%, trobarıem el temps necessariper a escalfar l’habitatge:

∆t =100

90

∆E

P=

100

90

3106

6400= 521s = 8, 7min

Novament, aquest es un calcul poc realista, ja que tot i tenir en compte el rendi-ment no estem considerant que part de la calor es va perdent per les parets a midaque es va generant. No obstant, podem calcular en aquestes condicions ideals elcost economic d’escalfar l’habitatge, fent servir novament el preu de0, 15 eu-ros/kWh pel consum d’electricitat domestic i tenint en compte el rendiment del90%:

0, 83kWh100

90

0, 15

1kWh= 0, 14


Calefaccio amb circuit general

L’avantatge dels sistemes que funcionen amb un circuit d’aigua general i una cal-dera electrica o de gas es que acostumen a tenir un consum lleugerament menor,perque tota l’energia de l’aigua calenta que passa pels radiadors es cedeix direc-tament a l’ambient sempre i quan la instal·lacio no sigui exterior. Les uniquesperdues del sistema son les que tenen lloc en el diposit (caldera) general, pero siaquest diposit esta ben aıllat de l’exterior les perdues seran petites. En definiti-va, per saber el cost d’escalfar l’habitatge model que estemfent servir en aquestaparta nomes haurıem de calcular

0, 83kWh0, 15

1kWh= 0, 12

Per tant, el sistema es molt mes economic que el dels radiadors electricssuposant que l’aigua del circuit ja esta escalfada. Cal afegir, pero, que escalfartota l’aigua del circuit sı requereix una energia i un tempsconsiderable, per laqual cosa aquests tipus de sistemes acostumen a deixar-se encesos les 24 horesdel dia.

Bomba de calor

Els sitemes anomenats ’bomba de calor’ tenen un funcionament diferent als des-crits anteriorment, ja que el que fan no es generar de forma directa calor a partird’energia electrica sino que la transformacio te lloc mitjancant un cicle termo-dinamic en el qual interve un canvi de fase d’un fluid. La bomba de calor fun-ciona, doncs, com una maquina termica (Apartat XX) amb quatre etapes: (1)evaporacio del fluid a partir de la potencia extreta del medi fred, (2) expan-sio del fluid en estat vapor, (3) condensacio del vapor , alliberant energia quesera subministrada al medi calent, (4) compressio del fluid en estat lıquid per aportar-lo a condicions en les quals el pas (1) pugui donar-sede nou. El cicletermodinamic corresponent es el que es mostra a la figura XX, que s’acostuma amodelitzar com a format per dos processos isobars i isoterms (canvis de fase) idos processos adiabatics (compressio i expansio).

Aquest cicle termodinamic, fent la suposicio de que totsels processos quehi intervenen fossin reversibles (la qual cosa no es certa), ens donaria lloc alrendiment maxim teoric del sistema (Apartat XX). Com que el compressor elque fa es aprofitar un treball per a treure calor d’una font freda (exterior) i cedir-lo a una font calenta (interior) es comporta com un refrigerador (Apartat XX).Per tant, si l’aire d’entrada al compressor esta a temperatura ambient (100C) i elvolem escalfar, per exemple, fins a una temperatura de200C, el rendiment termic


maxim corresponent es el d’un refrigerador reversible (Equacio XX):

η =TF

TC − TF=

283

293− 283= 28, 3

Recordeu que els rendiments dels refrigeradors sovint sonsuperiors a1; aquestresultat end diu que necessitem nomes fer 1 J de treball (el`ectric) per tal d’aug-mentar en28, 8 J l’energia en forma de calor de l’habitatge. Amb aquest rendi-ment, s’obte que l’energia consumida i el cost economic d’escalfar l’habitatgeamb aquest sistema son, respectivament,

0, 83kWh1

28, 3= 0, 044kWh

0, 83kWh1

28, 3

0, 15euros

1kWh= 0, 006euros

on s’ha tingut en compte que la bomba de calor funciona connectada a la xarxaelectrica i per tant el preu del kWh consumit es0, 15 euros. Aixo, no obstant,correspon a una situacio ideal. A la realitat el rendiment termodinamic en unsistema de climatitzacio se li diu COP (Coefficient of Performance) i els valorstıpics acostumen a estar entre COP= 2 i COP= 3 (es a dir,8 o 10 vegades mespetit que el rendiment ideal que hem calculat abans). Per tant, a la realitat el costd’escalfar l’habitatge seria8 o 10 vegades major que el que hem calculat.

Es important tambe estudiar com varia el rendiment de la bomba de calor enfuncio de les condicions externes. Per aixo refem el calcul considerant diferentstemperatures exteriors:

Text = 5oC → η =278

293− 278= 18, 5

Text = 0oC → η =273

293− 273= 13, 6

Text = −5oC → η =268

293− 268= 10, 7

S’observa que com mes extremes siguin les condicions imposades a l’exte-rior pitjor es el rendiment de la bomba de calor. Cal tenir encompte que elsrendiments reals seran, com passava abans, forca inferiors a aquests valors ide-als. Per tant, a temperatures exteriors baixes arribara unmoment en que enstrobarem per sota de COP= 1 i aleshores el sistema de bomba de calor seramenys eficient que un sistema de radiadors o altres dels que hem comentat adalt.Aquesta es la rao principal per la qual els sistemes de bomba de calor no es fanservir en paısos molt freds o en alta muntanya.


Geotermia

La geotermia es un altre sistema parcialment basat en energies renovables queesta cada vegada mes introduit en el mercat. Els sistemes de geotermia utilitzentambe un sistema de bomba de calor, pero en comptes de transmetre la calorsobrant a l’aire exterior, la cedeixen al subsol, aprofitant que la temperatura d’a-quest es aproximadament constant al llarg de tot l’any.Es a dir, fan servir elsubsol com a font termica freda o calenta, segons les condicions. L’esquema enque es basen aquests sitemes es mostra a la Figura XX: es fa passar una petitacanonada d’aigua pel subsol (fins a profunditats de300 metres o mes) de maneraque el fluid escalfat en la bomba de calor passa per aquesta canonada i cedeix lacalor al subsol; quan el fluid torna a la superfıcie ja estaa la mateixa temperaturadel subsol (habitualment uns150C), i el cicle termodinamic de la bomba de calorpot comencar de nou.

El sistema de geotermia presenta dos avantatges clars respecte a una bombade calor convencional. Per una banda, el rendiment del sistema es forca constanttot l’any i no empitjora pel fet de tenir temperatures exteriors mes fredes, compassava en el cas anterior. Per altra banda, el subsol dissipa l’energia del fluid deforma mes rapida i eficient que l’aire, cosa que fa augmentar l’eficiencia del cicletermodinamic. En comparacio amb una bomba de calor convencional (COP= 2o COP= 3) el sistema de geotermia pot arribar a oferir valors de COP per sobrede4, la qual cosa implica un30% o 40% d’estalvi en el consum energetic.

Sistemes solars

La calefaccio d’un habitatge a partir exclussivament de l’energia col·lectada perpanells solars no es una tecnica habitual, a no ser que es faci servir en combinacioamb altres dels sistemes que hem comentat. Les raons son forca obvies: tot i queun sistema alimentat pel Sol tindria un cost economic zero (excepte pels costosd’instal·lacio i manteniment) aquest sistema no ens garantitza la disponibilitatd’energia en el moment que nosaltres la necessitem. De fet, precisament elsperıodes mes freds de l’any coincidiran amb una menor disponibilitat d’energiasolar. Per tant, un sistema domestic bassat en aquest sistema no sembla viable.En canvi, sı existeixen ja avui en dia el que s’anomenencases actives, les qualsgeneren energia durant el dia (en bona part a partir de panells solars) i incorporenaquesta energia a la xarxa electrica general, de manera queen promig aquestshabitatges generen mes energia de la que consumeixen (podeu trobar informacioa http://www.activehouse.info/).


Aire acondicionat

Despres de discutir alguns dels sistemes de calefaccio que existeixen podem co-mentar breument els sistemes que s’utilitzen per a refredarun habitatge. Els airesacondicionats funcionen fent servir exactament el mateix principi que les ’bom-bes de calor’, pero en comptes d’agafar l’aire fred de l’exterior per tal d’escalfar-lo i portar-lo cap a l’interior, en aquest cas agafen l’aire de l’interior (que actuacom a font freda) i el cedeixen a l’exterior. En aquest cas podem estudiar comvaria el rendiment maxim teoric en funcio de la temperatura exterior. Per aixoconsiderem diferents temperatures exteriors elevades queun pot trobar-se un diad’estiu i considerarem que el que volem es mantenir l’interior de l’habitatge a250C.

Text = 30oC → η =298

303− 298= 59, 6

Text = 35oC → η =298

308− 298= 29, 8

Text = 40oC → η =298

313− 298= 19, 9

Com veiem, els rendiments maxims teorics son forca grans (per exemple, a30oC nomes necessitem introduir1 J de treball en el sistema per a extreure59, 6 Jde calor de l’habitatge), tot i que a mida que fa mes calor el rendiment es va fentmes petit.Es el mateix problema que comentavem pels sistemes de calefaccio debomba de calor, que son menys eficients com mes extremes son les condicions.

3.4 Exercicis

Quin es l’estalvi energetic i economic de descongelar unaliment de forma natu-ral o fer-ho al microones? Per a fer una estimacio calculeu l’energia necessariaper escalfar1 Kg de carn des de−10o C fins a15oC sabent que la carn es en un70% aigua i en un30% materia organica. Considereu que el calor especıfic de lamateria organica es1670 KJ/Kg·K i tingueu en compte que el gel es fon a0oC,amb un canvi latent de fussio de334 KJ/Kg.

Calculeu l’estalvi economic que suposa l’estalvi energetic del problema an-terior, suposant un preu de consum de0, 15 euros/kWh.

Demostreu que es necessaria la mateixa quantitat d’energia per escalfar10litres d’aigua per a dutxar-nos des d’una temperatura ambient de15oC fins a38oC que la que es necessita per a escalfar nomes 5 litres fins a una temperaturade61oC. Si barrejem ara aquests5 litres a61oC amb5 litres a temperatura am-bient comproveu que obtindrem10 litres a38oC. Per tant, queda demostrat quel’energia destinada a escalfar l’aigua de la dutxa depen nomes de la temperatura

3.4. EXERCICIS 41

final de l’aigua, i no de la temperatura a la qual surt l’aigua de l’escalfador o dela caldera.

Surt a compte tenir la caldera d’aigua calenta encesa les 24 hores del dia,tenint en comtpe que en molts habitatges l’aigua calenta nomes es consumeixen una petita franja horaria (normalment al vespre)? Per a fer una estimacio,calculeu quanta energia cal per escalfar un diposit de80 litres d ’aigua des de15oC fins a60oC. Compareu aquest valor amb les perdues que es tindrien en eldiposit durant la resta del dia en que no fem servir l’aiguacalenta (per exemple,considerem 16 hores). Suposeu que te la mateixa area i les parets tenen lesmateixes caracterıstiques que el que hem fet servir en l’exemple de l’apartatXX.

Si el poder calorıfic del gas natural es de45 KJ/litre, quants litres de gass’han de cremar per segon per tal d’aconseguir tenir ences un escalfador de gasamb una potencia de20 kW?

Calculeu l’energia necessaria per a escalfar tota l’aiguad’un circuit generalde calefaccio des de15oC (temperatura ambient) fins a45oC (temperatura habi-tual a la que funcionen aquests circuits), sabent que l’aigua circula per un totalde100 metres de tubs de1 cm de radi (no tingueu en compte les perdues).

Quant de temps trigarıem en dur a terme el proces del problema anterior ambuna caldera electrica de1000 W de potencia? Calculeu el preu que te dur a termeel proces, sabent que el preu del kWh es de0, 15 euros.

Si volem mantenir el nostre habitatge a25oC fent servir un sistema de bombade calor, a partir de quina temperatura exterior tindrem un COP inferior a1,suposant que el valor del COP fos deu vegades mes petit que elrendiment teoricd’un refrigerador reversible? Si volguessim fer servir elmateix aparell com asistema de refrigeracio per a mantenir tambe a l’estiu la mateixa temperatura, apartir de quina temperatura exterior el COP es reduiria tambe a1?

Exercicis

1. Stand-by. Molta gent associa visualment els stand-by d’alguns aparells(televisions, DVDs, etc) a la famosa llum vermella que hi apareix en aquestestat. Pero aixo no vol dir que els consums associat al stand-by correspon-guin al consum de la llum.

a) La llumeta vermella acostuma a ser un petit LED que pot tenir unapotencia aproximadament de 50 mW. Calculeu l’energia (en Joules ien KWh) que consumeix aquesta llumeta durant 30 dies encesa.

b) Si la companyia electrica ens cobra a 15 centims el KWh calculeuquina despesa representa l’energia de l’apartat anterior.


c) Sovint a la televisio sentim que el stand-by pot representar prop del10% del consum d’un habitatge. Si el consum mensual d’un habitat-ge tıpic es de 800 KWh, calculeu quina potencia haurien detenir elsstand-by de la casa.

d) En realitat els stand-by consumeixen molt mes que la llumeta ver-mella, ja que hi ha diferents parts internes de l’aparell quehan deseguir funcionant, i a mes per a tenir aquestes parts enceses cal queel transformador de l’aparell tambe estigui funcionant. Si la potenciareal de un stand-by es de 10 W, quants aparells haurıem de tenir aixıper a arribar a la potencia de l’apartat anterior?

2. Alguns electrodomestics han experimentat una millora important de la se-va eficiencia energetica en les darreres decades. Un delsmillors exemplesd’aixo es el del frigorıfic.

a) L’etiquetatge dels frigorıfics (A-G) determina la seva eficiencia energetica.Un frigorıfic de classe G (antic) consumeix aproximadament850KWh anuals, mentre que un de classe A consumeix nomes 350 KWhanuals. Quin estalvi (en euros) representa l’aparell eficient cada anysi el preu del KWh es de 15 centims?

b) Recentment s’han aprobat pels frigorıfics les categories A+ i A++.La segona representa reduir el consum energetic a un 55% respectedel de classe A. Quin estalvi en euros aconseguim amb un respectel’altre?

c) Si el frigorıfic de classe G costa 250 euros, el de classe A 400 eu-ros i el de classe A++ 600 euros, quants anys han de passar per aamortitzar el de classe A++ respecte cadascun dels altres dos?

3. Els microones tenen la capacitat d’escalfar les substancies mitjancant l’e-nergia d’ones electromagnetiques. Podem fer alguns petits experimentsper tal d’estudiar-ne l’eficiencia energetica.

a) Col·loquem un litre d’aigua a temperatura ambient (suposem 200C)al microones. Si al cap de 2 minuts la temperatura de l’aigua ´es de450C calculeu l’energia per unitat de temps que cedeix el microones.(Calor especıfic de l’aigua: 4180 J/KgK)

b) A la vegada que fem l’experiment anterior suposem que mirem elconsum electric del microones (per exemple, controlant elcomptadorde la llum de casa). Si el consum durant els 2 minuts ha estat de0,05KWh calculeu el rendiment energetic del microones.

3.4. EXERCICIS 43

c) Si possessim al microones un bloc de gel de 1 Kg, quant temps coma mınim trigaria a fondre’s?

d) Col·loquem 1 Kg d’una substancia qualsevol al microonesi obser-vem que triga 3 minuts en passar de 200C a 400C. Estimeu quin es elcalor especıfic de la substancia.

Propostes de projectes

*Fes un estudi del consum energetic en un habitatge real qualsevol. Agafa la fac-tura de la llum de l’habitatge i, estimant quina es el consumde cada aparell de lacasa i del temps que aquest esta funcionant, fes un calcul aproximat del consumper comprovar si quadra amb el que marca la factura. Hi ha diferents manerade fer l’estimacio: pots fer servir les plaques que porten els electrodometics iels aparells electrics on figura la potencia de cadascun, tambe pots fer servir unmultımetre per determinar la resistencia electrica dels aparells i a partir d’aixo laseva potencia (sabent que en general tots funcionen a 220 V). Hi ha casos mescomplicats de determinar, com per exemple el del frigorıfico les calefaccionsamb termostat, ja que no es facil saber quant de temps estanen marxa al llargdel dia. Es tracta de ser enginyos i desenvolupar metodologies que permetin feruna estimacio de les potencies i els temps de funcionamentper a cada aparell elmes fiables possibles.

En segona instancia, una vegada determinat el consum totali el percentatgeque cada tipus d’aparell representa sobre el total, podeu intentar proposar mesu-res especıfiques d’estalvi i portar-les a terme a la practica per tal de comprovar sil’estalvi previst segons els vostres calculs encaixa amb l’estalvi real aconseguit.

*Feu un estudi de l’eficiencia energetica de diferents tipus d’estufes i sis-temes de calefaccio. Per aconseguir-ho compareu els resultats d’intentar escal-far una mateixa habitacio fent servir diferents aparells isistemes.Es importantque sempre que repetiu l’experiment es donin les mateixes condicions inicials(mateixa temperatura a l’exterior i interior, mateixa radiacio solar en cas que l’-habitacio doni a l’exterior, etc) per tal que la comparaci´o sigui correcta. Seriaideal fer l’experiment en una habitacio forca petita (pertal que no trigui massaen escalfar-se) i en que les portes i finestres tanquin be, per evitar els correntsd’aire. Seria perfecte, tot i que no es senzill de trobar, sia mes el lloc on ho feudisposa de calefaccio amb diferents fonts d’energia (solar, geotermia, etc). Es-calfeu l’habitacio fent servir diferents sistemes (radiadors, estufes d’infrarojos,calefactors d’aire, bombes de calor... i qualsevol altre que tingueu disponible).Comproveu com varia la temperatura de l’habitacio en funcio del temps en ca-da cas fins que s’arribi a una situacio estacionaria. A partir d’aixo, i sabent lapotencia de cada aparell estudıeu el consum energetic encada cas (aixo tambe


es pot fer a partir del comptador de la casa o fent servir algunaparell de mesura).Amb tota aquesta informacio feu un estudi d’eficiencia queens permeti conclou-re quins son els sistemes mes eficients i quins serien els m´es adients en diferentssituacions (depenent, per exemple, de si ens interessa aconseguir un escalfamentmolt rapid, o si el que necessitem es assolir una temperatura molt elevada, etc).

(Nota: Recordeu que el calor necessari per escalfar una habitacio es pro-porcional al seu volum, pero les perdues energetiques cap a l’exterior son pro-porcionals a l’area de l’habitacio. Aixo us pot servir per extrapolar els resultatsobtinguts al cas d’una habitacio mes gran).

CAPITOL 4Aillaments termics

Quan pensem en com podem fer per a mantenir un habitatge, un edifici o qual-sevol altre espai a una certa temperatura de la forma mes eficient i sosteniblepossible de vegades ens centrem unicament en la manera en com generem l’e-nergia necessaria (aixo es basicament el que hem estudiat al capıtol anterior)pero sovint ens oblidem que mes important fins i tot que com obtenim l’energiaes com evitem que aquesta es perdi.

En el cas de l’acondicionament termic dels edificis o espaisfem servir dife-rents metodes de calefaccio que han de donar-nos contınuament energia per tald’evitar les perdues que es produeixen cap a l’exterior, fonamentalment a travesde les parets, finestres, portes... i qualsevol altre element de contacte amb l’en-torn. Si partim del principi de que la millor forma d’estalvi energetic es aquellaque consisteix en reduir el consum, aleshores es obvi que enaquest cas aixopassa per prendre mesures encaminades a impedir aquestes p`erdues d’energia enforma de calor. Tots aquells elements que s’encarreguen de dur a terme aquestafuncio son el que s’anomenen aıllaments termics, i seran l’objecte d’estudi enaquest capıtol.

4.1 Calcul de resistencies termiques

Tal com hem vist al Capıtol 5 el transport de calor pot tenir lloc a traves de tresprocessos diferents (conduccio, conveccio i radiacio). Tots tres poden jugar unpaper important a l’hora de determinar l’energia rebuda o transmesa pels edificisi els elements que els componen. En particular la conduccioes el fenomen pelqual la calor travessara les parets o altres medis materials que separen l’interi-or de l’exterior. Per tal d’estudiar aquest efecte hem de recuperar el concepte

45

46 CAPITOL 4. AILLAMENTS TERMICS

de resistencia termica, que es la dificultat que un material oposa a la conducciode calor a traves seu. En general, com mes resistencia termica tinguin els ele-ments que separen l’interior de l’exterior millor sera l’aıllament que obtindrem.Recordant la formula

RT =∆x

λAobservem que la manera de dissenyar un edifici per tal d’augmentar-ne la re-sistencia termica i aixı reduir les perdues per conduccio a les parets es: reduirles superfıcies que donen a l’exterior (reduirA), fer-les d’un material amb po-ca conductivitat termica (disminuirλ) i fer-les molt gruixudes (augmentar∆x).Ara be, el problema a la practica es que (a mes de que el disseny d’un edifici vecondicionat per mes criteris a banda de l’energetic) les parets no son els unicselements de separacio entre l’interior i l’exterior, sin´o que tenim les finestres(o potser tambe d’altres). Com podem saber el pes que tenen les finestres enles perdues de calor d’un edifici? Per calcular aixo podem fer servir la seguentanalogia mostrada a la Figura XX. La finestra i la paret representen dues re-sistencies termiques col·locades de forma que, del flux total de calor que circulaentre l’interior i l’exterior, una part passara per la paret i una altra part passa perla finestra. Aixo es equivalent a la situacio que tenim en un circuit electric quanhi col·loquem dues resistencies en paral·lel, de manera que el corrent electrics’ha de dividir tambe en dues parts. La llei de Fourier per resistencies termiquesi la llei d’Ohm per resistencies electriques tenen expressions equivalents

LleideOhm:∆V = IR

LleideFourier:∆T = PRT

nomes que en comptes de diferencia de potencial tenim diferencia de tempe-ratures, i en comptes de corrent electric tenim flux de calor. Per tant, podemparlar tambe de resistencies termiques en paral.lel i fer servir la formula corres-ponent (Equacio **). Aixı doncs, la resistencia termica total del conjunt ”pa-ret+finestra”sera

R(paret+finestra)T =

11

R(paret)T

+ 1

R(finestra)T

=1

(

λA∆x

)

paret+(

λA∆x

)

finestra

Per mostrar un exemple, suposem que volem estudiar l’aıllament d’una ha-bitacio que dona al carrer i a la qual tenim una finestra. Suposarem que lescaracterıstiques de la paret que dona a l’exterior i la finestra son les seguents:

Finestra: Paret:λ = 1 W/mo K λ = 2 W/m o KA = 2 m2 A = 5 m2

∆x = 1 cm ∆x = 30 cm

4.1. CALCUL DE RESISTENCIES TERMIQUES 47

Figura 4.1: Equivalencia entre resistencies termiquesen paral.lel i resistencies termiques en paral.lel.

Les conductivitats termiques escollides corresponen a valors tıpics de con-ductivitat del vidre (per la finestra) i del totxo (per la paret). Ara, a partir de ladefinicio de resistencia termica obtenim

R(finestra)T = 0.005oK/W (4.1)

R(paret)T = 0.03oK/W (4.2)

la qual cosa ens diu que la paret posa mes resistencia al pasde calor. Aixovol dir que les perdues energetiques en aquest exemple es produiran sobretot atraves de la finestra. Si ara calculem la resistencia totaldel conjunt es troba

R(paret+finestra)T = 0.004oK/W


Figura 4.2: Perfil tıpic d’una finestra amb ruptura de pont t`ermic.

es a dir, la resistencia del conjunt es forca semblant a la resistencia de la finestrasola, la qual cosa ens confirma que la finestra es la principalresponsable de laconduccio de la calor.

Davant d’aixo, ens haurıem de plantejar instal·lar una finestra mes eficientper millorar l’aIllament de l’habitacio. Una possibilitat es instal·lar una finestraamb camara d’aire i ruptura de pont termic. El perfil d’una finestra amb aquestescaracterıstiques es mostra a la Figura XX. La camara d’aire fara d’aıllant termic,ja que la conductivitat de l’aire es molt petita. La rupturade pont termic con-sisteix en la col·locacio d’un material que tambe condueixi poc la calor (comara alguna poliamida) per tal de separar les dues parts del marc de la finestra(interior i exterior) i evitar aixı tambe les perdues a traves del marc.

Calculem ara la resistencia d’aquesta finestra millorada,fent servir les dadesseguents:

Vidre interior: Camara d’aire: Vidre exterior:λ = 1 W/moK λ = 0.02 W/moK λ = 1 W/moKA = 2 m2 A = 2 m2 A = 2 m2

∆x = 0.5 cm ∆x = 0.5 cm ∆x = 0.5 cm

En aquest cas no tindrem en compte les perdues a la ruptura depont termicper no complicar excessivament el calcul. Com que la calor ha de passar suc-cessivament pel vidre interior, la camara d’aire i el vidreexterior, la resistencia

4.2. INERCIA TERMICA 49

total de la finestra sera la suma de les tres resistencies per separat, que en aquestcas valdra

R(finestra)T = R

(vidreint)T +R

(camara)T +R

(vidreext)T = 0.13oK/W

Podem veure com la resistencia d’aquesta finestra es molt mes gran que lad’abans (i fins i tot mes que la de la paret) gracies a l’efecte aıllant de la camarad’aire. Instal·lant aquesta finestra a l’habitacio, les p`erdues d’energia serien arames importants a la paret que no pas a la finestra (ja que ara lafinestra condueixmenys quantitat de calor que la paret), i per tant si volguessim millorar encarames l’aıllament de l’habitacio haurıem de dissenyar mesures enfocades a evitarles perdues a la paret.

4.2 Inercia termica

La resistencia termica no es l’unic parametre important a l’hora d’analitzar elsaıllaments termics d’un edifici. Encara que aconseguim evitar al maxim l’efectede la conduccio termica, hem de tenir en compte que els edificis estan rebentcalor (fonamentalment del Sol) durant tot el dia, i per tant la velocitat a la qualels materials de l’edifici absorbeixen aquest calor i s’escalfen o es refreden enconsequencia tambe es un aspecte fonamental. La inercia termica (o efusivi-tat termica) es un parametre que mesura la rapidesa amb laqual els materialsguanyen calor o perden la calor emmagatzemada. La seva definicio es

Inerciatermica =√

λρc

...on no nomes apareix la conductivitat termicaλ sino tambe la densitat del ma-terial ρ i el seu calor especıficc; recordem que aquest ultim parametre ens donainformacio de quants graus s’escalfa un material quan li transferim una quantitatde calor determinada.

Continuant amb l’exemple de la paret i la finestra de l’apartat anterior, podembuscar valors tıpics de la conductivitat, la densitat i el calor especıfic del vidre idel totxo:

Vidre: Totxo:λ = 1 W/moK λ = 2 W/moKρ = 2500 Kg/m3 ρ = 1900 Kg/m3

c = 0.2 J/KgoK c = 0.8 J/KgoK

Per tant, deduım que el vidre te una inercia de 173 J/oK i el totxo de . Aixıdoncs el totxo te molta mes facilitat per escalfar-se i refredar-se rapidament. No


obstant, com que les parets son molt mes gruixudes que la finestra la quantitatde calor que aquestes emmagatzemen sera en general superior.

D’acord amb el que em dit, reduir la quantitat de calor de l’exterior que in-cideix de forma directa sobre les parets i altres elements exteriors d’un edifici esuna bona manera tambe d’aconseguir aıllar-lo termicament (en aquest cas sobre-tot per tal d’evitar sobreescalfaments a l’estiu). En els seguents apartats mostremalgunes mesures que a nivell d’acondicionament d’edificis ja s’apliquen avui endia en aquesta direccio.

El recobriment dels edificis

Des de temps antics es conegut que el color o el material del qual estan reco-berts els edificis modifica substancialment les seves propietats termiques. Totssabem que a la regio mediterrania es habitual pintar les cases de blanc per tal dereflectir al maxim la llum del Sol i evitar aixı la calor delsmesos mes calurosos,mentre que en zones de muntanya es habitual pintar les casesde colors foscosprecisament per aconseguir l’efecte contrari. El parametre clau que ens permetquantificar aquest efecte es la reflectancia que mesura el tant per cent de l’ener-gia de radiacio que el material pot reflectir. A la Taula XX esmostren valors deles reflectancies d’alguns colors (cal dir que aquests valors varien depenent deltipus de material i composicio de la pintura).

Suposant que la major part de l’energia exterior que incideix sobre un edificiprove del Sol podem estimar de forma aproximada com augmenta la temperaturade la facana d’un edifici depenent de si esta pintada de blanc o de negre. Segonsla taula, la facana negra reflecteix el 5% de l’energia solar(es a dir, n’absorbeixel 95%) mentre que la de color blanc absorbeix el 57%. Com que la temperaturaque s’escalfa un objecte es proporcional a l’energia que lisubministrem, aixovol dir que una paret negra s’escalfa un factor 95/57=1.42 m´es rapidament que laparet blanca. Per saber quina sera la temperatura final de lafacana podem portara terme un equilibri radiatiu similar al que s’utilitza per aestimar la temperaturade La Terra (Capıtol XX). Durant un migdia d’estiu poden arribar a la facanade l’edifici de l’ordre d’uns 1000 Watts per cada metre quadrat de superfıcie,dels quals nomes una part son absorbits, com hem vist. S’arribara a l’equilibriradiatiu quan aquesta energia rebuda s’iguali amb l’energia radia per la paret,que segueix la llei de Stefan-Boltzmann:

P

A= eσT 4

paret

Aplicant en cada cas el coeficient d’absorcio corresponentl’equilibri radiatiuimplica

Facanablanca :1000W/m2 · 0.57 = eσT 4paret

4.2. INERCIA TERMICA 51

Figura 4.3: Fotografia d’una zona d’edificis amb sostres verds.

Facananegra :1000W/m2 · 0.95 = eσT 4paret

Fent servir la constant d’Stefan (σ = 5.67 ·10−8 W/m2 K4) l’emissivitat d’uncos negre (e = 1, tal com s’ha vist al Capıtol XX) s’obte que la temperaturad’equilibri sera 316oC) per la facana blanca, i 360 K (o 87oC) per una facananegra. Tot i que els calculs son aproximats ja que no tenim en compte altresintercanvis d’energia en el proces, del calcul resulta obvia la importancia que lareflectancia juga en el proces d’escalfament.

Sostres verds

Aquesta es una solucio que comenca a ser forca habitual sobretot en edificiselevats d’algunes ciutats nord-americanes. El concepte desostre verd s’aplica aaquells edificis que tenen a les seves cobertes superiors (terrats) instal·lada unacapa de vegetacio, que acostuma a ser en general algun tipusde gespa. Aquestacapa de vegetacio te un cert impacte positiu a nivell paisatgıstic i de qualitatd’aire sobre les ciutats, pero en realitat el seu gran avantatge radica en que potcontribuir a millorar forca l’eficiencia energetica dels edificis. En aquest cas, elsostre verd actua com un aıllant que no deixa que la calor delSol arribi al sostrede l’edifici, i a la vegada dificulta que la calor de dintere de l’edifici s’escapi.En aquest sentit la vegetacio no nomes actua com un recobriment passiu (queseria el cas descrit a la seccio anterior) sino que absorbeix l’energia del Sol i laconsumeix per tal de dur a terme la fotosıntesi, de manera que una part significantde la calor es transformada en energia quımica.

Els sostres verds permeten reduir forca la conductivitat termica a la cobertasuperior d’un edifici. En alguns casos optims s’ha arribat areduir la conductivitaten un factor 10 (com que la inercia termica depen de l’arrel quadrada de laconductivitat, aixo implica reduir la inercia termica en un factor 3.1), la qualcosa equival a reduir en mes d’un 40% la despesa energeticaen calefaccio i aireacondicionat.


Figura 4.4: Esquema de l’estructura d’una instal·lacio defacana ventilada.

Facanes ventilades

S’anomenen facanes ventilades a aquells elements que consisteixen en instal·laruna coberta a l’exterior de l’edifici (separada de les paretsd’aquest per un es-pai pel qual l’aire pot passar lliurement) que actua, d’alguna manera, com unasegona facana. L’avantatge termic d’aquesta instal·lacio es evident, doncs to-ta la calor del Sol que incidiria sobre les parets de l’edificii n’augmentaria latemperatura, incideix ara sobre la segona facana, de manera que les parets del’edifici es mantenen sempre aproximadament a la temperatura ambient. Lesfacanes ventilades representen una mesura forca efectiva per a evitar el sobre-escalfament dels edificis pero encara no gaire estesa deguta les complicacionstecniques que comporta i al preu d’instal·lacio associat.

Per tal de fer una avaluacio de l’estalvi energetic que suposa aquest elementhem de tenir en compte que, per exemple, durant un dia d’estiules parets d’unhabitatge normal poden arribar a posar-se a uns 50oC. Amb la facana ventiladaaconseguirıem que la temperatura exterior de la paret fos la de l’ambient, queimaginem es de 35oC. Considerem el cas d’una paret de totxo amb les mateixescaracterıstiques (gruix, superfıcie i conductivitat t`ermica) que abans i imaginemque volem mantenir l’interior de l’edifici a una temperaturade confort de 24oC.Aixo voldria dir que la potencia rebuda de l’exterior per conduccio, fent servirla llei de Fourier,

P = λA∆T

∆x

dona 867 W pel cas sense facana ventilada i 367 W amb la facana, la qual cosa

4.3. CONFORT TERMIC 53

representa que la potencia es redueix en un 58%. Per poder mantenir l’habitacioa 24oC en el cas sense facana ventilada haurıem d’extreure (mitjancant un aireacondicionat, o d’alguna altra manera) els 500 Watts (de la diferencia entre 867i 367) de calor extra.

Com podem extreure la calor? Per a aixo hem de fer servir una maquinatermica que funcioni com a refrigerador (Capıtol XX), comara un aire acondi-cionat. Aquest refrigerador extreu calor d’una font freda (edifici) aTf = 24oC iel cedeix a una font calenta (ambient) aTc = 35oC, per la qual cosa la maquinanecessita que li donem una energia per funcionar. Si imaginessim que el refrige-rador es ideal el seu rendiment vindria donat per la formula XX:

η =Tf

Tc − Tf

=297

308− 297= 27

Aixo vol dir que necessitem subministrar 1 W d’energia (el`ectrica) al refrigera-dor per tal d’expulsar 27 W en forma de calor a l’exterior. Ambaquestes dades,per expulsar els 500 W deguts al fet de no tenir facana ventilada necessitem laseguent potencia electrica

P = 500W(expulsats)1W

27W(expulsats)= 18.5W

Finalment, si en comptes de considerar un refrigerador ideal agafessim un rendi-ment mes realista l’estalvi electric seria encara superior. Hem de tenir en comp-te, a mes, que aquest calcul es nomes per una habitacio de dimensions no gairegrans. Si tenim en compte les perdues energetiques a totesles parets i sostresd’un habitatge la potencia total estalviada podria ser forca considerable.

4.3 Confort termic

A banda de tots els processos fısics que hem descrit anteriorment, en els acondi-cionament termic dels edificis interve un element fonamental que els enginyers iarquitectes defineixen com a confort termic. El concepte deconfort fa referenciaa la sensacio da calor o de fred que sentim, es a dir al grau desatisfaccio termicdavant d’unes determinades condicions ambientals. Hem de pensar que, tot i quela temperatura ambient sigui la mateixa, el nostre grau de satisfaccio termic potdependre d’altres factors com ara possibles corrents d’aire, la roba que portem,les possibles variacions de temperatura entre el terra i el sostre, i molts altres.En la definicio de confort, per tant, no nomes intervenen compenents de la fısicasino tambe de la quımica del nostre cos, a mes de factors psicologics, per la qualcosa no entrem en aquest llibre en la descripcio detallada d’aquests fenomens.


4.4 Exercicis

1. Compareu la resistencia de la paret utilitzada en l’apartat de Calcul de re-sitencies termiques amb la paret d’una casa antiga de pedra amb 1 metre degruix (Conductivitat termica de la pedra:2 W/moK).

2. A partir dels valors de les Taules XX i XX determineu la inercia termicade l’aire i de l’aigua.

3. A partir del resultat de l’exercici anterior fes una estimacio del tempsnecessari per que l’aigua d’una piscina inflable (inicialment a la Ta que surt perl’aixeta, que son a 10oC s’escalfes fins a una temperatura ambient de 25oC,suposant que aquesta estigues.

†Demostra que si els extrems d’una paret estan a temperaturesconstantsText

i Tint, aleshores quan s’arribi a la situacio d’equilibri la temperatura en un puntintermig de la paret (es a dir, un punt que esta a la mateixa distancia de l’interiorque de l’exterior) sera(Text + Tint) /2.

4.5 Proposta de projectes

Mesura de conductivitats termiques. La conductivitat termica de qualsevolmaterial representa, com s’ha explicat, un parametre essencial per a entendre elseu poder aıllant. Per tal de determinar experimentalmentel seu valor podemportar a terme un muntatge com ara el que apareix al dibuix. B`asicament hemde disposar d’un bloc d’algun material molt aıllant (com ara porexpan o fibrade vidre) en el qual farem un forat per tal de fer-hi passar el material a estudiar(assegurant-nos que no quedi cap zona d’aire entre el material i el bloc exteriorper tal d’evitar cap tipus de perdues). Aleshores mantindrem un dels extrems dela peca del material a una temperatura constant posant-lo en contacte amb unaestufa, radiador o similar, del qual hem mesurat previament la seva temperatura.Amb l’ajuda d’un termometre el mes precıs possible estudiarem l’evolucio en eltemps de la temperatura a l’altre extrem de la peca, i farem servir la relacio

λ ∼ ln t2 − ln t1T2 − T1

. Una vegada conegudes les conductivitats termiques d’alguns materials, tambepodem probar a repetir l’experiencia fent servir combinacions de diferents ma-terials per tal de comprovar si el concepte.

Comentari: La relacio no ens permetra trobar de forma directa un valor deEstudi de l’escalfament d’un cos en funcio del seu recobriment.Per tal

de quantificar com el color del que esta pintat un objecte influeix en la sevacapacitat d’absorbir la calor agafarem diferents caixes totes elles identiques i

4.5. PROPOSTA DE PROJECTES 55

les pintarem de colors diferents. En l’interior de cada caixa hem de col·locar untermometre de manera que poguem fer contınuament la lectura de la temperaturasense necessitat d’obrir les caixes. Aixo es pot aconseguir, per exemple, fentservir un termometre connectat a un ordinador, amb la qual cosa haurem de ferun petit forat a la caixa per a fer passar el cable corresponent; o be fent servirun termometre d’infrarojos que ens permeti fer la lectura des de l’exterior dela caixa. Aleshores escalfarem les caixes totes de manera identica deixant-lesal Sol o posant-les en una habitacio amb la calefaccio elevada (es importantassegurar-nos en qualsevol cas que no existeixen corrents d’aire que puguin ferque les condicions de les caixes no siguin exactament les mateixes). A partir del’augment de temperatura a l’interior de cada caixa podrem determinar quina esla calor neta absorbida (calor absorbida-calor emesa) en cada caixa, i per tantpodrem fer una comparacio entre les capacitatspnnn¡¡ d’absorcio de cada color.

Alternativament, podem intentar estudiar, en comptes delsefectes del color,com afecta a la calor absorbida per la caixa el fet de recobrir-la d’un cert materialo un altre.

Aıllament termic de la roba. Existeixen nombrosos estudis publicats ex-plicant i quantificant el ritme al qual el cos huma consumeixenergia (ritme me-tabolic) i la quantitat de calor que despren per unitat de temps. Per tal de poderanalitzar-ho ens podem ficar completament a dintre d’una bossa de plastic (prougran com per tal que hi cabem nosaltres i encara sobri prou espai), o qualse-vol material que ens aılli termicament de l’exterior (fent servir diverses bossesde plastic una dintre de l’altra podem crear una camara d’aire entre elles queaugmentara l’aıllament). Una vegada a dintre farem servir un termometre per aveure a quin ritme la temperatura augmenta dintre de la bossaa partir del valorambient. Podem repetir l’experiment sense roba o be vestint-nos amb diferentstipus de roba per tal de verificar en cada cas si la calor que estem emetent esmajor o menor, i per tant si la roba que fem servir en cada cas a¨ılla mes o menys.Aixo sı, hem de tenir cura de repetir l’experiment sempre en les mateixes con-dicions (de temperatura ambient, volum de la bossa, etc) pertal de garantir lafiabilitat de la comparacio.

Si voleu podeu trobar tambe informacio sobre com els enginyers i dissenya-dors calculen la capacitat d’aıllament termic de la roba (ells fan servir una unitatanomenadaclo).

El valor exacte de la calor total que ha emes el nostre cos essenzilla decalcular tenint en compte que tota aquesta calor va destinada a escalfar l’aireque hi ha dintre de la bossa (el volum d’aire a escalfar sera el volum de la bossamenys el volum del nostre cos) i que la calor destinada a escalfar l’aire des deT0 finsTf segueix la llei

Q = mc (Tf − T0)


on c es el calor especıfic de l’aire im la massa d’aire a escalfar.

CAPITOL 5L’energia nuclear

Dels 34.537 GWh d’energia electrica produıda a Catalunyadurant l’any 2011,21.782 GWh varen provenir de l’energia nuclear. Aixo significa un 63% deltotal. Aquesta dada ens indica la importancia d’aquest tipus d’energia dins delnostre model. El febrer del 2012, davant d’una onada de fred que va fer caurela temperatura per sota dels -20 ºC, a Alemanya es van haver dereobrir cincreactors nuclears davant l’increment de la demanda d’energia.

Tot i ser una energia potencialment mes perillosa que la resta, no en po-dem negar la nostra dependencia com a mınim en els paısos occidentals. Laseva extraordinaria potencia fa molt difıcil el seu reemplacament per energiesrenovables, ja que l’eliminacio d’una sola central significa haver de crear moltesinfrastructures basades en energies renovables. En moments on la demanda esbaixa aixo no representa un gran problema, pero en els moment en els que lademanda es alta, aixo pot significar la diferencia entre tenir o no tenir energia.Es per tot aixo que es necessari un profund coneixement d’aquesta tecnologiaper poder avaluar els beneficis i els riscos de la seva utilitzacio.

5.1 Relacio entre massa i energia

L’any 1905, Albert Einstein va publicar un article forca innovador en el queexplicava com la massa i l’energia estaven relacionades. Abans d’aquest arti-cle, els cientıfics estaven forca convencuts de que l’energia i la massa eren duesmagnituds que es conservaven independentment, o sigui, quesi en qualsevol re-accio tenıem unes quantitats inicials de massam0 i d’energiaE0, les quantitatsfinals de massa i energia haurien de ser les mateixes que al principi mf = m0 iEf = E0. Despres de la seva publicacio, la massa no deixava de ser una altra

57

58 CAPITOL 5. L’ENERGIA NUCLEAR

forma d’energia i per tant, l’unica conservacio que valiaera la d’aquesta ultimamagnitud, deixant la possibilitat de convertir materia enuna altra forma d’ener-gia com la cinetica o la potencial. La quantitat d’energiaE que podem obtenir apartir d’una quantitat de materiam es una de les equacions mes conegudes de laFısica,

E = mc2, (5.1)

on c = 3 · 108 m/s es la velocitat de la llum. El valor tant elevat d’aquestaultima magnitud fa que petites quantitats de materia es puguin convertir en ex-traordinaries quantitats d’energia. Posem-ne un exemple.

Suposem que convertim 1 g de materia, en energia. D’aquestan’obtindrem

E = 10−3Kg(3 · 108m/s)2 = 9 · 1013J = 2.5 · 107 kWh. (5.2)

Aquesta es la quantitat d’energia que consumeixen uns 10.000 habitatges durantun any. Aixı doncs, transformant un unic gram de materia podem donar energiaa una ciutat mitjana durant un any sencer. Aquesta dada ens pot donar una ideaprou clara de la potencia d’aquesta transformacio. Amb una finalitat menys civil,aquest mateix calcul va ser el que va conduir al projecte Manhattan a construirla bomba atomica.

5.2 Fusio i fissio

La transformacio de materia en energia no es pot produir dequalsevol forma.Existeixen certes restriccions que fan possible tan sols dos camins per a l’obten-cio d’energia a nivell atomic, la fusio i la fissio. Per entendre quan son possi-bles aquestes reaccions hem d’introduir una magnitud nova,el defecte de massa.Abans, pero hem d’estudiar l’estructura de la materia a nivell atomic.

Atoms i isotops

Tots els atoms estan formats per tres tipus de partıcules subatomiques diferents:els electrons, els protons i els neutrons. Els protons i els neutrons, anomenatsnucleons perque son les partıcules que formen el nucli, tenen aproximadamentla mateixa massa; la dels electrons es dues mil vegades mespetita.

Un element esta caracteritzat exclusivament per el nombrede protons quete, essent el nombre de neutrons variable. Als diferents elements amb diferentnombre de neutrons se’ls anomena isotops. Quımicament tots els isotops sonidentics. Aixo significa que no es possible distingir elsisotops a traves d’unproces quımic, havent de recorrer a processos fısics per poder fer-ne la separacio.

Com a exemple d’isotops prenem l’element que te un sol proto. Aquest tede forma mes habitual zero, un o dos neutrons. Des de la perspectiva quımica

5.2. FUSIO I FISSIO 59

aquests tres elements son completament identics, formant els mateixos compos-tos (hidrurs, acids, etc...) i essent impossible establircap tipus de diferencia enles reaccions quımiques en les que apareixen.Es per aixo que si parlem de pro-pietats quımiques els hem d’anomenar a tots igual. Des de laperspectiva fısica,pero, son forca diferents. La diferencia en la seva massa provoca que quan esveu sotmes a camps externs la seva resposta sigui molt diferent.

Numericament un isotop te dos valors que els descriuen, el nombre atomic(Z) i el nombre massic (A). El primer es el nombre de protonsi electrons que te,i el segon es el nombre de nucleons (protons i neutrons junts). Aixı doncs, pera l’hidrogen (Z=1, A=1), per al deuteri (Z=1, A=2) i per al triti (Z=1, A=3). Elnombre atomic es el que s’utilitza quımicament per distingir elements, mentreque a nivell fısic necessitem els dos.

Defecte de massa

A diferencia del que es pugui inicialment creure, no tots els protons i neutronsdonen la mateixa massa als nuclis que formen. Com que l’energia i la materiaestan relacionades, depenent de les interaccions entre elsnucleons del nucli lesseves masses tambe poden variar. En enllacar-se per formar un nucli, els nu-cleons perden part de la seva massa, de forma que la suma de lesmasses delsnucleons per separat sempre es superior a la massa del nucleo que formen.

Calculem el defecte de massa de l’exemple de la figura 5.1, el triti. Aquestisotop de l’hidrogen format per un proto, un electro i dos neutrons pesamHe−3 =3.016049 uma. Si calculem el que pesen totes aquestes partıcules perseparatobtenim

m = mp+me+2mn = 1.007 276+0.000 548+2 ·1.008 665 = 3.025 154 uma(5.3)

La diferencia entre aquest valor i la massa de l’Heli-3 representa el defecte demassa d’aquest isotop.

m−mHe−3 = 3.025 154− 3.016 049 = 0.009 105 uma. (5.4)

Aixı doncs, el triti pesa 0.009 105 uma menys que el que pesenles seves partsper separat. Els defectes de massa dels isotops amb massa atomica fins a 4 venendonats a la taula 5.1.

De forma natural, els isotops tenen la tendencia a prendreles configuracionsamb un defecte de massa mes gran. Aquesta tendencia es pot observar perqueels isotops amb un defecte de massa menor es transformen en isotops amb undefecte de massa major tot emetent radiacio ionitzant. Coma exemple, hi ha 2isotops amb nombre massic 3: el triti (H-3) i el trafni (He-3). El que te el defectede massa mes elevat dels dos es el trafni, i aixo li confereix mes establilitat que


Figura 5.1: Triti

al triti. Aquest ultim pot decaure a Heli-3 tot convertint un dels seus neutrons enun proto. Aixo ho pot fer emetent un electro, que anomenempartıculaβ− quanla seva procedencia es el nucli atomic.

31H → 3

2He +β−.

Isotop nom massa (uma) A Defecte de massa B11H / H Hidrogen 1.007 825 1 021H / D Deuteri 2.014 101 2 0.002 38931H / T Triti 3.016 049 3 0.009 10632He / He-3 Tralfi 3.016 029 3 0.009 12642He / He Heli 4.002 602 3 0.030 378

Taula 5.1: Isotops principals de l’Hidrogen i l’Heli.

Els nuclis mes estables son, per a nuclis petits, els que tenen aproximadamentel mateix nombre de protons que de neutrons. Un nucli que tingui exces deneutrons convertira un neutro en un proto a traves de la reaccio

n → p + β−.

Si per contra te un exces de protons, convertira un protoen neutro a traves de

p → n + β+.

5.2. FUSIO I FISSIO 61

Fem el mateix calcul per a tots els elements que tenen una massa atomicade 12 (Taula 5.2). Observem que el defecte de massa amb el maxim valor el teel carboni.Es per aixo que tots els isotops de massa A=12 es van desintegranta traves de la emissio de partıculesβ− o β+ depenent de si tenen un exces deneutrons o de protons, respectivament.

3 4 5 6 7 8n

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

∆m (uma)

.123 Li

.124 Be

.125 B

.126 C

.127 N

.128 O

Figura 5.2: Grafic amb els defectes de massa per a tots els is`otops de massa atomica 12 de la taula 5.2.

Isotop nom massa (uma) Defecte de massa Btemps de vida des.123 Li Liti 12.053 781 0.047 679 < 10 ns β−

124 Be Beril·li 12.026 921 0.073 699 21.49 ms β−

125 B Bor 12.014 352 0.085 428 20.20 ms β−

126 C Carboni 12.000 000 0.098 940 estable127 N Nitrogen 12.018 613 0.079 487 11 ms β+

128 O Oxıgen 12.034 405 0.062 855 < 1 ps β+

Taula 5.2: Taula dels isotops principals de massaA = 12. Els elements a l’esquerra del carboni es desin-tegren emetent partıculesβ−, mentre que els de la dreta ho fan emetentβ+. El carboni 12 esestable ja que no existeix cap element de massa 12 amb un defecte de massa mes gran que ell.


5.3 Energia alliberada en els processos nuclears.

Les desintegracions radiactives de tipusβ no impliquen la variacio del nombremassic d’un nucli. A aquests tipus de canvis se’ls anomena reaccio nuclear. Pertal de saber si una reaccio nuclear alliberara o no energiaconvindria compararels defectes de massa de nuclis amb diferent nombre de nucleons.

Podem comparar el defecte de massa entre elements amb diferent nombrede nucleons pero hem de tenir en compte que aquest augmenta amb el nom-bre de nucleons. Si mirem la taula 5.3, observem que els nuclis amb nombreatomic mes gran tenen un defecte de massa tambe mes gran sense significar aixoque siguin mes estables. Per evitar aquest problema, en comptes d’utilitzar di-rectament aquesta magnitud calculem el defecte de massa pernucleo, aixo es,el defecte de massa dividit entre el nombre de partıcules que composen el nucli.Aixı, amb aquesta magnitud podem veure quanta massa perdr`a cada nucleo quanes dins d’aquell nucli. En aquest cas obtenim la taula 5.3.

Isotop nom massa (uma) A Defecte de massa B B/A73Li / Li Liti 7.016 005 7 0.042 126 0.006 018126 C / C Carboni 12.000 000 12 0.098 940 0.008 2455626Fe / Fe Ferro 55.934 937 56 0.528 433 0.009 43620280 Hg / Hg Mercuri 201.970 643 202 1.712 365 0.008 47723892 U / U Urani 238.050 783 238 1.934 061 0.008 126

Taula 5.3: Taula de defectes de massa d’alguns atoms estables

Prendrem per a fer aquest calcul els isotops mes abundants de diferents ele-ments quımics: Liti, Carboni, Ferro, Mercuri i Urani. Observem a la taula 5.3que el que te un defecte de massa per nucleo mes elevada esel ferro-56. Sifem el mateix calcul per a tots els elements de la taula peri`odica observarem queprecisament es el Fe-56 el que te el maxim per a aquesta magnitud. Aixo signi-fica que aquest element es el mes estable de tots. Tant si es divideix en diversesparts com si dos d’ells es fusionen, els seus nucleons han de guanyar una massaaddicional, fent que el proces no es pugui produir espontaniament.

Aquest maxim en l’energia d’enllac (o defecte de massa) dels isotops quans’apropen a la massa atomica del ferro provoca que els elements menys pesantsque ell puguin perdre massa tot fusionant-se, mentre que elsmes pesats puguinperdre massa fissionant-se. Tot seguit observarem un exemple de cada un descasos i veurem que significa en termes energetics aquesta massa perduda.

5.4. FISSIO NUCLEAR 63

0 20 40 60 80 100n

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

∆m (uma)

.73 Li

.126 C

.5626Fe

.20280 Hg.23892 U

Figura 5.3: Grafic amb els defectes de massa per nucleo per atots els isotops de la taula 5.3.

5.4 Fissio nuclear

En un reactor nuclear, el combustible (usualment Urani-235) es trenca quan ar-riba sobre ell un neutro amb una certa energia. Igual que quan trenquem unobjecte som incapacos de predir en quines parts es trencara, el mateix passa ambels nuclis d’Urani-235. Certa predictibilitat, pero, caracteritza aquesta reaccio.Acostuma a donar un nucli d’A=130-140 i un altre d’A=90-100 iuns quantsneutrons lliures.

Els neutrons sobrants son la clau de la reaccio, ja que sonels responsablesde que altres nuclis d’Urani es fissionin donant alhora mes neutrons i establint elque s’anomena reaccio en cadena.

Un simple calcul ens permet de veure la importancia del control d’aquestsneutrons. Suposem que en cada reaccio s’alliberen de mitjana 3 neutrons. Sicada neutro provoca una nova reaccio xocant amb un nou nucli, en el seguentpas s’hauran fissionat 3 nuclis mes, en el segon pas 9 i aixı successivament.Al cap de tan sols 10 passos, el nombre de nuclis reaccionant sera de310 =59049 i al cap de 50 tindrem350 = 7.1 · 1023 (aproximadament un mol) d’uranireaccionant. Un mol ja es una quantitat macroscopica (235grams). 50 passos


son un proces extremadament rapid a escala nuclear, on els temps s’acostumena medir en mil·lisegons). Aixo significa que si no parem els neutrons, facilmentl’Urani pot reaccionar per aquest efecte en cadena.

Una forma d’evitar aquesta reaccio incontroladaes a traves dels anomenatsmoderadors. Els moderadors absorbeixen els neutrons abansno arribin a pro-vocar una altra reaccio. Alguns exemples de substancies que es fan servir ambaquesta finalitat son el grafit, el bor o el xeno. El rol d’aquests materials es eld’absorbir una fraccio de tots els neutrons que surten de les reaccions de fissio,evitant aixı que es produeixi una reaccio en cadena.

Com a exemple de reaccio nuclear, i per veure l’extraordin`aria quantitat d’e-nergia que podem extreure d’aquestes estudiarem un cas tıpic,

23592 U → 137

54 Xe+ 9538Sr+ 3 1

0n

Les masses de tots aquests isotops son m(23592 U)=235.043 930 uma, m(137

54 Xe)=136.911562 uma, m(9538Sr)=94.919 360 uma, m(1

0n)=1.008 665 uma. La diferencia demasses es

∆m = 235.043 930− 234.856 917 = 0.187 013 uma = 3.11 · 10−28 kg, (5.5)

on hem utilitzat el fet que 1 uma pesa la inversa del nombre d’Avogadro engrams.

Fent servir la relacio d’Einstein obtenim l’energia que significa aquest de-fecte de massa

∆E = ∆mc2 = 3.11 · 10−28 · (3 · 108)2 = 2.80 · 10−11 J = 175 MeV. (5.6)

Aquests valors ja ens permeten fer alguna estimacio referent a les centralsnuclears. Suposem que una central pot donar una potencia de1 GW. Si el ren-diment de la central es d’un 50 %, el nucli ha de generar 2 GW depotencia enreaccions nuclears. Aixo significa

n =P

E=

2 · 109W2.80 · 10−11J

= 7.14 · 1019 s−1 (5.7)

que signifiquen1.19·10−4 mols/s=2.79·10−5 kg/s. Al cap d’un any aixo significa880 kg d’Urani-235.

Urani enriquit i urani empobrit

En la reaccio anterior hem calculat la quantitat total d’Urani-235 necessari enun any per produir la potencia requerida. Hem de tenir en compte, pero, que en

5.4. FISSIO NUCLEAR 65

la natura la quantitat present d’Urani-235 es del 0.72%. Aixo significa que percada kilogram d’urani tan sols hi ha 7 grams de material utilper a una central.Aquesta proporcio s’ha d’elevar a uns nivells d’aproximadament el 3% per apoder ser rendible. La rao d’aixo es que amb una densitat menor, els neutronsresultants d’una desintegracio no trobarien un altre nucli per poder fissionar,perdent-se i fent el rendiment de la central molt petit.

Prosseguint el calcul de la seccio anterior, si volem 880 kg d’Urani-235 ne-cessitarem 29300 kg d’Urani enriquit al 3%.

Per tal d’augmentar la proporcio d’Urani-235 s’ha de recorrer a algun metodefısic basat en la diferencia de masses, ja que quımicament la separacio no espossible ja que tot l’Urani te les mateixes propietats quımiques.

Antigament s’utilitzava un metode basat en la diferenciade les velocitats d’e-fusio (proces que consisteix en l’escapament de partıcules d’un recinte a travesd’un petit orifici) per a les diferents masses. Actualment s’utilitza la centrifuga-cio per a fer aquesta tasca (al capıtol de Tractament d’Aigues teniu una explica-cio mes detallada del funcionament d’un proces de centrifugacio).

En les centrifugadores de gas l’Urani aquest esta en forma d’hexafluorur(UF6). Al rotar, la centrifugadora acumula les molecules que contenen Urani-238 a la part exterior i les que contenen Urani-235 a l’interior. Com que ladiferencia de massa entre aquestes dues molecules es molt petit (349/352), lafraccio que queda a la part interior es condueix cap a una altra centrifugadoraon es repeteix el proces. Al cap d’uns quants passos, la quantitat d’Urani-235s’incrementa significativament.

Fusio nuclear

Una segona forma d’energia nuclear la trobem a traves del proces invers a l’ex-plicat en la seccio anterior, la fusio. Tal i com s’ha comentat abans, els nuclispetits poden alliberar energia combinant-se entre ells, jaque el defecte de massaaugmenta amb la massa atomica.

A l’interior del Sol, les pressions i les temperatures son prou elevades perqueels nuclis tinguin prou energia com per superar la barrera que suposa la repulsioelectromagnetica dels nuclis.

Aquest proces s’ha intentat aconseguir en reactors a la Terra, pero no s’haaconseguit de forma suficientment estable com per donar energia. Posem unexemple d’aquests tipus de reaccions. La mes tıpica es laque representa la fusiodel deuteri i el triti per formar un nucli d’heli i un neutro

21H + 3

1H → 22He+ 1

0n.


El defecte de massa d’aquesta reaccio es

∆m = (4.002 602930 + 1.008 665)− (2.014 101 + 3.016 049) = (5.8)

0.018 883 uma = 3.14 · 10−29 kg,

∆E = ∆mc2 = 3.14 · 10−29 · (3 · 108)2 = 2.82 · 10−12 J = 17.6 Mev. (5.9)

Calcularem quant Hidrogen es consumeix en el Sol per produir la seva potencia.La temperatura de la superfıcie del Sol es d’aproximadament 6000 K. Ambaquesta temperatura, la potencia alliberada es de

P = 4πR2σT 4 = 4π(6.96 · 108)2 · 5.67 · 10−8 · 60004 = 4.47 · 1026 W (5.10)

Aquesta potencia necessita un ritme de

P

E=

4.47 · 10262.82 · 10−12

= 1.59 · 1038 s−1. (5.11)

Aixo signifiquen2.63 · 1014 mols d’Hidrogen cada segon!!

5.5 Residus nuclears. Llei de la desintegracio

Els residus nuclears son perillosos perque segueixen emetent radiacio ionitzantdespres d’aturar el reactor. Hi ha tres tipus principals deradiacio,β+, β− i α.

La radiacioβ es el resultat de la transformacio d’un proto d’un nucli en unneutro, o viceversa. Si un nucli conte un exces de neutrons, aquest emet electrons(β−) tot convertint un neutro en un proto, si te exces de protons, aquests estransformen en neutrons tot emetent positrons (β+).

La desintegracio d’un nucli es un proces estadıstic queno te memoria. aixosignifica que un nucli que no s’ha desintegrat passat un cert temps te exactementla mateixa probabilitat de desintegrar-se que al principi de la seva vida. Tot alcontrari que nosaltres, que anem guanyant probabilitat de morir a mesura quepassa el temps.

La manca de memoria te com a consequencia que si en un tempsinicialt = 0 tenim una quantitat de nuclisN0, al cap d’un tempst la quantitat de nuclisrestants es

N = N0e−λt = N0e

−(t ln 2)/τ (5.12)

ont τ es el perıode de semidesintegracio. Aquest es el temps en promig que hade passar perque la meitat d’una quantitat inicial de nuclis es desintegri.

5.6. PLANTES D’ENERGIA NUCLEAR 67

En un accident nuclear, la perillositat prove dels radion´uclids que es podenalliberar al medi ambient. Si el perıode de semidesintegracio es molt petit (deminuts o menor) la substancia no es perillosa perque al poc temps estara totadesintegrada. Si per contra te un perıode de semidesintegracio molt gran, lasubstancia gairebe no es desintegra. Les substacies ambtemps de desintegraciomitjans emeten radiacio a un ritme prou elevat com per ser perillosos i prou lentcom per poder desplacar-se a grans distancies del punt on s’han produit.

Prenem com a exemple el residu de la reaccio anterior13754 Xe. Aquest es

desintegra seguint l’equacio13754 Xe → 13755 Cs + β−. Aquesta te un perıode de

semidesintegracio de 3.82 min. Aixo significa que al cap d’uns 15 minuts laquantitat de substancia s’haura dividit aproximadamentper 10, i al cap de 30minuts per 100. La quantitat de substancia restant passades unes hores es ınfima.

Aqui, pero, no acaba la perillositat dels residus nuclears. El resultat d’unadesintegracio pot continuar essent radiactiva i el perıode de semidesintegraciodel nou nucli es, generalment, major. Aixo significa que elresultat d’una des-integracio pot ser mes perillos que la substancia inicial. Aquest es el cas delXeno-137. El nucli resultant (Cesi-137) es desintegra de la forma

13755 Cs→ 137

56 Ba +β− amb un temps de semivida de 30.17 anys. Aquest tempsmes elevat fa que romangui a temps mes que suficient perquepugui entrar enla cadena trofica i ser incorporat per els organismes. Per les seves propietatsquımiques, el Cesi remplaca el potassi en algunes reaccions a nivell cel·lular is’exten per tot l’organisme.

De tots els residuus nuclears, els mes perillosos son13755 Cs (perıode de semidesintegracio: 30.17 anys). Reemplac¸a el potassi i

s’exten per tot l’organisme.13153 I (perıode de semidesintegracio: 8.02 dies). S’acumula en la glandula

tiroides.9038Sr (perıode de semidesintegracio: 28.8 anys). La seva similitud quımica

amb el Calci fa que aqueta substancia pugui ser incorporadaen l’esquelet delsorganismes, provocant a la llarga cancer d’ossos.

5.6 Plantes d’energia nuclear

Un cop hem vist com obtenir energia de les reaccions nuclearsens falta veurecom aquesta energia es pot transformar en energia electrica. Aquesta feina es laque fan les centrals nuclears.

En termes generals podem dir que una central nuclear no es gens diferentd’una central termica. De fet, tecnicament no deixa de ser-ho. La seva funcioes la d’escalfar aigua i fer-la passar per unes turbines queal rotar transformenl’energia cinetica del rotor en energia electrica. El combustible aconsegueix


escalfar l’aigua perque l’energia alliberada en la reaccio passi a les barres decombustible en forma de calor, la qual es recollida per les molecules d’aigua quees troben en contacte amb aquestes.

El combustible nuclear deixa anar durant el seu funcionament una quantitatelevada de substancies radiactives que queden acumuladesen l’aigua que es tro-ba en contacte amb el combustible.Es per aixo que el circuit d’aigua en contacteamb el nucli es troba tancat en un circuit anomenat primari. L’aigua del circuitprimari s’utilitza per escalfar un altre circuit, anomenatsecundari, que es el queen realitat es fa passar per la turbina per generar electricitat.

Tot i que en el rotor s’aconsegueix obtenir una part de l’energia termica del’aigua del circuit secundari, aquest no aconsegueix alliberar tota l’energia queconte. Si no s’extreu aquesta energia, la temperatura del circuit secundari aniriaelevant-se, podent arribar a explotar. Per evitar aixo, elcircuit secundari es posaen contacte amb un tercer circuit d’aigua, anomenat terciari, encarregat d’endur-se l’energia que el rotor no es capac de transformar. Aquest tercer circuit esobert, o sigui, l’aigua que passa per ell sempre es aigua nova que s’obte delmar o d’un riu, s’escalfa en l’intercanviador i es torna a alliberar una mica mescalenta al mateix riu o es deixa evaporar en les xemeneies tancaracterıstiques deles centrals nuclears. Aixı doncs, el fum de les centrals nuclears no es mes quevapor d’aigua sortint del circuit terciari.

Podem fer un calcul de la quantitat d’aigua que hem d’evaporar per tal derefredar una central nuclear de 1 GW de potencia. Si la central te un rendimentdel 50%, significa que 500 MW s’han d’alliberar en el proces de refredament. Elcalor latent de l’aigua escl =2260 kJ/kg. Amb aquestes dades podem calcularla quantitat d’aigua per unitat de temps que s’ha d’evaporaren el proces

P =∆E

∆t=

∆mcl∆t

, (5.13)

de forma que

m =∆m

∆t=

P

cl=

5 · 1082.26 · 106 = 221.2 kg/s, (5.14)

que es una quantitat extraordinariament gran d’aigua. Cada 4 segons la centralnuclear ha d’evaporar 1 m3 d’aigua! Es per aixo que les xemeneies de les centralsnuclears han de ser tan grans.

5.7 Accidents nuclears. Apagada freda delsreactors

Un cop s’ha decidit apagar un reactor nuclear, els moderadors s’introdueixen pertal de captar els neutrons provinents de la fisio nuclear. Aixo, pero, no elimina

5.8. EXERCICIS 69

totes les fonts d’energia. Com ja s’ha comentat abans, un copfissionat un nucli,els nuclis resultants segueixen alliberant energia a trav´es de cascades radiacti-ves. Tot i que les desintegracions alliberen molta menys energia que la fissio, laquantitat d’energia alliberada per aquestes no es gens despreciable.

A diferencia de la fissio, la radiactivitat provinent delsresidus no provocacap tipus de reaccio en cadena, de forma que aquesta generacio residual d’ener-gia va disminuint amb el temps, essent inicialment proporcional a la potenciadel reactor just en el moment de l’apagada. Aixı doncs, si unreactor anava amaxima potencia, la quantitat de calor provinent de la desintegracio dels pro-ductes que segueix generant-se dins del reactor es molt elevada. S’ha de tenirmolt en compte aquest fet perque del contrari aquesta calorpot tenir uns efectescatastrofics.

En una apagada d’emergencia d’un reactor, s’ha de seguir bombejant aiguaen el circuit primari per tal d’anar extraient tota aquesta energia. Si el bombeigd’aigua deixa de funcionar la temperatura del nucli s’eleva, podent eventualmentarribar a explotar per efectes de l’elevacio en la pressiodins del circuit.

Aixo es el que va succeir en els reactors de Fukushima. Els circuits de refri-geracio de gasoil van deixar de funcionar per efectes del tsunami, que va inundarla zona on es trobaven. Al no poder funcionar, tot i estar apagat, el nucli es vaanar escalfant fins arribar a una temperatura i pressio que va produir una explo-sio del circuit degut precisament a aquest calor provinentde les desintegracionsresiduals. Un cop aixo va succeir, el nucli va quedar en contacte directe ambl’aire. Quan el nucli queda en aquest estat succeeixen dues coses importants.Primerament que l’aire no pot moderar la reaccio, o sigui, no pot capturar al-guns dels neutrons, reactivant la reaccio. Segon, la seva calor especıfica es moltmenor, fent que les barres de combustible puguin elevar mesrapidament la sevatemperatura. Si no s’aconsegueix extreure aquesta calor les barres d’urani espoden fondre i, en aquesta situacio reiniciar la fissio. Enaquest cas, l’altıssimaradiactivitat deixa com a unica solucio tapar el nucli i esperar que el material esconsumeixi.

5.8 Exercicis

1. En aquesta seccio observarem com l’Heli-4 es un nucli especialment mesestable que la resta dels seus veins en la taula d’isotops

a) Calcula el defecte de massa per nucleo de l’Heli-4 i compara’l ambla dels nuclis mes estables de l’Hidrogen, Liti i Beril·li.

b) Raona si et sembla consistent aquest fet amb que hi hagi nuclis pe-sants que emetin partıcules alfa (nuclis d’Heli-4)


c) Calcula la variacio en el defecte de massa per nucleo en la desinte-gracio alfa:238U → 234Th + 4He

2. Una central nuclear consumeix 70.000 kg d’urani enriquital 5% que, quanesta exhaurit es troba en un percentatge del 2%. Calcula:

a) Quants mols d’urani-235 hi ha en total?

b) Quanta energia (en GWh) alliberara en total al cap de l’any aquestacentral si considerem que cada reaccio nuclear allibera 150 MeV?

c) Quina potencia electrica (en GW) generara la central si el seu rendi-ment es del 40%?

d) Quina potencia calorıfica ha d’eliminar la central a traves de la refri-geracio?

e) Si aquesta potencia calorıfica s’elimina a traves d’evaporar aigua,considerant tan sols el calor latent, quin cabal d’aigua evapora lacentral?

f) Si en comptes d’evaporar-se, es decideix eliminar aquestcalor totescalfant aigua, quin cabal necessitem si la llei tan sols ens permetelevar la temperatura 100C?

3. Imaginem que s’allibera d’una central nuclear 10 grams deiode-131. Elperıode de semidesintegracio d’aquesta substancia esde 8.02 dies. Aquestdecau, a traves de l’emisio d’una partıculaβ−. Calcula:

a) Quant iode quedara al cap d’un mes despres de la seva emissio

b) Escriu la reaccio de desintegracio del iode-131. El nucli resultant esactiu quımicament? i fısicament?

4. Bombes atomiquesLa bomba atomica que va explotar a Hiroshima por-tava uns 30 kg d’Urani-235 i va provocar unes energia d’uns 15kilotones.La kilotona es una mesura d’energia que es fa servir per a explossionsi situacions similars, on 1 kilotona equival a l’energia alliberada per unquilogram de TNT, es a dir,4, 2 · 109 Joules.

a) Calculeu l’energia en Joules alliberada per la bomba de Hiroshima.Si la bomba va alliberar tota aquesta energia en una fracciode segon(posem 1 decima de segon) quina es la potencia de la bomba?

b) L’energia d’una bomba quan explota s’ha d’anar repartinten tot elvolum (d’atmosfera, fonamentalment) per on passa. Aixo vol dir queel volum de territori afectat per la bomba es proporcional ala sevaenergia, i per tant el radi de destruccio de la bomba es proporcional

5.8. EXERCICIS 71

a l’arrel cubica de l’energia. Si el radi de destruccio de la bomba deHiroshima va ser de 1,6 km, quin va ser el radi de destruccio de labomba de Nagasaki (de 22 kilotones d’energia)?

c) Calculeu que provocaria una destruccio major (en termes de superfıciedestruida), si una bomba com la d’Hiroshima o dues bombes amblameitat d’energia.

5. Centrals nuclears de fusio Algunes possibles reaccions de fusio que exis-teixen amb l’hidrogen com a combustible, i que en el futur podrien tenirlloc en una hipotetica central nuclear de fusio, son

21H+2

1H → 31H+1

1H ∆E =4,0 MeV31H+2

1H → 42He+10n ∆E =17,6 MeV

21H+2

1H → 32He+10n ∆E =3,3 MeV

32He+21H → 4

2He+11H ∆E =18,3 MeV

a) Amb l’ajuda de la Taula 5.1 calculeu el defecte de massa associat acada una de les quatre reaccions.

b) Comproveu si els valors indicats de l’energia obtinguda de cada re-accio quadren amb els resultats de l’apartat anterior.

c) Calculeu quina de les quatre reaccions es mes rendible en termes d’e-nergia produıda per cada quilogram de combustibles (reactius) gas-tat.

d) Quanta potencia obtindrıem en fer fusionar 1 kg de21H al llarg d’un

dia, en cada un dels quatre casos? Si el rendiment de la central nucle-ar fos del 40%, quants litres d’aigua per segon caldria evaporar per arefrigerar la central?

CAPITOL 6El vent i l’energia eolica

L’eolica representa una de les energies renovables que ha experimentat un aug-ment mes gran al llarg dels darrers anys, passant a representar l’any 2008 pocmes del 1% de l’electricitat generada a gran escala a Catalunya (2% a nivellmundial). Anant a les causes primeres, el Sol es el principal responsable d’es-calfar de forma heterogenia les diferents zones del planeta i fa que les massesd’aire atmosferic es moguin unes respecte de les altres i respecte de la superfıciedel planeta; per tant, en certa manera l’aprofitament de l’energia eolica es unaforma mes d’aprofitament de l’energia solar.

El moviments d’aire atmosferic representen el moviment relatiu d’un objecte(planeta) respecte d’un fluid que l’envolta (atmosfera). Tal i com hem vist a l’a-partat XX, en aquestes situacions es genera una capa lımit al voltant de l’objecteon els efectes de la viscositat del fluid son importants. En el cas de La Terra,aquesta capa es anomenada capa lımit planetaria i tıpicament arriba fins a unsquants centenars de metres d’alcada respecte la superfıcie terrestre. Per tant, lazona on es generen els vents mes superfıcials i on l’energia eolica es aprofita-da es troben dins d’aquesta zona, on els fregaments entre l’aire i la superfıcieterrestre juguen un paper important. Per aquest motiu, el fet que la superfıcieterrestre sigui tan heterogenia i irregular provoca a mesque la capa lımit es tro-bi habitualment en un regim turbulent, de manera que el seu comportament esdifıcil de predir. En el primer centenar de metres per sobrede la superfıcie elsvents acostumen a augmentar amb l’alcada; aquesta es una de les raons per lesquals els aerogeneradors acostumen a col·locar-se a grans alcades grans respectede la superfıcie. No obstant, no existeix cap teoria fısica senzilla que ens permetiexplicar la variacio de la velocitat amb l’alcada en aquesta capa lımit planetaria.

73

74 CAPITOL 6. EL VENT I L’ENERGIA EOLICA

6.1 Energia cinetica de l’aire

L’energia eolica es l’aprofitament de l’energia cinetica del vent per a transformar-la en algun altre tipus d’energia (mecanica, en el cas dels molins, o electrica, enel cas d’un aerogenerador). L’energia cinetica d’una massam d’aire que es moua velocitatv es pot calcular a partir de l’expressio XX:

E =1

2mv2

No obstant, en parlar de fluids, es molt difıcil concebre una massa d’airem.Resulta molt mes util utilitzar el concepte de densitat. Podem utilitzar la defi-nicio de densitat i reemplacar la massa perm = ρV de manera que l’expressioanterior s’escriuria com

E =1

2ρV v2

Aquesta resulta molt mes util ja que utilitza la densitat de l’aire, que es unamagnitud coneguda i depen del volum, una magnitud mes descriptiva per a unfluid que, com es ben sabut, sempre intenta ocupar tot l’espai disponible.

L’expressio anterior ens indica quanta energia cineticaconte un volum deter-minat d’aire. Un cop sabem calcular aquesta energia, podem calcular la potenciacinetica que pot obtenir un aerogenerador que intenti capturar-la. Per tal de cal-cular aquest valor, hem de fer servir la definicio de potencia i substituir l’energiacinetica de l’aire que circula per les pales de l’aerogenerador en un temps∆t,

P =E

∆t=

1

2ρV

∆tv2.

Si volem una expressio que ens pugui ser practica haurıemd’utilitzar magnitudsmes facilment mesurables que el volum d’aireV que circula per l’aerogeneradoren un temps determinat. Amb aquest objectiu, utilitzarem larelacio existententre la velocitat de l’aire i el volum circulant. Observem la Figura 6.1, l’aire quecircula en un instant de temps∆t, ha d’estar en el volum del cilindre contingutper l’area de les pales i que te una alturav∆t, que es justament la distanciaque recorre l’aire en un instant de temps∆t. L’aire situat una mica mes enrerad’aquest cilindre, necessita un temps superior a aquest perarribar a les pales iper tant ja no contribuira a la potencia en el temps que estem interessats. Aixıdoncs, el volum que nosaltres volem es

V = A(v∆t). (6.1)

Substituint aquest en la definicio (6.1) obtenim

P =1

2ρAv3,

6.2. RENDIMENT D’UN AEROGENERADOR 75

que resulta molt mes util ja que depen de l’area escombrada per les pales, que enaquest cas valπL2 i es molt facil d’obtenir i de la velocitat de l’airev, facilmentmesurable a traves d’un anemometre.

Figura 6.1: Representacio de relacio entre el volum d’aire que circula entre les pales d’un aerogeneradoren un temps∆t, la seva velocitatv i l’area de les palesA.

