DE MATEMATICA

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lira Ellflll SL 1BUENOS AIRES33-0894/34-2403PIEDRAS 614

üafesmáticas,DISTRIBUIDORES EXCLUSIVOS DE LAS PUBLICACIONES DE EDICIONES LAROUSSE ARGENTINA S.A. Y EDITORIAL TEIDE S.A. DE BARCELONA.

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ce GB GQ C@ El EPTffi ®_______ DE MATEMATICAAÑO VI Julio-Agosto-Setiembre 1972Asociación Amigos d@ CONCEPTOS

DE MATEMATICA PUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración:Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A.

Depósito:Fernández Blanco 1045 - Bs. As.

Director - EditorJOSE BANFI

N° 23

CARTA AL LECTOR

* Se siguen efectuando las tareas preliminares concernien­tes a la realización de la Tercera Conferencia Interamericana sobre la Enseñanza de la Matemática que se cumplirá desde el 21 al 25 de noviembre del corriente año en la ciudad deAsesores: José Babini, Juan L. Bla-

quier, Frédérique Papy, Georgcs Papy.

Redactores: Raúl A. Chiappa. Emi­lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández, Atilio Piaña. Elsa Sabbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Verdagucr de Banfi.

Dibujante: Arq. Julio R. Juan.Suscripción Anual: Argentina S 15

Ley 18.188 (mSn 1.500.-). Exte­rior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DF MA­TEMATICA.

Ejemplar suelto: $ 4,50 Ley 18.188.

Número atrasado: S 5,00 Ley 18.188.

Lugares de venta: En nuestra sede, Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Kditorial Alsina, Perú 127; Librería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340. Li­brería del Colegio, Ahina y Boli-

el Instituto Nacional

Bahía Blanca. Dejamos expresado nuestro anhelo de que el éxito corone las actividades de tan importante evento como asimismo de que el contacto con los representantes de las otras naciones americanas y con los especialistas que han de llegar desde otras partes del mundo, fructifique en resultados que esclarezcan el panorama de la enseñanza de nuestra asignatura y nos den pautas acerca de la tarea que correspon­da cumplir en los años venideros. Esperamos también que las autoridades educativas no echen en saco roto las recomenda­ciones que allí se formulen y adopten medidas para ponerlas en práctica con la premura que el caso requiera.* CONCEPTOS DE MATEMATICA puede satisfacer en este número una aspiración largamente acariciada. La mayor parte del material que se publica pertenece a autores argenti­nos; incluso el que suscribe se atreve a publicar sus reflexio­nes acerca

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Ha sido creada la Asociación Amigos de "CONCEPTOS DE MATEMATI­CA", como entidad de apoyo a esta revista y a su reconocida obra de difusión cultural.

La nueva Asociación se propone reunir y organizar esfuerzos encamina­dos a brindar a la revista aportes económicos, científicos y técnicos, que le permitan superar las arduas dificultades que toda empresa cultural desin­teresada debe afrontar.

He sido honrado en el cargo de Presidente de esta Asociación, y en tal sentido haga un fervoroso llamado a aquéllos que directa o indirectamente se interesen por la enseñanza de la matemática, para que se acerquen a la Asociación y brinden, en la medida de sus posibilidades, el apoyo que sin duda merece Ia única —y muy digna— revista especializada en la materia que existe en nuestro país.

En los sucesivos números de la revista informaremos acerca dé los diversos modos de acción que pueden encararse para cumplir el objetivo señalado.

del aprendizaje de la matemática. Entre los objeti- han tenido en cuenta para proceder de estavos que se

manera, figura en primer término nuestra convicción de que muchos los docentes argentinos capaces de aportar refle­

xiones interesantes para muchos de sus colegas, y que si muchas veces no lo hacen es porque se los impide la tiranía del tiempo disponible en una profesión tan sacrificada. Cree-

también que ello contribuirá para un mejor conocí-

I

sonvar; y en Jpara el Mejoramiento de la Ense­ñanza de las Ciencias (INEC), sec­ción Publicaciones, Avenida Eduardo Madero 235, 7o Piso, Capital Federal.

Para colaboraciones, números atra­sados, suscripciones y avisos, diri­girse directamente al editor.

Registro de la Propiedad Intelec­tual: N° 1.037.530.

imosmiento de las cosas que se hacen o se pueden hacer en nuestro país y para una mejor información de los matemáti-

y pedagogos que pronto han de visitarnos.* Consignemos, por último, que ha estado entre nosotros el mundialmente famoso psicomatemático Zoltan P. Dienes y

hemos sido los únicos que en nuestro país le hemos efectuado una entrevista. Ello, si bien nos halaga, nos hace lamentar que su breve estadía no haya podido ser aprovecha­da por todos los docentes argentinos que hubieran deseado recibir personalmente sus esclarecedoras opiniones. En fin, esperamos que retorne a nuestro país y que entonces se satisfagan tantas inquietudes como las que él despierta.

Aprovecho la oportunidad para saludarlos con toda consi­deración.

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Impreso en COG I AL Rivadavia 767, Capital que

1

Jorge BoschPresidonto

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas

de La Plata

< o m o c INTERES GENERAL

Concesión N° 8205I

FRANQUEO PAGADO Concesión N° 26873 <

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EL DIRECTORf.»

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LA NACION Buenos Aires,lunes 2 de octubre de 1972. PROBLEMATICA ACTUAL

La enseñanza de la matemática Métodos del conformismo

en la enseñanza de la matemáticanúmero de recursos humanos hacia la inves­tigación y la enseñanza de dicha disciplina, formen parte inexcusable de todos los planes y sistemas escolares contemporáneos.

La transformación de los programas y de las metodologías en el área matemática, que habitualmente se conoce con la denominación genérica de "matemática moderna", represen­ta, así, una verdadera urgencia nacional ante la cual deben estar atentos todos los sectores de la sociedad y exigir a los ámbitos escolares, si éstos se retrasan, el deber que les cabe en tal aspecto.

La urgencia, de que en el sistema educativo nacional se introduzcan definitivamente las modernas concepciones metodológicas y cien­tíficas en el área de la enseñanza de la ma­temática no es una cuestión que atañe exclu­sivamente a los especialistas en esa materia o a los responsables de aquel sistema. Interesa por entero a la comunidad nacional, porque el aprendizaje de esta disciplina, hasta términos de saber y de comprensión muy superiores a los que pocas décadas atrás eran necesarios, se ha convertido en la actualidad en un requisito indispensable para el desenvolvimiento de la mayor parte de las técnicas y metodologías científicas de nuestro tiempo.

Hubo una época en que las sociedades sa­tisfacían sus necesidades de recursos humanos capacitados en el área de la matemática con un número muy reducido, si se lo comparaba con el conjunto de esos recursos. Esto ha cambiado ya en todo el mundo y seguramente cambiará, en un sentido de mayores exi­gencias, en los años próximos. Descubrir los talentos matemáticos, estimular su desarrollo, permitir su aprovechamiento hasta el punto que lo admitan sus aptitudes personales y su voluntad y, además, lograr que la mayoría acceda a niveles mínimos de capacitación en esta disciplina, es una de las necesidades ur­gentes y vitales de toda sociedad contemporá­nea que aspire a no quedar marginada de las perspectivas que abren los avances científicos y técnicos de nuestro tiempo. Ya se sabe que no hay desarrollo sin educación. Pero educación no es ahora exactamente la misma, desde el punto de vista de sus contenidos y modalidades, que la brindada medio siglo atrás, aunque perduren -porque pertenecen a la esencia eterna del hombre— la obtención de altos fines espirituales y el acceso a valores éticos y trascendentes que nunca podrán de­jarse de lado. Esta educación actual exige, entonces, que la capacidad de razonamiento matemático y la posibilidad del dominio de los símbolos de comunicación del lenguaje temático, así como la orientación de un alto

! César A. TREJO (Argentina)

b. El concepto de homotecia conduce a interpretar el teorema de Tales así (fig. 2):

1. ¿Qué significa modernizar o actualizar la enseñanza de la matemática? Más precisa­mente, ¿qué significa ello en la escuela me­dial Sería pueril suponer que significa reem­plazar temas viejos por temas modernos. Muchos, la mayor parte, de los temas de la enseñanza tradicional deben mantenerse, sería insensato suprimirlos por el solo afán de inno­var; cambiar por cambiar no es más que un signo de inmadurez. Pero esos temas deben presentarse con un enfoque acorde con el esta­do actual de la matemática.

2. El teorema de Tales es tan verdadero hoy como hace 25 siglos. Pero lo que cambia en matemática es el enfoque, el punto de vista desde el cual se consideran los resultados ad­quiridos. Veamos qué ocurre con el teorema de Tales.

a. El concepto de abscisa conduce a inter­pretar este teorema como propiedad de inva- riancia o conservación de la abscisa con res­pecto a una proyección paralela. Con referen­cia a la figura 1, al proyectar sobre el eje e

SrEs necesario, en tal sentido, introducir de­

cididamente los conceptos y las metodologías de matemática moderna desde el primer grado. Porque, en efecto, de lo que pase en ese momento de la vida escolar dependen las pers­pectivas futuras del aprendizaje matemático, ya que es en los instantes iniciales de la for­mación del pensamiento lógico cuando aparecen las estructuras básicas que luego acompañarán a las personas durante el resto de su vida.

Por eso es que debe señalarse ante la opi­nión pública la importancia que adquiere que dentro de las "Bases para el desarrollo del curriculum del nivel elemental" se hayan in­troducido decididamente los conceptos y las metodologías de matemática moderna desde el primer grado.

Es importante indicar que todo lo referente a este tema debe ser discutido, analizado y solucionado sin confusiones con las polémicas relativas al proceso de implantación de un determinado

po.

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Figura 2

Toda homotecia transforma una recta r en una recta s paralela a r. Este enfoque da al teore-

de Tales una ubicación básica en la geome­tría, pues con la homotecia se define la seme­janza, como composición de homotecia y con­gruencia.

c. En la geometría proyectiva, donde no hay paralelismo, el teorema de Tales carece de sentido mientras no se marque o distinga la recta impropia. En esta disciplina juega un papel igualmente básico el teorema de Desar- gues de los triángulos homológicos, y el hecho es que éste se reduce al teorema de Tales cuando el eje de homología es la recta impro­pia, pues en tal caso la homología se reduce a una homotecia. Precisamente por eso, recu­rriendo al fecundo concepto de transforma­ción puntual, se puede demostrar el teorema de Desargues partiendo del de Tales.

3. Veamos otro ejemplo, en cierto modo contrapuesto. Dado un triángulo se definen ciertos puntos vinculados con él, llamados ba­ricentro, ortocentro, incentro,... De ellos, el más importante es el baricentro, por su signifi­cación en mecánica y porque es base para

* ma

p Eesa proyecto de reforma educativa. Al margen de las tendencias y de las posiciones en juego a ese respecto, la enseñanza de la matemática es un asunto que tiene sus propias características y que no admite postergaciones. Con cualquier tipo de organismos de gobierno escolar y sea cuáles fueren las líneas que impon­gan su predominio en cuestiones de política educativa, el país debe resolver las necesidades de formación matemática de la inmensa mayo­ría de sus jóvenes porque en ello pone en juegoun futuro que no tendrá en cuenta la causa de las demoras sino

ueo

p1vFigura 1

se tiene por elparalelamente a la recta p, teorema de Tales OP/OU = OPVOU\ o sea: la abscisa de P en el sistema (O, U) de origen O

igual a la abscisa de P*ma-y punto unidad U, en el sistema (O, U').

i essus resultados irreparables.

45?

dijimos en 5- la matemática de hoy, y estruc­tura orgánicamente sus contenidos aún desde los niveles más elementales. Pero lo que es más importante, descubre los aspectos más va­liosos que tienen (como el sencillo teorema de Tales) vigencia general, y provee tan fértiles cauces de coherencia y de simplificación, que sería insensato no aprovecharlos en la enseñan­za. En la época del Seminario de Royaumont ya cobraba cuerpo esa ¡dea: adoptar el enfo­que conjuntista en la enseñanza.

8. El movimiento renovador despertó en todas partes tanto entusiastas adhesiones como enconadas resistencias. Así, dice el belga León Colot en un valioso artículo titulado ''Carta a un colega" (Conceptos de Matemática, N° 13): "Henos aquí, pues, casi en plena gue­rra santa". Se cree en la reforma propuesta o no se cree en ella. "Es la antigua querella de los Antiguos y los Modernos que resurge de tanto en tanto a través de las edades".

9. Naturalmente donde los partidarios y los opositores a la reforma expusieron con más claridad y franqueza sus respectivas posiciones, surgieron en forma más limpia y nítida las profundas discrepancias, y éstas se discutieron —o sea se analizaron— con más vehemencia y con más profundidad. Como lógica consecuen­cia, allí es donde fueron más notables los progresos logrados en la enseñanza, a través del juego, libre de las opiniones de unos y otros, que condujo a la prevalencia de las más sensatas y mejor fundadas. Y se llegó además al descubrimiento, elaboración e implantación de cauces más maduros, inicialmente insospe­chados para unos y otros.

Creo que en la Argentina, y hoy, nuestra máxima responsabilidad es tomar como norte este modelo, del cual desgraciadamente nos hemos apartado en una medida que resultaría increíble si no tuviéramos las más crudas evi­dencias.

10. En efecto, en la Argentina esta discu­sión libre y esclarecedora está aún ausente; es casi imposible tanto recoger como plantear dis­crepancia alguna. Hoy están muy a la vista las evidencias; en mi nota publicada en el número anterior he dado ejemplos muy concretos del accionar de ciertos ámbitos de burocracia me­dia, donde los procedimientos se han ido de­gradando hasta niveles inconcebibles. A mi entender la acción oscurantista comienza a incubarse cuando la corriente partidaria de

mantener los cauces tradicionales de la ense­ñanza, después de unos intentos de manifestar con franqueza su propia posisición, optó por simular una reforma aparente, "pour satisfaire á la mode" en términos de G. Walusinski. Para proteger esta simulación de "reforma" ante discrepancias, el conformismo llegó a procurar lisa y llanamente su exterminio, y de esto también ya están a la vista las evidencias, como he mostrado claramente en la referida nota.

importa un verdadero fraude. También resulta imposible ocultarle la situación caótica ha llevado esa "reforma" aparente.

13. Dejamos para un próximo artículo el problema de la detección del conformismo, que como toda posición oscurantista se disi­mula en mil ropajes. Nos ocuparemos ahora de su génesis, su acción actual, y la manera de evitar que anule los esfuerzos por una moder­nización rea!.

El conformismo nace y se nutre del afán —común en ciertos funcionarios y asesores- de exhibir un éxito aparente al simular una modernización y lograr a la vez la adhesión de quienes, al no advertir el engaño, creen resuel­tos sus problemas sin el necesario esfuerzo. Ocurre que la modernización verdadera impli­ca un duro esfuerzo y obliga a ponerse a! servicio del problema; por lo contrario, todo intento de "servirse del problema" sólo puede generar demagogia extrema, palabrerío y su­perficialidad. A estos diversos factores res­ponde el conformismo, y con él no pocos de quienes se dicen partidarios de modernizar la enseñanza, e incluso aparentan trabajar para ello en funciones rectoras desde las cuales han montado la colosal engañifa que hoy ha que­dado a la vista.

¿Cuál es el aspecto más marcado en la acción actual del conformismo? A mi enten­der, en los últimos años es el intento de disol­ver los esfuerzos de modernización en la ense­ñanza media con una droga: la ilusión engaño­sa de que allí ya todo está hecho y logrado o poco menos: ya no vale la pena ocuparse dé ello, pues todo está dicho y hecho, y de paso se justifica la exclusión del problema que se desea eludir. Quien lea con cuidado ciertos informes sobre conferencias, proyectos, etc., verá que son cada vez más enfáticas las afirma­ciones en abierto contraste con la situación real que se procura ocultar y a la vez mantener, pero que nadie en el problema puede preten­der no ver.

14. Debemos detectar al conformismo para no dejarnos engañar. Hoy el mecanismo es la droga; el antídoto es la verdad y el propósito auténtico de procurar una reforma de verdad. Es mucho lo que podría hacer el Estado con lo que viene gastando, pero es también mucho lo que podemos hacer todos, casi sin recurso material alguno, con la verdad dicha y escrita, en la cual esté siempre presente y en acción

(Continúa en pág. 41)

definir las coordenadas baricéntricas, eficaces herramientas en geometría y en topología. Pero, ¿qué queda hoy de los otrora llamados "puntos notables" de un triángulo: de Feuer- bach, de Nagel, de Gergonne, de Grebe o de Lemoine, metapolos, ¡sodinámicos, de Crelle- Brocard, de Tarry, etc.? Sus "notables" pro­piedades son tan ciertas hoy como hace un siglo, pero, por resonantes que sean sus enun­ciados, todas juntas poco valen hoy frente al sencillo teorema de Tales.

4. En estos ejemplos, ¿quién representa el espíritu o enfoque moderno? Sin duda, el ¡lustre filósofo de Mileto, quien vivió hace 25 siglos. ¿Cómo se manifiesta este enfoque mo­derno? Ante todo, en el afán de desentrañar lo que es más básico y tiene mayor alcance o proyección general, o sea, el afán de escudri­ñar entre el cúmulo de hechos matemáticos los realmente básicos y significativos y tam­bién las cauces estructurales más eficaces y fecundos para llevar de la manera más ágil hacia resultados relevantes.

5. Siempre fue así en la evolución de la matemática: el proceso histórico de madura­ción incluye un constante retorno a las fuen­tes, una búsqueda activa de las estructuras más simples y fértiles. Pero este proceso se ha acentuado en forma explosiva en nuestro siglo, sobre todo a impulsos de la teoría de conjun­tos, cuyo espíritu impregna toda la matemá­tica de hoy. Este es un hecho, indiscutible, acerca de la matemática en sí.

6. Pero, por décadas y décadas, la matemá tica elemental (primaria y secundaria) perma neció aferrada a cánones tradicionales, igno­rando esos profundos cambios. En consecuen­cia, si sus contenidos y enfoques eran discreta­mente aceptables hacia fines del siglo pasado, hoy resultan ridiculamente obsoletos; no dan una imagen de lo que la matemática es, sino que la presentan justamente como lo que no

a que

11. E! mantenimiento del status anterior de la enseñanza, o su modificación sólo apa­rente o ficticia, responde a hábitos, situaciones e intereses creados, etcétera. Sólo la acción perturbadora de factores ajenos al sano interés de la enseñanza explica que se recurra al dis­fraz de reformismo, pues de otro modo todo partidario de mantener los enfoques tradicio­nales o de retocarlos superficialmente, asumi­ría con franqueza esa posición que nadie deja­ría de respetar aunque no la compartiera.

12. La ficción del conformismo viene cos­tando muchos millones malgastados al erario público, pero lo más intolerable es que se haga víctima del caos a toda la generación de nues­tros hijos, y se persiga y separe a docentes que no se resignan a entrar en cauces conformistas y siguen empeñados en una modernización real y no formal o aparente.

El montaje de una reforma-engañifa tuvo cierto éxito inicial. De lo contrario sería total­mente inexplicable que después de 12 años en que se viene hablando de modernización y reforma no se haya estructurado aún, no diga­mos implantado, ninguna reforma orgánica y coherente.

En esta larga etapa, al conformismo le re­sultó relativamente fácil explotar la inadecua­da formación de los docentes. Mientras unos pocos profesores e inspectores se empeñan tenazmente en superar esta situación inicial, el conformismo presenta su "reforma" superficial —que es precisamente la gran engañifa— para halagar el espíritu sedentario de destinatarios

conformes y contentos de oír que va­mos bien, y que la reforma

Pero hoy, aún el docente no actualizado tiene conciencia de esta situación; ya resulta imposible ocuitarle que la puesta de parches o remiendos, admisibles en su momento como experiencias localizadas, pero luego congelados y estables como si la reforma fuera eso ,

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ies.

Desde hace unos lustros el problema, que ya inquietaba a eminentes pedagogos, zó a preocupar a muchos matemáticos, y la reunión de unos y otros en el más alto nivel mundial en el seminario de Royaumont de 1959, inicia un movimiento cada vez más ex­tendido para reformar en profundidad la ñanza de la matemática y ponerla a la altura de nuestro tiempo.

. 7. El enfoque conjuntista impregna -como

comen- asu vez

"era eso".

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ORIENTACION

deflexiones sobre la enseñanza

de la matemática

Ají---'LA ENTREVISTA

Zoltan P. Dienes-WW'

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Estuvo tres días en Buenos Aires, desde el 23 al 26 de julio. Aunque parezca increíble, no se enteró del hecho la inmensa mayoría de todos los que se interesan por la obra del genial director del mundialmente famoso Cen­tro de Investigación Psicosomática de la Uni­versidad de Sherbrooke, Canadá. Las agencias informativas de nuestro país, incluidos los dia­rios, radiodifusoras y televisoras, que tan in­tensamente se ocupan de cualquier aconteci­miento, importante o trivial, que se produce en cualquier rincón de nuestro planeta, no hicieron ni el más mínimo comentario de esta visita, como si se tratara de un visitante cual­quiera de nuestro país.

Vino Dienes desde Chile, de paso para Bra­sil y, merced a la diligencia del Consejo Britá­nico, se detuvo en Buenos Aires los días precitados, lapso que aprovechó para trabajar en el local del Colegio Northlands, en la calle Roma 1210 de Olivos, ante la interesada pre­sencia de una cuarentena de docentes argenti­nos que trataban de aprovechar en todo lo posible las lecciones que impartía. Es una pena que no se lo pudiera detener más para poder informar a todos los docentes argenti­nos interesados que sabemos son muchos. In­cluso sabemos de quien, desde hace varios años se mantiene en contacto epistolar con el maestro y al cual ni siquiera llegó la noticia.

CONCEPTOS DE MATEMATICA estuvo en el Northlands y por ello tuvimos el privilegio de conversar un buen rato con Dienes. Confe­samos que salimos cautivados por su personali­dad y por la cordialidad con que contestó a las preguntas que le formuláramos. Además su dominio de varios idiomas facilitaba notoria­mente la entrevista.

Informado sobre los problemas que presen­ta en nuestro país la enseñanza de la matemá­tica a nivel elemental, dio muestras de prender perfectamente la situación, que por otra parte es similar a la de muchos otros países. Todo ello deriva de la dificultad de la cuestión la que, a su juicio, debe encararse en dos aspectos: primero y esencial, debe haber

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lecciones anteriores y, sobre todo, les tomaría distintas pruebas escritas, unas muy cortas, casi diarias, y otras conceptuales, más largas, por lo menos una por mes, en las que de­mostrarían cuánto habían aprendido.

2. Se trataba, pues, de un plan minucio­samente preparado, honestamente preparado. Pero los resultados no respondieron ni media­namente a las esperanzas depositadas en él.

En.primer término, el tiempo disponible para desarrollar los programas siempre es muy corto en - nuestro país, desmesuradamente corto. En segundo término, no resulta raro encontrar alumnos carentes de los más mí-

au conceptos ^HA-re nñ-rccA

i1. El docente de la especialidad que por

primera vez afronta la responsabilidad de ma­nejar un curso de matemática, casi siempre ha egresado recientemente de algún instituto de formación de profesores. Tiene, pues, un re­cuerdo fresco de las dificultades que ha de­bido vencer para aprobar los cursos de análisis, álgebra, geometría, etc., y las diversas materias pedagógicas. Sin duda, conoce su disciplina y se puede afirmar que no le faltan armas para vencer en la aventura emprendida.

Se dispone, naturalmente a usarlas en la práctica. Y como su vocación es por lo general auténtica y además cree sinceramente que no todos los docentes tienen su mismo nivel y competencia pedagógica, ¡dea un plan de ba­talla del cual tratará de no apartarse ni un ápice. Acaso otros profesores les hayan en­señado algunas cosas a sus alumnos. Pero, na­turalmente, su categoría es otra. Pronto ad­vertirían esos alumnos la magnitud de sus conocimientos profesionales y la seriedad de su actuación. Primero, había que cumplir el programa vigente y ello se haría inexorable­mente. Pero eso también lo hacen los textos corrientes, punto por punto. El agregaría en­tonces otros temas para que se viera cuánto puede enseñar quien sabe hacerlo; además no le resultaría difícil por la vastedad de sus conocimientos.

Todo se expondría minuciosamente y se aclararían los temas difíciles, los que provocan dudas. Deber de los alumnos era aprender todo lo enseñado y resolver continuos y rei­terativos ejercicios, minuciosamente prepara­dos. La corrección era de importancia pri­mordial y la haría esmeradamente.

Para averiguar el grado de captación y comprensión de los temas expuestos y lograr una correcta evaluación, haría preguntas a los alumnos durante las clases, les haría exponer

/ ?-/?~2—

un profundo conocimiento de lá psicología del alumnado, sin lo cual los avances serán siem­pre precarios, y segundo, hay que avanzar en la investigación sobre la mejor manera de ad­quirir los conceptos fundamentales. En este último sentido cree haber hecho algo y alude a su libro Las seis etapas del conocimiento matemático como un aporte para la solución del problema. Nos señala que las seis etapas constituyen, por lo menos, una clarificación del problema. Dichas etapas, ya lo ha dicho Caparros Morata, en el número 19 de CON­CEPTOS DE MATEMATICA, son la del juego libre, la del juego estructurado, la del isomor- fismo o de los diccionarios, la de la represen- tanción múltiple de la estructura común, la de las propiedades de la representación o abstrac­ción y, finalmente, la etapa de los axiomas o demostraciones. Cree que sobre esa base se pueden realizar investigaciones fructíferas que conduzcan a la solución.

También nos dijo que los docentes debe­rían agruparse para resolver estos problemas. Si en nuestro país se lo hace criteriosamente, mucho le complacería poder recibirlos en el Grupo Internacional de Estudio del Aprendiza­je Matemático que ya tiene filiales en muchos países del mundo.

Saludamos al doctor Dienes y le expresa­mos nuestra esperanza de que renueve su visita con más tiempo como para que sus enseñanzas sean aprovechadas por los docentes argentinos que desean su ayuda.

nimos conocimientos para seguir el curso en el que están matriculados; fatalmente, habrá que ponerlos en condiciones para que prosigan su aprendizaje con algún éxito. En tercer tér­mino, los alumnos, sometidos a las exigencias de cursos enciclopedistas de hasta doce asig­naturas, carecen del tiempo que quisiéramos para la nuestra. Por último, los alumnos po­drían no sentirse cómodos por la forma de desarrollar el curso y el cúmulo de tareas que se les imponen y, por tanto, decidir sencilla­mente desentenderse de la materia y no es­tudiar. Por supuesto, el docente puede asig­narles bajas calificaciones y reprobarlos, pero eso no estaba en las previsiones. En otros términos, el plan se viene abajo, pues se que­ría enseñar mucho y bien y obtener óptimos resultados y, en cambio, éstos empeoran con el trascurso del tiempo, los alumnos comien­zan a hablar del profesor déspota que les hace sentir ''odio por la matemática", expresión ésta que parece acuñada pero que señala un hecho cuya realidad está fuera de toda discu­sión.

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com-

jLa decepción del docente es inevitable y

por cierto no se hace esperar. Se había entre­gado de cuerpo y alma a su misión, quería...

i 8 9\

rías" un día, pueden dejar de serlo para la generación siguiente. Hoy, de acuerdo con es- clarecedores trabajos de la primera mitad'de este siglo, K. GÜDEL (1855-1935) y otros demostraron que es imposible determinar en ciertos casos si los postulados de una teoría

llevarán nunca a una contradicción. Las consideraciones epistemológicas no permi­ten prescindir hoy de la lógica formal en la elucidación del concepto de matemática; por ello, B. RUSSELL (1872-1970) pudo afirmar que la matemática es la disciplina en la cual nunca se sabe de lo que estamos hablando ni si es cierto lo que estamos diciendo. Sin llegar a tanto, se puede decir con J. REY PASTOR (1882-1962) que la matemática es la ciencia que construye estructuras abstractas, algunas de las cuales han resultado útiles a la ciencia natural y otras podrán quizás llegar a serlo.

5. Hay pues un largo trecho entra la con­cepción científica de la matemática y la creen­cia popular que asigna al matemático extraor­dinaria facilidad para hacer cuentas. Pero una cosa es saber qué es la matemática y otras muy distintas son saber qué debe enseñarse y cómo se debe hacerlo para que los alumnos aprendan correctamente algunos de los con­ceptos fundamentales y puedan desenvolverse ante una situación que se puede matematizar con conocimientos discretos.

Es muy importante que el alumno asimile y maneje algunos conceptos fundamentales. Se da el caso bastante generalizado —el profesor J. BOSCH lo destacó con todo acierto—, de alumnos que han seguido cursos completos y que, salvo el enunciado de algunas propiedades de importancia relativa, son incapaces de enunciar siquiera sea suscintamente han consistido esos cursos que le han de­mandado tan ímproba labor. Esto mayor frecuencia en la matemática que en las otras disciplinas. Acaso se encuentren alumnos que hayan adquirido normas de trabajos uti­lizabas en el futuro, pero este resultado, de por sí, es realmente exiguo.

6. Y si estos, son los resultados, ¿para qué estudiar matemática?

PLATON (427-347 a.J.C.) en el frontispicio de cuya Academia se dice que figuraba la expre­sión 'Nadie entre aquí que no sepa geometría", recomendaba su estudio al militar para adies­trarse en el arte de la guerra, y al filósofo para ejercitarse en la abstracción. En la Edad Me­

dia, SAN AGUSTIN (354-439) ponía en guar­dia a los cristianos contra los matemáticos y los profetas insensatos; "Parece, decía, que los matemáticos hubieran pactado con el diablo para obnubilar los espíritus y conducir a los hombres al infierno". B. PASCAL (1623-1662) reconoce que es útil pero no la considera ciencia pura. A. SCHOPENHAUER (1788-1860), pensando que una máquina pue­de realizar cálculos, concluye que la matemá­tica es una de las actividades más bajas del espíritu. En cambio, un contemporáneo suyo, C. F. GAUSS (1777-1855) la llama reina de las ciencias y a la aritmética, la reina de la matemática.

Hoy las cosas se han aclarado mucho y casi no hay disparidad de opiniones. La matemá­tica ganó muchas batallas en todas las fron­teras y penetró en todos los campos —cientí­fico, cultural, técnico y hasta en el artístico— y hoy se admite que es una de las herra­mientas básicas de la sociedad moderna y una llave indispensable para comprender y desarro­llar el mundo de que formamos parte.

En este mundo el porvenir es de los jóve­nes. La conclusión es inmediata: es conve­niente que aprendan matemática, una buena matemática, una matemática que reúna las condiciones enunciadas por F. KLEIN (1849-1925): que sea útil para las ciencias, que tenga posible utilidad futura y que sea bella.

conciencia del desaliento que se produce cuan­do se debe enseñar un programa preestable­cido, se lo haya captado o no, se lo aprecie o no. Para evitarlo será preciso fijarse normas, hallar algunos principios muy generales, muy simples,para que los docentes forjen por sí mismos las maneras de abordar tales o cuales temas, de determinar su importancia relativa para decidir cuáles han de tratarse sucinta­mente y cuáles exhaustivamente.

7.1. Un aspecto muy importante para tener en cuenta es la necesidad de que la mayoría de los alumnos alcance un progreso mínimo en el curso del año escolar; sería anormal que sólo una minoría de ellos avance en la com­prensión de la matemática.

Para lograr éxito en este aspecto el pro­blema pedagógico no reside tanto en los co­nocimientos transmitidos cuanto en la manera de conquistar al alumno y para esto se debe conocer su psicología. Esto, que es arduo, obliga a trabajar con ritmo lento, opuesto a la necesidad de concluir los programas, por lo general excesivamente largos en nuestro país. No queda otro remedio que analizarlos con­cienzudamente, tratar sucintamente los temas no fundamentales y recalcar la importancia de éstos. Hay que seleccionar, sintetizar y ma­nejar el curso de manera de lograr /a máxima asimilación con el mínimo esfuerzo. Es esen­cial no descuidar las finalidades generales y alcanzarlas con métodos pedagógicos adecua­dos, los cuales son quizás más importante que los programas. Recuérdese que siempre es jor un buen maestro con un programa defi­ciente que uno malo con un programa sobre­saliente. Infortunadamente, no siempre se da la conjunción de buen maestro y buen pro­grama. El maestro debe actuar con toda la libertad que pueda. No será necesario demos­trarlo todo y siempre se pueden admitir mu­chos teoremas, informando honestamente que así se lo hace. Si aún así escasea el tiempo, habrá que eliminar todos los temas menos esenciales porque si el programa no se puede cumplir en el tiempo disponible, la culpa no es del docente. La verdadera obligación de éste es estar al servicio del alumno enseñándo­le le fundamental y preocupándose porque el aprendizaje sea correcto y la ejercitación ade­cuada. Por fortuna, los docentes argentinos son muy conscientes en este aspecto.

Si se procede de esa forma, probable-

darle todo a sus alumnos, conquistar su apre­cio por lo mucho que les había enseñado y por la cordialidad con que lo había hecho y, por lo contrario, había fracasado.

El hecho no es ciertamente alentador. Ha llegado, pues, el momento de reflexionar se­riamente.

3. Reflexionar sobre un plan fracasado no es nada fácil, sobre todo porque ya se creyó haberlo hecho con largueza antes de adop­tarlo. Por ello, muchos consideran innecesario hacerlo de nuevo y, como se creen ajenos a las causas determinantes de la situación, conti­núan inmutablemente sin cambio alguno. Otros ni siquiera tienen tiempo para reflexio­nar: agobiados por el cúmulo de tareas que deben cumplir para superar la tradicional penuria económica de los docentes, se con­forman con cumplir todo lo que pueden con el reglamento y no les interesa ninguna otra cosa; otros, en fin, carentes de todo espíritu docente y qué tanto como enseñar matemática desempeñarían cualquier otra función renta­ble, ni siquiera se plantean problemas y hasta piensan que no existirían de no haber apare­cido esa cosa de la cual algunas veces han oído hablar y que denominan matemática moderna.

*! nos

i

í

4. Por fortuna, abundan en nuestro país los docentes de vocación auténtica. Para ellos la reflexión es no sólo necesaria sino ineludi-

. ble.No quiere decir que se deba enseñar a to­

dos las sutilezas de la matemática, sino que todos deben adquirir los conocimientos esenciales. No importa que el técnico nos diga que en el ejercicio de su profesión durante muchos años sólo usó la regla de tres. Tampoco nos impor­tan aquéllos qüe, por carecer de los menores conocimientos matemáticos, creen que no la necesitan para nada. Sus argumentos son tan inconsistentes que no vale la pena discutir. Tampoco nos interesan los que se conforman siempre con el statu quo vigente; ocupémonos, sí, de las generaciones estudiantiles que de­bemos orientar y que obtendrían provecho si fueran eficientes los métodos empleados y úti­les los conocimientos impartidos.

7. La decisión debe, pues, ser muy medi­tada. ¿Cómo idear planes que nos eviten co­meter errores tan gruesos como los señalados?

No valdrá mucho la ayuda de los programas vigentes ni la de los manuales. Tenernos clara

Puestos a reflexionar, ¿sobre qué hacerlo? Lo primero que debe aclararse es sin duda, lo siguiente: ¿Qué es la matemática?

La palabra matemática deriva del griego mathema, saber, ciencia por antonomasia. Es una ciencia casi tan antigua como la civili­zación, pero su concepto ha evolucionado con el tiempo. Porque si ARISTOTELES (384-322 a.J.C.) la consideró como ciencia de la tidad, B. BOLZANO (1791-1848) la denomina ciencia de las magnitudes; en cambio A. COM- TE (1798-1857), el filósofo del positivismo, la define como la ciencia de ¡a medición in­directa, concepto que cayó en desuso porque muchas ramas de la matemática actual no tie­nen relación con las cantidades y sus medidas. B. PEIRCE (1809-1880) ve a la matemática- como la ciencia de la cual se extraen conclu­siones necesarias, concepto muy general cuya transitoriedad salta a la vista si se observa que las conclusiones de la matemática, "necesa-

me-

!

en que

ocurre concan-

r

h

10 11i

i

supuesto, elementalmente, y obliga al alumno trabajar y a sacar conclusiones.

Un problema para la escuela secundaria po­dría ser el siguiente: "Calcular mediante lo­

garitmos >/6" sin usar tablas, admitiendo que log 2 = 0,301; log 3 = 0,477 y log 7 = 0,845". El estudiante tendrá la oportunidad de emplear toda la gama de sus conocimientos sobre lo­garitmos.

Comenzará escribiendo:a = y/W ; log a = log y/~Q = Vl log 6

Pronto descubrirá que debe construir una pequeña tabla de logartimos de la siguiente manera:

log a = Ü log 6 = 0,778 : 2 = 0,389

El número o antilogaritmo tiene, pues, una cifra entera que, lá' tabla lo dice, es 2. Con cierta práctica de interpolación mental se de­termina que la primera cifra decimal es 4. El resultado aproximado es

argentina tomado al azar —la comprobación podría repetirse en la mayoría- figuran, per­fectamente numerados, más de doscientos ejer­cicios con operaciones algebraicas, otros tantos de factoreo, más o menos el mismo número de operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias, centenar y medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita y decenas de problemas de aplicación de las mismas, algo análogo para la resolución de sistemas de ecua­ciones de primer grado y problemas relativos. ¿Quién no comprenderá que el alumno ha de naufragar ante ese maremagnum de oleadas de ejercicios y que pronto será presa del des­aliento?

No escasean, pues, en los libros, ni ejer­cicios ni problemas; quizás sus redactores han graduado cuidadosamente las dificultades. Lo que será difícil es hallar alumnos que los ha­yan resuelto a todos ó a casi todos. Algunos docentes creen superar la cuestión resolviendo algunos de ellos en clase y dando, como deber diario, ejercicios por docenas con ló cual pro­porcionan trabajo a padres, hermanos y ami­gos, sin real provecho para nadie.

Pensamos que ejercicios y problemas deben presentarse en número adecuado y de interés que incite a los alumnos a resolverlos. No valen aquellos en que los alumnos deben apli­car meramente una fórmula estereotipada, la de la ecuación de segundo grado, pongamos por caso. El interés del problema debe ser real para que el alumno haga e| esfuerzo de prenderlo, interpretarlo y para que anhele en­contrar la solución. Lo importante es la com­prensión del problema y el afán por resolverlo aún cuando no siempre con éxito: siempre se habrá logrado lo primordial, que el alumno piense. No perdamos de vista que la auténtica actividad matemática reside en la mente.

No es nada fácil lograr ésto, pero se lo puede intentar en todos los niveles. En la escuela primaria, por ejemplo, un maestro pre­sentó a sus alumnos el siguiente problema: "Colorear un mapa político de la República Argentina, de manera que dos provincias co­lindantes tengan distintos color. ¿Cuántos co­lores ha empleado? Hágalo de nuevo emplean­do cinco colores. ¿Puede hacerlo? Inténtelo ahora con sólo cuatro Colores y díganos el resultado". Este problema introduce al niño en un tema de matemática moderna, el pro­blema de los cuatro colores, considerado, por

mente se logre el mejor rendimiento posible del curso.

Muy distinto sería si los programas fueran breves y respetaran y garantizaran la libertad del docente y a la vez lo orientaran dándole fundamentos y motivaciones.

a

ía = 2,4

De haber construido una pequeña tabla de mantisas de los logaritmos decimales de 1 a 100, acostumbrados a su uso, se pueden ob­tener resultados bastante adecuados para los ejercicios comunes.

¿Por qué los dos problemas enunciados resultan interesantes para los alumnos? Por­que no son rutinarios, es decir, no se resuelven mediante fórmulas estereotipadas y las no­ciones teóricas son de fecunda aplicación; asi­mismo, porque apelan al ingenio y a ¡a ini­ciativa. La sola teoría, nos guste o no, interesa bastante menos al alumno quien gusta ser mo­tivado por cuestiones concretas.