6.2 Rendiment d’un aerogenerador

L’expressio (6.1) ens dona la potencia maxima ideal queseria possible obteniramb un aerogenerador si poguessim extreure tota l’energiadel vent. Obviamentaixo seria un cas ideal impossible d’aconseguir. Tot i aix´ı, resulta una magnitudutil a l’hora de descriure un aerogenerador ja que ens indica la seva potencialitat.Pero per tal d’acabar de descriure un aparell real, haurıem introduir el conceptede rendiment energetic (tambe anomenat coeficient de pot`encia), que no es resmes d’un valor que ens indica quina proporcio de l’energia teorica esta en realitataprofitant el generador. Aquesta es defineix com

Cp =Pr

12ρAv3

onPr representa la potencia real que l’aerogenerador es capac¸ de generar quanel vent bufa a velocitatv i el denominador es la maxima teorica. Com abansA


representara l’area del cercle escombrat per les pales del’aerogenerador (A =πL2), tal i com es mostra a la Figura??. Si Cp = 1 voldra dir que la potenciareal coincideix amb la ideal, i siCp es molt petit significa que la potencia reales molt menor que la teorica. Normalment tots els fabricants d’aerogeneradorsacostumen a donar en les especificacions tecniques la corbade potencia de l’a-parell, que no es res mes que la potencia realPr en funcio de la velocitat delvent (mesurada en condicions ideals de laboratori). La corba de potencia enspermet determinar el valor deCp per a qualsevol velocitat del vent si coneixemles dimensions de la pala.

Com a exemple, considerem les especificacions tenciques dela Taula??, quecorresponen a dades reals per a un model actualment al mercat.

v (m/s) P (KW) v (m/s) P (KW)1 0 11 9292 0 12 10723 0 13 11834 32 14 12505 92 15 12826 172 16 12947 291 17 12988 439 18 12999 604 19 130010 771 20 1300

Aquı es on podem veure la gran importancia que juga la velocitat del vent enel rendiment de l’energia eolica. Com hem demostrat adalt,la potencia teoricasegueix la llei d’escala (veure Apartat 6.1)P ∼ v3, i aixo vol dir que si mul-tipliquem per2 la velocitat aleshores la potencia es multiplica per8 (es a dir,23). En la taula de potencies d’aquest aerogenerador real veiem que es trobenresultats similars: si comparem la potencia a5 m/s i a10 m/s, resulta que es...8, 4 vegades mes gran; o si comparem les potencies a6 m/s i 12 m/s veiem quela segona es6, 3 vegades major que la primera. Aixo demostra que la presenciao no de vent intens es absolutament crıtica per a que l’aerogenerador pugui serrendible.

Per una altra banda, aplicant la definicio que hem donat adalt perCp simple-ment haurem de substituir els valors dePr i dev que ens dona la taula i utilitzarla llargada de les pales per a determinarA, i el valor de la densitat de l’aire quese’ns dona com a referencia. Amb tot aixo podrem construir la seguent taula iel grafic de la Figura 6.2, on es mostra que el rendiment d’aquest aparell es pe-tit a velocitats baixes (aixo es normal en aerogeneradorsgrans, ja que els ventspetits no tenen prou energia com per a mantenir-los funcionant), posteriorment

6.2. RENDIMENT D’UN AEROGENERADOR 77

s’arriba a una zona de rendiment maxim al voltant dels8 m/s (onCp = 0.5, esa dir, un rendiment del 50% en condicions ideals de laboratori) i posteriormentel rendiment baixa ja que, com es veu a la corba de potencia, avelocitats gransla potencia es mante constant perque l’aerogenerador jano esta preparat per agenerar mes energia (aquest punt el desenvoluparem en l’apartat 6.4).

Figura 6.2: Grafica amb el rendiment d’un aerogenerador en funcio de la velocitat del vent

Rendiment de Betz

En realitat l’expressio12ρAv3 que hem deduit adalt no es la unica limitacio fısica

que existeix pel que fa a l’energia que podem obtenir del vent. Hem de pensarque si fossim capacos d’aprofitar tota aquesta energia (o gairebe tota) voldria dirque el vent es quedaria sense energia i aleshores es quedariacompletament aturatdavant de l’aerogenerador tot acumulant-se, la qual cosa sembla poc raonable.D’acord amb aquesta idea, l’any 1926 A. Betz va publicar un c`alcul que limital’energia maxima que realment podem extreure d’una massa d’aire en moviment;a continuacio en mostrem una versio resumida.

Considerem que el vent abans d’arribar a l’aerogenerador t´e una velocitatv1i que en surt amb velocitatv2, tal i com es mostra a la Figura 6.3. Considerantl’aire com un fluid perfecte podem aplicar l’equacio de Bernoulli XX entre elspunts 1 i 2:

1

2ρv21 = ∆p +

1

2ρv22


on∆p representa la variacio de pressions que es produeix en el pas a traves deles pales de l’aerogenerador i que comporta la variacio de velocitat de l’aire.Aquesta expressio ens permet calcular la diferencia de pressions existent entreel davant i el darrera del generador

∆p =1

2ρ(v21 − v22),

que es, en ultima instancia, la responsable de fer el treball que fara moure lespales de l’aerogenerador.

Figura 6.3: Les velocitats abans i despres de que l’aire passi a traves de les pales d’un aerogenerador sondiferents.

Per una altra banda, per la definicio de pressio, la forca que existeix entre laregio anterior a l’aerogenerador i la regio posterior sera igual a la diferencia depressions multiplicada per l’areaA definida abans:

F = A∆p =1

2ρA(

v21 − v22)

Finalment, per a fer el calcul de la potencia considerem que aquesta es iguala forca per la velocitat de l’aire, i com que la velocitat no ´es constant, sino queha variat entre la part anterior i la posterior del molı, pera fer el calcul hauremde prendre el valor promigvm = (v1 + v2)/2. Per tant:

P = F · vm = F · v1 + v22

=1

2ρA(

v21 − v22) v1 + v2

2

6.3. EMPLACAMENT D’UN AEROGENERADOR 79

La conclusio mes important que es pot extreure d’aquesta expressio es que,donada una velocitat del ventv1, existeix un valor intermig dev2 pel qual lapotencia es fa maxima. Aquest valor es pot trobar ressolent un problema tıpicd’optimitzacio calculant la derivada deP respectev2 i igualant-la a0. En fer-hos’obtev2 = v1/3, i substituint aixo en l’expressio de la potencia

P =16

27

(

1

2ρAv3

)

Aquest es l’anomenat rendiment de Betz, que ens diu que nom´es es possi-ble extreure una fraccio16/27 (es a dir, aproximadament un 59%) de l’energiacinetica total del vent. Aquest resultat s’agafa habitualment com a referencia pera valorar el rendiment dels aerogeneradors reals i fins a la data no s’han acon-seguit fabricar models capacos de superar aquest lımit (els models mes eficientsdel mercat actualment poden arribar a aprofitar poc mes del 40% de l’energiacinetica del vent).

6.3 Emplacament d’un aerogenerador

Evidentment el criteri basic a l’hora d’escollir el lloc oninstal·lar un aerogenera-dor ha de ser la presencia de vent durant el major perıode detemps i amb una ve-locitat promig el mes elevada possible. D’acord amb aquests criteris, juntamentamb altres que responen mes a questions tecniques o socials, existeixen zonesque resulten especialment adients per a la ubicacio d’aquestes instal·lacions.

Nosaltres estudiarem dos dels efectes principals, el de l’orografia i el del’alcada.

Efectes de l’orografia

Les zones amb turons o les regions carenoses resulten en moltes ocasions zonesforca ventoses. Existeixen diferents fenomens atmosferics que permeten expli-car la rao d’aixo, pero una de les mes senzilles es la queve descrita en la FiguraXX. Segons aquesta, quan el vent es troba amb una elevacio suau del terreny,per tal d’evitar-la les lınies del corrent han de fer mes o menys el recorregut in-dicat a la figura. Aixo fa que la massa d’aire que abans es repartia en una regiod’alcadah1 ara ho hagi de fer en una regio mes petita, d’alcadah2. Per la lleide continuıtat (Apartat XX) aixo implica que la velocitata la zona elevada had’augmentar per tal que la mateixa quantitat de massa pugui passar per un llocmes estret. La llei de continuitat ens diu en concret que

v1A1 = v2A2 → v1h1x = v2h2x → v1h1 = v2h2


on s’ha suposat que l’area per on passa el vent es igual a l’alcadah multiplicadaper una distanciax en la direccio perpendicular al paper i que se suposa quees igual tant en la zona previa a la muntanya com a la part elevada. Per tant,si el turo fa mes o menys uns200 metres d’alcada podem suposar queh1 esuna mica major; com a exemple, prenem250 metres. Si l’alcadah2 per onpassa la mateixa quantitat de vent s’extend100 metres per sobre de la muntanya,aleshores tindrem

v1250=v2100 → v2v1

=250

100= 2, 5

i per tant la velocitat del vent dalt del turo sera2, 5 vegades mes gran que lavelocitat que portava el vent inicialment.

Figura 6.4: Efecte de l’orografia sobre el vent.

Efectes de l’alcada

Tot i les dificultats tecniques que representa, la instal·lacio de parcs eolics al mares relativament habitual. Els principals avantatges d’aquests emplacaments son,en primer lloc, que al mar hi bufen vents mes constants i relativament intensos.Aixo es degut a la manca d’obstacles i irregularitats; a diferencia del que passaen les zones terrestres, el vent aquı experimenta menys friccio amb la superfıciedel mar i a mes es generen menys turbulencies. A mes, hem detenir en compteque un aerogenerador situat a nivell del mar genera mes energia que un altresituat a mes altitud (a igual velocitat del vent). Aixo esdegut a la variacio dela densitat de l’aire amb l’altitud. Per a demostrar-ho fem servir la hipotesi que

6.3. EMPLACAMENT D’UN AEROGENERADOR 81

l’aire atmosferic es un gas ideal i per tant es adequat ferservir l’equacio XX:

PM = ρRT

Suposant que la temperatura es constant i no varia amb l’altitud respecte de lasuperfıcie terrestre (aquesta hipotesi es nomes valida si no ens allunyem mesd’uns pocs quilometres de la superfıcie) veiem que segonsl’equacio anterior elscanvis de densitat de l’aire son deguts nomes a canvis de pressio atmosferica

∆PM = ∆ρ · RT

i sabent que la pressio atmosferica es deguda a efectes b`asicament hidrostatics(es a dir, l’aire superficial pateix la pressio deguda al pes de totes les partıculesque hi ha a l’atmosfera per sobre ella) podem escriure (fent servir l’equacio XX)

∆P = ρg ·∆h

Ajuntant ara les dues equacions anteriors s’obte

∆ρ =ρgM

RT∆h

onρ es la densitat a una alcada coneguda iρ(h) es la densitat de l’aire a una altraalcada. Aixo ens diu que a prop de la superfıcie terrestrela variacio de densitatde l’aire es proporcional a la variacio entre alcades. Per tant, si a nivell del martinguessim una densitat de l’aire de1, 2 Kg/m3, un dia a20 oC de temperaturatindıem els seguents valors de la densitat a diferents alc¸ades per sobre del nivelldel mar

∆h = 100m → ∆ρ =1, 29, 80, 029

8, 31293100 = 0, 014Kg/m3

∆h = 500m → ∆ρ =1, 29, 80, 029

8, 31293500 = 0, 07Kg/m3

∆h = 1000m → ∆ρ =1, 29, 80, 029

8, 312931000 = 0, 14Kg/m3

es a dir, a1000 metres d’altitud la densitat de l’aire seria1, 2 − 0, 14 = 1, 06Kg/m3, es a dir s’hauria reduit mes d’un 10% respecte el valor a nivell del mar.S’ha de tenir en compte que l’energia cinetica del vent es proporcional a la sevamassa (i per tant a la seva densitat) de manera que reduir un 10% la densitat del’aire equival a reduir un 10% la seva energia cinetica.


6.4 Funcionament d’un aerogenerador

Tot i tenir clar que l’aprofitament de l’energia cinetica del vent representa elpunt de partida per a aquests aparells, el funcionament d’unaerogenerador ala practica (sobretot si parlem d’aparells de grans dimensions) es enormementcomplicat. Per exemple, una creenca generalitzada es quecom mes fort bufa elvent mes rapid giren les pales d’un aeorgenerador i per tant mes energia es ge-nera. En termes generals, aixo es fals; els motors dels aerogeneradors de gransdimensions estan preparats per a subministrar energia electrica de forma mes omenys contınua a la xarxa, que recordem que funciona amb corrent altern a unafrequencia determinada. Aquest fet, juntament amb problemes d’estabilitat asso-ciats al moviment d’una estructura tan gran, fa que en realitat els aerogeneradorsestiguin ideats per a girar practicament sempre a la mateixa velocitat. Per tant,en condicions de vent massa fort hi haura un sistema que frenara les pales, i encondicions de vent poc intens fins i tot de vegades s’utilitzen motors per a man-tenir les pales girant a l’espera de condicions millors (s’ha de tenir en compteque posar les pales en marxa quan estan parades es forca costos energeticament).

D’acord amb aquesta idea, basicament el paper que juga el vent es el desubministrar l’energia suficient per a mantenir les pales girant a la mateixa velo-citat, la qual cosa vol dir que ha de compensar els fregamentsde l’aparell, quetendeixen a frenar el moviment de rotacio. La potencia de rotacio de les pales,suposant que n’hi ha un nombreN , sera (Equacio XX)

P = NMsω

on ω es la velocitat angular amb que giren les pales iMs es el moment de laforca que fa el vent sobre cada pala en la direccio del gir. El moment de la forca,com s’ha vist a l’equacio XX, es igual a

Ms = Fsr

onFs es el valor de la forca i es la distancia del centre de gir al punt on s’aplica laforca, que en aquest cas seria el centre de masses de la pala.Per tal de simplificarel calcul, considerarem aquı que el centre de masses es troba a la meitat de lapala i per tant

Ms = FsL

2

Ara, per trobar l’expressio de la forcaFs necessitem entendre com es mouel vent en relacio a la pala, la qual a la vegada tambe esta en moviment. En eldibuix de la Figura XX la pala s’esta movent cap a l’equerra mentre que el ventes mou cap adalt; en consequencia, la velocitat relativa del vent respecte de lapala es la que ve marcada en el dibuix com avrel. Aixı podem tractar de deduir

6.5. DISSENY DE LES PALES 83

la forcaFs que fa el fluid (aire) sobre la pala en direccio perpendicular al vent (estracta, per tant, d’una forca de sustentacio, motiu pel qual fem servir el subındexs). L’expressio de la forca de sustentacio ha de coincidiramb la de l’equacioXX:

Fs =1

2ρ cosϕCsAtv

2rel =

1

2ρCsbLv

2rel

onCs es el coeficient de sustentacio,ϕ es l’angle d’atac que ve definit a la FiguraXX i At = bL es l’area longitudinal de la pala, al llarg de la qual actuala forcade substentacio.

Ara, ajuntant les expressions anteriors arribem a que la potencia de rotaciode l’aerogenerador es

P =N

4ρCsbL

2ωv2rel

on la velocitat relativa acompleix la relaciov2rel = v2+(

ωL2

)2. Aquesta expressio

ve del fet quev va en direccio perpendicular al rotor (direcciox en la Figura XX)mentre la velocitat deguda a la rotacio va en la direccio degir (direccioy per lapala de la Figura); per tant la velocitat relativa surt de la suma vectorial de lesdues. En consequencia, l’expressio final per a la potencia es

P =N

4ρCsbL

2ω

[

v2 +

(

ωL

2

)2]

Podem tornar a fer servir les especificacions tecniques de la Figura XX per acomparar aquest resultat ideal amb l’aerogenerador real. Suposant un coeficientde sustentacio igual a1 (que es una valor forca realista) s’obte el grafic de laFigura XX, on mostrem tambe de nou la corba de potencia amb una lınia depunts per tal de comparar una amb l’altra. La diferencia entre una corba i l’altraens dona una idea de les forces de fregament i de resistencia amb l’aire que tenimi que frenen al moviment de les pales.

6.5 Disseny de les pales

El disseny i optimitzacio d’un aerogenerador es un proces molt sofisticat querequereix moltes hores de calcul i d’experiencia. No obstant, podem intentar en-tendre de manera aproximada els conceptes claus i els parametres que hi juguenun paper principal.

Com hem mostrat en l’apartat anterior, interessa de manera especial que lespales siguin llargues perque aixı la potencia augmenta.El problema es que si lespales son molt grans l’estructura no en podra suportar el pes. La millor soluciodavant d’aquest problema es dissenyar la pala de tal maneraque pugui ser llarga


pero en la zona mes propera al centre de gir la pala es amplei esta dissenyada pera augmentar la forca de sustentacio produida de forma directa pel vent tant comsigui possible, mentre que en els extrems les pales tenen unaforma diferent queintenta aprofitar la forca de sustentacio deguda al propi gir de la pala, i son mesestretes per a evitar el trencament de l’estructura. Per aquest motiu les pales delsaerogeneradors grans tenen formes diferents en l’arrel (zona propera al centre) iels extrems. En canvi, en aerogeneradors mes petits, aquests efectes de rotacio iels problemes de trencament de l’estructura son menors, demanera que es podenfer servir dissenys de pales mes senzills.

Una altra pregunta important que ens podem fer es: perque la majoria delsaerogeneradors tenen nomes tres pales? Aquesta es una pregunta complexa quete diferents respostes. En primer lloc cal pensar que posarun nombre gran de pa-les dificulta el disseny perque fa mes pessada i inestable l’estructura. Pero a mesresulta que augmentar el nombre de pales no necessariamentimplica augmentarl’energia aprofitada. El parametre que es fa servir generalment per a estudiaraquest aspecte es el que en angles s’anomenatip speed ratio(λ), que es el quo-cient entre la velocitat lineal de l’extrem de la pala (ωL) i la velocitat del vent(v):

λ =ωL

v

Imaginem que les pales es mouen molt a poc a poc comparat amb lavelocitatdel vent (es a dir, eltip speed ratioλ es petit). Aleshores el vent passa pelsespais buits que queden entre pala i pala sense que la seva energia pugui seraprofitada. En canvi, si les pales giren molt de pressa (tip speed ratiogran) eslogic pensar que podran ”atraparuna quantitat d’aire major. En definitiva, trobemque per valors prou grans deltip speed ratio(es a dir, si l’aerogenerador gira prourapidament comparat amb la velocitat del vent) el rendiment de l’aerogeneradoraugmentara fins a arribar a un valor maxim , tal i com es veu a la Figura 6.5.El que s’observa a la practica es que si un escull el valor dela velocitat angular(o deltip speed ratio) adequat aleshores el rendiment que s’obte es sempre moltsemblant, independentment del nombre de pales de l’aerogenerador.

Per tant, el fet que la majoria d’aerogeneradors en tinguin tres es deu basicamenta una questio de simplicitat i d’alleugerir l’estructura. Cal afegir que fer serviruna o dues pales per fer encara mes lleuger l’aerogeneradorno es aconsellableen la majoria de casos, perque aixo obliga l’aerogenerador a girar molt rapid(com menys pales tenim mes de pressa hem de girar per a no deixar ”escapar”elvent). A mes, les forces que ha de suportar l’estructura de l’aerogenerador ambuna o dues pales son menys estables i estan mes descompensades, la qual cosagenera problemes d’estructura.

6.6. EL VENT COM A ALTERNATIVA ENERGETICA 85

Figura 6.5: Esquema.

6.6 El vent com a alternativa energetica

Tornant al que hem comentat en la introduccio d’aquest capıtol, l’energia eolicano es res mes que una consequencia de l’energia que ens arriba del Sol i quees manifesta en el moviment dels gasos de l’atmosfera. Partint d’aquesta idea,s’han fet estimacions de l’energia eolica total disponible en el nostre planeta.L’energia total que ens arriba del Sol es una dada ben coneguda (que es potobtenir de l’estudi de l’equilibri radiatiu de La Terra fet al capıtol d’EnergiaSolar). Aixı doncs sabem que ens arriben uns350 W/m2 del Sol (en promig alllarg d’un dia sencer sense nubols). Si el radi de La Terra s´on 6370 Km, podemcalcular-ne la seva area per trobar que en el total del planeta arriben

350 · 4π · (6, 37 · 106)2 = 1, 8 · 1017 W

que es un valor forca gran si ho comparem amb la potencia promig necessariaper a mantenir el comsum d’energia a nivell mundial (1, 5 ·1013 W, segons dadesde 2008). En realitat de tota l’energia que ens arriba del Solnomes una petitapart (el 2%) va a convertir-se en energia cinetica de l’aire, i d’aquesta part nomesuna fraccio (aproximadament el 10%) es energia cineticaprop de la superfıcie


de manera que podrıem arribar a aprofitar-la. Finalment, cal tenir en compte queles masses d’aire en moviment que es troben enmig dels oceanso en altres zonesinaccessibles no son susceptibles de ser aprofitades; per tant suposem que nomespodem arribar a esperar aprofitar en el millor dels casos el vent del 10% de lasuperfıcie terrestre. En total, aixo fa que la potencia aprofitable sigui finalment

1, 8 · 1017 · 0, 02 · 0, 10 · 0, 10 = 3, 6 · 1014 W

que continua sent encara20 vegades mes gran que els1, 5·1013 W de consummundial. Per tant, sobre el paper el recurs eolic disponible al nostre planeta seriasuficient per a abastir les nostres necessitats energetiques actuals.

Un altre problema, pero, consisteix en plantejar si amb la tecnologia actual(es a dir, amb els aerogeneradors que es fan servir en l’actualitat) es viable man-tenir el consum energetic de la nostra societat nomes amb els recursos eolics. Pera estudiar aixo prendrem un exemple proper; a Catalunya es necessiten aproxi-madament5000 MW per a mantenir el consum d’electricitat actual. Suposemque per a abastir aquest consum volguessim fer servir aerogeneradors de 2 MWde potencia (que son dels aerogeneradors mes potents actualment); aleshores enfarien falta

N =5000

2= 2500

aerogeneradors, suposant que el rendiment dels aerogenerador fos del 100%. Ala realitat, la majoria dels aerogeneradors nomes pot donar en promig al llarg del’any al voltant d’un 20% de la seva potencia maxima; per tant, el calcul anteriorquedaria

N =5000

2 · 0, 2 = 12500

Ara, hem de pensar que cada aerogenerador ocupa un area considerable, i ames no es possible col.locar dos aerogeneradors molt propers un a l’altre perquees generen interferencies en els fluxos d’aire entre un i altre. es raonable consi-derar que els nostres aerogeneradors de 2 MW necessiten cadscun una superficiede250x250 metres quadrats per tal de funcionar correctament. Aixo vol dir queper a instal·lar aerogeneradors cal una superfıcie de

12500 · 2502 = 7, 8 · 108 m2 = 780 km2

que representa tan sols un 2.4% de la superficie de Catalunya.Per tant, en aquestcalcul teoric i ideal mostrem que, en principı, es possible arribar a abastir el nos-tre consum nomes amb aquestes tecnologies, tot i que es obvi que seria compli-cat des d’un punt de vista tecnic i social plantejar-se omplir d’aerogeneradors el2.4% del nostre territori, que, tot i semblar un valor petit ´es el mateix que dir unacomarca sencera plena de molins.

6.7. EXERCICIS 87

No hem volugut pas amb aquest calcul demostrar que Catalunya pot viureexclusivament de l’energia eolica, pero si que pretenem donar a entendre que toti que actualemnt aquesta font d’energia suposa tan sols un 2%del total, la sevapotencialitat va molt mes enlla d’aquest valor.

6.7 Exercicis

1. L’aerogenerador mes gran que s’ha construit actualmentes el REpower6M. Aquest te una potencia nominal de 6.150 kW. Les seves pales escom-bren un cercle de diametre 126 m i la velocitat maxima de l’aire en la quepot funcionar es de 30 m/s.

a) Calcula l’area que escobren les pales

b) Calcula quant d’aire (en Kg) passa per la turbina durant unminutquan aquest bufa a 30 m/s.

c) Calcula el cabal que significa el resultat de l’apartat anterior.

d) Calcula la potencia que te l’aire que passa per aquest aerogenerador.

e) Calcula el rendiment de l’aerogenerador si quan el vent circula almaxim aquest dona la seva potencia maxima (nominal).

f) Consultant la factura de la llum de casa teva, estima a quants habitat-ges podria donar energia aquest molı.

2. Suposem que vivim en un lloc on la velocitat mitjana de l’aire es 10 m/sdurant la nit i de 20 m/s durant el dia i volem abastir una ciutat que consu-meix 0.5 GW dia i nit.

a) Quants molins de 30 m de pala necessitariem per donar energia aaquesta ciutat si no poguessim emmagatzemar l’energia?

b) I su durant el dia poguessim guardar part de l’energia produıda durantel dia en algun tipus d’acumulador?

3. Un aerogenerador d’eix vertical es tot aquell en el qual l’eix al voltant delqual gira el rotor es perpendicular a la superfıcie, com esveu al dibuix.Aquest tipus d’aerogeneradors son menys frequents perque acostumen aser menys potents i es difıcil construir-ne de grans. En canvi els calculs depotencia corresponents resulten mes senzills. La idea defuncionament esque, per la forma de l’aerogenerador, s’acompleixF1 > F2 i aleshores hiha una direccio preferencial de gir.


a) Repetiu els calculs de l’apartat 6.4 pel cas d’aquest aerogenerador idemostreu que, si l’aparell esta perfectament encarat al vent tal i comes veu al dibuix, aleshores

F1 =1

2ρCa1A

(

v − ωL

2

)2

F2 =1

2ρCa2A

(

v + ωL

2

)2

onCa1 i Ca2 son el coeficient d’arrossegament en el cas 1 i 2, respec-tivament, iA es l’area frontal de les pales.

b) A partir de la deduccio anterior comproveu que la potencia de l’ae-rogenerador vindra donada per

P =L

2(F1 − F2)ω

c) Comproveu que la condicio per tal que l’aerogenerador pugui funci-onar es que

Ca1

Ca2>

(

v + ωL2

v − ωL2

)2

d) D’acord amb la condicio anterior, si volem aconseguir una velocitatde rotacio de 2 voltes per segon amb un vent de 4 m/s, quina relaciode coeficients d’arrossegamentCa1

Ca2necessitarem per un aerogenera-

dor de pales de 1 metre de llarg?

e) Si en les condicions de l’apartat anterior utilitzem unespales de dosmetres d’alcada i suposemCa1=1, que seria un valor forca tıpic, qui-na potencia obtindrem?

4. La taula seguent mostra les dades d’una corba de potencia real d’un aero-generador de 2 MW i amb pales de 40 metres de longitud:

v (m/s) P (KW) v (m/s) P(KW)1 0 11 15403 0 13 19305 140 15 19907 470 17 20009 1030 19 2000

a) Trobeu el coeficient de potencia en funcio de la velocitat del vent (anivell del mar) i representeu-lo graficament.

6.7. EXERCICIS 89

b) Determineu la quantitat d’energia desaprofitada (energia del vent menysenergia generada per l’aerogenerador) en funcio de la velocitat delvent i grafique-la.

c) Si en el seu regim normal de funcionament aquest aerogenerador giraa 20 rpm, trobeu eltip speed ratio(veure Apartat 6.5) de l’aparell siel vent va a 5 m/s o si va a 15 m/s.

d) Quants d’aquests aerogeneradors necessitem per abastiruna ciutatque consumeix 500 GWh a l’any, si suposem que el vent en aquellaregio bufa sempre a 7 m/s?

5. Per a calcular la potencia que ens aporta un aerogenerador en condici-ons de vent variable hem de tenir present que no es equivalent calcularvelocitats de vent promig que calcular potencies promig. Per exemple,considerem la taula de potencies del problema anterior:

a) Calculeu la velocitat promig del vent durant un dia si entre les 0:00i les 7:00 bufa a 5 m/s, des de les 7:00 fins les 12:00 bufa a 2 m/s,ides de les 12:00 fins les 24:00 bufa a 9 m/s.

b) Representeu graficament les dades de la taula del problema anteriori deduiu graficament a quina potencia correspon la velocitat promigde l’apartat anterior.

c) Escribiu ara la potencia corresponent a les velocitats de 2 m/s, 5 m/si 9 m/s. Sabent el numero d’hores del dia que correspon a cadaundels tres casos deduiu la potencia promig. Comproveu que surt unvalor mes gran que la potencia trobada en l’apartat anterior.

6. Una manera habitual en enginyeria de mesurar l’eficiencia dels aeroge-neradors es calcular les seves ”hores anuals equivalents”de funcionament,que equival a calcular quantes hores hauria hagut de funcionar a maximapotencia l’aparell per tal de donar la mateixa energia que ha donat en rea-litat durant un any sencer.

a) Deduiu quin es el valor mınim i el valor maxim possible de ”horesanuals equivalents”que pot tenir un aerogenerador. (Nota:com a re-ferencia hem de pensar que un aerogenerador acostuma a ser rendibleeconomicament si es capac de donar mes del 25% del valor maximd’”hores anuals equivalents”.

b) Si un aerogenerador de potencia maxima 1 MW genera 2 GWh du-rant un any, calculeu les seves ”hores anuals equivalents”.

c) Si un aerogenerador de potencia maxima 500 KW genera1, 2 · 1012Joules durant un any, calculeu les seves ”hores anuals equivalents”.


d) Si en un determinat emplacament a nivell del mar els models deprediccio diuen que un aerogenerador hi podria tenir una eficienciade 2500 ”hores anuals equivalentscalculeu l’energia obtinguda eninstalar-hi 30 aerogeneradors de 1 MW.

e) Quantes ”hores anuals equivalents”tindrıem si l’emplacament de l’a-partat anterior estes a 500 metres d’alcada sobre el nivell del mar? Isi estes gairebe a nivell del mar pero situat a sobre d’un turo on lavelocitat del vent es un 20% major?

f) Si el preu al qual el propietari de l’aerogenerador pot vendre l’energiagenerada a la companyia electrica es de 0,05 euros per cadaKWh,calculeu quantes ”hores anuals equivalents”necessita obtenir en elseu emplacament per tal de recuperar en cinc anys la inversio de400.000 euros que costa instal·lar l’aerogenerador.

CAPITOL 7Energia solar

En aquest llibre mencionem mes d’una vegada que en realitatla quasitotalitat de les fonts d’energia que fem servir a La Terra provenen ori-ginariament de l’energia que El Sol ha anat transmetent al nostre planetaal llarg de millions d’anys, i que es la que ha permes que la major partde processos atmosferics i naturals tinguin lloc en la manera que els co-neixem avui dia. Aixı doncs, es logic que davant de la situacio actual,marcada per l’exhauriment progressiu dels combustibles f`osils en que esbasa majoritariament la nostra societat, posem les perspectives en El Solcom a font alternativa d’energia.

L’us directe de la radiacio solar com a metode per a reduirel consum d’e-nergies convencionals es possible en dues formes diferents. Per una banda,es troben tots aquells aspectes energetics relacionats amb el disseny i l’ar-quitectura; per exemple, la forma en com es decideix orientar un edifici esfonamental per tal de reduir-ne la despesa energetica en climatitzacio. Peraltra banda, podem aprofitar l’energia solar tot usant dispositius com perexemple les plaques solars, recullen, concentren i emmagatzemen l’ener-gia del Sol. Al primer tipus d’elements relacionats amb el disseny se’lsagrupa sota el nom d’elements solars passius, mentre que elssegons sonanomenats actius. Aquest capıtol esta dedicat a entendreels fonamentsfısics de funcionament dels sistemes actius i a determinarel seu interespotencial com a solucio energetica de futur.

91

92 CAPITOL 7. ENERGIA SOLAR

7.1 Radiacio solar incident

El flux de radiacio solar maxim que pot arribar del Sol a La Terra es de1500 W/m2. D’acord amb aquest valor, simplement fent servir una placasolar de nomes 4 m2 de superfıcie (un qudarat de 2x2 metres de costat)obtindrıem una potencia de

4 · 1500 = 6.000 W = 6 kW (7.1)

suficient com per a mantenir el consum d’un habitatge mitja sense proble-mes. Hem de ser conscients, pero, que aquesta no es tota la realitat. Peruna banda aixo implicaria que els rendiments de les plaquessolars fossindel 100%, i a mes hem de tenir en compte que 1500 W/m2 es un valorque nomes s’assoleix quan tenim una placa completament perpendicularals rajos del sol fora de la influencia de l’atmosfera. Aixoson condici-ons molts puntuals, practicament impossibles d’aconseguir a excepcio decerts punts de l’Equador. Hem de pensar que de nit no rebem radiacio so-lar, i a mes les zones llunyanes a l’equador terrestre sempre reben valorsde radiacions inferiors que les zones properes a aquest.

Per tal d’entendre amb una mica mes de profunditat l’energia solar i elseu aprofitament, hem d’anar introduint un a un els diferentsaspectes quetenen influencia sobre la radiacio que ens arriba del sol.

La geometria

Figura 7.1: Esquema per entendre la influencia de la inclinacio de la placa solar en la potencia aprofitada.

Els aspectes geometrics afecten la radiacio solar incident com es pot ob-servar l’esquema de la Figura 7.1. Si una superficie no esta perfectamentencarada a la direccio d’on arriba la radiacio solar, tot ique la placa tinguiuna areaA en realitat estarem aprofitant la radiacio que cau en una area

7.1. RADIACIO SOLAR INCIDENT 93

mes petitaA′, que equivaldra a la mida de la seva ombra si la projectessimsobre la paret. Si designemα l’angle de separacio entre la direccio per-pendicular a la radiacio i la direccio real de la placa obtindrem que l’areaA′, coneguda com aarea efectiva, val

A′ = A cosα. (7.2)

La latitud

Aquest efecte, tot i que esta ıntimament relacionat amb elde l’apartat an-terior, conve estudiar-lo per separat ja que es importantconsiderar-lo enel moment de la intal.lacio. Estudiem les consequencies del fet en com laradiacio solar incideix a La Terra. Considerem sis plaquessolars (A, B, C,D, E, F) situades en diferents punts del planeta (Figura 7.2). Suposem quetotes elles tenen una area d’1 m2. Suposarem que les plaques estan estira-des horitzontalment a sobre del terra en cada un del sis punts, de forma queles orientacions de les plaques serien les que es veuen al dibuix. A la placaF obviament no hi incideix radiacio en aquest moment, ja que correspon auna zona on ara mateix es de nit. A la resta de plaques la radiacio incidentes calcula multiplicant els1500 W/m2 per l’area efectiva de la placa, es adir,

Figura 7.2: Influencia de la latitud sobre la radiacio rebuda enun instant concret del dia.

PlacaA : → A cos 90 · 1500 = 0 W

PlacaB : → A cos 45 · 1500 = 1060 W


PlacaC : → A cos 0 · 1500 = 1500 W (7.3)

PlacaD : → A cos (−45) · 1500 = 1060 W

PlacaE : → A cos (−90) · 1500 = 0 W

En aquest cas, l’angle correspon amb la latitud del punt. Es pot veureclarament com en aquest cas concret la radiacio incident es maxima a l’E-quador i nul·la en els Pols. Evidentment aquest problema es pot corregirinclinant la placa solar respecte al terra per tal d’aconseguir encarar-la ala radiacio. Per exemple, inclinant 450 la placa B aconseguirıem la ma-teixa radiacio incident que la de la placa C. Per aquest motiu les plaquessolars sempre s’instal.len inclinades un cert angle respecte al terra, i l’an-gle d’inclinacio es diferent depenent de la zona del planeta a la qual enstrobem.

Es important remarcar tambe que el calcul dels apartats anteriors represen-ta nomes el que succeeix en un instant particular del dia. A continuacioexpliquem com calcular valors de radiacio promitjats al llarg d’un dia sen-cer o d’un any, que es el que realment pot ser important a efectes practics.

Variaci o dia-nit

Considerem el cas de les plaques solars B o C de la Figura 7.2. Tot i queen el dibuix aquestes plaques estan en la zona del planeta encarada a laradiacio solar, a mida que La Terra giri sobre si mateixa aquesta situaciocanviara mica en mica, i quan passin unes hores aquestes plaques quedarana l’esquerra del dibuix (es fara de nit en aquelles zones) i la radiacio s’aniraanul.lant.

Si representem en un grafic el valor de la radiacio solar incident en unpunt al llarg d’un dia, obtenim la forma de la Figura 7.3. All`a s’observenclarament els moments de la sortida i la posta del Sol, i es veucom laradiacio incident maxima s’assoleix just en el punt intermig entre aquestsdos moments. La corba que fa la figura correspon a una funcio sinusuidal,d’acord amb el concepte d’area efectiva que hem introduit adalt. L’arearatllada representa el flux total d’energia que obtindrıemsi durant les 24hores del dia tinguessim radiacio maxima, mentre que l’area que quedasota la corba es el flux d’energia real. Es pot comprovar que l’area sota lacorba es exactament una quarta part de l’area ratllada. Per tant, aquest esel factor que hem d’aplicar per poder tenir en compte les variacions dia-niten la radiacio solar. Per tant, les radiacions incident en les plaques B i Cd’adalt, promitjades al llarg d’un dia sencer, serien una quarta part delsvalors maxims:

7.1. RADIACIO SOLAR INCIDENT 95

Figura 7.3: La lınia corba mostra el nivell de flux de radiacio rebut del Sol al llarg del dia (que te forma defuncio cosinus) mentre que la lınia horitzontal de punts mostra el valor maxim (al migdia) ques’obtindria en aquell punt

Placa B : → 1

4A cos 45 · 1500 = 265 W

Placa C : → 1

4A cos 0 · 1500 = 375 W

El fet que la radiacio es redueixi a una quarta part per aquest efecte ensdemostra com d’interessant es l’us de plaques solars amb sistemes mo-toritzats de seguiment, que giren automaticament per tal d’estar sempreencarades al Sol. Amb aquest sistema rebrıem a la placa sempre la radi-acio solar maxima, excepte per la nit, que logicament seguiria sent zero.D’aquesta manera el rendiment de les plaques augmentaria notablement.Tot i aixı, a dia d’avui els preus d’aquests sistemes de motoritzacio son en-cara forca elevats i per aquest motiu nomes s’utilitzen encasos particularson augmentar el rendiment de la instal.lacio resulta essencial.

Variaci o estiu-hivern

Per poder entendre com la radiacio solar incident canvia alllarg de l’anyhem de tenir present que la inclinacio de La Terra respecte al Sol canviadegut al proces de translacio de La Terra, fet que dona lloc a les estacions


de l’any. En la Figura 7.4 mostrem aquesta idea. En el dibuix de l’es-querra l’Hemisferi Nord esta mes encarat cap al Sol que l’Hemisferi Sud,i per aquest motiu en aquella situacio rep mes radiacio solar (a l’HemisferiNord seria estiu, en aquest cas). El dibuix de la dreta, en canvi, representala situacio contraria (hivern a l’Hemisferi Nord). Com que l’angle d’incli-nacio de La Terra respecte el sol es actualment d’uns 23.50 , tindrem que sipossessim una placa a l’Equador terrestre com la que es veu enel dibuix,en cada un dels dos punts marcats al dibuix la radiacio maxima sera

Estiu : → A cos (−23, 5) · 1500 = 1376 W

Hivern : → A cos (23, 5) · 1500 = 1376 W

Si repetim el calcul per a una placa situada a una latitud de 450 (que seriael cas de la placa B que hem comentat abans) tindrıem

Figura 7.4: Influencia de l’estacionalitat en el flux de radiacio solar rebut per La Terra

Estiu : → A cos (45− 23, 5) · 1500 = 1396 W

Hivern : → A cos (45 + 23, 5) · 1500 = 549 W

En aquest segon cas, s’observa com la diferencia entre estiu i hivern esrealment important, i aquesta diferencia anira augmentant a mida que ensapropem als Pols terrestres. En resum, aixo ens permet mostrar com d’im-portant es orientar be una placa solar depenent de la posicio del planeta onens trobem, o de si preferim aprofitar al maxim l’energia durant l’estiu ol’hivern. Novament, l’us de sistemes de seguiment motoritzats pot ser unabona opcio en aquest sentit, tot i que a dia d’avui els seu uses encara forcareduit.

7.2. POTENCIAL ENERGETIC DE L’ENERGIA SOLAR 97

Efectes de l’atmosfera

Durant els calculs anteriors en cap moment hem tingut en compte el paperque juguen els efectes meteorologics sobre la radiacio solar incident a lasuperfıcie terrestre. Logicament la nubositat te un efecte important enaquest sentit, i tot i que aquest es un efecte difıcil de quantificar (ja quedepen de la meteorologia local de cada zona del planeta) en general elsefectes d’absorcio i de reflexio en els nuvols poden provocar que en realitatnomes arribi en promig al llarg de l’any entre el 30% i el 50% de la radiacioque teoricament arribaria amb un cel sense nubols.

Per una altra banda, fins el moment hem parlat de la radiacio solar en ge-neral. Pero en realitat aquesta radiacio conte molts tipus d’ones diferents(infrarojos, ultraviolat, microones, radiacio visible...) algunes de les qualsson mes importants que altres. Aquest es un aspecte important a conside-rar, ja que generalment no es possible aprofitar l’energia de tots els tipusd’ones simultaniament, com explicarem mes en detall en els propers apar-tats. La lınia groga de la Figura 7.5 mostra l’espectre de radiacio del Solque arriba a les capes altes de la nostra atmosfera. Aquest espectre mostrala quantitat de radiacio que arriba del Sol per a cada longitud d’ona que,com hem explicat a l’Apartat F.6, determina el tipus de radiacio i l’ener-gia que aquesta conte. Comparant amb la Figura F.11, es pot veure comel ”pic”de l’espectre (zona de maxima radiacio) correspon a la zona del’ultraviolat i de la llum visible. Per tal de completar la informacio, lıniavermella mostra tambe l’espectre de la radiacio solar quearriba a la su-perfıcie terrestre. Es pot veure que els valors de la radiacio son mes petits,ja que en travessar l’atmosfera una part de la radiacio es absorbida. A mes,es pot veure com hi ha frequencies particulars per les quals la radiacio haestat absorbida de manera molt important. Aquestes corresponen a lesfrequencies tıpiques que son capaces d’absorbir el vapor d’aigua, l’ozo...i altres gasos que poden trobar-se en quantitats apreciables a l’atmosfera.

7.2 Potencial energetic de l’energia solar

Aprofitant tots els raonaments de l’apartat anterior podrıem ara fer unaestimacio del poder que te l’energia solar com a solucio energetica per ala nostra societat. Si tenim en compte el valor de partida de1500 W/m2 iconsiderem que degut a la variacio dia-nit aprofitem nomesel 25%, i degutals efectes meteorologics perdem un altra 50% (no tindrem en compte aquıperdues degudes a la inclinacio de la placa o a la variacioestiu-hivernperque imaginarem que poguessim evitar-les dissenyant adequadament la


Figura 7.5: Irradiancia (densitat de flux de radiacio solar) que arriba a les capes altes de l’atmosfera (lıniagroga) i a la superfıcie terrestre (lınia de vermella).

placa) aleshores ens queda un flux aprofitable de

1500 · 0, 25 · 0, 5 = 187W/m2. (7.4)

La pregunta ara seria: quants metres quadrats de superfıcie haurıem d’a-profitar per tal de satisfer les necessitats energetiques mundials, que entermes de potencia son d’uns 13 TW (13 · 1012 W)? Com que el calcul an-terior ens dona la potencia aprofitada per cada metre quadrat nomes hemde calcular

A =13 · 1012187

= 7 · 1010m2 (7.5)

Per fer-nos una idea de com de gran es aquesta superfıcie agafem com areferencia la superfıcie de Catalunya (30.000 Km2 o 3 ·1010 m2). Aixo voldir que les necessitats energetiques actuals de tot el monequivalen a om-plir de plaques solars un territori dues vegades major que Catalunya, toti que aixo es suposant que les plaques tinguesin un rendiment del 100%.Considerant els rendiments de les plaques actuals (20%) l’`area necessariaseria cinc vegades major (de l’ordre de la superfıcie de tota Espanya, quees de5 · 1011 m2). En qualsevol cas, sobre el paper l’energia solar repre-senta una de les solucions al problema energetic mundial m´es viables desdel punt de vista cientıfic, tot i que comporta seriosos problemes pel quefa a l’emmagatzematge i la distribucio d’aquesta energia.

7.3. ENERGIA SOLAR TERMICA 99

7.3 Energia solar termica

Les plaques solars termiques funcionen aprofitant la calorque ens arribaa traves de la radiacio solar per tal d’escalfar un fluid quecircula a travesd’un circuit de canonades i serpentins (Figura 7.6. Aquestacalor normal-ment servira per a escalfar un diposit d’aigua, en el cas quefem servir laplaca solar per a l’abastiment d’aigua sanitaria, o per a alimentar algunsistema de radiadors per calefaccio. El principi d’absorcio de calor a lesplaques es molt similar al proces d’efecte hivernacle quete lloc a La Terra.La coberta externa de la placa esta feta d’un material que deixa passar granpart de la radiacio del Sol cap a l’interior, pero que en canvi dificulta moltel pas cap a l’exterior de la radiacio que emet la mateixa placa (recordemque qualsevol cos pel fet d’estar a una temperatura emet radiacio termica).Aixı la calor queda ”atrapada”a dintre de la placa i el fluid que circula pelserpentı en el seu interior assoleix una temperatura mes elevada.

Figura 7.6: Esquema de l’estructura interior d’una placa solar termica.

Si ens centrem en el proces d’absorcio de calor a la placa, tenim que enfuncio de la quantitat de fluid que passi pel serpentı per unitat de temps lacalor absorbida sera major o menor. Si el fluid circula massade pressa notindra temps a escalfar-se, mentre que si ho fa molt a poc a poc el fluid esquedara molta estona a la placa i arribara un punt que ja pr`acticament nopujara mes de temperatura, amb la qual cosa perdem eficiencia. La calord’escalfament del fluid ha de seguir l’equacio D.2:

E = mc∆T (7.6)


on∆T es la diferencia de temperatures aconseguida en l’escalfar una mas-sam d’un fluid amb calor especıficc. Si calculem l’energia cedida perunitat de temps tenim

E

t=

m

tc∆T (7.7)

i aixı introduim el cabal massicm/t (massa de fluid que passa pel serpentıper unitat de temps). Per exemple, imaginem que la placa pot cedir-lial fluid 1000 J de calor cada segon. Suposant que el fluid sigui aigua(c = 4180 J/Kg·K) i considerant que passen pel serpentı10 grams d’aiguaper segon obtenim un salt de temperatures de

∆T =Et

mtc=

1000

0, 01 · 4180 = 20K (7.8)

Hem de tenir present que en general existira un valor de m/t `optim pel sis-tema. Si el fluid circula massa de pressa (m/t gran) no te temps a escalfar-se i per tant la diferencia de temperatures aconseguida sera petita. Pero siva massa a poc a poc arribara un punt en que l’aigua s’escalfara fins a unatemperatura propera a la de l’interior de la placa; aleshores aquesta ja nopodra escalfar-la mes i l’eficiencia del sistema es reduira.

Figura 7.7: Esquema de configuracio d’un grup de plaques solars en serie (a) i en paral·lel (b).

7.3. ENERGIA SOLAR TERMICA 101

Aquesta discussio ens pot permetre entendre la diferencia que existeix en-tre una instal.lacio de plaques solars termiques en serie o en paral.lel (Fi-gura 7.7). El sistema amb plaques en serie permet que l’aigua passi duesvegades per la placa, amb la qual cosa s’escalfa mes, pero l’energia d’es-calfament que obtindrem a la segona (tercera, quarta...) placa sera menor,ja que l’aigua ja hi entra a alta temperatura. En canvi, si col.loquem les pla-ques en paral.lel podem escalfar mes quantitat d’aigua a la vegada, amb laqual cosa aprofitem mes quantitat d’energia (major eficiencia). Per aquestmotiu s’acostuma a fer servir a la practica sempre sistemesde plaques enparal.lel, excepte en aplicacions concretes que requereixen temperaturesmolt elevades.

Finalment centrem-nos en l’energia que arribara al diposit d’aigua calentaon l’energia aconseguida va emmagatzemant-se. Aquesta energia emma-gatzemada correspondra a l’energia d’escalfament de l’aigua del diposit,i per tant novament podrem fer servir l’equacioE = mc∆T . Imaginemque tenim un diposit de120 litres d’aigua (que correspon a la caldera d’u-na casa mes aviat gran) i el volem escalfar des de la temperatura ambient(200 C) fins a la temperatura tıpica a que es fa servir l’aigua sanitaria (600

C). Com que sabem que cada litre d’aigua correspon a una massade1 Kgtenim que l’energia necessaria per a fer aixo es

E = 120 · 4180 · 40 = 2, 01 · 107J (7.9)

La pregunta aleshores seria: quantes plaques solars necessitem per a pro-duir aquest escalfament en un temps concret (per exemple en6 hores)?Per a calcular aixo hem de saber l’energia de la radiacio solar incident,tenint en compte tot el que hem explicat en els apartats anteriors d’aquestcapıtol. Suposem que la placa no la tenim perfectament encarada al Sol,sino que hi ha un angle de desviacio de200 (per a fer mes senzill el calculno tindrem en compte que a mida que passen les hores aquest valor aniriavariant). A mes, podem imaginar que, tot i fer el proces de dia, pot havernubols al cel de manera que nomes arriba a la nostra placa el50% de laradiacio maxima (que recordem son1500 W/m2). Finalment, imaginaremque entre les perdues a la placa i les perdues en el proces de transportnomes el30% de l’energia rebuda a la placa arriba realment al diposit(que es un valor forca realista). Unint tot aixo tenim queel ritme al quall’energia es rebuda al diposit es

P = 1500 · A · cos 20 · 0, 5 · 0, 3 = 211, 4 W (7.10)

i per tant l’energia acumulada en6 hores es

E = P∆t = 211, 4A · 6 · 3600 = 4, 57A · 106 J (7.11)


Ara. igualant aquesta energia amb la que necessitem per a escalfar eldiposit s’obte l’area de les plaques:

A =2, 01 · 1074, 57 · 106 = 4, 4m2 (7.12)

Aixo vol dir que necessitarıem una superfıcie de placa solar de poc mes de2x2 metres per a aconseguir-ho.

7.4 Energia solar fotovoltaica

Les plaques solars fotovoltaiques fan servir la radiaciosolar per a gene-rar directament un corrent electric, a diferencia de les plaques termiquesque com hem explicat aprofiten l’energia en forma de calor. Tot i que perentendre el funcionament d’una placa fotovoltaica son necessaris uns con-ceptes i coneixements forca avancats, aquı intentarem presentar una versioforca simplificada del proces per tal d’entendre com la transformacio del’energia te lloc.

Figura 7.8: Esquema.

Primer de tot, cal saber que les plaques solars actualment estan fetes d’unsmaterials anomenats semiconductors, que tenen unes propietats electriquesforca particulars. L’energia que prove de la radiacio solar es pot suposarque esta agrupada en paquets o partıcules anomenades fotons; l’energiad’un foto es (Equacio??)

E = hν (7.13)

on h es la constant de Planck iν es la frequencia del foto. Quan un fotoarriba a la superfıcie del semiconductor la seva energia estransfereix a

7.4. ENERGIA SOLAR FOTOVOLTAICA 103

algun dels electrons del material; si l’energia rebuda es prou gran, l’electropot passar del seu estat habitual (estat fonamental) a un altre estat de majorenergia (estat excitat). En els semiconductors existeix elque s’anomenala banda de valencia (on es troben els electrons de l’estat fonamental) i labanda de conduccio (on es troben els electrons excitats), iper poder passard’una banda a l’altra els electrons han de rebre del foto unaenergia mınimaEG (Figura 7.8). Si l’energia del foto es menor queEG no es produiral’excitacio; si l’energia es major aleshores l’electropassara a la bandade conduccio i l’energia sobrant (hω − EG) s’anira perdent per diferentsprocessos de radiacio i de dissipacio en el material.

En realitat existeixen molts altres materials (fonamentalment metalls) onla transicio de l’estat fonamental a l’estat excitat dels electrons te lloc de-gut a l’energia aportada pels fotons, cosa que en condicionsadequadespot donar lloc a un corrent electric (aquest proces es l’efecte fotoelectricque hem estudiat a l’Apartat??). El problema es que en aquests casosels electrons tornen de manera espontania a l’estat fonamental de mane-ra molt rapida, cosa que fa el corrent electric que s’hi pugui generar a lapractica sigui molt petit. En canvi, l’existencia d’un ”salt”entre la bandade valencia i de conduccio en els semiconductors fa que elselectrons espuguin mantenir en l’estat excitat un temps molt mes llarg (de l’ordre decentesimes o mil.lesimes de segon) que es suficient com per que aquestelectro pugui ser aprofitat per a generar un corrent electric elevat.

Suposem per exemple que l’energia de separacio entre la banda de valenciai de conduccio es deEG = 1, 1 eV, que correspon al cas d’un dels semi-conductors mes habituals, el silici. L’electron-Volt esuna unitat d’energiaque correspon, en el Sistema Internacional, a1, 6 · 10−19 J. Quina es lafrequencia mınima que ha de tenir un foto per tal de fer saltar un electrodel silici fins a la banda de conduccio? Per a calcular-ho hemde suposarque l’energia del foto coincideix just ambEG i, per tant,

ν =EG

h=

1, 1 · 1, 6 · 10−19

6, 6 · 10−34= 2, 7 · 1014 Hz. (7.14)

Amb aixo, i recordant les propietats d’una ona (Apartat F.3), podem cal-cular quina es la longitud d’ona corresponent del foto

λ =c

ν=

3 · 1082, 7 · 1014 = 1, 1 · 10−6m = 1100 nm, (7.15)

on c es la velocitat de l’ona (en aquest cas, la velocitat de la llum). Pertant, tots aquells fotons amb frequencia superior a2, 7 · 1014 Hz (o, el que


es el mateix, amb longitud d’ona inferior a1100 nm) donaran lloc a excita-cions electroniques en el silici. Si observem l’espectre de la radiacio solar(Figura 7.5) veurem que, aproximadament, el 50% dels fotonsprocedentsdel Sol acompleixen aquest requisit. Aixo vol dir que el rendiment d’unaplaca solar fotovoltaica composta de silici com a maxim pot ser del 50%,aixo suposant que tota l’energia dels fotons fos transformada en energiaelectrica. A la practica els rendiments reals d’aquestesplaques es trobenactualment prop del 20%.

7.5 Fotosıntesi

Com hem dit anteriorment, gairebe totes les fonts d’energia provenen deforma directa o indirecta de l’energia solar. No ens ha d’extranyar doncsque les plantes hagin desenvolupat mecanismes per aprofitaraquesta ener-gia directament. A aquest proces l’anomenem fotosıntesi.

Com que en aquest capıtol estem parlant dels mecanismes i del’eficienciade generacio d’energia a partir de la radiacio solar, pot resultar il.lustratiuentendre com alguns essers vius han resolt aquest problemaal llarg demilions d’anys d’evolucio. A mes, avui en dia existeixen lınies de recerca atot el mon enfocades a intentar reproduir de manera artificial els processosfotosintetics de les plantes com a possible alternativa energetica de futur.

El proces de la fotosıntesi dona lloc de forma neta a la seguent transfor-macio:

6 CO2 + 6 H2O → C6H12O6 + 6 O2 (7.16)

A la practica, pero, aquest proces te lloc a traves de molts passos inter-mitjos que, entre d’altres coses, impliquen la sıntesi de mol.lecules d’ATP.En general, en el proces de la fotosıntesi s’acostuma a diferenciar la faseluminica (que involucra processos que requereixen la participacio de ra-diacio solar) i la fase fosca (que no requereix la presencia de llum solar).A la fase lumınica intervenen els anomenats fotosistema I ifotosistemaII. En primer lloc el fotosistema II permet la generacio d’oxigen a partird’aigua mitjancant la reaccio

2 Q + 2 H2O → 2 QH2 +O2 (7.17)

En aquesta reaccio,Q representa un compost anomenat plastoquinona quees reduit a plastoquinol (QH2). Aquesta reaccio quımica requereix unaenergia de l’ordre d’uns60 KJ/mol (depen de l’estat d’agregacio), energiaque s’ha d’aconseguir a traves dels fotons de la radiacio solar. Com que

7.5. FOTOSINTESI 105

les molecules encarregades d’absorbir els fotons (clorofil.la) nomes soncapaces d’absorbir llum amb longitud d’ona d’uns680 nm, podem veureque l’energia obtinguda d’un mol de fotons absorbits amb aquesta longitudd’ona es

E = NAhν = NAhc

λ= 6, 023 · 1023 · 6, 6 · 10−34 3 · 108

680 · 10−9= 175 KJ

(7.18)onNA representa el nombre d’Avogadro. En consequencia l’energia delfoto es suficient per a arribar als60 KJ/mol i poder realitzar el proces.

A continuacio, el plastoquinol QH2 torna de forma espontania a la formaQ i tenen lloc una serie de reaccions de reduccio i oxidacioen cadena en-tre els fotosistems I i II, algunes de les quals requereixen l’aport energeticd’altres fotons. De tot aquest proces, que no detallem aqu´ı donada la se-va complexitat, en surt que a la fase lumınica de la fotosıntesi la reaccioglobal que hi te lloc es

2 NADP++3 ADP+3 Pi+2 H2O → 2 NADPH+3 ATP+2 H++O2

(7.19)En conjunt, aquesta transformacio requereix l’aport energetic de 8 fotons(4 d’ells amb longitud d’ona de 680 nm i 4 d’ells de 700 nm). Pertant,l’energia dels fotons utilitzada en total per a generar 3 mols de ATPs es de

E = NAhc

(

4

ν1+

4

ν2

)

= 6, 023·1023·6, 6·10−34·3·108(

4

680 · 10−9+

4

700 · 10−9

)

= 1381KJ

(7.20)

Finalment, la fase fosca de la fotosıntesi te lloc a traves de l’anomenatCicle de Calvin, pel qual l’ATP dona lloc a la glucosa (C6H12O6) coma producte final de la fotosıntesi. Aquesta etapa, pero, presenta certesdiferencies depenent del tipus de plantes que es consideri. En les anome-nades plantes C3 son necessaries 18 molecules d’ATP per a generar una deglucosa, mentre que en les plantes C4 se’n necessiten 30 molecules d’ATP.En termes energetics, aixo vol dir que per a generar un mol de moleculesde C6H12O6 (aixo correspon a una massa de180 grams de glucosa) laplanta necessita agafar24.858 KJ d’energia dels fotons en el cas de plan-tes C3, i 41.430 KJ en el cas de plamtes C4. A efectes comparatius, es potcomprovar que aquests valors son forca semblants a l’energia que podemobtenir, per exemple, de cremar un kilo de carbo (17.000 KJ) o un litre debenzina (40.000 KJ).

Finalment, podem intentar analitzar el proces de la fotos´ıntesi en termes derendiment energetic. Per dur a terme la reaccio de combustio 6CO2+6H2O→C6H12O6+6O2


en teoria fan falta2.880 KJ d’energia per cada mol de glucosa. A travesde la fotosıntesi veiem que les plantes porten a terme aquest mateix procespero necessiten absorbir molta mes energia. Per tant, el rendiment delproces es, per les plantesC3,

2.880

24.858= 0.12 (7.21)

i per les plantes C4 el calcul dona0.07. es a dir, els rendiments es trobenal voltant del 10%.

Per altra banda, hem de tenir en compte el fet que les plantes no aprofitentota la radiacio del Sol, sino que com hem dit nomes absorbeixen fotonsd’unes longituds d’ona forca concretes (properes a680 nm i 700 nm). Siun compara les energies totals procedents de la radiacio solar amb l’e-nergia final obtinguda de la fotosıntesi (energia que es potaconsiguir encremar tota la glucosa obtinguda) es troba que el rendiment energetic dela fotosıntesi esta proper al 1% (tot i que aquest valor potaugmentar finsal 7% en funcio del tipus de planta i de les condicions ambientals).

La fotosıntesi i els combustibles fossils

Donat que hem parlat en aquest apartat dels aspectes energetics de la fo-tosıntesi, es important remarcar que tots els combustibles fossils que femservir en la nostra societat actual (carbo, petroli...) s´on d’origen vegetal,i per tant son basicament un subproducte derivat del proc´es de fotosıntesique les plantes han anat realitzant al llarg de milions d’anys. De fet, apartir d’aquesta idea es possible fer una estimacio de quina quantitat decombustibles fossils es previsible que existeixi al nostre planeta.

Comencem per observar que de la fotosıntesi en resulten glucosa i oxigen.Per tant, sabent quant oxigen hi ha a la nostra atmosfera i suposant que totaquest oxigen ha sorgit de la fotosıntesi podem estimar tambe la quantitatde glucosa produida, i d’aquı en calcularem el carboni emmagatzemat alplaneta. Sabem que la pressio atmosferica es, a nivell del mar, aproxima-dament105 Pa. Aixo vol dir que la superfıcie de La Terra rep una forca,deguda a aquesta pressio, de

F = PA = P[

4πR2T

]

= 105[

4π(

6, 37 · 106)2]

= 5, 1 · 1019 N (7.22)

onA i RT son la superfıcie i el radi de La Terra, respectivament. Aquestaforca, per altra banda, es deguda al pes de l’aire atmosferic. Per tant, lamassa total d’aire a l’atmosfera ha de ser

m =F

g= 5, 2 · 1018 Kg (7.23)

7.6. EXERCICIS 107

i com que sabem que aproximadament l’aire esta format per oxigen en un20%, obtenim que la massa d’oxigen atmosferic es d’uns1018 Kg.

Finalment, repassant les relacions estequiometriques dela reaccio

6 CO2 + 6 H2O → C6H12O6 + 6 O2 (7.24)

deduim que 1 mol d’oxigen (32 gramsO2) correspon a un mol de carboni(12 grams deC). Per tant, el resultat final es que la massa total de carboniprevisiblement generada al llarg de la historia a traves de la fotosıntesi haestat

101812

32= 3, 7 · 1017Kg (7.25)

D’acord amb aquest calcul, la quantitat de carboni disponible al planetaseria forca mes gran que la massa total de reserves de combustibles fossilsque la humanitat ha estat capac de trobar fins el moment, que ´es d’uns1016 Kg (40 vegades mes petit que el resultat del calcul anterior). Aixodona peu a pensar que encara queden forces reserves per descobrir, tot ique no esta gens clar si la localitzacio i la forma d’aquestes reserves seranles adients com per a permetre el seu aprofitament.

7.6 Exercicis

a) El projecte DESERTEC preveu aprofitar l’energia solar incident en laregio desertica del Sahara. Es preveu implantar una xarxade centralssolars que pugui abastir gran part de la demanda sud-europeai nord-africana. Europa te un consum mitja de 40 MWh per capita i any iuna poblacio d’uns 500 milions d’habitants. Calcula

i. Quina potencia mitjana necessitarıem per abastir aquest conjuntde poblacio?

ii. Quants penells solars situats al Sahara (latitud 250) per obteniraquesta potencia en el punt de maxima insolacio?

iii. Quants en necessitarıem per obtenir aquesta potencia mitjanaconsiderant el cicle dia nit?

b) Volem preparar una casa perque escalfi l’aigua de la dutxai aixıreduir-ne el consum electric. A l’habitatge viuran quatrepersonesque es dutxen diariament amb 100 litres d’aigua a 350C. A l’hivern,l’aigua entra a la casa a una temperatura de 50C i a l’estiu a 150C.Calcula:


i. Quanta energia necessitem cada dia per tal d’escalfar tota l’aiguafins a la temperatura desitjada a l’hivern i a l’estiu.

ii. Si considerem l’energia solar que arriba a la teulada de la ca-sa, quanta energia podra rebre durant l’hivern i durant l’estiu siconsiderem una insolacio de 8 i 16 hores respectivament?

iii. Quants metres quadrats de plaques solars hauriem de tenir pergarantitzar que tota l’aigua s’escalfi durant l’hivern, i durantl’estiu

iv. Si per motius d’inversio optessim per les plaques que assegurenl’aigua calenta a l’estiu i durant l’hivern utilitzem un aport addi-cional d’energia electrica per acabar d’escalfar l’aigua, en quantde temps acabariem pagant la diferencia en concepte d’energiaelectrica?

c) A catalunya es generen al voltant de 2 milions de m3 de biomassa al’any en forma de fusta en els seus boscos. Aquests tenen una ex-tensio total de 1.300.000 ha. Considerant que la fusta te una densitatd’aproximadament 0.9 g/cm3 i que el 30% del seu pes es aigua. Cal-cula:

i. El total de materia organica seca que es genera en un any.

ii. Si tota aquesta materia fos glucosa, quanta energia s’ha necessi-tat per fer creixer tota aquesta fusta?

iii. Quants fotons de 680 nm (els utilitzat en la fotosıntesi) tenentota aquesta energia?

iv. La quantitat d’energia solar que ha caigut en els boscos de Ca-talunya durant tot l’any considerant una inclinacio de 450 i unainsolacio mitjana de 12 h al dia.

v. Si aquesta fusta ha crescut en els boscos de Catalunya, quin haestat el rendiment de les plantes considerant-les una maquina deconvertir energia solar en fusta?

d) En l’Apartat 7.5 hem fet una estimacio de les reserves de combusti-bles fossils a La Terra. Alla hem partit de la hipotesi quetot l’oxigenque han generat els vegetals al llarg de la historia de La Terra s’haquedat a l’atmosfera. No obstant, podria ser que una part d’aquestoxigen hagues anat a parar a altres processos. Aixo faria que la nos-tra estimacio encara sigui curta.

i. Si suposem que nomes el 60% de l’oxigen de la fotosıntesiesmante a l’atmosfera, calculeu quantes tones de combustiblesfossils pot contenir encara el nostre planeta.

7.6. EXERCICIS 109

ii. Si les dades actuals (any 2008) diuen que la nostra societat cre-ma uns1, 5 · 1013 Kg de combustibles fosils a l’any, quants anysde reserves tenim en teoria? I si suposem que nomes un 1% deles reserves es realment extraible?

e) Els biocombustibles son una altra manera d’aprofitar l’energia de lafotosıntesi per a usos humans. Alguns dels biocombustibles mes co-muns son l’etanol de blat de moro, l’etanol de canya de sucreo l’olide palma.

i. D’una plantacio tıpica de canya de sucre es poden obtenir 0,9l/m2 d’etanol cada any. Si el seu poder calorıfic es de 31.500KJ/l determineu els Watts per metre quadrat que se n’obte.

ii. Comparant amb l’energia solar incident per metre quadrat (fentel promig al llarg del dia segons l’apartat 7.1) trobeu el rendi-ment que se n’obte dels biocombustibles.

f) La planta PS10 (veure fotografia), situada a poc quilometres de Se-villa, representa una de les primeres plantes del mon d’energia solarconcentrada. La idea es reflectir l’energia solar en miralls i reconduir-la cap a un mateix punt (torre), des d’on l’energia es aprofitada deforma mes senzilla i eficient perque s’evita el transport de l’energiades de cada placa per separat.

i. Si la placa conte 624 miralls, cadascun de 120 m2, calculeu lapotencia solar que pot arribar a concentrar la torre, sabent queels miralls son mobils per tal de poder-los encarar tots alSol.

ii. Si la potencia solar que es capac de concentrar la planta es de25 MW deduiu el rendiment energetic del mecanisme de con-centracio, i l’energia produida en un dia clar en que tenim10hores de sol. L’energia concentrada a la torre es fa servir per aescalfar uns tancs d’aigua que es mantenen a 50 atmosferes depressio i a una temperatura de 2850C. L’avantatge d’augmentartant la pressio de l’aigua es que la podem escalfar fins a altestemperatures sense que vaporitzi, i aixı podem emmagatzemarmes energia en forma lıquida.

iii. Calculeu quants litres caldrien per emmagatzemar l’energia ge-nerada en un dia a la central, si ho fessim escalfant l’aiguaencondicions normals des de 200 (temperatura ambient) fins a 1000C.

iv. Calculeu quants litres necessitem si podem sobreescalfar l’aiguafins a 2850C (suposem tota l’estona que la calor especıfica es4180 J/KgK, tot i que en realitat aquest valor augmenta quanpujen la temperatura i la pressio).


g) Un altre forma d’energia solar concentrada consisteix enfer servirplastics o altres materials que actuin com a lupa i focalitzin l’energiasolar en petites plaques solars fotovoltaiques sofisticades. Les pla-ques solars fotovoltaiques mes comunes tenen un rendiment energeticproper al 10% i tenen un preu d’aproximadament 3.000 euros/m2.Recentment alguns laboratoris han arribat a desenvolupar plaquesanomenades detriple unio molt eficients (rendiment proper al 40%),pero son encara molt cares (1 millio d’euros per metre quadrat).

i. Suposant que el preu del material concentrador sigui menysprea-ble, calculeu la potencia electrica per metre quadrat quepodrıemgenerar aconseguint concentrar l’energia solar de 100 m2 sobreuna placa solar detriple unio.

ii. Feu un grafic on es mostri el preu per metre quadrat de placaque s’obtindria en funcio del poder concentrador (definit comarea real dividit entre area de la placa). En quin moment elpreuper metre quadrat supera el de les plaques convencionals?

iii. Les plaques detriple unio s’anomenen aixı perque incorporentres semiconductors diferents, cadascun dels quals treballa ambllum de frequencies diferents. Si el salt d’energia entrela bandade valencia i la de conduccio dels tres semiconductors es1,43eV (arseniur de gali), 0,66 eV (germani) i 1,85 eV (fosfit d’indii gali). Calculeu les frequencies tıpiques dels fotons que absor-beixen cadascun dels tres semiconductors i comproveu el rangde frequencies de l’espectre solar (Figura XX) que cobreixen.

CAPITOL 8Energia hidroelectrica i

mareomotriu

Els sistemes de generacio d’energia basats en l’aprofitament del movi-ment de grans masses d’aigua i la seva posterior transformacio en energiaelectrica representen actualment la sisena part de l’electricitat generada almon, i el 90% respecte del total de les energies renovables.

En aquest capıtol desenvoluparem les idees essencials a l’hora d’evaluarels recursos hidroelectrics naturals de que pot disposarun territori, tanten el cas que l’aprofitament es faci a nivell de l’aigua dels rius (la qual,fonamentalment, prove de les precipitacions atmosferiques) com en el casde l’ocea (aprofitant el moviment de les marees).

8.1 Centrals hidroelectriques

Les centrals hidroelectriques, com es ben conegut, aprofiten els salts d’ai-gua existents en els corrents d’aigua, be siguin d’origen natural o, en lamajoria de casos, artificials creats per l’home mitjancantla construcciode preses. Com que es tracta d’un fenomen associat a la gravetat parti-rem del fet que que l’energia es troba emmagatzemada a l’aigua en formad’energia potencial gravitatoria.

111

112 CAPITOL 8. ENERGIA HIDROELECTRICA I MAREOMOTRIU

Font d’energia

La variacio d’energia∆E associada a una massa d’aiguam que cau perun salt d’alcadah es

∆E = mgh. (8.1)

ong = 9.8 m/s2 es l’acceleracio de la gravetat. Com que a l’hora de parlard’embassament o de cabals de rius es mes habitual parlar devolum d’aiguaV que no pas de massa, s’acostuma a substituir aquesta perm = ρV en laultima expressio per tal d’obtenir l’equivalent

∆E = ρV gh (8.2)

on ρ es la densitat de l’aigua (1000 kg/m3). L’expressio (9.2) ens indicaquanta energia podem treure d’un salt d’aigua, pero no ens diu res de lavelocitat a la qual ho podem fer. Hem de tenir en compte que a efectesde central energetica el que resulta realment interessantes aquest valor,ja que en ultima instancia ens indica la capacitat d’abastiment d’aquesta.Aquesta la podem obtenir de l’expressio de la potencia, o sigui, l’energiaper unitat de temps

P =∆E

∆t=

V ρgh

∆t= Qρgh, (8.3)

on hem definit el cabalQ com

Q =Vr

∆t(8.4)

que es l’aigua que cau expressada com a volum per unitat de temps∆t.

Veiem doncs a l’equacio (9.3) que la potencia que podem obtenir d’unacentral hidroelectrica depen de dues variables, el cabalQ que circula perla presa que sera proporcional al cabal del riu, i l’alcadah de la presa. Lesatres dues (ρ i g) son constants i per tant no podem variar-les. Aquestaexpressio ens diu que construir centrals sera possible enrius cabalosos ien punts on es pugui construir un gran salt d’aigua. Aquest es el motiu perel qual es situen en les gorges de rius mitjans o grans.

Tipus de centrals hidroelectriques

Tot i que l’esquema general de les centrals hidroelectriques es sempreforca similar (Figura 8.2), existeix una distincio entreles anomenades cen-tralsde correnti les centralsd’embassament. Les centrals de corrent apro-fiten l’energia de l’aigua sense que aquesta s’acumuli excessivament en

8.1. CENTRALS HIDROELECTRIQUES 113

Figura 8.1: Una central hidroelectrica aprofita la diferencia d’alcades de l’aigua abans i despres d’un em-bassament

cap moment. Aquest tipus de centrals tenen una instal.lacio relativamentsenzilla i per tant s’utlitzen en llocs on existeix un corrent rapid d’aiguapero on per determinats motius (baix cabal, inaccessibilitat...) no es pos-sible fer instal.lacions mes grans. Les centrals d’embassament, per contra,retenen l’aigua en un cert lloc mitjancant preses o murs de contencio i ladeixen escapar mica en mica quan la demanda energetica aix´ı ho reque-reix.

La potencia dels dos tipus de centrals pot calcular-se a partir de les formulesde l’apartat anterior. Hem de diferenciar, pero, la quantitat d’energia pre-sent en la font en forma d’energia potencial de la que realment obtenimen forma d’energia electrica. Per saber quanta energia el`ectrica podemgenerar, hem de multiplicar el valor de l’energia potencialper el rendi-mentη de la turbina. Aquest te en compte les perdues per fregament oaltres que es donen a la central. Una part d’aquesta energia es desapro-fitara i es transformara en calor per accio de les forces defriccio i tambehem de considerar que l’aigua despres de la turbina segueixretenint unapart de l’energia en forma d’energia cinetica. Aixı doncs, a partir de 9.3 iconsiderant un rendiment deη, de forma que la potencia generada valdra

P = ηQρgh. (8.5)


Figura 8.2: Esquema d’una central hidroelectrica convencional. A la imatge s’indiquen les pressions ambles que la central treballa.

Esquema d’una central hidroelectrica

S’acostuma a dir que les centrals hidroelectriques aprofiten l’energia alli-berada per l’aigua en saltar d’una altura determinada. Aix`o pero pot portara creure falsament que l’aigua en una central es deixa anar lliurement desde la part superior fins que arriba al terra. Aquesta no es la forma comun central d’aquest estil genera l’energia. El primer motiui el mes obvies que si fos aixı les centrals tan sols podrien generar energia quan el ni-vell de l’aigua estigues en el punt mes alt de la presa. Un segon motiu,de caracter mes tecnologic, es el fet que si es fes aixı, perdriem una partsignificativa d’aquesta energia per causa que al arribar a laturbina no total’aigua tindria exactament l’angle optim (perpendicular) amb les pales dela turbina per obtenir el maxim d’energia.

En una central hidroelectrica real la presa d’aigua s’acostuma a fer per unpunt situat prop del fons. No es posa just en el punt mes baix perque elsfangs sedimentats farien difıcil el seu correcte funcionament embrutant lesturbines. El fet que la presa d’aigua es trobi en un punt baix no disminu-eix l’energia que obtenim de l’aigua, ja que a l’energia provinent de ladiferencia d’altures entre l’escomesa i l’alliberament de l’aigua li hem desumar la que prove de l’accio de la pressio hidrostatica. Com que aquestapressio es justament el pes de l’aigua que tenim a sobre, laseva expres-sio es justament la mateixa que la de l’energia potencial gravitatoria. Ladiferencia essencial en ambdos casos prove del fet que enel punt d’en-trada, l’aigua, que esta per sota del nivell maxim una altura h′, no te pas

8.1. CENTRALS HIDROELECTRIQUES 115

l’energia cinetica equivalent, sino que es troba quieta.Es tan sols en elmoment d’entrar al circuit que guanya aquesta velocitat perefecte de lapressio hidrostatica.

La turbina

Si ens centrem tan sols en la turbina de la central podem fer uncalculforca descriptiu del proces. Hem d’entendre la turbina com l’equivalent auna resistencia electrica en un circuit electric, per ella hi circula un cor-rent d’aigua que al xocar amb les pales de la turbina perd partde la sevaenergia, a l’igual que passa amb els electrons en la resistencia electrica.El cabalQ i la diferencia de pressions sobre la turbina∆p actuen coma equivalents del corrent electric i la diferencia de potencial en aquestacomparacio. D’aquesta forma podem escriure l’equivalenta la llei d’Ohm(Equacio G.2) en el cas hidrodinamic.

∆p = RHQ (8.6)

on hem expressat perRH la resistencia hidrodinamica de la turbina. En laFigura 8.2 podem veure que en la part posterior de la turbina la pressio esl’atmosfericap0 mentre que en la part davantera la pressio es igual segonsl’equacio de Bernoulli a l’atmosferica mes la hidrostatica. Aixo ens donauna diferencia de pressions de

∆p = (p0 + ρqh)− p0 = ρgh (8.7)

La potencia d’un dispositiu per el qual hi circula un cabal la trobem atraves de la relacio

P = ∆pQ = (ρgh)Q, (8.8)

que es la mateixa expressio (9.3) obtinguda anteriorment. La diferenciaconceptual radica en el fet que la forca real que mou les turbines es lapressio hidrostatica i no l’energia cinetica provinentde la caiguda lliurede l’aigua.

Aquest esquema ajuda a entendre una mica millor les centralsanteriormentanomenades en la seccio comde corrent. El que fan aquestes centrals noes tan sols posar una turbina dins l’aigua, sino que forcenaquesta a passarper ella. Aixo tan sols ho poden fer acumulant una mica l’aigua a la partalta fins que tingui la pressio necessaria com per poder passar a traves dela turbina de resistenciaRH . La diferencia essencial en aquest tipus deconstruccions es que l’embassament es molt petit, arribant a acumular justl’aigua que necessiten per generar la potencia desitjada.