7.2. El segundo aspecto -sin duda fun­damental— es que lo esencial de la actividad matemática es el planteo, la investigación y la resolución de problemas y no la introducción de gran número de nociones muy generales que quizás nunca han de usarse. La mera po­sesión de información es de escaso valor en matemática. Saber matemática significa ser capaz de hacer matemática, pues, lo dice M. DUMONT, la matemática no se apren­de, se hace. El alumno debe acostumbrarse a determinar la incógnita, plantear la ecua­ción, resolverla, distinguirla.

El alumno puede hacer matemática desde otros puntos de vista, pero la resolución de problemas aparece como la actividad mate­mática fundamental. "La solución de proble­mas es el tipo más característico y peculiar del pensamiento voluntario", escribió W. JA­MES (1842-1910). "Los problemas resueltos pueden considerarse como la realización espe­cífica de la inteligencia y la inteligencia es la dote específica de la humanidad", palabras éstas de G. POLYA, uno de los matemáticos que más hondamente han tratado esta tión y cuyas reflexiones siempre ayudarán al docente.

I

Logaritmos

1 =0log2 = 0,3013 = 0,4774 = log (22) = 2 . log 2 = 2.0,301 =

= 0,6025 = log (10 : 2) = log 10 + colog 2 =

= 1 + 1,699 = 0,6996 = log (2.3) = log 2 + log 3 =

= 0,301 + 0,477 = 0,7787 = 0,8458 = log (23) = 3 . log 2 = 3.0,301 =

= 0,9039 = log (32) = 2 . log 3 = 2.0,477 =

= 0,954

logloglog

7.3. El docente prefiere muchas veces el método expositivo. Es más brillante, le per­mite ser más rápido y claro y se cometen menos errores. Hay quienes dividen la clase en un principio, destinado a la calificación de alumnos sobre temas estudiados; un medio, para la exposición de temas nuevos, y un fin, para el repaso de lo expuesto. Entonces, la exposición resulta ordenada y fluida siempre que se logre captar la atención mediante pre­guntas oportunamente intercaladas. Incluso se puede estar satisfecho de los resultados que así se obtengan.

Pero una cosa es lograr la atención de los alumnos y otra, muy distinta, que les inte­

las cuestiones presentadas. La atención

! log

logi

loglog

logcues-

log 10 = 1com-

Si se logra que los problemas se refieran al mundo en que vivimos, entonces los alumnos se interesarán y comprenderán que la temática les sirve para algo, su significación cultural aparte. Sin descuidar, ni mucho nos, el enfoque teórico, se deberá, pues, bus­car la integración de la matemática con las otras ciencias y con otras manifestaciones de la vida diaria.

Todo lo dicho no

lo que le permite construir estas otras tablas:

Diferencia Diferencia tabular segunda

Logaritmo Mantisama-de

resenserá forzada si el interés no es espontáneo.

Pensamos que el método expositivo debería reemplazarse por el método activo. Siempre el alumno debe ser el actor principa!, sea cuando trabaja, individualmente o en equipo en su cuaderno, sea cuando está en el pizarrón. El docente está para orientar, aconsejar, corregir

La clase será, quizas, más desordéna­

me* 1 000 301 1252 301 176 0513 477 125 0284 602 097 0185 699quiere ocultar la comple­jidad de la cuestión, la cual, nos parece, no ha sido ni medianamente resuelta por los libros de texto en uso. No se la resuelve haciendo seguir cada tema por multitud de ejercicios, casi nunca originales y casi siempre tediosos, que no interesan en lo más mínimo al alumno a no ser que éste sea motivado

079 0126 778 067 0097 845 058f errores.da, pero también mucho más viva. Lo im­portante es saber ordenar ese pequeño caos

firmeza y naturalidad. Si figuras y anota­ciones no resultan del todo perfectas, recor­demos que con acierto se ha dicho que "la geometría es el arte de razonar sobre figuras mal hechas"; así resultará proficuo el razo-

0078 903 051 0059 954 04610 000 conIEl examen de las tablas construidas da cier­

ta ¡dea del crecimiento de la función y de cómo interpolar aproximadamente. Se puede escribir:

por causascoercitivas a las cuales no puedo oponerse. A manera de ejemplo, diré que en un libro de texto para tercer año de la escuela secundaria

!

r\

12 13i!

Enseñanza de la matemática

Decreto o Cienciaha obtenido así y se piensa que siempre deben existir algunas motivaciones intuitivas. Co­rresponde, pues, aprender primero suficiente­mente las nociones, tomar conciencia, luego de las dificultades provocadas por la ausencia de definiciones rigurosas; sólo entonces se sen­tirá la necesidad de precisar y formalizar esas nociones.

10. Cabe una recomendación. Es la siguien­te: los alumnos son más inteligentes de lo que pueda parecer. En todo caso, no les gusta que se los considere tontos. Esto, que parece obvio, muchas veces ocurre.

Siempre se debe tratar a los alumnos con el mayor respeto, cualquiera sea el juicio que nos hayamos hecho acerca de su valimento inte­lectual.

Por ejemplo, los alumnos entienden que no se los aprecia debidamente si se les pide que verifiquen que en el plano euclidiano por dos puntos pasa una sola recta, o que por un punto pasa úna sola paralela a una recta dada. Creen que eso está dentro de los conoci­mientos intuitivos de una persona normal y ello es verdad. Debemos, por tanto, aprove­charlos para las definiciones o incluso para justificar la introducción teórica. En esto no debe haber ningún tipo de tabú y se debe admitir sencillamente que una definición rrecta debe corresponder a una necesidad sen­tida intuitivamente por el alumno.

11. El docente no carece, pues, de medios para construir por sí mismo, un curso que le satisfaga. No se ajustará a ningún manual, por bueno que le parezca, so pena de perder es­pontaneidad e iniciativa. Debería consultarlos a todos, compararlos, juzgarlos en función de sus ¡deas pedagógicas y científicas, y efectuar su crítica para no cometer errores.

Los libros de texto deben perder el aspecto sesudo que los caracteriza y contener infor­maciones que interesen a los alumnos. De­berían contener temas amenos, curiosidades, anécdotas, temas para pensar, notas históricas, todo lo cual contribuirá, a la formación del educando.

Digamos para terminar que, al fin y a la postre, la matemática no nace de los teoremas demostrados en los libros sino del enfoque de situaciones en las que se pueda hacer descu­brimientos. Buscar la manera más eficaz de presentar ese tipo de situaciones es lo mejor que podemos hacer en beneficio del alumno.

namiento conceptual. Se sabe que con figuras aparentemente bien hechas se puede convencer a los alumnos de que se les ha demostrado cualquier cosa, verdadera o falsa.

Podría aconsejarse a los docentes que usen poco o nada la tiza, que ella quede siempre en manos de los alumnos. Ello es posible aunque difícil y tiene la ventaja de que permite de­tectar errores lo cual, obviamente, es muy importante.

8. En general; se asigna mucha importancia al léxico de los alumnos, y esto nos parece bien. Pero es preciso evitar las exageraciones y no perder de vista que el léxico es esencial­mente un instrumento para Ia construcción y elaboración de conceptos mediante los cuales lo que se busca es lograr lo antes posible la mayor capacidad de abstracción. Pero, intro­ducir inoportunamente una terminología abs­tracta no da mayor precisión al lenguaje. ¿O se creerá que hablar del cardinal de un con­junto es más, preciso que hablar del número de elementps del mismo? Si se piensa que se lo hace para emplear términos de la matemática moderna, podría creerse que poco se ha en­tendido acerca de lo que dicha matemática es.

Parece, pues, indispensable, eliminar el len­guaje ampuloso y confuso. Las definiciones que necesita la matemática conjuntista son muy pocas y deberán introducirse cuando la necesidad lo exija. Al principio, las nociones deben enseñarse concretamente; la abstracción debe llegar paulatinamente y por grados suce­sivos.

Alfredo Raúl PALACIOS (Argentina)

Por lo tanto, desde la infancia es preciso hacer estudiar la aritmética, la geometría y todas las ciencias que deben preceder a la enseñanza de la dialéctica, y dar a las lecciones una forma tal que no deje traslucir la menor violencia.

-¿Por qué?-Porque -respondí- el hombre Ubre nada debe aprender esclavizado; pues si bien los ejercicios corporales

aún practicados a 1$ fuerza no causan mal alguno al cuerpo, las lecciones que a la fuerza han sido metidas en el alma, poco tiempo permanecen en ella.rNada más cierto -dijo.-Por consiguiente, querido joven -repliqué- no emplees jamás la violencia con los niños y haz que la

educación sea para ellos un juego, lo que, por otra parte, te permitirá descubrir mucho mejor las disposiciones naturales de cada uno.

-Lleno de razón está este precepto -dijo.

i

Platón (La República libro Vil)■»

i) El panorama actual Esto último tiene algo de positivo. Existe en sí el principio de autoridad intelectual, pero ocurre que, a veces, ese principio de autoridad tan solo llega hasta el nombre sin penetrar en la verdadera causa que da, a ese nombre, esa tal autoridad.

No se sabe aún, por qué suerte de proceso, se llegó a suponer que la reforma para el aprendizaje de la matemática daría mejores resultados en más breve tiempo. Pero ¿qué se entendía por mejor resultado? Por ejemplo, lograr que el niño aprenda a operar rápida­mente con los números del sistema decimal (único que conoce, por otra parte). La urgen­cia temporal en la obtención de resultados por parte del niño, ha hecho suponer que los nue-

métodos tendrían funciones de varita má- •

Nadie puede negar que, en este momento, resulta muy difícil establecer con alguna preci­sión los contenidos de la matemática para la escuela primaria. Este hecho es la resultante de una inercia que trata de mantener vigente programas ya caducos, de la fuerza que posee la necesaria reforma para el aprendizaje de la matemática y del producto híbrido, tan gene­ralizado, que surge de una inefable mezcla obtenida colocando, a manera de parches, al­gunos "temas modernos" sobre la estructura de la programación "clásica".

El intento de modificación dirigido a la enseñanza de la matemática en la escuela pri­maria, trajo como una de sus consecuencias la "explosión bibliográfica" referida directamente a cubrir las necesidades técnicas de los maes­tros. Rápidamente se pusieron de moda pala-

co-

9. Lo dicho tiene una consecuencia inme­diata: a! comenzar no se debe asignar excesivo valor a los conceptos formales rigurosos. Si lo esencial -de la ’ matemática es plantear, inves-' tigar y resolver. problemas, el rigor debe apa­recer oportunamente, cuando ya se ha cum­plido lo esencial del descubrimiento. La for­mal i zación responde a una inquietud de elegancia en la presentación de los resultados, a la necesidad de asegurar las bases de los posibles descubrimientos

vosgica.-para no correr el

riesgo de errores en la inducción- y también al deseo de generalizar y sintetizar.

El rigor formal aparece relativamente tarde y entonces tiene su papel, su lugar. Por lo

• menos, la enseñanza elemental de la mate­mática no puede ser un juego formal de axio­mas y reglas lógicas de las cuales siones. Ningún descubrimiento

Vano sería el intento-por mostrar todo el arsenal de cuestiones planteadas por los maes­tros ante las necesidades impuestas por la

f bras -conjunto, elemento, pertenece, grupo, propiedad asociativa— y hasta se estableció un común denominador para ello: "matemática moderna". Es notable y digno de señalar que la moda alcanzó a los nombres propios —por ejemplo Jean Piaget— y que éstos se utilizaron

toda discusión referida al tema.

Ii

"modernización".Todo este oscuro panorama, oscuro porque

es confuso, no porque se haya mostrado la profundidad del cambio, es un marco de refe­rencia poco propicio para la tarea educativa.

iI

rt sacar conclu- matemático se para cerrar

14 15!

¡■

cíente para lograr el éxito. Habrá que conse­guir psicólogos y especialistas en ciencias de la educación para posibilitar la real estructura­ción de un programa que, considerando las potencialidades del niño desde todo ángulo, permita una verdadera iniciación matemática ya en el jardín de infantes. La escuela prima­ria proporcionará la base para toda la tarea matemática ulterior.

La elaboración de los contenidos, no es un mero juego de yuxtaposición de nombres o una simple distribución, por bolillas, de pala­bras nuevas. Es algo mucho más complejo, y tan alto es el grado de complejidad que no existe en la actualidad un criterio "universal" que resuelva el problema. Pero sí hay excelen­tes proyectos tal como el realizado por el Doctor Zoltan Paul Dienes, que es imposible desconocer si intentamos una tarea seria.

Quizá se pueda conjeturar que el único elemento de la reforma realmente incorporado en nuestras escuelas, es su existencia. Pero se ve, tras corto andar, que se deberá realizar un profundo trabajo, tal vez de años, antes de intentar su puesta en marcha.

Para aplicar una reforma con éxito, es bási­co haber planeado su desarrollo como un to­do. En ese todo interviene fundamentalmente el maestro. No se puede dejar que la improvi­sación resuelva los problemas sobre la marcha y también, debe haber incorporado el espíritu que la anima. Si no estamos identificados con ella, el fracaso es seguro.

el objeto de completar el análisis de intervienen en este proceso,

niños lo hacen en la mayoría de los casos y nuestras computadoras también, y sin embargo ni unos ni otras son matemáticos. Hubo, sin duda, una época en que el cálculo y la medida parecieron ser toda la matemática existente, pero ahora no es así. La habilidad para mani­pular números y para medir dista mucho de la matemática actual.

La adquisición repetitiva que conduce a la posibilidad de recitar una tabla de multiplicar no significa en modo alguno que se ha adquiri­do el concepto de multiplicación. Bien sabe el maestro que, con frecuencia, los niños necesi­tan saber como "dato complementario" si un problema propuesto es "de más o de por" y una vez que se les proporciona este dato en­tonces sí comienzan a trabajar.

Todos estamos de acuerdo en que es nece­sario comprender la matemática, pero actual­mente todo parece indicar que no comprende­mos lo que significa comprender la matemá­tica. Nuestros niños no llegarán nunca a ello con el empleo exclusivo de la memoria.

Dijimos que tenía fundamental importancia el aporte de las ciencias de la educación y de la psicología. Entiéndase bien, un aporte serio. Esta afirmación necesita ser "explicitada".

La tarea pedagógica está ya preformada en nuestras escuelas. El maestro es muchas veces el polo autoritario de información y el niño, un receptor pasivo de la citada información o, si se prefiere, un oyente pseudoactivo. Este esquema emisor-receptor, que es la base de la enseñanza actual dé la matemática, parece no cumplir con el propósito de brindar al niño la formación matemática deseada. La matemática actual exige un cambio didáctico. Es esencial lograr una situación de aprendizaje que reem­place a la situación de enseñanza vigente, y para ello debemos recordar que el niño es el protagonista principal. Esto significa que el maestro deberá realizar una tarea totalmente distinta a la que ahora cumple rutinariamente. Deberá ser un moderador de las actividades de los grupos en que puede distribuir su clase. La tarea en grupos pequeños facilitará la indivi­dualización. Este trabajo es de significativa im­portancia puesto que existen diferencias individuales en la manera de elaborar los con­ceptos matemáticos, y no sólo éstos, sino tam­bién los demás conceptos. Si las ignoramos, nuestra tarea dará los resultados conocidos por todos. Aquí ya estamos en plena conexión

con el campo psicológico. Como su apoite principal debemos considerar:1) Diferencias individuales en el modo de ela­

borar los conceptos, y variaciones observa­bles en un mismo individuo relacionadas con su desarrollo;

2) Detalles del mecanismo del proceso de abs­tracción;

3) Problema de la motivación, que es mucho más complejo que el simple esquema estímulo-castigo.

La primera finalidad de un proyecto real­mente serio consiste en conocer las formas de pensamiento que se dan en el niño. No se puede confundir el proceso de abstracción con el de simbolización, que aunque están relacio­nados, son distintos. Es muy probable que el maestro declare que la matemática es abstrac­ta. Pero, ¿puede abstraer el niño? Y si puede, ¿cómo accede a la abstracción?

Mientras estas preguntas no tengan respues­ta clara a nivel de realidad, mientras las vincu­laciones propuestas entre las disciplinas citadas no se materialicen en una tarea de investiga­ción, sólo tendremos como resultado un pro­yecto vacío que permitirá denominar a la matemática como cada uno desee pero a un alto precio que continuarán pagando nuestros niños.

Conlos factores que presentamos algunos de los conceptos expues­tos por R. Biemel en su trabajo La Matemá­tica Moderna en la Escuela Primaria: El pro­blema de una didáctica nueva para la enseñan­za primaria choca en todos los países, y sobre todo en los que tienen un sistema escolar centralizado, con obstáculos muy grandes que nada tienen que ver con la matemática, pero que dependen de la organización, de la econo­mía y de las posibilidades financieras de unpaís".

"Todos los que, después de numerosas en­cuestas, saben que el simple adiestramiento en la primaria concluye por apartar de la mate­mática durante toda la vida al 90 % de los niños, se dan cuenta perfectamente de la nece­sidad de terminar con este estado de cosas; pero, hasta ahora no ha sido fácil interesar a los gobiernos y a las autoridades educativas en este problema. La verdadera razón reside, sin duda, en el hecho de que los que deben tomar decisiones ignoran los verdaderos problemas."

í

ii) Sugerencias

Si la enseñanza de la matemática debe sermodificada, y de esto no nos cabe duda, la forma del proyecto debe poseer un hilo verte­bral que tenga su raíz en el jardín de infantes y que alcance en su desarrollo hasta los pro­gramas universitarios. Esta es una premisa fun­damental. La citada reforma tiene fundamen­tos muy serios y sería bastante sensato pensar de ella, más como resultado de un largo pro­ceso de investigación en el país que como un decreto de iniciación en el cual no dejaría de ser un nombre para una hipótesis de trabajo. Es falso suponer que la reforma surgirá como producto de un reordenamiento temático cir­cunscripto exclusivamente al contenido mático. Es necesario establecer claridad que existen dos ponder:

iv) Un profundo deseoDebemos pensar sin temor que la enseñanza

de la matemática es un tema de investigación que corresponde al campo de la ciencia, y que un apéndice de gran importancia es la ense­ñanza en la escuela primaria.

Es tal la magnitud del problema que se impone una tarea interdisciplinaria para la cual debemos contar con la colaboración de mate­máticos de todos los niveles, psicólogos, peda­gogos, maestros y sociólogos. Es necesario crear institutos, centros, departamentos o comisiones para investigar la enseñanza de la matemática. Es necesario* que nuestras univer­sidades hagan su aporte para esta tarea funda­mental. Es necesario también conocer los pro­yectos internacionales sobre la materia, y sobre todo, es imprescindible aceptar que lo primero en educación es hacer las cosas bien. Lo segundo, no hacerlas. Lo tercero y último, realmente abominable, es hacerlas mal.

¡i¡) Las causas de las sugerenciasConsecuente con lo expuesto y con el úni­

co fin de marcar enfáticamente lo dicho, nos creemos en la obligación de subrayar algunos hechos que consideramos de interés.

No creemos equivocarnos al afirmar que la tarea que realizan los maestros en la actuali­dad tiene como foco principal la adquisición de técnicas por parte de los niños. Esto con­duce al hecho de que la mayor parte del esfuerzo tiende exclusivamente a incrementar la habilidad para aplicar dichas técnicas. Per0 debemos establecer claramente que se puede manejar una técnica sin comprender la esencia de la materia subyacente. Esto es sumamente grave en el aprendizaje de la matemática. Es posible manejar números sin tener la menor idea de lo que la matemática es. Nuestros

mate- con absoluta f

preguntas a res-

1) ¿Qué pretendemos que el niño aprenda de matemática?

2) ¿Cuál debe Un programa

ser la metodología a emplear?_ . no pueda responder aambas preguntas, no podrá cubrir las necesida- des elementales del cambio. Esta dualidad de partida muestra claramente los matemáticos será que el aporte de

necesario pero no sufi-

«16

17

c) los cuatro conectivos para los cuales el compuesto de p y q toma una sola vez el valor 1: en particular el conectivo K, cuya tabla es la siguiente:

bles proposiciones" p, q, r,... representan elementos del conjunto {verdadero, falso} y no de una colección de "frases". Ciertamente, es lícito colocar: p = "ir es irracional", q= "París es la capital de Francia", r="el cachalote es un insecto", etc., toda vez que estas frases intervienen aquí no por su conte­nido -por tanto, la apreciación incumbe al algebrista, al geógrafo, al zoólogo- sino única­mente por su aspecto lógico de proposiciones, vale decir, en una teoría; dada, de términos "verdaderos" y "falsos". A este respecto, las proposiciones p y q antes citadas son sinóni­mas considerando que son términos "verdade­ros", lo que se puede escribir así: p = q= 1, mientras que la proposición r es su negación en tanto que denomina lo "falso", vale decir: r = Np = Ní? = 0.

.Conectivo* i

KpqP QEste término no pertenece a la lengua corriente; pero su etmnolog.a y su empleo en

electrotecniT concuerdan en darle este sentido: objeto o mecen,smo que establece un vínculo Ser,a abusivo extender este sentido a la lógica: un conect.vo bmano 7 no introduce ningún "vínculo" entre dos objetos p y d. pero define a part.r de ellos un tercer ob,eto (una confusión semejante debe temerse todavía más en el caso del conectivo implicación donde es favorecido por el verbo "implica" que sugiere un vinculo causal). Solo a nivel de la notación

objeto aparece el símbolo y como vínculo entre los símbolos p y q; pero lo muestra el empleo de la notación funcional,

!1 1 11 0 o Io 1 oo o o

d) los cuatro conectivos para los cuales el compuesto de p y q toma una sola vez el valor 0 (conectivos compuestos de los precedentes con N; en particular los conectivos A y C que tienen respectivamente por tablas:

p y q de este tercer eso nodenominada "polonesa", y pq.

tiene nada de esencial, como

1. Punto de vista conjuntistaDefinición. Por más que el origen, la termi­

nología y muchas de las aplicaciones de los conectivos se basan en la lógica, aquí partire­mos, para evitar interpretaciones prematuras, de una definición puramente conjuntista. Sea B un conjunto de dos elementos, 1 y 0 por ejemplo, y sea n un natural no nulo: se deno­mina conectivo n-ario a toda función de Boole de peso n, es decir, a toda función de Bn en B. El número de conectivos n-arios es (2)2- los conectivos más usuales son los conectivos unarios y los conectivos binarios.

Emplearemos en este párrafo la sintaxis denominada polonesa, y el alfabeto usualmen­te ligado a esa sintaxis por los conectivos. Pero se emplean otras escrituras diversas, en las cuales los conectivos se representan por símbolos intercalares: una de ellas es empleada en lógica; otra, en automática, consiste en escribir p +q en lugar de Kpq (observar que el signo + de la automática no representa ley de semigrupo conmutativo, contrariamente a lo usual). También se puede volver a las operaciones clásicas en IN o aún en el cuerpo {0,1} : en el primer caso Apq se escribiría

P + Q - PQ. y en el segundo p + q + pq.Conectivos unarios. Si la letra p designa un

elemento cualquiera de B, los cuatro conecti­vos unarios son: las aplicaciones P"*1 y P“*0, ia aplicación idéntica la aplicación N definida por la tabla

P Np

Apq CpqP Q QPLas dos últimas son evidentemente biyec-

ciones involutivas.Conectivos binarios. Si las letras p y q

designan dos elementos cualesquiera de B, clasificaremos los 16 conectivos binarios de la siguiente manera:

a) la implicación constante (p, q)-+ 1, las proyecciones (pf q) -* p, (p, q) q, y el conec­tivo E cuya tabla es___________

Nombres y términos usuales1 1 1 1 1 1 Conectivos unarios: Los conectivos constan­

tes p -> 1 y p -* 0 son, respectivamente, la tautología de una variable y la antilogía de una variable; el conectivo idéntico p-*p es la sinonimia de una variable. El conectivo N es la negación; notaciones corrientes para la nega­ción de p: ~~\p, p, a menudo leídas o incluso escrita, "no p"; el carácter involutivo ya seña­lado implica: ~~l “lp=p. Para las otras pro­piedades de la negación, vinculadas con los conectores binarios, ver las noticias dedicadas

K1 0 1 1 o oo 1 o 111

1o o o o o

Estos diversos conectivos unarios o binarios no son independientes; es posible engendrarlos a todos mediante dos de ellos conveniente­mente elegidos (N y K por ejemplo), o incluso con uno solo (por ejemplo, el "conectivo de Sheffer" NK). Con mayor generalidad: se puede obtener, componiéndolos de diversas maneras, teoremas como los siguientes

ApNp = 1NKpp = ANpNp (De Morgan)

Cpq = ANpp E pq = KCppCpp

KpApr = AKppKprSe desemboca así en una sintaxis de los

conectivos totalmente independientes de la significación atribuida a los elementos p, qt r,... de B.

E pqQ1 10 0

01 a éstos.Hechos triviales referidos a esos conecti-

por el hecho de que p y (p=1) son0 1

b) las cuatro compuestas de las anteriores con N, a saber [p, q) -*■ 0, (p, q) Np, ÍP, Q) Nq, y el conectivo J cuya tabla es

vos:proposiciones simultáneamente verdaderas (si p es verdadera) o simultáneamente falsas (si p es falsa), una aplicación como p-> (p= 1) no es otra cosa que la sinonimia de una variable; de la misma manera, aplicaciones tales como p -> (p = 0), p -* (p=p), p -► (p = ’lp) no son otras que la negación, la tautología o la antilo­gía, respectivamente, de una variable.

VPVPV? VPV9 VPV Q VP\/q\/r

una

íConectivos binarios: Los conectivos cons­

tantes (p, q) -► 1 y (p, q) -*■ 0 son respectivamen­te la tautología y la antilogía dedos variables.

El conectivo K es la conjunción; notación corriente para la conjunción de p, q: p /\q, a menudo leída o aún escrita "p y q”. Esta enunciación no debe encubrir el hecho de que la "y" del lenguaje corriente tiene muchos otros empleos que el empleo conjuntivo (en el sentido lógico y no gramatical).

2. Punto de vista lógico2.1. Cálculo proposicional. El punto de

vista corriente es más semántico: se interpreta a los elementos 1 y 0 del par B como los valores de verdad "verdadero" y "falso" de la lógica bivalente. La sintaxis anterior se con­vierte entonces en el cálculo preposicional.

Conviene señalar de entrada que las "varia-

fconstantes J P“*p y

■

Se trata de otro artículo del Dictionaire de la Association des Professeurs de Mathématiques de i tnseignement Public, de Francia. Nos parecen tan comp etos estos artículos que no vacilamos en afir- mar que, una vez concluido el diccionario, estaremostodoHos nivele ^ 0bra de consu,ta ob,¡9atoría Para

:

i 1 0 ;0 1 I

!

18i 19

;

LO DIDACTICOtivo unario tiene prioridad sobre los conecti­vos binarios y que se tiene el derecho de escribir ”lp A q en lugar de (1p) Aq. Entién­dase bien que ~l(pA¿) tiene diferente signifi­cación; se puede, además, escribir p t q "con negación incorporada" t, *[*, U, designar, respectivamente, los compuestos de la negación con la conjunción, la disyunción, la aplicación, la equivalencia; el símbolo I, a veces reducido ato incluso a la simple verti­cal, se denomina "barra de Sheffer".

2.2. Cálculo de predicados (o de atributos). Se recuerda que dado un conjunto U tomado como "universo", se denomina predicado a todav aplicación f de U en B (se dice también que f es un atributo o una propiedad que puede poseer o no tal elemento o "individuo" x del universo). El valor f(x) tomado por un individuo dado x es una proposición en el sentido precisado en (2.1).

Sea entonces F el conjunto de las aplica­ciones de U en B: a todo conectivo n-ario y que aplica Bn en B, se le puede asociar un operador n-ario T aplicando Fn en F gracias a la definición

El conectivo A es la disyunción (a veces denominada "no exclusiva" para distinguirla de J); notación para la disyunción de p, q: p V q; a menudo leída o aún escrita "p o q". La ambigüedad de "o" en el lenguaje corriente obliga a las mismas reservas que más arriba.

El conectivo C es la implicación', notación corriente para la implicación de p, q (en ese orden): p=>q. Las enunciaciones usuales "si p, entonces q" presentan el grave defecto de su­gerir la existencia de un vínculo causal; tomar el enunciado "p flecha q" sería menos peligro-

Doiinomios:

problemas didácticospara

Olga L. LESCANO (Argentinai

so.resulta que, considerándolos como polinomios en x, se obtiene cierto cociente y cierto resto; y considerándolos como polinomios en y, se obtiene otro cociente y otro resto. Es con­veniente que el profesor esté en condiciones de despejar las dudas que esta situación suscita en el alumno.

El cuarto problema (y último que consi­deraremos) tambión está relacionado con la división de polinomios: es el del llamado "ver­dadero valor" de una expresión racional; el alumno suele quedar estupefacto ante el hecho de que cjerta expresión "indeterminada" ad­quiera de pronto, por simplificación, su "ver­dadero valor".

Me ocuparé a continuación de cada uno de estos cuatro problemas, en el orden indicado. El conjunto de estas observaciones sugerirá claramente cuál es la forma orgánica y sis­temática con que debería ser presentada el álgebra de polinomios en la enseñanza media y en el ciclo básico de la Universidad.

1. Consideraciones generalesVarios son los problemas didácticos que

presenta la enseñanza del álgebra de polino­mios; en este trabajo me referiré a los que estimo más importantes desde el punto de vista pedagógico. El primer problema es de carácter casi filosófico: el alumno no termina de saber qué es un polinomio, qué clase de objeto (si de objetos se trata) es un poli­nomio: en algunos casos se lo presenta como función, en otros como expresión formal, y en estos últimos no suele quedar muy claro qué quiere decir la locución "expresión formal"; consecuentemente, el alumno no sabe si las letras que figuran en los polinomios son nada más que letras, o espacios vacíos que se "ponen en evidencia" mediante letras, o letras que desig­nan números o conjuntos de números. Este problema será llamado "problema conceptual básico".

El segundo problema es de carácter estruc­tural y se refiere a la divisibilidad de poli­nomios: el alumno se entera de que existe un algoritmo de división de polinomios, que exis­te otro algoritmo llamado factoreo o facto- rización, y un tercer conjunto de algoritmos que consiste en el manejo de las expresiones racionales, concebidas como cocientes indi­cados de polinomios. Las relaciones entre estos tres algoritmos suelen aparecer en forma muy confusa, pues cada tema se concibe como unidad aislada; más aún: no se suele poner en evidencia la analogía con la divisibilidad en los números enteros. Este problema será llamado "problema de la divisibilidad".

El tercer problema está íntimamente re­lacionado con el anterior, pero posee gran interés específico, pues es fuente de per­plejidad para los alumnos: se trata de la di­visión entre polinomios en dos variables xt y;

El conectivo E esja equivalencia lógica (o implicación mutua): notación corriente de la equivalencia de p, q: p ciones usuales "p si y sólo sí q, "p equivale a q", están sujetas a las mismas críticas de más arriba; sería mejor "p doble flecha q".

El conectivo J es la exclusión mutua (deno­minada también "disyunción exclusiva"; nota­ción corriente de la exclusión mutual p <d=* q, leída "o bien p, o bien q".

Observación I. Por ser una aplicación que verdadero, falso como conjunto de

llegada, todo conectivo es una relación; tenien­do por conjunto de partida Bn, todo conec­tivo n-ario es una relación n-aria en B. En particular, los conectivos binarios son relacio­nes binarias en B, pero visiblemente también operaciones internas en B. Esta parti­cularidad, poseída únicamente por los conecti­vos binarios, hace que se les pueda aplicar indiferentemente el vocabulario de las relacio­nes binarias o el de las operaciones. Así, es indiferente decir que la operación A mutativa o que la relación A es simétrica; se puede considerar a la implicación relación de orden,

una relación de equivalencia; y se puede definir, lo mismo en el sentido de las relacio-

que en el sentido habitual de la lógica, la recíproca de la implicación =>, designada con <=.

Observación II. Contrariamente a la nota­ción polonesa, las notaciones con símbolo intercalar necesitan generalmente paréntesis, salvo en el caso de la asociatividad; por ejem­plo pA 7 f\ r es correcta tanto como (p í\ q)Ar. Algunos autores formulan reglas de prioridad que permiten la economía de algu­nos paréntesis, pero no todds las adoptan; en desquite, se admite generalmente que el

q. Las enuncia-

tiene L'

vxeu, irffi.fi......== 7lflM, f2(x),...fn(x)}

Por un abuso de lenguaje habitual en casos parecidos, se continúa denominando "conecti­vos" a esos nuevos operadores y se conserva para cada uno de ellos el nombre y las nota­ciones atribuidos al conectivo proposicional correspondiente: se habla, pues, de la "nega­ción" del predicado f, designada con ~V, de la "conjunción" de los predicados fit f2, desig­nada fi A f2, etc Por ejemplo, en el universo de los cuadriláteros, el predicado "ser cuadra­do"

son

l

es con-2. El problema conceptual básico2.1. Decisión preliminar. El profesor debe de­cidir la forma en que ha de presentar los polinomios, y luego atenerse estrictamente a ella, pues la posición contraria (bastante ha­bitual) que consiste en tratarlos a veces como funciones y a veces como expresiones for­males, es incorrecta y engendra confusión. Por supuesto, se puede optar por presentarlos como funciones y como expresiones formales, pero en tal caso no conviene en absoluto usar la misma palabra ("polinomio") para referirse a ambas clases de entidades. En este texto hablaremos de funciones polinómicas y de expresiones polinómicas: el profesor puede decidir reemplazar cualquiera de estos dos nombres por la simple palabra "polinomios,

Icomo una

la equivalencia lógicai

acomo es la conjunción de los predicados "ser

rombo" y "ser rectángulo".Por más que sean, desde el punto de vista

matemático, más complejos que los conectivos preposicionales, estos nuevos conectivos están, para la intuición, más de acuerdo con las ideas corrientes de sinonimia, de negación, etc. Si,

respecto al universo [ ir, París, el cacha­lote ] se consideran los predicados "ser irracio­nal", "ser la capital de Francia", "ser un insecto", ya no existe más entre ellos ningún vínculo de sinonimia o de negación, e.n forma contraria a la situación un poco extraña en­contrada en (2.1).

nesf

con

V-1 conec-

20 21

i

ya sabe lo que es sumar funciones. La defi­nición precedente equivale a estipular que se suman los coeficientes de las potencias de x que tienen el mismo exponente (términos de igual grado).TEOREMA. La suma de dos polinomios en x es un polinomio en x.

La demostración es obvia, así como la de las propiedades asociativa, conmutativa, de ele­mento neutro y de elemento opuesto: o sea que los polinomios de x forman grupo abe- liano con respecto a la suma.DEFINICION: Llamaremos monomio de grado k (siendo kELN) a todo polinomio M que tome valor no nulo para el argumento k y valor nulo para todos los demás, es decir: M(xK) =£ 0, M(xn) = 0 para n=£k. También lla­maremos monomio al polinomio nulo, pero no le asignaremos grado.Notación. El monomio M, de grado k, carac­terizado por el valor

M(xk) = se anotará así:

M = akxk;en particular, para k = 1, convendremos en escribir

aix1 = a2x,y para k = 0, convendremos en escribir

a0x° = a0.Entonces, un polinomio P caracterizado por

las igualdadesP(xk) = ak (k = 0..........n)P(xm) = 0 para m > n

se escribe así:

número natural (incluido el cero); conven­dremos en escribir este par ordenado en la forma:

(x, n) = xn.Notación. Denotaremos con Pot(x) al con­junto de todas las potencias naturales de x; es decir:

anterior, se obtiene como polinomio una ex­presión de la siguiente forma:

pero en tal caso debe mantener el otro nom­bre marcando bien la diferencia; por ejemplo, si decide llamar ''polinomios" a las expre­siones polinómicas, debe mantener cuidado­samente el nombre de "funciones polinó- micas" para las otras entidades.

En resumen: la primera decisión debe con­sistir en elegir una y sólo una de las tres siguientes posibilidades: a) Introducir úni­camente la noción de función polinómica, usando, para referirse a ella, el nombre de "polinomio"; b) Introducir únicamente la no­ción de expresión polinómica, usando, para referirse’ a ella, el nombre de "polinomio"; c) Introducir ambas nociones (función poli­nómica y expresión polinómica) usando para una de ellas solamente el nombre de "po­linomio".2.2. Las expresiones polinómicas, o polino­mios formales. En el caso de decidirse por la alternativa c) indicada al final de 2.1, lo más conveniente (por razones que se verán en el curso de esta exposición) es llamar "poli­nomios" a las expresiones polinómicas, o po­linomios formales. Pero la definición de estas entidades en un nivel elemental presenta serios problemas didácticos. Se podría adoptar una definición informal y sumamente imperfecta, como la siguiente:

Llamaremos "expresión polinómica real en x" a toda expresión de la forma

siendo a0 un número real. Esto tiene el in­conveniente de que no aparecen como poli­nomios los números reales, sino las expre­siones constituidas por un símbolo que denota a un número real. Así, pues, las expresiones.

2; 1+1; 6-4,son distintas, pero denotan al mismo número real. Si se las considera como expresiones po­linómicas reales en x, habrá que admitir que son dferentes entre sí, lo cual no coincide con lo que se espera del comportamiento de los polinomios.

Aparece también un inconveniente menor: de acuerdo con la definición dada, para n = 0 se obtiene una expresión de la forma a0, pero debiendo ser a0 =£ 0; esto prohíbe considerar al número 0 como expresión polinómica; por supuesto esto se obvia introduciendo una de­finición ad-hoc para el cero.

A pesar de estos inconvenientes en la es­cuela secundaria conviene comenzar con esta definición, pero dándole explícitamente el ca­rácter de definición provisoria. A continuación el profesor puede mencionar los inconvenien­tes que acabamos de señalar, y concluir en esta pregunta:

¿Qué es lo que realmente interesa conocer en las expresiones del tipo (1)?

Pot(x)= [x"/x6N|, o bien, menos formalmente:

Pot(x) = { Xo . xl, X*

DEFINICION. Llamaremos "polinomio real en x" a toda función

P:Pot(x) Rpara la cual existe un número natural n tal

i •

queiP(xm) = 0 si m > n.

El número real P(xk) se llama "coeficiente de xk".

I;

Por ejemplo: la expresión polinómica de la forma (1):

3x2 - 5x + 1está dada por la siguiente función:

P:Pot(x) -*.R dada por

P(x°) = 1;P(xl) = —5;P(x2) = 3; P(x3) = 0; P(x4) = 0;... P(xn) = 0;...

donde se ve que es P(xm) = 0 para m > 2.La función PQ:Pot(x) R, constante de

valor nulo, es decir tal que Po(xn) = 0 para todo número real n, se Jlama polinomio nulo en x. Es decir: el polinomio nulo es el que tiene todos sus coeficientes nulos.2.3. Operaciones enteras con polinomios for­males. Seguiremos dando a la locución "po­linomio real en x" el significado contenido en la última definición de 2.2.

an*n + an.iX"-i + ... + a:x + a0, donde a¡ es un número real para i = 0,

y an 0, siendo n un número natural > 0. El número a¡ se llama coeficiente de x'.

Pero surge inmediatamente el problema de averiguar qué quiere decir "expresión", y en este aspecto pueden aparecer dudas de carác­ter práctico difíciles de superar. Por ejemplo, se pretende que las dos expresiones siguientes denoten el mismo polinomio:

x' + x + 1; 1 + x + x2,

pero como expresiones (conjuntos ordenados de símbolos) son distintas. Algo análogo cede con las siguientes expresiones, que distintas como expresiones pero denotan mismo y único polinomio:

5x + 1, (3 + 2) x + 1.

Peor aún, tomando n = 0 en la definición

(1) Se ha de motivar la siguiente respuesta del alumno: Lo que realmente interesa conocer es el coeficiente de cada término.

Ahora bien: asignar un coeficiente a cada término es efectuar una asignación, y por lo general las asignaciones son funciones (o re­laciones). En el caso de la expresión (1), la asignación es la siguiente:

xn-i

n.

h-1 + ... + a!X + a0 =P = anxn + an.jX

f'xn an; x® -* a0;

Entonces se ve que lo que conviene es considerar por una parte las expresiones

X°, Xl, X2, .

y por otra parte las funciones que asignan a cada una de estas expresiones un número real.