Suposem un riu mitja amb un cabal d’uns 1 m3/s. Calculem a quina alturas’hauria d’acumular l’aigua per generar una potencia de 10MW. Amb elcabal que tenim, la pressio hauria de ser

∆p =P

Q=

10 · 1061 · 1000 = 10000 Pa. (8.9)

Si aquesta pressio ha de provenir de la pressio hidrostatica del miniembas-sament posterior, l’altura que ha de tenir aquest es de

h =∆p

ρg=

10000

1000 · 9.8 = 1.02 m (8.10)

Cabal fix i cabal variable

Tant en el cas d’una central de corrent com en una d’embassament podemutilitzar l’equacio (9.5); el calcul del cabal pero, sera diferent en els doscasos. En una central on teoricament no hi ha embassament d’aigua elcabal que hi passa ve donat pel mateix cabal del riu. En una central d’am-bassament, en canvi, el cabal es pot controlar a voluntat deixant passarmes o menys quantitat d’aigua. El calcul es pot fer considerant l’equaciode continuitat d’un flux (Equacio C.1):

Q = ρAv (8.11)

onρ es la densitat de l’aigua,A es la seccio del conducte iv la velocitat delfluid en el moment de travessar la turbina. L’aigua es far passar a travesd’un conducte pel qual se la condueix cap a la turbina. Aquestconducte faaccelerar l’aigua degut a una diferencia d’alcadesh; aplicant conservaciode l’energia i sense tenir en compte els fregaments trobem que

mgh =1

2mv2 ⇒ v =

√

2gh (8.12)

Ara podem introduir aquesta expressio dins de l’equacio pel cabalQ i dela potencia per a acabar obtenint

P = ηρA√

2ghgh = ηρA√

2g3h3 (8.13)

que es la formula que ens permet fer el calcul de la potencia de la central.Podem ara agafar les dades d’una central real per tal de fer elcalcul. Perexemple, pel cas de la central del Panta de Mequinenza (situat tambe alcurs del riu Ebre) tenim en promigh = 45 m (Figura 8.2) i un rendimentdel 75% (es a dir,η = 0.75). De forma aproximada podem suposar que

8.2. CAPACITAT HIDROELECTRICA D’UNA CONCA 117

la superfıcie del conducte de les turbines per on cau l’aigua es deA = 30m2. Amb tot aixo, el valor de la potencia que surt es

P = 0.75 · 1000 · 30 ·√2 · 9.83453 = 295 · 106 W (8.14)

valor que es forca proper al valor nominal de la central, que esta teoricamentestipulat en324 MW.

Si la central no fos d’embassament sino que fos una central de corrent elcalcul s’hauria de fer considerant el valor del cabal del riu Ebre. En el seupas per Mequinenza el cabal promig de l’Ebre es aproximadament d’uns400.000 Kg/s. Amb aixo trobarıem

P = ηQgh = 0.75 · 400.000 · 9.8 · 45 = 132 · 106 W (8.15)

que es un valor inferior a l’anterior (menys de la meitat). Hem de teniren compte que en una central d’embassament la potencia es superior per-que podem deixar anar l’aigua de cop quan ens interessa, pero l’energiatotal que es pot obtenir en els dos casos ha de ser evidentmentla mateixa(perque la quantitat d’aigua disponible al llarg de l’any ´es la mateixa). Pertant, la central d’embassament no pot funcionar totes les hores de l’any ala seva maxima potencia (aixo voldria dir que deixa anar l’aigua a un ritmemes rapid que el ritme al qual l’aigua li arriba del riu, i hauria un momenten que l’aigua s’exhauriria), pero aixo a la practica noes un problema ex-cessiu ja que la demanda energetica no es la mateixa duranttot el dia nitot l’any.

8.2 Capacitat hidroelectrica d’una conca

Amb el conceptes d’energia potencial gravitatoria i pensant una mica coml’aigua de les plujes va a parar finalment al riu, es possibleavaluar lacapacitat hidroelectrica teorica d’un territori. Definim aquesta magnitudcom la potencia maxima que podriem obtenir de la conca d’unriu si laomplıssim al maxim de centrals hidroelectriques. Per tal d’entendre elconcepte plantejarem un exemple concret. Calcularem quinaes la capaci-tat hidroelectrica maxima del riu Ebre al llarg de tot el seu recorregut.

Hem vist en l’equacio (9.3) com la potencia depen del cabal i l’alcada dela central, aixı doncs per calcular la capacitat hidroelectrica necessitaremel cabal i l’alcada mitjana del riu.

Per obtenir el cabal, primer de tot necessitem coneixer l’´ındex de pluvio-metria per saber quina quantitat d’aigua de pluja rep el riu.Aquı neces-sitem fer una primera hipotesi per diversos motius ja que noa totes les


zones per on passa l’Ebre la pluviometria es la mateixa i a més la variacioestacional tambe es important. Nosaltres, per obtenir unvalor aproximatde referencia, considerarem el valor mitja de pluviometria anual per a lazona Nord d’Espanya, que es dep = 600 l/m2. La conca de l’Ebre (esa dir, la superfıcie total del territori que aporta aigua a nivell de terra odel subsol a l’Ebre) es d’uns86.000 Km2. Aixo ens dona un volum anuald’aigua de pluja caiguda de

Vp = ρpA = 1 · 600 · 86.000 · 106 = 5.16 · 1016 l (8.16)

Hem de tenir en compte que no tota aquesta aigua acabara en elriu. Partd’aquesta sera absorbida pel subsol i la vegetacio, parts’evaporara i tansols una fraccio de la pluja inicial finalment arribara al riu. Al valor queindica la fraccio de l’aigua que acaba formant el riu se l’anomenta ındexd’escortrentia i pel cas de l’Ebre una assumpcio raonable és suposar queaquest valor es dee = 0.30. Amb tot aixo tenim que l’Ebre anualment repun aport mitja de

Vr = Vp · e = 5.16 · 1013 · 0.3 = 1.55 · 1013 l (8.17)

que es la quantitat d’aigua que circula pel riu, disponibleper a obtenirenergia. Si volem saber el cabal, hem de dividir aquesta quantitat entre eltemps en el qual circula, que en el nostre cas es un any

Q =Vr

∆t=

5.16 · 1013365 · 24 · 3600 = 1.55 · 106 l

s= 477

m3

s(8.18)

A efectes del calcul ens trobem amb el problema que no tot aquest cabalentra a formar part del riu en el mateix lloc, sino que ho va fent al llarg detot el seu recorregut. Per tal de solucionar-ho farem la hipòtesi que l’aiguaentra al riu al principi i el seu cabal es el mateix en qualsevol punt del seurecorregut.

En segon terme necessitem el valor de l’alcada a la qual aquesta aiguas’incorpora al riu per tal del determinar la seva energia potencial. El va-lor mig de l’alcada〈h〉 es pot estimar de forma molt simplificada comel promig entre l’alcada al naixement del riu (en el cas de l’Ebre aquestneix a Cantabria, a una alcada de880 metres per sobre del nivell delmar) i l’alcada en la desembocadura (nivell del mar). Per tant trobemque〈h〉 = 440 m. Aixı doncs, la potencia promig resulta ser

〈P 〉 = 477 · 1000 · 9.8 · 440 = 2.1 · 109 W = 2.1 GW (8.19)

Tot i tractar-se d’un calcul molt aproximat, aquest valor no es tan diferentdel valor de4.6 · 109 W estimat mitjancant estudis sofisticats per part del

8.3. SISTEMES D’INTEGRACIO EN LA DEMANDA ENERGETICA 119

IDAE (Instituto para la Diversificacion y Ahorro de la Energıa de Espana).Aquesta potencia equival a la potencia de sis grans centrals termiques, omes o menys a la potencia mitjana del consum electric de tota Catalunya.

Obviament la quantitat d’energia hidroelectrica que a la practica es pot ob-tenir es forca inferior a aquest valor maxim teoric. Hemde tenir en compteque no podem col.locar preses o altres sistemes per a l’aprofitament de l’e-nergia en qualsevol punt del riu. Per exemple, en el tram inicial del riu laquantitat d’aigua que porta es petita i a mes passa per zones muntanyoses,de manera que no seria eficient aprofitar aquesta energia; aixo ens donauna part de les perdues. Tambe acostuma a ser complicat instal.lar cen-trals hidroelectriques massa a prop de la desembocadura, on el desnivellacostuma a ser petit, de manera que l’ultim tram del recorregut on el cabales molt gran tambe es perd. Per tal de fer-nos una idea, hem de pensar quepel cas de l’Ebre hi ha estudis que diuen que la potencia realment aprofita-ble des d’un punt de vista tecnologic, ja tenint en compte aquestes perduesi altres similars es nomes el 40% respecte del maxim teoric.

8.3 Sistemes d’integracio en la demandaenergetica

Un dels grans desavantatges de la majoria de sistemes de generacio d’ener-gia a gran escala (centrals termiques, centrals nuclears...) es la dificultatque aquests tenen per tal d’adaptar-se a la demanda energetica de la so-cietat. Els consums augmenten molt durant el dia i baixen durant la nit,pero en molts casos les centrals es veuen obligades a continuar treballanta potencies elevades fins i tot en moments de demanda baixa jaque tec-nologicament no estan pensades per poder treballar a qualsevol potencia opoder variar el seu regim de funcionament de manera rapida. Les centralshidroelectriques son una de les solucions mes habitualsa aquest problema,ja que permeten un emmagatzematge senzill i rapid de l’energia sobrant.

Aquest es el principi de funcionament de les anomenadascentrals de bom-beig. Durant el dia aquestes centrals poden generar energia com qualsevolaltra central, pero durant la nit consumeixen l’energia sobrant d’altres cen-trals bombejant aigua de nou cap a l’embassament. D’aquestamanera seli pot donar una ’sortida’ a l’energia excedent i aquesta s’aprofita per a ge-nerar nova energia a posteriori en la central hidroelectrica. Evidentment,l’unic aspect negatiu d’aixo es que durant tot el procesde transport de l’e-nergia i de bombeig es produeixen tambe perdues, i per tantla recuperaciode l’energia no es completa.


Figura 8.3: Esquema d’una central hidroelectrica de bombeig. A l’esquerra es representa el funcionamentnormal, a la dreta, el funcionament invers que algunes centrals utilitzen per estalviar l’energiaexcedent d’algunes centrals termiques.

Per exemple, imaginem una central termica de 800 MW que durant la nitnomes pot reduir el seu ritme de treball al 50% (per tant, a una potenciade 400 MW). En canvi, la demanda energetica que te aquesta central (delconsum domestic, industrial, etc) durant la nit es nomesde 250 MW. Siaprofitem el sobrant (150 MW) per a bombejar aigua a la central hidro-electrica, quants litres podrem recuperar? Com que el que volem es elevarl’alcada d’una massa d’aigua necessitem donar-li energia(amb les bom-bes) per tal de concedir-li energia potencial gravitatoria. es a dir

mgh = ηE ⇒ m =ηE

gh(8.20)

onE es l’energia sobrant de la cantral iη es el rendiment de les bombes(que ens dona la fraccio deE que finalment es convertira en energia poten-cial). Si suposem que hi ha 8 hores de nit on estem reaprofitantl’energia,el valor d’aquesta sera

E = P∆t = 150 · 106 · 8 · 3600 = 4.32 · 1012 J. (8.21)

Aixo ens porta a que la massa d’aigua que podem bombejar (imaginemque el rendiment de les bombes es del 60% i que l’alcada per tal de portarl’aigua de nou a l’embassament sonh = 30 metres) durant la nit es

m =0.6 · 4.32 · 1012

9.8 · 30 = 8.8 · 109 Kg, (8.22)

que son uns 8.8 hm3 d’aigua. Tambe podem calcular l’energia reaprofitada(la que tornara a la xarxa electrica). Aquesta es igual a l’energiaE queens arriba de la termica, descomptant les perdues a les bombes (que son

8.4. EFECTES AMBIENTALS DE LES CENTRALS HIDROELECTRIQUES 121

el 40%) i les perdues a la central hidroelectrica en el moment de generarenergia una altra vegada (si el rendiment de la central es del 75%, lesperdues son del 25%). Per tant ens queda

Eaprof = 0.6 · 0.75 · 4.32 · 1012 = 1.94 · 1012 J (8.23)

8.4 Efectes ambientals de les centralshidroelectriques

Tot i que en general s’associen les energies renovables amb el concepted’energia neta, es a dir, amb sistemes que no perjudiquen elmedi ambi-ent, aquesta idea dista molt de ser certa a la practica. En elcas de lescentrals hidroelectriques, en particular, la seva instal.lacio representa unscerts riscos ambientals que no son en absolut menyspreables. En primerlloc, la construccio de grans presses i pantans fa necessari alterar fortamentel curs dels rius i la dinamica habitual dels ecosistemes dela zona, amb elsubsequent desplacament o desaparicio de moltes especies biologiques. Ames, existeix un altre fenomen forca menys conegut pero sobre el qual hanalertat ja en els darrers anys diferents organitzacions internacionals. Estracta del fet que, degut a la inundacio de moltes zones riques en materiaorganica, els organismes deixen de poder realitzar molts dels processosaerobics (amb presencia d’oxigen) que portarien a terme en condicionsnormals. Enlloc d’aixo, es produeixen degradacions de tipus anaerobic, laqual cosa comporta l’emissio de meta (CH4) que es un dels gasos mes per-judicials pel que fa a l’efecte hivernacle. La quantitat d’aquestes emissionsdepen de diferents factors (sobretot del tipus de vegetaci´o i els parametresclimatics), sense que es coneguin encara els detalls dels mecanismes cor-responents. Fins i tot s’han arribat a detectar casos on les emissions permeta d’una central hidroelectrica superen l’efecte hivernacle que tindriauna central termica que produıs la mateixa quantitat d’energia, tot i queaquests son casos extrems i en promig les emissions acostumen a ser forcainferiors.

8.5 Centrals mareomotrius

Una altra estrategia que ens permet obtenir energia del moviment de l’ai-gua es l’aprofitament de les marees. Tal com hem fet pel cas deles centralshidroelectriques, el nostre primer objectiu es el d’establir quin es el valorteoric maxim d’energia o potencia que aquest tipus de recurs ens pot ofe-rir. Per a fer aixo hem d’utilitzar el fet que l’origen de lesmarees es troba


en la influencia gravitatoria que te Lluna i en menor mesura el Sol sobrela Terra. El fenomen queda graficament reflexat en la Figura 8.4, on s’a-precia com el nivell de l’aigua dels oceans variara en funcio de la posiciode La Lluna degut a aquest fenomen gravitatori.

El calcul que presentem a continuacio no es del tot realista pero ens donala idea de com es podria fer per a arribar a una estimacio de l’energia asso-ciada a l’efecte de les marees. Observem el dibuix de la Figura 8.4; el punton l’alcada del nivell d’aigua esh1 representa un punt de pleamar (mareaalta) i el punt amb una alcada de nivellh2 representa un punt de mareabaixa. El nostre objectiu es arribar a determinar el valor de la diferenciah1 − h2 per a determinar la diferencia d’energia potencial entre els dospunts. Per a fer-ho partirem de la hipotesi de que el sistemadel dibuixesta en equilibri, es a dir, les masses d’aigua oceaniques s’han desplacatja d’una zona a una altra del planeta i s’ha arribat a una situacio on elsvalors deh1 i h2 es mantenen aproximadament constants. D’acord ambaixo podem suposar que la superfıcie de l’ocea es una lınea equipotencial,la qual cosa vol dir que tots els punts d’aquesta superfıcietenen un mateixvalor d’energia potencial gravitatoria. Com que l’energia total es la sumade l’energia potencial provocada per la Terra i la provocadaper La Llunatindrem

GMTm

RT + h1+

GMLm

d− RT − h1=

GMTm

RT + h2+

GMLm

d+RT + h2(8.24)

on la part esquerra de la igualtat es l’energia potencial enel punt on elnivell de l’ocea esh1, i i la part dreta es l’energia potencial en el punt onel nivell esh2. Com es pot intuir,MT i ML representen la massa de LaTerra i de La Lluna respectivament,RT es el radi de La Terra id es ladistancia del centre de La Terra al centre de La Lluna. Si eliminem elsfactors comuns de l’equacio i deixem els termes que depenendeMT a uncostat i els que depenen deML a l’altre obtenim

MT

(

1

RT + h1

− 1

RT + h2

)

= ML

(

1

d+RT + h2

− 1

d− RT − h1

)

(8.25)Ara, fent les sumes de fraccions corresponents s’arriba a

MTh2 − h1

(RT + h1) (RT + h2)= ML

2RT − h2 − h1

(d+RT + h2) (d−RT − h1)(8.26)

Com que sabem queh1≪RT≪d (i el mateix passa perh2) podem simpli-ficar alguns dels termes d’aquesta expressio, per arribar a

MTh2 − h1

R2T

= ML2RT

d2(8.27)

8.5. CENTRALS MAREOMOTRIUS 123

i aixı trobem una expressio aproximada per la diferenciaentre la mareaalta i la baixa:

h2 − h1 = 2ML

MT

R3T

d2(8.28)

Figura 8.4: Les marees son l’efecte de la redistribucio dela superfıcie del mar quan s’equilibra entre lesenergies potencials gravitatories produides per la Terrai la Lluna alhora.

Si substituim en aquesta expressio els valors corresponents (MT = 6 ·1024Kg; ML = 7 · 1022 Kg; RT = 6.4 · 106 m; d = 3.8 · 108 m) obtenim unvalor deh2 − h1 = 42.3 metres. Per tant, veiem que el valor que surt essignificativament mes gran que els valors de les marees reals, que com amaxim solen assolir10 o 15 metres. El motiu d’aixo es que en realitat ales marees no s’acaba d’assolir mai la situacio d’equilibri que hem suposatal comencament, i a mes intervenen altres factors que atenuen l’efectea la practica. No obstant, agafant el nostre valor com a maxim teoricpodem calcular l’energia maxima disponible de les marees.Per a fer aixosimplement fem servir l’energia potencial gravitatoria de l’ocea, que esE = mgh. La variacio d’energia potencial entre el punt de marea baixa iel de marea alta, doncs, sera

∆E = mg (h2 − h1) (8.29)

Podem ara substituir aquı la diferencia d’alcades que hem deduit i agafarcom a valor dem la metitat de la massa total d’aigua de l’ocea (aixo esperque, tal i com es veu a la Figura 8.4, hi ha punts de l’oceaque no estandirectament encarats a La Lluna i on l’efecte es doncs molt mes petit,


per la qual cosa aquestes masses d’aigua no s’han de comptar;en generalconsiderar que nomes la meitat de l’ocea es veu afectat esuna hipotesiraonable). Com que la massa total de l’ocea es de1.3 · 1018 Kg, arribem a

∆E =1.3 · 1018

2· 9.8 · 42.3 = 2.69 · 1020 J (8.30)

i com que aquesta quantitat d’energia pot obtenir-se cada 12hores (hi hadues marees altes cada dia) obtenim la potencia corresponent, que es de

P =∆E

∆t=

2.69 · 102012 · 3600 = 6.2 · 1015 W, (8.31)

es a dir, un valor varies vegades superior a la potencia consumida a nivellmundial. obviament, pero, aquests numeros representennomes un calculteoric; com ja hem dit les marees a la realitat son forca menors i, a mes, elseu aprofitament es molt complicat si no es en punts a prop dela costa.

Tipus de centrals mareomotrius

En aquest apartat volem mostrar els dos tipus de centrals mareometriusmes esteses, les anomenades degeneracio en pleamari les d’inundacio.En el primer dels casos, que es possiblement el mes habitual, es deixaque quan la marea puja l’aigua pugui entrar en una zona on posteriormentpodrem tancar les comportes i l’aigua quedara embassada (Figura 8.5).D’aquesta manera quan el nivell del mar baixi, el nivell a la zona tancadasera mes elevat i aprofitarem en aquell moment per deixar escapar micaen mica l’aigua i fer-la passar per les turbines, com en les centrals hidro-electriques, per tal de generar electricitat.

En les centrals per inundacio (Figura 8.5), en canvi, el quees fa es apro-fitar el perıode en que el nivell del mar puja i, quan aquest nivell arriba al’alcada d’una certa comporta, l’aigua hi pot travessar i arriba a la zona onestan situades les turbines, generant-se l’energia en aquell mateix moment.

L’energia total que poden generar cadascun dels dos tipus decentrals esforca senzill de calcular. Pel cas d’una central de generacio en pleamar su-posem que el recinte on tanquem l’aigua te una superfıcie de200 Km2 (toti semblar un valor gran, es forea representatiu del tamanyque tenen aques-tes instal·lacions). Si amb marea alta el nivell del mar pujauna alcada de4 metres, tenim que la massa d’aigua embassada pot arribar a ser de

m = ρV = 1000 · 4 · 200 · 106 = 8 · 1011 Kg (8.32)

8.5. CENTRALS MAREOMOTRIUS 125

Figura 8.5: Esquema de funcionament d’una central mareomotriu.

i d’aquesta manera trobem l’energia que pot generar en cada marea lacentral, que prove del calcul de l’energia potencial de l’aigua embassada(afegint el rendimentη per a tenir en compte les possibles perdues)

E = ηmgh (8.33)

Si agafem un rendiment tıpic (75%, com en el cas de les hidroelectriques)i agafem el valor promig de l’aleada (si el nivell maxim era4 metres, elpromig serah = 2 m) obtenim el valor per l’energia:

E = 0.75 · 8 · 1011 · 9.8 · 2 = 1.2 · 1013 J (8.34)

i aixo suposa una potencia promig de

P =E

∆t=

1.2 · 101312 · 3600 = 277 · 106 W (8.35)

Fixem-nos en el fet que com mes gran sigui l’aleada de la marea mesgran es la massa d’aigua emmagatzemada, a mes del fet que l’alcada ja


apareix en la formula de l’energia potencial. Aixo fa que s’acompleixi lallei d’escala

E ∼ mh ∼ h2 (8.36)

de manera que la dependencia en el recurs es molt forta (si el nivell de lamarea es fa dues vegades mes gran, l’energia generada es multiplica perquatre).

Finalment, en el cas d’una central d’inundacio tenim l’avantatge de que nonecessitem embassar l’aigua (la qual cosa simplifica en partla instal·laciorequerida) i a mes en aquest cas l’energia no es produira enels mateixosmoment del dia (es generara quan el nivell del mar sigui alt,al contrari queen les centrals de generacio en pleamar). A banda d’aquestsdetalls tecnics,pero, l’energia generada (i per tant la potencia promig) es calcularien dela mateixa manera que hem fet pel cas anterior.

8.6 Exercicis

a) Disposem d’un diposit d’aigua cilındric de 5 m d’alcada i 1 m de radiple d’aigua situat dalt d’un edifici de 150 m d’alcada

i. Calcula l’energia potencial gravitatoria que te l’aigua del dipositrespecte de la base de l’edifici

ii. Si deixem anar l’aigua a un ritme de 1 l/s, quina potenciaob-tindrıem

iii. Durant quanta estona podriem generar electricitat a traves d’a-quest mecanisme

b) Per tal de comprovar l’equacio de Bernoulli resulta forc¸a descrip-tiu realitzar el seguent experiment. Agafeu una ampolla d’aigua irealitzeu una perforacio a prop de la seva base. Ompliu-la d’aiguaintentant que l’aigua no s’escapi pel forat posant-hi el dit. Calculeul’alcada del nivell d’aigua respecte del forat practicat.Poseu l’am-polla a sobre d’una taula.

i. A quina velocitat sortira del forat l’aigua?

ii. A quina distancia de la taula haurem de posar un got per tal derecollir l’aigua que surti del forat?

c) Central hidroel ectrica. El panta de Mequinensa, amb una capacitatde 1533 hm3, es el panta mes gran de Catalunya amb capacitat degeneracio hidroelectrica. La presa te una altura de 81 m.El caudalmitja del riu Ebre es de 450 m3/s. Amb aquestes dades calcula.

8.6. EXERCICIS 127

i. Si partim de l’embassament buit, quants dies trigarıem en omplir-lo si no deixessim passar gens d’aigua depres de l’embassament?

ii. Quanta energia potencial gravitatoria podem tenir enmagatze-mada en el panta com a maxim?

iii. Si fem servir tan sols aquest embassament per donar servei electrica la ciutat de Barcelona, amb una demanda de potencia de 0.5MW, quant de temps d’autonomia tindrıem i quin cabal d’aiguahauriem d’alliberar?

iv. Si deixem passar el cabal mitja, quina potencia podem obtenir?En aquest cas, que passaria amb el nivell d’aigua?

v. Fem servir aquest panta per emmagatzemar l’energia provinentde la central nuclear de Vandellos II, amb una potencia el`ectricade 1GW. Si el rendiment dels motors de bombeig es del 50%,durant quants dies podriem bombejar aigua per tal d’emmagat-zemar tota aquesta energia?

d) Influ encia del Sol en les mareesCalculeu l’alcada de les mareesh2−h1 que provoca la influencia gravitatoria del Sol sobre La Terra,tenint en compte que la massa del Sol es2 · 1030 Kg i la distanciadel Sol a La Terra es d’uns 150 millions de quilometres. (Nota: feuservir la formula deduıda en l’Apartat??) Deduiu quin percentatgede les marees es degut a l’efecte lunar i quin a l’efecte del Sol.

e) Central mareomotriu La central mareomotriu de Incheon (Coreadel Sud) te una superfıcies de 158 km2. L’altura maxima a la que potarribar la marea en aquella zona es de 7.4 m. Calcula

i. Quanta aigua pot emmagatzemar la construccio just en el puntde marea alta?

ii. Quanta energia potencial gravitatoria enmagatzema tota aquestaaigua si considerem que quan la deixem anar aquesta cau desd’una altura mitjana de 3.7 m (just la meitat de l’altura de lamarea)?

iii. Quina potencia maxima podem obtenir si deixem anar aquestaaigua en el periode de baixamar (6 hores)?

iv. Quanta aigua pot emmagatzemar la marea just en el punt de ma-rea alta?

v. Quanta energia potencial gravitatoria emmagatzema tota aquestaaigua si considerem que quan la deixem anar aquesta cau desd’una altura mitjana de 3.7 m (just la meitat de l’altura de lamarea)?


vi. Quina potencia maxima podem obtenir si deixem anar aquestaaigua en el periode de baixamar (6 hores)?

f) Potencia de la pluja. Imaginem que a algu se li acudıs posar enmarxa un sistema de generacio d’energia hidroelectrica que aprofitesno el salt d’aigua d’un riu sino l’aigua que directament caude la plu-ja. Obviament el sistema seria poc rendible perque la disponibilitatde pluja al llarg de l’any es petita, pero potser en moment de plujaintensa el sistema podria donar nivells acceptables d’energia.

i. Si les gotes de pluja es troben inicialment a l’atmosfera a1.500metres d’alcada, quanta energia potencial gravitatoriate dispo-nible cada litre d’aigua?

ii. Si les gotes caiguessin des de l’alcada de l’apartat anterior sensefregament, l’energia potencial s’aniria transformant en cineticadurant la caiguda. Quina velocitat tindrien les gotes en arribar aterra?

iii. Si fem el calcul realista i tenim en compte el fregamentde la gotaamb l’aire, aquesta assolira de seguida una velocitat de caigudaconstant. En aquesta situacio voldra dir que hi ha un equilibrientre les forces que empenyen cap avall (pes) i les que actuencap a dalt (forca d’Arquımedes i fregament). Calculeu aixı elvalor de la forca de fregament corresponent a una gota de 0,5cm de radi.

iv. Si la forca de fregament de la gota amb l’aire segueix l’expressioF = 5v2, trobeu el valor de la velocitatv de la gota i compareuamb el resultat obtingut abans sense fregament.

v. Determineu amb les dades anteriors el cabal d’aigua que causobre la turbina, si aquesta te un area de 10 m2 vista des d’adalti en cada metre quadrat cauen 10 gotes cada segon.

vi. Quina potencia generarem a la turbina si el seu rendiment enaquestes condicions es del 20% (el rendiment d’una turbinaober-ta es forca menor que el de les turbines tancades, en les qualsl’aigua omple tot el conducte).

vii. Si aconseguıssim, mitjancant un sistema de canalitzacions, fercaure sobre la turbina tota l’aigua de pluja corresponent a 100m2, quina seria ara la potencia que obtindrıem?

g) Es viable subsituir una central nuclear com la de VandellosII (1.080MW de potencia) amb energia hidroelectrica o mareomotriu? Fem-ne els calculs:

8.6. EXERCICIS 129

i. Suposant un rendiment hidroelectric del 75%, quin cabald’ai-gua necessitarıem per a subministrar la mateixa potenciade lacentral de Vandellos II, si tinguessim un salt d’aigua de 10me-tres? I si el salt fos de 20 metres?

ii. Feu un grafic del cabal necessari en funcio de l’alcada del salt.

iii. L’Ebre, que es el riu mes gran proper a Vandellos II, te en aquellazona un cabal mig de 9.000 hm3/any. Quina alcada necessitemper a generar la potencia desitjada?Es aixo viable?

iv. Tenint en compte que les marees al mediterrani son petites (aga-fem com a valor de referencia 1 metre) i agafant de nou un ren-diment del 75%, quin volum d’aigua de mar es necessari tancarper a aconseguir la mateixa potencia que la central nuclear?

v. Quants km2 de superfıcie del mar representa el volum de l’apar-tat anterior? Seria, doncs, viable la idea?

CAPITOL 9Energıa hidroelectrica y

mareomotriz

Los sistemas de generacion de energıa basados en el aprovechamiento delmovimiento de grandes masas de agua y su posterior transformacion enenergıa electrica representan actualmente la sexta parte de la electricidadgenerada en el mundo, y el 90 % respecto del total de las energ´ıas renova-bles.

En este capıtulo desarrollaremos las ideas esenciales a lahora de evaluarlos recursos hidroelectricos naturales de que puede disponer un territorio,tanto en el caso de que el aprovechamiento se haga a nivel del agua delos rıos (la cual, fundamentalmente, proviene de las precipitaciones at-mosfericas) como en el caso del oceano (aprovechando el movimiento delas mareas).

9.1 Centrales hidroelectricas

Las centrales hidroelectricas, como es bien sabido, aprovechan los saltosde agua existentes en las corrientes de agua, bien sean de origen naturalo, en la mayorıa de casos, artificiales creados por el hombremediante laconstruccion de presas. Como se trata de un fenomeno asociado a la gra-vedad partiremos del hecho de que que la energıa se encuentra almacenadaen el agua en forma de energıa potencial gravitatoria.

131

132 CAPITOL 9. ENERGIA HIDROELECTRICA Y MAREOMOTRIZ

Fuente de energıa

La variacion de energıaDeltaE asociada a una masa de aguam que caepor un salto de alturah es

δE = mgh. (9.1)

dondeg = 9.8 m / s2 es la aceleracion de la gravedad. Como a la hora dehablar de embalse o de caudales de rıos es mas habitual hablar de volumende aguaV que de masa, se acostumbra a sustituir esta porm = rhoV enla ultima expresion para obtener el equivalente

δE = ρV gh (9.2)

dondeρ es la densidad del agua (1000 kg / m3). La expresion (9.2) nos in-dica cuanta energıa podemos obtener de un salto de agua, pero no nos dicenada de la velocidad a la que podemos hacerlo. Debemos tener en cuentaque a efectos de central energetica lo que resulta realmente interesante eseste valor, ya que en ultima instancia nos indica la capacidad de la misma.A nivel fısico esto corresponde a obtener la potencia, o sea, la energıa porunidad de tiempo

P =δE

δt=

V ρgh

δt= Qρgh, (9.3)

donde hemos definido el caudalQ como

Q =Vr

δt(9.4)

que es el agua que cae expresada como volumen por unidad de tiempoδt.

Vemos pues de la ecuacion (9.3) que la potencia que podemos obtenerde una central hidroelectrica depende de dos variables, elcaudalQ quecircula por la presa que sera proporcional al caudal del rıo, y el alturahde la presa. Las otras dos (ρ y g) son constantes y por tanto no podemosvariarlas. Esta expresion nos dice que construir centrales sera posible enrıos caudalosos y en puntos donde se pueda construir un gransalto de agua.Este es el motivo por el que se situan en las gargantas de rıos medianos ograndes.

Tipos de centrales hidroelectricas

Aunque el esquema general de las centrales hidroelectricas es siempre bas-tante similar (Figura 9.2), existe una distincion entre las llamadas centralesde corrientey las centralesde embalse. Las centrales de corriente aprovec-han la energıa del agua sin que esta se acumule excesivamente en ningun

9.1. CENTRALES HIDROELECTRICAS 133

Figura 9.1: Una central hidroelectrica aprovecha la diferencia de alturas del agua que se produce en unembalse

momento. Este tipo de centrales tienen una instalacion relativamente sen-cilla y por lo tanto se usan en lugares donde existe una corriente rapida deagua pero donde por determinados motivos (bajo caudal, inaccesibilidad...) no es posible hacer instalaciones mas grandes. Las centrales de embal-se (que son mas habituales), por el contrario, retienen el agua en un ciertolugar mediante presas o muros de contencion y la dejan escapar poco apoco cuando la demanda energetica ası lo requiere.

La potencia de los dos tipos de centrales puede calcularse a partir de lasformulas del apartado anterior. Debemos diferenciar, sinembargo, entre laenergıa teorica presente en forma de energıa potencial (que ya hemos men-cionado antes) y la que realmente obtenemos en forma de energıa electrica.Para saber cuanta energıa electrica podemos generar, debemos multiplicarel valor de la energıa potencial por el rendimientoη de la turbina para te-ner en cuenta las perdidas por rozamiento u otros que se dan en la central.Una parte de esta energıa se desaprovechara y se transformara en calor poraccion de las fuerzas de friccion, y tambien debemos tener en cuenta queel agua despues de pasar por la turbina sigue reteniendo unaparte de laenergıa en forma de energıa cinetica. Ası pues, a partirde 9.3 y conside-


Figura 9.2: Esquema de una central hidroelectrica convencional. En la imagen se indican las presiones conlas que la central trabaja.

rando un rendimientoη la potencia generada valdra

P = ηQρgh. (9.5)

Esquema de una central hidroelectrica

Se suele decir que las centrales hidroelectricas aprovechan la energıa libe-rada por el agua al saltar una altura determinada. Esto pero puede llevar acreer falsamente que el agua en una central se lanza en caıdalibre desdela parte superior hasta que llega al suelo, lo cual no es cierto en la mayorıade casos. Si fuera ası las centrales solo podrıan generarenergıa cuandoel nivel del agua estuviera en el punto mas alto de la presa. Ademas, deesa manera perderıamos una parte significativa de esta energıa por causaque al llegar a la turbina no toda el agua incidirıa con el angulo optimo(perpendicular) en las palas de la turbina.

En una central hidroelectrica real la toma de agua se suele hacer por unpunto situado cerca del fondo (no se pone justo en el punto mas bajo paraevitar que los lodos sedimentados difıculten el funcionamiento y ensucienlas turbinas). El hecho de que la toma de agua se encuentre en un puntobajo no disminuye la energıa que obtenemos del agua, ya que la energıaproveniente de la diferencia de alturas entre la acometida yla liberaciondel agua le tenemos que sumar la que proviene de la presion hidrostatica.Como esta presion es justamente el peso del agua que tenemosencima, suexpresion es justamente la misma que la de la energıa potencial gravita-

9.1. CENTRALES HIDROELECTRICAS 135

toria. La diferencia esencial en ambos casos proviene del hecho de queen el punto de entrada, el agua, que esta por debajo del nivelmaximo unaalturah′, no tiene la energıa cinetica equivalente, sino que se encuentraquieta. Es tan solo en el momento de entrar en la tuberıa cuando gana estavelocidad por efecto de la presion hidrostatica.

La turbina

Podemos entender la turbina como el equivalente a una resistencia electricaen un circuito electrico: por ella circula una corriente deagua que al chocarcon las palas de la turbina pierde parte de su energıa, al igual que ocurrecon los electrones cuando se encuentran con una resistenciaelectrica. ElcaudalQ y la diferencia de presiones sobre la turbina∆p actuan comoequivalentes de la corriente electrica y la diferencia de potencial del cir-cuito en esta comparacion. De esta forma podemos escribir el equivalentea la ley de Ohm (Ecuacion ref lleiohm) en el caso hidrodinamico:

δp = RHQ (9.6)

donde hemos expresado porRH la resistencia hidrodinamica de la turbina.En la Figura 9.2 podemos ver que en la parte posterior de la turbina lapresion es la atmosfericap0 mientras que en la parte delantera la presion esigual, segun la ecuacion de Bernoulli, a la atmosferica mas la hidrostatica.Esto nos da una diferencia de presiones de

δp = (p0 + ρqh)− p0 = ρgh (9.7)

La potencia correspondiente a la corriente la encontramos atraves de larelacion

P = δpQ = (ρgh)Q, (9.8)

que es la misma expresion (9.3) obtenida anteriormente. Ladiferenciaconceptual radica en el hecho de que la fuerza real que mueve las turbinases la presion hidrostatica y no la energıa cinetica proveniente de la caıdalibre del agua.

Este esquema ayuda a entender un poco mejor las centralesde corrienteanteriormente mencionadas. Lo que hacen estas centrales noes solo poneruna turbina en el agua, sino que fuerzan esta a pasar por ella. Esto sololo pueden hacer acumulando un poco del agua en la parte alta hasta quetenga la presion necesaria como para poder pasar a traves de la turbinade resistenciaRH . La diferencia esencial en este tipo de construcciones


es que el embalse es muy pequeno, acumulando unicamente elagua quenecesitan para generar la potencia deseada.

Como ejemplo, supongamos un rıo medio con un caudal de 1 m3 / s. Cal-culamos a que altura deberıa acumular el agua para generaruna potenciade 10 MW. Con el caudal que tenemos la presion deberıa ser

δp =P

Q=

10 · 1061 · 1000 = 10000 Pan. (9.9)

Si esta presion debe provenir de la presion hidrostaticadel pequeno em-balse creado, la altura que debe tener este es de

h =δp

ρg=

10, 000

1000 · 8.9 = 1.02 m (9.10)

Caudal fijo y caudal variable

Tanto en el caso de una central de corriente como en una de embalse pode-mos utilizar la ecuacion (9.5). El modo de calcular el caudal, sin embargo,sera diferente en los dos casos. En una central donde teoricamente no hayembalse de agua el caudal que pasa viene dado por el mismo caudal delrıo. En una central de embalse, en cambio, el caudal se puedecontrolar avoluntad dejando pasar mas o menos cantidad de agua. El calculo se pu-ede hacer considerando la ecuacion de continuidad de un flujo (Ecuacionref lleicontinuitat):

Q = ρAv. (9.11)

dondeρ es la densidad del agua,A es la seccion del conducto yv la ve-locidad del fluido en el momento de atravesar la turbina. El agua se harapasar a traves de un conducto por el que se la conduce hacia a la turbina.Este conducto acelera el agua debido a una diferencia de alturash. Apli-cando conservacion de la energıa y sin tener en cuenta los rozamientosencontramos que

mgh =1

2mv2 → v =

√

2gh (9.12)

Ahora podemos introducir esta expresion dentro de la ecuacion del caudalQ y de la potencia para acabar obteniendo

P = ηρA√

2ghgh = ηρA√

2g3h3 (9.13)

que es la formula que nos permite hacer el calculo para la potencia de lacentral de embalse. Podemos ahora tomar los datos de una central real para

9.2. CAPACIDAD HIDROELECTRICA DE UNA CUENCA 137

mostrar un ejemplo. Para el caso de la central del Pantano de Mequinenza(situado en el curso del rıo Ebro) tenemos en promedioh = 45 m (Figura9.2) y un rendimiento del 75 % (es decir,η = 0.75). De forma aproximadapodemos suponer que la superficie total de los conductos por donde cae elagua es deA = 30 m 2. Con todo ello, el valor de la potencia que sale es

P = 0.75 · 1000 · 30 ·√2 · 9.83453 = 295 · 106 W (9.14)

valor que esta bastante cercano al valor nominal de la central, que estateoricamente estipulado en324 MW.

Si la central no fuera de embalse sino que fuera una central decorriente elcalculo deberıa hacerse considerando el valor del caudaldel rıo Ebro. Ensu paso por Mequinenza el caudal promedio del Ebro es aproximadamentede unos400, 000 Kg / s. Con ello encontrarıamos

P = ηQgh = 0.75 · 400000 · 8.9 · 45 = 132 · 106 W (9.15)

que es un valor inferior a la anterior (menos de la mitad). Debemos teneren cuenta que en una central de embalse la potencia es superior porquepodemos soltar el agua de golpe cuando nos interesa, pero la energıa totalque se puede obtener en ambos casos debe ser evidentemente lamisma(porque la cantidad de agua disponible a lo largo del ano es la misma).Por tanto, la central de embalse no puede funcionar todas lashoras del anoa su maxima potencia (esto querrıa decir que suelta el aguaa un ritmo masrapido del que la recibe, y habrıa un momento en que el agua seagotarıa),pero esto en la practica no es un problema excesivo ya que la demandaenergetica no es la misma durante todo el dıa ni todo el ano.

9.2 Capacidad hidroelectrica de una cuenca

Es tambien posible evaluar la capacidad hidroelectrica teorica de un terri-torio. Definimos esta magnitud como la potencia maxima que podrıamosobtener de la cuenca de un rıo si la llenaramos al maximo decentraleshidroelectricas. Para entender el concepto plantearemosun ejemplo con-creto. Calcularemos cual es la capacidad hidroelectricamaxima del rıoEbro a lo largo de todo su recorrido.

Hemos visto en la ecuacion (9.3) como la potencia depende del caudal y laaltura de la central, de manera que para calcular la capacidad hidroelectricanecesitaremos el caudal y la altura media del rıo.

En primer lugar necesitamos conocer el ındice de pluviometrıa para saberque cantidad de agua de lluvia recibe el rıo. Aquı necesitamos hacer una


primera hipotesis, ya que no en todas las zonas por donde pasa el Ebrola pluviometrıa es la misma y ademas la variacion estacional tambien esimportante. Nosotros, para obtener un valor aproximado de referencia,consideraremos el valor medio de pluviometrıa anual para la zona Nortede Espana, que es dep = 600 l / m 2. La cuenca del Ebro (es decir,la superficie total del territorio que aporta agua a nivel delsuelo o delsubsuelo en el Ebro) es de unos86.000 Km 2. Esto nos da un volumenanual de agua de lluvia de

Vp = ρpA = 1 · 600 · 86000 · 106 = 5.16 · 1016 l (9.16)

Debemos tener en cuenta que no toda el agua terminara en el r´ıo. Parte deesta sera absorbida por el subsuelo y la vegetacion, partese evaporara y tansolo una fraccion de la lluvia inicial finalmente llegaraal rıo. Al valor queindica la fraccion del agua que acaba formando el rıo se el llamado ındicede escorrentıa, y en el caso del Ebro una asuncion razonable es tomar estevalor comoe = 0.30. Con todo esto tenemos que el Ebro anualmenterecibe un aporte medio de

Vr = Vp · e = 16.05 · 1013 · 0.3 = 1.55 · 1013 l, (9.17)

que es la cantidad de agua que circula por el rıo. Si queremossaber elcaudal, tenemos que dividir esta cantidad entre el tiempo, que en nuestrocaso es un ano

Q =Vr

δt=

05 : 16 · 1013365 · 24 · 3600 = 1.55 · 106 l

s= 477

m3

s(9.18)

A efectos del calculo nos encontramos con el problema que notodo es-te caudal entra a formar parte del rıo en el mismo lugar, sinoque lo vahaciendo a lo largo de todo su recorrido. Para solucionarlo haremos lahipotesis de que el agua entra en el rıo al principio y su caudal es el mismoen cualquier punto de su recorrido.

En segundo termino necesitamos el valor de la altura sobre el nivel delmar a la que el agua se incorpora al rıo para poder determinarsu energıapotencial. El valor medio de la alturaleft langleh right rangle se puedeestimar de forma simplificada como el promedio entre la altura al nacimi-ento del rıo (en el caso del Ebro este nace en Cantabria, a unaaltura de880 metros por encima del nivel del mar) y la altura en la desembocadura(nivel del mar). Por lo tanto encontramos que〈h〉 = 440 m. Ası pues, lapotencia promedio resulta ser

〈P 〉 = 477 · 1000 · 8.9 · 440 = 2.1 · 109 W = 2.1 GW (9.19)

9.3. SISTEMAS DE INTEGRACION EN LA DEMANDA ENERGETICA 139

A pesar de tratarse de un calculo muy aproximado, este valorno es tan di-ferente del valor de4.6·109 W estimado mediante estudios sofisticados porparte del IDAE (Instituto para la Diversificacion y Ahorro de la Energıade Espana). Esta potencia equivale a la potencia de seis grandes centralestermicas, o mas o menos a la potencia media del consumo electrico de todaCataluna.

Obviamente la cantidad de energıa hidroelectrica que en la practica se pu-ede obtener es bastante inferior a este valor maximo teorico. Debemostener en cuenta que no podemos colocar presas en cualquier punto del rıo.Por ejemplo, en el tramo inicial del rıo la cantidad de agua que lleva espequena y ademas pasa por zonas montanosas. Tambien suele ser compli-cado instalar centrales hidroelectricas demasiado cercade la desemboca-dura, donde el desnivel suele ser pequeno, de manera que el ´ultimo tramodel recorrido, donde el caudal es muy grande, tambien se pierde. Para ha-cernos una idea, debemos pensar que para el caso del Ebro hay estudiosque dicen que la potencia realmente aprovechable desde un punto de vis-ta tecnologico es solo el 40 % respecto del maximo teorico mencionadoanteriormente.

9.3 Sistemas de integracion en la demandaenergetica

Una de las grandes desventajas de la mayorıa de sistemas de generacionde energıa a gran escala (centrales termicas, centrales nucleares ...) es ladificultad que estos tienen para adaptarse a la demanda energetica de lasociedad. Los consumos aumentan mucho durante el dıa y bajan durantela noche, pero en muchos casos las centrales se ven obligadasa continuartrabajando en potencias elevadas incluso en momentos de demanda baja yaque tecnologicamente no estan pensadas para poder trabajar en cualquierpotencia o poder variar su regimen de funcionamiento de manera rapida.Las centrales hidroelectricas son una de las soluciones m´as habituales aeste problema, ya que permiten un almacenamiento sencillo yrapido de laenergıa sobrante.

Este es el principio en que se basan las llamadas text centrales de bom-beo. Durante el dıa estas centrales pueden generar energıa como cualquierotra central, pero durante la noche consumen la energıa sobrante de otrascentrales bombeando agua de nuevo hacia arriba hasta el embalse. De estamanera se le puede dar una ’salida’ a la energıa excedente y esta se apro-vecha para generar nueva energıaa posteriorien la central hidroelectrica.


Figura 9.3: Esquema de una central hidroelectrica de bombeo. A la izquierda se representa el funcionami-ento normal, a la derecha, el funcionamiento inverso que algunas centrales utilizan para ahorrarla energıa excedente de algunas centrales termicas.

Evidentemente, el unico aspecto negativo de esto es que durante todo elproceso de transporte de la energıa y de bombeo se producen tambienperdidas, y por tanto la recuperacion de la energıa no es completa.

Por ejemplo, imaginemos una central termica de 800 MW que durante lanoche reduce su ritmo de trabajo al 50 % (por tanto, a una potencia de 400MW). Sin embargo, supongamos que la demanda energetica nocturna deesta central (del consumo domestico, industrial, etc) es de solo 250 MW.Si aprovechamos el sobrante (150 MW) para bombear agua a la centralhidroelectrica, ¿cuantos litros podremos recuperar? Necesitamos saberla energıa necesaria para bombear el agua, esto es, la energıa necesariapara vencer la gravedad y elevar el agua (energıa potencial). Lo que seobtiene igualando esta energıa potencial que la energıa que deben hacerlas bombas es

mgh = ηE → m =ηE

gh(9.20)

dondeE es la energıa sobrante de la cantral yeta es el rendimiento de lasbombas (que nos da la fraccion deE que finalmente podemos aprovecharpara elevar el agua). Si suponemos que hay 8 horas de noche durante lascuales reaprovechamos la energıa, el valor de la energıa total sera

E = Pδt = 150 · 106 · 8 · 3600 = 04 : 32 · 1012 J. (9.21)

Esto nos lleva a que la masa de agua que podemos bombear (imaginemosque el rendimiento de las bombas es del 60 % y que la altura que debemoselevar el agus para llevarla de nuevo al embalse es deh = 30 metros)durante la noche es

m =0.6 · 04 : 32 · 1012

8.9 · 30 = 8.8 · 109 Kg, (9.22)

9.4. EFECTOS AMBIENTALES DE LAS CENTRALES HIDROELECTRICAS 141

que son unos 8.8 hm3 de agua. Tambien podemos calcular la energıa rea-provechada (la que retornara a la red electrica). Esta es igual a la energıaE que nos llega de la termica, descontando las perdidas en las bombas(que son el 40 %) y las perdidas en la central hidroelectrica en el momentode generar energıa otra vez (si el rendimiento de la centrales del 75 %, lasperdidas son del 25 %). Por lo tanto nos queda

Eaprov = 0.6 · 0.75 · 04 : 32 · 1012 = 1.94 · 1012 J (9.23)

9.4 Efectos ambientales de las centraleshidroelectricas

Aunque en general se asocian las energıas renovables con elconcepto deenergıa limpia, es decir, con sistemas que no perjudican elmedio ambi-ente, esta idea dista mucho de ser cierta en la practica. En el caso de lascentrales hidroelectricas, en particular, su instalaci´on representa ciertos ri-esgos ambientales que no son en absoluto despreciables. En primer lugar,la construccion de grandes presas y pantanos hace necesario alterar fu-ertemente el curso de los rıos y la dinamica habitual de losecosistemasde la zona, con el subsecuente desplazamiento o desaparici´on de muc-has especies biologicas. Ademas, existe otro fenomeno bastante menosconocido pero sobre el que han alertado ya en los ultimos anos diferentesorganizaciones internacionales. Se trata de que, debido a la inundacion demuchas zonas ricas en materia organica, los organismos dejan de poderrealizar muchos de los procesos aerobicos (con presencia de oxıgeno) quellevarıan a cabo en condiciones normales. En su lugar, se producen degra-daciones de tipo anaerobico, lo que conlleva la emision demetano (CH4)que es uno de los gases de efecto invernadero mas perjudiciales. La canti-dad de estas emisiones depende de diferentes factores (sobre todo del tipode vegetacion y los parametros climaticos), sin que se conozcan aun losdetalles de los mecanismos correspondientes. Incluso se han llegado a de-tectar casos donde las emisiones por metano de una central hidroelectricasuperan el efecto invernadero que tendrıa una central termica que produ-jera la misma cantidad de energıa.

9.5 Centrales mareomotrices

Otra estrategia que nos permite obtener energıa del movimiento del aguaes el aprovechamiento de las mareas. Tal y como hemos hecho para el caso


de las centrales hidroelectricas, nuestro primer objetivo es el de establecercual es el valor teorico maximo de energıa o de potencia que este tipo derecurso nos puede ofrecer. Para hacer esto hemos de utilizarel hecho deque el origen de las mareas se encuentra en la influencia gravitatoria quetiene La Luna (y, en menor medida, el Sol) sobre la Tierra. El fenomenoqueda graficamente reflejado en la Figura 9.4, donde se aprecia como elnivel del agua de los oceanos variara en funcion de la posicion de La Lunadebido a este fenomeno gravitatorio.

El calculo que presentamos a continuacion no es del todo realista, peronos da la idea de como se podrıa hacer para llegar a una estimacion de laenergıa asociada al efecto de las mareas. Observemos el dibujo de la Figu-ra 9.4: el punto donde la altura del nivel de agua esh1 representa un puntode pleamar (marea alta) y el punto con una altura de nivelh2 representa unpunto de marea baja. Nuestro objetivo es llegar a determinarel valor de ladiferenciah1− h2 para determinar la diferencia de energıa potencial entrelos dos puntos. Para hacerlo partiremos de la hipotesis de que el sistemadel dibujo esta en equilibrio, es decir, las masas de agua oceanicas se handesplazado ya de una zona a otra del planeta y ha llegado a una situaciondonde los valores deh1 y h2 se mantienen aproximadamente constantes.De acuerdo con esto podemos suponer que la superficie del oceano es unalınea equipotencial, lo cual quiere decir que todos los puntos de esta su-perficie tienen un mismo valor de energıa potencial gravitatoria. Como laenergıa total es la suma de la energıa potencial provocadapor la Tierra yla provocada por La Luna tendremos

GMTm

RT + h1

+GMLm

d− RT − h1

=GMTm

RT + h2

+GMLm

d+RT + h2

(9.24)

donde la parte izquierda de la igualdad es la energıa potencial en el puntodonde el nivel del oceano seh1, y la parte derecha corresponde a la energıapotencial en el punto donde el nivel esh2. Como se puede intuir,MT yML representan la masa de La Tierra y de La Luna respectivamente, RT

’e s el radio de La Tierra yd e s la distancia del centro de La Tierra hastael centro de La Luna. Si eliminamos los factores comunes de laecuaciony dejamos los terminos que dependen deMT a un lado y los que dependendeML al otro obtenemos:

MT

(

1

RT + h1

− 1

RT + h2

)

= ML

(

1

d+RT + h2

− 1

d− RT − h1

)

(9.25)Ahora, realizando las sumas de fracciones correspondientes se llega a

MTh2 − h1

(RT + h1) (RT + h2)= ML

2RT − h2 − h1

(d+RT + h2) (d−RT − h1)(9.26)

9.5. CENTRALES MAREOMOTRICES 143

Como sabemos queh1≪RT y h2≪RT podemos simplificar algunos delos terminos de esta expresion. Lo que se obtiene finalmente es

MTh2 − h1

R2T

= ML2RT

d2(9.27)

y ası encontramos una expresion aproximada por la diferencia entre lamarea alta y la baja:

h2 − h1 = 2ML

MT

R3T

d2(9.28)

Figura 9.4: Las mareas son el efecto de la redistribucion dela superficie del mar debido al equilibrio entrelas energıas potenciales gravitatorias producidas por LaTierra y La Luna.

Si sustituimos en esta expresion los valores correspondientes (MT = 6 ·1024 Kg; ML = 7 ·1022 Kg; RT = 4.6 ·106 m; d = 3.8 ·108 m) obtenemosun valor deh2 − h1 = 42.3 metros. Para tanto, vemos que el valor queaparece es significativamente mas grande que los valores delas mareas re-ales, que como maximo suelen alcanzar10 o 15 metros. El motivo de estoes que en realidad en las mareas no se acaba de alcanzar nunca la situacionde equilibrio que hemos supuesto al princicpio, y ademas intervienen otrosfactores que atenuan el efecto a la practica. Sin embargo,tomando nues-tro valor como un maximo teorico podemos calcular la energıa maximadisponible de las mareas. Para hacer esto, simplemente usamos la energıapotencial gravitatoria del oceanoa, que ’e sE = mgh. La variacion deenergıa potencial entre el punto de marea baja y el de marea alta, pues,sera

δE = mg (h2 − h1) (9.29)


Podemos ahora sustituir aquı la diferencia de alturas que hemos deducidoy tomar como valor dem la mitad de la masa total de agua de el oceano (lohacemos ası porque, tal y como se ve en la Figura 9.4, hay todauna seriede puntos del oceano que no estan directamente orientadosa La Luna ydonde el efecto es por tanto menor; en general, considerar que como masaefectiva la mitad del oceano es una hipotesis razonable).Como la masatotal del oceano ’e s de1.3 · 1018 Kg, llegamos a

δE =3.1 · 1018

2· 8.9 · 42.3 = 2.69 · 1020 J (9.30)

y como esta cantidad de energıa puede obtenerse cada 12 horas (se pro-ducen dos mareas altas cada dıa) obtenemos la potencia correspondiente,que sera

P =δE

δt=

2.69 · 102012 · 3600 = 2.6 · 1015 W, (9.31)

Es decir, se obtiene una potencia varias veces superior a la potencia con-sumida a nivel mundial. Logicamente, estos numeros representan tan soloun calculo teorico; como ya hemos dicho la altura de las mareas en la re-alidad es menor que la considerada aquı, y ademas su aprovechamiento esmuy complicado si no es en puntos cercanos a la costa.

Tipos de centrales mareomotrices

En este apartado queremos mostrar los dos tipos de centralesmareometriusmas extendidas, las llamadas degeneracion en pleamary las deinunda-cion. En el primero de los casos, que es posiblemente el mas habitual, sedeja que cuando la marea sube el agua pueda entrar en una zona dondeposteriormente podremos cerrar las compuertas y el agua quedara embal-sada (Figura 9.5). De esta manera cuando el nivel del mar baje, el nivel enla zona cerrada sera mas elevado y aprovecharemos en ese momento paradejar escapar poco a poco el agua y hacerla pasar por las turbinas, comoen las centrales hidroelectricas, para generar electricidad.

En las centrales por inundacion (Figura 9.5), en cambio, loque se hacees aprovechar el perıodo en que el nivel del mar sube y, cuando este nivelllega a una cierta altura, esta entra y llega a la zona donde estan situadaslas turbinas, generandose la energıa en ese mismo momento.

La energıa total que pueden generar cada uno de los dos tiposde centraleses bastante sencillo de calcular. Para el caso de una centralde generacionen pleamar suponemos que el recinto donde cerramos el agua tiene unasuperficie de200 Km 2 (aunque puede parecer un valor grande, es bstante

9.5. CENTRALES MAREOMOTRICES 145

Figura 9.5: Esquema de funcionamiento de una central mareomotriz.

representativo del tamano que tienen estas instalaciones). Si con mareaalta el nivel del mar sube una cota de 4 metros, tenemos que la masa deagua embalsada puede llegar a ser de

m = ρV = 1000 · 4 · 200 · 106 = 8 · 1011 Kg (9.32)

y de esta manera encontramos la energıa que puede generar encada ma-rea la central, que proviene del calculo de la energıa potencial del aguaembalsada (anadiendo el rendimientoη para tener en cuenta las posiblesperdidas)

E = ηmgh (9.33)

Si tomamos un rendimiento tıpico (75 %, como en el caso de lashidro-electricas) y tomamos para la diferencia de alturas el valor promedio dela marea (si el nivel maximo era de 4 metros, el promedio ser´ah = 2 m)obtenemos para la energıa

E = 0.75 · 8 · 1011 · 9.8 · 2 = 1.2 · 1013 J (9.34)


lo que supone una potencia promedio de

P =E

δt=

2.1 · 101312 · 3600 = 277 · 106 W (9.35)

Fijemonos en el hecho de que cuanto mas grande sea la marea mas grandesera la masa de agua almacenada, unido al hecho de que la altura de lamarea ya interviene en la formula para la energıa potencial. Esto hace quede la formula anterior podemos deducir la ley de escala

E ∼ mh ∼ h2 (9.36)

de manera que la dependencia en el recurso es muy fuerte (si elnivel dela marea se hace dos veces mas grande, la energıa generada se multiplicapor cuatro).

Finalmente, en el caso de una central de inundacion tenemosla ventaja deque no necesitamos embalsar el agua (lo que simplifica en parte la insta-lacion). Aparte de este y otros detalles tecnicos, sin embargo, la energıagenerada (y por tanto la potencia promedio) se calcularıande la mismamanera que para el caso anterior.

9.6 Ejercicios

a) Disponemos de un deposito de agua cilındrico de 5 m de altura y 1 mde radio lleno de agua situado sobre un edificio de 150 m de altura.

i. Calcular la energıa potencial gravitatoria que tiene elagua deldeposito respecto de la base del edificio.

ii. Si soltamos el agua a un ritmo de 1 l / s, ¿que potencia ob-tendrıamos?

iii. ¿Durante cuanto tiempo podrıamos generar electricidad a travesde este mecanismo?

b) Para comprobar experimentalmente la validez de la ecuacion de Ber-noulli resulta bastante ilustrativo realizar el siguienteexperimento.Se toma una botella de agua y se realiza un orificio cerca de su base.Se rellena de agua intentando que el agua no se escape por el agujeroponiendo el dedo. Medimos la altura del nivel de agua respecto delagujero, colocamos la botella sobre una mesa y dejamos salirel agua.

i. ¿A que velocidad saldra del agujero el agua?

9.6. EJERCICIOS 147

ii. ¿A que distancia de la mesa (si esta hace 90 centımetros de altu-ra) tendremos que poner un vaso para recoger el agua que salgadel agujero?

c) textbf Central hidroelectrica. El pantano de Mequinenza, con unacapacidad de 1533 hm3, es el pantano mas grande de Cataluna concapacidad de generacion hidroelectrica. La presa tiene una altura de81 m. El caudal medio del rıo Ebro es de 450 m3 / s.

i. Si partimos del embalse vacıo, ¿cuantos dıas tardarıamos en lle-narlo si mantuvieramos el embalse cerrado?

ii. ¿Cuanta energıa potencial gravitatoria podemos tener almacena-da en el pantano como maximo?

iii. Si utilizamos solo este embalse para abastecer el consumo electricode la ciudad de Barcelona, cuya demanda promedio es de 0.5MW ¿cuanto tiempo de autonomıa tendrıamos y que caudal deagua deberıamos liberar?

iv. Si dejamos pasar el caudal medio, que potencia podemos obte-ner? En este caso, ¿como variarıa el nivel de agua pasado untiempo muy grande?

v. Imaginar que usaramos este pantano para almacenar la energıaprocedente de la central nuclear de Vandellos II, con una po-tencia electrica de 1 GW. Si el rendimiento de los motores debombeo es del 50 %, ¿durante varios dıas podrıamos bombearagua para almacenar toda esta energıa?

d) textbf Influencia del Sol en las mareas Calcula la altura delas mareash2−h1 que provoca la influencia gravitatoria del Sol sobre La Tierra,teniendo en cuenta que la masa del Sol es2·1030 Kg y la distancia delSol a La Tierra es de unos 150 millones de kilometros. (Nota:utilizarla formula deducida en el Apartado ref apmareomotriu). Deducirque porcentaje de las mareas es debido al efecto lunar y cual a losefectos del Sol.

e) textbf Central mareomotriz La central mareomotriz de Incheon (Coreadel Sur) tiene una superficie de 158 km2. La altura maxima a la quepuede llegar la marea en esa zona es de 7.4 m.

i. ¿Cuanta agua puede almacenar la construccion justo en el puntode marea alta?

ii. ¿Cuanta energıa potencial gravitatoria almacena toda esta agua,si consideramos que cuando la soltamos esta cae desde una al-tura media de 3.7 m (justo la mitad de la altura de la marea)?


iii. ¿Que potencia maxima podemos obtener si dejamos ir este aguaen el periodo de bajamar (6 horas)?

iv. ¿Cuanta agua puede almacenar la marea justo en el punto demarea alta?

v. ¿Cuanta energıa potencial gravitatoria se encuentra almacenadaen toda este agua si consideramos que cuando la soltamos estacae desde una altura media de 3.7 m (justo la mitad de la alturade la marea)?

vi. ¿Que potencia maxima podemos obtener si dejamos ir el aguaen el periodo de bajamar (6 horas)?

f) textbf Potencia de la lluvia. Imaginemos que a alguien se le ocurrieraponer en marcha un sistema de generacion de energıa hidroelectricaque aprovechara no el salto de agua de un rıo sino el agua que direc-tamente cae de la lluvia. Obviamente el sistema serıa poco rentableporque la disponibilidad de lluvia a lo largo del ano es pequena, peroquizas en momento de lluvia intensa el sistema podrıa dar nivelesaceptables de potencia.

i. Si las gotas de lluvia se encuentran inicialmente en la atmosferaa 1.500 metros de altura, ¿cuanta energıa potencial gravitatoriatiene disponible cada litro de agua?

ii. Si las gotas cayeran desde la altura del apartado anterior sin ro-zamiento, la energıa potencial se irıa transformando en cineticadurante la caıda. ¿Que velocidad tendrıan las gotas al llegar atierra?

iii. Si hacemos el calculo realista y tenemos en cuenta el rozamientode la gota con el aire, esta alcanzara en seguida una velocidad decaıda constante. En esta situacion significa que hay un equilibrioentre las fuerzas que empujan hacia abajo (peso) y las que actuanhacia arriba (fuerza de Arquımedes y rozamiento). Calcular asıel valor de la fuerza de rozamiento correspondiente a una gotade 0,5 cm de radio.

iv. Si la fuerza de rozamiento de la gota con el aire sigue la expre-sionF = 5v2, encuentre el valor de la velocidadv de la gota ycompare con el resultado obtenido antes sin rozamiento.

v. Determinar con los datos anteriores el caudal de agua que caesobre la turbina, si esta tiene un area de 10 m2 vista desde arribay en cada metro cuadrado caen 10 gotas cada segundo.

vi. ¿Que potencia generara la turbina si su rendimiento enestascondiciones es del 20 % (el rendimiento de una turbina abier-

9.6. EJERCICIOS 149

ta es bastante menor que el de las turbinas cerradas, en las queel agua llena todo el conducto).

vii. Si consiguieramos, mediante un sistema de canalizaciones, ha-cer caer sobre la turbina toda el agua de lluvia correspondientea 100 m2, ¿cual serıa ahora la potencia que obtendrıamos?

g) ¿Es viable sustituir una central nuclear como la de Vandellos II (1.080MW de potencia) con energıa hidroelectrica o mareomotriz? Haga-mos los calculos:

i. Suponiendo un rendimiento hidroelectrico del 75 %, ¿qu´e cau-dal de agua necesitarıamos para suministrar la misma potenciade la central de Vandellos II, si tuvieramos un salto de aguade10 metros? ¿Y si el salto fuera de 20 metros?

ii. Hacer un grafico del caudal necesario en funcion de la altura delsalto.

iii. El Ebro, que es el rıo mas grande cercano a Vandellos II, tieneen esa zona un caudal medio de 9.000 hm3 / ano. ¿Que alturanecesitamos para generar la potencia deseada? ¿Es esto viable?

iv. Teniendo en cuenta que las mareas en el Mediterraneo sonpe-quenas (tomamos como valor de referencia 1 metro) y cogiendode nuevo un rendimiento del 75 %, ¿que volumen de agua demar es necesario encerrar para conseguir la misma potencia quela central nuclear?

v. ¿Cuantos km2 de superficie del mar representa el volumen delapartado anterior? ¿Serıa, pues, viable la idea?

CAPITOL 10Cicle de vida del petroli

El petroli es la font d’energia principal en la nostra societat. Mes del 70 %de l’energia que utilitzem prove directa o indirectament de la combustiod’aquesta substancia. Aixo, que fins ara no ha estat res mes que una dadacuriosa, pot significar un greu problema si considerem que els pous depetroli son cada cop mes difıcils d’explotar.

En aquest capıtol considerarem un concepte molt importanten l’explotaciode qualsevol font d’energia, l’energia que es necessita gastar per obtenir-la.

10.1 Extraccio

El petroli s’obte de les profunditats de la terra tot perforant.

Si el petroli es troba en condicions de pressio suficients, al foradar la rocaaquest surt disparat cap amunt per efecte d’aquesta pressi´o. Un calculsenzill que podriem fer es el de calcular a quina pressio hauria d’estar unpou petrolıfer de baixa viscositat situat a 2 km de profunditat per tal queal foradar la roca, aquest surti fins a la superfıcie.

En la seva trajectoria ascendent, el petroli ha de superar la seva pressiohidrostatica. La densitat del petroli es aproximadament0.85 g/cm3. Lapressio hidrostatica que genera 2 km de canonada verticales

∆P = ρg∆h = 850 · 9.8 · 2000 = 1.67 · 107 Pa = 164 atm. (10.1)

151

152 CAPITOL 10. CICLE DE VIDA DEL PETROLI

Tot i que semblin valors exageradament grans, aquestes pressions a tantaprofunditat no resulten tan extranyes, podent arribar a valors de milersd’atmosferes. Aixı doncs, que el petroli ascendeixi per eltub de perforacioes un fet probable.

A mesura pero que el petroli es va extraient, la pressio delpou va dismi-nuint, obligant aixı a desenvolupar mecanismes per extreure el petroli quegenerin una despesa energetica.

El poder calorıfic del petroli es d’aproximadament50 · 106 kJ/kg. Si hemde fer pujar 1 kg de petroli per el pou de 2 km de profunditat, gastem unaenergia

∆E = mg∆h = 1 · 9.8 · 2000 = 19.6 kJ. (10.2)

Com es pot observar, l’energia necessaria per fer aflorar aquest petrolies molt inferior al que obtenim cremant-lo, de forma que l’extraccio esenergeticament favorable.

10.2 Transport

Un dels mecanismes utilitzats per transportar el petroli es fer-lo passar peruna canonada anomenada oleoducte. El petroli es una subst`ancia viscosa, iaixo significa que al fer-la passar per una canonada hem de fer una pressioelevada per superar els efectes de la friccio. La viscositat del petroli depenen gran mesura, com moltes de les substancies viscoses, de la temperaturaque aquest te. Per comprovar-ho experimentalment no cal fer altra cosaque observar la diferencia de comportament de l’oli de cuinar quan aquestesta fred i quan esta calent. Quan esta calent, l’oli es comporta de formamolt fluıda, gairebe com l’aigua. A temperatura ambient, pero, aquestes converteix en un a substancia menys fluida podent arribarfins i tot asolidificar.

Com hem comentat, fer passar una substancia viscosa per unacanonadasignifica una despesa energetica que en certes ocasions potarribar a sertant elevada com per poder fer inviable el seu transport per aquest meca-nisme. Un fluıd viscos passant per una canonada rep una forc¸a de friccio ales parets interiors del tub que provoca que el fluid quedi aturat en aquellpunt. A la Figura?? podem observar la velocitat del fluid dins del tub.Tocant a les parets la velocitat es nul·la, i a mesura que ensallunyem d’a-questes, la velocitat va incrementant cada cop mes. L’expressio per lavelocitat i el cabal de fluid venen donades pel flux de Poiseuille (Apartat

10.2. TRANSPORT 153

Figura 10.1: Grafica de la viscositat d’un tipus de petroli en funcio de la temperatura. Podem observar com,a mesura que escalfem la substancia, la viscositat disminueix notablement

XX); en concret, el cabal acompleix l’expresio

Q =πR4

8µL∆p. (10.3)

Aquesta formula ens permet relacionar el cabal del fluid quevolem i lapressio que necessitem a traves de les caracterıstiquesdel tub (longitud iradi) i del fluid (viscositat).

Apliquem l’equacio (10.3) al cas del petroli. Situem-nos al’oleoducte deBaku-Tiflis-Ceyhan. Aquest conducte te una longitud de 1768 kilometresi te un diametre aproximat d’1 metre en gran part del seu recorregut (enla part final, apropant-se a Ceyhan, es una mica mes estret). Aquest ole-oducte condueix aproximadament 1 milio de barrils de petroli diaris. Elbarril Brendt es una unitat de mesura de capacitat que equival a 42 galons,o sigui 190.9 litres. Aquesta quantitat de petroli per dia correspon a uncabal de

Q =V

t=

190.9 · 10624 · 60 · 60 = 2209 l/s = 2.21 m3/s. (10.4)

Amb el valor del cabal, podem calcular quina diferencia de pressions ne-cessitem entre els extrems del tub. En realitat, en un oleoducte no s’imposauna sola diferencia de pressions sntre els extrems finals deconducte, aixo


seria impossible per motius tecnics. El que es fa es posar plantes inter-miges al llarg de tot el recorregut per tal d’anar imposant ladiferencia depressions d’una forma gradual. Com que la dependencia amb la pressio eslineal, podem calcular la diferencia total i dividir aquesta per el nombre desubestacions per saber quina pressio ha d’imposar cadascuna.

La pressio total necessaria per conduir els 2.21 m3/s a traves de l’oleoductedepen de la viscositat. Situem-nos primer a una temperatura ambient d’uns20 ºC, que seria la temperatura mitjana d’aquella regio. A partir de lataula 10.1 obtenim que la viscositat del petroli a aquesta temperatura es de15 · 10−3 Pas. Amb aquest valor i els anteriorment donats podem calcularla pressio,

∆p =8µL

πR4Q =

8 · 15 · 10−3 · 1768 · 103π · 0.54 ·2.21 = 2.39·106 Pa = 23.57 atm.

(10.5)Amb aquest valor de pressio, podem calcular la potencia necessaria per talde moure el petroli a traves de la canonada

P = ∆p ·Q = 2.39 · 106 · 2.21 = 5.28 · 106 W. (10.6)

Aquest ultim valor es la potencia que necessiten el conjunt de totes lessubestacions per tal de bombejar el petroli a traves d’aquest oleoducte.Que passaria si en comptes de bombejar 2.21 m3/s en bombejessim a lameitat, o sigui a 1.11 m3/s. Com que la pressio tambe depen del cabal,aixo significa que la potencia varia quadraticament amb el cabal, en aquestcas obtenim un consum de

P = ∆pQ =8µL

πR4Q2 =

8 · 15 · 10−3 · 1768 · 103π · 0.54 · 1.112 = 1.32 · 106 W.

(10.7)El resultat obtingut es quatre vegades menor que l’anterior. Aixo significaque bombejar al doble de velocitat implica uns costos en pot`encia quatrevegades superiors. Aquesta dada ens seria molt util si fossim enginyersd’aquesta infrastructures, ja que a simple vista hom podriapensar de formaincorrecta que el doble de rapid significa el doble de potencia.

Un segon estudi que podem fer es el de calcular quanta energia hem des-tinat a transportar 1 kg de petroli, o sigui 1/0.85=1.18 l, a traves de l’o-leoducte. L’energia s’obte a partir de la potencia tot multiplicant per eltemps

∆E = P∆t = ∆pQ∆t = ∆pV = 5.28·106·1.18·10−3 = 6230 J = 6.23 kJ,(10.8)

10.2. TRANSPORT 155

Figura 10.2: L’oleoducte de Baku-Tiflis-Ceyhan permet enviar tot el petroli que s’extreu de BAku, situadaal mar Caspi (un mar tancat) cap a Ceyhan, a la mar Mediterrania, par allı ser distribuida atraves de petrolers.

on en l’ultima igualtat hem fet servir la relacioV = Q∆t. Aquest ultimvalor pot ser comparat amb (10.2) on es trobava la despeda energeticaper bombejar el petroli per la canonada d’extraccio. Es potveure que aratambe s’obte una energia de l’ordre de kJ, cosa que tambe ens diu que elproces es rentable energeticament perque al final de totpodrem recuperaraquesta energia amb escreix.

Tot i la rentabilitat energetica, a traves de la figura 10.1podem veure quesi escalfem el petroli, reduirem significativament la seva viscositat, reduinttambe el cost de transportar-lo a traves de l’oleoducte. A50 ºC la visco-sitat ha caigut fins a 1 mPas, reduint fina a 15 vegades el valor a20 ºC.Aixo significa que el cost de transportar el combustible a aquesta tem-peratura sera 15 vegades menor que fer-ho a 20ºC. Per saber si aixo esrendible energeticament, hem de calcular quin cost te escalfar el petrolifins a aquesta temperatura.

La capacitat calorıfica del petroli es d’aproximadamentcv =2000 J/kg·K,de manera que l’energia necessaria per escalfar 1 kg de petroli es

∆E = mcv∆T = 1 · 2000 · 30 = 60000 J = 60 kJ (10.9)

Comparem ara el resultat anterior amb el transport de petroli per transportmarıtim. Els petrolers son el mecanisme de transport de combustible perexcel·lencia. El fet que circuli pel mar fa reduir significativament el cost detransport. Quan mirem dades relatives a un superpetroler, les referencieses perden. Una bestia del mar com aquesta pot transportar alvoltant de300.000 tones de combustible, i per al seu funcionament utilitza un motorde 50.000 CV. La seva velocitat de funcionament es de 12 nusos quan


els tancs estan plens. Calculem quant costa, a traves d’aquest tipus devehicles, portar el petroli de l’Orient Mitja als Estats Units, separats l’unde l’altre 10.000 km.

El nus es una unitat de velocitat que equival a 0.5144 m/s. A 12 nusos, elpetroler necessita

∆t =∆x

v=

107

6.13= 1.63 · 106 s = 18.8 dies (10.10)

A aquesta velocitat, el petroler va a maxima potencia,P = 50000 CV x735 W/CV = 3.68 ·107 W. En aquestes condicions, l’energia consumidadurant el trajecte sera

∆E = P∆t = 3.68 · 107 · 1.63 · 106 = 6 · 1013 J. (10.11)

Aquesta dada es suposant que el rendiment del motor es del 100 %, pero sivolem fer un estudi mes realista, haurem de dividir aquest valor per el seurendiment per tal de saber quanta energia real s’ha gastat. Un rendimentestandard seria d’aproximadament un 40 %.

Q =W

η=

6 · 10130.40

= 1.5 · 1014 J. (10.12)

Una de les comprovacions que hem de fer per saber si aquesta dada resultaraonable es la de saber si l’energia que costa transportar aquesta benzinaes menor que la que en treurem del mateix petroli. Per poder comparar,haurem de saber quanta energia per litre estem gastant i la compararemamb el poder calorıfic d’aquesta,5 · 107 J/kg Com que la carrega es de300000 tones=3 · 1011 kg,

1.5 · 10143 · 1011 = 500 J, (10.13)

un valor molt menor i per tant indicatiu que el transport mar´ıtim es moltmes eficient. Tan sols per simple comparacio, veiem que en el cas de l’o-leoducte, es gastaven 6230 J per transportar 1 kg de petroli auna distanciade 1768 km (3.52 J/km) mentre que per mar hem gastat tan sols 500 J perrecorrer 10000 km (0.05 J/km), 70 vegades menor que el transport terres-tre!. D’aquesta forma s’enten com el control dels ports on es distribueixpetroli esdeve un punt de capital importancia geoestrat`egica per a un pais.

10.3. DISTRIBUCIO 157

10.3 Distribucio

Hom podria pensar que el transport de combustible per carretera a travesde camions cisterna es eficient energeticament. Podem calcular altre copquanta energia consumim amb aquest metode tot utilitzant les dades tecniquesd’un camio cisterna. La capacitat tıpica d’aquest tipus de vehicles es de15000 l, la seva potencia nominal ronda el 200 CV, la velocitat tıpica a laque circulen es d’uns 100 km/h, i podem suposar que a aquestavelocitat,el camio va a la meitat de la seva potencia, 100 CV=73500 J.

A aquesta velocitat, un trajecte de 50 km es faria en

∆t =∆x

v=

50

100= 0.5 h = 1800 s (10.14)

En aquest temps, el camio gasta

∆E = P∆t = 73500 · 1800 = 1.32 · 108 J. (10.15)

Si dividim aquest consum per la quantitat de petroli que transportem,15000 l x 0.85 kg/l=12750 kg, obtenim un consum de

1.32 · 10812750

= 10352 J = 10.35 kJ. (10.16)

Tornant a la comparacio anterior, aquest consum significa 207 J/km derecorregut, un valor molt major que per a un oleoducte i extremadamentmes gran si el comparem amb un petroler.

Aixı doncs, hem vist que la forma optima de transport de petroli es uti-litzant oleoductes per terra i petrolers per mar i reduir al maxim poissibleels trams terrestres. Amb aquestes dades ja podem fer-nos una idea dequins son els motius de moltes guerres i conflictes en zones per on passesoleoductes i tambe en paisos amb ports importants.

10.4 Exercicis

a) Definim l’EROI (Energy return on investment) com el quocient en-tre l’energia que obtenim d’un recurs energetic entre la que ens hacostat obtenir-la. En el cas del petroli, podem calcular aquest valortot utilitzant el poder calorıfic del petroli (PC=50 kJ/kg)i calculantel que ens val treure’l del pou i portar-lo al lloc de consum.


i. A traves dels calculs fets per a 1 kg de petroli en aquest capıtol,calcula l’EROI del petroli que, despres de ser extret del Caspies transportat a traves de l’oleoducte de Baku-Tiflis-Ceyhan itransportat per mar fins a Catalunya.

ii. Calcula l’EROI si es extret i directament transportat per mar desde la peınsula Arabica fins a Catalunya sense utilitzar oleoducte.

b) Suposem que per transportar una distancia de 1000 km disposem dedos mecanismes. Un a traves d’un oleoducte de 1 m de diametre, iun segon a traves de camions cisterna amb una capacitat de 10m3.Suposem que els camions funcionen a una potencia de 200 CV quanestan transportant la carrega. Calcula

i. El cost energetic de transportar 106 m3 de petroli durant un diaamb una viscositat de 15 mPas a traves de l’oleoducte.

ii. El cost de fer-ho utilitzant els camions si aquests es desplacen a100 km/h.

iii. Quina viscositat ha de tenir el petroli per tal que deixide ser meseconomic transportar el petroli per l’oleoducte que a traves delscamions.

c) A mes del bombeig, un altre metode habitual per a l’extraccio depetroli es la injeccio d’algun fluid (lıquid o gas) en el subsol a altapressio per tal de fer pujar el combustible.

i. Calcula l’energia necessaria per a bombejar 1.000 litres de pe-troli des d’una profunditat de 800 metres fins a la superfıcie.

ii. Si la pressio inicial del petroli en el jaciment es de 20atmosferescalculeu quants metres podria pujar sense necessitat d’aplicarcap bombeig ni cap metode d’extraccio. (Nota: agafeu un valorde 850 Kg/m2 per la densitat del petroli).

iii. Fins a quin valor haurıem d’augmentar la pressio del jaciment(injectant aire o algun altre fluid) per tal de fer pujar el petroli ala superfıcie?

iv. A partir de la Llei de Poiseuille calculeu les perdues d’energiaper viscositat que tindrıem en l’apartat anterior en fer pujar elpetroli per la canonada, sabent que aquesta te 20 cm de radi ique la viscositat del petroli es10−2 Pa·s. Representen aquestesperdues un valor important en comparacio amb l’energia que calper extreure el petroli (es a dir, la calculada en el primer apartat)?

d) Des de fa anys el gobern dels EEUU te projectat un oleoducte quehauria de travessar tot el paıs des de Canada fins a Texas, transpor-tant petroli de bituminoses, un tipus de combustible especialment

10.4. EXERCICIS 159

contaminant. Despres de diferents modificacions, el projecte esta ac-tualment parat per les pressions de molts grups que critiquen el greuimpacte ambiental que aquest suposaria en termes d’emissions degasos d’efecte hivernacle.

e) Calculeu quanta potencia fa falta per fer passar 45 m3 per minut depetroli al llarg dels 4.200 Km de la canonada, sabent que aquestafaria 45 cm de radi. Per a mesurar la viscositat agafeu el grafic de laFigura 10.1 i feu el calcul per a diferents temperatures.

f) Calculeu la velocitat a la qual circularia el petroli per la canonada iel temps que trigaria en fer els 4.200 Km.

g) Calcula l’energia que fa falta per a transportar cada Kg depetroli desde Canada fins a Texas, suposant que el rendiment de les bombes quefan la feina es del 60%.

h) Calculeu el preu del transport amb camions suposant que uncamiotransporta 40.000 Kg de petroli, que el seu consum es de 15 litresde benzina cada 100 Km, i que el rendiment del motor es del 25%.(Nota: Agafeu com a poder calorıfic de la benzina 40.000 KJ/l).

i) El projecte inicial preveia un recorregut mes curt, de nomes 2.700Km. Quin hauria estat en aquest cas la despesa energetica del trans-port per oleaoducte o per camio?

j) El punt de partida del recorregut es troba a 370 metres obreel nivelldel mar, mentre que el punt final es troba just a nivell del mar.Cal-culeu l’energia potencial corresponent per veure si els efectes gra-vitatoris permeten reduir significativament l’energia necessaria peltransport.

7. El petroli de la regio de CentreAmerica presente unes propietats forca dife-rents a les del petroli de l’Orient Mitja i d’altres. La diferencia basicamentes que es tracta de petrolipessat, que te una densitat mes elevada que elsaltres (940 Kg/m3) i a mes es molt mes viscos (uns 5 Pa·s en condici-ons normals). En aquest cas, al contrari que en l’exemple vist en aquestcapıtol, sı surt a compte escalfar el petroli per a transportar-lo.

a) Calculeu la pressio de bombeig que faria falta per a transportar pe-troli pessatal llarg de 500 Km per un oleoducte de 40 cm de radi, sipretenem aconseguir un cabal de 1 m3.

b) Calculeu la potencia necessaria per a aquest transport, si les nostresbombes tenen un rendiment del 60%.


c) Calculeu l’energia necessaria per a transportat un Kg d’aquest petrolial llarg de l’oleoducte.

d) Suposant que el calor especıfic del petroli textitpessates el mateixque el del petroli normal (2000 J/KgK), calcular l’energia necessariaper a escalfar-lo uns 250C.

e) Trobeu a partir de quin valor de viscositat la despesa energetica entransport es mes gran que la despesa necessaria per a escalfar el pe-troli.

8. Els gasoductes, de manera analoga als oleoductes, son canonades quetransporten gas natural o altres combustibles gasosos des dels puts d’ex-traccio als centres de distribucio. Normalment l’aire escomprimeix a altespressions per a augmentar el cabal transportat. Hem de teniren compte, ames, que en el cas d’un gas la Llei de Poiseuille s’ha de modificar (a bandad’aixo els calculs son equivalents als del petroli). Pelcas d’un gas ideal laLlei de Poiseuille pren la forma

Q =πR4

16ηL

M

ρRT

(

P 21 − P 2

0

)

on M i ρ son la massa molar i la densitat del gas,R es la constant delsgasos iT es temperatura.

a) Si augmentem la pressio del gas natural (que es fonamentalmentmeta, CH4) fins a 60 atmosferes, calculeu la seva densitat suposantque el gas es ideal i que la seva temperatura es de 700C.

b) Calculeu el cabal de gas que tindrem en les condicions anteriors enbombejar el gas natural al llarg d’un gasoducte de 1.000 Km i 30 cmde radi.

c) Calculeu, a partir del resultat anterior, la potencia necessaria per atransportar el gas, sabent que les bombes tenen un rendimentdel60%.

d) Calculeu la velocitat a la que avanca el gas pel gasoducte.

e) Determineu el cost energetic (en Joules) de transportat1 litre de gasnatural d’aquesta manera. COmpareu amb els preus obtingutsen eltext pel cas del petroli.

f) Un petit forat en el gasoducte provoca greus problemes de subminis-trament. Calculeu a quina velocitat surt el gas del gasoducte anteriorsi hi fem un petit forat, suposant que de seguida assoleix la pressioatmosferica?

10.4. EXERCICIS 161

g) En l’apartat anterior, calculeu el ritme al qual es perdria el gas (enm3 per segon) si el forat es circular i te un radi de 1 cm.

9. Com hem vist en aquest capıtol, la temperatura a la qual esta el petroli esimportant ja que canvia la seva viscositat (a la practica existeixen altresmetodes per reduir la viscositat significativament). Per aquest motiu esimportant quantificar els intercanvis de calor que es produeixen al llarg del’oleoducte.

a) Les perdues de calor per conduccio a traves de l’oleoducte es podenmesurar a traves de la Llei de Fourier (equacio D.2). Si l’oleoductete un gruix de 0,5 cm i esta fet d’un material de conductivitat termica0,4 W/m2K, calculeu quina quantitat de calor per unitat de tempsperd l’oleoducte a cada metre quadrat de superfıcie, suposant quela temperatura del petroli inicialment es de 600C i la temperaturaambient es de 200C.

b) Si el petroli perdes calor tota l’estona al ritme de l’apartat anteriorquant de temps trigaria en assolir la temperatura ambient?

c) Si la velocitat del petroli a l’oleoducte es de 1,5 m/s, quanta energiaen forma de calor alliera l’oleoducte cap a l’ambient?

10. Les reserves mundials reals de petroli son poc conegudes degut als interes-sos polıtics implicats, pero hi ha experts que les quantifiquen entre dos icinc billions (5·1012) de barrils.

a) El barril de cru es una mesura que equival a uns 159 litres.Suposantuns densitat de 850 Kg/m3 i un poder calorıfic de 40.000 KJ/Kg feuuna estimacio de l’energia disponible encara en les reserves mundialsde petroli.

b) Suposant que el consum energetic mundial de petroli es mantingui alritme de 5 TW actual, estimeu per quant anys de consum en tindrıem.

c) Construiu una taula (amb Excel, per exemple) i feu un grafic per talde fer una estimacio dels anys que durarien les reserves si el consummundial creix a un ritme del 1% anual, o si ho fa al 5% anual.

d) Existeixen metodes quımics (tecniques de Fischer-Tropsch) capacosde transformar el carbo en petroli. Sabent que aquestes tecniques te-nen un rendiment energetic del 25% i considerant que les reservesmundials de carbo son de 3·1017 Kg calculeu quants anys ens durari-en aquestes reserves si les consumim al ritme actual.

CAPITOL 11Transport electric i contaminacio

electromagnetica

Gran part de l’energia que consumim a nivell domestic i industrial es transpor-ta en forma d’energia electrica. L’energia electrica tela particularitat de serfacilment transportable. La infrastructura encarregadade fer aquesta tasca detransport i distribucio es la xarxa elactrica. Tots estem molt acostumats a veurearreu torres electriques. Son tan comunes que molt sovintles obviem del paisat-ge.

Tot i la relativa facilitat de transport que ens ofereix l’us de l’electricitat,la xarxa electrica no esta al marge de certes restriccionsfısiques que fan queels enginyers hagin de tenir molt en compte la fısica en el seu treball diari. Enaquest capıtol ens centrarem en tots els aspectes fısics relacionats amb les xarxeselectriques.

11.1 Generacio d’electricitat. Motors electrics

Les centrals electriques son llocs on, a partir d’una fontd’energia determinada,es genera corrent electrica. Depenent de l’energia primaria, les estacions prenenel seu nom. Aixı podem tenir energia hidraulica, eolica,nuclear, termica, etc...En el present llibre hem vist diferents exemples de centrals.

De forma general, totes aquestes centrals tenen una forma degenerar electri-citat similar. Fan moure circularment una espira de cable electric en una zona onhi ha present un cable electric. Aquest fet genera la creacio de corrents electricsdins de l’espira com tot seguit veurem. Aixo es justament el contrari del que fanels motors electrics on es fa circular corrent per una espira i com a consequencia

163

164 CAPITOL 11. TRANSPORT ELECTRIC I CONTAMINACIO ELECTROMAGNETICA

obtenen un moviment circular d’aquesta. Els motors i els generadors son doncsel mateix aparell, funcionant per crear corrent quan son generadors i per generarmoviment quan son motors.

El funcionament basic d’un generador es molt senzill. Unaespira de correntsituada en un lloc on hi ha present un camp magnetic delimitauna seccio interiora traves de la qual podem calcular el flux magnetic. Definim aquest flux magneticΦ que atravessa una espira com el producte escalar del camp magnetic pel vectorde superfıcie de la espira (Apartat XX). El vector superfıcie es un vector normala aquesta i el seu modul es igual a la seva area. Necessiteml’area vectorial pertal de considerar l’angle que fa el camp magnetic respecte de la superfıcieθ.Aixı doncs el flux valdra

Φ = −B · S = BS cos θ. (11.1)

Figura 11.1: Espira de corrent dins un camp magnetic.

Podem variar el flux que travessa una espira de diferents formes: i) modi-ficant l’area (S), ii) modificant el camp (B) o iii) canviant la orientacio d’unrespecte de l’altre (θ). La mes facil e totes tres es la ultima, ja que a nivell t`ecnicno implica res mes que canviar l’orientacio d’aquesta. Aixo es justament el quefan els generadors, fer servir l’impuls del recurs natural per tal d’impulsar lespales que fan girar alhora l’espira.

Quan aixo succeeix, dins de la espira es creen corrents que intenten evitarel canvi que aquest gir implica en el flux. Aixı doncs, si hi hauna disminuciodel flux, es generara un corrent que intentara augmentar elcamp sostingut per laespira per tal de tornar a fer augmentar el flux. Si per contra el flux augments, lacorrent generada sera en direccio contraria per tal de disminuir el camp.

11.1. GENERACIO D’ELECTRICITAT. MOTORS ELECTRICS 165

La diferencia de potencial∆V que aconseguirem en els extrems de l’espiraque s’esta movent es pot obtenir a traves de la llei de Lenz

∆V = −dΦ

dt= −BS sin θ

∂θ

∂t= −BSω sin θ. (11.2)

Per intensificar aquest efecte, el que es fa es crear bobinesformades perN espires de cable electric. Cada volta de la bobina genera una diferencia depotencial que se suma a totes les altres en serie, obtenint al final N vegades elvalor anterior, onN es el nombre de voltes de cable de la bobina. Com mes gransigui aquest valor, mes gran sera el voltatge obtingut.

En aquest punt cal comentar una questio molt important. Enla formula (11.2)es pot veure com, si la unica forma que tenim de generar voltatge es fent moureuna espira, per aconseguir mes voltatge∆V , necessariament necessitem fer girarl’espira mes rapid. Hem de tenir en compte, pero, que la frequencia a la que hade girar l’espira es de 50 Hz, ja que aquesta es la frequencia de funcionamentde la corrent alterna. Aixo obliga a modificar les resistencies dels circuits per tald’adaptar-se a les potencies requerides, aixo es, modificar les intensitats per talque la resistencia del motor sigui diferent.

La restriccio de la frequencia de la corrent alterna a 50 Hz tambe ens obligaa modificar la velocitat angular a traves d’un sistema d’engranatges, ja que lavelocitat de les turbines es independent de la frequencia del corrent altern.

Suposem doncs que un molı de vent s’esta movent per accio del vent a unavelocitat d’1 volta cada 3 segons. Dins del molı hi ha una bobina amb 100 espiresde corrent que tenen un radi de 20 cm en un camp magnetic d’1 T.La velocitatangular a la que giren les pales es de

ωp =∆θ

∆t=

2π

3= 2.09 rad/s. (11.3)

Mentre que la velocitat a la que hauria de girar un generador dipolar per tal degenerar corrent alterna de 50 Hz es de

ωg = 2πν = 2π · 50 = 314 rad/s. (11.4)

Aquesta relacio de velocitats obliga a tenir un sistema d’engranatges amb unarelacio de multiplicacio de 1:150 per fer la correcta transmissio i aixı poder ge-nerar la corrent a la frequencia requerida.

Un cop sabem les frequencies ens podem preguntar quins voltatges i intensi-tats sortiran del generador. Segons la llei de Lenz, la fem induida en les bobinesdel generador valdra

∆V = −NBSω sin(θ) = 100 · 1 · π · 0.22 · 314 · sin(θ) = 3945 sin(θ). (11.5)


Aixo es una senyal altern amb una amplitud maxima de∆Vmax = 3945 V i quete la mateixa frequencia que la de la corrent alterna. Aquest rotor esta agafant lapotencia eolica a traves de les pales del molı. Si l’aire, en aquell moment estadepositant una potencia de 1 MW sobre les pales, i el generador te un rendimentdel 50 %, la intensitat que generara el motor la podem obtenir de la definicio depotencia

Pe = Pvη = 106 · 0.5 = ∆VefI =∆Vmax√

2I (11.6)

On hem utilitzat que la potencia d’un motor altern ve donadaper el voltatgeefectiu∆Vef = ∆Vmax/

√2 on aquesta relacio prove del fet que la corrent es

alterna i per tant, hem de promitjar al llarg d’un cicle complert. La intensitat quegenerara el motor doncs sera

I =Pe

∆Vef=

5 · 105√2

3945= 179.2 A. (11.7)

11.2 Per que corrent altern?

Un de les caracterıstiques principals del transport d’energia en lınies terrestre esla utilitzacio del corrent altern en comptes de contınu. El principal motiu pel quals’ha optat per aquest sistema es, basicament, per la facilitat de transformacio quela corrent alterna ofereix. Com veurem mes endavant, el transport de corrent es-deve mes eficient quan el realitzem a alt voltatge, ja que aixo redueix la intensitatde la corrent i es aquesta la que determina en ultima instancia les perdues en eltransport en el cable per l’efecte Joule. Com que la generacio d’electricitat es faa baix o mitja voltatge, necessitem transformar el correntde baix a alt voltatgeper tal de transportar-lo amb eficiencia. Aquest proces, que necessariament s’hade fer a amb corrent alterna es fa en les subestacions transformadores.

El mecanisme que s’utilitza per a la transformacio de la energia el podemtrobar a mes petita escala en els transformadors dels equips electronics que tenima casa. L’equip simplificat consisteix en dues bobines de cable, una dins l’altre,amb diferent nombre d’espires. La proporcio entre el nombre de voltes es elresponsable de la multiplicacio o divisio del voltatge. Veiem-ne la fısica queporta a aquesta relacio.

Quan fem circular corrent electric per un cable conductor, aquest genera uncamp magnetic que l’envolta. Si disposem aquest cable en forma circular (enforma d’espira), aquest camp generat per el corrent pren la mateixa forma que laque prenen les linies de camp que emanen d’un imant.

Si posem una espira en un camp magnetic altern, les contınues pujades ibaixades de corrent generen variacions en el camp magnetic. La llei de Faraday

11.2. PER QUE CORRENT ALTERN? 167

ens diu quina es la diferencia de potencial que obtenim al llarg d’una espira decorrent sota l’accio d’un flux que varia amb el temps

∆V = −NdΦ

dt, (11.8)

onN es el nombre d’espires.Per a transformar els corrents es fen servir solenoides, queson bobines fetes

d’un gran nombreN d’espires de corrent. El camp magnetic generat dins d’unsolenoide te la caracterıstica que es constant a travesde tota el volum interior ival

B = µ0NI, (11.9)

on µ0 es la permeabilitat del medi,I la intensitat del corrent electric que hicircula iN el nombre de voltes del cable.

Si podem dos solenoides, un dins l’altre de forma concentrica, el campmagnetic generat per un dels solenoides produıra una variacio del flux magneticque induira un corrent en l’altre solenoide de forma que la variacio del flux perambdos sera igual. Aixı doncs

∆V1

N1= −dΦ1

dt= −dΦ2

dt=

∆V2

N2. (11.10)

D’aquesta forma podem calcular la relacio entre els voltatges d’entrada ide sortida en funcio del nombre d’espires dels dos solenoides. L’augment delvoltetge ha d’anar a carrec d’una disminucio en la intensitat, ja que en el proceses la potencia la que es mante constant.

Aixı doncs, si tenim una central electrica que genera una potencia de 400MW a una diferencia de potencial de 20 kV, la intensitat que estara generantes de 20 kA. Si passem tot aquest corrent a una lınia d’alta tensio de 220 kV,el nombre d’espires del circuit del generador i de la lınia hauran de tenir unarelacio d’espires de

N1

N2

=∆V1

∆V2

=2.2 · 1052 · 104 = 11. (11.11)

Aixı doncs, el transformador ha de consistir en una bobina amb un nombre de-terminat de voltes junt amb una altra bobina amb 11 vegades m´es voltes.

La intensitat que circulara per el cable de transport sera

I =P

∆V=

4 · 1082.2 · 105 = 1818.2 A. (11.12)

Veiem doncs com passem d’un sistema de (20 kV - 20 kA) a un altrade (220kV - 1.82 kA). En aquest cas no hem considerat cap perdua per la transformacio.Podem comprovar que les dues parelles de valors donen la mateixa potencia.


A la realitat, la intensitat obtinguda despres de la transformacio esη ve-gaes lna maxima que hem calculat, on aquest parametre indica l’eficiencia deltransformador. En el seguent apartat estudiarem quins efectes beneficiosos en eltransport obtenim pel fet de treballar a baixa intensitat.

11.3 Resistivitat i resistencia

Una de les questions fonamentals a l’hora de transportar l’energia del punt degeneracio (la central electrica) al punt de consum es la de decidir de quina formal’hem de portar per tal que les perdues d’energia siguin el mes petites possibles.

En principi, transportar electricitat es tan facil com posar un cable electricentre un punt situat a alt voltatge a un punt que es trobi a baixvoltatge. Laquestio a decidir en el disseny es la de quina diferenciade voltatge (∆V ) i quincable hi posem. Una mala desicio en un d’aquests dos punts pot convertir-se enuna perdua de diners molt elevada.

Comencarem estudiant el cable. La primera caracterıstica que hem d’estudiares la seva resistivitatρ. Aquest valor ens indica amb quina facilitat deixa passarcert material (coure, alumini, etc...) l’electricitat a traves d’ell. No hem deconfondre aquest valor amb la resistencia, expressant aquest ultim la facilitatamb la que deixa passar l’electricitat un dispositiu (cable, soldadura, etc...). Elprimer valor es una caracterıstica d’un material, sense importar la seva midao forma, mentre que en el segon valor es consideren la mides del dispositiu.Aixı doncs, com a exemple per veure’n la diferencia, considerem dos cables decoure, un amb una mida de 1 m i l’altre de 2 m. El cable mes llargoposara mesresistencia justament perque es mes llarg. Les resistivitats dels dos cables soniguals perque estan fets del mateix material, coure, mentre que les resistenciesresulten diferents perque tenen mides diferents. Un cablefet d’un material ambresistivitatρ que tingui una longitudL i una seccio transversalA = πr2, onr esel seu radi, tindra una resistenciaR de

R =ρL

A. (11.13)

Per tal d’exemplificar-ho en farem un exemple practic. Els materials mes utilit-zats en el transport electric son tres, el coure, l’alumini i una aleacio d’alumi-ni amb acer. Les resistivitats d’aquests rtes materials son ρCu = 16.78 nΩ·m,ρAl = 28.2 nΩ·m i ρAl−Ac ≃ 34 nΩ·m. Calcularem la resistencia electrica de trescables diferents: (Cu r=6 mm i L=200 km), (Al r=12 mm i L=200 km), (Al-Acr=6 mm i L=50 km). La resistencia dels tres cables son

RCu =1.68 · 10−8 · 2 · 105

π(6 · 10−3)2= 29.7 Ω. (11.14)

11.4. PERDUES D’ENERGIA EN LA XARXA 169

RAl =2.82 · 10−8 · 2 · 105

π(12 · 10−3)2= 12.5 Ω. (11.15)

RAl−Ac =3.4 · 10−8 · 5 · 104

π(6 · 10−3)2= 15.0 Ω. (11.16)

Observem com, tot i que el material amb la menor resistivitates el Coure, elcable d’Alumini resulta tenir una resistencia molt menor.Aixo es degut a que,tot i ser igual de llarg (200 km), el d’Alumini es el doble de gruixut, fet quedisminueix significativament la resistencia del cable. Enl’altre cas tambe hemobtingut una resistencia menor tot i ser fet d’un material que en principi es pitjorconductor. En aquest cas perque la llargada del cable es quatre vegades mespetita.

Aixı doncs, hem vist com la resistivitat es una forma de catalogar materials,permetent-nos dir coses com que en les mateixes condicions sempre sera mui-llor utilitzar coure que alumini. La resistencia en canvi ens permet classificatdispositius (cables) amb unes mides caracterıstiques

11.4 Perdues d’energia en la xarxa

En l’apartat anterior hem vist com les resistencia dels cables que hem calculateren molt mes petites que les que ofereixen els sistemes queconsumeixen l’e-nergia. Resulta logic, ja que el que desitjem es que l’electricitat passi per elscables de la forma mes neta possible, evitant al maxim les perdues.

Un segon aspecte a considerar es el voltatge∆V al que han de treballar lestorres de transport. El parametre important a l’hora de decidir els voltatges detreball es la intensitat que ha de circular per els cables. Les perdues d’energiaque es donen en un cable de resistencia R per el qual circula una intensitatIs’anomenen perdues per efecte Joule, i valen

PJ = RI2. (11.17)

Farem un calcul de les perdues que es donarien en dues lınies electriques d’1MW de potencia cadascuna transportades per un cable de Coure de 6 mm de radii 200 km de longitud com en l’apartat anterior. Una funcionara a molt alta tensio(∆V1 =440 kV), mentre que l’altra funcionara a mitjana tensio (∆V2 =36 kV).

Les intensitats que circularan per cadascuna de les lıneesseran

I1 =P

∆V1=

106

4.4 · 105 = 2.27 A (11.18)

i

I2 =P

∆V2

=106

3.6 · 104 = 27.8 A. (11.19)


Amb aquestes intensitat i fent servir la resistencia del cable de la seccio anteriorpodem obtenir les perdues per efecte Joule en cadascun delscasos. En el cas del’alta tensio obtenim

P = RI21 = 29.7 · 2.272 = 153 W (11.20)

mentre que a la mitjana tensio

P = RI21 = 29.7 · 27.22 = 22953 W = 22.9 kW. (11.21)

Veiem doncs, que per transportar 1 MW de potencia, la lıniad’alta tensio esdevemolt mes eficient que la de mitjana tensio.

11.5 Contaminacio electromagnetica isoterrament de lınies

Relacionat amb les perdues que hem calculat anteriorment,les lınies electriquesgeneren tambe camps electromagnetics que poden afectar d’una forma o altreals essers vius. Un cable conductor pel qual hi circula un corrent I genera uncamp magnericB en direccio perpendicular a la corrent a una distanciar de

µ0I

2πr. (11.22)

onµ0 = 4π · 10−7 Tm/A es la permeabilitat magnetica de l’aire.Cal observar que els camps magnetics mes grans els generenles altes inten-

sitats. Com hem vist en la seccio anterior, les lınies d’alta tensio s’utilitzen perpoder transportar la mateixa potencia amb menys intensitat, de forma que el fetde funcionar a alta tensio significa que generen camps magn`etics mes petits.

Primerament per saber el corrent electric hem de calcular la intensitat que hicircula pel cable. Com que les lınies de transport no poden acumular l’energia,la quantitat de corrent que circula per aquestes depen del consum que en aquellmoment s’estigui produınt. En els moment de ma

P = V I (11.23)

Com podem observar, el camp es mes elevat com mes a prop enstrobem delcable.

Una lınia de molt alta tensio (V = 440 kV), amb una potencia de 400 MWha de fer passar una intensitat de4 · 108/4.4 · 105 = 909.1 A. Aquest amperatgepot generar un camp magnetic a una distancia de 20 metres de

4π · 10−7 · 909.12π · 20 = 3.64 · 10−5 = 36.4 µT. (11.24)

11.6. LLAMPS 171

Si en comptes d’estar a 20 metres ens trobessim a 1 sol metre s’aquesta lınia elcamp seria cinc vegades mes intens (728µT). Per tal de comparar amb algunadada, el camp magnetic terrestre es de 300 G=30 nT=0.03µ T

La por als efectes nocius per a la salut de les lınies d’alta tensio ha fet queen els ultims temps es parli del soterrament d’aquestes. Per una lınia soterradapassara exactement el mateix corrent electric que per unalınia aeria. La per-meabilitat magnetica de l’aire i dels terres no magneticses exactament igual(4π · 10−7 NAm2). Aixı doncs, el soterrament tindra com a unica consequenciala variacio de la distancia a la que la gent podra circular. Fer un forat a terrad’uns 20 metres de profunditat resulta molt mes costos que una lınia aerea a lamateixa distancia de forma que el soterrament, en contra del que creu la gent,implica que els camps magnetics als que esta sotmesa la poblacio siguin, a vega-des, majors dels que rebria d’una lınia aeria. A mes aixoes pot veure agreujat pelfet que les lınies soterrades son invisible, mentre que les aerees, al ser visibles,ens mantenen alerta, reduint el temps d’exposicio.

Hom podria pensar doncs que una opcio seria el soterrament iapantallamentde la lınia amb materials magnetics. Hem de pensar pero, que apantallar la lıniasignifica augmentar la seva resistencia, perdent significativement eficiencia. Aixıdoncs, apantallar la lınia no es pot fer si el que volem fer es mantenir la sevaeficiencia.

11.6 Llamps

Pel fet d’estar connectades a alts voltatges, les lınies d’alta tensio tenen una grancapacitat per atreure els llamps. Per protegir aquestes, s’acostuma a posar uncable superior, anomenat cable de guarda, que te per funci´o la de captar el llampabans que caigui sobre el cable que condueix el corrent. En les lınies d’alta tensioaquests cables resulten facilment visibles perque acostumen a ser una mica mesprims que els altres i es troben en la part superior de les lınies. Aixı doncs, en unalınia on veiem nou cables, segurament els tres superiors seran cables guarda i lesdues lınies amb tres cables a la part de baix seran els autentics cables conductorsde l’electicitat.

11.7 Exercicis

1. La nova lınia d’alta tensio (400 kV) Sentmenat-Bescan´o tindra una longi-tud d’uns noranta quilometres.

a) Si els enginyers preveuen que la lınia pugui transportaruna potenciamaxima de 2.000 MW, estimeu la intensitat electrica maxima que hi


circulara.

b) Quina relacio entre espires caldra en el transformadorque hagi depassar el corrent de la lınia a mitja tensio (20 kV)?

c) Si els cables de la lınia estaran fets de coure (1,7·10−8 Ω·m de resis-tivitat) i tenen una seccio de 600 mm2, calculeu la potencia perdu-da per efecte Joule. Comproveu quin tant per cent representade lapotencia transportada.

d) Feu un grafic del camp magnetic que produira la lınia enaquestescondicions, en funcio de la distancia a la qual ens col·loquem delscables.

2. En molts casos els tracats que segueixen les lınies d’alta tensio segueixenuna lınia recta, fins i tot superant grans dificultats topografiques i d’altrestipus. Per mostrar els avantatges d’aquesta decisio considerem que vo-lem construir una lınia que conecti dues ciutats separadesentre elles 50quilometres. Fer-ho en lınia recta suposa una despesa de 50 milions d’eu-ros mentre que escollint un recorregut mes pla i senzill, de60 quilometres,nomes tindrem una despesa de 30 millions d’euros.

a) Si el cable de la lınia d’alta tensio te una resistivitat de 10−8 Ωm iuna seccio de 30 mm2 calculeu la resistencia electrica corresponenta cada un dels dos possibles camins.

b) Si la lınia te una tensio de 220 KV i ha de transportar unapotenciapromig de 100 KW calculeu quina es la intensitat electricaque hipassa en cada cas.

c) Trobeu quina potencia electrica es dissipa per efecte Joule en cadaun dels dos recorreguts.

d) Si el KWh d’energia electrica te un preu de 10 centims, calculeuquant de temps ha de passar per tal que la lınia electrica m´es curtapermeti recuperar la inversio economica extra inicial.

3. Imaginem que hem de dissenyar el cable d’una lınia d’altatensio quetransporta el corrent electric des d’una central nuclear (que genera unapotencia promig de 500 KW) fins a les subestacions de la xarxa, situada a30 Km de distancia.

a) Suposem que no volem que la intensitat electrica sobrepassi els 20Ampers per tal de minimitzar la dissipacio per efecte Joule. Quinatensio com a mınim necessitem per a aconseguir aixo?

11.7. EXERCICIS 173

b) Imaginem que podem escollir entre dos models de cable diferent: elprimer te una conductivitat de108 Ωm i un radi de 3 mm, mentre queel segon te una conductivitat de2 · 108 Ωm i un radi de 4 mm. Quindels dos donara lloc a una dissipacio d’energia major, si la tensio esla mateixa?

c) El preu del cable es proporcional a la seva seccio i a la seva longitud.Si considerem un preu de 10 euros per cada metre de longitud i cadamm2 de seccio, i agafem un valor de resistivitat de108 Ωm i la inten-sitat electrica del primer apartat, quin es el preu mınimque ens hemde gastar per tal que la potencia dissipada per efecte Jouleal cablesigui inferior a 10 KW?

d) Suposem que cada KWh d’energia perduda per dissipacio representauna perdua de 10 centims d’euro per a l’empresa electrica. Represen-teu graficament per un cable de resistivitat108 Ωm els diners perdutsen aquest concepte al cap d’un any en funcio del gruix de cable quefem servir (agafant valors d’entre 0,5 mm i 20 mm de radi) pel casque la tensio sigui (i) de 25 KV, o (ii) de 110 KV.

4. El cable d’un electrodomestic (la nevera, per exemple) fa un metre de llargi funciona a la tensio de la xarxa domestica, que son 220 V.

a) Si la potencia de la nevera son 300 Watts, calculeu quinaintensitatelectrica esta passant pel cable.

b) Si el cable es de coure (1,7·10−8 Ω·m de resistivitat) i te un radi de1 mm, calculeu la potencia perduda al cable per efecte Joule, i mireuquin tant per cent de la potencia consumida per la nevera representaaixo.

c) Quin es el camp magnetic provocat pel cable de la nevera a1 metrede distancia?

5. Molts dels aparells electronics que fem servir a casa porten incorporat untransformador electric per passar el corrent de la xarxa electrica (correntaltern a 220 V) a les condicions a les quals funcionen els aparells (correntcontinu de molt baixa tensio).

a) Si la bateria del nostre mobil es carrega amb un corrent continu de6 V, calculeu quina relacio d’espires ha d’existir entre elprimari i elsecundari del transformador del carregador del mobil.

b) Calculeu la intensitat electrica que circula pel primari del transforma-dor, sabent que el carregador mes el mobil consumeixen unapotenciade 4 Watts.


c) Si el secundari del transformador te 50 espires, calculeu el campmagnetic generat en el transformador.

d) Deduiu la intensitat electrica que surt del secundari, ique coincidiraamb la intensitat electrica que passa pel cable del carregador (que vades del transofrmador fins la bateria).

CAPITOL 12Emmagatzematge d’energia

Un dels grans problemes que existeixen en relacio a la generacio d’energia encentrals a gran escala es el de que fer amb els excedents energetics que de for-ma practicament inevitable s’hi produeixen. La demanda energetica en el nostremodel de societat varia molt d’uns moments als altres, especialment entre el diai la nit. Les centrals que subministren l’energia (nuclearsi termiques, sobretot)tenen l’inconvenient de que no poden variar el seu ritme de produccio de formabrusca encara que la demanda energetica baixi, ja que l’aturada i posada en mar-xa d’aquestes instal·lacions es molt costosa tant des del punt de vista tecnic comeconomic. Dit d’altra forma, quan una central termica convencional s’ha posata funcionar a maxima potencia, per reduir la produccio necessitem refredar-la,cosa molt lenta per la gran inercia termica. Per posar un exemple cassola, com-proveu el que triga una olla d’escudella a refredar-se.

Aixı doncs es fan necessaries estrategies per tal d’adaptar el ritme de fun-cionament a la demanda existent amb la finalitat d’optimitzar l’eficiencia. Unaestrategia que segueixen les empreses productores d’electriciat es la de reduir lestarifes en els moments on s’esta produint l’excedent per incentivar el consum.Aixo pero, no resulta en un estalvi tan eficient com el que suposa emmagatzemarl’excedent d’energia que es genera en alguns moments del diaper tal d’utilitzar-la en moments quan la demanda sigui alta.

Aquest problema previsiblement anira tenint cada vegada mes importanciaa mida que l’us de les energies renovables es vagi incrementant en els nostresmodels de generacio. Les energies renovables es distingeixen pel fet d’utilitzarrecursos naturals (el Sol, el vent...) la disponibilitat dels quals no pot ser contro-lada, de manera que moltes vegades la disponibilitat del recurs no s’adapta en eltemps a la demanda energetica.

175

176 CAPITOL 12. EMMAGATZEMATGE D’ENERGIA

Per tots aquests motius, resulta important estudiar quins son els sistemes queexisteixen per tal d’emmagatzemar energia i poder aixı racionalitzar-ne l’us. Enaquest capıtol estudiarem els principals sistemes que es fan servir avui en dia,i comentarem tambe el cas de l’hidrogen utilitzat com a combustible, ja queaquesta es perfila com una de les alternatives de futur mes atractives. Ens cen-trarem en especial en tractar de determinar la densitat d’energia associada a cadasistema (quantitat d’energia que podem emmagatzemar per unitat de volum o perunitat de massa) ja que es un dels parametres principals a l’hora de determinarla utilitat de cada un dels sistemes.

12.1 Bateries electroquımiques. Piles

Les piles i bateries electroquımiques representen un delsmitjans mes habitualsd’emmagatzematge d’energia sobretot a petita i mitjana escala, i es fan servir enmolts aparells que ens rodejen a la vida quotidiana, com ara en els cotxes i enmolts aparells electronics. Tot i que existeixen molts tipus de bateries, totes ellespresenten uns trets fonamentals. En primer lloc, totes es basen en la transforma-cio d’energia quımica en electrica mitjancant l’us dereaccions que involucrenla formacio i eliminacio de carregues electriques (electrons) lliures; son el quesovint s’anomenen reaccions de reaccio-oxidacio. Les parts fonamentals queformen una pila son els electrodes i l’electrolit, tal comes veu a la Figura 12.1.En la superfıcie dels electrodes tenen llocs les reaccionsquımiques per les qualses desprenen o s’agafen electrons; l’electrode on es generen electrons (reacciod’oxidacio) s’anomena anode, i l’electrode en que s’agafen electrons (reacciode reduccio) s’anomena catode. L’electrolit te la missio de fer d’unio entre elsdos electrodes, permetent el pas dels ions generats en l’anode cap al catode perosense deixar passar les carregues lliure. Sovint a mes de l’electrolit podem te-nir altres elements, com ara els ponts salins, que facilitenaquest transport ionicentre electrodes.

El funcionament basic de la pila o bateria es senzill. Si conectem els dos elec-trodes mitjancant un cable (veure dibuix) aconseguirem crear un circuit tancat.A l’anode es generen electrons i ions positius; els ions positius passen a traves del’electrolit o altres elements, on poden sofrir altres reaccions quımiques, fins elcatode, mentre els electrons viatjen tambe fins el catodepero a traves del cable.Aixı en arribar al catode els electrons i els ions positiuspoden reaccionar de noui el cicle es completa.

El tipus d’electrodes i d’elements separadors que fem servir a la bateria ensdeterminen quanta energia tenen els electrons que circulenpel cable. En con-cret, el parametre que s’acostuma a fer servir es el de potencial de reduccio-oxidacio (o redox), que te unitats de Volts (recordeu que el voltatge es defineix

12.1. BATERIES ELECTROQUIMIQUES. PILES 177

Figura 12.1: Esquema de pila quımica

com la quantitat d’energia potencial electrica per unitatde carrega, segons l’a-partat XX). Aixı, si volem saber la quantitat d’energia te`orica que ens pot sub-ministrar una pila al llarg d’un cert temps ho trobarem a partir de la formulaXX:

E = V ne

onV es el potencial redox,e es la carrega de l’electro in representa el numerod’electrons que passen durant aquell interval de temps. Pertant, la densitat d’e-nergia teorica sera igual aE dividit pel volum (o la massa) de la pila o bateria. Acontinuacio mostrem com trobar aquest valor pel cas d’alguns tipus de bateriesd’interes especial.

Bateries d’acid-plom

Aquestes son les bateries que fan servir la majoria de cotxes i moltes maquinesindustrials, degut al seu baix cost. Estan formades per un anode de plom i uncatode d’oxid de plom, separats entre ells per un acid queacostuma a ser acidsulfuric (H2SO4). Tammateix, degut a la interaccio entre els electrodes i l’acides formen tambe a les piles zones de sulfat de plom (PbSO4) que intervindrantambe en les reaccions quımiques de la pila. En concret, les reaccions quımiquesque hi tenen lloc son:

anode: Pb+HSO−4 PbSO4+H++2e−


Catode: PbO2+3H++HSO−

4 +2e− PbSO4+2H2O

Igualant la reaccio redox corresponent obtenim

Pb+PbO2+2H2SO4 2PbSO4+2H2O

A partir d’aixo, i sabent que el potencial redox d’aquesta reaccio es aproxi-madamentV = 2, 05 V, podem trobar la densitat d’energia teorica de la pila.Nomes hem de sumar els pesos moleculars de tots els reactius(o productes) queintervenen a la reaccio redox igualada. Sumant-los tots obtenim que per cadamol de Pb hi interve una massa total de642 grams a la reaccio. I segons lesreaccions ioniques de l’anode i el catode, aixo equival aque circulin 2 molsd’electrons pel circuit. Per tant tenim que la densitat d’energiaD es

D =E

m=

V ne

m=

2, 05 · (2 · 6, 023 · 1023) · 1, 6 · 10−19

0, 642= 615 KJ/Kg

Aquest valor, no obstant, nomes es teoric, ja que estem fent la hipotesi deque tota la massa de la bateria es deguda nomes als components quımics. A lapractica, pero, s’han de tenir en compte el pes de l’estructura i a mes el pes del’aigua que han de portar per tal de que funcionin correctament. Aixo, unit a quel’eficiencia del sistema no es del 100%, fa que la densitat real d’aquestes bateriesacostumi a estar entre50 i 150 KJ/Kg, segons els models i les aplicacions per aque estiguin pensades.

Aquests valors, per exemple, es interessant comparar-losamb la densitat d’e-nergia dels principals combustibles que fem servir a la nostra societat (petroli ibenzina), que estan al voltant de40.000 KJ/Kg, i per tant son de l’ordre de 100vegades mes grans.

Bateries d’io-liti

Les bateries d’io-liti son avui en dia les mes habituals per tal d’alimentar elstelefons mobils i altres petits aparells electronics; aixo es perque tenen una den-sitat d’energia forca alta que permet obtenir una bona autonomia amb tamanysforca petits. En contrapartida, el seu gran desaventatge ´es l’elevat temps quenecessiten per a carregar-se.

En aquest tipus de bateries tenim que a l’anode es generen ions de liti (Li+)que viatgen a traves d’un electrolit organic cap al catode, amb un potencial redoxaproximat de3, 7 V. Com que el liti es el metall menys pesant que existeix, lamassa de la bateria no es massa gran, i per aquest motiu la densitat d’energia eselevada.

12.1. BATERIES ELECTROQUIMIQUES. PILES 179

Per tal de veure’n les caracterıstiques reals, prendrem com a exemple la bate-ria de Nokia BL-5J. Si mirem en les seves especificacions obtindrem una carregade 1320 mAh i un voltatge de 3.7 V.

Primerament veiem que ens apareix una forma diferent d’expressar la carregad’una bateria, el miliAmpere-hora (mAh). Una intensitat per un temps es iguala una carrega. Si ho volem expressar en Coulombs hem de multiplicar les duesxifres (1 mA=10−3 A i 1 h = 3600 s),

Q = 1320 mAh = 1320 · 10−3 · 3600 = 4752 C. (12.1)

L’energia emmagatzemada dins la bateria es pot obtenir de

E = Q∆V = 4751 · 3.7 = 17582 J = 17.6 kJ. (12.2)

El telefon que porta aquesta bateria pot tenir una potencia maxima d’aproxima-dament3 W. Si fem servir el telefon a maxima potencia, o sigui, mantenint unaconvera a traves d’ell, la bateria ens subministrara autonomia nomes durant

∆t =E

P=

17600

3= 5867 min = 1.63 h. (12.3)

Podem obtenir la densitat d’energia haurem de dividir aquest valor per lamassa de la bateria que es de 31 g,

D =E

m=

17.6

0, 031= 566 KJ/Kg. (12.4)

Aquest valor de densitat es refereix a la bateria com a dispositiu, o sigui, in-cloent la seva carcassa. Ens dona una idea de les prestacionsactuals, pero sivolem obtenir una idea de les possibilitats d’aquesta tecnologia haurıem de di-vidir l’energia obtinguda per la quantitat total de Liti present a la bateria, senseconsiderar el catode ni la carcassa. Aquesta bateria te aproximadament uns 0.4grams de Liti. Hem de considerar que el liti es el metall meslleuger i per tant elseu pes es insignificant en comparacio amb les masses de la resta dels compo-nents.Es el liti el que en realitat emmagatzema l’energia, de formaque la massaque hauriem d’utilitzar es precisament aquesta. La nova dentitat d’energia sera

D =E

m=

17.6

4 · 10−4= 44000 KJ/Kg. (12.5)

Per tal de veure fins a quin punt aquesta dada es real calcularem la densitatd’energia del Liti a nivell teoric. Podrem fer un calcul similar a l’anterior totcalculant quanta energia ens pot donar un mol de Liti a traves de la seva reacciod’oxidacio. Per cada mol de Li+ obtenim un mol d’electrons de carrega1.6 ·


10−19 C que passen a traves del voltatge redox de 3.7 V. El pes molecular del lities de 6.27 uma, de forma que la densitat d’energia teorica seria

D =E

m=

V ne

m=

3, 7 · 6, 023 · 1023 · 1, 6 · 10−19

0, 00627= 47.600 KJ/Kg,

valor forca proper a l’anterior.

12.2 Condensadors

Un condensador, tal com hem explicat a l’apartat XX, es un element format perdues zones metal·liques entre les quals es col.loca una zona dielectrica que per-met l’orientacio de les carregues quan s’hi aplica un campelectric. Aixı, si esfa passar un corrent electric pel condensador una de les zones metal.liques oplaques queda permanentment carregada amb signe positiu i l’altre amb signenegatiu. Per tant, a l’interior del condensador hi queda unaenergia electricaemmagatzemada que pot ser reutilitzada posteriorment per agenerar un nou cor-rent.

L’energia emmagatzemada en un condensador recordem que tel’expressio(Equacio XX)

E =1

2CV 2

on C es la capacitat del condensador iV la diferencia de potencial entre lesplaques. La capacitat d’un condensador depen de tres magnituds, l’area de lesplaquesA, la distancia entre ellesL i la permiticitat del medi entre les plaquesǫ,

C =ǫA

L(12.6)

Figura 12.2: Esquema de pila feta de capacitors

A mida que el gruix de la zona dielectrica es fa mes petit succeeixen dos fetsfavorables, per una banda augmenta la capacitat del condensador, ja que aquesta

12.2. CONDENSADORS 181

es inversament proporcional a aquesta distancia i per altre, al disminueix el seuvolum, la quantitat de capacitors que podem posar a la bateria augmenta, cosaque provoca que la densitat d’energia emmagatzemada creixiquadraticamen; noobstant, existeixen diferents limitacions tecniques i f´ısiques que impedeixen quees pugui fer la zona dielectrica arbitrariament petita.

Els condensadors tenen el gran avantatge de carregar-se i descarregar-se moltrapidament, pero a la practica aquests sistemes difıcilment poden ser usats com asistemes d’emmagatzematge en aplicacions reals degut a qu`e el valor de la sevacapacitat es molt petita. Per exemple, un condensador tıpic d’un circuit electricpot tenir una capacitat no gaire mes gran de10−6 Faradis. Si li apliquem unadiferencia de potencial de220 V obtenim

E =1

2· 10−6 · 2202 = 0, 024 J

i suposant que tingui una massa de 0.1 grams obtenim uns densitat d’energia

D =E

m=

0, 024

10−4= 242 J/Kg

que es mil vegades mes petita que les densitats tıpiques de les bateries.

Supercondensadors

Els supercondensadors representen una millora tecnologica respecte els conden-sadors convencionals que hem descrit en l’apartat anterior. La diferencia ambaquests es que en un supercondensador no existeix zona dielectrica; en el seulloc entre una placa i l’altra del condensador existeix una interfıcie de separacio(habitualment constituida per algun electrolit similar als que hi ha a les bateries)que fa el paper del dielectric, permetent que les carregues quedin emmagatze-mades a l’interior una vegada que el supercondensador ha estat carregat.

Com es pot imaginar, el fet de no tenir la zona dielectrica faque en un super-condensador es pugui emmagatzemar la mateixa quantitat d’energia que en uncondensador convencional pero fent servir molt menys espai. A la practica elssupercondensador poden tenir capacitats molt mes grans que els convencionals,fins a prop de103 Faradis per cada gram de material. Aixo teoricament impli-caria una energia emmagatzemada molt gran. Un dels inconvenients practicsdels supercondensadors, pero, es que actualment no existeixen dissenys capacosde treballar a voltatges prou elevats com els que es fan servir a moltes situaci-ons de la vida quotidiana (nomes poden operar a potencials d’uns pocs volts, encomparacio amb els 220 Volts de la xarxa electrica, per exemple).

Prendrem com a exemple un supercapacitor comercial, el Maxwell K2 BCAP300.Aquest te una capacitat de 3000 F, i el seu voltatge d’operacio es de 2.7 V. El


seu pes es de 510 g. La densitat d’energia quan els capacitors estan carregats almaxim es

D =E

m=

12CV 2

m=

12· 3000 · 2.720.510

= 21441 J/Kg = 21.44 KJ/Kg

valor forca per sota de les piles electroquımiques convencionals.Els lımits teorics d’aquesta tecnologia es troben en les capacitats dels con-

densadors utilitzats. Els supercondensador poden tenir capacitats molt mes gransque els convencionals, fins a prop de 103 Farads per cada gram de material. Aixoteoricament implicaria una energia emmagatzemada molt gran. Un model quetreballi a 5 V com a maxim podra tenir un valor teoric de

D =E

m=

12CV 2

m=

12· 1000 · 5210−3

= 1.25 · 106 J/Kg = 12500 KJ/Kg

No obstant, aquests valors son avui en dia purament teorics; com hem vist,els millors dissenys que existeixen al mercat amb prou feines arriben als100KJ/Kg. A mes, aquest potencials tan petits no son gaire operatius en moltes situ-acions reals. Per a solucionar aixo a la practica no s’utilitzen supercondensadorsseparats sino que es col·loquen molts d’ells en serie, pertal que la diferencia depotencial quedi repartida entre tots ells.

12.3 Bateries de rotacio

Les bateries de rotacio representen un metode forca antic per a l’emmagatzemat-ge d’energia pero que actualment esta rebent de nou forcaatencio per part delsenginyers i investigadors per al seu us en diferents aplicacions relacionades so-bretot amb el transport. La idea es molt simple; amb un excedent d’energia es fagirar una peca (habitualment cilındrica) a una gran velocitat i amb el mınim fre-gament possible. D’aquesta manera l’energia queda emmagatzemada en formad’energia de rotacio i pot ser utilitzada de nou un temps mes tard.

L’energia de rotacio de qualsevol objecte es pot escriure (Equacio XX) com

E =1

2Iω2

on I es el moment d’inercia iω es la velocitat de rotacio. El moment d’inerciad’un objecte cilındric massıs es1

2mr2, onm es la massa de l’objecte ir es el seu

radi. Aixı doncs, la densitat d’energia que es pot aconseguir amb la bateria derotacio es

D =E

m=

12

(

12mr2

)

ω2

m=

1

4r2ω2

12.4. EMMAGATZEMATGE PER BOMBEIG HIDROELECTRIC 183

Com hem mencionat abans, les aplicacions d’aquestes bateries es centrensobretot en el sector del transport. La idea es que l’energia que dissipa un vehicleen frenar es pot aprofitar per a fer girar la peca de la bateriai posteriormentaquesta energia s’aprofitara per a propulsar el vehicle i fer que aixı el motortingui un consum menor, o be que la potencia del vehicle augmenti. Aquest esper exemple el cas dels sistemes KERS que fan servir els cotxes de Formula 1per tal d’aconseguir augmentar la velocitat punta en les rectes, tot i que tambeexisteixen altre tipus de transports (trens, autobusos...) on s’ha experimentat ambsistemes similars.

Per tal de mostrar un exemple, considerem un sistema KERS tıpic d’un cotxede Formula 1 (veure Figura XX). Normalment la peca que forma el sistemaconsisteix en un cilindre (que no es completament massıs,tot i que nosaltresaquı suposarem que sı) fabricat en fibra de carboni per tal que pugui suportar lesenormes velocitats de rotacio a que es veu sotmes el material, que son de l’ordrede 80.000 rpm. El tamany del cilindre acostuma a ser d’uns 25 cm de diametreper 25 cm de llargada. Amb totes aquestes dades trobem que la densitat d’energiaemmagatzemada en el KERS es

D =1

4r2ω2 =

1

4(0, 125)2

(

80.0002π

60

)2

= 274 KJ/Kg.

Veiem, doncs, que la capacitat d’aquest sistema no es gairealta, sobretot si escompara amb la de la benzina. No obstant, un dels avantages d’aquest siste-ma, atractiu sobretot pel cas dels Formula 1, es que l’energia de rotacio pot serrecuperada de manera forca rapida, la qual cosa permet augmentar de maneraapreciable la potencia del cotxe en moments puntuals. A mes, pensant ja enaltres tipus d’aplicacions, el sistema es forca flexible en el sentit de que l’ener-gia pot ser emmagatzemada i consumida contınuament en funcio de com anemvariant la velocitat del nostre vehicle.

12.4 Emmagatzematge per bombeig hidroelectric

A la introduccio del capıtol comentavem que l’emmagatzematge d’energia esuna questio que te especial interes en la gestio de la demanda d’energia a granescala. Tot i aixı, els tipus de sistemes d’emmagatzematgeque hem vist fins ara(bateries electroquımiques, de rotacio o condensadors)estan fonamentalmentenfocats a aplicacions a petita o mitjana escala (tot i que laviabilitat del seu usa gran escala esta en alguns casos encara en vies de recerca). Actualment elsmetodes que es fan servir per tal d’emmagatzemar energia engrans centrals ge-neradores d’energia son habitualment forca menys sofisticats, i consisteixen en


el bombeig d’aigua (que es el que veurem en aquest apartat) oen l’emmagatze-gament d’aire comprimit (proper apartat).

El bombeig d’aigua es un recurs que fan servir algunes centrals hidroelectriques.La idea es simplement aprofitar els excedents d’energia quan la demanda es bai-xa per a bombejar aigua presa amunt, i aixı aquesta podra per ser utilitzadaposteriorment altre cop en una turbina, amb el mateix principi de funcionamentque qualsevol central hidroelectrica.

L’eficiencia d’aquest sistema no es del 100%, ja que hem de pensar en lesperdues associades al proces de bombeig, les quals s’estima que representen el25% de l’energia que es podria arribar a emmagatzemar. Pel que fa a la den-sitat d’energia que ens permet aquest metode, aquesta dependra logicament del’alcadah a la qual fem pujar l’aigua. L’energia quedara emmagatzemada enforma d’energia potencial gravitatoria, de maneraE = mgh. Aixı podem calcu-lar

D =E

m=

mgh

m= gh.

Per tant, si bombejem l’aigua fins a aconseguir un salt de50 metres tenim unadensitat d’energia potencial d’uns500 J/m=0.5 kJ/kg. Es pot observar que entot cas estem parlant de densitats gairebe ridıcules comparades amb les d’unabateria o altres sistemes similars. Evidentment la rao pera fer servir aquestsistema es que resulten barats i son tecnicament molt senzills d’implementar finsi tot a gran escala. A mes, en aquest cas la densitat d’energia no es un parametregraire important en aquest cas ja que la quantitat d’aigua a la que podem accedirsempre es molt gran.

12.5 Emmagatzematge per compressio de gas

Un altre sistema que es fa servir sovint per a la gestio de la demanda electricaconsisteix en emmagatzemar grans quantitats d’aire o gas comprimit (habitual-ment en el subsol) per tal de fer-les servir per a produir energia mitjancant turbi-nes de gas. Evidentment aquest tipus de processos poden ser forca rendibles sies fan servir en centrals termiques, ja que la mateixa turbina de la central pot serutilitzada a aquest efecte, pero tambe existeixen algunes plantes especıficamentenfocades a emmagatzemar aquesta energia i produir-la en moments d’elevadademanda. Les dimensions acostumen a ser forca espectaculars, ja que en ocasi-ons en fan servir en aquestes plantes cavitats subterranies de mes de107 m3 pera emmagatzemar-hi gas a pressions d’entre 50 i 100 atmosferes.

Per tal de saber quina es l’energia emmagatzemada en el gas comprimit ne-cessitem saber com aquest sera utilitzat despres. En general, el gas ha de serexpandit de nou per a passar al circuit que el portara cap a laturbina de gas.

12.5. EMMAGATZEMATGE PER COMPRESSIO DE GAS 185

L’energia que aquest te emmagatzemada, doncs, es pot interpretar com l’energiaalliberada en l’expansio del gas. En general, l’expansiod’aquests gasos compri-mits s’ha comprovat que s’ajusta forca al cas d’una expansio adiabatica i per tantper a fer els calculs podem considerar el treball que s’allibera en una expansioadiabatica (Apartat XX). Com que l’intercanvi de calor en el proces es zero, fentservir el primer principi de la termodinamica (Apartat XX)i suposant que el gases ideal obtenim un treball igual

W = ∆U = mCv∆T =mCv

R∆(Pv),

onCv es la capacitat calorıfica del gas a volum constant, i en la ´ultima igualtats’ha fet servir l’equacio XX dels gasos ideals (Pv = RT ).

Aixı doncs, com que l’energia emmagatzemada es igual en valor absolut altreball d’expansioW , la densitat d’energia emmagatzemada es en aquest cas

D =−W

m=

Cv

R(P0v0 − P1v1)

on el subındex1 es refereix al gas ja expandit i el subındex0 fa referencia al gascomprimit. Com que estem considerant un proces adiabaticpodem fer servir larelacio adiabatica (Equacio XX)

P1vγ1 = P0v

γ0

on γ es el coeficient adiabatic. Fent servir aquesta relacio en l’expressio per ladensitat d’energia trobem

D =Cv

RP1v1

[

P0v0P1v1

− 1

]

=Cv

RP1v1

[

(

P0

P1

)γ−1γ

− 1

]

= CvT1

[

(

P0

P1

)γ−1γ

− 1

]

on de nou hem fet servir l’equacio del gas ideal. Aixı podemdeterminarD apartir de les pressionsP1 i P0 del gas expandit i comprimit, i la temperatura delgas ja expanditT1, que son parametres habitualment senzills de mesurar. Perexemple, considerem un gas que passa d’una pressio de 50 atmosferes a pressioatmosferica (1 atm) i temperatura ambient (per exemple 293oK). La densitatd’energia emmagatzemada, agafant la capacitat calorıficade l’aire (Cv = 1000J/KgoK) i un coeficient adiabatic estandar (γ = 7/5), es

D = 1000 · 293 ·[

(

50

1

)

7/5−17/5

− 1

]

= 603 KJ/Kg

que es un valor comparable fins i tot superior al de les bateries electroquımiques.No obstant, i com ja hem esmentat en els casos anteriors, aquest es nomes unlımit teoric; a la practica la fraccio d’aquesta energia que realment podra arribara ser utilitzada a la turbina de gas sera forca inferior.


12.6 L’hidrogen com a alternativa de futur

Al llarg del capıtol hem observat com els diferents sistemes d’emmagatzemat-ge d’energia que habitualment s’utilitzen en aplicacions del mon real presentendensitats d’energia forca inferiors al de la benzina o el petroli, que constitueixenels combustibles basics que fa servir la nostra societat. Pero com es sabut lesreserves de petroli del nostre planeta son finites, i donat l’elevat ritme al qualles estem consumint aquest recurs esdevindra escas en un termini de no mas-ses anys. Existeixen, doncs, alternatives al petroli? A banda d’intentar millorarles tecnologies actuals en materia de bateries i supercondensadors, una de lespropostes de futur mes viables i atractives sembla ser l’us de l’hidrogen com acombustible.

L’hidrogen es utilitzat com a font d’energia per a fer funcionar les anomena-des piles de combustible, que funcionen amb el mateixos principis fısics que lesbateries electroquımiques. A l’anode, l’hidrogen es ionitzat i cedeix electronsque circularan per un circuit i ens aportaran una energia el`ectrica, mentre que lareaccio de reduccio del catode fara que el circuit es pugui tancar. En realitat exis-teixen molts tipus diferents de cel.les de combustible que funcionen mitjancantl’aport d’hidrogen, pero en la majoria d’elles la reacciode reduccio-oxidacioque hi te lloc es

2 H2 + O2 → 2 H2O

que es la coneguda formacio d’aigua a partir d’hidrogen i oxigen. Per a calcularla densitat d’energia de l’hidrogen com a combustible es pren habitualment coma referencia aquesta reaccio. Sabem que quan la reaccio es produeix, aquestaallibera uns285 KJ d’energia per cada mol d’hidrogen gas que hi interve. Comque un mol d’hidrogen te una massa de 2 grams trobem

D =E

m=

285

0.002= 142.500 KJ/Kg

que es un valor tres vegades superior al de la benzina. Per tant, des del puntde vista energetic l’us d’hidrogen com a combustible es una opcio perfectamentviable. A mes, des del punt de vista ambiental representa una solucio neta, jaque en teoria l’unic producte que esdeve de la pila de combustible es aigua. Toti aixo, a la practica la majoria de piles de combustible queexisteixen al mercatencara utilitzen altres combustibles addicionals i emetenaltres tipus de residusno desitjats com ara CO2, donat que aquesta tecnologia encara esta en fase dedesenvolupament.

Els grans obstacles que actualment per tal d’aconseguir estendre globalmentl’us de les piles d’hidrogen son tres: i) millorar el rendiment de les piles actuals,

12.7. EXERCICIS 187

que es encara forca baix, ii) aconseguir maneres senzilles i barates de generar hi-drogen en grans quantitats, i iii) crear les infraestructures necessaries per a poderdistribuir l’hidrogen de forma eficient. Centrant-nos en elsegon d’aquests punts,hem de pensar que molts metodes dels que s’utilitzen actualment per a generarhidrogen son industrialment complexos i alguns poc sostenibles. Una alternati-va que s’esta estudiant es l’us de cel·les electrolıtiques, que generen hidrogen apartir d’aigua en determinades condicions que facin eficient el proces. Aquestasolucio seria realment optima des del punt de vista ambiental (l’aigua generahidrogen i l’hidrogen genera energia, proces en el qual recuperem l’aigua), peroencara no es tecnologicament viable. Per a fer-nos una idea del potencial teoricque te aquesta lınia, pensem en l’energia que es pot emmagatzemar a traves ded’una piscina olımpica plena d’aigua. Aquesta conte uns3 millions de kilosd’aigua. El nombre de mols d’aigua que emmagatzema es

n =m

mH2O=

3 · 1060.018

= 1.67 · 108 mol (12.7)

Com que en la reaccio obtenim un mol d’hidrogen molecular (H2) per cada mold’aigua aquest sera el nombre de mols d’hidrogen que tindrem despres de separartota l’aigua. El pes de tot aquest hidrogen es

m′ = nmh = 1.67 · 108 · 0.002 = 3.33 · 105. (12.8)

Amb la densitat d’energia que hem obtingut anteriorment obtenim una energiatotal de

E = m′D = 3.33 · 105 · 1.45 · 105 = 4.75 · 1013 J. (12.9)

que es suficient com per abastir tot el consum energetic mundial durant un segon.

12.7 Exercicis

1. Els cotxes hıbrids funcionen emmagatzemant energia de les frenades enuna bateria electroquımica, energia que despres es fa servir sobretot per aaccelerar el cotxe. La resta del temps el cotxe rep l’energiadel motor decombustio, com un cotxe normal.

a) La majoria dels cotxes hıbrids comercials fan servir bateries de nıqueli hidrur metalic, ja que son barates i tenen una carrega i descarregaforca rapida. El proces redox que hi te lloc implica la reaccio iguala-da de potencial redox 1,2 V.

M+Ni(OH)2 MH+NiO(OH)


i l’intercanvi d’un electro pel camı. El sımbol M denota un compostmetel·lic, que acostuma a ser una aleacio. Suposant que M siguiLaNi5 (que es el cas mes habitual) calculeu la densitat d’energia dela bateria.

b) Si el cotxe es frena des de 120 Km/h fins a aturar-se i la bateria escapac d’emmagatzemar un 80% de l’energia dissipada en els frens isubministrar un 80% d’aquesta energia emmagatzemada per a acce-lerar, estimeu quina velocitat podem assolir des del reposreaprofitantl’energia de la bateria.

c) En una conduccio per ciutat posem que el 85% de l’energia s’utilitzaen accelerar (per tant la mateixa quantitat d’energia es dissipa en elsfrens). Suposant que el sistema de recuperacio te el mateix rendimentque en l’apartat anterior, calculeu en quin tant per cent podem reduirel consum del nostre cotxe.

d) Per autopista nomes fem servir prop del 20% del consum en frenari accelerar. Quina seria el tant per cent de reduccio del consum queaconseguirıem per autopista amb un cotxe hıbrid?

2. Hem vist en aquest capıtol que la densitat d’energia de l’hidrogen es de142.500 KJ/Kg, pero quina autonomia podria tenir un cotxe que funcioniamb hidrogen? Imaginem que l’objectiu es obtenir una autonomia de 500Km.

a) Un cotxe promig generalment necessita uns 6 litres de benzina pera recorrer 100 Km. Sabent el poder calorıfic de la benzina (40.000KJ/l) calculeu quanta energia gasta un cotxe en recorrer 500 Km.

b) Calculeu quants Kg d’hidrogen fan falta per a que un cotxerecorri500 km.

c) Sabent la densitat de l’hidrogen (76 Kg/m3) calculeu quin volum (enlitres) ocuparia l’hidrogen necessari per a recorrer 500 Km. Per amantenir l’hidrogen lıquid calen temperatures molt baixes. Per tant,un dels principals problems per dissenyar un cotxe d’hidrogen es elde construir un tanc de combustible que aılli l’hidrogen del’exterior.A continuacio mostrem algunes de les dificultats tecniques que hiapareixen.

d) Calculeu quina area tindria un diposit cubic que contingui l’hidrogennecessari per a recorrer 500 Km.

e) Quina energia cal per a escalfar l’hidrogen del tanc un grau centıgradsi el calor especıfic de l’hidrogen lıquid es de l’ordre de10 KJ/KgK?

12.7. EXERCICIS 189

f) Quin gruix hauria de tenir el tanc (fet d’un material de conductivitattermica 0,01 W/mK) per a aconseguir que el pas de calor de l’interior(-2000C) cap a l’exterior (200C) sigui prou petit com per a que latemperatura de l’hidrogen nomes baixi en un grau cada hora?

g) Quin volum de material representa el gruix anterior? Si elmaterialtingues la mateixa densitat de l’aigua, quina massa caldria afegir alcotxe degut al pes del tanc?

3. A nivell d’Espanya la potencia electrica demandada pelsector domesticdurant la nit a primera hora del dia (des de les 0:00 fins les 10:00) es enpromig d’uns 4.000 MW, mentre que durant les hores del migdiai la tarda)de 10:00 a 24:00) es d’uns 10.000 MW.

a) Si les centrals generadores d’energia han de treballar el80% per asatisfer la demanda de la tarda i nomes poden reduir el funcionamental 50% durant la resta del dia, quanta energia caldria emmagatzemarsi l’unic consum fos el domestic?

b) Quants litres d’aigua haurıem d’elevar 20 metres per tald’aprofitaraquesta energia, suposant que en el bombeig es perdes el 40%?

c) Si tinguessim un sistema capac d’emmagatzemar sense p`erdues to-ta l’energia que fos necessari a quin tant per cent constant podrientreballar sempre les centrals per tal de satisfer la demanda?

4. Una de les tecniques per tal de reduir els gasos d’efecte hivernacle es cap-turar el CO2 d’origen industrial i guardar-lo en el subsol. Aixo es coneixcom a emmagatzematge de CO2.

a) Es calcula que cap a l’any 2050 un 30% de les emissions de CO2 d’o-rigen huma cap a l’atmosfera (que son de 1,4·1013 Kg) podrien sereliminades amb aquest sistema. Quina concentracio de CO2 repre-sentaria aixo en ppm, sabent que la massa de l’atmosfera son 5·1018

Kg?

b) Quina densitat d’energia emmagatzegarıem si tanquem elCO2 a unapressio de 50 atmosferes, sabent que el seu calor especıfices de 950J/KgK i suposant que la descompressio corresponent fos adiabatica?

c) Quanta energia podem emmagatzemar si comprimim tota la massade CO2 del primer apartat?

5. Els sistemes de recuperacio d’energia (KERS) bassats enbateries de rota-cio son especialment interessants d’aplicar en vehiclesgrans, ja que l’e-nergia cinetica que dissipen en frenar es molt gran.


a) Calculeu l’energia dissipada en la frenada d’un cotxe (1.000 Kg) desde 120 km/h, d’un autobus (20.000 Kg) des de 60 Km/h, o d’un tren(200.000 Kg) des de 80 Km/h.

b) Quin hauria de ser el moment d’inercia del rotor de la bateria de ro-tacio (suposant que nomes fessim servir un i que gires a una velocitatde 80.000 rpm) per a emmagatzemar el 80% de l’energia de frenadadel tren?

c) A partir del resultat anterior, i sabent que el rotor es unciindre massısde densitat 1.700 Kg/m3, trobeu quin tamany hauria de tenir el rotor.

d) Quants rotors de 30 cm de radi farien falta per a emmagatzemaraquesta mateixa energia?

e) Si el proces d’emmagatzemar l’energia de frenada del tren el repetim100 vegades al llarg del dia per a cada tren i disposem de 40 trenscirculant a la xarxa, quanta energia estalviem en un dia? Quants litresde benzina representa aixo (poder calorıfic de la benzina:40.000KJ/l)?

f) Al consum de quants habitatges equival l’energia estalviada, si supo-sem un consum de 9.000 kWh anuals per cada habitatge?

6. Holanda es un dels paısos capdavanters en sistemes d’EmmagatzematgeSubterrani d’Energia Termica. La idea consisteix en aprofitar aigua delsubsol per refrigerar habitatges i processos industrialsi, una vegada escal-fada l’aigua, aquesta s’emmagatzema de nou al subsol per a fer-la servirper calefaccio a l’hivern.

a) Si fem passar 10 litres per segon d’aigua del subsol a 150C a travesd’un sistema de refrigeracio d’una fabrica, d’on absorbeix 106 Joulescada segon, fins a quina temperatura s’escalfara l’aigua? (Nota: elcalor especıfic de l’aigua es 4180 J/KgK).

b)

CAPITOL 13El cicle de l’aigua

13.1 Pluviometria i energia

La pluja pot existir perque previament, aquesta s’ha evaporat en alguna part delmon despres d’absorbir l’energia provinent del Sol. Sense energia solar no exis-tiria la pluja. Aixı doncs, es d’esperar que radiacio solar i pluviometria estiguind’alguna forma relacionats.

Per tal d’evaporar-se, l’aigua necessita absorbir prou energia com per fer uncanvi d’estat. A aquesta energia se l’anomena calor latent.Si l’aigua passa delıquid a vapor o de solid a vapor a aquest calor latent se l’anomenara d’evapo-racio o de sublimacio, respectivament. En el cas de l’aigua, els valors numericsson aproximadamentce = 2.45 ·106 J/kg per a l’evaporacio ics = 2.78 ·106 J/kgper a la sublimacio.

La pregunta que intentarem respondre tot seguit es: existeix alguna relacionumerica entre la quantitat d’energia solar que arriba a laTerra i la quantitat depluja? El mes logic de creure es que efectivament aquestarelacio existeix, peroabans de comencar a calcular haurem de coneixer una dada adicional. L’atmos-fera terrestre es mou, i en aquest moviment porta l’aigua queconte d’un lloc al’altre del planeta. Aquest moviment, pero, no barreja totes les zones de l’at-mosfera indistintament sino que es dona en tres zones del planeta diferenciades.Son les anomenadescel·les de conveccio: la primera va des de l’Equador finsa la latitud 30º, la segona de latitud 30º fins a 60º, i la ultima des dels 60º finsals pols terrestres. Si observem les imatges dels satel·lits meteorologics ens ado-narem que les masses d’aire es mouen en direccio est-oest dintre de cada unad’aquestes cel·les. Aixı doncs, tot i que no podem dir que laquantitat d’aiguaque s’evapora d’un lloc caura allı mateix, si que podem dirque l’aigua que s’e-vapora en una latitud, caura segurament en alguna altra part de latitud similar.

191

192 CAPITOL 13. EL CICLE DE L’AIGUA

Figura 13.1: Mapa amb mitjanes anuals de precipitacio.

Tenint en compte aquesta ultima dada, en la present secciocalcularem els valorspromitjats de les magnituds estudiades entre totes les zones a igual latitud.

Un cop coneguda la calor latent i assumit el model d’igualtatentre evapo-racio i precipitacio, un calcul molt simple per comprovar aquests suposits seriacomparar la quantitat total de pluja caiguda amb la quantitat d’aigua que es po-dria evaporar com a maxim si s’hagues utilitzat tota l’energia provinent del Sol.

Per a la primera dada es tan facil com recorrer a l’estadıstica. A la figura 13.1es mostra la precipitacio mitjana a tot el planeta. Nosaltres farem un estudi detres zones diferents: l’equatorial, les latituds intermitges i les zones polars (quecorresponen aproximadament a les cel·les de conveccio quehem comentat).

En la zona equatorial podem observar un cinturo de grans precipitacions ambuns valors de precipitacio entre 200 i 300 mm/mes. A nivell europeu, la tonicageneral es el color verd que indica uns valors entre 75 i 100 mm/mes i a nivell po-lar, a l’Antartida veiem un color groc com a dominant indicant una precipitaciod’entre 1 a 10 mm/mes.

Comencem per la zona equatorial. Calculem primerament quanta aigua cau atot l’equador. Per fer aquest calcul imaginem una cinta d’ampladah i perımetre2πR onR es el radi de la Terra tal i com es mostra en l’imatge de la dreta de lafigura 13.2. Si la pluviometria esp i la mesurem en litres totals caiguts per m2 iper mes, la quantitat d’aigua caiguda en forma de pluja durant Mp durant aquestinterval de temps∆t en aquesta zona del mon sera igual a

Mp = 2πRhp (13.1)

13.2. HUMITAT I XAFOGOR 193

Per calcular quanta energia ha arribat a aquesta regio durant el mateix tempshem d’utilitzar el valor del flux d’energia Solar incidentφ = 1500 W/m2. Abansde multiplicar per la mateixa area (2πRh), hem d’observar que no arriba la ma-teixa energia a tot arreu. Hi ha zones on es de dia i zones on es de nit. La formames facil d’evitar calculs farregosos es adonar-se quel’area efectiva a on estaarribant l’energia es igual a una zona de mida2Rhx, mostrada a la imatge del’esquerra de la figura 13.2. Aixı doncs, la quantitat d’energia que arriba duranttot el mes a l’equador valdra

∆E = φA∆t = φ2Rh∆t. (13.2)

Si dividim aquesta energia per el calor latent d’evaporaci´o de l’aiguacle, obtin-drem la quantitat d’aigua que es podria evaporar durant tot aquest temps.

Cal fer, abans de procedir a fer el calcul, un petita correccio a aquests calculs.Es tracta de veure que no pas tot l’equador esta en disposicio de cedir aiguaa l’atmosfera. A nivell planetari tan sols les masses oceaniques poden fer-ho.Aixı doncs, al calcular quanta aigua es pot evaporar, hem demultiplicar perun percentatge que indiqui quanta part d’aquella zona es oceanica. Una formasenzilla d’obtenir aquesta dada es la de quadricular el mapa i comptar el nombrede quadrats pertanyents als oceans i els pertanyents a terra. En el cas de l’equadoraquest valor ronda f=0.5.

Aixı doncs, l’aigua maxima evaporable en

∆Me =fφ2Rh∆t

ce. (13.3)

Per a l’equadorR = 6.38 · 106 m, h = 1.0 · 106 m, p = 250 mm/m2,∆t = 1 mes=2.59·106 s. Aixo dona uns valors d’aigua caiguda i evaporada deMp = 1.00 · 1016 l/mes iMe = 1.02 · 1016 l/mes.