Podemos mejorar entonces la presentación del siguiente modo:

DEFINICION. Potencia natural de ordenado de ¡a forma (x,n), donde

(2)i-> a . . .; x —> 3};n -1 /DEFINICION. Llamaremos suma de los poli­nomios reales en x, P y O. (dados en ese orden) a la función suma P + Q, es decir, a la función

P + Q:Pot(x) R

donde ahora los signos de suma no son me­ramente formales sino que indican auténticas sumas de monomios, que son casos particu­lares de polinomios.

En la multiplicación de polinomios, no hay ningún inconveniente en comenzar por la mul­tiplicación de monomios, y luego extender la definición a polinomios cualesquiera por li- nealidad, como se hace tradicionalmente en la enseñanza secundaria.

)r

xn• • , A , . .su-son

dada por(P + Q)(xn) = P(xn) + Q(xn).

a un

! No hace falta aclarar de qué se trata, supone que, a esta altura, el alumnor- x es un par

n es unpues se

:2322

••i

Llamaremos "x" al polinomio caracterizado por tomar el valor 1 para el argumento 1, y el valor O para todo otro argumento.

Así, pues, ahora la letra "x" designa a un polinomio determinado, a Saber, el que está dado por la siguiente correspondencia:

0 0; 1 -► 1, 2 -> 0; 3 -► 0; ..n 0; ...Si a este polinomio se lo designa por la

letra "x", el polinomio caracterizado por to­mar el valor a2 para el argumento 1 y el valor 0 para todo otro argumento se obtiene mul­tiplicando al polinomio x por el número real a1# es decir que dicho polinomio se denota

De este modo el conjunto de los polino­mios reales en x queda munido de una es­tructura de anillo conmutativo con unidad.

2.4. Observaciones. Haremos dos observa­ciones con respecto a la definición de po­linomio que hemos propuesto en 2.2.1a) Pese a los nombres "polinomios forma­les", "expresiones polinómicas", "expresiones formales", que suelen usarse, los polinomios que acabamos de introducir son funciones, y los signos de suma que aparecen en la fór­mula (2) corresponden a sumas auténticas, es decir que no son meramente "formales". Un resto de "expresión meramente formal" ha quedado en nuestra definición, pues hemos partido del concepto de potencia natural en x como par ordenado (x,n): aquí la letra "n" no aparece formalmente sino designado a un número natural; en cambio la letra "x" apa­rece formalmente pues no designa nada: es una mera expresión escrita.2a) Sabido es que puede darse un paso más y suprimir todo resto de "expresión meramente formal" en la definición de polinomio. Para ello basta suprimir las apariciones puramente formales de la letra "x", y esto se consigue mediante una definición de polinomio leve­mente más abstracta que la que hemos pro­puesto:

Polinomio real en una variable (o indeter­minada) es toda función

P:N R

para la cual existe un número real n tal que P(m) = 0 para m> n.

Problemas con

triángulos rectángulosEmilio J. DE CECCO

(Argentina)

de a2¡2 por la misma razón anterior o, según se desprende de esta otra expresión de (2):

1. Determinación de los lados de un triángulo rectángulo dado uno de los catetos (soluciones enteras).

Por el teorema de Pitágoras, si a es el cateto dado, h la hipotenusa y c el cateto buscado, tendremos:

a2 = h2 — c2

ecuación indeterminada con dos incógnitas.Para darle una expresión más sencilla ha­

gamos h = c + f y reemplacemos en (1):

a2 = (c + f)2 - c2 a2 — c2 + 2cf+f2 — c2 a2 =2 cf+f2

Por tanto:

a2 — f2

así;

-1 !Í_f - 1 ,a2 *C 2 f 2 2 f• X,

donde ahora el punto designa a una auténtica operación de multiplicación entre número real y polinomio.

A continuación se define el producto de polinomios del siguiente modo: si P y Q son polinomios reales dados por

P(k) = ak para 0 < k < n, P(k) = 0 para k > n Q(k)= bk para 0 < k < m, P(k) = 0 para k > m,

definimos

i6) La solución es general para cualquier

número entero, par o impar. Podemos decir, pues, que el cateto desconocido (c) es igual al cociente de la diferencia de cuadrados del nú­mero dado y de uno de los factores del cua­drado del mismo sobre el duplo del divisor.

En síntesis: Para hallar el cateto descono­cido se toma un factor cualquiera del cua­drado del número dado (para números impa­res) o cualquier factor par de la mitad del cuadrado (para números pares), debiendo ser dicho factor, en ambos casos, menor que el número dado. Se resta el cuadrado de ese factor hallado del cuadrado del número dado

(1)i:\v

P.Q:N-*R -*(Hpor la fórmula (2)c =2 f

(P . Q)(k) = ai . bjl + J=k El problema se reduce entonces a buscar en

qué caso c resulta un número entero y posi­tivo (número natural). Para ello:

1) f deberá ser menor que a, pues de ser f=a resultaría c = 0 y si f>a, c resultaría negativo;'

2) Si a es impar, también f deberá ser impar, pues de lo contrario, por (2) a2/f no daría un número natural.

3) Si a es positivo también lo será f, pues de lo contrario, en la expresión

es decir que

(P.Q)(0) = a0 . b0 (P.Q)(1) = a0 . bi +ax . b0 (P.Q)(2) = a0 . b2 + ax . bx 4- a2 . b0

y se divide por el duplo del factor. De lo dicho se deduce que el problema tiene tantas soluciones, para números enteros pares, como factores pares menores que la mitad del nú­mero dado tiene la mitad del cuadrado dea.

Podemos así determinar todos los números posibles correspondientes a los catetos con res­pecto al dado, pero conviene separar el pro­blema en dos partes:

I. Cálculo de catetos menores que el cateto

Después se define la suma de polinomios como lo hemos hecho en 2.3, y se define el producto de un número real por un polinomio como caso particular de producto de función a valores reales por número real, a saber:

etc.Se comprueba entonces que, si el poli­

nomio x puede considerarse representado por la sucesión (función de N en R):

0. 1,0, 0,0.......... 0,

el polinomio x2 =x.x, de acuerdo con la multiplicación que acabamos de definir, rece representado por la sucesión

0, 0, 1, 0, 0..........0, ..

ir.P:N-*R

(r. P) (n) = r. P(n).

dado.H

a2 — f2idada por II. Cálculo de catetos mayores que el dado. Para determinar el caso I se debe deducir

cuáles han de ser los factores correspondientes a cada una de esas soluciones:

c =apa- 2 f

A continuación se introduce la letra "x", pero ahora su aparición no es meramente for-

. mal (es decir, la letra "x" no es tratada como una mera grafía carente de significado) sino que ahora la letra "x" posee carácter desig- nativo, es el nombre de un objeto matemático, a saber:

el numerador daría un número impar y, en consecuencia, no sería divisible por 2f.

4) Si a es un número impar, f debe ser factor de a2 (el dato elevado al cuadrado) pues, de lo contrario, en (2) no sería a2/f un número natural.

5) Si a es un número par, f debe ser factor

• *el polinomio x3 (que puede obtenerse por

repre-a2 — f2multiplicación: x3 = x2 . x) aparece

sentado por la sucesiónc =

2 fPara catetos menores’ que el dado (a), c

debe ser menor que a.Por lo tanto:

0. 0, 0, 1, Q........0, ...etc.i'.

(Continúa en pág. 30)24

25¡ili

<

ENSEÑANZA PRIMARIA372 - 1.aa2 — f2 1369 - 1= 684< ac = c = 22 . 12 f

iLa hipotenusa h estará dada por:

/? = c + f= 684 + 1 h = 685

zjemplo 2: a = 106, a2 = 1062 = 11236

a2 — f2 < 2aff2 +2af-a2 > 0 (f + a)2 > 2a2 f+a >vr2s7f + a > a>/ 2 (tomando soluciones /■>-a + a\/Y aritméticas) f > a(>/2- 1), pero VT= 1,414.. . f > a (1,414... — 1) f > a . 0,414...

O sea

SIMA(Argentina)

f = 2

a2 — f2 11236-4= 2808c = 2f 4

La introducción de la topología en la es­cuela primaria plantea innumerables inquie­tudes, así como también el problema de elegir la ejercitación adecuada con los límites preci­sos de dificultad para cada nivel mental.

Con la finalidad de aclarar algunos as­pectos, es conveniente recordar, ante todo, el orden que matemáticos y psicólogos han es­tablecido en cuanto a las "estructuras madres" de la matemática y la relación (¡somorfismo) comprobada entre ellas y las estructuras men­tales.

Un fugaz análisis permite afirmar que si el modelo es cerrado, abierto o tiene un agujero, en la copia se mantiene respectivamente como una figura cerrada, abierta o con agujero.

Esto coincide con lo que se ha definido

como topología, o sea, el estudio de las pro­piedades de i as figuras que se mantienen in­variantes a través del grupo de transforma­ciones dadas por i as deformaciones continuas. (Para mayor aclaración ver Conceptos»de Ma­temática N° 17)

Un ejemplo se logra tomando una banda elástica: se le aplica un estiramiento en cual­quier sentido el que producirá una defor­mación, la cual será continua mientras no se pliegue o rompa el material. Si sobre la banda se dibuja una circunferencia, al estirarla se obtendrá un óvalo o algún otro tipo de figura, pero siempre seguirá siendo cerrada.

La permanencia de situaciones, constituye los llamados invariantes topo/ógicos, que son los primeros que se perciben. El interés del niño en descubrir cómo se abre una caja para ver qué contiene, llegar al piso superior, fran­quear una puerta y otros, lo •lleva a manejar nociones que no tienen relación con la medida.

Vale decir: para cada número dado hay tantas soluciones enteras menores que dicho número como factores mayores que el pro­ducto a. 0,414. .. tiene el cuadrado (caso de números impares) o la mitad del cuadrado de a (caso de números pares).

Para catetos mayores que el dado se ten­dría: f>a. 0,414...

Vale decir: habrá tantas soluciones como

h = 2802 + 2 = 2810

Ejemplo 3: a = 105; a2 = 1052 = 11025

Los factores son 1; 3; 7; 9; 15; 21; 25; 35; 45; 49; 63; 75. En total: 13 soluciones de las cuales 45; 49; 63; 75 dan catetos menores quea.

Si f = 45 resulta:factores menores que el producto a . 0,414... tiene el cuadrado del número dado (impares) o la mitad de su cuadrado (pares).

Para números enteros, los catetos no po­drán ser iguales.

Apliquemos lo visto a los siguientes ejem-

1052 — 452 1a. Estructuras topológicas 2a. Estructuras de orden 3a. Estructuras algebraicasPara quienes se introducen por primera vez

en el armonioso y vasto campo de la topo­logía, resulta un tanto incomprensible que este conocimiento que se encuentra en el nivel universitario, aparezca en los niños que aún no han cumplido el primer año de edad. Obser­vando los grafismos que efectúan los pequeños cuando empiezan a tomar un lápiz, se com­prende fácilmente. He aquí algunos modelos dados y la copia que efectúa el niño:

= 100; h-c + g-c = i2 X 45

= 100 + 45=145 Si f - 49 resulta:

píos:1052 — 492Para a = 1 no hay solución entera, porque

el factor eje 12 es 1 (igual al número dado).Para a— 2 tampoco hay solución entera,

porque el único factor par de xAa2 es igual al número dado.

= 88; ó = 88 + 49 = 137c =2 X 49

Si f = 63 resulta:

1052 -632Para a = 3, así como para a igual a un número primo cualquiera, sólo hay una so­lución, y ésta es mayor que el número dado.

Para a = 4 sólo existe una solución entera, que es menor que a por ser el único factor par de la mitad del cuadrado (menor que 4) que cumple la condición f<a . 0,414...

Todos los números, excluidos el 1 y el 2, tienen por lo menos una solución entera por­que los cuadrados de los números impares tienen por lo menos el factor 1 y la mitad del cuadrado de los números pares tienen como factor al número 2 que cumple las condiciones requeridas.

c = = 56;/? = 56 + 63= 1192 X 63Si f — 75 resulta:

1052 - 752c = i= 36;/? = 36 + 75= 111

Análogamente se procede para factores que dan soluciones con catetos mayores que a. Ejemplo 4: a = 120

Por ser: a212 = 14400/2 = 7200 == 2S • 32 • 52

Los factores que reúnen las condiciones ya estudiadas son 2; 4; 6; 8; 10; 12; 16; 18; 20; 24; 32; 36; 40; 48; 50; 72; 80; 96; 100. En total: 19 soluciones, de las cuales 14 dan catetos mayores y 5, catetos menores que a.

(Continuará)

De ahí la necesidad de que estos conceptos sean los primeros que les brinde la escuela en forma sistemátizada, ya que realmente están adecuados a su estructura mental, y no así la geometría métrica.

Se propone a continuación algunos trabajos con el análisis que surgirá lógicamente al efec­tuarlos.

1. Tomar una superficie elástica, dibujar en ella una figura (trilátera, cuadrilátera u otra). Colocar una marca o letra

2 X 75

Ejemplo 1: a = 37; a2 = 372.Factores de a2 que cumplen las condi­

ciones: sólo tenemos el 1.

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27

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1' 1distinta en cada vértice. Estirar la plancha y observar qué ocurre en cada una de las deformaciones.

Se llegará a la conclusión de que, por ejem­plo, B y C están en distinta región porque

unirlos mediante una línea se deberáparaatravesar la frontera. Asimismo E y D estánen la misma región porque si se unen con una línea no es necesario tocar la frontera.

6. Con tarjetas o gráficos del tipo de la figu­ra 7 indicar:

¡

Fig 9

Se concluirá que es siempre posible unir un par de puntos sin atravesar una fron­tera.

4. Unir los extremos del hilo y colocarlo sobre el papel. Marcar un punto en la región interior y otro punto en la región ex­terior. Tratar de unir con una línea los puntos sin tocar el hilo.

Resumiendo todos los gráficos, y cuando el nivel de la clase lo permita, se podrá confec­cionar una tabla con los datos y generalizarlo para n (n: número de fronteras.)

Líneas de uniónRegionesFronteras

0211322r» 43o354Fig 2 Fig. 7 465r

a) ¿Cuántas figuras hay?b) ¿Si es o son figuras abiertas o cerradas?c) ¿Qué letras están dentro de la figura y

cuáles fuera de ella?7. Dibujar dos figuras cerradas sin cruza­

mientos e indicar cuántas regiones determi­nan, tomando la hoja como'plano.

8. Idem al anterior utilizando tres o más fi­guras cerradas.

Mediante este tipo de ejercicio se compro­bará que todas las figuras obtenidas serán cerradas, permanecerá el número de lados y los vértices conservarán el orden.

2. Trazar en la banda una figura cerrada y un punto exterior. Tratar mediante estiramien- • to de llevar el punto dentro de la figura.

n —*1n+ 1n

Fig. 5,Después de algunos intentos se deducirá que no es posible unir los puntos sin atravesar la frontera.

Ejercitadones del tipo 2, 3 y 4 llevarán a la generalización de que las curvas abiertas no dividen al plano; una curva simple cerrada, en cambio, separa al plano en dos regiones, una in­terior y otra exterior. Como fijación del ejer­cicio 4 se podría plantear el ejercicio.

5. Dibujar una frontera de manera que divida al plano en dos regiones, una interior y otra exterior. Descubrir la manera de saber si dos puntos están en la misma o en distinta región.

Trabajar ahora con hilos de distintos co­lores, cada uno de ellos unido en sus extremos de manera que formen figuras cerradas, (fn el dibujo se indica con diferente trazado la varia­ción de color.)

Si se colocan sobre una superficie dos de los hilos, determinan para este caso, tres regiones:

Fig. 3

Se verificará que los puntos de la región exterior permanecen en ella; de la misma manera que los puntos interiores quedarán dentro.

3. Tomar un trozo de hilo y colocarlo sobre una hoja sin unir sus extremos ni superpo­nerlo. Marcar varios puntos en distintos lu­gares de la Ijoja. Unir los puntos de a dos con líneas de diferentes colores sin tocar el hilo.

9. Utilizando las figuras obtenidas en 7 y 8 investigar en cada caso cuántas líneas que unan dos fronteras se pueden trazar sin aumentar el número de regiones.

Ejemplo: En el gráfico de la figura 9 se han tomado cuatro fronteras, con las cuales se obtuvieron cinco regiones, y fue posible trazar solamente tres líneas de unión entre cada dos fronteras sin aumentar el número de regiones.

Fig. 10■fi. . c. El ejercicio consiste en:

10. Colocar sobre el plano dos hilos de manera que determinen cuatro regiones.Se presentan varias soluciones, las cuales llevan a plantear otros tantos problemas. Algunas de ellas:

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SIMPLESOCURRE EN NUESTRO PAIS

Experiencia en el ChacoHugo ACEVEDO

(Argentina)

Plan de Capacitación y Perfeccionamiento Docente (primario y secundario) en el área de matemática para la Provincia del Chaco.

Capacitación debe tener un PROGRAMA TENTATIVO GENERAL A DESARROLLAR POR ETAPAS Y NIVELES.

El programa debe ser realista, vale decir, aplicable en las actuales circunstancias sin pre­tender una modificación sustancial del curri­culum como condición imprescindible. De este modo se facilitará su comprensión por el do­cente y se obtendrá su colaboración para apli­carlo de inmediato.

Otro aspecto que descuidan los cursos de perfeccionamiento es la continuidad. Se des­perdician así los esfuerzos realizados tanto por las instituciones que patrocinan los mismos como por un alto porcentaje de los docentes que a ellos asisten. La formación no se logra mediante un curso esporádico sino por es­fuerzo continuo luego de adquirir una meto­dología, ejercitada en sesiones de trabajo de­bidamente planificadas.

Por ello el Plan prevé la organización de SEMINARIOS GRADUALES Y SUCESIVOS así como el seguimiento de los docentes ins­criptos en cada uno de ellos.b) Necesidad de estudiar y resolver los pro­

blemas concretos que plantea la enseñanza Je la matemática y su actualización cons­tante como consecuencia del avance de la ciencia.A este respecto debemos señalar que la

problemática mencionada comprende varios aspectos a atender para lograr una acción efi­caz en cuestión de perfeccionamiento, a saber: Capacitación específica; Capacitación pedagó­gica; Capacitación psicológica.

Consideramos que en materia de perfec­cionamiento no basta atender al desarrollo de un temario matemático específico, sino que el docente debe poseer recursos didácticos y mé­todos pedagógicos adecuados para resolver con

NO SIMPLES

El Plan de capacitación y perfeccionamien­to, en el área de Matemática, es uno de los programas que viene cumpliendo la Escuela Permanente de Perfeccionamiento Docente, creada mediante convenio entre la Provincia del Chaco y la Universidad Nacional del Nord­este.

Fue elaborado considerando que no basta capacitar al docente en temas específicos de matemática, sino que además es necesario mostrar las posibilidades de aplicación de esos temas (tanto a nivel primario como secun­dario) a partir de un programa cualquiera (en particular el vigente) pero con vistas a sembrar inquietudes que despierten conciencia de la necesidad de introducir modificaciones en un futuro próximo.

Se pretende además evitar inconvenientes observados a lo largo de varios años de tra­bajo, en distintos lugares y según diversos pro­cedimientos. Esos inconvenientes son:

Fig. 11 Fig 12

11. Colocar sobre un plano dos hilos de ñera que determinen 5, 6, 7,. .. regiones.

Esta investigación ha llevado, sin querer, a descubrir las curvas simples y no simples, en­tendiéndose por estas últimas las zan consigo mismas.

ma-Es imposible dar aquí ejemplos de todos

los aspectos que trata la topología; este tra­bajo sólo tiene la misión de hacer ver la plasti­cidad y libertad que posee esta inagotable rama de la matemática, y i por qué nol su belleza.

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que se cru-■

(Viene de pag. 24)

fcsit Hunto de vista, pese a ser más elegante y más homogéneo que el anterior, es dema­siado abstracto para la enseñanza media y el primer año de la universidad. Por ello reco­mendamos la utilización del método "semi- abstracto" expuesto en 2.2.