Per a les latituds europees hem de fer algunes modificacions.Primer, la mesobvia, el radi de la zona no es el radi de la Terra,Rp, sinoR2 = Rp cos(θ) on θes la latitud. La segona es adonar-nos que aquesta zona esta inclinada respectedel sol amb un valor tambe promig igual a la latitud, de formaque el flux quearribara a aquesta regio no sera l’anterior sinoφ2 = φ cos(θ). Tambe hem deconsiderar una proporcio d’ocea menor, aproximadament 0.35. Prendrem en elnostre cas un valor deθ =45º i una amplada deh = 3000 km, deixant igual laresta de dades. Amb aquest parell de modificacions, la quantitat d’aigua caigudai evaporadaMp = 1.02 · 1016 l/mes iMe = 1.06 · 1016 l/mes.

13.2 Humitat i xafogor

Fins ara hem parlat d’evaporacio sense tenir en compte que la quantitat d’aiguaque pot emmagatzemar l’aire es limitada. Resulta obvi de dir que un metre cubic


R1

h1

R1

R2h

2

R2

h2

h

Figura 13.2: Esquema del model

d’aire no pot emmagatzemar 1 litre d’aigua, pero la pregunta que ens hem de feres, quanta aigua pot tenir una massa d’aire? Per poder parlar sobre aquestaquestio, hem de definir un nou terme, la humitat.

Definim la humitat absoluta d’una massa d’aireHA com el quocient entre laquantitat d’aigua que aquesta massa conte entre el volum total.

HA =mw

Va, (13.4)

onmw es la massa d’aigua iVa el volum d’aire. Just despres de definir la humitat

13.2. HUMITAT I XAFOGOR 195

absoluta hauriem de definir la humitat relativa, pero per poder-ho fer necessitemutilitzar el concepte de pressio parcial.

Un gas com l’aire esta composat de diferents substancies.Les principals sonel nitrogen molecular N2, en un 78%, l’oxigen molecular O2, en un 21% i ArgoAr, en un 1%. A part d’aquests elements en conte molts d’altres com el diooxidde carboni CO2 o l’aigua H2O, pero en tan poca quantitat que expressar-ho enpercentatge resultaria poc util.

Cadascuna de les molecules que forma l’aire actua a efectesde pressio com sifos una partıcula puntual, indiferentment del tipus que sigui. Aixo vol dir que nonotariem cap diferencia en la pressio si en comptes de tenir aquesta composicioreemplacessim cada molecula d’oxıgen i d’argo per una molecula de nitrogen.

En un metre cubic d’aire a 300 K de temperatura i una pressiod’1 atmosferatenim, d’acord amb la llei dels gasos ideals (Equacio XX), un nombre de molsdonat per

n =PV

RT=

101325 · 18, 31 · 300 = 40, 62 mols = 2, 45 · 1025 atoms. (13.5)

Tal i com hem dit, aquests son els atoms totals, indiferentment del tipus. D’a-quest total, el 78%, o sigui1.73·1025 seran de nitogen, un 21%, o sigui5.15·1024seran d’oxıgen i tan solsd un 1%,2.45 · 1023 ho seran d’argo.

La pressio parcial d’una substancia dins d’un gas es defineix com la pressioque faria el gas si eliminessim sense reemplacar totes lesmolecules que no fossind’aquella substancia. Aixı la pressio parcial de nitrogen dins del metre cubicanterior es

pN2 =nRT

V=

1.73 · 1025 · 8.314 · 3001

= 79300 Pa = 0.78 atm. (13.6)

Com es natural, la pressio parcial en els gasos on no hi ha interaccio es el mateixpercentatge que la composicio.

Imaginem tot seguit que l’aire esta damunt d’una zona on hi ha aigua tal icom es mostra a la figura 13.3. Part de les molecules de l’aigua saltaran, perquetenen una energia cinetica elevada, cap a l’aire. Aquest fet es el que succe-eix en el proces d’evaporacio. L’energia que porta la llumes absorbida per lesmolecules d’aigua, aixo les excita fent que algunes d’elles passin cap a l’aire.Aquest proces es produeix a un ritme determinat, i es pot anar repetint indefini-dament. No obstant, en el seu moviment caotic, les molecules d’aigua presentsen l’atmosfera poden tornar a xocar contra l’aigua essent reabsorbides en aquestproces. Si l’aigua present en l’aire es molt petita, el proces dominant es el del’evaporacio, pero si la quantitat d’aigua es molt elevada, el proces dominant esel de la reabsorcio. En un estat d’equilibri, els dos ritmeses fan iguals i la quan-titat d’aigua que conte l’aire sempre es la mateixa. Al valor de la pressio parcialde l’aigua en l’aire en aquest estat se l’anomena pressio saturada de vapor.


Figura 13.3: Pressio de vapor.

Aixı doncs, l’aire no pot contenir mes aigua que la pressi´o saturada de vapor,ja que si en contingues mes quedaria dipositada en les superfıcies solides queestan en contacte amb el gas. Aquest es el fenomen que succeeix quan diemque fa molta xafogor. Quan ens toquem el front notem que estamullat. Aixo esperque l’aire no pot contenir mes aigua que la que ja contei no deixa evaporarla que nosaltres generem.

Una segona caracterıstica de la pressio de vapor saturadaes que depen dela temperatura. L’aire calent te mes capacitat d’encabiraigua que l’aire fred.A la figura ?? podem veure la pressio de vapor en saturacio en funcio de latemperatura. Es pot veure com a mesura que augmentem la temperatura, laquantitat d’aigua que podem tenir en l’aire es molt mes elevada.

A traves de la llei dels gasos ideals podem utilitzar la pressio de vapor persaber quanta aigua pot contenir un volum d’aire. De la figura??veiem que a 30ºC, la pressio de saturacio es de 4247 Pa. Quanta aigua contindra 1 m3 d’aire?La resposta es

n =PV

RT=

4247 · 18.314 · 300 = 1.69 mols. (13.7)

Sabent que la massa molecular de l’aigua es de 18 g/mol, aix`o ens dona 30.34g/m3.

Un cop sabem el que es la pressio de vapor en saturacio, podem definir lahumitat relativa com el percentatge entre la quantitat d’aigua que te l’aire i lamaxima que pot arribar a contenir. Aixı doncs, una humitatrelativa del 50%significa que l’aire conte la meitat de l’aigua que pot arribar a contenir. En el casanterior, a 30 ºC, una humitat del 50% significa que hi ha 15.17g/m3.

Si ens fixem en com s’asseca la roba en funcio de les condicions meteo-rologiques podem aprendre molt respecte d’aquest fenomen. Hi ha tres magni-tuds que determinen la velocitat a la que s’asseca la roba, que son: la tempera-tura, la humitat relativa i el vent. En dies molt calorosos, amb una humitat moltpetita i un vent considerable la roba s’asseca molt rapidament, mentre que en

13.3. FORMACIO DE NUVOLS I GOTES DE PLUJA 197

Figura 13.4: Pressio de vapor.

dies freds, amb molta humitat (plovent o a punt de fer-ho) i amb poc de vent, laroba no s’asseca en absolut.

13.3 Formacio de nuvols i gotes de pluja

Els nuvols es formen quan el vapor d’aigua condensa sobre petites partıculesen suspensio que porta l’aire. Aquestes partıcules podenser de sorra, fum osal que son alliberades des del terra per fenomens naturals o be per accio del’home. Sense la presencia d’aquestes partıcules seria impossible que es generesnuvolositat, i tota l’aigua de l’atmosfera seria en forma devapor, deixant el celamb el seu color blau caracterıstic. Les partıcules en suspensio son molt petites,tenen majoritariament mides de l’ordre de micrometres, pero aquesta mida ja essuficient com per permetre que l’aigua es dipositi a sobre seu. La rao fısica peraquesta necessitat rau en l’efecte de dues magnituds, la tensio superficial i lapressio de vapor.

La tensio superficial es la tensio resultant del fet que les molecules que estroben a la superfıcie d’una substancia tenen tendenciaa entrar a l’interior perqueen l’interior tenen menys energia que a l’exterior. Aquestaenergia prove de lesinteraccions moleculars. Quan existeix una interaccio atractiva, aixo confereixa la substancia un una cohesio degut a que les molecules volen estar en una


situacio de mınima energia i aquesta la troben estant al costat d’altres moleculesiguals que elles. Les molecules que es troben a la superfıcie tan sols podennotar aquesta interaccio per la part interior, pero per lapart on estan en contacteamb la substancia exterior, aquesta disminucio de l’energia no existeix. Aquestfet provoca que la gota vulgui tenir una forma on la superfıcie sigui mınima, iaquesta es l’esfera.

13.4 L’energia de la pluja. Centralshidroelectriques

La pluja caiguda a terra ha perdut gairebe tota l’energia respecte de la que teniaquan estava a l’ocea. El calor latent l’ha alliberat a l’atmosfera en el proces decondensacio, pero al caure al terra, la seva energia potencial gravitatoria es lleu-gerament mes gran que la que tenia a nivell del mar. Podem aixı aprofitar encarauna part petita d’aquesta energia a traves d’una central hidroelectrica (aquestaidea sera desenvolupada en mes detall en el capıtol d’Energia Hidroelectrica iMareomotriu).

L’aigua que emmagatzema un embassament esta uns metres mes amunt quela que circula pel riu mes enlla de les seves comportes. La diferencia en l’energiapotencial abans i despres de passar per les comportes es laque es destina a fergirar les turbines de la central. Quanta energia podem aspirar a generar coma maxim en un embassament? La resposta no esta en la tecnologia sino en lameteorologia.

Un riu es el camı d’aigua que es genera quan part de l’aigua caiguda enuna superfıcie determinada es fa passar per un mateix lloc.A aquesta area sel’anomena conca. La part de l’aigua que no circulara per el riu s’haura evaporat.Si anomenem l’aigua caiguda com a precipitacionsVp i l’aigua que circula per elriu escorrentiaVe, definim com a deficit d’escorrentia al quocientVe/Vp. Aquestvalor dependra del tipus de terra, la quantitat i el tipus devegetacio de la zona;per a les conques iberiques el seu valor es d’aproximadament 0.25. Aixı doncs,a l’Ebre el 25% de l’aigua caiguda sera tota enviada cap a leszones baixes ons’anira acumulant amb la provinent d’altres zones per acabar formant aixı elriu. Per tal de contrastar aquest fet, podem agafar el climograma d’una zonarepresentativa de la conca de l’Ebre (Hosca) i multiplicar l’aigua caiguda durantun mes per l’area total de la conca, que sonAc =86.100 km2. Amb aquestmodel, el cabal del riu a la seva desembocadura ha de ser iguala l’aigua caigudadurant un mes entre aquest temps en segons. Agafant les dades de gener tenim

13.4. L’ENERGIA DE LA PLUJA. CENTRALS HIDROELECTRIQUES 199

Figura 13.5: Conca de l’Ebre.

que

Q =0, 25 · Va

∆t=

pAc

∆t=

0, 25 · 39 · 8, 61 · 10102, 59 · 106 = 3, 25 · 105 l = 325 m3/s.

(13.8)on hem pres una precipitacio de39 l/mm2 en un mes, tal com indica a la Figura13.6 pel cas de gener. El valor obtingut s’ajusta molt be al valor real del cabaldel riu Ebre en el mes de gener.

Tota l’aigua que circula per un riu que te una presa es finalment utilitzadaper generar energia hidroelectrica. L’energia que s’aprofita es la potencial gra-vitatoriaEp = mgh. La potencia que podra generar una central hidroelectricaesta directament relacionada amb el cabal del riu. No tindria sentit instal·lar unacentral amb una capacitat per a generar una potencia massa mes elevada ja quemai arribaria a passar per el riu l’aigua necessaria.

La potencia que podra generar la central hidroelectricaes

P =mgh

∆t=

V ρgh

∆t= Qρgh (13.9)

Amb el cabal calculat anteriorment, la potencia d’un pant`a que aprofiti l’aiguade l’Ebre com el de Mequinenca i que te un salt d’aigua de 80 m, pot generaruna potencia de

P =325 · 1000 · 9.8 · 80

2, 59 · 106 = 2, 54 · 108 W = 254 MW. (13.10)


Figura 13.6: Climograma de Huesca.

valor proper a la potencia nominal de la infraestructura real, que es de 324 MW.

Exercicis

1. El desgel i el canvi climatic. Una de les consequencies del canvi climaticglobal que amb mes frequencia apareix als mitjans de comunicacio esl’augment del nivell dels oceans que te lloc com a consequ`encia del desgelde les zones polars. Aquesta afirmacio, pero, requereix moltes matitzaci-ons ja que el proces es molt mes complicat del que sembla.

a) Un dels motius principals pels quals el nivell dels oceanspuja enaugmentar la temperatura del planeta es per la dilatacio termica queexperimenta l’aigua. Es calcula que la temperatura mitja dels oceansha augmentat els darrers cent anys en 0,10C des de superfıcie fins auna profunditat de 700 metres. Si el coeficient de dilataciode l’aiguaen condicions normals es de2 ·10−4 K−1 i la massa d’aigua oceanicaentre la superfıcie i els 700 metres es aproximadament de2 ·1017 Kg,estimeu l’increment de volum que han patit els oceans en el darrersegle.

b) Sabent que els oceans ocupen el 70% de la superfıcie terrestre calcu-leu l’augment del nivell oceanic que representa el resultat anterior, icompareu amb l’ascens real que han patit els oceans en l’ultim segle(que es aproximadament 20 cm).

13.4. L’ENERGIA DE LA PLUJA. CENTRALS HIDROELECTRIQUES 201

c) La resta de l’ascens de l’ocea es previsiblement degut al desgel. Cal-culeu quina massa de gel s’ha hagut de fondre cada any per tal d’ex-plicar els 20 cm d’ascens mesurat.

d) Un altre efecte de l’augment de temperatura es l’augmentdel con-tingut de vapor d’aigua a l’atmosfera (cosa que fa augmentartambeles precipitacions). Si el contingut promig de vapor a l’atmosfera esde 10 grams de vapor per cada Kg d’aire, deduiu quina es la pres-sio parcial de vapor d’aigua tıpica a l’atmosfera (suposant que l’aireacompleixi la llei dels gasos ideals).

e) Amb el resultat anterior, i sabent que un augment global dela tem-peratura del planeta implica un augment aproximat de 1,3 mb en lapressio de vapor, calculeu quin seria el contingut en vapord’aigua at-mosferic en aquest possible escenari futur. (Aquest augment de vapora l’atmosfera tambe implicara un augment del gel en els pols quanaquest vapor es refredi en arribar a les zones polars. De fet,aquest esel motiu pel qual la massa de gel de moltes regions antartiques estacreixent actualment).

2. A partir de l’estudi de la caiguda de les gotes de pluja es possible fer unaestimacio de la intensitat de la precipitacio. Per a fer elcalcul suposaremque les gotes de pluja que es formen son esferiques amb un radi de 2 mm,i que la separacio mitja entre dues gotes (en qualsevol direccio) es de 1cm.

a) Tenint en compte que les forces que actuen sobre la gota en caureson: el seu pes, la forca d’Arquımedes i la forca de fregament (queconsiderarem igual a0, 1v2, onv es la velocitat de caiguda) calculeula velocitat a la que cau la gota suposant que aquesta sigui constant.

b) A partir de les dades de l’enunciat calculeu quantes gotescauran acada m2 de superfıcie i quin volum representen aquestes gotes.

c) Combinant el resultat dels dos apartats anteriors calculeu quants li-tres per metre quadrat de pluja caurien en aquestes condicions.

CAPITOL 14La informaci o meteorologica

En aquest capıtol pretenem donar algunes indicacions per tal de facilitar la in-terpretacio de les dades meteorologiques, i mes en concret dels mapes meteo-rologics que diariament ens informen de les incidenciesdel temps. Tractaremd’entendre quines son les forces que actuen sobre les gransmasses d’aire at-mosferiques per tal de comprendre el per que de molts fenomens meteorologics.A banda de l’evident interes divulgatiu que aquest tipus deconeixements podentenir, des del punt de vista ambiental resulten forca adients per tal de comprendreels fonaments d’episodis extrems com ara aiguats, ventades, huracans, etc.

14.1 Formacio de borrasques i anticiclons

Comencem per preguntar-nos quines son les causes que fan que l’aire a les capesaltes de l’atmosfera pugui moure’s. La primera resposta, lames obvia, es que lesdiferents condicions (de temperatura, pressio, etc) en que es troben unes zones ialtres de l’atmosfera pot provocar aquest moviment. En general, tot aquest tipusde forces internes de l’atmosfera els podem descriure mitjancant un gradient ovariacio de pressions entre les diferents zones.

Per una altra banda, l’aire atmosferic rep una forca tamb´e per part de La Ter-ra, ja que hi esta contınuament en contacte i La Terra no deixa de girar sobresi mateixa. Tal com hem explicat en l’Apartat XXX quan tenim un sistema dereferencia en rotacio, els cossos que estan situats dintre d’aquest sistema expe-rimenten forces anomenades fictıcies. Aquestes forces seran la centrıfuga (quecom hem vist tambe a l’Apartat XX es d’escassa intensitat en el cas de La Terrai per tant el seu efecte es sempre petit) i la forca de Coriolis, que es fa importantquan treballem a escales grans.

203

204 CAPITOL 14. LA INFORMACIO METEOROLOGICA

Les masses d’aire atmosferiques, doncs, es mouen fonamentalment deguta l’efecte d’aquestes dues forces (gradients de pressions iforca de Coriolis),i la combinacio d’aquests dos es la que provoca la formaci´o de borrasques ianticiclons. El proces es el que es mostra a la Figura XX. Enel cas d’un anticiclopartim d’una situacio on, pel motiu que sigui, s’ha generatuna zona d’altespressions. La forca deguda a la diferencia de pressions (Fgrad) fara que les capesd’aire tendeixin a moure’s des del centre d’altes pressionscap a fora. Aleshoresactuara la forca de Coriolis (FC) que tendira a fer girar aquestes masses d’aire enel sentit horari (en cas que ens trobem situats a l’hemisferiNord; veure ApartatXX). En el cas d’una borrasca la situacio es semblant (Figura XX): un centrede baixes pressions provoca la tendencia de les masses d’aire a apropar-se cap aaquest centre i aleshores es genera una tendencia de rotacio en sentit antihorari.Logicament, si plantegessim la situacio a l’hemisferi Sud el sentit de gir seria elcontrari (horari per les borrasques, antihorari pels anticiclons) ja que l’efecte dela forca de Coriolis es al reves en un hemisferi i l’altre.

Per ultim, hem de recordar que la intensitat de l’efecte Coriolis depen de lalatitud a la qual ens trobem, i es fa mes important a mida que ens allunyem del’Equador terrestre. Per aquest motiu la formacio de borrasques i anticiclons telloc de manera quasi exclussiva en latituds intermitjes (entre els 30º i 60º, apro-ximadament) i en canvi no es dona practicament mai en les zones equatorials.

Vent geostrofic

El vent, com sabem, es un fenomen associat al moviment de l’aire atmosferic,i per tant el seu origen esta directament relacionat amb elsprocessos que hemexplicat a l’apartat anterior. Per tal de veure com es possible predir de maneraaproximada el comportament del vent en una zona anem a fer servir un mapade pressions real d’Espanya com a exemple (Figura XX). En aquest cas, comque estem situats a l’hemisferi Nord podem observar pels valors de la pressioindicats que ens trobem davant d’una situacio de caracteranticiclonic (s’aprecial’existencia d’un centre d’altes pressions al nord de la imatge), i per tant ambcirculacio en sentit horari.

Tal com hem dit, dues forces principals actuen sobre les masses d’aire: laforca provocada pel gradient de pressions, que apunta de lazona d’altes pressi-ons a la de baixes, i la forca de Coriolis, que com es la que provoca el movimentde gir podem considerar que actua com a forca centrıpeta (Apartat XX) i pertant va en direccio contraria a l’altra. D’aquesta maneraobservem que les du-es forces van en direccions oposades i tendeixen a contrarestar-se. En aquestpunt podem introduir l’anomenadaaproximacio geostrofica, que consisteix ensuposar que no existeixen altres forces addicionals i que aquestes dues forces escompensen exactament una amb l’altra. Substituint l’expressio de la forca de

14.1. FORMACIO DE BORRASQUES I ANTICICLONS 205

Coriolis (Equacio XX) i la forca associada a un gradient depressions (EquacioXX) trobem

Fgrad = FC

V∆P

∆l= 2mvωT sinϕ = 2ρV vωT sinϕ

v =1

2ρωT sinϕ

∆P

∆l

on v es la velocitat del vent,V i m son el volum i la massa d’aire considerats,ρ la densitat de l’aire,∆P/∆l es el gradient de pressions ,ωT es la velocitat derotacio de La Terra iϕ es la latitud. Si ho intentem aplicar al mapa de la FiguraXX tenim que la latitud a la que ens trobem es d’aproximadament 41º (latitud deBarcelona). La densitat de l’aire i la velocitat de rotaciode La Terra son valorsconeguts (agafem1, 2 kg/m3 i 7, 2 · 10−5 rad/s, respectivament). Finalment elgradient de pressions el deduim del mapa: observem que entredues isobaresconsecutives hi ha una variacio de pressio de 4 mb (que equival a 400 Pa enSistema Internacional), i entre elles hi ha una distancia real d’uns200 km (segonsl’escala del mapa). Amb tot aixo podem substituir valors a la formula que hemtrobat adalt:

v =1

2 · 1, 2 · 7, 2 · 10−5 · sin 41400

200 · 103 = 17, 6 m/s

i obtenim una prediccio de la velocitat del vent en aquesta zona.Una consequencia de tot el que hem explicat es que les masses d’aire en l’a-

proximacio geostrofica no tendeixen a allunyar-se ni apropar-se al centre d’al-tes pressions, ja que en aquesta direccio no existeix cap forca neta cap a forani cap endins. Per tant, les masses d’aire es mouran nomes enla direccio deles isobares, fent cercles al voltant del centre de l’anticiclo. Aixo contradiu lacreenca popular erronia de que el vent sempre circula de les zones d’altes pressi-ons a les zones de baixes pressions. L’explicacio a aquestaparadoxa es senzilla:els vents geostrofics que acabem de descriure poden ser una bona aproximacioper a descriure els moviments que tenen lloc a alcades de l’ordre d’uns pocsquilometres per sobre de la superfıcie terrestre, que de fet es on tenen lloc moltsdels fenomens meteorologics principals. En canvi, els vents a les capes mes bai-xes de l’atmosfera sı que sovint es mouen seguint les variacions de pressio (demajor pressio a menor). A nivell de superfıcie, no obstant, hi juguen un paperimportant molts altres elements que aquı no hem tingut en compte com ara lesturbulencies de l’aire, i per tant la prediccio del vent es fa molt mes complicadaen aquesta zona.


Vent del gradient

L’anomenat vent del gradent representa una forma de generalitzar el calcul del’aproximacio geostrofica per tal de tenir en compte els efectes de circulacio deles masses d’aire, ja que estem suposant que aquestes massesgiren al voltantd’un centre. Ara, en comptes de fer la hipotesi de que la forc¸a del gradent i lade Coriolis s’igualen, considerem que la diferencia entreelles es igual a la forcacentrıpeta. Per tant tenim:

FC − Fgrad = Fcentr = mv2

R= ρV

v2

R

2ρV vωT sinϕ− V∆P

∆l= ρV

v2

R

v = RωT sinϕ−√

(RωT sinϕ)2 − R

ρ

∆P

∆l

on a l’ultim pas hem aıllatv ressolent l’equacio de segon grau corresponent iexcloent la solucio positiva, que no te sentit fısic. Observem que, a mes delsvalors que ja havıem fet servir a l’aproximacio geostrofica, hem introduit aquı lavariableR, que representa el radi de gir de la massa d’aire (es a dir, ladistanciaal centre de l’anticiclo). En el mapa de la Figura XX s’aprecia que aquestadistancia es de l’ordre de1.700 km. Unint aixo als valors que ja tenıem abansobtenim la velocitat del vent predita per l’aproximacio del vent del gradent

v = 1.700·103·7, 2·10−5·sin 41−√

(1.700 · 103 · 7, 2 · 10−5 · sin 41)2 − 1.700 · 1031, 2

400

200 · 103 = 20

que com observem dona lloc a un vent lleugerament mes intens que l’aproxima-cio geostrofica.

Finalment, si volguessim construir un model encara mes realista per descriu-re el vent atmosferic el seguent pas seria incloure els efectes de fregament del’aire, tant amb ell mateix (fregaments interns) com amb la superfıcie terres-tre. Aixo, pero, representa una dificultat matematica molt mes gran i per tants’escapa dels objectius d’aquest capıtol.

Fenomens de subsidencia

En els apartats anteriors hem estudiat els corrents d’aire horitzontals associats ala formacio de borrasques i anticiclons, pero en realitataquests moviments tambeporten associat un transport vertical (es a dir, perpendicular a la superfıcie terres-tre). Per exemple, considerem el cas dels anticiclons; com hem dit, a les zones

14.2. MAPES DEL TEMPS 207

mes properes a la superfıcie tendeixen a produir-se moviments de masses d’airedes del centre d’altes pressions cap a fora. Pero en produir-se aquest moviment,per conservacio de la massa algun altre volum d’aire ha d’ocupar aquell ”espaibuit”que deixa l’aire en allunyar-se del centre; el que succeeix a la practica esque les masses d’aire que es troben per sobre de l’anticiclotendeixen a baixarper tal d’ocupar aquest espai. A la vegada, aquestes masses d’aire que baixendeixaran un altre ”espai buit”que ocuparan les masses d’aire del seu voltant, iaixı s’anira formant un corrent en el sentit que es veu a la Figura XX. En el casd’una borrasca tindra lloc exactament el mateix efecte nomes que com que arales masses d’aire tendeixen a moure’s cap al centre de la borrasca aquestes mas-ses tendiran a pujar cap adalt (tambe per un efecte simplement de conservaciode la massa) i al final tindrem uns corrents en sentit contrarials de l’anticiclo(FIgura XX).

Es molt important sobretot el fenomen de baixada de les masses d’aire quees dona en el centre dels anticiclons i que es coneix com asubsidencia, ja queaquest juga un paper important en alguns fenomens meteorol`ogics.

Per altra banda, la Figura XX tambe ens permet observar que,curiosament,just a sobre d’un anticiclo (centre d’altes pressions) sempre apareix una borrasca(centre de baixes pressions) que es consequencia d’aquest transport vertical quehem explicat. De la mateixa manera, just a sobre de qualsevolborrasca acabaraapareixent un anticiclo. Depenent de si aquests anticiclons o borrasques es situ-en mes a prop o lluny de la superfıcie terrestre les condicions meteorologiquespoden variar considerablement, com explicarem en detall m´es a baix en parlardels mapes meteorologics en alcada.

14.2 Mapes del temps

Els mapes del temps implementen, a sobre d’un mapa topografic convencional,tota una serie de sımbols per tal de representar variablesmeteorologiques comara la pressio atmosferica o la temperatura, que ens podenpermetre establir unaprediccio del temps. Antigament la prediccio del temps esbasava fonamen-talment en la comparacio de patrons: normalment la presencia de fronts freds ocalids en determinades zones, unit a la presencia de borrasques o anticiclons, per-met fer una prediccio per comparacio amb altres episodis passats on s’han donatles mateixes circumstpancies. Avui en dia, en canvi, els serveis meteorologicsdisposen de models matematics molt sofisticats que permeten fer prediccionsmes objectives.


Fronts

Una de les informacions mes habituals que un pot trobar al mapa del temps es lapresencia de fronts atmosferics, tambe anomenatssuperfıcies frontals. Si volemdefinir que es un front, podem dir que es tracta d’una superfıcie (moltes vega-des poc definida) que separa dues masses d’aire que tenen propietats (pressio,temperatura...) diferents.

Els fronts s’acostumen a classificar d’acord amb la seva procedencia. Perexemple, quan una massa d’aire fred procedent dels pols terrestres es troba ambuna massa d’aire calent procedent de la zona equatorial es forma l’anomenatfront polar. Per una altra banda, en els mapes del temps normalment s’acostumaa distingir entre fronts calids, freds o oclusos. El front calid es forma quan unamassa d’aire calent es mou a velocitat gran i es troba amb una massa d’aire fredmes lenta, de manera que per diferencia de temperatures (iper tant de densitats)la massa calenta tendeix a pujar per sobre de la freda, tal comes veu a la FiguraXX. Alla tambe hem afegit la simbologia que habitualment s’usa en els mapesdel temps per indicar la posicio d’un font fred.

En el cas d’un front fred es la massa d’aire fred la que es mou mes rapidamentque la calenta i per tant va, d’alguna manera, ”obrint-se camı”per sota de lasegona (Figura XX).

Finalment, un front oclus es forma per la coincidencia entre un front fred iun front calid, on el primer es mou mes de pressa i acaba atrapant al segon desde darrera. La simbologia corresponent es mostra tambe a laFigura XX.

Els fronts calids acostumen a ser mes amples que els front freds (de l’ordrede 200 Km els primers, per 50 Km els segons). Tammateix, aixofa que lesvariacions de temperatura en un front fred siguin mes abruptes, cosa que provocaque aquests acostumin a desplacar-se mes rapidament i a tenir una duracio mespetita que els fronts calids.

A nivell meteorologic, tant uns fronts com els altres impliquen una zona devariacio important del temps en la zona on es troben. Les abruptes variacions detemperatura i pressio associades als fronts fan que siguinzones on acostumen aproduir-se precipitacions i forts vents (especialment en el cas dels fronts freds).

Mapes de superfıcie

Els anomenats mapes de superfıcie acostumen a representarles isobares (lıniesde pressio constant) atmosferiques en unitats de milibars (1 milibar=100 Pa) i enintervals de 4 o 5 mil·libars (per exemple, 992, 996, 1000, 1004,...). D’aquestamanera es pot determinar la situacio dels centres d’altes (anticiclons) i baixes(borrasques) pressions. A mes, s’acostumen a representartambe els fronts fent

14.2. MAPES DEL TEMPS 209

servir la simbologia que hem mostrat a la Figura XX. Un exemple tıpic de mapade superfıcie seria el que mostrem a la Figura XX.

Mapes d’altura

Com ja hem mencionat abans en realitat la majoria de fenomens meteorologicsimportants no tenen lloc a la superfıcie sino a alcades del’ordre d’uns pocsquilometres. Els mapes d’altura representen un recull de la informacio meteo-rologica en aquestes zones. Concretament, els mapes tıpics d’altura representenles hisoipses corresponents a una pressio de 500 hPa (es a dir, 500 mil·libars).Les hisoipses son lınies que uneixen punts que assoleixenun valor de pressiodonat a la mateixa alcada per sobre del nivell del mar.

A la Figura XX es mostra un exemple d’aquests tipus de mapes, on sovints’acostumen a representar tambe les isotermes (lınies detemperatura constant)per tal de completar la informacio. Per tal de poder entendre la informacio deles hisoipses hem de pensar que aquelles zones on l’alcada necessaria per assolirels 500 hPa es mes gran vol dir que en general la pressio esmes baixa (tam comes veu en la borrasca que figura en el mapa) i el contrari succeeix en zones onl’alcada de les hisoipses es petita (anticiclons).

Interpretaci o dels mapes

Els sistemes de prediccio del temps s’han basat tradicionalment en l’analisi com-binat de mapes de superfıcie i alcada. El fet que son de mes facil interpretacio hafet que en la televisio i altres mitjans els unics mapes queacostumin a apareixerson els de superfıcie, tot i que els d’altura acostumen a contenir una quantitatmes gran d’informacio a efectes de prediccio.

Per posar un exemple, imaginem la situacio que mostren els mapes d’alturai superfıcie de la Figura XX. Alla observem com existeix enalcada un centre debaixes pressions al sud-oest de la Penınsula Iberica que coincideix amb una zonad’aire fred en comparacio amb les arees del voltant (tot i que en superfıcie aquestcentre de baixa pressio esta desplacat i no es tan acussat). Aquesta situaciodona lloc al fenomen meteorologic popularment conegut com agota freda, i queacostuma a provocar precipitacions abundants.

A banda d’aquest exemple, que hem comentat nomes de forma il·lustrativa,la varietat de situacions i tipologies es molt variada (i a mes depen en part deles particularitats de cada regio del planeta) i per tant resulta inviable fer-ne unrecull exhaustiu aquı. Pero existeixen molts llibres i plataformes divulgativessobre meteorologia on hom qui hi tingui interes pot aprendre les tecniques d’in-terpretacio d’aquests mapes.


1. A partir del mapa d’isobares que apareix a la Figura??deduiu la velocitatdel vent geostrofic i del gradent corresponent a la zona de Londres (ciutatque esta situada a una latitud d’uns 510).

2. El dia 28 de gener de 2012 es va produir a la regio de Catalunya unasituacio sinoptica peculiar marcada per un risc alt de nevades. Els mapesde superfıcie i d’alcada corresponents, a la Figura??, mostren com lasituacio de superfıcie esta marcada per la influencia d’un anticiclo al nord-oest i la presencia de masses d’aire molt fredes en les regions altes. Fentservir el concepte de subsidencia i el sentit de circulaci´o dels anticiclonsraoneu per que aquesta situacio representa un risc alt de nevada.

CAPITOL 15El canvi climatic

Tot i que durant molts anys ha existit una forta controversia al respecte, actual-ment la major part dels experts i de la comunitat cientıfica en general acceptenque La Terra esta patint des de fa temps un proces d’alteracio del clima provocatper l’accio de l’home, i que aquest proces representa un dels majors reptes ambi-entals que haura d’afrontar la nostra societat al llarg de les properes generacions.

Els mecanismes basics que provoquen aquest canvi climatic son ben cone-guts en general. L’emissio de determinats contaminants i la seva acumulacioen les capes de l’atmosfera provoquen que els balancos energetics de La Terraes vegin modificats i, en consequencia, es produeixi un augment global de latemperatura a la superfıcie terrestre. Aixo va acompanyat de moltes altres modi-ficacions en les variables climatiques del planeta, les quals previsiblement tenenun enorme impacte sobre els ecosistemes, l’agricultura, elnivell dels oceans,etc. En aquest capıtol estudiarem com la modificacio dels fluxos energetics al’atmosfera provoca canvis en la temperatura del planeta, iintentarem entendrebreument com ho fan els cientıfics per a estudiar el canvi climatic i quantificarels seus efectes.

15.1 El canvi climatic d’origen natural i antr opic

Existeixen diferents tecniques d’analisi geofısic pertal d’estimar la temperaturapromig que tenia La Terra en el passat. A partir d’aquestes t`ecniques els ci-entıfics han aconseguit establir l’evolucio de la temperatura al llarg de la historiadel planeta, tal i com es mostra en la Figura XX. En el primer grafic de la figura,on l’escala de temps es de millions d’anys, es poden identificar, per exemple, leszones que corresponen als ultims perıodes de glaciacio (indicats com a K1, K2,

211

212 CAPITOL 15. EL CANVI CLIMATIC

K3). Pero el que la Figura XX ens demostra es que, tant si un mira a escalesde millions d’anys com milers o centenars d’anys, la temperatura del planetahistoricament ha fluctuat sempre. Les raons d’aquestes fluctuacions son diver-ses, pero fonamentalment tenen a veure amb els canvis que periodicament tenenlloc en la interaccio entre El Sol i La Terra; es el que en general s’anomenateoriade Milankovitch, en honor de l’astronom que va proposar aquesta explicació perprimera vegada. Aquesta teoria en realitat engloba diferents efectes; el primerd’ells te a veure amb que l’orbita elıptica que fa La Terra al voltant del Sol noes sempre igual (Figura XX) sino que la seva eccentricitatva canviant amb unperıode proper a 100.000 anys (l’eccentricitat es un paràmetre que mesura comd’aixafada es l’elipse de l’orbita). El segon dels efectes es degut a l’anomenatmoviment deprecesio, segons el qual l’eix terrestre no es mante sempre en lamateixa posicio respecte del Sol sino que va orbitant al voltant d’una cert centre(Figura XX). Aquest moviment de precesio tambe es periodic, amb un perıodede 26.000 anys. Per ultim, l’angle d’inclinacio de l’eix terrestre respecte al plaformat per La Terra i el Sol tambe va variant periodicamentcada 41.000 anys(Figura XX) entre un maxim de 240.5 i un mınim de 210 .5. Cal puntualitzarque cap dels tres efectes que hem comentat fa variar la quantitat total d’energiaque rep La Terra del Sol; en canvi, sı que provoca variacionsen com es reparteixaquesta energia entre les diferents zones del planeta (per exemple, quanta arribaa l’hemisferi Nord i quanta a ’hemisferi Sud), i aquesta redistribucio es el quedona lloc a les fluctuacions del clima.

En definitiva, l’accio combinada d’aquests tres efectes, juntament amb altresfenomens que tenen lloc a escales de temps mes petites (per exemple, les varia-cions periodiques de les taques solars que tenen lloc cada 11 anys) han estat elsprincipals responsables de les fluctuacions climatiques patides a La Terra fins elsnostres dies.Es per aquest motiu que l’existencia d’un canvi climatic provocatper l’efecte de l’home ha portat moltes discussions entre lacomunitat cientıficai han estat necessaris molts anys d’investigacio per tal deser verificat, ja que eranecessari discernir amb certesa si la variacio que hem observat els darrers anyspodia tenir un origen natural o no. En aquest sentit, es important subratllar queels grafics que sovint apareixen als mitjans de comunicació mostrant l’augmenten la temperatura global del planeta o en la concentracio deCO2 (Figura XX) at-mosferic no representen per si mateixos una prova de que elcanvi climatic siguiprovocat per l’home, sino que es necessari un estudi mes detallat a escala locali en diferents regions del planeta per a arribar a conclusions riguroses des d’unpunt de vista cientıfic. Avui dia, pero, l’acumulacio d’evidencies es tan gran quepocs cientıfics posen en dubte l’origen antropic del canviclimatic; moltes d’a-questes evidencies poden consultar-se als informes que periodicament publica elIPCC (Intergovernmental Panel on Climate Change). L’ultim informe publicat,que data del 2007, es troba accessible online ahttp://www.ipcc.ch/.

15.2. EL BALANC ENERGETIC DE LA TERRA 213

15.2 El balanc energetic de La Terra

Per tal d’entendre com la composicio de gasos a l’atmosferapot alterar la tem-peratura del planeta necessitem entendre com funcionen elsintercanvis d’ener-gia a la superfıcie terrestre en relacio a l’energia que arriba del Sol. El balancenergetic, actualitzat a data del 2008, es el que s’observa a la Figura XX. Comsabem, en general existeixen tres modes de transport de la calor (conduccio, con-veccio i radiacio) els efectes dels quals apareixen directa o indirectament en elsprocessos indicats en aquest balanc.

Equilibri radiatiu en abs encia d’atmosfera

Per tal de poder fer alguns calculs senzills i entendre la dinamica de l’atmosferaa nivell energetic, podem simplificar la informacio de la Figura XX i quedar-nosnomes amb els efectes radiatius. A mes, de moment no considerarem l’efectede l’atmosfera per a comencar per una situacio senzilla. Aixı doncs, el que ensqueda es una situacio com la que es mostra a la Figura XX, on el flux de radiacioque arriba del Sol (que com hem vist a l’Apartat XX es375 W/m2 en promig) enpart s’absorbeix a l’atmosfera i en part hi rebota. A la fraccio de radiacioa querebota a la superfıcie se li acostuma a diralbedoi te un valor diferent segons lesparticularitats del terreny que estiguem considerant (perexemple, l’ocea te unalbedo de0.3, la qual cosa vol dir que el 30% de la radiacio que hi arriba rebotai torna a pujar). La superfıcie terrestre, per la seva banda, tambe emet radiacio,com qualsevol cos pel fet de trobar-se a una certa temperatura.

Ara podem imposar la condicio d’equilibri energetic per La Terra, la qualcosa vol dir que la potencia que aquesta rep del Sol s’ha de compensar amb lapotenciaPT que emet.Es a dir, que fent servir la notacio de la Figura XX

PS (1− a) = 375 · A · (1− a) = PT

on PS representa la potencia de radiacio del Sol que incideix enuna regio dela superfıcie terrestre d’areaA. Ara recordem que l’energia per unitat de tempsassociada a la radiacio termica ve donada per la Llei de Stefan-Boltzmann (Equa-cio XX), on podem suposar de forma aproximada que l’emissivitat es maxima(e = 1). Per tant, podem escriure

375 · A · (1− a) = σ · A · T 4T

375 · (1− a) = σ · T 4T

TT =4

√

375 · (1− a)

σ

la qual cosa ens permet fer una estimacio de la temperaturaTT de la superfıcieterrestre. Substituint un valor per l’albedo de0.3, igual al dels oceans (ja que


aquests ocupen prop del 70% de la superfıcie del planeta) i fent servir el valorde la constant d’Stefanσ = 5, 67 · 10−8 W/m2K4 (Apartat XX) arribem a

TT = 4

√

375 · 0.75, 67 · 10−8

= 261K = −8C,

valor que no esta massa lluny de la temperatura promig del nostre planeta, teninten compte les enormes simplificacions que hem fet de partida en el calcul.

A partir d’aquest calcul senzill ens podem plantejar preguntes com ara: quepassaria amb la temperatura del nostre planeta si omplissimel 10% de la su-perfıcie terrestre de plaques solars? Evidentment aixo faria disminuir en un 10%la radiacio que es absorbida per la superfıcie terrestre. Per tant, en comptes derebre375 W/m2 en rebrıem uns337.5 W/m2. Si repetim el calcul fent serviraquest valor

Tsup =4

√

337.5 · 0.75.67 · 10−8

= 254K = −15C

resulta una disminucio de7 C en la temperatura promig del planeta, de maneraque l’efecte es realment dramatic. Aixı doncs, cal teniraquest efecte present al’hora de considerar l’energia solar com a solucio energetica de futur. Insistimde nou, pero, en que estem fent servir aquı per a fer els calculs un model moltsimplificat.

Equilibri radiatiu amb atmosfera

Intentarem ara generalitzar el calcul de l’Apartat anterior per tal d’incloure l’e-fecte de l’atmosfera i veure quin paper juga en el valor de la temperatura de lasuperfıcie terrestre. Considerem per tant la situacio mostrada a la Figura XX, ons’observa l’aparicio de molts mes parametres. L’atmosfera deixa passar nomesuna fracciof1 de la radiacio solar incident, mentre que una fracciof2 d’aquestaradiacio es rebotada (i la resta, es a dir,1− f1 − f2 es absorbida a l’atmosfera).De la potencia que emet la superfıcie per radiacio tambeuna partf3 travessal’atmosfera i una altra partf4 hi rebota. Finalment hem de tenir en compte quea la superfıcie terrestre tambe rebota una fraccio de la radiacio; en el cas de laradiacio solar la fraccio esa (albedo) i en el cas de la radiacio emesa per l’atmos-fera (PA) en rebota una fracciof5. Logicament, a la realitat es produirien segons(i tercers, quarts, etc) rebots de la radiacio entre la superfıcie i l’atmosfera, perocom que en cada rebot una part de la radiacio es absorbida podem menysprearl’efecte d’aquests rebots ”secundaris”.

Si ara tornem a imposar la condicio de que l’energia total rebuda a la su-perfıcie per unitat de temps ha de ser igual a l’energia emesa per unitat de tempstrobem

f1 (1− a) · 375 ·A + (1− f5)PA = PT

15.3. MODELS DE CANVI CLIMATIC 215

i si considerem tambe una situacio d’equilibri energetic per l’atmosfera tenim

(1− f1 − f2) · 375 · A+ (1− f1 − f2) · a · 375 · A+ (1− f3 − f4)PT = PA.

Novament, farem servir la llei de Stefan-Boltzmann per rescriure les dues equa-cions anteriors de la forma

f1 (1− a) · 375 + (1− f5) · σ · T 4A = σ · T 4

T

(1− f1 − f2) · 375 + (1− f1 − f2) · a · 375 + (1− f3 − f4) · σ · T 4T = σ · T 4

A

Aixo representa un sistema de dues equacions on, si donem valors als parametres(a, f1, f2, f3, f4 i f5) podrem trobar el valor de les incognitesTT i TA. A la taulaXX mostrem alguns valors tıpics que es podrien fer servir enaquest cas. Fentla substitucio en el sistema d’equacions es troba queTT = 295 K = 22 C iTA = 279 K = 6 C, que son valors propers als reals.

En realitat, mes que trobar uns valors particulars el que resulta mes interes-sant del model que hem construit es veure com les temperatures de l’atmosferai la superfıcie depenen d’algun dels parametres del model. Per exemple, l’a-cumulacio de CO2 a l’atmosfera se sap que te l’efecte d’augmentar la quantitatde radiacio absorbida per l’atmosfera (efecte hivernacle) i en consequencia re-duira la quantitat de radiacio que hi pot travessar. Aixovol dir que un augmentdel CO2 atmosferic faria probablement que el parametref1 es reduuıs i que elparametref4 augmentes (entre altres coses). A la Figura XX mostrem quinesl’efecte de modificar per separat el valor de cadascun d’aquests dos parametrespero mantenint els altres parametres fixes amb els valors que marca la Taula XX.Veiem que com mes es redueixf1 o mes augmentaf4 la temperatura augmen-ta. Aixo ens demostra matematicament que l’efecte de les emissions de gasosd’efecte hivernacle porta associat un augment de la temperatura promig del pla-neta, encara que per quantificar aquest efecte millor haurıem de considerar moltsaltres detalls que aquı no hem tingut en compte.

15.3 Models de canvi climatic

Els models que hem introduit en els Apartats anteriors ens poden donar una ideaaproximada de que fan els cientıfics per tal de predir l’evolucio futura de la tem-peratura del nostre planeta en funcio a les tendencies actuals. Tot i aixı, hem depensar que aquests models que hem vist unicament ens donen una idea de l’e-volucio promig de la temperatura. En canvi, es habitual veure en els mitjans decomunicacio a cientıfics explicant que determinades zones del planeta s’escalfa-ran mes o menys, o que patiran mes o menys els efectes del canvi climatic. Pertal d’obtenir aquesta informacio els models de balanc d’energia en sentitverti-cal (entre la superfıcie terrestre, l’atmosfera i l’espai exterior) s’han de combinar


amb models que tinguin en compte les variacionshoritzontalsentre uns territorisi altres (oceans, zones muntanyoses, etc). A la practica elque es fa es dividir lasuperfıcie terrestre en una quadrıcula (amb cel·les del tamany de centenars dequilometres) i estudiar com unes cel·les i altres intercanviarien materia i energiasota unes hipotetiques condicions futures. Aquest tipus de models, que represen-ten el fonament de tots els estudis de prediccio futura del clima que es fan avui endia, s’anomenenModels de Circulacio Generali, com un pot imaginar, son mo-dels extremadament complicats que requereixen l’us de supercomputadors pera poder-los fer correr. A la Figura XX mostrem la representacio general d’und’aquests models per tal de fer una idea de la quantitat de processos i informacioque implementen.

Proposta de treballs de recercaAnalisi detallat de la teoria de Milankovitch. Haurıeu de buscar informa-

cio per Internet o en llibres per tal de saber quant val en l’actualitat l’eccentricitatde l’orbita de La Terra, i quin es l’angle d’inclinacio del’eix terrestre. Buscantla formula matematica d’una elipse i sabent que El Sol est`a situat en un delsfocus de l’elipse es podria determinar de manera exacta quina es la distancia delSol a La Terra en cada punt de l’orbita. A partir d’aixo, i fent servir el mateixdesenvolupament que a l’Apartat XX, es pot determinar la quantitat de radiaciopromig que rep La Terra, i tambe la quantitat promig que rep una regio concreta.Per exemple, es podrien intentar estudiar la diferencia entre la radiacio rebudaa l’hemisferi Nord i a l’hemisferi Sud, o be estudiar regions situades a diferentslatituds. Una idea interessant seria construir un petit programa d’ordinador quevagi calculant a cada pas de temps la radiacio i deixar que elprograma prediguila quantitat rebuda en funcio del temps durant, per exemple, un millio d’anys,tenint en compte que els tres efectes de lateoria de Milankovitchvan variantperiodicament com hem explicat. Aixo ens permetria representar graficamentcom varia la radiacio promig rebuda en diferents zones de LaTerra en esca-les de temps de centenars d’anys, milers d’anys, desenes de milions d’anys. Nopodrem relacionar aquests resultats de manera directa amb les variacions de tem-peratura, pero es previsible que en els periodes on existeixin mes desigualtats enla radiacio rebuda en unes zones i unes altres del planeta, les fluctuacions de latemperatura seran previsiblement mes grans.

Efectes del canvi climatic en els ecosistemes. Podem intentar observar ex-perimentalment com un ecosistema varia en funcio de les condicions del climaper a fer-nos una idea del possible abast del canvi climatic. La idea seria col·locarplantes de diferents especies en caixes transparents (de manera que hi incideixila radiacio solar) i tapades per adalt amb algun tipus de reixa o tela que permetil’entrada d’oxigen. En l’interior de cada una de les caixes (que han d’estar juntesa la mateixa habitacio per assegurar-nos que estan en les mateixes condicions)col·locarem bombetes de baix consum de diferents potencies que mantindrem

15.3. MODELS DE CANVI CLIMATIC 217

contınuament enceses per a tenir les caixes (i per tant les plantes) sotmeses cadauna a diferents temperatures. A partir de la potencia de la bombeta i fent-ne unaestimacio del seu rendiment podem calcular quina quantitat de radiacio extra re-ben les plantes en cada una de les caixes. Tambe podem anar mesurant a cadacaixa (per exemple, dues o tres vegades al dia) la temperatura interior per tal detenir constancia de com de diferents son les condicions encada una d’elles. Alfinal la intencio es veure com afecten les diferencies al desenvolupament de laplanta (creixement, floracio...), per la qual cosa hem de mantenir totes les cai-xes sempre en condicions iguals (excepte per la temperatura), donar la mateixaquantitat d’aigua a cada planta, etc.

exercicis

1. L’excentricitatǫ de l’orbita elıptica terrrestre oscil·la entre 0,005 i 0,06amb un perıode aproximat de 100.000 anys.

a) Busqueu informacio per tal d’entendre el significat de l’excentricitatd’una elipse i comproveu que la distancia mınima i maximade LaTerra al Sol ha de serR(1 − ǫ) i R(1 + ǫ) respectivament, onRrepresenta la distancia mitja. (Recordeu que el Sol esta situat en undels focus de l’elipse que descriu La Terra al seu voltant).

b) Si la distancia mitja entre el Sol i La Terra es de1, 5 · 1011 metres,calculeu la variacio entre la distancia mınima i la maxima al Sol quanl’excentricitat pren el seu valor mınim i maxim, respectivament.

c) Feu una estimacio, fent servir els calculs de l’equilibri radiatiu fets al’Apartat XX, de la Temperatura que tindria La Terra si estes semprea la distancia mınima o sempre a la distancia maxima corresponentsa la seva excentricitat mes gran possible (0,06).

2. Aprofitant el model de l’Apartat 15.2 en absencia d’atmosfera feu un graficon es representi la temperatura mitjana de La Terra en funci´o del valor del’albedo (que pot prendre valors entre 0 i 1).

3. Repetiu el problema anterior pel cas de l’apartat 15.2, per la qual cosanecessitareu resoldre el sistema d’equacions15.1. (Nota:pot resultar utildissenyar un programa d’ordinador que faci els calculs o b´e fer servir algunsoftware especial per a la resolucio d’aquest tipus de sistemes).

4. La concentracio de CO2 (un dels gasos d’efecte hivernacle mes famosos)atmosferic actualment esta entorn als 400 ppm. Les emissions de CO2d’origen huma representen aproximadament uns1, 5 · 1013Kg cada any,


dels quals s’estima que la meitat queden fixats a l’atmosfera(la resta esabsorbida per les plantes, els oceans, etc).

a) Si la pressio atmosferica a nivell de superfıcie es 101.000 Pa i el radide La Terra es 6.370 Km feu una estimacio de la massa de gas dqueconte tota l’atmosfera.

b) D’acord amb el resultat de l’apartat anterior i les dades de l’enunciat,estimeu quin es l’increment anual en la concentracio de CO2 degut al’home, calculat en ppm.

c) Quins dels parametres del model de l’Apartat 15.2 creieuque podenaugmentar o disminuir degut a l’efecte del CO2?

d) Intenteu explorar l’efecte que te canviar aquests parametres en el va-lor de la temperatura de La Terra, de manera similar a com hem fet ala Figura XX de l’Apartat 15.2.

CAPITOL 16Satel.lits

Els satel.lits son un dels representants mes caracterıstics de la millora tecnologicaque es va produir a la segona meitat del segle XX. El disseny decoets que ini-cialment es va pensar amb finalitats militars durant la segona guerra mundial, vafer un tomb amb la carrera espaial entre l’antiga Unio Sovi`etica i els Estat Unitsd’America.

Va ser la Unio Sovietica qui va conseguir l’any 1957 posar per primera vega-da a la historia un satel.lit en orbita entorn de la Terra, l’Sputnik. Aquest enginyestava exclusivament destinat a la propaganda. Emetia un soagut i periodic quepodia ser captat per qualsevol persona que tingues un aparell de radio d’ona cur-ta quan el satel.lit es trovava just orbitant per damunt seu. Pocs mesos despres,el mateix projecte espaial va conseguir fer orbitar el primer esser viu, una gos-sa anomenada Laika. El primer home orbitant a l’espai va ser tambe rus, IuriGagarin. Va ser l’any 1961 i el vol va consistir en una volta entorn de la terra.

Varen ser pero els nordamericans els que varen aconseguir trepitjar la Llunaper primera vegada. L’any 1969, Neil Armstrong va ser el primer home que vapoder posar el peu sobre un planeta diferent de la Terra.

Tota aquesta cursa guiada per l’orgull nacional de dues formes socials tandiferents com eren el capitalisme i el comunisme va donar coma fruit un co-neixement tecnologic que va permetre a partir de llavors utilitzar l’espai exterioramb finalitats civils.

16.1 Newton, la Lluna i la poma

A dia d’avui ja no ens resulta gens extrany veure imatges d’astronautes que estroben flotant en l’espai exterior com si no es veiessin sotmesos a la influencia

219

220 CAPITOL 16. SATEL.LITS

de la gravetat terrestre. Aixo, pero ens pot portar a creure erroneament que acerta altura la gravetat es imperceptible. Si pensem perodetingudament, elsviatges espaials es fan a una distancia molt mes propera a la Terra que la Lluna,i aquesta, de fet, es troba donant voltes a la Terra precisament per efecte de lamateixa gravetat.

Per tal de poder entendre com un enginy pot romandre a l’espaiexterior sensecaure hem d’estudiar la llei de la gravitacio universal. Aquesta va ser per primeravegada postulada per Isaac Newton. Segons aquesta, tots elscossos que tenenmassa generen un camp gravitatori que atrau els altres objectes que es troben alseu voltant. La forca que notara un d’aquests objectes delvoltant val

Fg = GMm

R2(16.1)

on M i m son les masses dels dos objectes iR es la distancia que els separa,mesurada des dels seus centres iG es la constant de la gravitacio universal queval 6.67 · 10−11 Nm2/kg2.

Abans de Newton es creia que la forca que feia caure una poma al terra i laque mantenia la Lluna orbitant eren de naturalesa diferent.La paraula universalpero, indicava que ambdues lleis eren de fet, una de sola.

Per calcular la forca que fa caure una poma al terra, hem de fer servir lesmasses de la TerraMt = 5.98 · 1024 kg i la de la pomamp i la distancia entre elsdos objectes, que es justament el radi de la TerraR = 6378 km. Amb aquestsvalors, la forca que obtenim es

Fg = GMtmp

R2= 6.67 · 10−11 5.98 · 1024

(6.38 · 106)2mp = 9.8 ·mp. (16.2)

Veiem doncs, que aquesta forca correspon justament al pes de l’objecte que esla seva massa per la gravetat que valg = 9.8 m/s2. Aixı doncs, de la llei de lagravitacio hem pogut obtenir el pes d’un objecte.

Pe veure la relacio de la llei amb la Lluna hem d’estudiar el moviment circu-lar que aquesta te. Per descriure una circumferencia, un objecte necessita l’acciod’una forca dirigida cap al centre d’aquesta circumferencia. Aquesta forca s’a-nomena centrıpeta i val

Fc = mv2

Ro

, (16.3)

onv es la velocitat a la que es mou iRo es el radi de la circumferencia.Quan un objecte com la Lluna es troba orbitant, esta movent-se en una tra-

jectoria circular entorn d’un altre objecte com la Terra. Resulta molt mes utilparlar del temps que triga a fer una vola sencera (perıodeτ ), que no pas parlarde la velocitatv a la que va, ja que la primera resulta molt mes facil de mesurar.

16.2. SATEL·LITS GEOESTACIONARIS. EL METEOSAT 221

La velocitat es una magnitud que podem calcular a partir delperıode a traves dela relacio

v =2πRo

τ. (16.4)

Aquesta ens diu que la velocitat orbilal es la divisio entre la longitud de la orbitade radiRo i el temps que triga l’objecte a recorrer-la.

Un objecte es podra mantenir orbitant sempre que la forca de la gravitaciosigui exactament igual a la forca centrıpeta necessariaper fer el gir. Substituintdoncs (16.4) a (16.3) i igualant aquesta a la llei de la gravitacio (16.1) obtenim

Fg = Fc

GMTmLL

R2o

=mLLv

2

Ro=

mLL4π2Ro

τ 2, (16.5)

onmLL = 7.35 · 1022 kg es la massa de la Lluna iRo = 3.84 · 108 m es el radide l’orbita d’aquesta entorn de la Terra.

A partir d’aquı podem obtenir el perıode de l’orbita de laLluna sense neces-sitat de la massa d’aquesta, ja que es simplifica en ambdos costats de la igualtat,

τ =

√

4π2R3o

GMt

=

√

4π2(3.84 · 108)36.67 · 10−115.98 · 1024 = 2.37 · 106 s = 27.4 d,(16.6)

que correspon justament amb el perıode orbital de la lluna.Tothom sap que laLluna descriu el cicle (nova-creixent-plena-minvant) juatament en aquest temps.Aquest calcul, desriptiu del moviment d’un objecte de l’espai exterior ens de-mostra l’altra direccio de la universalitat de la llei.

Aixı doncs, hem vist que la llei de la gravitacio universalpermet descriureigual de be els moviments d’objectes a la terra i el movimentdels objectes al’espai, cosa abans de Newton relacionada amb lleis divines. Aquest es el motiuper el qual molt sovint es representa a Newton amb una poma i amb la Lluna,fent referencia aixı a aquest fet.

16.2 Satel·lits geoestacionaris. El meteosat

Hi ha tota una serie de satel·lits que necessiten per al seufuncionament trobar-sesempre sobre de la mateixa regio de la Terra. L’exemple mestıpic es el delssetel·lits meteorologics, el mes proper a nosaltres dels quals es el Meteosat.

Aquest satel·lit emet fotografies periodicament de la mateixa cara de la terra,corresponent justament a la que es troba Europa.Es molt necessari que semprees trobi en el mateix punt perque volem que ens permeti, tot posant una foto-grafia darrera l’altre, muntar videos del moviment de l’atmosfera. Si volem fer

222 CAPITOL 16. SATEL.LITS

aquests muntatges amb una camera corrent, nosaltres tamb´e ens assegurem quela camera es trobi quieta, ja que si no resulta tecnicamentmolt difıcil fer aqueststipus de muntatges.Aixı doncs, la geoestacionareitat esun requeriment tecnic peral correcte funcionament d’aquests tipus d’aparells. En d’altres llocs del planetaes disposa de sistemes similars com en el cas del NOAA (National Oceanic andAtmospheric Administration) en el cas d’America del Nord.

Segons hem vist a l’apartat anterior, cada orbita te el seuperıode. Per tal depoder tenir un satel.lit geostacionari, es necessari que el posem en orbita a unaaltura determinada per tal que el seu perıode corresponguijustament al perıodeorbital de la Terra, 24 h=86400 s.

Ro =3

√

GMT τ 2

4π2=

3

√

6.67 · 10−115.98 · 1024(86400)2

4π2= 42.25 · 106 m.(16.7)

Aquesta distancia correspon a 6.63 vegades en radi terrestre, (6.63RT ) i es ladistancia a la que hem de situar un satel.lit si volem que giri a la mateixa velocitata la que la Terra gira, permetent que l’aparell es trobi sempre situat sobre elmateix punt de la Terra.

16.3 GPS

GPS es una paraula que en els darrers anys ha esdevingut molthabitual. La po-pularitat dels sistemes s’assistencia a la navegacio percotxes ha fet que aquesteslletres siguin extensament conegudes per tothom. La seva utilitzacio a nivell ci-entıfic ha anat en augment en els darrers anys. Aixı doncs, no ens resulta extranyveure com es col·loca un receptor de GPS a cents animals per estudiar els seusfluxos migratoris o com s’utilitzen en boies marines per estudiar els correntsmarins.

El sistema GPS permet posicionar un detector en unes coordenades sobre lasuperfıcie de la Terra a traves de la recepcio de multiples senyals provinents dediversos satel·lits que es troben orbitant. El mecanisme per el qual el receptor deGPS troba aquesta posicio s’anomena trilateracio.

Els satel·lits de GPS no son res mes queRelativitat

16.4 Energia per sortir de la Terra

Per tal de sortir de l’abast de la gravetat terrestre, els coets necessiten gastar unaquantitat d’energia molt gran. Aquest fet es pot comprovar en els llancamentstelevisats on darrera dels impulsors es pot veure claramentuna rafaga de foc

16.5. CAIGUDA DE SATEL·LITS 223

molt llarga. L’energia requerida es tan gran i s’ha d’obtenir de forma tan rapidaque aquesta s¡aha d’obtenir a traves de reaccions quımiques explosives.

Per calcular la quantitat d’energia necessaria per tal d’enviar un d’aquestsobjectes a l’espai, podem aproximar-nos a traves d’estudiar simplement l’energiamecanica d’un objecte en relacio a la Terra

L’energia que hem d’obtenir es en forma d’energia potencial gravitatoria.Aquesta pero, no es igual amgh, ja que aquesta expressio tan sols es validaa prop de la superfıcie de la Terra. Si tenim en compte la variacio de la forcagravitatoria amb la distancia a la Terra, la variacio d’energia gravitatoria al passarde la superfıcie de la Terra aR0 a una orbia a una distanciaR es

∆E = −GMm

R+G

Mm

R0(16.8)

Quan llancem un coet, hem de donar-li tanta energia cieticacom l’energiagravitatoria final

1

2mv2 = G

Mm

R(16.9)

La velocitat necessaria que ha de tenir un objecte per poderarribar es de

v =

√

G2M

R(16.10)

16.5 Caiguda de satel·lits

CAPITOL 17Dispersio de contaminants

La pregunta que ens plantegem en aquest capıtol es la de quines son les lleisfısiques que ens permeten entendre el moviment d’un conjunt gran de partıculesen l’interior d’un fluid, com es el cas d’una taca de contaminant dispersant-se perl’atmosfera o l’ocea. Tot i que els problemes de polucio s´on molt diversos (con-taminacio a escales locals o planetaries, contaminacioper contaminants primariso secondaris com l’ozo, contaminacio en capes baixes o altes de l’atmosfera, enrecintes tancats...) en general existeixen una serie de principis comuns que enspoden ajudar a entendre aquests processos. En tots els casosel parametre fona-mental a estudiar es la concentracio de les substancies (quantitat del contaminanten relacio al volum o la massa del medi on es troba), ja que totcontaminant seraperjudicial per a la salut o pel medi ambient a partir d’una certa concentracio,i precisament el que es regula a la majoria de legislacions ambientals son lesconcentracions maximes permeses a l’ambient de cada substancia.

Per tal de descriure el moviment de partıcules sabem que podem fer servirles lleis de la dinamica, es a dir, les lleis de Newton. El problema quan tenimun nombre molt elevat de partıcules (per exemple de l’ordrede1023, que corres-pondria a un mol) es que tenim interaccions i col·lisions entre totes les partıculesque fan que a la practica sigui impossible tractar ni resoldre aquesta situacio comsi fos un problema de dinamica. Calen, doncs, algunes aproximacions que enspermetin descriure el moviment global de les partıcules enconjunt aplicant al-gun tipus de promig estadıstic. En bona part, la solucio alproblema veurem queens la donen els processos de difusio, que com ja hem vist a l’apartat XX tenenimplıcit aquest caracter probabilıstic o estadıstic.

225

226 CAPITOL 17. DISPERSIO DE CONTAMINANTS

17.1 Contaminacio a l’atmosfera

En primer lloc cal tenir clar perque es possible aplicar les lleis de la difusio ala dispersio de contaminants a escala real. A l’apartat XX hem explicat que ladifusio es consequencia dels xocs continus que es produeixen entre les partıculesmicroscopiques que composen un gas. Com a resultat, la distancia que son capa-ces d’avancar les partıcules en promig no es proporcional al temps que passa,com succeeix en un objecte que es mou a velocitat constant, sino que s’acom-pleix la llei d’escalar2 ∼ t, que ens indica que l’avanc es molt mes lent. Aixopot ser verificat experimentalment en condicions de laboratori fent servir gasosen repos i amb condicions controlades. Pero que succeeix en el cas de l’aireatmosferic, que esta sotmes a molts altres efectes, que ames son difıcils de pre-dir? Doncs tot i l’existencia de corrents, turbulencies ialtres fenomens similarss’observa experimentalment que la llei d’escalar2 ∼ t segueix sent util per tald’explicar com una substancia es dispersa a l’aire, la qualcosa fa que poguemutilitzar els resultats de la difusio. No obstant, cal deixar clar que tot i que lallei d’escala sigui la mateixa les condicions del gas (la manera en que es mouenles partıcules) son forca diferents en condicions de laboratori i en una situacioreal a l’atmosfera. Aixo provoca que a nivell de llenguatgesigui aconsellable di-ferenciar entre un cas i l’altre; per aixo la paraula difusio s’acostuma a reservarmes aviat per a l’estudi de substancies en condicions de laboratori o que no estansubjectes a turbulencies o altres forces externes, mentreque en casos reals mescomplexes com ara a l’atmosfera fem servir el concepte dedifusio turbulenta.Per tant, al llarg de tot aquest capıtol quan ens referim a processos de difusioestarem implıcitament referint-nos a difusio turbulenta.

Com un pot imaginar-se, la difusio turbulenta es un proces de transport moltmes rapid que una difusio en condicions de laboratori; lamanera de caracteritzaraixo es mitjancant el valor del coeficient de difusioD en cada cas. En general,com mes gran es l’escala del proces mes rapid es el transport i per tant mes gransera el valor del coeficient de difusio.

Finalment, hem de pensar que la difusio (turbulenta) no esl’unic procesimportant a l’hora d’explicar el transport de contaminants, sino que existeixentambe fenomens de transport actiu provocats per situacions com ara el vent, lainercia amb que surten els contaminants de les xemeneies o els tubs d’escapa-ment, etc. A continuacio veurem com podem combinar uns processos i altresper tal de descriure les emissions reals de contaminants a l’atmosfera.

Fonts d’emissio instantanies i puntuals

El cas mes senzill consisteix en suposar que l’emissio telloc de forma instantania(es a dir, tota a la vegada en un unic instant de temps) i que inicialment tot el

17.1. CONTAMINACIO A L’ATMOSFERA 227

contaminant esta concentrat en un unic punt de l’espai. Enrealitat, es clar, lataca de contaminant no sera inicialment un punt sino que tindra un cert tamany,que podem suposar que coincideix amb el tamany del conducte atraves del qualsigui emes (tuberia, xemeneia, o qualsevol altre). El fet que a la practica podemconsiderar o no com a puntual l’emissio es una questio d’escales relatives entreel tamany de la taca i la distancia a la qual fem la mesura. Perexemple, unaemissio a traves d’una xemeneia de1 metre de radi no podrem dir que es puntualsi la mirem des de molt a prop (si estem a pocs metres de la xemeneia), pero siens ho mirem des d’una distancia d’uns pocs quilometres veurem la taca com unpetit punt i per tant l’aproximacio d’emissio puntual sera valida. En general, comen els casos reals habitualment estem interessats en coneixer els efectes d’unaemissio en zones relativament llunyanes la hipotesi de fonts puntuals acostumaa ser raonable.

DifusioSi de moment nomes tenim en compte la difusio, les lleis quehem plantejat

a l’apartat XX son directament aplicables. Per tant, la concentracio de contami-nant que tindrem a una distanciar del punt d’abocament al cap d’un tempst deser abocat es

C(r, t) =m

(4πDt)3/2e−

r2

4Dt

onm es la massa de la substancia abocada iD es el coeficient de difusio de lasubstancia en el medi. Tal com s’ha explicat tambe, aixo implica que existeixuna llei d’escalar2 ∼ t entre la distancia i el temps caracterıstics del proces detransport. Per tant, una taca de contaminant ideal on nomesexistissin efectes dedifusio (cosa que, com explicarem despres, no succeeix a la realitat) aniria crei-xent de manera que la seva area (que es proporcional ar2) creixeria de maneradirectament proporcional al temps transcorregut.

Difusio amb transport actiuSi ara imaginem que l’emissio instantania i puntual es veutambe afectada

per un corrent extern (per exemple, el vent) a velocitat constant tindrem que totala taca de contaminant es ”arrossegada”en la direccio delvent a la vegada queaquesta es difon per l’atmosfera. Si escollim la direccio de l’eix X de maneraque el vent bufa en la direccio positiva d’aquest eix, aleshores podem fer servirla formula

C(r, t) =m

(4πDt)3/2e−

(x−ut)2+y2+z2

4Dt

onu es la velocitat del vent. La Figura XX mostra la diferenciaentre el compor-tament d’una taca de contaminant amb i sense la presencia detransport actiu.


Fonts d’emissio contınues

A la practica la hipotesi de que la font sigui puntual nom´es serveix per a explicardeterminats abocaments poc habituals (explossions, fuites puntuals...). En reali-tat la majoria de fonts contaminants que tenim a la nostra societat (com ara elscotxes o les xemeneies...) emeten de forma contınua en el temps, i per tant esimportant intentar comprendre aquests casos.

DifusioSuposem ara que el contaminant es emes sense interrupcioa un ritme cons-

tantq (que te unitats de massa partit per temps). Tot i que el contaminant s’estaemetent de forma contınua, ens fixem primer nomes en aquella quantitat que haestat emesa en l’instantt0; si estudiem l’efecte d’aquesta emissio en un tempsta una distanciar obtenim que la concentracio per unitat de temps rebuda es

q

(4πD (t− t0))3/2

e−

r2

4D(t−t0)

que coincideix amb l’expressio XX, ja quet− t0 es el temps transcorregut entrel’emissio i la mesura. Si finalment volem coneixer l’efecte no nomes del ques’ha emes ent0 sino en qualsevol altre instant de temps hem de sumar totes lescontribucions de tots els temps d’emissio. Aixo equival asumar tots els possiblesvalors det0 possibles, i com que el temps es una varibale contınua aquesta sumaes convertira en una integral:

c(r, t) =

∫ t

0

dt0q

(4πD (t− t0))3/2

e−

r2

4D(t−t0)

on la suma (integral) va des del moment que es comenca a emetre (alla hi esco-llim l’origen t = 0) fins el moment actualt. Aquesta integral es pot resoldre demanera exacta, pero l’expressio que ens quedaria es forc¸a complicada, de mane-ra que no l’escriurem. En canvi, es interessant estudiar uncas lımit en el qualuna font porta molt de temps en funcionament (per exemple, una xemeneia queestigui emetent sense parar). Aquest cas correspon a suposar quet → ∞; fentaquest lımit en l’equacio XX s’obte

c(r,∞) =q

4πDr.

Aquesta equacio ens diu que la concentracio de contaminant quan la fontemet en continu decreix amb la distancia d’acord amb la lleid’escalac ∼ r−1.Aquest decaiment es molt mes lent que el que prediu el cas per una font ins-tantania. Per tant, deduim que les fonts instantanies en general tenen un efectemolt mes local: el contaminant es queda molt a prop del centre de la taca i en


aquella zona les concentracions poden ser altes. En canvi, en una font contınuapoden existir mes efectes de llarg abast i per tant la zona afectada pel contami-nant pot ser mes gran.

Difusio amb transport actiuPer tal de deduir el comportament del contaminant en una fontcontınua quan

tambe hi bufa vent amb velocitatu podem repetir el calcul anterior pero arapartint de l’equacio XX (font instantania amb transport actiu) en comptes de XX.Si ho fem trobarem que la concentracio en el lımitt → ∞ segueix l’expressio

c(r,∞) =q

4πDre−u r−x

2D

on de nou hem escollit el sistema de coordenades de manera queel vent bufien la direccio positiva de l’eixX. Com que a mida que passi el temps el vent”arrossegara”el contaminant en aquesta direccioX positiva, per a temps relati-vament llargs el valor de la coordenadax sera forca mes gran que els valorsy oz, ja que en aquestes dues direccions nomes hi actua la difusio, que es un procesmes lent. Per tant, fent la hipotesix >> y i x >> z en l’equacio XX s’arriba auna expressio simplificada forca util en els calculs d’emissio de contaminants:

c(r,∞) =q

4πDxe−u y2+z2

4Dx

Fem un petit exemple per tal de veure la utilitat d’aquesta expressio. Imagi-nem que tenim una xemeneia de50metres d’alcada que emet una certa substanciacontaminant a un ritme de1 mg/s (es a dir,10−6 Kg/s). Suposem que el coefici-ent de difusio del contaminant es10 m2/s i que la xemeneia porta ja molt tempsfuncionant, de manera que podem suposar que el lımitt → ∞ es valid. Quinasera la concentracio de contaminant que tindrem a nivell de terra si estem a100metres del peu de la xemeneia en la direccio en la que bufa elvent a3 m/s?D’acord amb la formula anterior haurem de substituir

c(r,∞) =10−6

4π · 10 · 100e−3 502

4·10·100 = 1.22 · 10−11Kg/m3 = 1.22 · 10−2µg/m3

on donem el resultat enµg/m3 ja que es la unitat habitual que acostumen a ferservir els goberns i administracions per a marcar els lımits permesos per llei. Calespecificar que en substituir els valors per a fer el calcul anterior hem fet serviry = 0, ja que estem fixant l’origen de coordenades al punt mes alt de la xeme-neia, i com que nosaltres estem col·locats en la direccio del vent la coordenaday es nul·la, com pot apreciar-se al dibuix de la Figura XX.

Exemple 1: Explosio de Txernobyl (1986)

L’explossio de la Central Nuclear de Txernobyl al 1986 va produir, entre altrescatastrofes, la formacio d’un nubol contaminant amb productes radioactius que


durant diversos dies va recorrer la zona nord-est d’Europa. La seva evoluciodurant les primeres 36 hores va ser la que es mostra a la sequ`encia de la FiguraXX. Veiem com durant les primeres hores la taca es desplaca cap al nordoest(efecte del vent predominant en aquell moment) a la vegada que es va fent mesample (per efecte de la difusio). Passat mes temps la taca es dispersa molt i elsfenomens meteorologics finalment provoquen que el seu comportament es facimes complicat (com es veu a les ultimes dues imatges).

El ritme al qual creix el tamany de la taca ens pot servir per a estimar elcoeficient de difusio dels contaminants. Per exemple, es veu que al cap de18hores (figura central) la taca te mes o menys el mateix tamany (amplada) quela frontera que separa Espanya i Franca, que son uns650 quilometres. Per tant,el seu radi son325 quilometres, i aplicant la relacio XX trobem el coeficientdedifusio

D =r2

6t=

(325 · 103)2

6 · 18 · 3600 = 2, 7 · 105m2/s

Exemple 2: Volca Eyjafjallaj okull (2010)

Durant l’abril de 2010 el volca Eyjafjallajokull, a Islandia, va entrar en erupcioprovocant un nubol de fum i partıcules que fins i tot va provocar una importantaturada del transit aeri a nivell europeu. L’evolucio en el temps del nubol formatva ser la que es veu a la Figura XX, on s’observa una tendenciamolt forta inicialdels vents en direccio sudoest. En aquest cas farem servir un valor pel coeficientde difusio D = 104 m2/s, obtingut a partir dels calculs d’experts en erupcionsvolcaniques, i calcularem les concentracions de contaminant que podem esperara diferents distancies del punt d’emissio. Per exemple, sabem que durant l’epocad’erupcio el volca emetia3.000 tones de dioxid de sofre (SO2) i 150.000 tonesde CO2 cada dia. Aixo equival, passant a unitats del Sistema Internacional, a34, 7 Kg/s de SO2 i 1736 Kg/s de CO2. Com que l’emissio del volca es contınuai l’efecte dels vents es fort podrem fer servir la formula XX, sabent que l’alcadadel volca sobre el nivell del mar son1.700 metres i agafant una velocitat depel vent d’uns100 Km/h (o 27, 8 m/s), valor que es dedueix de la Figura XXobservant a quina velocitat avanca el nubol. Tot i que sembli un valor molt altpel vent hem de pensar que no estem parlant de vents a nivell desuperficie sinoa centenars de metres d’alcada, que en general son mes forts.

Amb tot aixo trobem que els nivells de concentracio passats uns dies (per talque la hipotesit → ∞ sigui raonable) seran, situant-nos a nivell del mar i a100Km de distancia del volca en la direccio del vent,

cSO2(r,∞) =34, 7

4π · 104 · 100 · 103 e−27,8 17002

4·104·100·103 = 2, 7 · 10−9Kg/m3 = 2, 7µg/m3


cCO2(r,∞) =1736

4π · 104 · 100 · 103 e−27,8 17002

4·104·100·103 = 1, 4 · 10−7Kg/m3 = 140µg/m3

Per tal d’analitzar aquests valors, podem comparar per exemple amb el lımitmaxim de SO2 permes per la legislacio europea a nivell de superfıcie,que son350 µg/m3. D’acord amb aixo les emissions del vocla (o com a mınim) les deSO2 no tenen en principi un perill alt a nivell de superfıcie si estem a100 Km dedistancia del volca .(que es la distancia que hi ha des del volca fins a Reykjavik,la capital del paıs).Obviament, si ens col·loquem molt a prop del punt d’emissioels numeros serien forca diferents.

Transport vertical a l’atmosfera

Fins el moment hem considerat els efectes de la difusio i dels corrents actius (perexemple, el vent), pero en el transport de contaminants a l’atmosfera obviamentintervenen altres fenomens que son tambe fonamentals. Elfet de que es tractid’un sistema d’escala tan gran fa que les propietats de l’aire (temperatura, pres-sio, etc) en unes zones i altres no siguin les mateixes, i aixo provocara tambeque el transport de substancies s’hi vegi afectat. Per comencar, hem de pensarque estem acostumats a veure que la major part dels contaminants que s’emetena l’aire tendeixen a pujar cap adalt i aixo fa que es dispersin per tota l’atmosferai el seu efecte no sigui tan nociu. Per contra, quan les condicions meteorologi-ques no permeten que aquest transport vertical cap a dalt es produeixi, aleshorespodem tenir episodis de contaminacio elevada amb greus consequencies. Peraquest motiu es important entendre les condicions basiques que regulen el trans-port vertical a l’atmosfera en funcio de les condicions ambientals.

Imaginem una bombolla de gas contaminat que es abocat a l’atmosfera, de laqual en volem estudiar el moviment vertical des del punt de vista termodinamic.Comencem per recuperar el primer principi de la termodinamica (Apartat XX),que ens diu que el calor que rebra o cedira la bombolla durant el seu movimentsera

Q = ∆U −W.

Suposant que el gas es ideal, la variacio d’energia interna∆U vindra donada pelcanvi de temperaura que experimentara la bombolla en pujaro baixar. D’acordamb l’equacio (Equacio XX) tenim

∆U = cvm∆T

on cv es el calor especıfic de la bombolla im es la seva massa.Pel que fa al treballW , farem servir l’expressio quasiestatica (Equacio XX)

W = −pdV i com que es tracta d’un gas ideal (Apartat XX) obtenim

W = −p∆V = −p∆

(

nRT

p

)

= −nR∆T − pnRT−∆p

p2=


= −nR∆T + V∆p

Ara, ajuntant les tres expressions anteriors, s’arriba a

Q = (cv +R)m∆T − V∆p

Com que els canvis de pressio verticals a l’atmosfera seranfonamentalment de-guts a la pressio hidrostatica (Apartat XX) podrem fer servir ∆p = −ρg∆z (onρ es la densitat de l’aire i z es la coordenada vertical) de manera que

Q = (cv +R)m∆T + V ρg∆z

Finalment, fem la hipotesi de que l’intercanvi de calor entre la bombolla il’aire exterior es molt lent, de manera que a la practica elproces pot considerar-sepracticament adiabatic (Apartat XX); aquesta hipotesies forca raoable en moltessituacions atmosferiques reals. Aleshores tenim queQ = 0, i de l’equacio XXpodem obtenir la variacio de la temperatura de la bombolla en funcio de l’alcada

∆T

∆z= − V ρg

(cv +R)m= − ρg

(cv +R) ρb

onρb representa la densitat de la bombolla. Suposant que la densitat de la bom-bolla i de l’aire es practicament la mateixa, arribem al resultat final

∆T

∆z= − g

cv +R.

Aquesta expressio que hem deduit rep el nom degradient termic de l’ascensadiabatic. Ens indica que quan la bombolla s’elevi una certa distancia la sevatemperatura disminuira (fixeu-vos en el signe negatiu de laformula) a un ritmedeg/ (cv +R) ≈ 0.0098 oK/m (es a dir, mes o menys una centesima de grau percada metre).

A partir d’aquesta expressio es pot deduir si una bombolla de contaminant al’atmosfera te tendencia a pujar (com passa habitualment) o a baixar (i en aquestcas tindrıem episodis negatius des d’un punt de vista ambiental). Ho farem deforma senzilla, partint de la idea intuitiva de que l’aire que esta mes calent sem-pre tendeix a pujar. Per tant, si inicialment la bombolla de contaminant emesaesta mes calenta que l’aire tendira a pujar. Pero en ascendir la seva temperaturadisminuira, com hem vist, i podria arribar un punt en que ja no sigui capac deseguir pujant; en aquest cas el contaminant es quedaria atrapat en una zona del’atmosfera propera a la superficie i tindrıem una situaci´o potencialment perillo-sa. El que evita que aixo no passi normalment es que l’aire atmosferic tambees refreda a mida que ens allunyem de la superfıcie: per tant, si la bombolla es


va refredant pero l’aire del seu voltant es va refredant encara mes rapid a midaque aquesta puja, aleshores la tendencia es sempre a pujari el contaminant esdispersara cap a capes atmosferiques altes.

En general, aquest raonament ens permet distingir entre unasituacio d’inestabilitatatmosferica (a mida que pujem l’aire es refreda a un ritme mes rapid que ipertant la tendencia dels contaminants es la de pujar mes rapidament) oestabili-tat atmosferica (les condicions anteriors no es donen i per tant el contaminantes queda aturat en un punt o fins i tot te tendencia a baixar).Aixo pot donarlloc a diferents comportaments dels nubols de contaminants, alguns dels qualses recullen a la Figura XX. Al costat de cada dibuix apareix ungrafic on apa-reix la variacio de la temperatura atmosferica real (lınia de punts) amb l’alcada,i es compara amb la variacio que prediu la formula XX. En aquells casos on latemperatura real atmosferica decreix rapidament amb l’alcada s’observa com elcontaminant es dispersa cap a dalt rapidament, mentre que altres combinacionspoden donar lloc a situacions mes adverses.

Efectes de la meteorologia en la dispersio de contaminants

Tot i que en l’apartat anterior ja hem donat algunes idees important sobre comles propietats termodinamiques de l’atmosfera afecten a la dispersio d’un con-taminant, en aquest apartat mencionem altres exemples relacionats amb el com-portament del vent en diferents situacions segons la topografia i l’orografia delterreny. La Figura XX mostra la diferencia entre els regims de vents en zonesanticicloniques i de borrasca. En un anticiclo (centre d’altes pressions) semprees forma l’anomenada regio de subsidencia, en la qual les masses d’aire a ni-vell de superfıcie tendeixen a desplacar-se allunyant-se del centre d’alta pressioi en consequencia les masses d’aire mes elevades tendeixen a descendir. En unaborrasca, com que el centre esta a una pressio baixa, succeeix el contrari. Pertant, deduim que les zones anticicloniques son desfavorables per a la dispersiode contaminants, ja que no permeten que aquests es dispersincap a zones altesde l’atmosfers sino que, al contrari, aquests tendeixen a quedar-se prop de lasuperfıcie.

Per una altra banda, la Figura XX mostra el regim de vents que s’acostumaa donar en regions de costa. Durant el dia la brisa marina bufades del mar capa terra, amb la qual cosa els contaminants emesos prop de la costa (per vaixells,ports, i zones industrials costaneres) tendeixen a anar capa l’interior, mentre quea la nit el vent tendeix a emportar-se aquests contaminants mar endins i per tantla situacio es menys desfavorable.


17.2 Contaminacio en medi lıquid

Els resultats que hem deduit adalt per a explicar la contaminacio atmosfericaa partir de fonts d’emissio puntuals instantanies o be contınues continuen sentvalides en el cas de contaminacio en medi lıquid. Tambe en aquest cas podemsuposar que els contaminants es dispersen per difusio (nomes que, com es tractad’un medi diferent, els valors dels coeficients de difusio seran diferents que enel cas de l’aire) i que pateixen els efectes de corrents actius. Tot i que en medilıquid no tenim vent, sı que podem tenir per exemple corrents d’aigua que ju-garan exactament el mateix paper que el vent, es a dir, ”arrossegaranl.la taca decontaminant en una direccio donada.

Efectes de la sedimentacio

En medi lıquid, pero, pot apareixer un fenomen que no es tan habitual en l’at-mosfera, que es el de la sedimentacio de les partıcules. Ja hem estudiat a l’A-partat XX els processos de sedimentacio de partıcules en un fluid. Alla hem vistque es pot definit una velocitat de sedimentacio terminalvlim, que es la veloci-tat constant a la qual les partıcules s’enfonsen. L’efected’aquesta velocitat esel d’”arrossegarcap avall les partıcules, que ara considerarem que son partıculescontaminants. Per tant, la sedimentacio juga un paper identic al d’un transportactiu com ara el vent.

Plantegem un exemple per tal de veure com aixo ens pot ajudara descriuresituacions concretes. Imaginem que un vaixell fa un abocament d’una substanciaenmig del mar (Figura XX). Com que la substancia te mes densitat que l’aiguadel mar la substancia tendeix a enfonsar-se pero a la vegada que ho fa la taca decontaminant es va fent mes gran per un proces de difusio. La questio es: compodem avaluar el grau en que el contaminant afectara a les especies que viuenal fons marı? En primer lloc necessitem saber a quina velocitat cau cap al fons;aixo ens ho dona la velocitat de sedimentacio en un medi viscos (Equacio XX)

v =2R2g

9η(ρs − ρf )

on es fa la hipotesi que el contaminant el formen partıcules esferiques de radiR,i on ρs, ρf , η son la densitat del lıquid, densitat de lobjecte i viscositat del fluid,respectivament. Si el contaminant te una densitat de1100 Kg/m3 i el formenpartıcules de radi0, 1 mm, agafant les dades corresponents per l’aigua de mar(ρf = 1020 Kg/m3, η = 10−3 Pa·s) obtenim

v =2 · (5 · 10−4)

2 · 9, 89 · 10−3

(1050− 1020) = 0, 016m/s = 16cm/s

17.3. FILTRACIONS EN MEDIS POROSOS 235

Aixo ens diu que, si el nivell del mar al punt on esta el vaixell son100 metres, lataca triga6.250 segons en arribar al fons (es a dir, prop de dues hores). El tamanyde la taca en aquell moment vindra donat per la formula XX. Si pel coeficient dedifusio de la substancia agafem un valor tıpic de10 m2/s tenim

r =√6 · 10 · 6.250 = 612m

de manera que la taca fara un radi d’aquest tamany i per tant podria afectara les especies en aquesta regio (obviament no estem tenint en compte que elspossibles corrents marins podrien emportar-se el contaminant en alguna direccioconcreta). Un altre calcul que podem fer es el de la concentracio maxima decontaminant que arriba al fons del mar; aixo correspondraa la concentracio enel centre de la taca (que sempre es on hi ha concentracio maxima) en el momentque la taca arriba al fons. Aquest calcul el podem realitzarusant la formulaXX pel casr = 0 (que es la condicio del centre de la taca). Aixı obtenim laconcentracio

C(0, t) =m

(4πDt)3/2=

m

(4π · 10 · 6.250)3/2= 1, 4 · 10−9m

on ens queda el resultat en funcio de la massa abocadam. Suposant quem = 100Kg, obtenim que la concentracio val1, 4·10−7 Kg/m3 o, el que es el mateix,0, 14mg/m3.

17.3 Filtracions en medis porosos

Una situacio que encara no hem descrit en totes les explicacions anteriors es elde la dispersio de contaminants a traves del sol o, en general, qualsevol altremedi heterogeni format per solids entre els quals poden existir petites escletxeso canals per on s’escola el contaminant. Aquest tipus de situacions son impor-tants per a entendre, per exemple, com pot afectar la contaminacio superficial alsaquifers o altres reserves situades al subsol.

En general podem aquı distingir dues situacions. En la primera, suposem queels canals o escletxes que existeixen en el medi son molt mes grans que el tamanyde les partıcules del contaminant (Figura XX). En aquest cas podem seguir fentservir la idea de que el contaminant es dispersa per difusioi (si correspon) pertransport actiu. L’unic efecte de les heterogeneitats delmedi aleshores sera queprovocaran que les partıcules xoquin mes sovint i els hi costi mes avancar, demanera que el coeficient de difusio tindra un valor mes petit que si el medi foscompletament homogeni.

L’altra situacio, que es la mes interessant i habitual, es dona quan el tamanyde les escletxes es practicament tant petit com el de les partıcules. En aquest cas


la difusio ja no ens permet explicar el fenomen i hem de recorrer a altres teories.En concret, s’acostuma a aplicar la llei de Darcy, segons la qual el cabalQ decontaminant que travessara un canal ve donada per

Q =Ak

ρgL∆p

on A es l’seccio (o area transversal) del canal,L es la seva longitud,ρ es ladensitat del lıquid que conte el contaminant,k es coneix com la conductivitathidraulica (es una constant caracterısitca de cada medi), i ∆p es la diferenciade pressions entre els extrems del canal. Per tant, resulta obvi que ha d’existiruna forca (associada a la diferencia de pressions que facique el transport tinguilloc); en molts casos a la natura aquesta diferencia de pressions vindra dona-da per un efecte gravitatori, de manera que∆p sera la diferencia de pressionshidroestatiques entre els extrems del canal.

Com a exemple il·lustratiu, considerem que tinguessim un abocament d’uncontaminant dissolt en aigua que s’escola per un medi que te104 canals per cadametre quadrat de superfıcie, tots ells d’una decima de mil·lımetre de radi. Lasuperficie de sol contaminada es de100 m2 i la condictivitat hidraulica del medies10−3 m/s. Amb tot aixo podem saber, per exemple, la quantitat de contaminantque haura escolat al cap de 24 hores. Substituint valors en l’equacio XX tenim

Q =Ak

ρgL∆p =

π10−8 · 10−3

103 · 9, 8 · L∆p

i suposant que la diferencia de pressions es nomes hidrostatica tenim∆p =ρgL = 103 · 9, 8 · L. Ajuntant-ho tot trobem

Q = 3, 14 · 10−11m3/s

la qual cosa vol dir que al cap de 24 hores (86400 segons) hauran passat2, 7 ·10−6 m3 per cada canal. Si en total hi ha100m2 · 104canals/m2 = 106 canals,aleshores en total2, 7 m3 de la substancia hauran escolat. Recordem, a mes, quea partir de la definicio del cabalQ = vA podem determinar la velocitat a queflueix el contaminant a traves del canal; en aquest cas sera

v =Q

A=

k

ρgL∆p = 10−3m/s

ja que la velocitat de filtracio coincideix amb el valor de laconductivitat hidraulicaquan les diferencies de pressions son exclussivament degudes a efectes gravita-toris.

17.3. FILTRACIONS EN MEDIS POROSOS 237

Exercicis

1. Un dels motius pels quals molta gent critica els cementiris nuclears es perla possibilitat de filtracions que pogues existir del material radioactiu capa aquıfers i altres zones properes.

a) Suposem que les hipotetiques filtracions haguessin de travessar unmedi poros que tingui una conductivitat hidraulica tıpica de10−3

m/s. A quina velocitat avancaria el residu per la filtraciosi aquest esmou nomes degut a efectes gravitatoris?

b) Si tenim en compte una variacio de pressions total de 1 atm(con-siderant altres efectes a mes dels gravitatoris) entre elsextrems delconducte per on hi ha la filtracio, que suposem que te 50 metres dellarg, quina seria la velocitat a la qual avancaria el residu?

c) L’agencia de proteccio ambiental americana imposa un l´ımit maximde 50 desintegracions radiactives per cada segon i cada metre cubicd’aigua potable. Si la probabilitat de desintegracio del plutoni es de9, 110−13 per segon per a cada atom, calculeu quants atoms haurıemde tenir en un metre cubic d’aigua per tal de sobrepassar el lımitepermes.

d) Quina concentracio representa el valor anterior en ppm (parts permilio)?

e) Si escapes 1 tona de plutoni del cementiri nuclear, entrequanta litresd’aigua s’hauria de dispersar per tal de no superar el lımitmaxim?

2. Xemeneies industrials.A l’hora de dissenyar una central termica o nucle-ar (o qualsevol altra instal·lacio industrial d’aquestesdimensions) un delsestudis importants que s’ha de fer es el de quina amplada i alcada han detenir les xemeneies per tal d’evitar que els nivells de contaminacio a nivellde terra siguin gaire elevats.

a) Suposem que la central emet contınuament 2 m3 de fum cada segon.Quina sera la velocitat de sortida del fum si fem la xemeneiade 1metre de radi?

b) Quants metres pujara la columna de fum cap a dalt suposantque ensortir a l’atmosfera es frena a una acceleracio constant de0,1 m/s2?

c) Quin sera el ritme d’emissio de dioxid de nitrogen que sortira perla xemeneia, si cada metre cubic de fum conte 5 grams d’aquestasubstancia?


d) Repetiu tots els calculs anteriors suposant ara que la xemeneia fes 2metres de radi.

e) Calculeu la concentracio que acabarem tenint en un punt situat a 50metres del peu de la xemeneia si aquesta tingues una alcadade 30metres i no bufes mai vent a la zona.

f) Repetiu el calcul anterior pel cas que la xemeneia faci 50metresd’alcada.

3. L’any 1930 a la vall de Meuse (Belgica) va tenir lloc una dels episodis decontaminacio atmosferica mes tragics de la historia.Les emissions conta-minants d’algunes industries de la regio en forma de fluor van cmobinar-seamb unes condicions meteorologiques molt particulars quevan fer que elcontaminant es concentres al llarg de la vall i provoques nombrosos pro-blemes respiratoris als habitants de la zona, dels quals en van resultar propde 60 morts.

a) La dosi letal de fluor per una persona adulta equival a una exposiciodurant dos o tres dies a concentracions de 50 miligrams/m3 de fluoren forma d’acid fluorhıdric (HF). Si la vall de Meuse te un tamanyde 10 Km de llarg per 1 Km d’amplada, amb turons d’uns 60 metresd’alcada a banda i banda, calculeu quina quantitat de fluor ´es neces-sari abocar per arribar a tenir una desena part de la dosi letal en totala vall.

b) Si les condicions meteorologiques eren tals que totes les emissionsde fluor d’una empresa situada a 500 metres de la vall anaven a parara aquella zona (amb un vent suau de 2 m/s) i el coeficient de difusiocorresponent era de 1 m2/s, calculeu el ritme d’emissio per tal que laconcentracio arribes a la dosi letal. (Nota: considereu que l’emissiosurt d’una xemeneia d’una 30 metres d’alcada).

c) Feu un grafic de la concentracio que s’assoliria

CAPITOL 18Fısica dels nuvols. Aerosols

Es una creenca molt extesa que els nuvols son vapor d’aigua. La seva aparencagasosa i el fet que es trobin flotant per l’atmosfera porten f`acilment a aquestaconclusio. Els nuvols no son pas vapor d’aigua. aigua condensada entorn depetites partıcules de po

18.1 Mida dels aerosols. Metodesoptics

Raileigh scatteringPolarizabilitatMie scattering

18.2 Composicio dels aerosols. Espectroscopia demasses

L’espectroscopia de masses es la tecnica experimental encarregada de separarles partıcules d’una mostra per la seva massa.

Aixo s’aconsegueis tot ionitzant aquestes partıcules i fent-les passar per campselectromagnetics. Si la ionitzacio

Separacio per temps de vol

La separacio per temps de vol utilitza exclusivament campselectrics per accele-rar les partıcules. Es basa en el fet que les partıcules mes pesades aconsegueixenvelocitats mes petites quan estan sotmeses a la mateixa forca.

239

240 CAPITOL 18. FISICA DELS NUVOLS. AEROSOLS

L’acceleracio de les partıcules es produeix en una zona entre dosDonades dues superfıcies metaliques sobre les quals hi haaplicada una di-

ferencia de potencialV . Posem just en l’extremsL’Energia potencial electrica es transforma en energia cinetica just en el punt

d’arribada

q∆V =1

2mv2 (18.1)

v =

√

2q∆V

m(18.2)

Un cop accelerades, les partıcules es deixen volar lliurement en el tub de vollliure de camp. En aquesta regio, al no haver cap camp, les partıcules es mouena velocitat constant fins que arriben a l’altre extrem del tub, a una distanciaL. Eltemps que trigara en arribar cada molecula dependra de la velocitatv que teniainiciament, aixı doncs

t =L

v=

L

2∆V

√

m

q. (18.3)

De l’equacio anterior podem veure que amb aquest metode nopodem calcularla massa de la partıcula, sino tan sols el quocientm/q o altrament anomenadarelacio carrega massa.

Figura 18.1: Separacio per temps de vol

Si en el tub tinguessim una partıcula amb una massa2m i una carrega2q,aquesta arribaria al mateix instant que una partıcula amb massam i carregaq.Per tal de poder determinar-ne la massa correctament, ens hem d’assegurar queles carregues de les molecules en el tub siguin totes iguals.

18.2. COMPOSICIO DELS AEROSOLS. ESPECTROSCOPIA DE MASSES 241

Metode electromagnetic

Selector de velocitats

Aquest element ens permet seleccionar la velocitat de les partıcules que passena traves d’un camp electric i magnetic perpendiculars.

Si la disposicio dels camps es la mostrada a la figura, les forca electrica imagnetica son antiparal·leles, apuntant en direccio oposada. Si el modul de lesforces es igual, la partıcula no s’accelerara en la direccio perpendicular

qvB = qE (18.4)

De forma que la velocitat ha de ser

v =E

B(18.5)

Figura 18.2: Espectroscopia d’aerosols recollit a dues altures

242 CAPITOL 18. FISICA DELS NUVOLS. AEROSOLS

18.3 Fısica dels nuvols.

CAPITOL 19Acustica i medi ambient

El so i el soroll son fenomens amb els quals l’esser huma conviu des de sempre,tant a la natura com a la societat moderna. En l’apartat XX hemapres que el soes un fenomen ondulatori i n’hem desglosat les propietats fonamentals, pero alpresent capıtol mirarem d’entendre les implicacions ambientals dels fenomensacustics. La primera i mes evident d’aquestes implicacions es la relacionada ambel problema de la contaminacio acustica. Avui en dia els efectes que tenen sobrela salut i la qualitat de vida l’exposicio perllongada a nivells elevats de sorolles un fet reconegut, i per aquest motiu des de fa anys existeixen diferents lleisque regulen els nivells maxims d’exposicio per a les persones. Nosaltres aquıtractarem d’explicar com es pot mesurar la intensitat d’un soroll i els efectesque aquest pot tenir en el cos huma, per tal de comprendre mes a fons aquestaproblematica i la legislacio existent al respecte. Finalment, mostrarem tambecom el fenomen del so pot utilitzar-se tambe de manera positiva amb finalitatsambientals, i per aixo explicarem el funcionament dels processos de separaciode residus bassats en ultrasons.

19.1 Aspectes fisiologics del so

Sabem que el so es una ona de pressio que es propaga a travesd’un medi materi-al. Com es capac l’aparell auditiu huma de rebre aquesta senyal i processar-ne lainformacio per tal que arribi al cervell? Tot i que no es possible explicar aquı totsels detalls, el proces basicament consisteix en que l’ona de pressio penetra en elnostre pabello auditiu (oıda) i xoca amb el timpa, que esuna membrana moltsensible capac de vibrar a la mateixa frequencia que el soincident. La vibraciodel timpa genera una resposta en el sistema nervios en forma de senyal electrica

243

244 CAPITOL 19. ACUSTICA I MEDI AMBIENT

que viatja a traves del sistema fins a transmetre la informacio corresponent alcervell, que sera finalment qui la processi.

Les limitacions de l’aparell auditiu huma, doncs, venen fonamentalment do-nades per la capacitat de vibracio del timpa i les propietats del pabello auditiu.La Figura XX mostra la resposta de la nostra oıda davant de sorolls de diferentsintensitats i frequencies. Veiem que el rang de resposta aproximat es d’entre20i 20.000 Hz; el timpa, pel seu disseny, no pot respondre de manera adequada avibracions de frequencies que es trobin fora d’aquest rang. A mes, la mateixafigura mostra tambe el llindar de dolor, que representa la intensitat maxima quepot tenir el so per tal de no produir sensacio de molestia a l’organisme. Per so-bre d’aquest llindar, i a mida que anem augmentant la intensitat, la possibilitatde que el so pugui provocar lesions en l’aparell auditiu es va fent important.

Un altre aspecte important relatiu a la Figura XX es que, si observem l’eixvertical, la intensitat esta representada en escala logarıtmica, i aixo ens dona laidea de que el rang de valors d’intensitat que la oıda pot detectar abarca molts or-dres de magnitud diferents (per exemple, les intensitats m´ınimes veiem que estanprop de10−12 W/m2, mentre que el llindar de dolor es de l’ordre de1 W/m2). Enel seguent apartat veurem com aixo ens porta a definir l’escala decibelica com aescala practica de mesura per a la intensitat sonora.

Pel que fa a com les propietats del pabello auditiu (en concret, les seves di-mensions) afecten a aquesta resposta de l’oıda podem observar que en la cor-ba corresponent a la intensitat mınima existeixen alguneszones (en especialuna mica per sobre de10.000 Hz, i a prop dels3.500 Hz) on hi ha uns petitspics que semblen indicar que l’oıda detecta amb mes facilitat els sons corres-ponents a aquelles frequencies. Aixo es deu a que aquestes zones corresponena frequencies caracterıstiques del pabello auditiu (veure Apartat XX), com po-dem comprovar amb un petit calcul. Considerem que el pabello auditiu es unconducte tancat per un costat (timpa) i obert per l’altre. La longitud del pabelloauditiu es troba propera a2, 5 centımetres, i aixo representa una quarta part de lalongitud d’ona del primer harmonic (Figura XX). Per un altre costat, la velocitatdel so a l’aire sabem que es de340 m/s. Aleshores la frequencia caracterısticaprincipal de l’oıda (que correspon a aquella ona que fa un recorregut completd’anada i tornada a dintre de l’oıda) es (Equacio XX)

f =v

λ=

340

4 · 0, 025 = 3.400Hz

que coincideix amb el pic principal observat a la Figura XX.

19.2. L’ESCALA DECIBELICA 245

19.2 L’escala decibelica

Ja hem vist a l’apartat anterior que per tal de poder compararadequadament totel rang de valors d’intensitat que loıda humana es capacde percebre interessatreballar en una escala relacionada amb el logaritme de la intensitat. Per aquestmotiu en moltes aplicacions practiques s’acostuma a treballar amb l’escala de-cibelica. Aquesta escala es defineix a partir de

I(dB) = 10 log

(

I

I0

)

on I(dB) es la intensitat sonora expressada en decibels,I es la intensitat enunitats del sistema internacional iI0 es una constant igual a10−12 W/m2 (aixorepresenta aproximadament la intensitat sonora mınima que pot percebre l’esserhuma, com hem vist a la Figura XX). Aixı, un so de zero decibels correspon aI = I0 (es a dir la intensitat mınima que podem percebre), i un valor decibelicnegatiu representa un so que esta per sota de la intensitat que podem percebreels humans.

Una de les consequencies importants de treballar en una escala logarıtmicaes troba en que la suma i la diferencia d’intensitats no es pot dur a terme de formadirecta. Imaginem que des del punt on estem situats escoltemun objecte llunya(per exemple, un cotxe) amb una intensitat de50 decibels. Si ara col·loquem (Fi-gura XX) un segon cotxe igual just al costat del primer el soroll total que rebremcorrespon a2I (dues vegades la intensitat d’un cotxe), pero aixo no representaun soroll de100 dB. Substituint en la formula de l’escala decibelica i fent servirles propietats dels logaritmes s’obte

I(dB) = 10 log

(

2I

I0

)

= 10

(

log (2) + log

(

I

I0

))

≃ 3 + 10 log

(

I

I0

)

Per tant, el soroll total que rebrem dels dos cotxes es de53 dB. Aixo ensporta a la primera de les regles practiques per a sumar (o multiplicar) intensitatsen decibels:

-Multiplicar la intensitat sonora per dos equival a sumar unvalor de 3 enl’escala decibelica. I per tant, dividir la intensitat sonora entre dos equival arestar 3 unitats en l’escala decibelica.

Tambe es senzill entendre com el valor a l’escala decibelica es modifica quanens apropem o ens allunyem del punt emissor del so. Per exemple imaginemla mateixa situacio d’abans amb el cotxe situat a100 metres de distancia do-nant lloc a un so de50 dB. Si ens situem ara a200 metres (es a dir, doblem ladistancia) i recordem la dependencia de la intensitat sonora amb la distanciar ala font (Equacio XX):

I =P

4πr2


...observem que multiplicar lar per2 implica dividir la intensitat per4. Aixo esel mateix que dividir la I entre 2 dues vegades. Per tant, aplicant la regla d’adaltel que haurem de fer es restar dues vegades un valor de 3 en l’escala decibelica,i obtindrem que a200 metres el so es de44 dB. Aixo ens porta a la segona reglapractica:

-Augmentar fins el doble la distancia al punt emissor equival a restar unvalor de 6 en escala decibelica. A l’inreves, reduir la distancia a la meitatequival a sumar un valor de 6 en escala decibelica.

Finalment, es important introduir tambe el concepte de soroll continu equi-valent, ja que amb molta frequencia aquest es el concepteque apareix regulat ales legislacions en materia de contaminacio acustica. El motiu es que la majoriade sorolls ambientals normalment varien molt en intensitatd’un moment a unaltre, i per tant per poder controlar els nivells de soroll es important poder de-finir alguna especie de valor promig. El soroll continu equivalent es, doncs, unpromig de la intensitat sonora expressat en escala decibelica; la seva definicio es

Leq,T = 10 log

[

1

T

∑

100.1Leq,iti

]

on el promig es fa al llarg d’un tempsT i els valorsLeq,i representen el valorequivalent de soroll mesurat durant un subinterval de tempsti. Per exemple,imaginem que estem enmig del camp i mesurem el soroll ambientdurant 5 mi-nuts: durant el primer minut tot esta en calma i mesurem un soroll de30 dB; enel segon minut, uns animals es posen a fer soroll de manera queel nivell puja a45 dB; finalment, a partir del tercer minut es posa en marxa una m`aquina en unagranja propera, de manera que el nivell durant els tres minuts finals es de55 dB.Amb tot aixo, el nivell de soroll equivalent al llarg dels cinc minuts es

Leq,T = 10 log

[

1

5

(

1 · 100.1·30 + 1 · 100.1·45 + 3 · 100.1·55)

]

= 52, 9dB.

19.3 Contaminacio acustica

Amb les formules i definicions que hem donat en l’apartat anterior podem feruna estimacio dels nivells de contaminacio acustica a l’ambient a partir de lesmesures que ens pugui donar un sonometre, que es un aparellcapac de mesu-rar la pressio de les ones sonores que li arriben. Hem de tenir present, a mes,que els sorolls reals estan compostos de moltes frequencies diferents, i com hemvist a l’apartat deAspectes Fisiologics del So, l’aparell auditiu no respon amb lamateixa sensibilitat a totes elles. Per tant, per tal que un sonometre ens puguidonar un valor del nivell de soroll adient a la realitat, hauria de ser capac de


distingir la intensitat sonora que hi arriba per a cada tipusde frequencia i fer uncalcul promitjat donant un pes relatiu diferent a cada frequencia. A la practica,un sonometre de veritat no pot fer aquests calculs amb excessiva precisio, demanera que en el seu lloc s’acostumen a aplicar una serie de metodes i metodo-logies establerts (que aquı no explicarem donada la seva complexitat) que tenenen compte la composicio en frequencia tenen la majoria desons ambientals.

A continuacio, comentem un parell d’exemples practics amb casos que hompot trobar-se a l’hora de realitzar un estudi de contaminacio acustica ambiental.

Soroll emes pel trafic rodat

Considerem una situacio com la que apareix a la Figura XX, enla qual tenimuna carretera recta molt llarga, aR = 50 metres de la qual col·loquem el nos-tre aparell de medicio (R = 50 m). A continuacio calcularem el nivell de sorollequivalent. Per a aixo, primer calculem el soroll que provoca un sol cotxe en pro-mig en passar per la carretera. Si coneixem la seva potenciasonoraP , tindremque la intensitat sonora val

I =P

4πr2=

P

4π (R2 + x2)

on el valor der va variant amb el temps, ja que el cotxe no esta tota l’estonaa lamateixa distancia del sonometre. Per a poder fer un calcul senzill, ara suposaremque el cotxe va sempre a la mateixa velocitatv. Si definimt = 0 com l’instanten que el cotxe passa pel punt mes proper al sonometre, tenim x = vt, i per tanta partir de

I =P

4π (R2 + t2v2)=

P

4πR2(

1 +(

tvR

)2)

podrem saber el nivell de soroll a cada instant de temps. Si ara volguessim saberel soroll promig haurıem de sumar totes les intensitatsI des det = 0 fins eltempsT en que s’acabi la carretera (o la mesura), i dividir pel temps totalT .Aquesta suma equival a calcular la integral deI en tot aquest interval de temps,de manera que la intensitat promig val

〈I〉 = 1

T

∫ T

0

Idt =1

T

∫ T

0

P

4πR2(

1 +(

tvR

)2)dt = P

arctan(

TvR

)

4πTvR

Per tal de veure un exemple, imaginem que la potencia sonoradel cotxe es1Watt, que el cotxe va a una velocitat de60 Km/h (16, 7 m/s) i que el temps quetriga en passar del punt mes proper al sonometre fins que acaba la carretera es


T = 30 s. Amb tot aixo s’obte

〈I〉 = arctan(

30·16,750

)

4π · 30 · 16, 7 · 50 = 4, 7 · 10−6W/m2

que, expressat en escala decibelica, correspon a

I(dB) = 10 log

(

4, 7 · 10−6

10−12

)

= 66, 7dB

Si ara volguessim saber el soroll total de la carretera, sabent que hi passen50.000 cotxes diaris, podem fer el seguent. Calculem quants cotxes en promiges troben en el mateix moment a la carretera. Si un cotxe triga30 segons enanar del punt mes proper al sonometre fins el final, aleshores trigara el doble (60s) en recorrer el fragment sencer de carretera que apareix al dibuix. I si passen50.000 cotxes diaris aixo equival a34, 7 cotxes per minut. Per tant, deduim queen promig hi ha34, 7 cotxes passant a la vegada per la carretera. La intensitatsonora total corresponent, si la mesurem amb el sonometre,seria

I = 34, 7 · 4, 7 · 10−6 = 1, 6 · 10−4W/m2

que equival a un soroll de82, 1 dB.Com a comentari final, es important mencionar que en aquest calcul no tenim

en compte l’efecte del terra, en el qual el soroll rebota i tambe es parcialment ab-sorbit. Tampoc tenim en compte els possibles efectes d’inclinacio del terreny, lescondicions meteorologiques que poden modificar la propagacio del so, etc. Perpoder tenir en compte aquests i altres efectes seria necessari recorrer a tecniquesforca mes sofisticades; podeu trobar informacio al respecte en textos i llibresespecialitzats en acustica ambiental.

Mapes de soroll

Actualment una de les principals eines de que disposen els Ajuntaments i altresAdministracions per tal de valorar i controlar els nivells de soroll ambiental pre-sents en el seu territori es mitjancant la realitzacio demapes de soroll. Aquestsmapes son una representacio grafica dels nivells de soroll reals (generalmentexpressats en decibels), com es veu a l’exemple de la Figura XX. Per tal deconfeccionar-los existeixen dues metodologies diferents. La primera d’elles re-quereix coneixer amb gran nivell de detall totes les fonts de soroll existents alterritori i les seves caracterıstiques, introduir totes aquestes dades en un model icalcular a partir d’aquı els nivells de soroll que son esperables en aquella zona.Aquesta metodologia, pero, es poc usada a la practica ja que la quantitat de dadesi informacio que son necessaries per a implementar-la es difıcil d’aconseguir. La

19.4. APLICACIONS AMBIENTALS DELS ULTRASONS 249

segona metodologia consisteix en mesurar directament amb un sonometre els ni-vells de soroll en una serie de punts estrategics i fer una extrapolacio estadısticaper a predir quins seran els nivells en la resta del territori.

A continuacio mostrem un exemple molt simplificat de com es duria a ter-me aquesta segona metodologia. Imaginem que el territori que volem estudiares simplement una lınia unidimensional (Figura XX) i que mesurem amb unsonometre el soroll en dos punts donats A i B. Per fer una estimacio de quinpodria ser el soroll a la resta de punts de la lınia hem de proposar algun tipusd’extrapolacio; nosaltres agafem l’opcio mes senzilla, que consisteix en dir queel pes que tindra cada una de les dues medicions en el valor total es inversamentproporicional a la distancia a cada un dels dos punts de medicio.

Per exemple, un punt que estigui a mig camı entre els dos punts de mediciorebra la mateixa influencia de cada un dels dos, i per tant elvalor de la intensitatalla sera el promig dels valors de les dues medicions. La intensitat sonora en unpunt pel qual coneixem la intensitat en decibels es

I = I0100.1·I(dB)

i aixo, aplicat a les medicions en els punts A i B (indicats a la Figura XX), portaa que la intensitat en aquests dos punts es, respectivament, 10−7 W/m2 i 10−6

W/m2. En el punt mig entre A i B, doncs, la intensitat es5, 5 · 10−7 W/m2 (elvalor mig), la qual cosa equival en escala decibelica a

I(dB) = 10 logI

I0= 57, 4dB

En un punt que estigui al doble de distancia de B que de A la intensitat hauriade ser3, 33 · 10−7 W/m2 (valor que correspon a55, 2 dB) i aixı, successivament,podem anar creant punt a punt un mapa amb els valors de la intensitat.

19.4 Aplicacions ambientals dels ultrasons

Denominem amb el nom d’ultrasons a totes aquelles ones sonores amb frequenciessuperiors a les que pot detectar l’oıda humana. Tal i com hemvist en aquestcapıtol, aixo representa aproximadament una frequencia per sobre de20.000 Hz.En general, com mes elevada es la frequencia d’una ona mes gran es l’energiaque aquesta transporta; per tant, les ones sonores de frequencies altes contenenuna elevada energia que les fa utils per a molts processos quımics i industrials.Entre altres aplicacions, els ultrasons d’alta energia poden servir com a acti-vadors o catalitzadors quımics, i tambe permeten destruir substancies (com arabacteris, algues, etc) en medis on d’altra manera serien difıcils de separar o eli-minar. Nosaltres, pero, aquı ens centrarem en una de les seves aplicacions mes


comunes, els processos de degassificacio, que consisteixen en eliminar qualse-vol tipus de nucli o partıcula gasosa d’un medi lıquid (aquest proces s’utlitza,per exemple, en la separacio de determinats residus per a poder tractar-los mesfacilment).

El proces fısic mitjancant el qual els ultrasons permeten que la degassifica-cio tingui lloc es lacavitacio. Per entendre com funciona aquest fenomen hemde recordar que el so no es mes que una ona de pressio que es propaga pel me-di. Com a consequencia d’aquesta naturalesa ondulatoria, el so provoca que lesmol·lecules del medi vibrin al voltant de la seva posicio d’equilibri, donant lloca zones on en determinats moments les partıcules es troben molt juntes (zona Aa la Figura XX) i altres on es troben forca separades (zona B). Si en el segondels casos la separacio es fa mes gran que una certa mida (aproximadament uns0, 4 nanometres) aixo pot fer que es crei una especie de ”bombolla”o zona debaixa pressio en el medi que en determinades condicions es pot mantenir i fins itot creixer amb el temps; aquest fenomen de formacio de ”bombolles”es el queanomenem cavitacio.

Per veure quina intensitat es necessaria per a produir aquest fenomen en l’ai-gua lıquida fem el seguent calcul aproximat: la pressioen la zona B ha de redir-seel suficient com per a que el canvi de fase de lıquid a gas tingui lloc. En condici-ons de temperatura normal, aixo succeira mes o menys a2.200 Pa. Si l’aigua estroba aproximadament a pressio atmosferica (105 Pa), la pressio de l’ona sonorahaura de ser prou gran com per a que la diferencia doni llocals2.200 Pa. Pertant, cal que la pressio sonora sigui

Ps = 105 − 2.200 = 97.800Pa

Finalment, recordem que la intensitat de l’ona sonora val (Equacio XX)

I =P 2s

ρc

onρ = 103 Kg/m3 i c = 1600 m/s son la densitat de l’aigua i la velocitat del soen aigua, respectivament. Per tant, s’arriba a una intensitat sonora de

I =(97.800)2

·103 · 1600 = 5.800W/m2.

Si comparem aquest valor amb el llindar de dolor per l’oıda humana (1 W/m2)observem que son necessaris sons d’una enorme intensitat per a poder crear elfenomen de la cavitacio.

Exercicis

1. Les malformacions i malalties de l’aparell auditiu podenprovocar dife-rents problemes d’audicio.

19.4. APLICACIONS AMBIENTALS DELS ULTRASONS 251

a) Si el pabello auditiu d’una persona es inferior a la normal (per exem-ple, de 1 centımetre) quin valor prendra la frequencia de resonanciacorresponent al primer armonic?

b) El grafic de la Figura?? mostra els llindars d’audicio per a grups depersones de diferents edats. Calculeu a quina distancia com a maximde la font d’emissio s’ha de situar un individu per a detectar un so de500 Hz en funcio de l’edat? I un so de 4 KHz?

c) La frequencia de la veu humana es situa normalment entorn a 1 KHz.D’acord amb aixo i amb la informacio del grafic anterior, quina pres-sio sonora hem d’exercir amb les nostres cordes vocals per tal queens senti una persona de 50 anys? I una de 80 anys? (Dades: veloci-tat del so a l’aire: 340 m/s; densitat de l’aire: 1,2 Kg/m3)

2. Resposta a sorolls intensos. En aquest problema analitzarem algunespautes de conducta que seguim davant de sorolls intensos queens trobema la vida quotidiana. Imaginem que una empresa esta construint un edificia prop de casa nostra, i suposarem que el soroll de les obres assoleix enmoments puntuals una potencia de 0,5 W/m2.

a) Calculeu la intensitat sonora que rebem a casa nostra si esta situadaa 50 metres del punt d’emissio i tenim les finestres obertes.

b) Des de quina distancia de les obres la oıda humana es capac en teoriade detectar-ne el soroll?

c) Una solucio cassolana per a reduir l’efecte d’un soroll molest esposar-nos taps de coto fluix a les orelles. Si el coto fluix faque un30% del soroll que arriba al pabello auditiu surti rebotat ique un altre65% s’hi quedi absorbit, en quants decibels aconseguirem reduir elsoroll gracies als taps?

d) Els humans (aixı com molts animals) som capacos de distingir dequina direccio prove un so perque tenim dues orelles. Unade lesmaneres de fer-ho consisteix en percebre a quina de les dues orellesel so arriba en primer lloc. Si la distancia entre les nostres orelles esde 20 cm calculeu amb quina diferencia de temps arriba el soroll

e) Calculeu quin es el quocient d’intensitats que rebem de forma directaa cada orella (es a dir, la intensitat que rebem a l’oıda mes propera ala font dividit entre la intensitat a l’altra) si estem situats a 500 metresde la font.

f) Calculeu la diferencia entre les dues intensitats (esquerra i dreta) del’apartat anterior si les mesurem en decibels.


g) Imagineu que ens apropem cap al lloc on estan les obres caminant auna velocitat de 5 Km/h. Si incialment estavem situats a 1 Kmdedistancia, feu un grafic de com varia la intensitat sonora amida quepassa el temps i ens apropem mes a la font sonora.

3. Imaginem que tenim en un terreny pla quatre aerogeneradors situats for-mant un quadrat de 300 metres de costat. Si ens col·loquem ambunsonometre en el centre del quadrat quan els quatre aerogeneradors estanen funcionament normal mesurem una intensitat sonora de 95 dB.

a) Calculeu la potencia sonora de cada un dels aerogeneradors.

b) Dividiu el terreny on es troben els aerogeneradors en cel·les quadra-des de 25 metres de costat i calculeu la intensitat sonora en el centrede cada cel·la i representeu el mapa corresponent amb tots els nivellsa cada cel·la. (Nota: us podeu ajudar construint un full Excel per afer els calculs o, si sabeu programar, podeu fer un petit programa quefaci la mateixa feina).

CAPITOL 20Metodes de datacio

Al llarg de les darreres decades l’aparicio de noves tecnologies ha permes desen-volupar metodes forca sofisticats per a la datacio d’objectes arqueologics. Aquestsmetodes conviuen avui en dia amb altres metodes mes tradicionals i representenuna important ajuda per a la feina d’antropolegs, arqueolegs, historiadors i res-tauradors, entre altres. Alguns dels metodes mes coneguts i habituals son elsmetodes climatostratigefics (basats en l’analisi estratografica associada als dife-rents perıodes de glaciacio que ha viscut historicamentLa Terra), els metodesdendrocronologics (basats en l’us dels anells dels troncs dels arbres com a me-sura cronologica), els metodes de decaiment radioactiu (basat en el decaimentprogressiu al llarg del temps en la concentracio de determinats isotops radioac-tius), o els metodes de termoluminiscencia (basats en la variacio amb el tempsde les propietat termooptiques de determinats materials).

En la majoria d’aquests metodes existeix un principi fısic associat que favariar les propietats dels materials o els objectes amb el temps. Coneixer elsfonaments d’aquests principis resulta, doncs, fonamentalper tal de poder enten-dre i aplicar les tecniques de datacio. Al llarg d’aquest capıtol ens centraremfonamentalment en dues tecniques: la datacio per radiocarboni (una de les mesconegudes, i que es basa en el decaiment radiactiu del carboni-14) i els metodesd’hidracio obsidiana (basats en un proces de difusio a l’interior de determinatsmaterials volcanics al llarg del temps).

20.1 Datacio per radiocarboni

La datacio per radiocarboni es basa en l’analisi de la concentracio de l’isotopcarboni-14 que es troba en restes de materia organica. Elsprocessos metabolics

253

254 CAPITOL 20. METODES DE DATACIO

dels essers vius mantenen aproximadament constant la proporcio entre el carboni-14 i el carboni-12, que es l’isotop mes abundant amb diferencia. Quan l’organis-me mor i el metabolisme s’atura la proporcio de l’isotop radiactiu respecte de ladel carboni-12 comenca a decreixer, de manera que estudiant la proporcio entreun i altre es pot saber el temps transcorregut des de la mort del’organisme.

La formacio de l’isotop carboni-14 es dona sobretot en diferents reaccionsatmosferiques que tenen lloc a partir de l’energia dels rajos cosmics d’origenextraterrestre. Una vegada format el carboni-14 a l’atmosfera, aquest passa perabsorcio a les plantes o als oceans i aixı pot arribar a parar finalment a qualsevolorganime viu. Com que aquesta cadena es produeix ja des de fa millions d’anys,podem assegurar que la proporcio carboni-14/carboni-12 en els organismes viussera mes o menys la mateixa que en el medi natural (en concret, existeix mes omenys un atom de carboni-14 per cada1012 atoms de carboni-12).

Per dur a terme els calculs de datacio a partir del carboni-14 cal fer servirla llei de desintegracio radioactiva (Apartat XX), que ensdiu que la quantitat decarboni-14 que quedara en una determinada mostra es

NC14 = NC14(0)e−t/T

onNC14(0) es la quantitat de carboni-14 que hi havia inicialment (quan l’orga-nisme estava viu) iT es el temps caracterıstic de desintegracio. En el cas delcarboni-14, aquesta constant valT = 8033 anys, la qual cosa vol dir que han depassar tots aquests anys per tal que la concentracio de l’isotop decaigui fins un36% del valor inicial. Si ara dividim els dos costats de l’equacio anterior entrela quantitat de carboni-12 que hi ha a la mostra s’obte

NC14

NC12

=NC14(0)

NC12

e−t/T = 10−12e−t/T

ja que, com hem esmentat abans, la proporcio en els organismes vius entre elcarboni-14 i el carboni-12 es1 : 1012. Aıllant el temps en aquesta expressios’obte

t = −T ln

(

1012NC14

NC12

)

Per tant, ara resulta molt senzill portar a terme l’estudi dedatacio d’una mos-tra. Suposem que som capacos de determinar que la concentracio de carboni-14en unes determinades restes fossils es1010 atoms/Kg. A la vegada, imaginemque la concentracio de carboni-12 a les mateixes restes esde2 · 1022 atoms/Kg.Substituint aquestes dades en la formula anterior obtenim

t = −8033 ln

(

10121010

2 · 1022)

= 5568anys

20.1. DATACIO PER RADIOCARBONI 255

i per tant aconseguim realitzar una estimacio de l’antiguetat d’aquestes restes.Com a aclariment, es important fer notar que a la practica les mesures de datacioobtingudes per carboni-14 no es fan servir de manera directasino que es compa-ren amb altres metodes i taules de calibracio per a afinar-ne el resultat. Aixo esdegut a que durant la historia s’han produit diferents fenomens que han fet que lapresencia i la formacio del carboni-14 al llarg dels segles no hagi estat totalmentconstant, i per tant en alguns casos la mesura pugui tenir un cert error.

Tecniques per a mesurar la concentracio de carboni-14

Podem ara completar l’estudi de la datacio per radiocarboni explicant com es faper determinar la concentracio d’aquest isotop a partir d’una determinada mos-tra. Tot i que existeixen diferents metodes per fer-ho, nosaltres explicarem pos-siblement el mes sofisticat i que dona lloc a mesures mes acurades. La ideaconsisteix en fer passar els atoms de la mostra a traves d’un espectrometre demasses unit a un accelerador de partıcules.

En el capıtol XX ja s’explica en detall el funcionament d’unespectrometrede masses. La idea basica es la de fer entrar una partıculacarregada amb velo-citat coneguda dins d’un camp magnetic d’intensitat també coneguda. En con-sequencia, el radi del moviment circular que el camp magnètic provoca en lapartıcula permet determinar les propietats d’aquesta.

El problema que existeix amb el carboni-14 es que, com hem dit abans, laseva proporcio es molt petita comparada amb el carboni-12i altres isotops. Aixova fer que durant molt de temps la seva concentracio no pogués ser determina-da amb l’espectrometre, donat que existien massa pocs atoms i a mes aquestses confonien de vegades amb altres isotops de propietats similars (com ara elnitrogen-14).

La solucio a aquest problema es fer servir un accelerador de partıcules coma pas previ a l’espectrometre. La idea esquematica es la que es mostra a lafigura.XX. Dels diferents tipus d’acceleradors que existeixen, un dels que meshabitualment es fa servir per aquest tipus d’aplicacions es l’anomenat ciclotro.Aquest consisteix en dos generadors de camp magnetic en forma de ”D”separatsentre ells per una petita zona on es crea un camp electric oscil·lant que sera el quefara accelerar les partıcules. Les partıcules son injectades en el punt A del dibuixamb una certa velocitat i s’acceleren en el camp electric fins arribar al punt B.Despres l’accio del camp magnetic les fa fer un moviment circular fins arribar alpunt C. En aquest moment tornen a la zona del camp electric i,com que aquestcamp es altern (el seu sentit va canviant en el temps amb una frequencia quepodem controlar) tornen a accelerar-se ara fins arribar al punt D, i aixı continuenaccelerant-se cada vegada mes fins que adquireixen una velocitat prou elevada.


Fem l’estudi de com es comporta una partıcula en el ciclotr´o en funcio de laseva massa i la seva carrega. En primer lloc es produeix una acceleracio que, comesta provocada per una diferencia de potencial electrica (de valor∆V ), conver-tira l’energia del camp electric (donat per l’equacio XX) en energia cinetica. Pertant, suposant que inicialment l’energia cinetica fos pr`acticament zero, obtenim

q∆V =1

2mv2 ⇒ v =

√

2q∆V

m

on m es la massa de la partıcula iq la seva carrega neta iv la seva velocitat.Per tant, les partıcules adquiriran una velocitat superior com mes gran sigui laseva carrega i mes petita sigui la seva massa. A continuacio, les partıcules en-tren en el camp magnetic (d’intensitatB) i experimenten en consequencia unmoviment circular (veure Apartat XX). El radiR d’aquest moviment es pot de-terminar aplicant la idea de que la forca que provoca el moviment circular (forcacentrıpeta) es en aquest cas la forca provocada pel camp magnetic o forca deLorentz (Equacio XX). Igualant l’expressio de la forca centrıpeta i la forca deLorentz obtenim

mv2

R= qvB

El radi s’obte doncs aıllant-lo en aquesta expressio, deforma que l’expressio es

R =mv

qB=

1

B

√

2m∆V

q

on en l’ultim pas hem fet substituit la formula XX. Ara veiem que el radi descritper la partıcula es major com mes gran sigui la massa i com mes petita siguila carrega. Per tant, aquelles partıcules que tinguin unarelacio carrega/massa(q/m) molt gran descriuran cercles molt petits i les que tinguin una relaciopetita faran cercles molt grans i possiblement sortiran de seguida del ciclotro.Aquest mecanisme ens permet escollir aquelles partıculesque tinguin una rela-cio carrega/massa concreta i seleccionar-les (les altres s’escaparan del ciclotroo no arribaran a descriure cercles prou grans com per passar ala segona fase,l’espectrometre).

Fem un petit exemple. Els isotops de carboni-14 tenen una massa de 14 umaso, el que es el mateix,2, 3 ·10−23 grams (recordem que6, 023 ·1023 umas equivala 1 gram). La seva forma ionica esC+4, de manera que la seva carrega es quatrevegades la de l’electro (per tant,6, 4 · 10−19 C). En canvi, l’isotop carboni-12 tela mateixa carrega pero una massa de2, 0 · 10−23 grams. Si fiquem una barrejad’aquests dos isotops al ciclotro i apliquem una diferencia de potencial de 500

20.1. DATACIO PER RADIOCARBONI 257

V, despres de la primera acceleracio la velocitat assolida sera

v =

√

2 · 6, 4 · 10−19 · 5002, 3 · 10−23

= 5.275m/s

pel carboni-14, i

v =

√

2 · 6, 4 · 10−19 · 5002 · 10−23

= 5.657m/s

pel carboni-12. Els radis del primer gir en el camp magnetic(suposant queaquest valgui2 Teslas) seran, respectivament,

R =1

2

√

2 · 2, 3 · 10−23 · 5006, 4 · 10−19

= 0, 095m

R =1

2

√

2 · 2 · 10−23 · 5006, 4 · 10−19

= 0, 088m

i per tant es lleugerament mes gran pel cas del carboni-14.Si deixem que elsisotops vagin girant fins que hagin passat 100 vegades pel camp electric, la sevavelocitat al final sera, (de nou aplicant que l’energia electrica acaba convertint-seen cinetica)

100q∆V =1

2mv2 ⇒ v =

√

200q∆V

m

la qual cosa vol dir una velocitat de52.750 m/s pel carboni-14 i56.570 m/s pelcarboni-12. Els radis que descriuran ara els dos tipus de partıcules seran

R =mv

qB=

2, 3 · 10−23 · 52.7506, 4 · 10−19 · 2 = 0, 95m

en el cas del carboni-14, i en el cas del carboni-12

R =mv

qB=

2 · 10−23 · 56.5706, 4 · 10−19 · 2 = 0, 88m.

Per tant, ara la diferencia de radis ja seria de7 centımetres, i si els fessim do-nar moltes mes voltes acabarıem per tenir diferencies encara mes gran de maneraque al final podrıem separar faiclment unes partıcules deles altres i seleccionarles que ens interessessin i fer-les passar cap a l’espectrometre.


Datacio mitjancant altres radioisotops

Tot i que la nostra discussio al llarg d’aquest apartat s’hacentrat en l’us del’isotop carboni-14 per a determinar l’antiguetat d’una mostra, tambe es certque a la practica existeixen molts altres tipus d’isotopsque es fan servir amb lesmateixes finalitats (com ara el potassi-40 o el rubidi-87). El fet de fer servir unisotop o un altre dependra (a banda d’altres detalls tecnics) de l’antiguitat queprevisiblement te la mostra. Com que els radioisotopos poden tenir temps de se-midesintegracio molt diferents, alguns d’ells dessapareixen molt mes rapidamentque altres amb el pas del temps, i per tant el radioisotop mes adequat per a unadeterminada mostra sera aquell que al llarg del temps hagi experimentat una da-vallada significativa en la mostra pero no tan gran com per ser massa difıcil dedetectar.

Com a exemple, imaginem que volem estudiar una mateixa mostra (de la qualen sabem previament l’antiguitat, que son 4.000 anys) fent servir una mesura decarboni-14 (temps de desintegracio caracterısticT = 8033 anys) i una altra depotassi 40 (que teT = 1, 28 ·109 anys). D’acord amb la formula XX la quantitatde cada un dels isotops que quedara a la mostra respecte de la quantitat inicial(es a dir, passat un tempst = 4.000 anys) seria

NC14 = NC14(0)e−t/T = 0.6077 ·NC14(0)

NK40 = NK40(0)e−t/T = 0.9999 ·NK40(0)

En el cas del potassi es veu clarament com aquest no ha tingut temps encarade decaure signifcativament (la quantitat que queda es pr`acticament identica ala inicial) i per tant seria impossible fer una mesura acurada a partir d’aquestisotop.

En canvi, imaginem ara que volem estudiar una mostra geologica que tin-gui 100 milions d’anys. Si tornem a repetir el calcul anterior per a aquest casobtenim

NC14 = NC14(0)e−t/T ≈ 0

NK40 = NK40(0)e−t/T = 0.9249 ·NK40(0)

de manera que en aquest temps tan llarg la quantitat inicial de carboni-14 hauriadessaparegut completament amb gairebe tota probabilitat, mentre que el potas-si 40 ara estaria present en una proporcio raonable com per tal de fer-ne unamesura.

20.2 Datacio per hidracio obsidiana

Les obsidianes (tambe anomenades vidres volcanics) sonun tipus de materiald’origen volcanic amb el qual antigament es construien eines com ara puntes de

20.2. DATACIO PER HIDRACIO OBSIDIANA 259

fletxa, ganivets, i altres utenisilis afilats. El que fa que aquest material puguiser utilitzat com a eina de datacio es el fet que, en condicions normals, el seucontingut en aigua representa nomes una petita part (prop del 0,7%) del seupes, pero quan una peca del material es trenca aleshores lazona del trencamentabsorbeix aigua i aquesta pot penetrar per aquella zona, donant lloc a una capadel material mes hidratada on el percentatge d’aigua sobreel pes total es properal 3%. A partir de metodes microscopics es possible determinar el gruix de lacapa hidratada, de manera que com mes gruixuda sigui aquesta capa voldra dirque mes temps ha transcorregut des del moment que l’eina es va trencar (la qualcosa pot donar-nos una idea aproximada de la data de fabricacio).

En general es creu que el creixement de la capa hidratada en elmaterialobsidia es degut a un proces de difusio (tot i que estudisrecents contradiuenaquesta teoria i donen proves experimentals de que en realitat l’aigua es dissociaen oxigen i hidrogen a la superfıcie del material, i l’hidrogen es l’unic elementque penetra per difusio). La hipotesi que fan servir la majoria d’investigadors esque, en el moment de trencar-se, el material absorbeix aiguade manera mes omenys rapida i de seguida arriba a un punt de saturacio en lequal suposadamentdeixa d’absorbir-se mes. Per tant, es tracta aproximadament d’un proces dedifusio a partir d’una font instantania. En aquestes condicions es pot fer servirla formula XX:

⟨

r2⟩

= 2dDt

on r representa la distancia recorreguda per l’aigua (es a dir, el gruix de la capahidratada). Com que podem suposar que la difusio te lloc enuna dimensio (esa dir, nomes en la direccio perpendicular a la superfıciedel material) tindremd = 1 i per tant el temps transcorregut des del trencament de la pec¸a el podremestimar a partir de

t =r2

2D.

Aquest temps podra ser determinat si mesurem el gruix de la capar, i podemdeterminar d’alguna manera el coeficient de difusioD. Normalment el que esfa es, quan es te un determinat jaciment arqueologic, es compara la datacio perhidracio obsidiana amb altres metodes de datacio (per exemple, el del carboni-14) per a poder trobar primer el valor deD i, una vegada determinat, la dataciod’altres objectes ja resulta mes rapida.

Per exemple, imaginem que un objecte de material obsidia pel qual la capad’hidracio es de0.2 mm ens dona, pel metode del carboni-14, que te una anti-guitat de3000 anys. Quina sera l’antiguitat d’un objecte del mateix jaciment pelqual la capa d’hidracio es de0.3 mm? La manera de resoldre aquest problema


es, en primer lloc determinar el valor deD aplicant les dades del primer objecte:

D =r2

2t=

(2 · 10−4)2

2 · 3000 = 6.7 · 10−12m2/s

Ara, a partir d’aquı trobarıem la datacio del segon objecte

t =r2

2D=

(3 · 10−4)2

2 · 6.7 · 10−12= 6716anys

i per tant la seva antiguitat seria mes del doble tot i que el gruix de la capa es tansols un 50% mes gran. En realitat, aixo es normal ja que la formula ens diu queexisteix una llei d’escala de tipust ∼ r2 entre l’antiguitat i el gruix de la capad’hidracio.

CAPITOL 21El preu de la pressa

La pressa es una forma de comportament al que la nostra societat s’ha anat adap-tant paulatinament. Ho volem tot ara. Comparada amb d’altres societats, la nos-tra te poca paciencia. Aquesta caracterıstica li ha donat per una banda l’avantatgede la competitivitat. Progressem mes perque busquem millorar dia a dia. Perono tot son avantatges en aquesta forma de comportament. La pressa fa gastar auna societat molta mes energia que el que altres formes de vida necessiten.

Es molt convenient que analitzem en quina mesura estem gastant massa ener-gia per aquest fet. Dit d’altra forma, si tenir pressa et fa gastar tan sols una micames no tenim perque alarmar-nos, pero si aixo fa que gastem una quantitat d’e-nergia excessiva, potser el que ens faria progressar seria frenar una mica.

Posem un exemple. Si anem a treballar amb cotxe tot conduint molt rapid,conduim amb acceleracions molt brusques i no aconseguim gaire guany perquesempre ens trobem que la resta del transit ens bloqueja. Reduir la velocitat a laque anem a treballar pot ser, per una banda, una forma d’augmentar el nostre souindirectament ja que el fet que hi anem mes a poc a poc fara que gastem menysbenzina. En aquest cas perdem una mica mes de temps, potser 5o 10 minuts aldia, pero el benefici que n’obtenim es molt substancial. Per una banda estalviemdiners i a mes aconseguim reduir el nostre nivell d’estres, que ens pot portar a unbenefici en salut substancial. Aixı doncs el plantejament que hem de fer-nos es,quants diners valen els deu minuts que m’estalvio anant rapid? Normalment sonespais de temps en els que no fem gaire cosa. Veure la televisio, llegir el diari oa vegades es el temps de fer el mandros en el llit. Potser no son tant importants.

Aquests canvis de comportament, com es pot veure en l’exemple anterior, notenen perque significar un canvi drastic en la nostra formad’entendre la vida.Tan sols significa plantejar-se d’una forma correcta fins a quin punt la nostrapressa es necessaria.

261

262 CAPITOL 21. EL PREU DE LA PRESSA

Veurem en aquest capıtol algun recull d’exemples en els ques’analitza elpreu energetic que te la pressa en algunes ocasions.

21.1 La velocitat de conduccio

La limitacio de velocitat per carretera es un tema molt controvertit. Modificar elslımits significa encetar debats als mitjans de comunicaci´o on molt sovint s’es-grimeixen arguments gens basats en la rao. Aquestes opinions van forca sovintacompanyades de dades objectives parcials. Aixı per exemple podem sentir avegades que si reduim el lımit de velocitat consumim mes perque ens estem mestemps a la carretera. Aquesta idea, tot i ser parcialment certa (ens passem mestemps a la carretera) es en conjunt falsa perque la potencia desenvolupada esforca mes gran, arribant a pesar mes l’augment del consumque el del temps.

Analitzar una decisio com aquesta requereix una visio mes general; la cor-recta descripcio requereix conceptes com la potencia i l’energia. Analitzem totseguit l’impacte de la mesura adoptada pel govern espanyol l’any 2011 de reduirla velocitat maxima per autopista de 120 a 110 km/h.

Imaginem un trajecte de la casa a la feina de 30 kilometres que transcorre perautopista durant un espai de 20 km. Si en aquest tram circulema 120 kilometresper hora i viatgem a velocitat constant estarem consumint una potencia de

P =1

2ρCAv3 =

1

2· 0.3 · 3 · 33.33 = 16.662 W, (21.1)

on recordem queρ = 1.2 kg/m3 es la densitat de l’aire i hem pres una coeficientaerodinamicC de 0.3 i una area del vehicleA de 3 m2.

Si en comptes de circular a120 Km/h circulem a110 Km/h la potencia con-sumida es de

P =1

2ρCAv3 =

1

2ρ0, 3 · 3 · 30, 553 = 12.831 W. (21.2)

Aquests dos calculs ens permeten dir que a 120 km/h consumim

P120

P110

=16.662

12.831= 1, 3 (21.3)

vegades mes potencia que a110 km/h.Calculem ara quantes vegades mes temps ens passem a la carretera.A 120 km/h triguem en fer el trajecte

∆t =∆x

v=

20.000

33, 3= 600 s, (21.4)

21.1. LA VELOCITAT DE CONDUCCIO 263

mentre que a 110 km/h triguem

∆t =∆x

v=

20.000

30, 55= 655 s, (21.5)

essent aquest ultim

∆t110∆t120

P =655

600= 1, 09 (21.6)

vegades mes gran.Aixı doncs, si be es correcte que ens hem passat 1,09 vegades mes temps,

tambe ho es que durant aquest trajecte hem gastat a un ritme1,3 vegades supe-rior. No costa gaire adonar-se amb aquest calculs que en aquest cas anar rapidsuposa una despesa extra. De forma mes cientıfica haurıemde calcular la quan-titat d’energia consumida en el trajecte tot multiplicant la potencia per el temps.Aixı doncs, a 120 km/h el consum total d’energia es

∆E = P∆t = 16.662 · 600 = 107 J = 2, 77 kwh, (21.7)

mentre que a 110 km/h consumim

∆E = P∆t = 12.831 · 655 = 0, 84 · 107 J = 2, 33 kwh, (21.8)

dels quals en resulta el quocient

∆E120

∆E110

=2, 77

2, 33= 1, 19. (21.9)

O sigui, a 120 km/h hem gastat 1,19 vegades mes benzina que a 110. Aixo signi-fica que amb la mesura de disminuir la velocitat lımit a les autopistes, disminuimen un 20 % el consum de combustible de tots aquells cotxes que van a la maximavelocitat.

Aquesta ultima dada la podriem haver obtingut directamentsense haver fetcap calcul intermig. En un trajecte de longitud∆L viatjant a velocitatv consu-mim una quantitat d’energia

∆E = Pt =1

2ρCAv3 · ∆L

v=

1

2ρCAv2 ·∆L. (21.10)

Si dividim els dos valors respecte de les dues conduccions, la unica cosa queestem modificant es la velocitat, per tant

∆E120

∆E110

=12ρCA33, 332 ·∆L

12ρCA30, 552 ·∆L

=

(

33, 3

30, 5

)2

= 1, 092 = 1, 19 (21.11)


vegades mes energia consumida.Un analisi encara mes global significaria tenir en compte quant significa res-

pecte del total fet per un conductor els trams als que anem al maxim per unaautopista. Si aixo fos un 30 %, la mesura tindria un impactesobre el consumtotal de 19 %· 30 %=5.7 %.

A partir d’aquestes dades es quan comenca l’autentic debat. Tot el que nosigui considerar l’estalvi real que significa una mesura esun debat erm i sensesentit. Estem massa acostumats a debatre mesures sense tenir-ne una idea claradel que significa. No podrem millorar com a societat si les mesures que prenemno estan basades en una correcta analisi.

21.2 L’AVE

Viatjar a les velocitats a les que va l’AVE es, des de la pespectiva energetica,forca costos. La polıtica de l’estat en la darrera decada ha estat donar prioritat aaquestes lınies respecte de les tradicionals. Ens haurıem de plantejar en quinessituacions es acceptable la despesa economica i energetica que requereix aquesttipus d’infraestructures.

Podem analitzar, per exemple, el consum que requereix el viatjar a Parıs enAVE respecte de fer-ho en un tren de llarga distancia tradicional.

Un AVE circula a una velocitat d’uns 300 km/h mentre que un tren-hoteltipus Talgo ho fa a uns 150 km/h. Un simple calcul basat en l’equacio (21.11)ens dona un augment del consum de

∆E300

∆E140

=

(

83.33

41.66

)2

= 22 = 4. (21.12)

Aixo es un valor extraordinari tot i considerant que hem passat de viatjar en unes12 hores a fer-ho en nomes 6 (considerant aturades). Si viatjar a Parıs en 6 horesmenys significa gastar el quadruple d’energia, hauriem de considerar en quinscasos aixo resulta beneficios per a la societat.

Pero un pas mes que podrıem analitzar seria quanta energia significa aixo totcomparant-la amb el consum al que nosaltres estem acostumats.

La quantitat d’energia que consumim en el viatge a Parıs en un tren tradicio-nal es

∆E =1

2ρCAv2∆L =

1

21 · 9 · 41, 662 · 1, 1 · 106 = 8, 59 · 109 J = 2.386 kWh,(21.13)

on hem pres un coeficient aerodinamicC de 1 i una seccio transversal de 9m2. En un tren de passatgers hi caben unes 500 persones, el que significa unconsum per viatger de4, 77 kWh. Viatjar en AVE significa un consum quatre

21.3. ELS AIRES CONDICIONATS 265

vegades mes gran, de forma que estem augmentant el condum fins a19, 08 kWhper persona. El consum d’un habitatge estandard de 3 persones es d’uns500kWh, que significa5, 55 kWh per persona i dia. Aixi doncs, no estem fent unconsum excessivament mes elevat que el que significa la nostra forma de viurequotidiana.

Si el tren no va ple, sino que tan sols hi viatgen 100 persones,l’incrementdel consum per la pressa es de95, 4 kWh, fet que significa que aquell viatgerepresenta un consum forca mes elevat.

Si el tren va gairebe buit, amb 20 persones, la xifra es transforma en477kWh, que es gairebe el consum d’energia mensual d’un habitatge. Aixı doncs,viatjar rapid en trens plens no significa consumir molta mes energia que la quede fet gastem, pero fer-ho en trens buits significa un consummolt elevat. Undebat que hauriem de tenir es el de plantejar-nos quan es necessari tenir un AVErespecte dels trens tradicionals en funcio de la seva ocupacio.

21.3 Els aires condicionats

Una altra forma de pressa a la que estem habituats es la relacionada amb els airescondicionats.

Entrem a casa nostra en un dia caluros a 38 ºC i posem l’aire condicionata 15 ºC perque no volem esperar a atemperar-nos. Si tinguessim la paciencianecessaria observarıem que a 20 ºC tampoc tindriem cap sensacio de calor. Lamostra de que aixo es aixı es que quan a la primavera ens trobem en un dia a 20ºC diem que s’esta molt be.

Tenir l’aire condicionat a 15 ºC en comptes de tenir-lo a 20 ºCsignifica unconsum extra forca mes elevat. Per calcular-ho haurem de recorrer al rendimenttermodinamic de l’aparell. En el cas dels aires condicionats la dada es calculaatraves de les temperatures de treball. En l’exemple que volem calcular els dosrendiments son

η20 =Tc

Tc − Tf=

311

311− 293= 17.28, (21.14)

η15 =Tc

Tc − Tf=

311

311− 288= 13.52. (21.15)

Aquestes dades signifiquen que, per cada Joule que gasta la m`aquina, podemextreure 17.28 i 13.52 Joules de dins de casa cap a fora. Aixosignifica queestem perdent 17.28/13.52=1.3 (un 30 %) de rendiment en l’extraccio pel fet deno tenir paciencia.

Un aire condicionat estandar consumeix una potencia d’aproximadament 1kW. Aixo significa que, pel fet de tenir la temperatura a 15 ºCen comptes de


tenir-la a 20 ºC, estem gastant un 30 % extra d’aquesta quantitat, o sigui uns 0.3kW. Aixo es el mateix que tenir unes 25 bombetes de baix consum connectades.

Tenir paciencia a l’hora de climatitzar-nos, doncs, ens ajudaria a reduir sig-nificativament el consum d’energia.

21.4 Rendiment industrial a maxima potencia

Es habitual considerar que el rendiment termodinamic d’una maquina termicaque treballa entre dues tempeaturesTf (freda) iTc (calenta) es

η = 1− Tf

Tc. (21.16)

Aquest valor, anomenat rendiment de Carnot, no es el rendiment de les maquinesreals. En realitat aquest es el maxim rendiment que la maquina pot arribar a tenir,pero aquest valor tan sols es pot aconseguir quan el proceses molt lent.

En els processos industrials aconseguir aquest rendiment seria inacceptable,ja que significaria que els processos haurıen de ser tant extraordinariament lentsque l’activitat industrial no seria rendible economicament. Aixı doncs, a ninguli semblaria logic pensar que un cotxe trigues 1 any en fabricar-se.

Al contrari del que significa el rendiment termodinamic, elsector industrialporta molts anys funcionant en un altre regim, el de maximapotencia. Si unindustrial te una fabrica, aquest vol que produeixi al maxim ritme al que pot pro-duir per tal de maximitzar els beneficis economics. En aquest regim de maximapotencia, Curzon-Ahlborn varen demostrar que el rendiment real que tenien lesmaquines termiques era de

η = 1−√

Tf

Tc, (21.17)

en comptes del de Carnot.Per tal d’avaluar la diferencia que significa treballar a m`axima eficiencia o

a maxima potencia prendrem una fabrica que funcioni entre les temperatures de300 i 600 K. A la maxima eficiencia es de

η = 1− 300

600= 0.5, (21.18)

mentre que a maxima potencia el rendiment es de

η = 1−√

300

600= 0.29. (21.19)

21.5. CONCLUSIONS 267

Aixı doncs, una fabrica que funcioni a maxima potencia esta desaprofitantun 50 % - 29 %= 21 % de l’energia respecte del que significaria elmaxim apro-fitament. Si be ja hem dit que la maxima eficiencia seria inacceptable desde laperspectiva industrial, sı que hem de considerar que possiblement fer funcionarles fabriques a un ritme una mica mes moderat podria significar un estalvi moltsubstancial d’energia.

Estem molt acostumats a veure com empreses que es dediquen almateixsector es fusionen i tanquen naus per produir la totalitat dels seus productesen un mateix lloc. Aixo significa que en comptes de tenir duesfabriques quefuncionen a un ritme mes raonable passen a tenir una fabrica tancada i una obertaque funciona a maxima potencia. Aixo vol dir que fabricarel mateix els suposaun consum forca mes elevat d’energia.

A aquest nou paradigma se l’ha anomenat falsament millorar l’eficiencia deles empreses. En realitat es millora l’eficiencia economica i no pas l’energetica,que veiem que en realitat disminueix. Millorar l’eficiencia economica tot reduintl’eficiencia energetica es un luxe que es poden permetre les empreses perque lasocietat no els fa pagar els dispendis excessius d’energia.Molt sovint aixo es aixıperque la mateixa societat no ha fet cap esforc per entendre aquests conceptes.

De la mateixa forma que ens imposem limitacions en la velocitat lımit en lescarreteres perque hem pres consciencia de l’estalvi que significa, ens hauriem deplantejar si seria igualment necessari gravar els dispendis excessius d’energia enel sector industrial. Al cap i a la fi el sector del transport i l’industrial tenen unpes forca similar en el comput global de despesa energetica d’un paıs.

21.5 Conclusions

La paciencia ben entesa es una forma de comportament que ens pot ajudar aestalviar energia de forma substancial. No hem d’entendre aquesta ultima frasecom que hem de deixar de preocupar-nos per res i viure la vida sino que hem depoder plantejar-nos fins a quin punt la nostra pressa es tan necessaria.

Hem vist en aquest capıtol quatre tipus de presses diferents amb quatre pre-guntes sobre el nostre comportament. Cal anar a la feina corrent, o podem fer-homes pausadament? Cal refrescar-se en segons o podem fer-hoen minuts? Calutilitzar l’AVE cada dia per anar a fer reunions a Madrid quanels trens van buitso podem utilitzar les videoconferencies? Cal produir tanti tan rapid a nivell in-dustrial? Aquestes i d’altres questions no plantejades aquı son les que ens hemde fer com a societat si dema volem viure millor que avui.

El dia que el Joule i no l’Euro sigui la moneda de canvi, potserles respostesa les preguntes anteriors seran molt diferents.

CAPITOL 22El preu de la comoditat

La comoditat costa energia. Aquesta es la idea que vol transmetre aquest capıtol.Al llarg dels anys, hem anat incorporant tota una serie de dispositius i tecnologiesque ens han anat fent la vida molt mes facil. El cotxe, la calefaccio, l’electricitat,etc no son gratuites a nivell energetic. Molt sovint tots aquests enginys tenen uncost energetic molt superior a l’economic, o sigui, ens podem permetre gastarl’energia que gasten perque aquesta es molt barata. Si l’energia valgues mes, nopodrıem permetre’ns tots aquests luxes.

En societats on l’energia es molt mes difıcil d’aconseguir, tots aquests luxesesdevenen prohibitius. En el nostre cas l’acces a l’energia es tan facil que nitan sols en som conscients. Aixo, pero esta canviant diaa dia. A mesura que labenzina s’encareix, es va fent mes evident la seva utilitzacio.

Una forma d’estalviar energia doncs, es la de reduir el nostre grau de conforto, simplement trobar formes de confort equivalents i menys costoses energeticament.Per exemple, per escalfar-nos a casa durant l’hivern tenim dos opcions, posar lacalefaccio molt alta o posar-nos un barnus. Tots dos acompleixen el mateix ob-jectiu, escalfar, pero mentre el primer te un cost energetic brutal, el segon esgairebe de franc.

Hem de ser conscients de quant costa el confort, i aixo tan sols ho aconsegui-rem quantificant-lo a nivell energetic. Aixo es al que ensdedicarem en aquestcapıtol.