Ahora se ve que el polinomio caracterizado por tomar el valor ak para el argumento k y el valor 0 para todo otro argumento, ta así:

ak • Xk.

donde la potencia indicada es una auténtica potencia, y el producto indicado es un autén­tico producto.

Ia) Falta de continuidad y sistematización de

los cursos que generalmente se organizan para perfeccionar al personal en ejercicio. Hemos notado que si bien frecuentemente

se han organizado cursos de perfeccionamien­to, al estar estos patrocinados por distintas instituciones (y en algunos casos aún por la misma) carecen de uniformidad de criterio tanto para la selección de los temas a encarar, cuanto para el nivel de los mismos. Ello trae como consecuencia el desaliento de los asis­tentes, quienes en algunos casos ya poseen los conocimientos que se imparten y en otros carecen de las bases imprescindibles para ad­quirirlos. Se considera por ello que el Plan de

Por último, el polinomio genérico P carac­terizado por las igualdades

P(k) = ak para 0 < k < n,P(k) = 0 para k> n,

se anota así:

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se represen- P =.ak -Xk,

k=0

y en esta expresión ha desaparecido todo resto de signo formal": se trata de una auténtica suma de auténticos productos de números rea­les oor

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auténticas potencias del polinomio x.(Continuará)!

30 31i

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tamento de Planeamiento del Consejo General de Educación son las que tienen como centro a las localidades que seguidamente se indican:

paulatina otros temas tales como: 9) Análisis, 10) Probabilidad y Estadística, 11) Redes, 12) Algebra Lineal, 13) Computación.

Además se emplean materiales didácticos como el geoplano, regletas de colores, varillas, agujas, etc., y sus posibilidades de relación con temas de matemática a enseñar. Se buscan nuevos materiales y sus aplicaciones respec­tivas y se leen y comentan textos como: La Matemática Moderna en los primeros grados, de Nicole Picard, La Potencia de ia Mate­mática, de Zoltan P. Dienes, El Aprendizaje de ia Matemática. Un estudio Experimental, de Zoltan P. Dienes.

La actividad del Centro no se reduce ex­clusivamente a la formación de asistentes, sino que además se ocupa de: Organización de se­minarios, proyectar experiencias y realizarlas, redacción y publicación de apuntes y trabajos especiales.

mano de sólida formación para encarar en el futuro tareas de investigación de mayor envergadura.Se comprende fácilmente que al elaborar

un Plan integral de capacitación docente no puede descuidarse el aspecto relacionado con su progresiva extensión en el área provincial. Esto puede lograrse de diversos modos pero se ha considerado factible y conveniente realizar los seminarios en centros estratégicamente dis­tribuidos que faciliten la movilización docente sin mayores erogaciones. La selección de los mismos se realiza atendiendo a un orden de­creciente en densidad de escuelas por km2. Las regiones de influencia atribuidas a cada centro tienen un radio máximo de 50 km para facilitar la asistencia de posibles inscriptos.

Se adopta además un proceso multiplicador en el desarrollo del Plan para lo cual el direc­tor será asistido por un equipo de docentes que voluntariamente se somete a un trabajo continuo de formación acelerada. A medida que se considere haber alcanzado un nivel mínimo, el director encomendará a cada asis­tente la atención de un seminario en la región prevista, reservándose en todos los casos la supervisión general del trabajo.

Estas condiciones cumplidas, el Plan com­prende, por solicitud del Consejo General de Educación de la Provincia del Chaco, dos ni­veles: PRIMARIO y SECUNDARIO, en cada uno de los cuales se realizará un seminario por grado (o curso) a partir del primero. La co­dificación que adoptamos es la siguiente:5.1 — Seminario sobre el programa vigente en

1er. Gdo. (o curso)5.2 — Seminario sobre el programa vigente en

2do. Gdo. (o curso)5.3 — Seminario sobre el programa vigente en

3er. Gdo. (o curso)5.4 — Seminario sobre el programa vigente en

4to. Gdo. (o curso)5.5 — Seminario sobre el programa vigente en

5to. Gdo. (o curso)5.6 — Seminario sobre el programa vigente en

6to. Gdo. (o curso)5.7 — Seminario sobre el programa vigente en

7mo. Gdo. (o curso)Las regiones seleccionadas para la extensión

progresiva del Plan, de acuerdo con el criterio mencionado de escuelas por km2 y según un estudio preexistente realizado por el Depar-

seguridad el problema del aprendizaje de esta asignatura. Por otra parte, debe conocer psi­cológicamente al educando para poder decidir si la maduración alcanzada permite introducir o no determinados conceptos y hasta qué pro­fundidad puede desarrollarlo.

Asimismo, el docente debe conocer con claridad los objetivos que se persiguen en el aprendizaje de los diversos temas que in­tegran su programa de matemática en el curso correspondiente. Sólo así esta puede distinguir los temas fundamentales de los secundarios y establecer un orden de prioridades para su distribución en el tiempo disponible.

Estas consideraciones condujeron a elaborar un temario que contemple: a) ELEMENTOS DE MATEMATICA MODERNA necesarios pa­ra cada grado o curso; b) METODOS AC­TIVOS DE TRABAJO y su aplicación en ejemplos concretos; c) MATERIAL DIDAC- TIVO útil en el aprendizaje de la matemática; d) EVOLUCION PSICOLOGICA del educando a través de todo el nivel.

c) Necesidad de organizar un sistema de se­guimiento de docentes capacitados y deexperiencias emprendidas.

Una forma de evaluar los resultados ob­tenidos con la aplicación del Plan podrá lo­grarse mediante el control adecuado de expe­riencias que se inicien y con el seguimiento de los docentes que se inscriban en los distintos seminarios que se proyectan.

Para ello en la organización administrativa se contempla la elaboración de FICHAS ES­PECIALES que permitan conocer la actividad de los docentes en los seminarios; los re­sultados obtenidos en trabajos especiales que se les encomiendan y las actividades prendidas para la aplicación de sus conoci­mientos.

Por otra parte, se considera de valor tomar un grado experimental y controlarlo por dio del Centro directivo del Plan. En dicho grado se ensayarán métodos y procedimientos que se consideren convenientes y se extraerán consecuencias que permitirán fundamentar el trabajo específico de capacitación docente.d) Necesidad de extender y acelerar el pro­

ceso de capacitación en todo el ámbito provincia! y de contar con un equipo hu-

!

Nivel Secundario: Resistencia Sáenz Peña Las Breñas Machagai Villa Angela San Martín Castelli Santa Silvina Las Palmas

Nivel Primario Resistencia Sáenz Peña Las Breñas Machagai Villa Angela San Martín Castelli Santa Silvina Las Palmas Tres Isletas Colonia Elisa Las Garcitas

R.1R.2R.3R.4R.5R.6R.7R.8R.9R.10R.11R.12

Organización funcionalLa Dirección general de Plan está a cargo

de un Centro de Estudio sobre Enseñanza de la Matemática, sito en Av. Castelli 900, Resis­tencia, Chaco. Este Centro, integrado por un director y un equipo de docentes (primario y secundario), tiene a su cargo la organización y desarrollo de los distintos seminarios previstos.

El equipo de asistentes cumple con 25 ho­ras semanales de trabajo durante las cuales la dirección se ocupa de su formación sobre la base de seminarios permanentes de actualiza­ción matemática y pedagógica y distribuye res­ponsabilidades individuales para la preparación de trabajos especiales.

En una primeta etapa —que comprende el primer año de estudio— en el Centro se reali­zan estudios elementales de matemática si­guiendo el programa sintético siguiente, que permita comprender y resolver los temas y ejercicios desarrollados por Papy en Matemá­tica Moderna I., 1) Lógica, 2) Conjuntos, 3) Re­laciones, 4) Funciones, 5) Operaciones, álgebra de conjuntos, 6) Estructuras algebraicas, 7) Los conjuntos numéricos, 8} Conjuntos de puntos.

Para esta etapa se tomaron como textos de estudio: Introducción al Algebra Lineal, de Sadosky-Cotlar. Algebra para Escuelas Secun­darias (I, II), de Oscar Varsansky, Teoría de Conjuntos, de Lia Oubiña, Serie de Monogra­fías de la O.E.A.

Posteriormente estos estudios serán pro­fundizados introduciéndose además en forma

Organización de seminariosLos seminarios a realizar para cumplir el

Plan, están dirigidos a maestros (o profesores) en actividad. En cada uno se establece un orden de prioridad para la aceptación de los que voluntariamente se inscriben, atendiendo a su situación de revista (titulares, interinos o suplentes); al cargo que ocupa (director, vice­director o. maestro); y la jurisdicción a la que pertenece (nacional, provincial o privada). El número máximo de alumnos que se atiende en cada grupo no excede de 60. Los seminarios se realizan los sábados por la mañana (para evitar inconvenientes con los servicios regula­res de esos docentes); las sesiones son de 4 hs en dos períodos de 110 minutos»cada uno con

intervalo de 20 minutos de descanso. Cada seminario comprende 32 sesiones, es decir un total de 128 horas de trabajo.

En la apertura del seminario se fija su con­tenido: a) Objetivo específico, b) Información inicial sobre el asunto de tratar, c) Temas que serán motivo de investigación por parte de los asistentes, d) Métodos de trabajo que serán utilizados.

Como síntesis del seminario se obtendrán: a) Una hipótesis de trabajo para el grado (o curso) correspondiente, b) Experiencias a rea­lizar y formas de contralor de las mismas, c) Publicaciones necesarias para apoyo, d) Una primera conclusión.

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b) De apoyoEl régimen de evaluación que se contempla mínimo del 80% de asistencia a las a tercera conferencia

interamericanaTanto los docentes que realizan losexige un

sesiones proyectadas, y la presentación de un trabajo de- síntesis donde el docente exponga

ideas sobre la aplicación de los temas de matemática estudiados; los métodos y recursos

aplicar y los objetivos a alcanzar en cada

semi­narios como los que habiendo concluido al­gunos de ellos deseen aplicar sus conocimien­tos en los grados (o cursos) donde se des­empeñan.

sus

a c) De síntesis

Como resumen de los trabajos realizados en cada seminario, luego de atender todas las re­giones previstas en el Plan.

Todo esto permitirá elaborar un manual básico que contendrá:

— Información para el maestro —sobre te­mas de matemática moderna aplicable en el nivel correspondiente.

— Sugerencias prácticas y ejemplos concre­tos de aplicación en cada grado.

— Métodos y recursos que pueden utilizarse para el aprendizaje de los diversos temas.

tema.El cumplimento de ,estos requisitos dará

derecho a una CERTIFICACION DE APRO- BACION del seminario correspondiente.

Proyecto de experienciasComo en la búsqueda de los seminarios es

previsible la aparición de ¡deas interesantes para su aplicación en los diversos grados (o cursos) y siendo fundamental no descartarlas ni aceptarlas ingenuamente, se considera nece­sario contar con posibilidades de ensayarlas previamente. Para ello se tomarán como cen­tro de esas experiencias las escuelas y grados donde actúan los integrantes del equipo cen­tral. Estas experiencias, debidamente contro­ladas por la dirección del centro, permitirán reunir la documentación mínima para decidir al respecto.

Publicaciones

El perfeccionamiento concebido en las con­diciones mencionadas exigirá numerosas pu­blicaciones orientadas por lo menos de las siguientes direcciones:

a) De divulgación

— A los efectos de llegar no sólo al grupo de docentes que participan activamente propio perfeccionamiento, sino a todos los que por diversas razones aún no están incor­porados.

- Para hacer conocer a la opinión pública,- y en particular a los padres, este trabajo y

evitar posibles resistencias debidas a falta de información.

-Para llegar a las autoridades educaciona­les que tienen la responsabilidad de las medidas tendientes a la dirección , tación del sistema educativo vigente.

AntecedentesLa Primera Conferencia Interamericana so­

bre Educación Matemática tuvo lugar en Bogo­tá, en 1961; la Segunda Conferencia, en Lima, en 1966. Esta Tercera Conferencia se realizará en Bahía Blanca, del 21 al 25 de noviembre de 1972.

b) Informar sobre los progresos realizados en la enseñanza de la matemática en los distin­tos países americanos desde la Conferencia de Lima de 1966.

c) Incrementar las relaciones entre las enti­dades de los distintos países relacionados con la enseñanza de la matemática y, dentro de cada país, entre las instituciones y personas vinculadas con problemas educacionales en los distintos niveles, para un mayor conocimiento mutuo y una mejor coordinación en sus ta­reas.

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Entidad OrganizadoraA nivel internacional, esta Tercera Confe­

rencia ha sido organizada por el Comité Inter- americano de Educación Matemática, nombra­do en Lima en 1966 y constituido por Mars- hall H. Stone (EE.UU.), presidente; L.A. San- taló (Argentina), vicepresidente; Edgardo Sevi­lla Idiáquez (Honduras), secretario; César Abuauad (Chile), Ricardo Losada (Colombia), Manuel Meda (México), Leopoldo Nachbin (Brasil), Juan J. Sahaffer (Uruguay) y José Tola Pasquel (Perú).

El Comité Ejecutivo Local está integrado por H. Renato W. Vólker, del Ministerio de Cultura y Educación, Angel Hernáiz, del Insti­tuto Nacional para el Mejoramiento de la En­señanza de la Ciencias, Luis A. Santaló, de la Universidad de Buenos Aires, José M. Arango y Raúl A. Chiappa, de la Universidad Nacional del Sur.

Existe también una Comisión Organizadora Local de la que forman parte Manuel Balanzat, Juan C. Dalmasso, Roberto P. J. Hernández, Ana C. G. de Houssay, Lucrecia Iglesias y Atilio Piaña.

:l Resultados obtenidos

A nueve meses de trabajo se encuentran incorporados al plan 6 asistentes y 280 do­centes, distribuidos en 5 grupos en 3 regiones del territorio provincial de las 12 previstas. Se han dictado 128 horas de clases teórico-prác- ticas para los asistentes del equipo, además de 83 jornadas destinadas a la organización y pre­paración de los seminarios en realización. Se han efectuado publicaciones de apoyo relacio­nadas con teoría de conjuntos (1ra. parte), Introducción a la geometría (1ra. parte), Aná­lisis del programa de 1er. grado (1ra. parte).

Se encuentra en proceso de ejecución una primer experiencia sobre la enseñanza de matemática en 1er. grado (Escuela Provincial No 45 - Brown 1701 - Resistencia), división A, a cargo de la maestra Srta. Marta Casas integrante del Centro; el objetivo es el de aplicar contenidos y métodos modernos en el aprendizaje de la matemática a partir de la teoría de conjuntos y, con vistas a ensayar un métodos de introducción de los números por coordinabilidad e integrado al programa ge* neral del grado en cuestión.

TemarioLos temas específicos son los siguientes;I. La Computación y su enseñanza en los

distintos niveles.II. La Matemática Moderna’en la Primera

Enseñanza.III. La Matemática Moderna en las Ciencias

Aplicadas y en las Escuelas Técnicas.IV. La transición de la Escuela Media a la

Universidad: ajustes en la enseñanza de la ma­temática en ese período.

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i en suAsistencia a la Conferencia

1. En las sesiones y conferencias generales, incluso en las específicas de cada tema, la asistencia es libre.

2. En las sesiones de los grupos de trabajo y comisiones especiales que se formen, la asis­tencia será reservada a los participantes cuya inscripción sea aceptada, a quienes se suminis­trará una credencial especial.

En general la inscripción quedará reservada a invitados especiales y a los representantes de organismos e instituciones nacionales o inter­nacionales que sean enviados como delegados de las mismas.

3. Las conferencias y comunicaciones son por invitación. Sin embargo, los participantes podrán presentar sus experiencias y resultados

Jjadoptar y orien-

. ObjetivosSon los siguientes:a) Considerar temas referentes a la ense­

ñanza de la matemática en todos los niveles, analizando métodos para obtener la máxima eficiencia, discutiendo los problemas que se presentan y proponiendo normas para una po­sible solución de los mismos.

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CONFERENCIAS GENERALESen los grupos de trabajo que se organicen para cada tema.NOTAS: La Comisión organizadora dispone únicamente de fondos para solventar el viaje y estada de algunos invitados especiales. No se cobra ningún derecho de inscripción, pero to­dos los gastos de viaje y de estada de los participantes deberán estar a cargo de los mis­mos o de las instituciones que representen.

ESPACIO DE POLEMICAH. R. W. VOLKER: Importancia y signifi­

cado de las Conferencias Internacionales sobre Educación Matemática.

A. VALEIRAS: Programa de la O.E.A. so­bre Enseñanza de la Matemática.

M. H. STONE: La Tercera Conferencia ln- teramericana sobre Educación Matemática: te­mas a tratar y sus proyecciones.

j

nuevos programas que, parecería, la inmensa mayoría de los maestros no está en condicio­nes de desarrollar. Por ello, se limitan a expo­ner una serie de conceptos y un grupo de problemas fuera de su alcance y, por supuesto, del alumno. Para tratar de ayudar a mi hijo a comprenderlos recurrí al libro de texto aconsejado, el cual, lo he averiguado, es uno de los que más se usan en nuestro país. La dificultad me resultó entonces insuperable. No soy docente, lo repito, pero creo tener bastan­te capacidad para discernir las cosas, especial­mente si son relativamente sencillas, mediante una cuidadosa lectura. Procediendo de esa ma­nera he llegado a esta sorprendente comproba­ción que dudo pueda ser rebatida: el texto de que se trata es abrumadoramente confuso y está lleno, no sólo de galimatías, sino también de evidentes contradicciones. ¿Cómo habrían de entenderlo el docente y, sobre todo, los alumnos?

A mi manera de ver, los maestros están del todo desamparados. Uno de ellos me relató que hace un tiempo se reunió un grupo en un curso piloto de pocos días de duración, al término de los cuales se los cQnvirtió en adali- dades para llevar la buena nueva a sus compa­ñeros y adoctrinarlos acerca de la forma en que debían enseñar. ¿Quién podrá creer que así se puede adiestrar a maestros que, en gene­ral, carecen de todo conocimiento sobre los temas que deberían enseñar? ¿No es natural que se sintieran desalentados y que, salvo algu­nos que pudieron dedicar tiempo y esfuerzo para resolver esa cuestión, los demás incurrie­ron en todos los errores en que incurre el que enseña lo que no sabe?

Lo que le ocurrió a otro de mis hijos, alumno de primer año de la escuela secundaria supera también el límite de lo creíble y más bien parecería una invención. De todos mo­dos, las cosas ocurrieron así: En las primeras clases del año, el profesor dictó a sus alumnos

Señor Director de CONCEPTOS DE MATEMATICA Profesor José Banfi

Bahía Blanca, sede de la ConferenciaBahía Blanca fue fundada en 1828. Es im­

portantísima ciudad del sur de nuestro país, uno de los principales centros de comunicacio­nes y tiene una industria en pleno desarrollo; está rodeada por una excelente zona de explo­tación agropecuaria.

Su vida cultural es intensa y tiene numero­sas instituciones culturales y científicas. Está ubicada a 688 kilómetros al sur de Buenos Aires y sus habitantes ascienden a unos 250000. Su clima es marítimo y la tempera­tura media del mes de noviembre es de 18°C.

La Conferencia se cumplirá con el auspicio de la Universidad Nacional del Sur y para comunicarse con la misma la dirección es la siguiente: Tercera Conferencia Interamericana sobre Educación Matemática, U.N.S., Secreta­ría de Extensión Universitaria, Avenida Colón 80, Bahía Blanca.

Se recomienda a los participantes hagan con tiempo su reserva de hotel. Llegar a Bahía Blanca sin tener hotel reservado púede ocasio­nar serios inconvenientes.

Se advierte a los participantes extranjeros provenientes de países no limítrofes que el aeropuerto de llegada a Buenos Aires, denomi­nado ''Aeropuerto de Ezeiza" está muy aleja­do del "Aeroparque" de donde salen los avio­nes para Bahía Blanca. Si no han de detenerse en Buenos Aires, se les recomienda tomar un ommbus en Ezeiza hasta la estación terminal (Calle Córdoba 402) y desde allí un taxi hasta el Aeroparque.

TEMA I

VICTOR SANCHEZ (Chile): Computación y su Enseñanza en la Educación Media.

JAIME MICHELOW (Chile): Computación, la aritmética del futuro.

ROGER MASCO (Argentina): Aspectos di­dácticos de la enseñanza de la computación en la escuela secundaria.

JUTTA CUKROVICZ (Alemania): Uso de las computadoras en la enseñanza de la mate­mática a nivel secundario.

ANDRE REVUZ (Francia), JEAN PAUL JACOB (EE.UU) y CONRAD A. WOGRIN (EE.UU); temas a fijarse.

De mi consideración:Soy lector de CONCEPTOS DE MATEMA­

TICA y como tal he leído la carta publicada en el número 22, en el "Espacio de Polémi­ca". Me ha interesado mucho pero no he de referirme a su contenido en primer término porque está fuera de mis posibilidades y tam­bién porque lo harán las personas aludidas, las que sin duda, aprovecharán de las facilidades acordadas para hacer todas las aclaraciones y rectificaciones que correspondan y que, a mí como a otros lectores, nos interesa que se hagan.

A lo que quiero referime es a otras cuestio­nes relativas a la enseñanza de la matemática. Soy padre de alumnos que están cursando estudios en escuelas primarias y secundarias de la más poblada de las provincias argentinas, y deseo dar cuenta de algunas de las dificultades con que tropiezo cuando deseo prestarles ayu­da para resolver algunos de los ¡nvonvenientes que se les presentan, dificultades que, sin du­da, han de ser análogas a las que han de tener muchos de los padres colocados en la misma situación.

Quiero señalar, en primer término, que ellas son incomparablemente mayores en matemá­tica que en cualquier otra de las asignaturas del plan de estudios. Sé bien que los alumnos deben aprender hoy conceptos que difieren bastante de los que aprendíamos en nuestra época. También sé que, en general, el docente no ha sido capacitado para cumplir esa tarea. Pero lo que a mí me preocupa mucho son las consecuencias que de ello se deriva para la formación de nuestros jóvenes. No hay forma de entender la cuestión en la escuela primaria. El año pasado se pusieron en marcha —por lo menos en la escuela a la que acude mi hijo—

TEMA IIALONSO B. VITTERI (Ecuador): La pro­

ducción de textos para la enseñanza de la matemática en la escuela elemental.

HOWARD F. FEHR (EE.UU): Toward a numerical and mathematical literacy.

MARGARITA CHOUHY AGUIRRE (Ar­gentina), ELSA DE MARTINO (Argentina) y EDITH BIGGS (Inglaterra): temas a fijarse.

TEMA IIIENRIQUE CANSADO (Chile): La enseñan­

za de la estadística en los distintos niveles.GUILHERME DE LA PENHA (Brasil): So­

nríe consequences for Mathematics of the ex­pansión in higher Education of Applied Sciences.

JOSE TOLA PASQUEL (Perú): La Mate­mática Moderna y la formación matemática de los ingenieros.

HECTOR FATTORINI (Argentina): Mate­mática Moderna y Matemática Aplicada.

CARLOS IMAZ (México) y LAURENT SCHWARTZ (Francia), temas a fijarse.

(Continúa en pág. 43)

Programa

No hay todavíado se disponga de él se^ranuíSrUnaÍta:I

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ENSEÑANZA ELEMENTAL

Formación inicial de los maestrespara la comprensión de los tópicos que fueran apareciendo en el mismo o en sucesivos cursos de matemática.

haciendo uso de un opúsculo y haciendo que tomaran nota para que quedara sentado en sus respectivas carpetas, una serie de conceptos referentes a conjuntos. Terminado el dictado, el profesor prosiguió su tarea haciendo saber a los alumnos que desde ese momento comenza­ban verdaderamente a estudiar matemática. Realmente no entiendo, señor director, pero o lo dictado no era parte del programa, y enton­ces se debió omitir el dictado, o sí lo era, y entonces se lo debió estudiar -no dictarlos- tai cual se estudiaron los temas siguientes pues creo que se trata de conocimientos necesarios

Acaso las circunstancias puedan ser explica­das por expertos que estén más al tanto que yo acerca de cómo deben desarrollarse los cursos de matemática. Pero sí puedo afirmar que a mí, lo mismo que a otros padres, todo * esto nos parece una incongruencia que es de la máxima importancia porque incide en el pro­ceso educativo de nuestros hijos.

Este es el texto, del informe presentado por la Comisión Ministerial de Francia sobre la enseñanza de la matemática el 16 de junio de 1969.

;1. La matemática como instrumento de cultu- Esta necesidad se impone tanto en el plano de

los contenidos como en el de los métodos: las experiencias realizadas desde hace 5 años muestran que la enseñanza elemental adquiere todo su valor de formación del espíritu dando a cada uno —cualquiera sea el contexto socio- cultural en que viva— su desarrollo óptimo.— porque permite tomar conciencia de las posibilidades de creación, de manejo de las situaciones propuestas;—porque da ocasión de comprobar que mu­chas situaciones en apariencia distintas, prove­nientes en realidad de un mismo modelo, tienen la misma estructura;— porque da un medio para organizar las in­formaciones dispersas y sacar partido de ello.

Por su misma naturaleza, las matemáticas constituyen un medio de elección para alcan­zar tales objetivos. Pero e<% muy evidente que esos objetivos no serán alcanzados más que con la única condición de usar métodos— para suscitar la iniciativa de los alumnos;— para desarrollar sus capacidades de inven­ción;— para aceptar soluciones diversas (aún si ellas no son las que parecen más simples al adulto);— para permitir que cada uno progrese a un ritmo mediante un trabajo individualizado que le sea propio.

Ahora bien, este cambio de método (hacer descubrir y no trasmitir conocimientos de manera preorganizada) requiere que el maestro domine en forma muy segura la materia que enseña: no es posible sacar partido de una sugestión de un alumno sino se advierten de inmediato las diversas prolongaciones posibles de dicha sugestión. Por tanto, el maestro no debe, recibir tan sólo una formación que le dé posesión de las bases matemáticas de las nociones que debe hacer que sus alumnos ad-

. quieran, sino también una formación tal que

Juan O. Domingo ! ra.Dado que la matemática

— es una herramienta de razonamiento,— que constituye un método de pensamiento y da acción.

CARTA Y RESPUESTASeñor Director de "Conceptos de Matemática":

Recojo su invitación sobre la nota del pro­fesor Trejo (No 22, p. 36). Las situaciones, hechos y actos señalados son sin duda graves, y acerca de ellos responderán con me­jor conocimiento las personas implicadas. Yo quiero referirme a aspectos que no entiendo bien, como éstos:

10) Después de tanto tiempo de constituida la Comisión Nacional, el prof. Trejo señala el 26 de junio un cúmulo de hechos que podría evitarse con un planteo gradual.

2°) No dice el prof. Trejo qué hizo como miembro de la Subcomisión Argentina del Comité Interamericano de Educación Mate­mática para evitar el heco de que "a la referi­da Subcomisión Argentina no se le dio ningu­na ingerencia al respecto".

3°) No se entiende bien el alcance del

puestas concretas de hacer más de un año. Si la Comisión no las comparte podría asumir la responsabilidad de rechazarlas, y nada me complacería tanto como su reemplazo por otras más eficaces y mejores". Y también (punto 5b): "señalé en el punto 13° de mi in­forme del 5-V-71 aspectos de la actuación del INEC. .. .Posteriormente descubrí otros as­pectos, tales como omitir el envío de deter­minados trabajos a los Relatores (que dicen qué se publica) e informar luego que el envío se hizo pero que el escrito "no figura en nin­gún relato

2°) Sólo cuando el Presidente de la Sub­comisión Argentina del C.I.E.M. reveló a la Comisión Nacional la programación ya hecha de temas incluidos y excluidos tuve noticia de ello. Lo señalo en 6 porque parecería obvio que la Subcomisión de que formo parte es­tuviera al menos informada.

3o) Dije por escrito al Dr. Santaló: "Una de mis propuestas se relaciona con la separa­ción de profesores que no se resignaron trar en cauces "conformistas" y a abandonar intentos de modernizar de veras la enseñanza. Respeto su decisión de guardar silencio al pecto, pero no puedo aceptar que se considere "absurda" mi propuesta de que la Comisión 'no debería desentenderse de declarar al me

nos que..Destaqué -le recuerdo- que 3 Comisión tenía sólo dos caminos y que en a

— gracias al papel privilegiado que desempeña en la comprensión que tenemos de la realidad cualquiera sea, es uno de los elementos esen­ciales de la cultura del hombre contemporá­neo:

muy

El equipaje intelectual de cada uno deberá, pues, comportar un mínimo de nociones fundamentales de matemática. Por tanto, ese equipaje no debe consistir, si se desea que sea realmente un medio de cultura, tan sólo de un conocimiento formal de ciertas estructuras matemáticas de base sino que debe permitir comprender el papel particular desempeñado por la matemática en la aprehensión del mun­do en que vivimos y el maestrazgo de cierto número de sus fenómenos. En esta perspecti­va, es necesario matematizar primeramente si­tuaciones reales. De su comparación se des­prenderá la noción de estructuras isomorfas y después de estructuras abstractas.

Esto justifica ahora que todo maestro de enseñanza elemental necesite una sólida forma­ción matemática de nivel universitario: quien tenga responsabilidad en la formación del espí­ritu infantil debe, más que nadie, disponer de ese equipaje mínimo sin el cual sería un sub­desarrollado intelectual en el mundo de mañana.

pun­to 7c.Le saludo muy atentamente.

AGUSTIN F. MELLO

Esta carta fue girada al Dr. Trejo. He aquí su respuesta:

a en-

res-Señor Director:

Respondo a las cuestiones prof. Mello, en su orden:

Hasta hoy "las personas implicadas" dan silencio. Todos los hechos que señalo es­tán descubiertos y probados.

1°) Presenté dos notas antes: el 5-NA71 (pu­blicada en "Conceptos de NO 18) y el 22-111-72. En la to 7a): "insisto

que plantea el

guar-2. La matemática en la formación profesional

del futuro maestro.En el marco de la reforma de la enseñanza

de la matemática se necesita una importante mutación de la enseñanza a nivel elemental.

el desenten- en términos de

esperanza de que no optara por derse, redacté mi propuesta exagerada prudencia".

Mis atentos saludos.Matemática",

actual digo (pun- vez más en mis varias pro-una CESAR A. TREJO

:38 39

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4. Observaciones sobre los programas.

Este programa se elaboró teniendo en cuenta el origen real de los alumnos. Fue concebido como una formación inicial permitiera obtener el resultado más fructuoso de una formación, continua ulterior.

En particular, no se ha hecho ningún lugar al pensamiento informático del cual sabemos sin embargo que es necesario para la forma­ción de los maestros.

Es necesario, no obstante, subrayar que la situación actual es transitoria: el nuevo progra­ma de las clases del segundo ciclo proporcio­nará dentro dé tres años estudiantes ya bien familiarizados con una parte no despreciable del programa propuesto. Será preciso tener en cuenta estos logros sin los cuales el programa propuesto actualmente no aparecería como aportando nociones nuevas y perdería parte de su interés; será necesario, pues, rever este pro­grama de aquí hasta entonces:

1o) para retomar los temas actuales y, eventual mente, modificar su contenido;

2o) para examinar la introducción de te­mas nuevos —tales como las nociones de info­rmática—.

le permita dominar las prolongaciones de nociones (por eso es que en el programa pro­puesto ciertas nociones tales como las de pro­ducto escalar, continuidad y limites podrían parecer inútiles desde el punto de vista del

consideraba que basta que el maestro .conozca lo que ha de enseñar).

esas Aplicaciones y enumeraciones asociadas. Conectivos lógicos; operaciones lógicas y

operaciones sobre los conjuntos; álgebra de Boole finita.

Nociones sobre el empleo de los cuantifica-

Espacio vectorial de dimensión finita. Base. Subespacio.

Aplicación lineal, matrices; ejemplos de cálculo sobre la n X p matrices, especialmente para n < 3 y p < 3.

Suma directa y proyecciones.Producto escalar y norma asociada.Noción de espacio afín.

que!que dores.

Un maestro carecerá de libertad frente a lo que enseña y en consecuencia no podrá acor- .dar autonomía a sus alumnos más que si domina la materia enseñada. Eso requiere en particular una reflexión sobre la matemática misma. En efecto, en una perspectiva docente, la adquisición de las nociones fundamentales de base es insuficiente: el maestro no debe ser tan sólo alguien que sepa calcular, resolver realmente problemas y que sepa reconocer en una situación tal o cual estructura; debe ser capaz de reflexionar sobre la matemática que conoce, haber tomado conciencia de las rela­ciones que las estructuras matemáticas mantie­nen entre sí: los diferentes puntos del progra­ma no deberán percibirse como yuxtapuestos. Una reflexión de este tipo le permitirá al maestro, en particular, cualquiera sea la clase en que enseñe, tener plena conciencia del lu­gar del jalón que está tratando de colocar; podrá aplicar, por ejemplo, las propiedades de estructuras construidas sobre 1N,Z,(B aunque no figuren explícitamente en los pro­gramas.

2. Ordenes PreordenOrden parcial. Redes. Ejemplos de órdenes totales.

5. Funciones numéricasReflexión sobre las propiedades fundamen­

tales de IR (no se considerará la construcción de IR).

Aplicación lineal.Continuidad y límite de las funciones nu­

méricas.Ejemplos de funciones numéricas (espe­

cialmente de las funciones en escalera, fun­ciones afines para fragmentos).

3. Algebra

Monoide; relación de equivalencia compati­ble; monoide cociente; monoide ordenado.

Grupo; definición; grupo que opera sobre un conjunto; grupos ordenados; grupos cícli­cos; generadores de un grupo.

Ejemplos de homomorfismos de grupo. Anillos; anillos de operadores; Cuerpos. Análisis de las estructuras de NI ; Z , (Q . Sistemas de numeración; anillo ordenado de

los números decimales.Divisibilidad y congruencias en Z .

4. Algebra lineal

i

6. Medida y probabilidadesMedida definida sobre una familia de partes

de un conjunto; aditividad; encuadramiento.En los casos finitos, álgebra de los sucesos;

noción de probabilidad.

5. Programa de matemática para la formación inicial de los maestros de enseñanza ele mental.El siguiente programa está redactado para

dos horas semanales de enseñanza asegurada por la universidad y una hora y media semanal de enseñanza a cargo de la escuela normal durante dos años de treinte y dos semanas cada uno.

El programa está redactado en forma sus­cinta de manera que el responsable tenga gran libertad para organizar su enseñanza. Para lo­grar una verdadera formación, será necesario no contentarse con una enseñanza magistral. El trabajo ha de consistir en proporcionar los conocimientos y aplicaciones de los mismos y en asegurarse de que los conocimientos sean adquiridos efectivamente.

/. Lógica y conjuntos finitosConjuntos finitos. Cardinal. Partes de un

conjurtto finito.Relación. Relación de equivalencia; conjun

to cociente; partición de un conjunto f¡m °*

(Viene de pág. 7)

concreta frente a problemas concretos, el afán de orientarse y orientar, procurar coherencia para superar el caos con todos los recursos estructurales a nuestro alcance, que no son pocos si se los sabe buscar y explotar. Aunque el atraso nos preocupe no debe desalentarnos, la modernización será a la postre inevitable, y cada día nos ayuda más el creciente "gra­diente de actualización" que proviene del ex­terior.

tradas por sus rutinas, grandes y pequeñas; sus hábitos mentales están perturbados: grave cri­men y de lesa magnitud profesoral" .. ."el triunfo del espíritu sedentario sobre el espíritu de apertura y de renovación. El largo acondi­cionamiento que han sufrido paraliza e impide toda evolución de sus esquemas mentales. Su­mergidos en el dogmatismo, no pueden liberar­se de un pasado que les ha enseñado que el saber era inmutable".

Como vemos, Colot no señala dificultades aisladas sino escollos estructurales, profundos, que parecen formar una barrera invencible. Pero la barrera fue vencida: hoy Bélgica ha superado la etapa del oscurantismo a punto tal que Colot se refiere a ella como "divertida alusión a un pasado más o menos lejano". Lo mismo podremos decir aquí cuando se impon­ga el camino del esfuerzo auténtico y de la verdad. Veamos, pues, en esa frase sencilla y jocunda un mensaje de optimismo que nos marca ese camino.

3. Organización de la enseñanza.

La enseñanza superior debe asumir la potabilidad de la formación teórica.

Debe haber una estrecha colaboración

res-

, entreel profesor de la escuela normal, encargado de la formación profesional, y el profesor de en­señanza superior, encargado de la formación teórica. En particular, los profesores de la escuela normal deberían poder participar de los cursos que se dictan en la universidad para poder llevar a cabo con sus alumnos aplica- ciones de las nociones teóricas presentadas y

introducción de la enseñanza ele-

15. También debe alentarnos el ejemplo de países que han pasado por una etapa de escu- rantismo y la han superado. Señala Colot va­rios aliados de lo que nosotros llamamos "conformismo", en diversos párrafos que transcribimos del artículo citado: "También la sociedad es un cuerpo endurecido por el con- lormismo y los prejuicios, cuyas estructuras no permiten todavía la educación permanente ni el readiestramiento permanente de sus com­ponentes". . .personas que se sienten frus-

preparar su mental.

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1

Problemas sobre

coniuntos y relaciones(i) 4 es el resultado de sumar 2 y 2;(i¡) x es un número par;

(¡ü) Los números pares son enteros.2.9. (i) Decir cómo se demuestra que A no

es parte de B; (¡i) Demostrar que A= {2, 3, —2 | no es parte de

B = {x | x es un número par}.

2.10. Sea A={a,ó}. Decir cuáles de las fórmulas siguientes son verdaderas:

aE A, {a} € {a} , a C A,

A, {a }= A.

Z3. Definir por comprensión la superficie esférica de centro O y radio 2 cm (como con­junto de sus puntos).

2.4. Decir qué es el conjunto{X | X es un punto cuya distancia

a Ia recta e es r },(i) En geometría del espacio;(¡i) En geometría plana.

2.5. Definir con palabras:X | X, A, B y C son puntos cop lana res J.

2.6. Indicar con palabras el conjunto, en geometría plana:

¡ X \ X es un punto que equidista de ios puntos A y B }.

2.7. Indicar cuáles de las siguientes fórmu­las son verdaderas:{Juan} E {Juan, Luis J; Juan C { Juan }; JuanE {juanJ; | Juan Je {Juan, Luis};{Juan}e Juan;Nariz de Juan E } Juan, Luis };{ Nariz de Juan { E Juan;Nariz de Juan E {Juan }.

2.8. Decir qué relación indica el verbo ser en cada caso:

ii

César A. TREJO (Argentina) i

1

acerca de las ¡deas conjuntistas básicas y de sus potencialidades didácticas.

Los .problemas se presentan seriados por conexión temática; algunos son transmisibles al alumno, acaso con cambios, y otros (como 1.3) se dirigen sólo al docente; ninguno pre­tende enseñar matemática en el nivel del lec­tor, pero todos pretenden compartir un con­tenido metodológico y didáctico.

De los tres problemas siguientes, que inte­gran esta introducción, se dan respuestas en la página 43, y de cada uno de los demás en el número subsiguiente al de su aparición.

1.1. Definir por comprensión el conjunto C = {a,b,c} ; ¿cuántos elementos tiene?

1.2. Definir con palabras el conjunto

1. IntroducciónEl propósito de la colección que hoy ini­

ciamos es presentar un recurso más para una modernización de verdad en la enseñanza de la matemática*, que hoy resulta impensable sin un enfoque conjuntista auténtico. Este enfo­que consiste —dicho en drástica síntesis— en orientar la enseñanza de la matemática de acuerdo con las ideas y los cauces conjuntistas que impregnan la matemática de hoy, dando al alumno el mínimo de nociones sobre con­juntos necesaria para seguir con comodidad esos cauces.