22.1 El confort de la calefaccio

Tenir la casa calenta a l’hivern es un confort que te un preueconomic molt alt.De fet, de tot el consum d’un habitatge, gran part es dedica a escalfar aigua, tantsi es de calefaccio, sanitaria o per escalfar el menjar.

269

270 CAPITOL 22. EL PREU DE LA COMODITAT

De tots aquests consums, el de la calefaccio es al que es destina la major part.Moderar el consum d’energia en calefaccio significa reduirmolt considerable-ment el consum global en un habitatge. Una de les questions mes influents enaquest consum es el de decidir a quina temperatura volem estar. Par a aixo dispo-sem d’un termostat. Tenir la temperatura del termostat massa elevada significa avegades augmentar el consum d’una forma desproporcionada.

Comparem una situacio tıpica com la que significaria tenirel termostat pro-gramat a 25 ºC respecte de tenir-lo a 20 ºC amb una temperaturaexterior de 5ºC. Pensem en una casa que tingui unes dimensions de 10 x 10 metres i una al-tura de 2.5 metres. La superfıcie exposada a l’exterior sera la que suposen lesquatre parets i el sostre. Aquestes quatre superfıcies signifiquen un total de de4 · 10 · 2.5 + 10 · 10 = 200 m2. Si aquestes parets estan fetes d’un mao d’uns20 cm de gruix i prenem que la conductivitat dels maons es de 2W/m K, podemcalcular que la potencia dissipada per la casa sera en cadacas de

P = Aλ∆T

∆L= 200 · 2 · 25− 5

0.2= 40000 W, (22.1)

mentre que si la tenim a 20 ºC dissiparem

P = Aλ∆T

∆L= 200 · 2 · 20− 5

0.2= 30000 W, (22.2)

que ens serveix per veure que a 25 ºC consumim un 25 % mes d’energia que a20 ºC.

Una segona questio que hauriem de plantejar es si cal tenir la calefaccio mas-sa elevada mentre dormim. Podem decidir mantenir la calefaccio a 25 ºC mentredormim i fer-ho destapats com si estiguessim a l’estiu o podem tapar-nos ambmantes o nordics i disminuir la temperatura del termostat auna temperatura queens mantingui el confort estant tapats, per exemple a 16 ºC. Aaquesta tempera-tura el consum baixa a

P = Aλ∆T

∆L= 200 · 2 · 16− 5

0.2= 22000 W, (22.3)

que es gairebe la meitat del que significava tenir el termostat a 25 ºC. Calculemquant estalvi significaria baixar el termostat a les nits d’hivern. Consideraremtan sols els dies mes freds de desembre gener i febrer, o sigui, uns 90 dies entotal, i calcularem les 8 hores de son normals. Hem vist que passar de 25 ºC a16 ºC significava reduir la potencia de 40 kW a 22 kW, quie significa un estalvide 18 kW. Aquesta potencia dona com a resultat un estalvi energetic de

∆E = Pt = 18000 · 80 · 8 · 3600 = 4.15 · 1010 J. (22.4)

22.2. EL TRANSPORT PUBLIC 271

Per tenir una idea del que significa questa quantitat d’energia hem de calcularquanta benzina necessitem per obtenir-la. Per a aixo necessitem el poder calorıficd’aquesta, que es d’uns 45 MJ/kg. Aixo significa que cada kilogram de benzinapot donar per combustio PC=44.5 · 106 J d’energia. Aixı doncs, l’estalvi anteriorsignifica

∆m =∆E

PC=

4.15 · 101044.5 · 106 = 932 kg. (22.5)

El consum global si considerem que tots aquests dies ens trobessim a 5 graus al’exterior i tinguessim la calefaccio posada tots els dies seria de

∆m =40000 · 80 · 8 · 3600

PC=

2.76 · 101144.5 · 106 = 6213 kg, (22.6)

Aixı doncs, reduir el termostat a un valor que ens permeti dormir tapats potreduir el nostre consum en un 15 %. Si a mes pensem en el 25 % de reduccioque significaria tenir el termostat durant la resta del dia a un valor mes moderat,podem arribar a reduir en un(0.15 · 8 + 0.25 · 16)/24 = 0.22.

Veiem com l’exces en el confort termic pot augmentar en un 22% el consumde benzina de casa nostra.

22.2 El transport public

Tenir un autobus que et porti de la porta de casa a la feina ambuna frequenciade 5 minuts es una de les comoditats a les que ens hem acostumat. Molt sovintpensem que som mes sostenibles individualment perque utilitzem el transportpublic en comptes del transport individual, pero cal que quantifiquem en quinamesura ho som.

Els transports publics, de forma general han d’estar correctament dimensio-nats a la demanda existent. Un exces en la oferta provocaraque la quantitat depassatgers sigui molt menor que la que podria haver, creant un augment en elconsum d’energia per part d’aquests. Aixo no significa que tots els autobusosi trens hagin d’anar sempre el mes carregats possible, per`o si que hauriem depensar que la xarxa publica global tindra lınies deficit`aries i lınies excedentariespel que fa al comput energetic global i que s’ha d’avaluar en tot moment si lesque son deficitaries ho son amb rao.

Aixı doncs, podem mantenir lınies d’autobus gairebe buides perque la gentque els utilitza despres enllaca amb lınies que van mes plener i tambe per donaropcio a la gent que viu a prop d’aquestes a utilitzar el transport public en totmoment, pero el que no podem tenir son lınies de tren amb una frequencia moltelevada per donar servei a una dotzena de persones com a vegades succeeix.


Suposem el cas d’un autobus urba. Per ciutat les aturades degudes als semaforsson constants, fet que fa que gran part del consum es produeixi per efecte del’acceleracio del vehicle. Ja hem vist en el capıtol dedicat a l’automocio que elconsum urba esta relacionat amb el treball necessari per accelerar un vehicle delrepos a una velocitatv. Si considerem que les acceleracions en els cotxes i enels autobusos son mes o menys similars, la forca per accelerar un autobus o uncotxe dependra de la seva massa

F = ma. (22.7)

Els autobusos urbans pesen unes 8 Tm, mentre que els cotxes mitjans pesen del’ordre de 800 kg, o sigui 10 vegades menys.

Si comparem la forca necessaria per moure un cotxe amb una persona o unautobus amb 60 passatgers a una acceleracio d’1 m/s2 obtenim

Fa = (8000 + 60 · 65) · 1 = 11900 N (22.8)

per a l’autobus iFc = (800 + 1 · 65) · 1 = 865 N (22.9)

per al cotxe. Per poder comparar hem de calcular el que significa per passatger encada cas. Per a l’autobus hem de dividir per la quantitat de passatgers i obtenim198 N.

L’energia consumida en un trajecte de 10 km sera de

∆Ea = 198 · 104 = 1.98 · 106 J (22.10)

per a cada passatger de l’autobus i

Fc = 865 · 104 = 8.65 · 106 J (22.11)

per al passatger del cotxe. S’observa doncs un clarıssim benefici energetic deltranspot public en aquest cas. Pero si el transport no est`a correctament dimensi-onat, es facil de veure com en ell hi viatgen tan sols una o dues persones. Si enel cas de l’autobus tinguessim tan sols un viatger, ekl consum en el tram de 10km seria

∆E = Fd = (8065 · 1) · 10000 = 8.07 · 107 J, (22.12)

que son unes 10 vegades mes que el que consumiria aquella persona circulant envehicle propi.

Un cotxe en maxima ocupacio (4 persones) circulant la mateixa distancia

∆E = Fd = (1060 · 1) · 10000 = 1.06 · 107 J, (22.13)

que significaria un consum per passatger de 2.65·106 J per passatger, molt properal consum de l’autobus ple.

22.3. L’HIPERMERCAT VS EL SUPERMERCAT 273

22.3 L’hipermercat vs el supermercat

Al llarg de la historia hem anat veient com el concepte de botiga d’alimentacioha anat variant. Hem passat de la botiga dels nostres avis, alsupermercat delnostres pares fins als actuals hipermercats. El primer estava pensat per abastir aun barri, el segon a una ciutat i el tercer a un conjunt de ciutats properes.

Per passar de la botiga de barri al supermercat varem haver de deixar apar-cat el cistell i comprar-nos un modern carret amb rodetes. Elfet d’haver-nos dedesplacar mes lluny i el fet de comprar setmanalment feia necessari aquest ins-trument. Se seguia, pero, anant a comprar a peu, ja que l’establiment es trobavadins de la nostra ciutat.

Al passar del supermercat a l’hipermercat, pero, el carretja no era util. Vamhaver de canviar la forma de desplacar-nos i passar d’anar apeu a anar en cotxe.

Per al propietari de l’hipermercat aixo significava un augment dels beneficis,ja que d’haver de distribuir el menjar a 10 llocs diferent (unper cada poble),podia portar tot el material a un unic centre i reduir la quantitat de gent quenecessitava en la seva empresa.

Aquest canvi tambe significava una millora del confor per a l’usiari, ja queen un unic centre podia tenir molts serveis agrupats. Aquesta comoditat, pero,costava energeticament un desplacament d’aproximadament 5 kilometres per acada comprador. El camio que abans portava el menjar a un supermercat es vatransformar en tot de vehicles particulars que havien de ferel trajecte invers peranar a buscar els mateixos productes.

Per tal d’avaluar el cost economic que aquest canvi de vida va significarcalcularem quantes famılies poden abastir un camio de distribucio d’alimentsabasteix un supermercat.

Quan anem a comprar a un hipermercat acostumem a omplir el maleter delcotxe, que es d’aproximadament 600 litres. Un camio de distribucio pot arribara tenir uns 30 m3 de capacitat. Aixo significa que cada camio que deixa d’anar alsupermercat es reemplacat per 30000/600=50 vehicles particulars. La massa delcamio, d’unes 7 Tm es reemplacada per les 40 Tm que signifiquen els 50 vehi-cles. Ja hem vist que la massa desplacada determina en gran mesura el consumd’un vehicle. En aquest cas hem multiplicat per 5.7 el consumde combustible!

Aixı doncs, desplacar-nos a l’hipermercat per fer les compres setmanals esuna de les coses que caldria revisar desde la perspectiva energetica.

22.4 Bany o dutxa

Banyar-se es molt mes plaent que dutxar-se. Una de les coses curioses que lagent fa quan va a un hotel es banyar-se. Com que no ens cobren el preu de


l’energia i de l’aigua que gastem en un bany, ens resulta sempre mes interessantoptar per un bany en comptes dw la simple dutxa.Es tan important el consumque d’aquı se’n deriva que cada cop resulta mes habitual veure com els hotelshan reemplat les banyeres per plats de dutxa per evitar-ne aquest mal us.

El cost que significa escalfar aigua per a la dutxa es un dels mes importants enuna casa despres de la calefaccio. De fet, escalfar aigua ´es una de les tasques mescostoses energeticament en una casa. Tant si encenem la calefaccio, la dutxa o lacassola per a fer macarrons, aquesta accio es una a les que destinem mes dinersdins del consum global d’una casa.

Calculem, per exemple, quanta energia li costa a una casa ambquatre habi-tants que es vulguin dutxar diariament.

En una dutxa gastem, aproximadamenr 100 litres d’aigua. Si es vol compro-var no tenim que fer res mes que tapar el forat de la banyera mentre ens dutxemi en acabar multiplicar l’area de la banyera per l’altura del’aigua acumulada. Latemperatura de sortida de l’aigua es d’entre 35-40 ºC. L’aigua que ens arriba del’exterior pot estar a una temperatura d’uns 10 ºC a l’hivern, de forma que el nos-tre calentador ha d’aixecar la temperatura d’aquests 10 a 40ºC. Aixo requereix,per a una dutxa de 100 l (m=100 kg) d’aigua una energia de

E = mce∆T = 100 · 4180 · (40− 30) = 1.25 · 107 J (22.14)

on ce = 4180 J/kg K es la calor especıfica de l’aigua. Aixo son 3.48 kWhd’energia. 4 dutxes diaries durant 30 dies signifiquen 418 kWh, amb un preu de0.12 euros per kWh aixo signifiquen uns 50 euros tan sols destinats a la dutxa.

Banyar-nos significa gastar, pel cap baix, dos o tres vegadesaquesta quan-titat, de forma que ja podem veure quin estalvi significaria anivell energetic ieconomic optar cada cop mes per les dutxes rapides.

22.5 Conclusions

El confort es un concepte que ha de ser revisat a nivell global. Hi ha patronsde comportament als que la nostra societat ha pogut arribar perque l’energia erabarata, pero que en un futur haurien de ser revisats per tal de moderar el nostreconsum.

Anar en roba interior per casa a l’hivern, moure’ns en cotxe fins i tot per anara comprar el pa o banyar-nos cada dia en comptes de fer una dutxa rapida son co-ses que s’haurien d’evitar perque el seu cost es excessiu.En aquest capıtol hemanalitzat algunes d’aquestes formes de comportament, per`o una petita reflexioens permetran trobar-ne moltes d’altres.

Part II

Teoria

275

APENDIX AMecanica

A la part de la Fısica encarregada de descriure el moviment,sense estudiar-neles causes, se l’anomena cinematica. Per altra banda, l’estudi de l’equilibri deforces en els cossos rep el nom d’estatica.

Aquests camps, estudiats per separat, ens ofereixen visions parcials del queen realitat succeeix en un moviment. Les causes (les forces)i els seus efectes(els moviments) es troben ıntimament relacionats. Aixo ´es el que ens va ense-nyar Newton, creant el camp de coneixement mes general (queengloba els dosanteriors) anomenat mecanica.

En aquest capıtol intentarem deduir les equacions del moviment d’aques-ta forma ”mes natural”, parlant conjuntament del movimenti les forces que elprovoquen.

A.1 Magnituds cinematiques

Les equacions del moviment son les equacions que ens permeten dir per on hapassat un objecte en funcio del temps. Amb aquestes ja en tenim prou per des-criure un moviment, tot i que en podem utilitzar d’altres de derivades com podenser l’equacio de la velocitat, l’acceleracio, etc...

Per a descriure correctament el moviment, doncs, necessitem parlar d’espaii temps. Per tal de no allargar-nos excessivament, donarem per suposat quetothom coneix la definicio aquests conceptes. No ens estendrem per parlar desistemes de coordenades, sincronitzacio de rellotges, etc. Tan sols donarem perestablert que quan parlem de la posiciox d’un objecte en un instantt, aquestsvalors ens permeten tenir una idea ben clara de la seva posicio en el mon real.

Coneixer l’equacio del moviment d’un objecte significa saber en quina po-sicio es troba l’objecte en tot instant de temps. Aixo implica tenir una taula de

277

278 APENDIX A. MECANICA

valors (semblant a la Taula A.1) infinita en la que en absolutament cada instantde temps tenim la seva posicio.

t1 x1

t2 x2

t3 x3

t4 x4

t5 x5

... ...

Obviament, la taula anterior no pot existir a la practica, simplement perqueexisteixen infinits instants de temps entre qualssevol dos temps que tinguem.Aixo significa que hem de pensar una altra forma de poder tenir absolutamenttots els punts sense necessitat de que estiguin escrits. Aixo es el que fan lesfuncions, i l’equacio del moviment no es res mes que l’equacio que ens donales posicions en funcio del tempsx(t). Si tenim aquesta funcio podem obtenirqualsevol posicio en qualsevol instant de temps.

Per exemple, imaginem un objecte que es mogui seguint l’equacio del movi-mentx(t) = 3 sin(2t). Substituint pert = 0 obtenimx = 3 · sin(2 · 0) = 0, pert = π/4, x = 3 · sin(2 · π/4) = 3 i aixı ho podem fer amb qualsevol valor quevulguem (Taula A.1).

0 x1

0 x(0) = 3 · sin(2 · 0) = 00.5 x(0.5) = 3 · sin(2 · 0.5) = 3 sin 11 x(1) = 3 · sin(2 · 1) = 3 sin 21.5 x(1.5) = 3 · sin(2 · 1.5) = 3 sin 32 x(2) = 3 · sin(2 · 2) = 3 sin 4... ...

A partir de les posicions d’un objecte podem calcular la velocitat mitjanaentre dos punts a traves de l’expressio

vm =∆x

∆t=

xi − xi−1

ti − ti−1. (A.1)

Aixı doncs, a l’exemple anterior, la velociat mitjana entre els puntst = 0 it = 0.5 seria

vm =x0.5 − x0

0.5− 0=

3 sin 1

0.5= 6 sin 1. (A.2)

Si l’interval en el qual estem calculant la velocitat mitjana es fa molt petit, elquocient es converteix en una derivada i la velocitat mitjana es transforma en la

A.2. LLEIS DE NEWTON 279

velocitat instantania

v = lim∆t→0

∆x

∆t=

dx

dt. (A.3)

En el nostre exemple, la derivada seria

vi =d

dt(3sin(2t)) = 6cos(2t), (A.4)

i la velocitat en l’instant t=0 valdriav(0) = 6 · cos(2 · 0) = 6. Aquesta ultimaequacio es l’equacio de la velocitat.

Podem seguir amb l’acceleracio mitjana i instantania, que es defineixen com

am =vi − vi−1

ti − ti−1. (A.5)

i

a = lim∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt, (A.6)

Aquesta ultima es l’equacio de l’acceleracio, que en elnostre exemple valdria

a =d

dt(6cos(2t)) = −12sin(2t). (A.7)

i per tant quant = 0 valdriaa(0) = −12 · cos(2 · 0) = 0.Com hem vist, les equacions de la velocitat i de l’acceleracio es poden ob-

tenir a partir de derivar successiament l’equacio del moviment. A la inversaaixo tambe seria possible, o sigui, a partir de l’equaciode l’acceleracio podemtrobar l’equacio de la velocitat i del moviment tot fent la operacio inversa dela derivada, o sigui, integrant. Aixo ens fara apareixerconstants d’integracioque s’hauran d’obtenir de les condicions inicials del moviment, com poden serla velocitat i la posicio inicial de l’objecte. Ho veurem quan trobem algunesequacions del moviment en seccions posteriors.

A.2 Lleis de Newton

Newton va establir les lleis que permeten relacionar el moviment d’un objecteamb les causes que el provoquen

Llei 1Tot cos segueix en el seu estat de repos o de moviment rectilini uniforme fins

que sobre ell no hi actui una forca neta.Llei 2


Si sobre un cos hi actuen una serie de forces, aquest experimentara una vari-acio de la seva velocitat de forma que

∑

F = ma (A.8)

essentm la massa ia l’acceleracio que notara l’objecte.Llei 3Si un cos A fa una forca sobre un cos B, aquest ultim fara unaforca d’igual

magnitud i direccio contaria sobre el cos A.A partir d’aquestes tres lleis i de les definicions de les magnituds cinematiques

de l’anterior seccio ja en tenim prou per obtenir les equacions del moviment dequalsevol objecte.

A.3 Equacions del moviment

Tot seguit deduiem alguns exemples d’equacions del moviment utils en fısica jaque ens permeten descriure moviments molt carracterıstics.

Moviment rectilini uniforme

Tal i com diu la primera llei, aquest es el moviment que notara un objecte sobreel qual no s’hi estigui fent una forca neta, aixo es,

∑

F = 0.Segons la segona llei,

a =

∑

F

m=

0

m= 0. (A.9)

Aixı doncs, el moviment rectilini uniforme es aquell en elquea = 0. A partird’aquı, i com hem comentat en la seccio de magnituds cinem`atiques, podemintegrar per obtenir les equacions de la velocitat i del moviment.

A partir de la definicio d’acceletacio instantania obtindrem la velocitat

dv

dt= a = 0. (A.10)

Si la derivada d’una magnitud es zero, aixo significa que aquesta es constantv =ct.

Un cop obtinguda la velocitat, podem trobar la posicio tot invertint la defini-cio de velocitat

∫ x

x0

dx =

∫ t

0

v dt. (A.11)

A.4. MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT 281

Es molt imortant que els lımits inferior i superior estiguin ben estaberts, o sigui,(t,x) i (0,x0) corresponen a dos punts pels quals passa la trajectoria. Com que lavelocitat es constant, aquesta te com a solucio

x− x0 = v(t− 0). (A.12)

Aixı hem deduit l’equacio de l’acceleracio, la velocitat i la posicio del movimentrectilini uniforme a partir de les llei de Newton i les definicions de la velocitat il’acceleracio instantania

a = 0

v = ct (A.13)

x = x0 + vt

A.4 Moviment rectilini uniformement accelerat

Una deduccio similar podem fer-la per obtenir les equacions del moviment per aun objecte que nota una forca neta constant pero no nul·la,aixo es

∑

F constant.En aquest cas l’acceleracio tambe es una constant no nula, ja que en el nostre

cas considerarem objectes que no perden ni guanyen massa.

a =ΣF

m. (A.14)

Trobem la velocitat tot integrant

∫ v

v0

dv =

∫ t

0

a dt. (A.15)

Al ser l’acceleracio constant podem treure-la de la integral tot obtenint

v − v0 = at. (A.16)

Altre cop podem utilitzar aquesta expressio per obtenir laposicio

∫ x

x0

dx =

∫ t

0

v dt. (A.17)

Pero en auest cas, la velocitat no es constant en el temps, sino que en depen tal icom hem obtingutv = v0 + at. En aquest cas la integral que s’obte es

x− x0 = v0t +1

2at2. (A.18)


Recopilant, les equacions per al moviment rectilini uniforme son

a =ΣF

mv = v0 + at (A.19)

x = x0 + v0t +1

2at2

A.5 Interpretaci o de grafiques

Les expressions de les equacions anteriors ens permeten fer-nos una idea dequina forma tenen els moviments d’aquests objectes.

Moviment rectilini uniforme

L’acceleracio val 0 en tot punt. La grafica de la velocitat ´es una recta amb unvalor constant i pendent zero, ja que la seva derivada (l’acceleracio) sabem ques’anul·la. La posicio es una recta amb un pendent constant. La posicio en eltempst = 0 tambe pot ser qualsevol, i ens donara el valor dex0 (Figura A.1).

Figura A.1: Grafiques posicio-temps, velocitat-temps i acceleracio-temps caracterıstiques del movimentrectilini uniforme

Moviment rectilini uniformement accelerat

L’acceleracio es constant en tot l’interval pero a diferencia de l’apartat anteriorel seu velor es diferent de 0. La grafica de la velocitat es una recta amb unpendent constant, ja que la seva derivada (l’acceleracio)sabem que es constant.La posicio en funcio del temps es una parabola. Podem variar la seva posicio enl’instant t = 0, x0, la seva velocitat inicialv0 (que correspon al pendent de laparabola en l’instantt = 0) i la seva curvatura, que s’observa per la tendenciaa incrementar el pendent (Figura A.2). Si l’acceleracio es positiva la parabolamira cap amunt (es a dir, cap a velocitats positives) mentreque si es positivaaquesta mira cap avall (velocitats negatives).

A.6. EQUACIONS DEL MOVIMENT CIRCULAR 283

Figura A.2: Grafiques posicio-temps, velocitat-temps i acceleracio-temps caracterıstiques del movimentrectilini uniformement accelerat

A.6 Equacions del moviment circular

Quan un passa del moviment en 1 dimensio al moviment en varies dimensionses troba amb que les trajectories dels objectes poden canviar de direccio. Enaquest nou contexte resulta util tenir la idea de que si l’objecte rep una forca enla direccio en la que es mou aquesta forca el que fa es modificar la seva velocitat(accelerar-lo o frenar-lo) mentre que si una forca actua endireccio perpendicularal moviment el seu efecte sobre l’objecte es el de desviar-lo de la direccio queporta (es a dir, la velocitat varia de direccio pero no de modul o intensitat).Finalment, una forca que es faci en diagonal al moviment tindra una componentparal·lela al moviment i una altra perpendicular, de maneraque cada una d’ellestindra un efecte diferent (una fara accelerar la partıcula i l’altra la fara desviar-se).

La forca que rep un objecte en la direccio perpendicular alseu movimentrep el nom deforca centrıpeta. Com succeeeix amb qualsevol altre forca, lasegona llei de NewtonF = ma ens diu que la forca centrıpeta esta associadaa una acceleracio, que anomenarem tambeacceleracio centrıpeta. Recordemque l’acceleracio es defineix com la variacio de velocitatper unitat de temps.Com que l’unic efecte d’una forca centrıpeta es el de desviar l’objecte sobreel que actua, l’acceleracio centrıpeta es un concepte que no fa referencia a quela velocitat de la partıcula augmenta o disminueix; l’acceleracio centrıpetafareferencia a com varia la velocitat la seva direccio en funcio del temps.

Passem ara a centrar-nos en el moviment circular, que es un cas particularen el qual la partıcula canvia de direccio sempre al mateixritme, la qual cosaens diu que l’acceleracio centrıpeta sera constant. Pertal de poder descriurecorrectament el moviment circular, conve utilitzar novesvariables que permetensimplificar notablement els calculs. Tal i com veiem en la Figura A.3, un objecteque es troba situat en una posicio(x, y) qualsevol de l’espai pot ser descritaigualment amb les variables distancia al centre i angle(r, θ). La trigonometria


Figura A.3: Equivalencia entre les coordenades(x, y) i les coordenades(r, θ) per un moviment circular

ens permet establir quina relacio hi ha entre els dos parells de dades

x = r cos θ (A.20)

y = r sin θ.

Si una partıcula es mou circularment, una d’aquestes novesvariables (r) es-deve constant, deixant com a unica magnitud variable l’angleθ.

Podem definir tambe magnituds cinematiques derivades comson la velocitatangular mitjana i instantania

ωm =∆θ

∆tω =

dθ

dt(A.21)

i l’acceleracio angular mitjana i instantania

α =∆ω

∆tα =

dω

dt. (A.22)

Finalment, l’acceleracio centrıpeta responsable de qu`e la partıcula canvii dedireccio, i per tant pugui girar, segueix l’expressio

ac =v2

r= ω2r (A.23)

de manera que la forca centrıpeta seria simplement aquesta acceleracio multipli-cada per la massa de l’objecte,Fc = mac.

A.7. FORCES CENTRALS 285

Moviment circular uniforme

Un desenvolupament similar al que hem fet pel cas rectilini ens donaria les equa-cions del moviment per al moviment circular uniforma i el moviment circularuniformement accelerat. Tan sols cal canviar les magnitudslineals per les circu-lars.

α = 0

ω = ct (A.24)

θ = θ0 + ωt

Per aquest cas podem justificar facilment l’expressio A.23 de l’acceleraciocentrıpeta. Substituint la darrera expressio de A.24 en les equacions A.20 s’obte

x = r cos(θ0 + ωt) (A.25)

y = r sin(θ0 + ωt).

Ara, derivant dues vegades respecte del temps s’obtenen lesacceleracions enles direccionsx i y:

ax =d2x

dt2= −rω2 cos(θ0 + ωt) = −ω2x (A.26)

ay =d2y

dt2= −rω2 sin(θ0 + ωt) = −ω2y

L’acceleracio total es la suma quadratica de les dues components:

a =√

a2x + a2y =√

ω4(x2 + y2) =√ω4r2 = ω2r (A.27)

que coincideix amb l’expressio A.23.

A.7 Forces centrals

Definim com a forces centrals totes aquelles forces el valor de les quals depennomes de la distancia de l’objecte que rep la forca a un punt central on estariasituat l’origen de la forca. Exemples de forces d’aquest tipus son la forca electro-estatica (que repassarem en el Capıtol G), les forces elastiques (que comentaremen el Capıtol F en parlar d’oscil·lacions) o les forces de gravitacio.


Forca de gravitacio

Va ser tambe Isaac Newton el qui va proposar la primera vegada una llei generalper a explicar les forces de gravitacio entre els objectes (tot i que la famosallegenda de la poma es probablement falsa). L’expressio corresponent te la forma

F = Gm1m2

r2(A.28)

onm1 i m2 representen les masses dels dos objectes (el que provoca la forca i elque la rep),r es la distancia que els separa iG = 6, 67 · 10−11 Nm2/Kg2 es unaconstant anomenadaconstant de gravitacio universal. La forca que fa l’objecte1 sobre el 2 es igual a la que fa 2 sobre 1 i la unica diferencia esta en quin sentits’apliquen les forces, ja que les forces gravitatories tendeixen sempre a atreureels objectes els uns contra els altres. Una aplicacio molt important d’aquestaformula es la que ens permet deduir quina forca gravitat`oria fa La Terra sobretots els cossos que estan propers a la seva superfıcie (inclosos nosaltres). Enaquest cas la distanciar s’ha d’entendre com la distancia entre el centre delsdos objectes; es a dir, la distancia des del centre de La Terra fins el centre del’objecte que estem observant. Per tant,r sera aproximadament igual al radi deLa TerraRT = 6300 Km (a no ser que ens allunyessim de la superfıcie terrestreuna distancia significativa). Aixo vol dir que la forca gravitatoria provocada perLa Terra a prop de la superfıcie terrestre es

F = GMTm2

R2T

(A.29)

onm2 es la massa de l’objecte que rep la forca. Si substituim elsvalors del raditerrestre, de la massa de La Terra (MT = 6 · 1024 Kg) i deG l’expressio anteriores converteix en

F = 9, 81m2 (A.30)

que es el que habitualment coneixem com apes d’un objecte. El factor 9, 81representa l’acceleracio gravitatoria provocada per LaTerra. Per tant, deduimque el pes d’un objecte no es mes que la forca gravitatoria que fa La Terra sobreell, i que l’expressio?? nomes es valida sempre i quan estem a prop de la su-perfıcie terrestre; per tant, el pes d’un objecte depen del planeta en el qual s’hitrobi aquest i de la distancia al centre del planeta.

A.8 Forces fictıcies

En aquesta seccio intentarem entendre que, depenent del sistemes de referenciaen que ens trobem, les propietats dinamiques i cinematiques dels objectes se-

A.8. FORCES FICTICIES 287

guiran descripcions diferents, la qual cosa pot donar lloc aque en alguns siste-mes necessitem introduir forces addicionals per tal d’explicar les observacions.Aquestes son les anomenades forces fictıcies. Per exemple, pensem en el mo-viment d’un cotxe per la carretera. Si nosaltres estem quiets i l’observem desde la vorera la seva velocitat es, per exemple, de 50 m/h. Pero si ens montemen la nostra bicicleta i el seguim a 30 Km/h, des del sistema dereferencia dela nostra bicicleta el cotxe s’estaria movent en realitat a 20 Km/h. Tammateix,des del sistema de referencia d’algu que estigui situat alSol el cotxe es mouriajuntament amb La Terra a centenars de milers de quilometresper hora. Per tant,arribem a la conclusio de que

’Les velocitats mesurades des de sistemes de referencia que es mouen adiferents velocitats son diferents’

Aquesta idea la podem estendre ara tambe per les acceleracions. En el cas delcotxe, si aquest va tota l’estona a 50 Km/h la seva acceleracio es zero des delsistema de referencia en que estem quiets i tambe des de labicicleta. Pero encanvi, per una persona que observa des del Sol el cotxe (juntament amb La Ter-ra) esta girant al voltant del Sol i com que la seva velocitatcanvia de direccioesta rebent una acceleracio centrıpeta. Nosaltres no notem aquesta acceleracioperque nosaltres tambe estem a dintre de La Terra i per tantdes del nostre puntde vista aquesta acceleracio es imperceptible. Aixo enspermet dir que

’Les acceleracions mesurades des de sistemes de referencia que es mouen ambdiferents acceleracions son diferents’

Ara es quan arribem a la conclusio, utilitzant de nou la llei de NewtonF = ma,de que en sistemes de referencia on les acceleracions mesurades son diferentsles forces han de ser tambe diferents. Un exemple tıpic d’aixo es el que apareixa la Figura A.4. Si el vago del tren s’accelera cap a la dreta el pendol que s’hitroba penjat a l’interior s’inclinara tal i com apareix al dibuix. Des del sistemade referencia de fora del tren l’explicacio es obvia: eltren fa una forca capendavant sobre l’extrem superior de la corda i l’objecte esferic tendeix a quedar-se enrera per la inercia. Pero des del sistema de referencia del tren, en el qualimaginem que no fossim conscients de que el vago s’accelera, aixo no tindriacap explicacio. La unica manera d’explicar la inclinaci´o del pendol amb les lleisde Newton seria ınventar-nosuna forca que ha aparegut sobre l’objecte esfericcap a l’esquerra; aquesta es la forca fictıcia que coment`avem abans.

Les forces fictıcies tenen una gran importancia des del punt de vista que nos-altres vivim a sobre d’un sistema de referencia esferic que gira sobre si mateix(La Terra), encara que no en som conscients. En un sistema de referencia esfericen rotacio apareixen dos tipus de forces fictıcies: lesforces centrıfuguesi lesforces de Coriolis.


Figura A.4: Vist des de fora, el pendol s’inclina a causa de l’acceleracio del tren. Si des d’endins nosom conscients d’aquesta acceleracio haurem d’introduiruna forca fictıcia per a explicar elfenomen.

Forca centrıfuga

La forca centrıfuga es una forca (fictıcia, i que per tant nomes te sentit si estema sobre d’un sistema de referencia en rotacio) que tendeixa allunyar els objec-tes del centre de l’esfera on es troben situats (Figura??, esquerra). El moduld’aquesta forca val

F = ω2R cosαm (A.31)

onm es la massa de l’objecte situat a la superfıcie,ω es la velocitat angular derotacio i el significat deR i α ve indicat al dibuix de la Figura??. Potser algunavegada ens hem fet la pregunta, si sabem que La Terra esta girant sobre ellamateixa, de per que no sortim disparats cap enfora, com passa amb qualsevolobjecte que col·loquem a sobre d’una pilota en rotacio? Femel calcul de laforca centrıfuga pel cas de La Terra.ω ha de ser la velocitat de rotacio de LaTerra (7, 2 · 10−5 rad/s),R sera el radi de La Terra (6.300 Km) i considerarem elcas mes extrem possible en queα = 0. Amb tot aixo la forca centrıfuga donaF = 0, 033m. Si comparem aixo amb l’expressio A.30 entendrem perqueensmantenim a sobre de La Terra sense ”sortir volant”: la forcagravitatoria queens mante units a La Terra es molt superior a la forca centrıfuga que ens fariaallunyar-nos d’ella i per tant l’efecte de la primera dominasobre la segona.

Forca de Coriolis

L’altra forca fictıcia que apareix en un sistema en rotaci´o es forca menys intui-tiva. La forca de Coriolis es sempre perpendicular a la velocitat de l’objecte ien consequencia tendeix a fer girar els objectes que hi ha sobre la superfıcie de

A.9. MECANICA D’UN SOLID RIGID 289

Figura A.5: Direccio d’aplicacio de la forca centrıfuga (esquerra) i de Coriolis (dreta) pel cas d’un sistemade referencia en rotacio (La Terra, en el cas del dibuix)

l’esfera, actuant com una forca centrıpeta que apunta capal centre del gir, talcom inidica la Figura A.5 (dreta). En el cas de l’Hemisferi Nord (fent l’analogiaamb l’esfera terrestre) el gir es en sentit horari, i en el cas de l’Hemisferi Sud elgir es antihorari. El modul de la forca de Coriolis es

F = 2vω sinαm (A.32)

onv es la velocitat de l’objecte. D’aquı deduim que la forca de Coriolis apareixnomes sobre els objectes que es troben en movimenta sobre d’un sistema dereferencia en rotacio. Si tornem a l’exemple de La Terra, la forca de Coriolises en general forca debil i per aquest motiu no acostumem apercebre mai elsseus efectes. La unica manera de notar-ne els efectes es moure’s a velocitatsmolt grans (per tal que la forca augmenti) o be deixar objectes a la deriva (almar o a l’aire) que rebin durant molta estona la forca de Coriolis sense que hiactui cap altre efecte. Aixo passa, per exemple, amb els vaixells que quedena la deriva enmig del mar durant dies, els quals acaben realitzant trajectoriescirculars de desenes o centenars de quilometres, com les del dibuix de la dretade la Figura A.5. Tambe les masses d’aire atmosferic rebenla influencia dela forca de Coriolis, i per aixo aquesta forca es d’especial importancia per aentendre molts fenomens meteorologics.

A.9 Mecanica d’un solid r ıgid

En tots els apartats anteriors hem parlat de les forces que actuen sobre els cossospero mai hem especificat sobre quina part del cos ho feien. Aixo es perque


implıcitament fins ara hem estat suposant que els objectes que rebien les forceses podrien tractar com si fossin simplement un punt en l’espai; aquesta hipotesiequival a dir que fins ara hem treballat ambcossos puntuals. En aquest apartat,en canvi, generalitzarem al cas de solids rıgids, que es defineixen com aquellscossos que mantenen sempre la distancia entre cadascun dels seus punts fixa (ditd’una altra forma, son cossos que no es deformen mai). En el moment en queun considera que els cossos no son punts sino que tenen un tamany i una formadefinits apareixen problemes com el que mostra la Figura A.6.En aquest castenim dues forces aplicades sobre l’objecte. Les dues tenenla mateixa intensitat ivan en sentit contrari. D’acord amb la llei de Newton les duesforces s’haurien decompensar una amb l’altre i per tant l’objecte no hauria de patir cap acceleracio;aixo vol dir que si inicialment esta en repos hauria de seguir en repos. Pero aixono es veritat, perque nosaltres sabem que les dues forces del dibuis provocaranque l’objecte comenci a girar en sentit antihorari.

Figura A.6: Combinacio de forces aplicades sobre un solidrıgid, donant lloc a rotacio pero no a traslaciode l’objecte

Vol dir aixo que les lleis de Newton no funcionen en aquest cas? El que passaen realitat es que les lleis de Newton tal com les hem fet servir fins ara serveixennomes per a moviments de traslacio (desplacament d’un lloc a un altre) i no permoviments de rotacio. En el cas de rotacions hem d’introduir un nou concepteanomenatmoment de la forca. El moment de la forca es defineix com

M = Fr cos γ (A.33)

A.9. MECANICA D’UN SOLID RIGID 291

onF es el valor de la forca i el significat der i γ es el que es veu en el dibuix dela Figura??. Amb aquest nou concepte podem rescriure les lleis 1 i 2 de Newtonpel cas de moviments de rotacio:

Llei 1. Tot cos segueix en el seu estat de repos o de rotacio uniforme fins quesobre ell no actui un momentM net.

Llei 2. Si sobre un cos hi actuen una serie de forces (i per tant de moments),aquest experimentara una variacio del seu moviment de rotacio de forma que

∑

M = Iα (A.34)

on α es la variacio de la velocitat de rotacio per unitat de temps, o acceleracioangular, iI es un parametre anomenatmoment d’inercia que depen de la massai de la forma de l’objecte.

APENDIX BTreball i energia

Existeix una forma alternativa de descriure el moviment d’un objecte en la qualel temps desapareix. A traves d’aquesta descripcio podemarribar a descriureamb la mateixa exactitud el moviment d’un objecte pero sense necessitat de teniren compte el temps com a magnitud. Aquesta variant de la mecanica es basa enel concepte d’energia.

Per modificar l’energia d’un sistema necessitem realitzar el que en fısica ano-menem treball. El treball fısic no pren exactament el mateix significat que a lavida quotidiana. Quan estem aguantant un sac de patates de 50 kg sense mou-re’ns no estem fent cap mena de treball des de la perspectiva fısica, mentre queno se’ns ocorreria dir que una persona que esta fent aixo noesta pas treballant(a no ser que tingui hobbies extranys).

B.1 Treball

Definim que una forcaF esta fent un treballW sobre un sistema si de l’aplicaciod’aquesta en resulta un desplacamentd en la direccio de la forca. El valor deltreball es igual al producte escalar entre el dos vectors forca i desplacament, deforma que el seu modul es

W = Fd cos θ (B.1)

on θ es l’angle entre els vectors forca i desplacament, i aix`o ens diu que unaforca perpendicular al moviment (θ = 900) no fa mai treball.

La unitat de treball i energia es el Joule (J) i es la resultant de desplacar unobjecte 1 metre com a consequencia d’una forca d’1 N. (1 J=1 N·m).

Com a exemple, suposem que empenyem un cotxe amb una forca de100 N ique com a resultat aconseguim desplacar el vehicle una distancia de 10 metres.

293

294 APENDIX B. TREBALL I ENERGIA

Si l’empenta que fem al cotxe es amb un angleθ = 50 respecte de l’horitzontalel treball que haurem fet sera de

W = Fd cos θ = 100 · 10 · cos 5 = 996 J. (B.2)

B.2 Energia cinetica

Com hem vist, realitzar treball sobre un objecte provoca un moviment sobreaquest. Aixo significa que la velocitat d’aquest varia. Seria molt util poder teniruna magnitud de tipus energetic que permetes calcular la velocitat a la que arribal’objecte sense necessitat de calcular magnituds on es necessiti el temps.

Per fer aixo partirem de la llei de Newton i considerarem un moviment en unadimensio. Suposem que sobre un cos hi hem aplicat una forca; segons aquesta,provocarem una acceleracio que es, per definicio, la derivada temporal de lavelocitat. Aixı doncs

F = mdv

dt. (B.3)

Tal i com hem comentat, hem de fer desapareixer el temps d’aquesta equacio.Per fer-ho multipliquem ambdos costats per un desplacament dx que vagi en ladireccio de la forca per tal d’obtenir

F dx = mdx

dtdv = mv dv. (B.4)

El costat esquerra de l’equacio es justament el treball fet durant el desplacamentdx (ja que hem escollit aquest desplacament en direccio de laforca i per tantθ =0), mentre que la part dreta representa una nova magnitud. Haurem d’integrarl’expressio per tal de veure una mica mes clar aquesta relacio

∫ x0+d

x0

F dx =

∫ v

v0

mv dv. (B.5)

que un cop feta dona com a resultat

W = Fd =1

2mv2 − 1

2mv20. (B.6)

Al valorEc = 1/2mv2 (B.7)

l’anomenemenergia cinetica. Te relacio, com es pot veure, amb la velocitat del’objecte. De fet, es l’energia que te un objecte pel fet d’anar a una velocitat de-terminada. Intuitivament podrem dir que com mes energia cinetica te un objectemes capacitat de provocar canvis te.

B.3. FORCES CONSERVATIVES 295

En el cas del cotxe que hem fet en la seccio anterior, la velocitat que adquirirael cotxe sera aquella tal que l’energia cinetica sigui igual al treball realitzat. Sisuposem que el cotxe pesa 800 kg la velocitat que adquirira despres del treballsera

W = 996 = ∆Ec =1

2m · v2f −

1

2m · 02 (B.8)

→ vf =

√

2 · 996800

= 1.58 m/s. (B.9)

En l’Apartat A.9, on hem estudiat les equacions mecaniquesd’un objecteno puntual, hem vist que tot i que no estigui desplacant-se un objecte pot estaren moviment si gira sobre ell mateix (moviment de rotacio).Sembla logic, pertant, introduir tambe el concepte d’energia cinetica de rotacio per aquest tipusde moviments. Aquesta energia pren l’expressio

Ec = 1/2Iω2 (B.10)

on ω i I representen la velocitat angular de rotacio i el moment d’inercia del’objecte, tal i com els hem definit en el Capıtol A.

B.3 Forces conservatives

Les forces que podem fer sobre un cos les podem dividir en dos grups, les con-servatives i les no conservatives. Una forca es conservativa quan el treball que faaquesta al llarg d’una trajectoria tancada es zero. Aixoes el mateix que dir que eltreball que fem per anar d’un punt A a un punt B es el mateix independentmentdel camı que seguim. En aquest cas, com que la variacio d’energia nomes depende la posicio del punt de partida i del d’arribada (no del camı) es possible definiruna funcio que ens doni un valor de l’energia en funcio de laposicio on es trobal’objecte. A aquesta funcio l’anomenemenergia potencial.

Son forces conservatives, per exemple, el pes i la forca elastica, i donen coma resultat l’energia potencial gravitatoria i l’energia potencial elastica.

Energia potencial gravitatoria

Un objecte que desplaca cap amunt des d’una posicioy0 fins a una alturayf repun treball per part del pes de

W = Fd cos(θ) = −(mg) (yf − y0) = −(mgyf −mgy0). (B.11)

Al valor Ep = mgy se l’anomena energia potencial gravitatoria. Com mes ener-gia potencial mes canvis pot arribar a provocar un objecte.Com veiem, aquesta


energia gravitatoria depen de la massa de l’objecte i de l’alacada a la qual estroba respecte a una alcada de referencia. Aixı, no es elmateix que ens caigui asobre un gra de sorra que un piano, ni tampoc que ho faci des de1 metre d’alcadao des de50.

Energia potencial elastica

La mateixa estrategia de calcular l’energia potencial gravitatoria la podem apli-car al cas en que fem una forca per vencer la reaccio d’unamolla. En aquestcas pero, la forca que fa la molla depen de la posicio en laque ens trobem i esdel tipusF = kx. El treball que fa una molla quan l’allarguem en passar d’unamidax0 a una midaxf es

W =

∫ xf

x0

F dx = −∫ xf

x0

kx dx = −(

1

2kx2

f −1

2kx2

0

)

(B.12)

Al valor Ee = 1/2kx2 se l’anomena energia potencial elastica.

B.4 Forces no concervatives: dissipacio d’energia

En comparacio amb les forces conservatives que hem definit en l’apartat anterior,entenem per forces no conservatives (o dissipatives) aquelles que donen lloc a untreball diferent de zero quan ens movem al llarg d’una trajectoria tancada. Aixoes equivalent a dir que, si anem del punt A al punt B, el treball que fan aquestesforces es diferent depenent del camı pel qual decidim moure’ns.

Normalment entenem com a forces no conservatives les forcesde fregamenti altres forces que tendeixen a provocar el que en llenguatgecol·loquial anome-nemperdues energetiques. Si ho pensem, les forces de fregament sempre vanen direccio contraria al moviment. Aixo, traduit a la definicio de treball B.1,significa que900 < θ < 1800 i per tant el treball d’aquestes forces es negatiu (elcosinus d’un angle entre900 i 1800 es negatiu).

Aquesta energia negativa (per tant, perduda) en forma de treball es la quedespres entenem com a perdues energetiques. Pero aquest concepte es una micaenganyos, en realitat. La pregunta que ens hauriem de fer es: es perd tota aquestaenergia? La resposta es no. L’energia es una magnitud que sempre es conserva.El fet que no veiem aquesta energia dissipada en el fregamentes perque no sa-bem a on va a parar. Per saber-ho necessitem definir una nova energia, l’energiatermica(concepte que equival aproximadament amb la idea de calor).Els atomsde qualsevol objecte es troben sempre movent-se, sigui lliurement com en ungas, amb certa llibertat pero en constant contacte com es en un lıquid, o vibrantentorn de posicions d’equilibri com en un solid. Aquest moviment implica que

B.5. TEOREMA TREBALL-ENERGIA 297

tots i cadascun d’aquests atoms tenen una energia cinetica. A la suma de totesles energies cinetiques de tots els atoms d’un cos l’anomenem energia termica.

Aquesta energia dissipada, doncs, no s’ha perdut i per tant podria donar-seel cas que poguessim recuperar-la, tot i que en el Capıtol D estudiarem mes endetall aquesta idea i veurem que en realitat l’energia termica (o calor) nomes espot reaprofitar parcialment.

B.5 Teorema treball-energia

En definir l’energia cinetica havıem vist que el treball fet sobre un objecte eraigual a la variacio de l’energia cinetica d’aquest (Apartat B.2). En la demostraciotan sols hem utilitzat una forca, pero si volem treballar mes en general haurıemd’utilitzar totes les forces. Partint de la llei de Newton podem veure que eltreball total fet sobre un sistema es igual a la suma dels treballs de cadascuna deles forces.

Wt =∑

Wi =∑

i

Fid cos θi (B.13)

Obviament, com que cada forca actuara en una direccio diferent, els anglesθiseran diferents per a cadascuna d’elles.

Aixo ens permet escriure el teorema treball-energia, que ´es una reinterpreta-cio del que hem vist a l’apartat B.2 ara separant de forma explıcita la contribuciode les forces conservatives i les no conservatives. Partintd’aquesta idea rescri-bim l’equacio B.6 com

∑

Wnc +∑

Wc = ∆Ec, (B.14)

Com hem explicat, el treball fet per les forces conservatives es pot reemplacarper una nova funcio anomenada energia potencial. Fent aquesta substitucio ob-tenim

∑

Wnc −∑

∆Up = ∆Ec. (B.15)

Podem introduir encara el concepte d’energia mecanica, que es defineix com lasuma de les energia cinetica mes la potencial. D’aquesta manera podem rescriureel teorema treball-energia com

∑

Wnc = ∆Ec +∑

∆Up = ∆Em. (B.16)

Aquest teorema ens diu que el treball fet per les forces no conservativesimplica un canvi de l’energia mecanica del sistema, essentaquesta la suma del’energia cinetica i de les energies potencials que actuensobre aquest. Aixoes el que moltes vegades en llenguatge col·loquial anomenem simplementcon-servacio de l’energia, en el sentit de que tot canvi de l’energia del moviment


(cinetica) ha de venir provocat per un canvi d’energia potencial o be per unadissipacio d’energia deguda a fregaments.

B.6 Potencia

Com hem mostrat en els exemples comentats al llarg d’aquest capıtol, l’energiano ens indica en cap moment la rapidesa d’un proces. Aixo vol dir que neces-sitem definir alguna magnitud per a poder introduir ara si volem la magnitud detemps. El concepte que ens permet fer aixo es el de potencia.

Amnomenem potencia desenvolupada per una forca com la quantitat d’ener-gia que transmet per unitat de temps,

P =∆E

∆t. (B.17)

Si recordem que una forca que transmet una energia es pot trobar a partir dela multiplicacio d’aquesta pel desplacament (equacio B.1), podem obtenir unasegona forma mes util per a cossos que es mouen a velocitat constant:

P =F∆x cos θ

∆t= F

∆x

∆tcos θ = Fv cos θ, (B.18)

on hem utilitzat que la velocitat d’un objecte es, per definicio, v = ∆x/∆t.

B.7 Rendiment energetic

Un altre concepte que resulta de vital importancia tenir clar per tal de poder rea-litzar calculs relacionats amb balancos energetics esel de rendiment o eficienciaenergetica. De forma general definim el rendiment energetic com

η =∆Eaprofitada

∆Etotal

. (B.19)

on sempre s’acompleix que∆Eaprofitada < ∆Etotal.El concepte de que entenem com a energia aprofitada i com a energia total

varia molt depenent del context particular de cada situaci´o. En moltes ocasionstindrem que la diferencia entre una i altra correspon a les perdues per dissipacio(∆Edissipada = ∆Etotal − ∆Eaprofitada), pero tambe hi ha molts altres casoson aquesta interpretacio pot ser incompleta o incorrecta.En qualsevol cas, laidea general es que el rendiment es un parametre que ens d´ona la fraccio d’unaenergia d’entrada (total) que nosaltres som capacos de transformar en allo queens interessa (aprofitada), ja es tracti d’un treball mecanic, un moviment, unescalfament, etc.

B.7. RENDIMENT ENERGETIC 299

Es tambe interessant assenyalar que si dividim el numerador i el denomina-dor de l’Equacio B.19 per la unitat de temps∆t obtenim

η =∆Eaprofitada/∆t

∆Etotal/Deltat=

∆Paprofitada

∆Ptotal, (B.20)

la qual cosa demostra que el rendiment pot obtenir-se tant a traves d’un quocientd’energies com a traves del quocient de les potencies corresponents, la qual cosaen molts casos resulta mes util i practic.

e

APENDIX CDinamica de fluids

C.1 Principi de Pascal

Els fluids es caracteritzen pel fet de que poden adquirir la forma del recipientque els conte. Aquesta idea esta directament relacionadaamb el que expressa elprincipi de Pascal:

”Qualsevol pressio (forca per unitat de superfıcie exercida sobre un fluid enun punt es transmet instantaniament a tots els punts del fluid amb la mateixaintensitat”.

Per tal d’entendre el significat d’aquest principi hem d’introduir en primerlloc el concepte de pressio, que es defineix com la forca exercida per unitat d’areao de superfıcie. Tenint en compte aixo, si per exemple tenim un dispositiu comel que apareix a la Figura C.1 i exercim una pressio cap abaixsobre la plataforma1 (que te areaA1), immediatament aquesta forca es transmet a la plataforma2(d’areaA2), que tendira a pujar. Com que la pressio en 1 i en 2 ha de ser lamateixa, en resulta que

F1

A1

=F2

A2

...i per tant a la plataforma mes gran (la 2) la forca tambeha de ser mes gran pera poder acomplir-se la igualtat. De fet, la gran majoria de sistemes i maquineshidrauliques aprofiten aquesta idea per tal de poder fer forces grans a partird’esforcos mes petits.

301

302 APENDIX C. DINAMICA DE FLUIDS

Figura C.1: Esquema d’un sistema hidralulic tıpic basat en el principi de Pascal

C.2 Pressio hidrostatica

Ens comencem a plantajar ara quines forces poden actuar sobre un fluid. Enprimer lloc, existeix una forca que es ineludible per a qualsevol fluid que es trobia La Terra: la forca gravitatoria. Per tal d’entendre com la gravetat afecta a unfluid considerem el dibuix de la Figura C.2. Alla hem escollit una porcio de fluiden forma de prisma i hi hem representat les forces que fa la resta de fluid sobreella. En les direccions horitzontals (x i y) les forces que fa el fluid per una caradel prisma es compensen amb les que fa el fluid sobre la cara oposada, de maneraque en aquestes direccions no hi ha forca neta. En canvi, en la direccio vertical(z) sı que hi ha una forca neta, que es la del pes del fluid que estroba a dinsdel prisma. El pes, com sabem, s’expressa com a massa per gravetat. En el casdels fluids, pero, resulta mes convenient expressar la seva massa en termes dedensitat per volum. Per tant la forca neta que actua sobre elprisma (en direcciovertical) es

FP = ρfV g = ρfA∆hg

on es la densitat del fluid hem tingut en compte que el volum del prisma esigual a l’area de la seva base multiplicada per l’altura. Ara intentem trobar unaexpressio per a la diferencia de pressions que aquesta forca provoca entre la carasuperior i la inferior del prisma, que es igual a la forcaFP dividida entre l’areasobre la qual actua la forca. Aixı arribem a

∆P =FP

A= ρfg∆h.

C.3. PRINCIPI D’ARQUIMEDES. FLOTACIO. 303

Figura C.2: Esquema de forces per tal d’entendre l’origen dela pressio hidroestatica que actua sobre unaregio (en forma de prisma) del fluid

D’acord amb aixo, s’acostuma a definir lapressio hidrostaticacom

P = ρfgh

i per tant aquesta ens dona la informacio de com els efectesgravitatoris actuensobre un fluid. Veiem que la pressio hidrostatica depen nomes de la distanciaen direccio vertical (no de les distancies en direcciox ni en y). Per tant, de laformula es dedueix quedos punts d’un fluid que estiguin a la mateixa profunditatsempre tindran la mateixa pressio hidrostatica.

C.3 Principi d’Arqu ımedes. Flotacio.

Imaginem ara que en el cas del problema anterior (Figura C.2)agafem la porciode fluid en forma de prisma i la substituim per un objecte solid. Com afectarael concepte de pressio hidrostatica a la dinamica d’aquest objecte situat en el sid’un fluid? La situacio seria la descrita en la Figura C.3; com que la pressiohidrostatica creix amb la profunditat la part inferior de l’objecte rep una pressiomes gran que la de la part superior. En consequencia, l’objecte esta notant unadiferencia de pressions que es traduira en una forcaFA cap a dalt. El valor de laforca es

FA = ∆PA = ρfg∆hA = ρfgV


on V es el volum de l’objecte. D’acord amb la formula C.3, aquesta forca capadalt te la mateixa intensitat que el pes del fluid que estaria ocupant el volumque ara ocupa l’objecte. D’aquı es dedueix el famos principi d’Arquımedes:

”Tot cos immers en un fluid experimenta una forca ascendent igual al pesdel fluid desallotjat”

Figura C.3: Resultats possibles de submergir un objecte en un fluid: el balanc de forces (esquerra) fara queaquest s’enfonsi (centre) o be puji fins a que una part en quediper sobre de la superfıcie (dreta)

El principi d’Arquımedes ens diu com la pressio hidrostatica afecta als ob-jectes immersos en un fluid, pero si volem entendre com aquests objectes escomportaran hem de tenir en compte que sobre ells tambe actua la forca del pes(Figura C.3). Aleshores es genera una competencia entre elpes, que actua capa baix, i la forca d’Arquımedes, que actua cap adalt. El pesde l’objecte es potescriure, en termes de la seva densitatρo, com

FP = mg = ρogV.

Per tant, comparant les forces C.3 i C.3 podem deduir que el pes de l’objectesera mes gran que la forca d’Arquımedes siρo > ρf , i sera menor siρo < ρf . Enel primer cas, com que la forca que actua cap a baix es mes gran l’objecte tendiraa enfonsar-se (Figura??). En el segon cas, l’objecte tendira a pujar o flotar. Pertant, arribem a la conclusio de que un objecte immers en un fluid flotara o no enfuncio de si la seva densitat es major o menor que la del fluid.

Finalment, ens podem preguntar quina proporcio de l’objecte quedara persobre de la superfıcie del fluid si aquest flota. Aixo es senzill de trobar sabentque la forca d’Arquımedes nomes actua sobre el volum de l’objecte que esta

C.4. EQUACIO DE CONTINUITAT 305

submergit. Per tant, l’objecte de la Figura?? arribara a la seva posicio finald’equilibri quan la forca d’Arquımedes actuant sobre el volum submergit i la delseu pes s’equilibrin. Aixo correspon a la condicio

ρogV = ρfgVs

onVs representa el volum submergit. Simplificant aquesta expressio trobem

Vs =ρoρf

V

que ens diu quin sera el volum submergit en la situacio d’equilibri. Hem de teniren compte que, com que estem suposant que el cos pot flotar s’had’acomplir lacondicioρo < ρf , i per tant aixo vol dir que tambe s’acomplira sempreVs < V ,i per tant el volum submergit sempre es menor que el volum de l’objecte, comes logic.

C.4 Equacio de continuitat

En els apartats anteriors nomes hem considerat questionsd’hidroestatica (fluidsen repos). Ara comencarem a suposar que els fluids tambe poden estar en mo-viment. En aquest cas, una de les condicions que esperem que s’acompleixi esque, tot i el seu moviment, en un fluid s’acompleixi la conservacio de la massa.Per veure que implica aixo considerem la canonada de la Figura C.4, per la qualhi tenim un fluid circulant que en arribar al punt 2 nota com la canonada es fames estreta. Tot i aquest estretament, sabem que el volum delıquid per unitat detemps (es a dir, el cabal) que passa per les regions 1 i 2 ha de ser la mateixa. In-tuitivament sabem que aixo vol dir que l’aigua haura de circular mes rapidamentper la regio 2. Si imposem que s’acompleixi aquesta conservacio del cabalQ(volum per unitat de temps) trobem el seguent:

Q1 = Q2

V

∆t

∣

∣

∣

∣

1

=V

∆t

∣

∣

∣

∣

2

A∆x

∆t

∣

∣

∣

∣

1

=A∆x

∆t

∣

∣

∣

∣

2

Av|1 = Av|2A1v1 = A2v2

Per tant, deduim que la relacio entre les velocitats a la regio 1 i 2 es equi-valent a la relacio entre arees (es a dir, si en l’estretament l’area de la canonada


Figura C.4: Quan l’aigua circula omplint una canonada la quantitat de massa o de volum que passa perunitat de temps al punt1 ha de ser igual a la del punt2

passa a ser la meitat aleshores la velocitat haura de ser el doble que en la regio 1).Les equacions que apareixen a la deduccio anterior son en realitat diferents ma-neres d’expressar la conservacio de la massa en el fluid, i s´on per tant diferentsrepresentacions del que s’anomena l’equacio de continuitat.

Nota:Resulta important diferenciar entre el cabal volumetricQ que hem fetservir aquı (volum de fluid per unitat de temps) i el cabal massic, donat quela paraulacabal en ocasions s’utilitza indistintament per un o l’altre. El cabalmassic es defineix com la massa de fluid que passa per una regi´o per unitat detemps. La seva expressio, doncs, es simplementρQ, es a dir el cabal volumetricmultiplicat per la densitat del fluid.

C.5 Equacio de Bernouilli

De la mateixa manera que quan tenim objectes en moviment la conservacio del’energia ens pot ajudar a entendre moltes caracterıstiques del seu comportament,la mateixa idea es pot aplicar al cas de fluids en moviment. Si una porcio de fluidesta en moviment vol dir que te una certa energia cineticamv2/2, onm es la sevamassa iv la velocitat. Tambe podem considerar els efectes gravitatoris conside-rant una energia potencial gravitatoriamgh, onh es l’alcada respecte d’un puntde referencia arbitrari. Finalment, imaginarem que sobreel fluid podrien actuaraltres forces externesF , les quals donaran lloc a una energiaF∆x, on∆x esel desplacament de la porcio de fluid en una petita unitat detemps. Aplicant elprincipi de conservacio d’energia, tenim que la suma de lestres energies s’ha de

C.6. VISCOSITAT. NOMBRE DE REYNOLDS 307

mantenir constant al llarg del temps

1

2mv2 +mgh+ F∆x = cte

Ara podem dividir la formula anterior entre el volumV de la porcio de fluid, queevidentment tambe es constant. Com que la massa partit pelvolum es igual a ladensitat trobem

1

2ρv2 + ρgh+

F∆x

V= cte

...i com que el volum de la porcio es igual aA∆x, el tercer terme de l’equacio esfa igual a la forcaF dividida per l’areaA, que es la pressio de la forca externa.Per tant el resultat final es

1

2ρv2 + ρgh+ P = cte

Aquesta expressio es coneix com equacio de Bernouilli.Es important senya-lar que, en imposar la conservacio de l’energia, no hem tingut en compte en capmoment que en el fluid puguin intervenir fregaments ni cap tipus de forces quedissipin energia. Per tant, l’equacio de Bernouilli es nomes valida per a fluidssense fregament, tambe anomenatsfluids perfecteso ideals.

Per ultim, tornem a recalcar que l’equacio de Bernouilli expressa que el ter-meρv2/2 + ρgh+ P ha de ser constant per una mateixa porcio de fluidal llargdel temps. Aixı doncs, en principi no es correcte aplicar l’equaci´o de Bernouilliper comparar dues porcions de fluid diferents.

C.6 Viscositat. Nombre de Reynolds

Acabem de veure en el punt anterior que l’equacio de Bernouilli es valida enaquelles situacions on podem suposar que no hi ha efectes de fregament en elfluid. En realitat, pero, en qualsevol fluid en moviment es produeixen sempreforces de fregament internes quan unes porcions de fluidllisquensobre les al-tres. La Figura C.5 mostra un exemple d’una situacio idealitzada: imaginem quetenim un fluid en repos situat a sobre d’una plataforma, i quea la part superiordel fluid apliquem una forca en la direccio que es veu al dibuix. En fer aquestaforca la capa superior del fluid es posara en moviment amb velocitatv. Si exis-teixen forces de fregament aquesta capa superior arrossegara a la capa situadaimmediatament per sota, que tambe es comencara a moure a velocitat menorv − dv, i aixı successivament les capes inferiors tambe acabaran movent-se. Pertant, la capacitat que te la capa superior de fer moure les capes inferios de fluidens dona una idea de si les forces de fregament internes songrans o no. A la


practica, aquestes forces de fregament intern es coneixencom forces de visco-sitat, i la manera de mesurar-les es a partir delcoeficient de viscositat, que esdefineix com

η =F

A

dr

dv,

de manera que siη es gran vol dir que els fregaments interns son importants.

Figura C.5: En aplicar una forca sobre una regio d’un fluid viscos aquesta es transmet d’unes regions (ca-pes) del fluid a les altres

D’acord amb aixo qualsevol fluid en moviment presenta sempre efectes deviscositat. Pero tambe es cert que hi ha situacions en qu`e els efectes de viscositatpoden jugar un paper petit i per tant ser menyspreables. Per exemple, una porciode fluid movent-se molt i molt de pressa notara els efectes deviscositat, perocom que va tant rapid el seu moviment estara fonamentalment determinat per lainercia que porta i no pas pel fregament. El numero de Reynolds es un parametreadimensional que precisament compara els efectes de la viscositat amb els efec-tes de la velocitat (efectes inercials); aquest parametrees defineix com

Re =LUρ

η

on L es la longitud caracterıstica del sistema que estem considerant,U es lavelocitat caracterıstica del fluid iρ es la seva densitat. Veiem, doncs, que elnumero de Reynolds te en compte en el numerador els efectesde la velocitat i enel denominador apareixen els efectes de la viscositat (mitjancant el coeficientη).Aixı doncs, siRe≪1 els efectes del numerador (inercials) son mes grans que elsefectes viscosos; aleshores parlem de que estem a nombre de Reynolds alt. Si esdonaRe ≫ 1 els efectes de viscositat son molt mes importants que els efectesinercials, i diem que ens trobem a nombre de Reynolds baix.

Per entendre que significa tot aixo a nivell practic podemobservar els di-buixos de la Figura E.2, on es veu el moviment d’un fluid a nombre de Rey-nolds baix (esquerra) i nombre de Reynolds alt (dreta). En elcas de l’esquerra

C.7. LLEI DE POISEUILLE 309

els efectes de viscositat (fregament) son molt forts i per tant totes les capes defluid tendeixen a moure’s de forma solidaria, arrossegadesles unes per les altres.Aquesta situacio s’anomena tamberegim laminar. En el dibuix de la dreta, encanvi, trobem una situacio on els efectes inercials son molt importants: el fluides mou molt rapidament i per tant de seguida apareixen irregularitats en el flux(remolins, canvis de direccio, etc). Aquesta situacio esconeix comregim turbu-lent. A banda d’aquestes diferencies a nivell visual, en l’apartat sobre Transportde Materia veurem que algunes propietats del fluid i la manera com interaccionael fluid amb els objectes son forca diferents depenent de siens trobem a baix o aalt numero de Reynolds.

Figura C.6: En aplicar una forca sobre una regio d’un fluid viscos aquesta es transmet d’unes regions (ca-pes) del fluid a les altres

C.7 Llei de Poiseuille

Una vegada introduit el concepte de viscositat podem intentar estudiar com esmouen els fluids viscosos. Aquı considerarem el cas senzilld’un fluid viscosmovent-se a velocitat constant per una canonada cilındrica de radiR (FiguraC.7). Precisament pel fet de tenir en compte la viscositat (que es un efecte defregament) el fluid esta dissipant (perdent en forma de calor) energia durant elseu moviment. Per tant, hem d’introduir algun efecte externper tal de compensaraquesta perdua. A la practica, considerem que necessitemaplicar una diferenciade pressions∆P entre els extrems de la canonada per tal de mantenir el flux avelocitat constant. Hem de tenir en compte que si supossessim que el fluid esideal (sense viscositat) podrıem mantenir el flux sense aplicar cap diferencia depressions i per tant podrıem transportar indefinidament elfluid sense gastar capenergia, la qual cosa no seria realista.


Ara intentem trobar quina es la relacio entre la velocitatdel flux viscos i∆P .Aquesta relacio sortira del fet d’imposar la condicio d’equilibri: com que el fluides mou a velocitat constant, la forca externaFe que empeny el fluid cap a la dreta(deguda a la diferencia de pressions aplicada) s’ha de compensar amb la forcade viscositatFv, que va en direccio contraria al moviment. El problema esque,degut a l’efecte de les parets de la canonada, no tots els punts del fluid es mouenamb la mateixa velocitat: els punts de fluid tocant a les parets es mouen a lamateixa velocitat que la paret (es a dir, zero) i la velocitat augmenta a mida queens apropem al centre de la canonada (Figura C.7). Per tant, necessitem calcularquina es la velocitat en cada punt de l’espai. Per a fer-ho, considerem un cilindreimaginari de radir concentric a la canonada, tal i com es veu a la Figura C.7(dreta). La forca de viscositat entre aquest cilindre imaginari i la resta del fluidde la canonada ve donada per la formula de Newton C.6, de manera que:

Fv = −Alηdv

dr,

on Al = 2πrl es l’area lateral del cilindre imaginari, i el signe negatiu l’hemafegit per indicar que quan el radir augmenta la velocitat disminueix. Per unaaltra banda, la forca externa es igual a la diferencia de pressions multiplicada perl’area on aquesta s’aplica, que es la de la cara circular del cilindre imaginari. Pertant, tenim

Fe = ∆Pπr2.

Figura C.7: Per tal d’entendre les forces i velocitats que actuen en un flux viscos a traves d’una canonadacilındrica (esquerra) resulta necessari considerar primer un cilindre imaginari interior (dreta) iestudiar ll’equilibri de forces en aquell cas

Ara, igualant les dues forces i integrant des del radir fins al radiR (on sabemque la velocitat es 0) trobem

−2πrlηdv

dr= ∆Pπr2

∫ 0

v

dv = −∆P

2lη

∫ R

r

rdr

C.7. LLEI DE POISEUILLE 311

v =∆P

2lη

R2 − r2

2

Aquesta ultima expressio ens dona la velocitat en cada punt dels punts delfluid que estan a distanciar del centre. Observem que la relacio entrev i r esquadratica (v ∼ r2); aixo ens diu que graficament aquesta formula te l’aspected’una parabola, i per tant deduim que el perfil de velocitatsd’un flux viscos alllarg d’una canonada cilındria es parabolic, tal com hemdibuixat a la FiguraC.7. Observem que en el cas particularr = R obtenimv = 0; per tant, lavelocitat efectivament s’anul·la a les parets de la canonada. En canvi, per trobarla velocitat del fluid en el centre de la canonada nomes cal fer r = 0.

Finalment, com que cada punt de la canonada te una velocitatdiferent, resul-ta util determinar la velocitat promig del fluid〈v〉. Fent el promig corresponents’obte

〈v〉 = R2

8lη∆P

Tambe resulta facil trobar el cabal que circula per la canonada. D’acord amb lademostracio de la formula , el cabal es igual a la velocitat del fluid multiplicadaper l’area a traves de la qual aquest passa (en aquest cas,πR2). Per tant, el cabalpromig (resultat que es coneix comLlei de Poiseuille) es

Q = 〈v〉πR2 =πR4

8lη∆P.

APENDIX DTermodinamica

La termodinamica es una ciencia que intenta descriure elcomportament delssistemes fısics i la seva interaccio amb l’entorn a partird’una serie de relaci-ons entre variables macroscopiques (temperatura, pressio, etc). En general, latermodinamica s’encarrega d’estudiar les propietats dels estats d’equilibri d’unsistema (que son aquells estats en els quals les variables no varien amb el temps,i en els quals a mes no existeixen fluxos interns de materia,energia, etc) i comel sistema passa d’un d’aquests estats d’equilibri a un altre (aquests passos s’a-nomenenprocessos termodinamics).

Abans d’entrar a enunciar els principis i lleis en que es basa la termodinamicaes convenient introduir una serie de definicions que al llarg del tema apareixeranper tal de poder seguir millor les explicacions:

-Sistema aıllat: Aquell sistema que no intecanvia materia (partıcules) nienergia amb l’exterior.

-Sistema tancat:Aquell sistema que no intercanvia materia pero sı energiaamb l’exterior.

-Sistema obert:Aquell sistema que pot intercanviar tant materia com energiaamb l’exterior.

-Proces quasiestatic: Proces que passa d’un estat inicial a un altre final pas-sant sempre per estats d’equilibri intermitjos.

Per tal d’entendre millor el significat de la ultima definicio pensem en l’e-xemple de la Figura D.1. Tenim un sistema aıllat dividit en dues parts (esquerrai dreta), a la seva vegada separades per una paret. El sistemaesta en un estatd’equilibri en que la meitat esquerra conte partıcules en moviment (partıculesd’un gas, per exemple) homogeniament distribuides, i la meitat dreta esta bui-da. Si de cop i volta eliminessim la paret del mig el sistema evolucionariarapidament cap a un nou estat d’equilibri on les partıcules del gas es distribuiri-

313

314 APENDIX D. TERMODINAMICA

en homogeniament per tot el sistema. Pero pel mig tindrıem estats que no seriend’equilibri, i per tant el proces no seria quasiestatic.

Figura D.1: L’intercanvi de materia i/o energia entre compartiments d’un recipient ens permet esquematit-zar alguns processos termodinamics tıpics

En canvi, suposem ara que en comptes de treure la paret hi fem un petitforat, poc mes gran que una partıcula del gas. Aleshores passat un cert tempsuna partıcula de l’esquerra passaria pel forat cap a la partdreta i de seguida elsistema arribaria a un nou estat d’equilibri en el qual la meitat dreta del sistemaconte una partıcula. Aixı successivament, les partıcules anirien passant de tanten tant cap a la dreta (i tambe alguna podria tornar cap a l’esquerra) fins que,passat molt de temps, tindrem totes les partıcules homogeniament distribuidesper tot el sistema. El resultat final, doncs, es el mateix queel de treure la paret,pero en aquest cas el sistema hi arriba passant per molts estats d’equilibri, i pertant aquest sı es un proces quasiestatic. Com a consequencia de l’explicaciotrobem, doncs, que un proces quasiestatic es un proces extremadament lent; enconcret, ha de ser molt lent si el comparem amb els temps tıpics que el sistemanecessita per anar assolint cada un dels processos d’equilibri intermitjos.

D.1 Primer principi de la termodin amica

El primer principi de la termodinamica es equivalent a un principi de conservaciode l’energia. En termodinamica, considerem que els sistemes poden intercanviarenergia amb l’entorn basicament en forma de calor (Q) o de treball (W ). Aixıdoncs, l’enunciat del primer principi es pot escriure com:

D.2. CALORIMETRIA 315

”Existeix una funcio d’estatU , a la qual anomenem energia interna, queacompleix per a qualsevol proces termodinamic que la seva variacio es igual alcanvi de calor que experimenta el sistema mes el canvi en forma de treball;es adir

∆U = Q +W”

Aixı doncs, el primer principi ens diu, per una banda, que l’energia internaque guanyi o perdi el sistema ha de venir donada sempre per intercanvis de caloro treball (aixo equival a dir que l’energia nomes passa d’una forma a una altra,pero no es genera ni dessapareix). En segon lloc, el principi ens diu una altracosa important, com es que l’energia internaU ha de ser funcio d’estat. Aixosignifica que si partim d’un estat d’equilibri inicial i li apliquem al sistema unseguit de processos termodinamics tals que al final tornem al lloc de partida(Figura D.2), el valor deU final i l’inicial han de coincidir, independentment delcamı seguit (sigui A, B o C). Aquesta ultima explicacio ens permet introduir unaltre concepte important, el decicle termodinamic, que es defineix com aquellconjunt de processos termodinamics que descriuen un cicletancat (es a dir, enque l’estat inicial i el final coincideixen), com ara els tres exemples de la FiguraD.2.

Figura D.2: Els cicles termodinamics representen una seq¨uencia de processos termodinamics que acabaportant el sistema a l’estat de partida

Finalment, es important senyalar que el treball intercanviat per un sistema alllarg de qualsevol proces quasiestatic segueix l’expressio

W = −P∆V

onP es la pressio iV el volum. Per tant els intercanvis d’energia en forma detreball estan associats a variacions de volum del sistema.

D.2 Calorimetria

Com hem vist la termodinamica introdueix explıcitament el concepte de calorcom a forma d’energia. En aquest apartat intentarem resumirquines son les


propietats principals que tenen els processos d’intercanvi de calor entre sistemes.En primer lloc, resulta important introduir el concepte depoder calorıfic, que esdefineix com l’energia en forma de calor que podem extreure per cada unitat demassa d’un determinat material o substancia. Aquest parametre es el que enspermet coneixer quina es la quantitat d’energia que es potextreure de molts delscombustibles que fem servir a la nostra societat, com ara el carbo, el petroli, etc.A la Taula D.2 es mostren els valors dels poders calorıfics per alguns d’aquestscombustibles mes habituals.

Poder calorıfic (KJ/Kg)Carbo 32

Gas natural 40Gas ciutat 26Benzina 44Hidrogen 141

Una altra pregunta que ens haurıem de plantejar es l’efecte que te sobre unsistema el fet de cedir-li o treure-li calor. Intuitivament, hom contestara que aixoprovocara una variacio de temperatura en el sistema. La llei que ens descriuquina es la variacio de temperatura∆T d’una substancia en donar-li o treure-licalor es

Q = mc∆T,

on veiem que l’intercanvi de calorQ associat a l’escalfament (o refredament)es proporcional a la quantitat de massam de la substancia i al parametrec, quees defineix com elcalor especıfic de la substancia. Aquest parametre, doncs,es una propietat caracterıstica de cada material o subst`ancia que ens diu quantacalor li haurıem de donar a cada kilo d’aquella substanciaper escalfar-la un graucentıgrad (a la Taula D.2 mostrem els valors dec per a diferents substancies).

Solids (J/Kg K) Lıquids (J/Kg K) Gasos (J/Kg K)Gel(00C) 2114 Aigua 4180 Aigua (1000C) 2080Alumini 897 Mercuri 139 Oxigen 918Coure 385 Amonıac 4700 Hidrogen 14300Ferro 450 Benzina 2220 Nitrogen 1040

Cal especificar, pero, que no sempre l’efecte de donar-li o treure-li calor auna substancia ha de ser necessariament un canvi de temperatura. Per exemple,una altra possibilitat que observem frequentment es que la calor cedida a unasubstancia provoqui un proces de canvi de fase. Els canvisde fase son proces-sos que es produeixen a temperatura i pressio constant (perexemple, l’aigua encondicions normals de pressio atmosferica s’evapora exactament a 1000C). En

D.2. CALORIMETRIA 317

aquest cas, la formula que ens dona la quantitat de calor necessaria per a produira una substancia un canvi de fase es

Q = mL

onm es de nou la massa, iL es un parametre anomenatcalor latentde canvi defase. Cada substancia i cada canvi de fase te associat un valor deL caracterıstic;per tant, acostumem a diferenciar entre calor latent de fussio, calor latent de va-poritzacio, etc. A la Taula??mostrem tambe alguns exemples d’aquests valors.