La evolución de la matemática misma mos-

a =

2.11 Decir: (i) Qué significa {{2,3}}; (¡i) Cuáles de las fórmulas siguientes son ver­daderas:

2 6 {{2,3}} , {2,3}C{{2,3}}.:

(2,3} 6 {{2,3}},

2.12 Sea C=fl, {1,2}, 3}. Decir cuáles de las siguientes fórmulas son verdaderas:

{i, 3 }cc, {1, 2} CC,3 6 C, 1 6 C

{1.2} 6 C, 2 E C,

tró que las ideas conjuntistas proveen tan só­lidas pautas de coherencia, naturalidad y sen­cillez, que sería insensato no aprovecharlas en la enseñanza. Para ello es suficiente ¡pero también necesario! que el enfoque conjuntista sea realmente auténtico y no el trivial recurso de anteponer algo sobre conjuntos y relaciones "pour satisfaire á la mode" según la certera expresión de G. Walusinski.

Los conceptos conjuntistas necesarios en la enseñanza elemental son particularmente cilios. Esto es sin duda una gran ventaja, pero ayuda a las tendencias conformistas a esti­mular el florecer de una prosa "conjuntista”

en la cual la audacia suple a la falta de madurez. En efecto, si bien los conceptos con­juntistas son sencillos, adoptar el enfoque conjuntista es tarea comprometida (no caben parches o remiendos, y un "enfoque mixto" es sencillamente impensable) y es además tarea ardua y profunda que si es lograda debe pa­recer sencilla, pues debe conducir a una pre­sentación simple por ser orgánica y dirigida a las ¡deas realmente básicas. Por eso el docente que busca una modernización de verdad y no se conforma con una "reforma" pour satisfaire á la mode, requiere

1.3* La única parte o subconjunto de 0 es 0; luego P(0) es el conjunto unitario cuyo úni­co elemento es 0, o sea: P(0) ={ 0} .

El conjunto de partes de un conjunto uni-

{■x I * es una recta que contiene los puntos A y B }

1.3. Sea P (A) el conjunto de partes de A (conjunto de todas las partes o subconjuntos de A) y sea 0 el conjunto vacío. Expresar

Repuestas1.1* C = {x ¡ X = 3 Ó X =

ne 3 elementos si a b =£ c =£ a; 2 si hay dos y sólo dos elementos ¡guales; 1 si a = b = c.

1.2* Hay que distinguir dos casos según que A y B sean puntos distintos o ¡guales. Si A =f= B, conjunto unitario formado por la recta AB como único elemento (o sea: {AB} ). Si A = B, conjunto de todas las rectas que con­tienen al punto A.

b óx = cj. Tie-

tario{a} es P({ a} ) = { 0,{a}} . Luego:

p(p«>)> = p<'M<í’})-

p(pw) = p<!♦})-{*. {0}}.

p (0) V P (P (0) ).2. Definiciones de conjuntos. Pertenencia

inclusión

e

sen-2.1. Indicar por extensión los conjuntos.

(i) Conjunto de las letras de la palabrañar";

(¡i) {x\x1 <x2 < 10};

(iii) Conjunto cuyo único elemento2.2. Definir por comprensión los conjun

tos: A, de los poliedros regulares; B, de esferas con menos de 3 vértices; C, de 0 triángulos rectángulos equiláteros; D* de °s ojos de Juan.

(*) En algunos artículos de "Cojiceptos tica" hemos presentado otros recursos- para ese objeto. Véase p. ej. "¡Hasta mentos geométricos.. .1 ", N° 19, pág. 1°-

ama-

vacuanúmero entero V (Viene de pág. 36)es un

Esta lista se completará con conferencistas y observadores especiales de distintos países europeos, EE.UU. y Canadá.

PublicacionesLas Conferencias y las Recomendaciones se­

rán publicadas en las "Actas" de la misma, cuya impresión estará a cargo de la UNESCO a través de su Oficina de Ciencias para Améri­ca Latina en Montevideo.

TEMA IVJuan.es

ANTONIO DIEGO (Argentina): Matemática y deserción estudiantil en la Universidad.

RICARDO LOSADA MARQUEZ (Colom­bia): Evolución de los estudios y la enseñanza de la matemática en Colombia.

EDGARDO SEVILLA IDIAQUEZ, tema

■

i •:

de Matemá- idóna°s

los instru-a

fijar.un conocimiento activo

4342 i

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perimentándola luego en distintas clases y grupos de alumnos y discutiendo rederamente los resultados. De los comentarios hechos por los profesores que los han empleado en su auehacer del aula, se ha originado una publi­cación "Le journal de bord del Galeón" que ha dado gran vitalidad a la enseñanza de la matemática.

El libro consta de 15 fichas referentes a conjuntos y relaciones, 2 a composición de biyecciones, 6 a subconjuntos, 9 a nume­ración, 6 a medidas, 2 al conjunto |N, 2 a naturaleza, 5 a enteros, 1 a decimales, 6 a otras medidas y 3 a localizaciones, existiendo además 29 dichas complementarias.

Aunque el libro se presenta ordenadamente en forma de fichas, no se trata de un libro de enseñanza individualizada o programada y se entiende que la presencia y actividad del pro­fesor es esencial para obtener éxito.

Esta obra nos produce inmejorable impre­sión. Hay un trabajo muy loable de análisis de las dificultades y, una vez aclarados los temas, se los ejemplifica en forma que realmente atrae el interés del alumno. El color no se usa porque si, sino para realzar sobriamente las propiedades o los aspectos que necesitan ser destacados. Lo repetimos, un trabajo brillante.

La impresión prestigia a una editorial ya acostumbrada a presentar sus obras en forma esmerada.

otras, muy por el contrario. Pero también pen­samos que a quien ha de interesar más es esencialmente al profesor de matemática porque, justamente, esos temas han sido in­cluidos en los programas vigentes y no muchas las obras en castellano a las cuales pueda recurrir.

El autor confiesa la modestia de su objeti­vo. No se trata de exponer con todo rigorismo todos los temas, habida cuenta de que sus destinatarios casi siempre carecen de conoci­mientos, matemáticos profundos. Se traté, en cambio, de exponer nociones claras y procedi­mientos efectivos y simples par? el uso de la estadística como método de descripción, de información y de investigación; por ello, a menudo se prefiere, más bien que demostra­ciones formales, deducciones sobre ejemplos que luego se generalizan.

Los distintos capítulos del libro se refieren a Introducción Matemática; Probabilidad y Variable Aleatoria; Distribuciones*, Censos y Encuestas, Compilación; Representaciones grá­ficas; Series de Frecuencias; Series Cronoló­gicas; Números índices; Regresión y Correla­ción; Atributos cualitativos; Nociones sobre la Teoría y Uso de las Muestras Grandes; Experi­mentación Estadística; Respuesta a los Ejerci­cios; Tablas.

El autor se esfuerza por hacer comprender que el estudio de la estadística debe intensifi­carse en la escuela secundaria dado que presenta en su estructura valiosos elementos tanto en el aspecto de sus aplicaciones como en el. formativo, por tratarse de una de las modalidades del pensamiento científico mo­derno que se constituye en el camino para el estudio de cuestiones atinentes a poblaciones numerosas como tantas que hoy debemos con­siderar cuidadosamente^

Una discreta cantidad de ejercicios para cada capítulo facilita, sin duda, la compren­sión de los conceptos expuestos con lenguaje claro y ameno.

La presentación del libro ha sido objeto de esmerada atención por parte ae ios editores.

BIBLIOGRAFIA

sonejercicios y fichas para la enseñanza al menos semiprogramada de su contenido, lo cual ría mayor atractivo para que los alumnos, alentados en su participación activa y cíente en el proceso del aprendizaje, recurran con interés al libro en busca de conocimientos y métodos de pensamiento.

Esperamos que los autores prosigan sin des­mayos hasta concluir el plan que se han tra­zado. La aplicación experimental de dicho plan y la serie de textos que lo integran en un mayor número de escuelas de nivel medio permitiría obtener decisivas conclusiones bre la factibilidad de su extensión progresiva a otros establecimientos.

TREJO, César A; BOSCH, Jorge E. Ciclo Me­dio de matemática moderna (Cuarto curso), EUDEBA, 1972

crea-

cons-Los profesores Trejo y Bosch anunciaron

hace unos años su propósito de publicar una serie de textos para el nivel medio, de acuerdo con un plan destinado a estructurar la ense­ñanza de la matemática con un criterio mo­derno. Los que seguimos con interés la obra que realizan -la más profunda, valiente y or­gánica realizada en nuestro país— sentimos una profunda alegría al recibir este cuarto curso. En él se completan las nociones de álgebra y de geometría en coordenadas, cuyo estudio sistemático iniciaron en el tercer cur­so. Se reafirma en el texto el objetivo fun­damental que se propusieron los autores de presentar temas de índole algebraica y geo­métrica íntimamente relacionados y siste­matizados, lográndose así gran coherencia y unidad.

so-

Atilio Piaña

GALION E. Galeón — I, Actividades matemá­ticas 6, 178 páginas de gran formato; EDI­TORIAL TEIDE, Barcelona, 1972.

El libro está dividido en tres partes; la primera dedicada especialmente a complemen­tos de álgebra (potencias y raíces, logaritmos y sucesiones, incluyendo progresiones y no­ciones de álgebra financiera); la segunda se destina a complementos de geometría Diana en coordenadas en particular cónicas, y a geo­metría del espacio en coordenadas cartesianas, incluyendo sistemas de ecuaciones e intersec­ciones, y un estudio elemental de las cuádri- cas; la última parte se refiere a la congruencia en el espacio, con aplicaciones en la teoría de ángulos diedros y triedros, y a la geometría de

represen-

Al igual que el famoso Nicolás Bourbaki, el autor de este libro es un simpático personaje que no existe. Parece que a principios del siglo XIX hubo en Lyon un personaje imaginario, Evariste, dedicado genialmente a la didáctica de la matemática; entre sus descendientes ha­bría un importante grupo de lioneses que hoy se dedican a la misma tarea. La leyenda sería, también, un homenaje al gran Evariste Galois, romático genio que murió a los 21 años en un duelo por una mujer, después de haber creado los actuales cuerpos de Galois.

Detrás de Galión, dándole vida y realidad, está un importante equipo de matemáticos, profesores y maestros lioneses reunidos en tor­no a la personalidad de Maurice Glaymann.

Lo fundamental del trabajo realizado hasta ahora es la colección de textos del bachillerato francés, siendo esta obra el primer trabajo dela serie que aparece en castellano, pertene-

Rosa

Cristina Verdaguer de Banfi

TORANZOS, Fausto I. INICIACION EN ES­TADISTICA APLICADA, 225 páginas. Edicio­nes MACCHI, Buenos Aires, 1968.

El objetivo de este libro es el de presentar los aspectos elementales del cálculo de proba­bilidades y la estadística a nivel conceptual y con miras a sus aplicaciones. Curiosamente, el subtítulo dice textualmente: "Para uso de mé­dicos, biólogos, sociólogos, agrónomos, etc., y para la enseñanza secundaria". Y no es que dudemos de la creciente aplicación de los re­sultados en esas ramas científicas e incluso en

la esfera, incluyéndose sistemas de tación de mapas.

Del simple enunciado de los contenidos generales se infiere que el texto es bastante denso. La exposición es clara y con cuidado rigor matemático. No obstante, podría señalar-

una observación extensible a los volúmenes precedentes; el nivel gógica de la obra así hacen difícil

se

y la concepción peda- corno su presentación,

J SU empteo como texto.para la generalidad de nuestros alumnos. Se requeriría que los profesores, quienes podrán obtener gran provecho con su atenta lectura, comple­mentaran el libro con una serle graduada de

Julio R. Juan

ciendo la versión a la profesora española Fox, que actualmente colabora en Lyon con el grupo.

En la presentación se nos informa elaboración del texto ha sido lenta y ciosa, analizando cada una de las partes, ex

la*•,minu-

4544

plazca esta información y que nos aportarán datos para que la tarea se cumpla con pleno éxito.

LA CRONICANOTICIAS3. Inauguramos también en este número

una sección denominada Problemas sobre juntos y relaciones, que estará a cargo del doc­tor César A. Trejo, en la cual se presentarán detallada y sistemáticamente problemas sobre esos importantes temas de la matemática derna cuya solución será publicada en el nú­mero siguiente al de su aparición. Dada la alta calidad científica de quien tiene a su cargo la sección, resulta fácil predecir el éxito que al­canzará entre nuestros lectores.

1. Desde el 4 hasta el 9 de setiembre se reunió en Buenos aires el Comité Internacional de Coordinación para la Iniciación en la Cien­cia y el Desarrollo de las Actividades Cientí­ficas Extraescolares, (C.I.C.) al cual está ad­herido nuestro país por intermedio del Ins­tituto Nacional para la Enseñanza de las Ciencias (I.N.E.C.), el cual, por ausencia tem­poraria del Director-Organizador, profesor An­gel S. Hernáiz, estuvo representado por el ingeniero Francisco H. Val.

Aún cuando todavía no disponemos del in­forme final, podemos señalar que se adoptaron disposiciones para promover las actividades científicas extraescolares, solicitando la ayuda de organismos internacionales, gubernamen­tales y privados para ese efecto lo mismo que para la edición de una revista sobre programas científicos y culturales extraescolares. Se se­guirán promoviendo las ferias de ciencias, tec­nología y cultura en todos los niveles, la fun­dación de clubes científicos, concursos, congresos, seminarios, campamentos, excur­siones y encuentros de ciencia y cultura. Asimismo, se promoverá la formación de lí­deres a través de cursos a distancia y se tratará de vincular a científicos, universidades e in­dustrias con las actividades científicas extra­escolares.

con-

mo-

• Se considera de importargab/e necesidad y de vital importancia tomar plena conciencia de la situación inconveniente en que está sumida la enseñanza de la matemática en los ciclos primario y secundario, como consecuencia de reformas y pretendidas modernizaciones ca­rentes de autenticidad. Se estima necesario se» ña/ar el riesgo de confundir el enfoque con- juntista auténtico con la mera inclusión de algunos temas sobre conjuntos y relaciones.• Se ratifica la primacía de grandes ideas rec­toras, como el enfoque de la geometría a través de los grupos de transformaciones, y la aplicación efectiva y sistemática de las estruc­turas algebraicas básicas a los contenidos con­cretos de la matemática elemental.• Se destacan las ventajas de la mrnu!tivalenda y consiguiente elasticidad de las estructuras básicas de la matemática actual, en la implan­tación de métodos auténticamente activos de aprendizaje, y en el cultivo de la habilidad y disposición para afrontar y resolver problemas y situaciones nuevas y variadas con criterio orgánico.

El profesor Piaña señaló la nacesidad de elaborar programas completos que abarquen tanto el ciclo primario como el secundario los cuales servirían para que todos los docentes argentinos que se interesan por el problema puedan hacer todas las sugerencias que es­timen convenientes acerca de los mismos y luego de un lapso adecuado podrían permitir la redacción de programas definitivos que se­rían presentados a los poderes públicos.

La dirección de CONCEPTOS DE MATE­MATICA agradece la presencia de todos los docentes que participaron de la Mesa Redonda y especialmente a la Editorial "Angel Estrada y Cía." por todas las facilidades concedidas que facilitaron la realización.

La revista CONCEPTOS DE MATEMATI­CA y la naciente ASOCIACION "AMIGOS DE CONCEPTOS DE MATEMATICA" organiza­ron una Mesa Redonda que se realizó los días 20 y 27 de setiembre a las 18 y 30 en el Salón de Actos de la Editorial "Angel Estrada y Cía", Bolívar 466, Buenos Aires, sobre el tema "Análisis de las conclusiones y reco­mendaciones del Primer Simposio Nacional so­bre Enseñanza de las Ciencias (Córdoba, 1968) concernientes a la matemática". Durante el primer día se consideraron los aspectos cien­tíficos y en la segunda reunión se debatieron los aspectos pedagógicos, haciéndose final­mente una síntesis de ambos;

Formaron parte de la mesa los profesores Estela R. O. de González Baró, Jorge E. Bosch y César A. Trejo, desistiendo de participar por razones personales el doctor Luis A. Santaló. La conducción del debate estuvo a cargo del profesor José Banfi y en él participaron tam­bién los profesores Lucrecia Iglesias, Margarita Chouhy Aguirre, Atilio Piaña, Rodolfo E. Ta- vella, Emilio De Ceceo, Alfredo E. Palacios, señora de Ayerra y otros, entre ellos docentes de las provincias de Chaco, Río Negro, Santa Cruz y una representante de la hermana Re­pública de México. El debate fue sostenido y vivaz, y como resultado del mismo se arribó a las siguientes conclusiones a las que consi­deramos como un aporte para la elucidación de los problemas que plantea la enseñanza de la matemática en nuestro país y, seguramente, en otros países latinoamericanos.• Se refirma la necesidad de poner orden y coherencia en los contenidos de los programas de matemática. Para ello se considera impres­cindible adoptar un enfoque conjuntista autén­tico y consecuente, que impregne y oriente la totalidad de la enseñanza.

4. En otra de las actividades que ya hemos realizado en otras oportunidades en la ciudad de Buenos Aires y en otras ciudades del in­terior de nuestro país, pero que ahora pen­samos impulsar y sistematizar concientes del grave déficit de información existente entre muchos docentes de nuestro país —docentes que, por otra parte, desean ponerse al día para cumplir satisfactoriamente la misión que desem- pleñan— CONCEPTOS DE MATEMATICA ha organizado un curso sobre "Conocimiento de un nuevo enfoque de la matemática en el jardín de infantes y en la escuela primaria", curso que se realiza todos los jueves a las 17 a partir del 5 de octubre en el Jardín de Infantes N° 1 "Humber­to E. D'Amelio", ubicado en la calle 10 entre 168 y 169 de la ciudad de Berisso, de la provincia de Buenos Aires.

Nuestro colaborador, el profesor Alfredo R. PALACIOS, que se ha preocupado intensa­mente por las doctrinas dienesianas y por su difusión en nuestro país, tiene a su cargo el dictado del curso con la colaboración de otros destacados docentes bonaerenses.

2. La dirección de CONCEPTOS DE MA­TEMATICA consciente de la importancia fun­damental de los conceptos de matemática que deben impartirse en la escuela primaria asimismo de la orfandad en que se encuentran muchos maestros tanto de nuestro país de los otros países latinoamericanos, cialmente aquellos que desempeñan

como

comoQueremos señalar que los cursos que or­

ganiza nuestra revista no consisten simple­mente en el dictado de un grupo de clases al final de las cuales los concurrentes reciben un certificado de asistencia; se tratan, en cambio de un serio esfuerzo tendiente a la capaci­tación de docentes en áreas cuyo conocimien­to les resulte imprescindible.

Rogamos a los grupos de docentes que tén interesados por este tipo de problemas y

resolver-

espe-sus tareas

en lugares alejados de las grandes urbes, ha solicitado la colaboración de los destacados educadores argentinos Emilio J. DE CECCO y Alfredo R. PALACIOS, colaboración que ha sido aceptada, para la publicación en todos los números de CONCEPTOS DE MATEMATICA, a partir del número 24, de una amplia sección destinada a la enseñanza primaria en la cual se tratará de esclarecer en la forma más directa posible todos los temas que constituyen la finalidad de dicho ciclo. Estamos serán muchos los

es-

que estén preocupados realmente por ^ los, se pongan en contacto con nosotos P3^ estudiar la manera de resolver ese tipo situaciones.

deseguros que com-maestros a quienes

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ENSENAR MATEMATICA,. .ordenando la evolución del pensamiento

lógico." (Jean Piaget)

Infantes: PRIMERITO (ejercitación prenumérica), de A. Ferrari y E. Lagomarsino. - CUENTOS PARA JUGAR (conjuntos, parejas lógicas), de C. J. Durán.

Primer Grado: GREGORIO SUMA, A. Ferrari y E. Lagomarsino.Segundo Grado: CUENTOS CON CUENTAS, De N.D. de Schefini y A. Schefini.Tercer Grado: JUGANDO CON MATEMATICA, de N.V. de Tapia y A.T. de Bibiloni.

Sexto Grado: APRENDEX MATEMATICA 6o, de N.V. de Tapia y A.T. de Bibiloni. - GUIA METODOLOGICA PARA APRENDEX MATEMATICA 6o.

Séptimo Grado: APRENDEX MATEMATICA 7o, de N.V. de Tapia y A.T. de Bibiloni. - GUIA METODOLOGICA PARA APRENDEX MATEMATICA 7° .

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