Calors fusio (KJ/Kg) Calors vaporitzacio (KJ/Kg)Aigua 334 2260Oxigen 14 213

Dioxid de carboni 124 574Plom 24 871

Processos de transport de calor

Ara analitzem la calor des del punt de vista de quins processos fısics permetenque aquesta forma d’energia passi d’unes zones a unes altres, o passi d’un cosa un altre. Podem distingir basicament tres processos o modes de transport decalor:

-Conduccio: Es tot aquell proces en el qual la calor es transmet per contacteentre dos cossos o entre parts d’un mateix cos, pero sense que hi hagi un transportde materia (partıcules) associat. Lallei de Fourier ens diu quin es el flux decalorJ (es a dir, la quantitat de calor per unitat de temps i area) que passara perconduccio entre dos cossos en contacte entre els quals existeix una diferencia detemperatures∆T :

J = λ∆T

∆xon λ es un parametre anomenatconductivitat termicaque ens diu com de be omalament condueix la calor aquell cos, i∆x es el gruix de la separacio entre elsdos cossos.

-Conveccio: Es aquell proces tambe per contacte entre objectes pero en elqual el transport de calor va acompanayat tambe d’un transport de materia. Elflux de calor transferit en un proces de conveccio ve donat per

J = h∆T

onh es un parametre caracterıstic de cada substancia que esconeix comparametrede transferenciao parametre de conveccio.

-Radiacio: Es un proces de transport de calor que no necessita pas contacteentre els cossos (de fet, la radiacio es pot propagar sense necessitat que hi hagi


materia) i que es fonamenta en el fet que qualsevol cos, pel fet de tenir una certatemperatura, es converteix en un emissor de radiacio. El flux de radiacio emesper un cos a tamperaturaT ve donat per laLlei de Stefan-Boltzmann:

J = eσT 4

En aquesta equacio,e es un parametre anomenatemissivitatque pot prendrevalors entre0 i 1, i σ es la constant de Stefan (en Sistema Internacional, el seuvalor es5, 67·108 W/m2K4).

Figura D.3: Podem escalfar un got d’aigua mitjancant processos de conduccio (esquerra), conveccio (cen-tre) o radiacio (dreta)

A la Figura D.3 mostrem un exemple per tal d’entendre facilment les di-ferencies entre els tres processos de transport. Si volem escalfar aigua en ungot ho podem fer per conduccio (posant una flama o qualsevol cosa calenta encontacte directe amb el got), per conveccio (col·lacant laflama una distancia persota del got i fent que les partıcules d’aire calent pujin i escalfin l’aigua) o perradiacio (posant, per exemple, el got al sol un dia sense nubol).

D.3 Gasos ideals

La termodinamica es una ciencia general i per tant aplicable a tot tipus de siste-mes, pero resulta en especial util per a entendre les propietats dels gasos. El casmes senzill possible consisteix en suposar que el gas es unconjunt de partıculesen moviment les quals no interactuen entre elles (com que en fase gasosa lespartıcules estan forca separades unes de les altres, aquesta hipotesi es raonable

D.3. GASOS IDEALS 319

en molts casos). En cas que agafem com a valida aquesta hipotesi parlarem degasos ideals. Els gasos ideals acompleixen les igualtats

PV = nRT

U = cvnT,

on la primera expressio permet relacionar la pressio del gasP i el volumV delrecipient que el conte amb el numero de molsn, la temperaturaT i la constantuniversal dels gasosR. Aquesta constant universal val8, 314 Pa·m3/mol K enunitats del Sistema Internacional, tot i que de vegades es ´util fer servir el valor0, 082 atm· l/mol· K. Fent servir la relacio entre volum i densitat (ρ = m/V ) ientre numero de mols i la massa molarM (n = m/M) aquesta relacio es potescriure com

PM = ρRT

la qual cosa resulta mes practic en determinades situacions. La segona expressioa D.1 ens diu que l’energia interna d’un gas ideal es proporcional a la seva tem-peratura, essentcv una constant positiva. El fet que la energia nomes depenguide la temperatura esta en concordancia amb la hipotesi deque el gas sigui ideal:si no hi ha interaccions entre les partıcules la unica energia que aquestes tenenes energia cinetica, i l’energia cinetica de les partıcules sabem intuitivament quedepen de la temperatura del sistema (i no depen, per exemple, del volum delrecipient).

Proces adiabatic en un gas ideal

Es defineix un proces adiabatic com aquell proces termodinamic en el qual noes produeix cap intercanvi de calor. A la practica, ens podem imaginar que aixocorrespon al cas de qualsevol maquina o proces termodinamic que esta perfec-tament aıllat de l’exterior i per tant no permet que s’escapi calor del sistema (oque hi entri).

Aixı, com que en un proces adiabaticQ = 0, l ’expressio del primer principi(equacio D.1) sera

∆U = W = −P∆V,

on hem fet servir tambe l’expressio D.1. Per una altra banda, per un gas ideal lavariacio d’energia interna es pot rescriure, fent servir les expressions D.1 i D.3,de la forma

∆U = cv∆(nT ) =cvR∆(PV )

Ara, ajuntant les dues expressions anteriors i convertint els increments endiferencials s’obte

cvRd (PV ) = −PdV


la qual cosa ens dona una equacio diferencial lineal per les variables pressio ivolum. La solucio d’aquesta equacio diferencial es

PV γ = cte

on el parametreγ es defineix comγ = (cv +R) /cv i s’anomenacoeficientadiabatic. L’equacio D.3 implica que el productePV γ s’ha de mantenir constantal llarg d’un proces adiabatic en un gas ideal, la qual cosaens pot permetrecomparar pressions i volums a l’inici i al final del proces.

D.4 Segon principi de la termodinamica

Ja hem vist com el primer principi imposa que en tot proces termodinamic l’e-nergia s’ha de conservar. Ara be, en tots els processos que es veuen a la FiguraD.4 l’energia es conserva, i malgrat aixo sabem que a la natura nomes observemque tinguin lloc els processos en la direccio de la fletxa capa la dreta, i no alreves. Aixo vol dir que la conservacio de l’energia no potser l’unic principi queens permeti explicar quins processos realment tenen lloc a la natura i quins no;per aquest motiu es fa necessari intriduir un segon principi.

Figura D.4: La nostra intuicio ens diu que nomes els processos en el sentit de la fletxa cap a la dreta tenenlloc a la natura; el segon principi permet donar una interpretacio fısica a aquest fet experimental

D.4. SEGON PRINCIPI DE LA TERMODINAMICA 321

L’enunciat del segon principi es pot escriure de diferents maneres; des delpunt de vista historic les formes mes habituals son l’anomenat enunciat de Clau-sius i l’enunciat de Planck

Clausius: ” Es impossible construir un dispositiu capac de transmetrecalord’un cos fred cap a un altre calent sense cap altre tipus d’efecte”

Planck: ” Es impossible construir un dispositiu capac de convertir ´ıntegramentcalor en treball sense cap altre tipus d’efecte”

Encara que d’entrada semblin diferents, es possible demostrar que els enun-ciats de Clausius i Kelvin son completament equivalents. Fixem-nos, a mes, queaquests enunciats no diuen que sigui impossible passar calor d’un cos fred a unaltre calent o que no es pugui aprofitar l’energia en forma de calor per convertir-la en treball, sino que diuen que es impossible fer aixo sense que hi hagi algunaltre efecte addicional que ens ajudi a realitzar aquest proces.

Una altra manera, mes habitual en els llibres moderns, d’expressar el segonprincipi de la termodinamica es a partir del concepte d’entropia. L’entropia esdefineix com una funcio d’estatS que acompleix per a tot proces quasiestatic lacondicio

∆S =Q

TPensem ara que passaria si apliquem aquesta definicio al primer exemple de

la Figura D.4. En aquest cas hi ha una quantitat de calorQ que surt del sistemacalent i va a parar al fred. Per tant, l’increment d’entropiatotal es la suma delsincrements en cada una de les dues parts:

∆S = ∆S1 +∆S2 =−Q

T1+

Q

T2= Q

(−1

T1+

1

T2

)

= QT1 − T2

T1T2

on el signe negatiu de−Q/T1 apareix perque el primer sistema perd calor. Comque sabem pel dibuix queT1 > T2, de l’expressio anterior obtenim que∆S > 0.En canvi, si la calor anes de la part freda cap a la calenta (cosa que, segonsl’enunciat de Clausius, es impossible) obtindrıem∆S < 0. Aquest exemple,doncs, ens permet entendre el seguent enunciat del segon principi:

” Es impossible que en un sistema aıllat tingui lloc un proces on∆S < 0, esa dir, que faci decreixer l’entropia”.

Tot i que aquesta es actualment la manera mes habitual d’enunciar el segonprincipi, podem observar que nomes ens serveix per predir quins processos sonpossibles o no si el sistema esta aıllat. Tot i aixı, es possible donar una expressiodel segon principi per a altres tipus de sistemes. Nosaltresaquı no explicaremtotes les possibilitats, pero es especialment interessant comentar com seria l’ex-pressio per un sistema en el qual la pressio i la temperatura son constants (ja queaquestes son les condicions en que es donen la majoria de reaccions quımiques ide processos en un laboratori). En aquest cas el segon principi prendria la forma


” Es impossible tenir un proces a temperatura i pressio constants on l’energialliure de Gibbsaugmenti”

...on l’energia lliure de GibbsG es defineix com

G = U − TS + PV.

D.5 Maquines termiques

En discutir el significat del primer principi hem definit un cicle termodinamiccom un conjunt de processos termodinamics que defineixen uncamı tancat. Elsdispositius (maquines) capacos de dur a terme els processos d’un cicle termo-dinamic s’anomenen en generalmaquines termiques. En ocasions cal distingir,pero, entre maquines termiques i refrigeradors, que son dos tipus de dispositiusdiferents, l’esquema dels quals ve indicat a la Figura D.5.

Figura D.5: Esquema de funcionament d’una maquina termica (esquerra) i d’un refrigerador o una bombade calor (dreta)

En el cas d’una maquina termica la idea consisteix en poderaprofitar la calord’un objecte calent (a temperaturaT1) per tal de generar un treball. L’enunciat dePlanck del segon principi diu que no es possible convertir tota la calor en treball,pero sı es possible convertir-ne una part i cedir la restade calor a un objectefred (temperaturaT2). La pregunta que ens podrıem fer aleshores es: quina esla quantitat maxima de calor que podem convertir en treball? Per a trobar-hocomencem per definir el rendiment de la maquina termica, que sera la quantitat

D.5. MAQUINES TERMIQUES 323

de treball que podem obtenir dividit entre la quantitat de calor que treiem del coscalent:

η =W

Q1

Per una altra banda, de l’esquema de la Figura D.5 es dedueix que, per con-servacio de l’energia, s’ha d’acomplirQ1 = W + Q2. Introduint aixo a ladefinicio de rendiment obtenim

η =Q1 −Q2

Q1= 1− Q2

Q1

Per una altra banda, si calculem la variacio d’entropia associada al proces, comhem fet a l’apartat anterior, tenim

∆S = ∆S1 +∆S2 =−Q1

T1+

Q2

T2⇒

⇒ Q2 = T2

(

∆S +Q1

T1

)

⇒

⇒ Q2

Q1= T2

(

∆S

Q1+

1

T1

)

D’acord amb l’expressio anterior, per a obtenir un rendiment el mes granpossible cal que el quocientQ2/Q1 sigui petit . Per una altra banda sabem que,segons el que diu el segon principi de la termodinamica,∆S no pot ser negatiu.Per tant, veiem a partir de l’expressio D.1 que per ferQ2/Q1 petit cal que∆Ssigui zero (que es el valor mes petit que pot tenir). Fent lasubsitucio obtenim

η = 1− T2

T1

Aquest es el rendiment maxim d’una maquina termica, i esconeix com arendiment de Carnot. En realitat aquest rendiment es impossible d’assolir percap maquina real, ja que per obtenir-lo caldria que el proc´es fos quasiestatic(i per tant, infinitament lent). Tot i aixı, la gran importancia del rendiment deCarnot es que ens dona un lımit fısic teoric mes enlladel qual es impossible quecap maquina real pugui arribar.

Examinem ara el cas del refrigerador. Tal com il·lustra la Figura D.5 (dreta),un refrigerador es una maquina que extreu calor d’un objecte fred i el cedeixa un objecte calent. Per tal que aixo sigui possible (es a dir, no violi el segonprincipi) cal addicionalment afegir un treball extern a la maquina. En aquest cas,el rendiment del refrigerador sera igual a la calor que podem extreure del cosfredQ2 dividit pel treball que cal afegir al sistema:

η =Q2

W


Si ara repetim tota la demostracio que hem fet pel cas de la m`auina termicaarribarem a que, per tal que aquest rendiment sigui maxim tambe es necessarique∆S = 0, i en aquest cas el rendiment es pot escriure com

η =T2

T1 − T2

Es important senyalar que el numerador que apareix en aquesta formula potser superior al denominador; es a dir, podem tenir rendiments superiors a 1 (ide fet es habitual que aixo passi en el cas d’un refrigerador). Aixo es una con-sequencia de la definicio de rendiment que hem fet servir aD.5; la calor queextreiem de l’objecte fred pot ser superior al treball que afegim a la maquinasense que cap principi de la termodinamica es violi.

APENDIX EFenomens de transport de materia

E.1 Difusio

Si ens fos possible observar les molecules de gas que formenl’aire que ensenvolta trobarıem que aquestes es mouen a velocitats molt grans, de l’ordre decentenars de metres per segon. Aixo contrasta una mica amb la nostra intuicio,ja que normalment quan emetem un gas a l’atmosfera (per exemple, per unaxemeneia) nosaltres no observem que les partıcules es dispersin tant de pressa.L’explicacio es que les mol·lecules dels gasos estan contınuament xocant lesunes amb les altres de manera que van endavant i enrera, i d’aquesta manerano aconsegueixen avancar gaire, tot i moure’s a gran velocitat. Aquest tipus demoviment, que tambe es pot observar en partıcules mes grans (per exemple, enpartıcules de pols vistes al microscopi), es el que s’anomena moviment Brownia,ja que Robert Brown va ser el primer en observar-lo l’any 1827.

Com que el moviment de les partıcules es forca caotic resulta difıcil aplicardirectament les lleis de Newton per estudiar-lo. Un model senzill per entendre’les l’anomenatrandom walk, o camı aleatori (Figura E.1). Imaginem que lapartıcula es troba al puntx = 0 al temps incial (considerem nomes una dimensioper fer-ho mes facil). Com que no sabem com seran els xocs que rebra, imaginemque quan ha passat un temps∆t la partıcula, o be ha viatjat una distancia∆xcap a la dreta (amb probabilitat 1/2), o be ha fet el mateix camı cap a l’esquerra(amb probabilitat 1/2). Els numeros en negreta del dibuix ens diuen quina es laprobabilitat de que la partıcula es trobi alla. A continuacio, repetim el proces: lapartıcula, independentment de si ha anat abans cap a la dreta o cap a l’esquerra,podra tornar a fer el salt a la dreta o l’esquerra amb probabilitat 1/2. Aixı, acada pas de temps en resulten successivament les probabilitats que es donen enel dibuix.

325

326 APENDIX E. FENOMENS DE TRANSPORT DE MATERIA

Figura E.1: Esquema de l’evolucio en l’espai i el temps d’unproces de camı aleatori, amb probabilitat1/2de salt a dreta o esquerra

Tot i que el random walk pot semblar un model excessivament simple ensdona una bona descripcio de que succeeix en la dispersiode substancies en gasosi lıquids. Quan estudiem el lımit del random walk en que∆x → 0 i ∆t → 0 (esa dir, els salts son molt petits i molt frequents) parlem deprocessos de difusio.Estudiar aquest lımit esta plenament justificat, per exemple, en el cas de lesmolecules d’un gas, ja que en aquest cas∆x es de l’ordre de nanometres i∆t esde l’ordre de nanosegons.

Un proces de difusio ve descrit pel que s’anomena equaciode difusio, quees una equacio diferencial relativament complicada. Pero en realitat el que ensinteressa a nosaltres no es aquesta equacio, sino la sevasolucio. Pel cas d’unapartıcula com la de la Figura E.1 que comenca a difondre a partir de x = 0 atempst = 0, la solucio es

P (x, t) =1√4πDt

e−x2/4Dt

que ens diu quina es la probabilitatP (x, t) de que la partıcula es trobi a la posiciox passat un tempst. El parametreD s’anomena coeficient de difusio i te un valorcaracterıstic per a cada substancia. Com mes gran es aquest parametreD mes depressa es dispersaran les partıcules.

L’equacio anterior nomes es valida per dispersio en una dimensio. Pel cas3D, que seria el que tindrıem habitualment a la nostra vida quotidiana, obtenim

P (r, t) =1

(4πDt)3/2e−r2/4Dt

on ara anomenemr (en comptes dex) a la coordenada de l’espai per deixar clarque ens trobem en 3D. Aixo ens permet entendre com es dispersa un contaminant

E.2. MOVIMENT DE COSSOS EN FLUIDS. REGIM VISCOS I INERCIAL 327

(o qualsevol substancia) en un fluid: si en comptes d’una sola partıcula el quetenim es un abocament de moltes partıcules (amb massa total m) en un mateixpunt a la vegada, la funcio

c(r, t) =m

(4πDt)3/2e−r2/4Dt

ens dira quina es la concentracioc(r, t) de partıcules que tenim a una distanciar de l’abocament passat un tempst. Per observar com es el comportament,podem representarc(r, t) en funcio der per diferentst (Figura??, a l’esquerra).En aquest cas es veu com la concentracio en el centre (r = 0) va decreixentdegut a la dispersio, que fa tambe que el tamany de la ”taca”de contaminantvagi creixent. Si representemc(r, t) en funcio del temps per diferents valorsde r (es a dir, a valors concrets de la distancia al punt d’abocament) trobarem(Figura??, dreta) que al comencamentc(r, t) es molt petit (la ”taca”encara no haarribat a aquella posicio), despresc(r, t) va creixent a mida que la ”taca”s’apropai posteriormentc(r, t) torna a decreixer perque la ”taca”es dispersa molt i laconcentracio a tots els punts de l’espai acaba tendint a zero. Aixı, doncs hi ha untemps (tmax) pel qual la concentracio en un punt es fa maxima (cmax). Els valorsd’aquest temps i aquesta concentracio es poden deduir buscant el maxim relatiude E.1 i venen donats per

tmax =r2

6Dcmax = 0.0736

m

r3

D’acord amb la primera d’aquestes dues expressions, s’acostuma a definircom aradi d’una taca de contaminanta la distanciar =

√6Dt. Aixo correspon

a la distancia a la qual just en aquell instant de temps s’arriba al pic de concen-tracio que apareix al grafic de la dreta de la Figura??. Mes en general, si encomptes de restringir-nos al cas en 3 dimensions ho fem per unmedi amb unnombred qualsevol de dimensions la formula que s’obte es

r =√2dDt

E.2 Moviment de cossos en fluids. Regim viscos iinercial

Quan un cos es mou per un fluid aquest rep una forca que s’oposaal moviment,i que te el seu origen en els xocs de l’objecte amb les partıcules del fluid. Cadaxoc transfereix una part de l’energia de l’objecte cap al fluid.

Un sol xoc no provocaria canvis significatius en la partıcula mobil, pero lasuma de totes les petites transferencies individuals de cada partıcula dona com aresultat una forca amb un valor apreciable a nivell macroscopic.

328 APENDIX E. FENOMENS DE TRANSPORT DE MATERIA

El valor de la forca depen de la velocitat de l’objecte, i es mes gran per avelocitats mes grans; en concret tenim

FD =1

2ρCDAv

2 (E.1)

on A es l’area transversal de l’objecte (l’area que observarıem si el veiessimvenir cap a nosaltres),v es la seva velocitat,ρ la densitat del fluid iCD uncoeficient que depen del regim en que ens trobem. Aquest vedeterminat per unamagnitud adimensional anomenada nombre de Reynolds

Re =ρRv

η(E.2)

on ρ i η son respectivament la densitat i la viscositat del fluid peron es moul’objecte iR i v la seva mida tıpica (radi) i la seva velocitat.

Quan el nombre de Reynolds es gran (Re>> 1), podem prendre el coeficientCD com a constant (CD = 0.34 per a una esfera). Quan es petit (Re<< 1), elcoeficient depen de forma inversament proporcional a la velocitat, fent que siguimes habitual expressar la forca de friccio com la llei de Stokes que per a unaesfera te la forma

FD = 6πρηRv. (E.3)

Per a valors intermedis el valor del coeficientCD varia de tal forma amb lavelocitat que no resulta util treballar amb cap de les dues aproximacions anteri-ors. En aquesta zona cal anar amb compte a l’hora de calcular les friccions quenota el cos.

Si no sabem en quin regim ens trobem a l’hora de plantejar el problema, laforma de treballar sera la seguent:

• Decidim quina de les dues aproximacions creiem que s’adequa al nostremodel

• Obtenim la velocitat de l’objecte

• Calculem el nombre de Reynolds i comprovem si ens trobem en el regimpreviament decidit

• Si la prova del nombre de Reynolds ens dona una incongruencia, repetimel proces canviant d’aproximacio.

E.2. MOVIMENT DE COSSOS EN FLUIDS. REGIM VISCOS I INERCIAL 329

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

Re

10-1

100

101

102

103

104

105

CD

Stokes (F=6πηR

v)

Inercial (F=12(0.34)ρAv2 )

Figura E.2: Coeficient de friccioCD per a una esfera movent-se en un fluid en funcio del nombre de Rey-nolds. Per a nombres de Reynolds elevats ens trobem en el regim inercial, i per tant es millorutilitzar un coeficient constant de 0.34 i la dependencia amb la velocitat es quadratica. Per anombres de Reynolds petits s’utilitza l’aproximacio de Stokes, on la dependencia final amb lavelocitat es lineal-

APENDIX FOscil·lacions i ones

F.1 Moviment oscil·latori

Un moviment oscil·latori, com el seu nom indica, es un moviment que es donaal voltant d’un punt d’equilibri de manera mes o menys peri`odica. Per tal queaquest moviment pugui donar-se ha d’existir alguna forca ointeraccio que facique la partıcula o l’objecte en moviment tingui sempre una certa tendencia aanar cap a aquest centre o punt d’equilibri. A les forces que provoquen aquestefecte se les acostuma a anomenarforces recuperadores(en el sentit que, quan lapartıcula s’allunya, aquestes forces tenen tendencia a fer que la partıcularecuperila posicio d’equilibri). En funcio de les propietats que tingui la forca recupera-dora el moviment oscil·latori tindra tambe propietats diferents. Per exemple, elcas mes senzill, i que s’acostuma a fer servir sovint, es eld’una forca que esproporcional a la distancia∆x de la partıcula al punt d’equilibri:

F = −k∆x.

on k es una constant positiva, i el signe negatiu ens indica que la forca va ensentit oposat al desplacament (per exemple, si la partıcula marxa cap a l’esquerrala forca actua cap a la dreta per fer-la tornar). Quan sobre la partıcula nomesactua una forca d’aquest tipus, el moviment resultant es coneix commovimentharmonic simple(mhs).

Per a visualitzar-ho mes facilment, podem aplicar aquesta idea per exempleal moviment d’una molla (Figura F.1). En aquest cas particular la formula ()es coneix com laLlei de Hooke, i la constantk rep el nom decontant elastica.Si la molla se separa de la seva posicio d’equilibri x0 fins a una altra posicioxm i es deixa anar, el seu moviment vindra determinat per l’efecte de la forca

331

332 APENDIX F. OSCIL·LACIONS I ONES

Figura F.1: Estirament d’una molla des de la posicio d’equilibri x0 fins una posicioxm

recuperadora. A partir de la 2a llei de Newton trobem que l’acceleracio ha devaler

a =F

m= − k

m∆x

i si ara apliquem les lleis de la cinematica (v = dx/dt i a = dv/dt) podemdeterminar les equacions de la posiciox i la velocitatv al llarg del temps:

x = x0 + xm cos

(

k

mt

)

v = −kxm

msin

(

k

mt

)

on a la distanciaxm − x0 (que es la distancia maxima que es separa la molla delcentre) se l’anomenaamplitud de l’oscil·lacio. Aquestes formules representenles equacions del mhs, i son valides tant per una molla com per qualsevol altremoviment subjecte unicament a una forca recuperadora deltipus (). Cal especi-ficar que el parametrek/m que apareix a les equacions es el que determina comde rapid oscil·la la molla; d’acord amb aixo, es defineix lafrequencia angulard’oscil·lacio com

ω =

√

k

m.

Una de les propietats importants que es pot deduir de les equacions () es el fetque el mhs permet a la partıcula (o la molla) oscil·lar indefinidament, per molttemps que passi (Figura F.2, esquerra). Aixo contrasta ambla idea intuitiva queles molles o qualsevol altre objecte oscil·lant acaben aturant-se si deixem passarprou temps i no els hi donem alguna forca extra. Logicament, aixo no passa enel mhs perque no hem tingut en compte els efectes de fregament, que farien quela molla anes perdent energia a mida que passes el temps. Sivolguessim teniren compte aixo, haurıem d’afegir a la forca recuperadoraalgun tipus de forca defregament:

F = −k∆x+ FF

F.2. RESSONANCIA 333

i aleshores el moviment resultant seria oscil·lant pero les oscil·lacions anirienfent-se mes i mes petites fins que la molla (o la particula)s’atures (Figura F.2, alcentre). Aquest moviment s’anomenamoviment oscil·latori esmorteit. Encara hiha una altra possibilitat, i es que la forca de fregamentFF fos tan intensa que lapartıcula no arribes ni tan sols a fer la primera oscil·lacio, sino que anes apropant-se mica en mica a la posicio d’equilibri i es quedes aturadaen arribar-hi (FiguraF.2, a la dreta). En aquest cas parlem demoviment oscil·latori sobreesmorteit.

Figura F.2: Oscilacions tıpiques d’una molla en el cas harmonic (esquerra), esmorteıt (centre) i sobrees-morteıt (dreta)

F.2 Ressonancia

Com hem vist a la formula (), tota molla te associada una frequencia d’oscil·lacioω. En realitat tots els objectes (no nomes les molles) vibrenquan se’ls sotmet auna determinada forca; el que succeeix es que normalment en els objectes solidsaquestes oscil·lacions son molt petites i per tant no son apreciables a simple vista.Per tant, tots els objectes tenen associada una certa frequencia d’oscil·lacio, ques’acostuma a anomenarfrequencia natural.

La pregunta que ens fem ara es: que succeeix si a un objecte li apliquem unaforca externa oscil·lant? Aquesta forca externa podria tenir, en un cas senzill, laforma

F = F0 cos (ω′t)

on F0 es simplement una constant que ens indica com d’intensa esla forca, iω′ es la frequencia a la qual oscil·la la forca. Si a un objecte (per exemple, auna molla) que esta incialment en la seva posicio d’equilibri li apliquem aquestaforca, el que aconseguirem es treure la molla de la posici´o d’equilibri i en aquellmoment apareix la forca recuperadora que tendeix a portar-la a la situacio inicialde nou. La combinacio de les dues forces (la forca externa oscil·lant mes la forcarecuperadora) donara lloc a un moviment tambe oscil·latori pero que, en la ma-joria de casos, es menys regular (Figura F.3, esquerra). Pero existeix una situacioespecialment interessant, que es el cas en que la frequencia externaω′ coincidei-xi amb la frequencia naturalω de l’objecte. Aleshores s’acabara arribant sempre


a una situacio en que quan la molla s’esta movent cap a la dreta, la forca externatambe va cap a la dreta i per tant amplifica el moviment; i el mateix passara quanla molla es mou cap a l’esquerra. Per tant el que veurem es quea partir d’uncert moment l’amplitud del moviment es va fent mes i mes gran cada vegada(Figura F.3, dreta). A efectes practics, aixo voldra dirque les oscil·lacions de lamolla o de l’objecte que sigui es faran cada vegada mes grans. Quan aixo passadiem que s’ha produit un fenomen de ressonancia, o que l’objecte ha entrat enressonancia.

Figura F.3: Oscilacions tıpiques d’una molla en el cas forc¸at. El cas de l’esquerra correspon a frequenciesde forcament i d’oscil·lacio forca diferents i el de la dreta correspon al cas en que les duesfrequencies son practicament identiques (resonancia)

No es estrany trobar-nos a la vida quotidiana amb fenomens de ressonancia.Per exemple, es tıpic quan anem en cotxe a determinades velocitats que hi hagideterminades peces o objectes del cotxe (el canvi de marxa, oalgun objecte quetenim a la guantera) que comencem a vibrar de forma molt apreciable. Aixo esperque les vibracions provocades pel moviment del cotxe entren en ressonanciaamb aquests objectes.

Finalment, es important comentar que a la practica no observem mai que unfenomen de ressonancia faci augmentar l’amplitud d’oscil·lacio fins a l’infinit,com soggereix el grafic de la dreta de la Figura F.3. De nou, aixo es perque en larealitat sempre existeixen fenomens de fregament que evitaran que aixo arribi apassar.

F.3 Moviment ondulatori

Una ona es defineix com un fenomen d’oscil·lacio que va acompanyat d’unapropagacio d’energia en una determinada direccio. Per exemple, quan sacsejemverticalment l’extrem d’una corda fem que una porcio de corda oscil·li tambe

F.3. MOVIMENT ONDULATORI 335

en direccio vertical; a la vegada, l’energia d’aquesta sacsejada es va transmetentdes d’un extrem de la corda fins a l’altre, i al final tenim que l’altre extrem tambeexperimenta l’oscil·lacio (Figura F.4).

Figura F.4: Oscilacions transmeses amb la ma a una corda en sentit transversal (esquerra) i longitudinal(dreta)

Es important mencionar que existeixen dos tipus d’ones:longitudinals itransversals. En les ones transversals la direccio en la qual oscil·len les partıculeses perpendicular a la direccio de propagacio de l’energia. Per exemple, en l’e-xemple de la corda que hem posat a l’esquerra la corda oscil·la verticalmentpero l’energia es propaga en direccio horitzontal; seria, doncs, una ona transver-sal. Altres exemples importants d’ones transversals son:les ones del mar, lesones de llum, i en general qualsevol ona electromagnetica.

En les ones longitudinals la direccio d’oscil·lacio i de propagacio son la ma-teixa. Per exemple, imaginem que agafem una corda elasticai la lliguem delsdos extrems de manera que quedi ben tensada i en posicio horitzontal. Si ara femuna sacsejada en la direccio de la corda aquesta energia es transmetra a tots elspunts de la corda, els quals oscil·laran en la mateixa direccio horitzontal (FiguraF.4, dreta); aquest cas es mes senzill de visualitzar si suposem que la corda deldibuix es una mica elastica. Un altre exemple important d’ona longitudinal, comveurem, son les ones sonores.

Sabem intuitivament que una ona (en el cas que sigui transversal, ja que re-sulta mes senzill de dibuixar) te l’aspecte que apareix a la Figura F.5, i que amida que passa el temps es va desplacant en l’espai cap a la dreta o l’esquer-ra. Com podem descriure aquest comportament matematicament? Aixo es famitjancant l’anomendafuncio d’ona, que en general te la forma

y = A sin (ωt− kx+ φ)

on y s’acostuma a anomenarelongacio, A es l’amplitud de l’ona, ω es la sevafrequencia angular, k es elnombre d’ones, φ es lafase inicial i t es el temps.A mes, es habitual anomenar al conjuntωt − kx + φ com la fase de l’ona. Sidonem valors a tots aquests parametres i representem graficamenty en funcio dex obtindrem exactament el grafic de la Figura F.5, i per tant aquesta funcio ensdescriu completament el comportament de l’ona.


Figura F.5: Aspecte tıpic en el pla posicio-temps d’una ona transversal amb forma sinusoidal

Es important senyalar que, a mes dels parametres que apareixen a la formula(), hi ha altres parametres associats a l’ona que tambe valla pena definit donadala seva importancia:

-Longitud d’ona (λ): Es la distancia entre dos pics consecutius de l’ona (veu-re Figura F.5).

-Perıode de l’ona (T ): Temps que triga l’ona a fer una oscil·lacio completa.-Frequencia de l’ona (f ): Numero d’oscil·lacions que fa l’ona en cada unitat

de temps.-Velocitat de propagacio (v): Velocitat a la qual avanca l’ona en la direccio

de propagacio.Es important no confondre la frequenciaf amb la frequencia angularω de-

finida abans, tot i que una es proporcional a l’altra. La relacio entre ambdueses

ω = 2πf.

Tammateix, la longitud d’ona, el perıode i la velocitat de propagacio es podendeterminar tambe a partir dels parametresω, k que apareixen a l’equacio (). Lesformules corresponents son

λ =2π

kT =

2π

ω=

1

fv =

ω

k.

F.4. INTERFERENCIA I ONES ESTACIONARIES 337

F.4 Interfer encia i ones estacionaries

Quan dues o mes ones es troben en alguna regio de l’espai (es a dir, interferei-xen), per tal de determinar quina es la intensitat resultant en aquell punt s’aplicael principi de superposicio. La idea d’aquest principi, que simplement diu que laintensitat total en cada punt de l’espai sera igual a la intensitat produida per cadaona per separat, es representa a la Figura F.6. Alla es veu com la ona 1 i la ona2, en trobar-se es superposen (es sumen) una a l’altra i finalment passen de llarguna de l’altra sense que la superposicio les hagi afectat.

Figura F.6: Il·lustracio del principi de superposicio per dues ones1 i 2 que es viatgen en direccions oposadesi es creuen una amb l’altra

La idea de superposicio ens permet explicar, per exemple, la formacio d’onesestacionaries en l’interior de conductes (com ara en les caixes de ressonanciadels instruments musicals). Suposem que tenim una ona (per exemple, formadaper una corda) en l’interior d’un conducte allargat de longitudL. Si aquesta onarebota contra les parets es produira una superposicio entre l’ona d’anada i la queha rebotat i torna. Si la longitud del conducte es igual a un numero enter devegades la longitud d’ona es produira un fenomen de superposicio que dona lloca una com la que apareix a la Figura F.7, i que rep el nom d’ona estacionaria.Pel fet que les ones estacionaries perduren en l’interior dels conductes (o elsobjectes, en general) mantenint la mateixa forma, estan molts relacionades ambels fenomens de ressonancia i de vibracio dels objectes.

L’ona estacionaria de major longitud d’ona que es pot formar en un determi-nat recinte rep el nom d’armonic fonamentalo primer armonic. Aixı successiva-ment, les seguents ones estacionaries que es puguin formar en el recinte rebranel nom de segon, tercer, quart... armonic. A la Figura F.8 mostrem els primersarmonics pel cas d’una ona que estigui fixa pels dos extrems del conducte (casa,com per exemple el cas d’una corda lligada a dos extrems fixos)i pel cas d’unaona fixa per un sol extrem (b). En el cas de l’ona fixa pels dos extrems es potveure com la longitud d’ona acompleixλ = L/2 pel primer harmonic,λ = L pelsegon, etc. En general es pot escriure per qualsevol armonic n la seva longitudd’ona com

λ =n

2L.


Figura F.7: Aspecte d’una ona estacionaria en l’interior d’un conducte tancat. Les diferents lınies represen-ten la mateixa ona en diferents instants de temps, fet que permet apreciar els punts d’oscil·laciomaxima (ventres) i els punts que no oscil·len (nodes)

i en el segon cas (casb) s’acompleix

λ =2n− 1

4L.

Figura F.8: Primers armonics a l’interior d’un conducte tancat (esquerra) i un conducte semiobert (dreta)

F.5 Ones sonores

Les ones sonores son ones de pressio que es propaguen a traves d’un medi qual-sevol (tot i que en la vida quotidiana estem sobretot acostumats a observar laseva propagacio per l’aire). La forma en que es generen aquestes ones de pressioes la seguent. Imaginem que emetem un so amb la boca; en fer-ho el que fem

F.5. ONES SONORES 339

es fer una pressio sobre les partıcules d’aire que estan situades a la zona (FiguraF.9). Com a consequencia d’aquesta pressio externa les mol·lecules comencarana vibrar i a transmetre’s aquesta energia de vibracio d’unes a les altres, donantaixı lloc a l’ona de pressio. Com es pot observar, la direccio en la qual vibrenles mol·lecules coincideix amb la direccio en la qual es propaga l’ona de pressio;per tant, deduim que les ones sonores son longitudinals. sien comptes de pensaren propagacio per l’aire pensem en un medi solid, podem imaginar que donemun petit cop a un material. La pressio del cop es transmet perles mol·lecules delmaterial de la mateixa manera que en el cas de l’aire, i dona lloc tambe a unaona sonora.

Figura F.9: Exemple de fornacio d’ones de pressio (sonores) en medi gasos (esquerra) i en un medi solid(dreta)

La velocitat de propagacio del so (es a dir, de les ones sonores) te doncs molta veure amb les propietats de vibracio del medi en que ens trobem.Es per aquestmotiu que la velocitat del so te un valor caracterıstic pera cada tipus de material;a la Taula F.5 apareixen alguns exemples d’aquests valors caracterıstics.

Solids (200) (m/s) Lıquids (250C) (m/s) Gasos (1 atm,00C) (m/s)Ferro 5130 Aigua 1493 Aire 331Plom 1230 Mercuri 1450 Oxigen 317Coure 3750 Alcohol 1210 Hidrogen 1269Granit 6000 Querose 1315 Nitrogen 339

Per altra banda, un concepte important relatiu a les ones sonores (tambeaplicable en general a altres tipus d’ones) es el concepte d’ intensitat de l’o-na. Aquest es mesura com la potencia de l’ona (energia generada per unitatde temps) per unitat de superfıcie:

I =P

S.

Aixı, doncs, en el cas d’una ona sonora emesa en un punt i que es propagalliurement per un espai en 3 dimensions sense obstacles, l’ona sonora adoptara


una forma esferica i per tant la superfıcieS correspondra a l’area d’una esfera.Aixo permet escriure

I =P

4πR2

que ens diu quina es la intensitat que ens arriba d’una ona depotenciaP siens col·loquem a una distanciaR del punt d’emissio. Hem de tenir en compteque, per la seva definicio, la intensitat d’expressa en unitats de potencia partitper unitats d’area (W/m2, per exemple). A la vida real, pero, nosaltres estemacostumats a estimar i mesurar les intensitats del so en decibels; en aquestaescala es defineix com

I (dB) = 10 logI

10−12

onI representa la intensitat en W/m2. En el Capıtol 19, dedicat a la contaminacioacustica, explicarem el per que d’aquesta escala i n’analitzarem les propietatsprincipals.

Finalment, resulta important tambe relacionar la intensitat d’una ona sonoraamb el nivell de pressioPs que es transmet a traves de l’aire. La relacio entreambdues es

I =P 2

ρc

onρ es la densitat del medi (aire, normalment) ic es la velocitat del so en aquellmedi (consulteu Taula F.5).

F.6 Efecte Doppler

L’efecte Doppler es un altre fenomen de naturalesa ondulatoria que acostumaa tenir importancia en el cas de les ones sonores, tot i que pot donar-se tambeen qualsevol altre tipus d’ones. Aquest fenomen es basa en ladiferencia defrequencies que existeix entre l’ona que emet un emissor ila que rep un recpetorquan els dos estan apropant-se o allunyant-se un de l’altre.

Per a entendre el que succeeix en aquesta situacio considerem el cas repre-sentat a la Figura F.10, en que l’emissor d’ones s’esta apropant cap al receptora velocitatv. Les ones que emet l’emissor tenen velocitat de propagaciov0 ifrequenciaf0. Per tant, per definicio l’emissor emetf oscil·lacions a cada instantde temps, i la distancia entre dues oscil·lacions hauria deser igual a la longitudd’ona que hem definit en l’apartat de Moviment Ondulatori. Lalongitud d’onaval, segons les Equacions F.3,

λ0 =2π

k0= v0

2π

ω0=

v0f0

F.6. EFECTE DOPPLER 341

Figura F.10: Il·lustracio de l’efecte Doppler per un emisor (tren) en moviment i un receptor (oıda) aturat.Els numeros fan referencia a diferents ones que emet el tren ens instants successius (1, 2, 3, 4)de temps, de forma que les ones arriben mes properes (amb mes frequencia) a l’emissor

El problema es que des que emet una oscil·lacio fins que emetla seguentpassa un temps, durant el qual l’emissor avanca. Per tant, la separacio real entredues oscil·lacions que viatgen per l’aire (i per tant, la separacio tal com arribaraal receptor) es

λ =v0 − v

f0ja que a la velocitat de l’ona li hem de restar la velocitat queporta l’emissor enla mateixa direccio.Es a dir, la separacioλ es mes petita que la separacioλ0

degut al moviment de l’emissor. I com que la longitud d’ona esfa mes petita ila velocitat de propagacio de l’ona no canvia (es la velocitat de propagacio enel medi) resulta que la frequencia que arriba al receptor ´es tambe diferent de lafrequenciaf0 de l’emissor. En concret, s’obte

f =v0λ

=v0

v0 − vf0

Per tant, el receptor rep una frequenciaf mes gran que la frequenciaf queha sortir de l’emissor. Si l’emissor s’estes allunyant delreceptor en comptesd’acostar-s’hi la unica cosa que canviaria es que la velocitat v aniria en direc-cio contraria; per tant repetint el calcul trobarıem que la frequencia que rep elreceptor es

f =v0

v0 + vf0


i per tant es mes petita quef0. Aquesta variacio de frequencies la podem per-cebre a vegades a la nostra vida quotidiana. Per exemple, quan sentim una am-bulancia apropar-se a nosaltres sentim la sirena amb un so mes agut (es a dir, unso de frequencia mes elevada), i en canvi quan l’ambulancia arriba a on estem icomenca a allunyar-se sentim un so mes greu (frequenciames petita).

L’efecte Doppler tambe es dona quan el qui es mou es el receptor en comptesde l’emissor, o be quan els dos es mouen a la vegada. La formula general, que teen compte totes les possibilitats, es

f =v0 ± vrv0 ± ve

f0,

on vr es la velocitat del receptor ive es la velocitat de l’emissor. Els signes±que apareixen indiquen que s’ha d’escollir el positiu o el negatiu segons si elreceptor o l’emissor s’allunyen o s’apropen a l’altre. En concret, si el receptores mou en direccio a l’emissor, en el numerador farem servirel signe positiu, i sies mou en direccio contraria farem servir el negatiu. Per contra, si l’emissor esmou cap al receptor fem servir en el denominador el signe negatiu, i si es mouen direccio contraria fem servir el negatiu.

Espectre electromagnetic

Els camps electromagnetics (les propietats dels quals estudiarem en el tema d’E-lectromagnetisme) pot demostrar-se que es comporten en realitat com ones, fetque dona lloc al terme ona electromagnetica. Les ones electromagnetiques sonones transversals i engloben la gran majoria de les ones que ens envolten en lanostra vida quotidiana, comencant per la llum i continuantper les ones ultravio-lades, els infrorojos, les microones, etc.

Les ones electromagnetiques es desplacen a la velocitat dela llum c (que val3 · 108 m/s en el buit). D’acord amb aixo i amb la formula la seva frequencia ilongitud d’ona estan relacionades mitjancant l’expressio

f =c

λ

En funcio de quina frequencia tingui l’ona electromagn`etica les ones rebenun nom o un altre, i tenen unes aplicacions potencials o unes altres (pel fet queles ones de major frequencia son mes energetiques, i a l’inreves). Aquesta infor-macio es resumeix en l’anomenatespectre electromagnetic (Figura F.11).

F.6. EFECTE DOPPLER 343

Figura F.11: Longituds d’ona i frequencies tıpiques dels diferents tipus d’ona que composen l’espectreelectromagnetic

APENDIX GElectromagnetisme

G.1 Electroestatica

Sabem que la carrega electrica es una propietat de les partıcules que constituei-xen la materia i que es manifesta en una serie d’interaccions que donen lloc alque anomenem fenomens electrics. En aquest apartat començarem per estudi-ar aquestes interaccions en el cas en que les partıcules carregades es troben enrepos.

La carrega electrica pot ser de signe negatiu o positiu, laqual cosa defineixel caracter de les forces electriques entre elles (com sabem, carregues del mateixsigne es repel·len i carregues de signe oposat s’atreuen).A mes, la seva intensitates mesura en Coulombs (C) si l’expressem en unitats del Sistema Internacional.L’expressio que ens dona la forca electrica que fa una càrrega d’intensitatq1sobre una altra carregaq2 es laLlei de Coulomb:

F12 =Kq1q2r2

on r es la distancia entre les carregues. Aquesta forca està aplicada sobreq2 iapunta en la direccio que va des de la posicio deq1 fins a la deq2 (veure FiguraG.1). Finalment,K es una constant caracterıstica del medi on es troben lescarregues i que s’anomenaconstant electrica. En el cas de considerar carreguesen el buit el valor d’aquesta constant esK = 9 · 109 N/C2m2. Evidentment, si elque volguessim mesurar es la forcaF21 que fa la carregaq2 sobreq1 la formulaseria la mateixa, excepte que ara la forca estaria aplicadasobreq1 i aniria ensentit contrari aF12.

Una vegada descrit el comportament de la forca electrica,podem introduir elconcepte de camp electric d’una carrega, que es pot definircom la forca electrica

345

346 APENDIX G. ELECTROMAGNETISME

Figura G.1: Forca recıproca entre dues carregues electriques del mateix signe separades una distanciar

per unitat de carrega (per tant, les unitats de camp electric son Newtons partitper Coulomb). Continuant amb l’exemple de la Figura G.1, el camp electricE1

creat per la carregaq1 seria igual a la forca que aquesta provocaria en una carregaunitat (es a dir, de 1 Coulomb) situada en un punt qualsevol de l’espai. Aixo espot escriure com

E1 =F12

q2=

Kq1r2

Per tal d’entendre el concepte de camp electric a nivell gr`afic, moltes vegadesaquest camp (i en general qualsevol altre tipus de camp vectorial) es representamitjancant les anomenadesl ınies de camp(Figura G.2), que ens diuen cap a on esmouria una carrega unitat col·locada en cada punt de l’espai com a consequenciade la carregaq1 (o tambe d’un conjunt de carregues, tal com es veu a l’exemplede la dreta de la figura).

Per una altra banda, pel fet d’existir una forca electricaentre carregues aques-ta forca porta una energia associada, i com que la forca nomes depen de ladistancia entre carregues (i no de la posicio de cada una d’elles per separat)podem parlar d’energia potencial electrica. D’acord amb la definicio de treballi d’energia potencial (Apartats B.1 i B.3, respectivament), la variacio d’ener-gia potencial electrica que experimentaq1 degut a la presencia deq2 es igual al

G.2. CIRCUITS I CORRENT ELECTRIC 347

Figura G.2: Les lınies de camp electric determinen la direccio en la qual desviaria el camp electric unacarrega electrica positiva que es situes en aquell punt concret de l’espai, tant en el cas que elcamp el generi una sola carrega (esquerra) com un conjunt d’elles (dreta)

treball de la forca electrica amb un signe negatiu a davant:

(∆Ep)12 = −∫

∞

r

F12dr =Kq1q2

r

on s’ha introduit l’expressio G.1 per tal de poder realitzar la integral. La integrals’ha de realitzar des der fins∞ per tal de calcular la variacio d’energia (o treball)entre tenir la carregaq2 a distanciar deq1 (es a dir, on esta en el dibuix) i entreno tenir-la enlloc (que a la practica equival a tenir-la col·locada a l’infinit).

Finalment, podem introduir encara una definicio mes, que ´es la depotencialelectric. La diferencia de potencial electric entre la posicio deq1 i qualsevolaltre punt de l’espai es defineix com la variacio d’energia potencial per unitat decarrega (de forma similar a com hem introduit el camp electric). Aixı doncs, laseva expressio pel cas de la Figura G.1 es

∆V1 =(∆Ep)12

q2=

Kq1r

Cal indicar, a mes, que les unitats de potencial electric,expressades en el SistemaInternacional, son els Volts (V).

G.2 Circuits i corrent electric

Ara que ja hem introduit alguns conceptes importants que enspermeten des-criure les interaccions electriques, podem passar a considerar les propietats del


corrent electric, terme que fa referencia al moviment de carregues electriquesa traves d’una regio de l’espai. En relacio amb aquest concepte es importantdefinir el concepte de intensitat electricaI, que es defineix com la quantitat decarrega que travessa una certa regio de l’espai per unitatde temps:

I =q

∆t

La intensitat electrica, doncs, es mesura en Coulombs partir per segon, unitatque habitualment es coneix com Amper (A).

Els circuits electrics, com sabem, son conjunts de dispositius connectats en-tre ells i pels quals circula un corrent electric. Tot circuit electic acostuma acaracteritzar-se pel valor i la direccio de la intensitat electrica que circula percada una de les seves parts. En general, el corrent electricque circula per totcircuit ve donat pel moviment dels electrons ( carregues negatives) a traves deles connexions del circuit (habitualment fetes d’algun material metal·lic). Ar-bitrariament, pero, el sentit de la intensitat electrica es defineix com la direcciode moviment de carregues positives (per tant, al contrari del que succeeix enrealitat).

Corrent altern i continu

Quan parlem de circuits electrics motes vegades conve diferenciar entre circuitsde corrent continu i corrent altern. Tot i que les definicionsde vegades varienuna mica, normalment entenem per corrent continu un correntque te sempre elmateix signe, la qual cosa es equivalent a dir que les carregues electriques esdesplacen sempre en la mateixa direccio al llarg de cada un dels cables conduc-tors que formen el circuit. En el corrent altern, en canvi, laintensitat electricapot anar canviant de signe amb el temps, cosa que dona lloc a que les carregueselectriques es moguin de vegades en un sentit i de vegades enl’altre al llarg delcircuit. Com sabem, la xarxa de distribucio electrica i ladomestica funcionenamb corrent altern (en aquest cas amb un corrent que va canviant de signe demanera periodica) donada la facilitat de transformacio d’aquest tipus de corrent,com veurem mes endavant en aquest capıtol. En canvi, el corrent continu es faservir a escala mes petita per dispositius concrets; de fet, molts aparells electricsporten incorporats dispositius que trsnformen el corrent altern de la xarxa a cor-rent continu per tal de funcionar correctament.

Forces electromotrius

Per a poder generar un corrent electric es necessari crearuna diferencia de poten-cial electric entre regions de l’espai (que, com hem vist , ´es equivalent a generar


una variacio d’energia potencial electrica). Lesforces electromotrius(f.e.m.)son els dispositius d’un circuit electric que s’encarreguen de produir aquesta di-ferencia de potencial, i per tant son els que aporten l’energia necessaria per a queel corrent electric pugui existir. Parlant en termes col·loquials, una f.e.m. corres-pon al que acostumem a anomenar pila o bateria. Com mes gran ´es la diferenciade potencial generada per la f.e.m. (es a dir, mes volts subministra la bateria) elselectrons que circulen pel circuit disposen de mes energia.

El sımbol d’una f.e.m. en un circuit electric, per tal que hom pugui identificar-lo correctament, es el que es veu a la Figura G.3.

Figura G.3: Sımbols tıpicament utilitzats als circuits electrics per a representar forces electromotrius (es-querra), resistencies electriques (centre) o condensadors (dreta)

Condensadors

Els condensadors son dispositius capacos d’emmagatzemar carrega electrica (iper tant energia electrica) en el seu interior. Per a entendre com porten a ter-me aquest proces considerem el cas de dues plaques metal·liques col·locades demanera paral·lela una a l’altra (Figura G.4). No tots els condensadors presentenaquesta configuracio, pero es una de les mes comunes. En qualsevol cas, la sevarepresentacio simbolica en els circuits electrics es sempre la que s’indica a laFigura G.3.

Si connectem a les plaques un cable i una bateria, pel cable comencara acircular una intensitat electrica que fara que la carrega es vagi acumulant a lesplaques (una placa es carregara positivament i l’altre negativament, depenent dela direccio del corrent). Aquest es el proces decarrega del condensador. Aixı,tenim una carrega que s’emmagatza a les plaques, i que es mantindra encara quedesconnectem els cables. Pero arriba un punt mes enlla del qual les plaques noson capaces d’emmagatzemar mes carrega i el proces de c`arrega s’atura (deixade circular corrent). Com mes potencial ha subministrat labateria mes energiatenien les carregues i mes carrega s’ha pogut emmagatzemar a les plaques. Ala quantitat de carrega que poden emmagatzemar les plaquesper cada Volt depotencial de la bateria se li dona el nom decapacitat del condensador

C =Q

∆V


Figura G.4: Exemple tıpic d’un condensador de dues plaquesplanes paral·leles. La forca electromotriuconnectada carregara el condensador fins assolir la seva capacitat maxima

De la mateixa manera, la quantitat d’energia que pot emmagatzemar el con-densador ve donada, d’acord amb la definicio G.1 i amb l’expressio de la capa-citat G.2, per

∆E =

∫ Q

0

∆V dq =

∫ Q

0

q

Cdq =

Q2

2C=

1

2Q∆V =

1

2C (∆V )2

on la integral es necessaria pel fet que la carregaq no es constant sino que vavariant durant el proces de carrega fins arribar al valor m`aximQ.

Resistencies electriques

Anomenem resistencia electrica a tot aquell dispositiu d’un circuit electric queprovoca una perdua de l’energia del corrent electric. Pertant, tot dispositiuelectric que connectem a un circuit per tal d’agafar-ne energia i convertir-la entreball (com ara qualsevol aparell elctronic o electrodomestic) es pot entendrecom una resistencia electrica.

La perdua d’energia en una resistencia implica per tant tambe una perduade potencial electric. La diferencia de potencial electric entre els extrems d’unaresistencia es caracteritza per laLlei d’Ohm

∆V = IR


on I es la intensitat de corrent que passa per la resistencia, iR es una constant quecaracteritza a cada resistencia electrica i les unitats de la qual son els Ohms (Ω).El sımbol de la resistencia electrica en un circuit ve donat tambe en la FiguraG.3.

Es important mencionar que, depen de la seva configuracio enel circuit,podem parlar de resistencies electriques col·locades enserie o en paral·lel (Fi-gura G.5). En el primer cas (resistecies en serie) observem que les resistencieses col·loquen al llarg del mateix cable connector, de maneraque la intensitatelectrica que passa per totes elles ha de ser la mateixa (perconservacio de lacarrega). Aixı doncs la diferencia de potencial entre els extrems de varies re-sistencies en serie es

∆V = ∆V1 +∆V2 + ... +∆Vn = IR1 + IR2 + ... + IRn = IReq

i per tant un conjunt den resistencies en serie es equivalent a una unica re-sistencia equivalent de valor

Req = R1 +R2 + ... +Rn

Figura G.5: Configuracio tıpica den resistenciesR1,R2,...Rn col·locades en serie (esquerra) i en paral·lel(dreta)

En canvi, en el cas de resistencies en paral·lel observem que els extrems decada resistencia coincideixen (punts A i B). Per tant la diferencia de potencialen cada una d’elles es la mateixa (pero no aixı la intensitat, ja que en arribar alpunt A les carregues s’han de repartir entre tots els caminspossibles a recorrer).Aplicant de la llei d’Ohm a cada una de les resistencies i imposant la conservaciode la carrega en el circuit obtenim

I = I1 + I2 + ... + In =∆V

R1+

∆V

R2+ ...+

∆V

Rn=

∆V

Req


...id’aquı es dedueix que un conjunt den resistencies en paral·lel es equivalent auna unica resistencia equivalent de valor

Req =1

1R1

+ 1R2

+ ... + 1Rn

Per ultim, cal mencionar que, a mes dels dispositius electrics d’un circuit ,cal tenir present que els mateixos cables que serveixen com aconnexio en elscircuits actuen tambe com a resistencies electriques. Per tant, hem de tenir encompte tambe les perdues de potencial (o d’energia) que esdonen en el transportelectric al llarg d’un cable. La manera de poder mesurar la resistencia electricad’un cable es a partir de la formula

R = ρL

A,

on L es la longitud del cable,A es la seva seccio i es un parametre anomenatresistivitat que es caracterıstic de cada tipus de material. Tal com ens diu l’ex-pressio G.2, com mes llarg i mes prim es un cable major esla resistencia (i pertant, les perdues d’energia).

Efecte Joule

L’efecte de tota resistencia electrica present en un circuit es el de reduir l’energiaelectrica que porten les carregues en moviment. Aquesta energia pot anar aparar a realitzar un treball (com passa en els aparells electrics) o es pot dissiparen forma de calor (com succeeix en els cables del circuit). Aquesta dissipaciod’energia es el que es coneix comefecte Joule. L’expressio que ens diu quina esexactament la quantitat d’energia dissipada en una regio del circuit en funcio dela diferencia de potencial que hi existeix correspon a la f`ormula G.1

∆E = q∆V

A partir d’aquı podem calcular la potencia dissipada com l’energia dissipadaper unitat de temps, i aixı trobem

P =∆E

∆t=

q

∆t∆V = I∆V

Aquesta formula, en realitat, podria servir per a calcularla potencia associadaa qualsevol dispositiu electric (no nomes una resistencia). Si ara volem trobarl’expressio concreta pel cas de la resistencia subsituimla llei d’Ohm G.2 en G.2

P = I (IR) = I2R

i obtenim aixı la potencia dissipada en qualsevol resist`encia per efecte Joule.

G.3. EL CAMP MAGNETIC 353

G.3 El camp magnetic

Des de l’antiguitat es coneixen les propietats magnetiques de determinats ma-terials, pero nomes a partir dels segle XIX es va comencara establir que enrealitat existeix una relacio directa entre els fenomens electrics i els fenomensmagnetics. La idea fonamental (que desenvoluparem al llarg d’aquest apartat iel seguent) es que els camp magneticsindueixen(provoquen) l’aparicio de fe-nomens electrics, i a l’inreves. Per exemple, l’explicacio de per que determinatsmaterials (imans) tenen un pol sud o un pol nord a traves delsquals poden atreu-re o repel·lir els metalls es que la seva configuracio atomica fa que en el seuinterior es produeixin microcorrents electrics (Figura G.6) que generen un campmagnetic al voltant del material.

Figura G.6: Corrents interns naturals que existeixen en l’interior de materials amb propietats magnetiques

De la mateixa manera que hem definit un camp electric, per talde carac-teritzar els fenomens magnetics existeix un camp magnetic, que es representacom a

−→B i te unitats de Tesla en el Sistema Internacional. Aquest camp es pot

representar tambe graficament mitjancant de l’us de lınies de camp. A la Figu-ra G.7 reproduim un exemple tıpic, els quals ens permeten introduir una de lesdiferencies fonamentals que existeixen entre el camp electric i el magnetic: aixıcom poden existir carregues electriques positives o negatives per separat, en elcamp magetic mai podem tenir un pol nord o un pol sud per separat, i per tant leslınies de camp magnetic sempre son tancades (surten de lazona que actua coma pol nord i van a parar a la zona del pol sud).

Efecte del camp magnetic sobre les carregues electriques

El primer exemple de com els fenomens electric i magneticsestan interrelaci-onats ve del fet que tota carrega electricaq es veu sotmesa a una forca quantravessa un camp magneticB. Aquesta forca, anomenadaForca de Lorentz,respon a l’expressio

F = qvB


Figura G.7: Lınies de camp magnetic d’un iman tıpic

on v es la velocitat de la carrega. Per tant, a partir de la formula podem deduirque la forc a desapareix si la carrega es troba en repos. A mes hem de teniren compte que la forca magnetica te propietats forca particulars pel que fa a ladireccio en que actua. En primer lloc, per tal que el camp magnetic exerceixirealment una forca sobre la partıcula cal que aquest siguiperpendicular a la ve-locitat d’aquesta. Els camps magnetics aplicats en la direccio de la velocitat noprodueixen cap efecte en la partıcula (logicament, si el camp magnetic no es niparal·lel ni perpendicular a la velocitat, caldria calcular quinaes la componentdel camp magnetic en la direccio perpendicular a la velocitat, i aquella compo-nent seria la unica que hauria d’apareixer a la formula G.3). Per altra banda, laforca de Lorentz resulta ser sempre perpendicular tant a lavelocitat com al campmagnetic. Una consequencia important del fet que la forc¸a magnetica sigui per-pendicular a la velocitat de la partıcula es que aquesta per tant no pot mai maiaccelerar a la partıcula carregada (per a poder fer aixo hauria d’existir una forcaen la direccio de la velocitat), sino que tan sols en pot variar la direccio de mo-viment. Per exemple, quan sobre una partıcula carregada enmoviment s’aplicaun camp magnetic perpendicular a la velocitat (situacio molt habitual en deter-minats dispositius magnetics) el que passara es que la partıcula rebra una forcamagnetica que la faria canviar contınuament de direccio. Si el camp magnetic

G.4. INDUCCIO MAGNETICA 355

es constant i prou intens la forca tambe ho sera i la part´ıcula canviara de direc-cio rapidament (sempre al mateix ritme) donant lloc a un moviment circular enel qual la forca de Lorentz actua com a forca centrıpeta, ique durara indefini-dament fins que l’efecte del camp desaparegui o la partıculaen pugui escapargracies a algun altre efecte extern.

De manera analoga, un camp magnetic exercira tambe una forca sobre uncorrent electric, que no es mes que un conjunt de carregues en moviment. Laforca magnetica sobre un conductor pel qual circula una intensitat electricaI es

F = IlB

on l es la longitud del conductor. Cal dir que en aquest cas totesles reglesreferent a la direccio en que actuen el camp magnetic i la forca magnetica quehem discutit abans per la forca de Lorentz contiuen sent valides.

Camps magnetics induits

Tot corrent electric genera un camp magnetic al seu voltant. Aquest fet va serdescobert per Hans Christian Oersted el 1820 en adonar-se que un circuit electricproper feia desviar-se la fletxa d’una bruixola. Mes endavant, Biot i Savart vantrobar una llei que ens permet deduir el valor d’aquest camp magnetic a partirde les caracterıstiques del corrent electric inductor. La formula de Biot i Savartresulta en general difıcil de desenvolupar per casos complicats. A la Figura G.8,pero, mostrem alguns casos d’interes practic pels qualsl’expressio del campmagnetic induit es una mica mes senzilla de trobar, com ara el cas d’un con-ductor rectilini (exemple superior de la figura) o una agrupacio d’espires, tambeanomenada bobina (exemple inferior de la figura).

G.4 Induccio magnetica

De la mateixa manera que hem vist com un corrent electric dona lloc a un campmagnetic, sota determinades condicions un camp magneticpot generar tambeun corrent electric. A l’apartat de Circuits i corrents el`ectrics hem comentatque per tal que existeixi un corrent electric necessitem generar una diferencia depotencial electric (en altres paraules, ens cal una f.e.m.). La Llei de Faradayensdona una expressio per la diferencia de potencial que es pot induir en un circuittancat a partir d’un camp magnetic

−→B :

(∆V )ind = − d

dt

(∫

S

−→Bd

−→S

)


Figura G.8: Expressio del camp magnetic induit per un corrent electric d’intensitatI que passa a travesd’un conductor rectilini uniforme (adalt, onr representa la distancia al conductor), d’una espiraconductora circular de radiR (mig), o d’una agrupacio den espires (a baix)

on el subindexind fa referencia a que es tracta d’un potencial induit, iS es lasuperfıcie tancada pel circuit (veure Figura??). La llei de Faraday ens diu queper tal que existeixi un potencial electric induit diferent de zero cal que el terme∫

S

−→Bd

−→S (que es coneix amb el nom deflux magnetic) varii amb el temps (en

cas contrari, la derivada en el temps donara zero). Per tal que aquest terme variiamb el temps existeixen tres possibilitats:

i)−→B varia amb el temps.

ii) S varia amb el temps.iii) L’angle que formen els vectorsB i

−→S varia amb el temps.

En el cas de la Figura G.9 la possibilitati) correspondria, per exemple, aaugmentar el camp magnetic creat (si es el que podem controlar nosaltres) o aapropar l’espira al lloc on esta el camp (que seria una manera indirecta d’aug-mentar el camp que passa per l’espira). La possibilitatii) correspondria a ei-xamplar o encogir l’espira, sies que aixo ens es possible. Finalment, l’opcioiii)correspondria per exemple a fer rotar l’espira sobre ella mateixa, de manera quel’area a vegades esta encarada al camp, i de vegades no.

En general, de tot aixo arribem a la conclusio que un camp magnetic cons-tant no pot induir mai un corrent electric en un circuit en repos. Cal que, o be

G.4. INDUCCIO MAGNETICA 357

Figura G.9: Un camp magnetic pot donar lloc a un corrent electric induıt a l’espira conductora, sempre iquan el flux magnetic varii en el temps d’alguna manera

el camp magnetic varii de valor amb el temps, o be que el circuit es mogui d’al-guna manera que faci que el cas ii) o iii) s’acompleixi. De fet, aquest ultim casconstitueix precisament el principi de funcionament de molts motors i genera-dors electrics. En ells simplement tenim un iman connectata un rotor, de maneraque el fem girar en l’interior o a prop d’un circuit (Figura G.10). D’aquesta ma-nera la llei de Faraday ens diu que es produira un corrent el`ectric, que es el queobtenim del generador. En aquest cas el corrent generat ser`a un corrent altern,ja que hi ha moments en els quals l’iman s’apropa al fil conductor (en aquellmoment la f.e.m. induida va en un sentit concret) i moments enels quals l’imans’estara allunyant del fil (fet que generara una f.e.m. en sentit contrari a l’ante-rior). Els generadors d’induccio, doncs, produeixen sempre corrents alterns, toti que a posteriori existeixin mecanismes per tal de transformar-los en un correntcontinu si es desitja.


Figura G.10: Esquema tıpic d’un generador electric de corrent altern de tres fases (esquerra) i fotografiad’un model real (dreta)

Index de figures

1.1 Despesa d’energia a Catalunya per sectors. . . . . . . . . . . .. . . 41.2 La friccio amb l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Esquema del circuit electric d’un tren . . . . . . . . . . . . . .. . 25

4.1 Equivalencia entre resistencies termiques en paral.lel i resistenciestermiques en paral.lel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Perfil tıpic d’una finestra amb ruptura de pont termic. .. . . . . . . 484.3 Fotografia d’una zona d’edificis amb sostres verds. . . . . .. . . . 514.4 Esquema de l’estructura d’una instal·lacio de facanaventilada. . . . 52

5.1 Triti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Grafic amb els defectes de massa per a tots els isotops demassa

atomica 12 de la taula 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Grafic amb els defectes de massa per nucleo per a tots elsisotops de

la taula 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1 Representacio de relacio entre el volum d’aire que circula entre lespales d’un aerogenerador en un temps∆t, la seva velocitatv i l’areade les palesA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Grafica amb el rendiment d’un aerogenerador en funcio de la velo-citat del vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Les velocitats abans i despres de que l’aire passi a traves de les palesd’un aerogenerador son diferents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4 Efecte de l’orografia sobre el vent. . . . . . . . . . . . . . . . . . .806.5 Esquema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.1 Esquema per entendre la influencia de la inclinacio de la placa solaren la potencia aprofitada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.2 Influencia de la latitud sobre la radiacio rebuda enun instant concretdel dia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

359

360 Index de figures

7.3 La lınia corba mostra el nivell de flux de radiacio rebutdel Sol alllarg del dia (que te forma de funcio cosinus) mentre que lalınia ho-ritzontal de punts mostra el valor maxim (al migdia) que s’obtindriaen aquell punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Influencia de l’estacionalitat en el flux de radiacio solar rebut per LaTerra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.5 Irradiancia (densitat de flux de radiacio solar) que arriba a les capesaltes de l’atmosfera (lınia groga) i a la superfıcie terrestre (lınia devermella). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6 Esquema de l’estructura interior d’una placa solar termica. . . . . . 99

7.7 Esquema de configuracio d’un grup de plaques solars en s`erie (a) ien paral·lel (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.8 Esquema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.1 Una central hidroelectrica aprofita la diferencia d’alcades de l’aiguaabans i despres d’un embassament . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2 Esquema d’una central hidroelectrica convencional. Ala imatges’indiquen les pressions amb les que la central treballa. . .. . . . . 114

8.3 Esquema d’una central hidroelectrica de bombeig. A l’esquerra esrepresenta el funcionament normal, a la dreta, el funcionament in-vers que algunes centrals utilitzen per estalviar l’energia excedentd’algunes centrals termiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.4 Les marees son l’efecte de la redistribucio de la superfıcie del marquan s’equilibra entre les energies potencials gravitatories produidesper la Terra i la Lluna alhora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.5 Esquema de funcionament d’una central mareomotriu. . . .. . . . 125

9.1 Una central hidroelectrica aprovecha la diferencia dealturas del aguaque se produce en un embalse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.2 Esquema de una central hidroelectrica convencional. En la imagense indican las presiones con las que la central trabaja. . . . .. . . . 134

9.3 Esquema de una central hidroelectrica de bombeo. A la izquierdase representa el funcionamiento normal, a la derecha, el funciona-miento inverso que algunas centrales utilizan para ahorrarla energıaexcedente de algunas centrales termicas. . . . . . . . . . . . . . .. 140

9.4 Las mareas son el efecto de la redistribucion de la superficie delmar debido al equilibrio entre las energıas potenciales gravitatoriasproducidas por La Tierra y La Luna. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.5 Esquema de funcionamiento de una central mareomotriz. .. . . . . 145


10.1 Grafica de la viscositat d’un tipus de petroli en funci´o de la tempe-ratura. Podem observar com, a mesura que escalfem la substancia,la viscositat disminueix notablement . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.2 L’oleoducte de Baku-Tiflis-Ceyhan permet enviar totel petroli ques’extreu de BAku, situada al mar Caspi (un mar tancat) cap a Cey-han, a la mar Mediterrania, par allı ser distribuida a traves de petrolers.155

11.1 Espira de corrent dins un camp magnetic. . . . . . . . . . . . .. . 164

12.1 Esquema de pila quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17712.2 Esquema de pila feta de capacitors . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

13.1 Mapa amb mitjanes anuals de precipitacio. . . . . . . . . . .. . . . 19213.2 Esquema del model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19413.3 Pressio de vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19613.4 Pressio de vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19713.5 Conca de l’Ebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19913.6 Climograma de Huesca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

18.1 Separacio per temps de vol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24018.2 Espectroscopia d’aerosols recollit a dues altures . . .. . . . . . . . 241

A.1 Grafiques posicio-temps, velocitat-temps i acceleracio-temps carac-terıstiques del moviment rectilini uniforme . . . . . . . . . . .. . . 282

A.2 Grafiques posicio-temps, velocitat-temps i acceleracio-temps carac-terıstiques del moviment rectilini uniformement accelerat . . . . . . 283

A.3 Equivalencia entre les coordenades(x, y) i les coordenades(r, θ) perun moviment circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

A.4 Vist des de fora, el pendol s’inclina a causa de l’acceleracio del tren.Si des d’endins no som conscients d’aquesta acceleracio hauremd’introduir una forca fictıcia per a explicar el fenomen. .. . . . . . 288

A.5 Direccio d’aplicacio de la forca centrıfuga (esquerra) i de Coriolis(dreta) pel cas d’un sistema de referencia en rotacio (La Terra, en elcas del dibuix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

A.6 Combinacio de forces aplicades sobre un solid rıgid,donant lloc arotacio pero no a traslacio de l’objecte . . . . . . . . . . . . . .. . 290

C.1 Esquema d’un sistema hidralulic tıpic basat en el principi de Pascal . 302C.2 Esquema de forces per tal d’entendre l’origen de la pressio hidro-

estatica que actua sobre una regio (en forma de prisma) delfluid . . 303


C.3 Resultats possibles de submergir un objecte en un fluid: el balanc deforces (esquerra) fara que aquest s’enfonsi (centre) o be puji fins aque una part en quedi per sobre de la superfıcie (dreta) . . . .. . . 304

C.4 Quan l’aigua circula omplint una canonada la quantitat de massa ode volum que passa per unitat de temps al punt1 ha de ser igual a ladel punt2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

C.5 En aplicar una forca sobre una regio d’un fluid viscos aquesta estransmet d’unes regions (capes) del fluid a les altres . . . . . .. . . 308

C.6 En aplicar una forca sobre una regio d’un fluid viscos aquesta estransmet d’unes regions (capes) del fluid a les altres . . . . . .. . . 309

C.7 Per tal d’entendre les forces i velocitats que actuen en un flux viscosa traves d’una canonada cilındrica (esquerra) resulta necessari con-siderar primer un cilindre imaginari interior (dreta) i estudiar ll’e-quilibri de forces en aquell cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

D.1 L’intercanvi de materia i/o energia entre compartiments d’un recipi-ent ens permet esquematitzar alguns processos termodinamics tıpics 314

D.2 Els cicles termodinamics representen una sequenciade processostermodinamics que acaba portant el sistema a l’estat de partida . . . 315

D.3 Podem escalfar un got d’aigua mitjancant processos de conduccio(esquerra), conveccio (centre) o radiacio (dreta) . . . . .. . . . . . 318

D.4 La nostra intuicio ens diu que nomes els processos en elsentit de lafletxa cap a la dreta tenen lloc a la natura; el segon principi permetdonar una interpretacio fısica a aquest fet experimental. . . . . . . 320

D.5 Esquema de funcionament d’una maquina termica (esquerra) i d’unrefrigerador o una bomba de calor (dreta) . . . . . . . . . . . . . . 322

E.1 Esquema de l’evolucio en l’espai i el temps d’un procesde camıaleatori, amb probabilitat1/2 de salt a dreta o esquerra . . . . . . . 326

E.2 Coeficient de friccioCD per a una esfera movent-se en un fluid enfuncio del nombre de Reynolds. Per a nombres de Reynolds ele-vats ens trobem en el regim inercial, i per tant es millor utilitzarun coeficient constant de 0.34 i la dependencia amb la velocitat esquadratica. Per a nombres de Reynolds petits s’utilitza l’aproxima-cio de Stokes, on la dependencia final amb la velocitat es lineal- . . 329

F.1 Estirament d’una molla des de la posicio d’equilibrix0 fins una po-sicioxm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

F.2 Oscilacions tıpiques d’una molla en el cas harmonic (esquerra), es-morteıt (centre) i sobreesmorteıt (dreta) . . . . . . . . . . . .. . . 333


F.3 Oscilacions tıpiques d’una molla en el cas forcat. El cas de l’esquer-ra correspon a frequencies de forcament i d’oscil·lació forca dife-rents i el de la dreta correspon al cas en que les dues frequències sonpracticament identiques (resonancia) . . . . . . . . . . . . . .. . . 334

F.4 Oscilacions transmeses amb la ma a una corda en sentit transversal(esquerra) i longitudinal (dreta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

F.5 Aspecte tıpic en el pla posicio-temps d’una ona transversal amb for-ma sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

F.6 Il·lustracio del principi de superposicio per dues ones1 i 2 que esviatgen en direccions oposades i es creuen una amb l’altra . .. . . . 337

F.7 Aspecte d’una ona estacionaria en l’interior d’un conducte tancat.Les diferents lınies representen la mateixa ona en diferents instantsde temps, fet que permet apreciar els punts d’oscil·lacio maxima(ventres) i els punts que no oscil·len (nodes) . . . . . . . . . . . .. 338

F.8 Primers armonics a l’interior d’un conducte tancat (esquerra) i unconducte semiobert (dreta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

F.9 Exemple de fornacio d’ones de pressio (sonores) en medi gasos (es-querra) i en un medi solid (dreta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

F.10 Il·lustracio de l’efecte Doppler per un emisor (tren)en movimenti un receptor (oıda) aturat. Els numeros fan referencia adiferentsones que emet el tren ens instants successius (1, 2, 3, 4) de temps,de forma que les ones arriben mes properes (amb mes frequència) al’emissor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

F.11 Longituds d’ona i frequencies tıpiques dels diferents tipus d’ona quecomposen l’espectre electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . .343

G.1 Forca recıproca entre dues carregues electriques del mateix signeseparades una distanciar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

G.2 Les lınies de camp electric determinen la direccio enla qual desvi-aria el camp electric una carrega electrica positiva quees situes enaquell punt concret de l’espai, tant en el cas que el camp el generiuna sola carrega (esquerra) com un conjunt d’elles (dreta). . . . . . 347

G.3 Sımbols tıpicament utilitzats als circuits electrics per a representarforces electromotrius (esquerra), resistencies electriques (centre) ocondensadors (dreta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

G.4 Exemple tıpic d’un condensador de dues plaques planes paral·leles.La forca electromotriu connectada carregara el condensador fins as-solir la seva capacitat maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

G.5 Configuracio tıpica den resistenciesR1, R2,... Rn col·locades enserie (esquerra) i en paral·lel (dreta) . . . . . . . . . . . . . . . .. 351


G.6 Corrents interns naturals que existeixen en l’interiorde materialsamb propietats magnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

G.7 Lınies de camp magnetic d’un iman tıpic . . . . . . . . . . . .. . . 354G.8 Expressio del camp magnetic induit per un corrent electric d’inten-

sitat I que passa a traves d’un conductor rectilini uniforme (adalt,on r representa la distancia al conductor), d’una espira conductoracircular de radiR (mig), o d’una agrupacio den espires (a baix) . . 356

G.9 Un camp magnetic pot donar lloc a un corrent electric induıt a l’es-pira conductora, sempre i quan el flux magnetic varii en el tempsd’alguna manera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

G.10 Esquema tıpic d’un generador electric de corrent altern de tres fases(esquerra) i fotografia d’un model real (dreta) . . . . . . . . . . .. 358

de l’euro al joule. f´ısica del medi ambientpagines.uab.cat/dcampos/sites/pagines.uab.cat... ·...

Documents