NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảii –– GGVV TTHHCCSS PPhhaann CChhuu TTrriinnhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầmm -- ggiiớớii tthhiiệệuu)) trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN (chuyên)

(Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề) Câu I. Cho phương trình 2 25 2 6 0 1m x mx m với m là tham số . a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên. b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

4

1 2 1 2 16x x x x Câu II.

1) Giải hệ phương trình

2

2

2 1 9

2 1 9

x y y x

y x x y

2) Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN. Chứng

minh bất đẳng thức 3 2 2.

MC MA NB NAMA NA

Câu III. Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho 1 1 1

a b c

a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tố. b) Chứng minh rằng nếu c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố. Câu IV. Cho điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R (C ≠ A, C ≠ B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB; I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH. Các đường thẳng CI,CJ cắt AB lần lượt tại M,N. a) Chứng minh rằng AN = AC, BM = BC. b) Chứng minh 4 điểm M, N, J, I cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng MJ, NI, CH đồng quy. c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R. Câu V. Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại. a) Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5. b) Tìm tất cả các bộ gồm 5 số thỏa mãn đề bài mà tổng của chúng nhỏ hơn 40.

NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảii –– GGVV TTHHCCSS PPhhaann CChhuu TTrriinnhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầmm -- ggiiớớii tthhiiệệuu)) trang 2

SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu I. a) Vì 2 5 0m , với mọi m. Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ

khi 2

2 2 1 7196 5 0 6 0 012 144

m m m m m m

. Khi đó theo Viét ta có

1 2 2

25

mx xm

. Vì 22 22

22 5 1 4 0 2 5 0 1 05

mm m m m m do mm

Nên tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên. Cách khác: Đặt 2

25

mtm

( 0t vì 0m ), ta có 2 2 5 0 *tm m t

(*) có nghiệm 2 5 51 5 0 05 5

t t t t Z

b) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi

2

2 2 1 7196 5 0 6 0 012 144

m m m m m m

.

Theo Viét ta có 1 2 2

1 2 2

25

65

mx xm

mx xm

. Khi đó 4 1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

216

2

x x x xx x x x

x x x x

TH 1: 1 2 1 2 2 2 2 2

6 2 2 62 2 25 5 5 5

m m m mx x x xm m m m

(vô nghiệm, vì

0m )

TH 2: 1 2 1 2 2 2 2 2

6 2 2 62 2 25 5 5 5

m m m mx x x xm m m m

Đặt 2

2 05

mtm

, ta có:

2 2

12 3 3 2 0 2

3

t loait t t t

t nhan

22

22 2 4 2 9 10 0 53 5 9

2

mmt m m

m m

(TMĐK 0m ). Vậy 52,2

m m

Câu II. 1) ĐK: 0, 0x y . Đặt , 0, 0a x y b y x a b . Hệ đã cho trở thành

2

2 2

2

2 1 92 1 1 9 2 2 13 0

2 1 9

a ba b a b a b a b a b

b a

(Vì 0, 0 2 2 13 0a b a b )

Với a b , ta có 2 22

2 1 9 2 5 2 0 12

aa a a a

a

(TMĐK)

TH 1: Khi 2a b , ta có 324

2

x yx y

y x

(TMĐK)

NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảii –– GGVV TTHHCCSS PPhhaann CChhuu TTrriinnhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầmm -- ggiiớớii tthhiiệệuu)) trang 3

TH 2: Khi 12

a b , ta có 3

112

1 42

x yx y

y x

(TMĐK)

Vậy hệ có hai nghiệm là 3 3 3 31 1; 4; 4 , ;4 4

x y

2) Vì BM, CN lần lượt là phân giác các góc B, C của tam giác ABC nên ta có ,MC BC NB BC

MA AB NA AC (tính chất đường phân giác của tam giác)

Do đó 2

1 1 1 1 1. .

MC MA NB NA MC NB BC BC BC BC BCMA NA MA NA AB AC AB AC AB AC

Mà 2 2

2 2 2 2 . 2; 2 2 2. .

BC BC BC BCBC AB AC AB ACAB AC AB AC AB AC

Nên 2

1 2 2 2 1 3 2 2. .

MC MA NB NA BC BC BCMA NA AB AC AB AC

Dấu ‘=’ xảy ra khi AB = AC, tam giác ABC vuông cân tại A Câu III. a) Ta có 1 1 1 c a b ab ab a b

a b c

Giả sử a + b là số nguyên tố. Vì a < a + b , 1a a b mà ab a b b a b (vô lý vì 0 b a b ). Vậy a + b không thể là số nguyên tố. b) Ta có 2 2c a b ab bc ab ac ab bc ab ac b a c a b c b a c a tương tự cũng có 2a b c b a c a b c b Giả sử a + c và b + c đều là số nguyên tố. Vì a < a + c

, 1a a c tương tự , 1b b c Mà b a c a b a tương tự có 2 3a b a b c a c b c c không là số nguyên tố vì c > 1. Vậy khi c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố. Câu IV. a) Chứng minh rằng AN = AC, BM = BC Ta có ANC ABC BCN (góc ngoài BCN) ACN ACH HCN Mà ABC ACH (cùng phụ BAC ), BCN HCN (CJ là phân giác BCH ) ANC ACN ACN cân tại A AN AC . Chứng

minh tương tự BM BC b) Chứng minh 4 điểm M, N, J, I cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng MJ, NI, CH đồng quy. 0 01 1 90 45

2 2MCN MCH NCH ACH BCH , 0 01 1 90 45

2 2MHI AHC

Nên MCN MHI tứ giác CIHN nội tiếp 090CIN CHN

NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảii –– GGVV TTHHCCSS PPhhaann CChhuu TTrriinnhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầmm -- ggiiớớii tthhiiệệuu)) trang 4

Chứng minh tương tự có tứ giác CJHM nội tiếp 090CJM CHM Xét tứ giác MNJI, ta có 090MIN MJN ( 090CIN CJM cmt ) Vậy tứ giác MNJI nội tiếp, hay 4 điểm M, N, J, I cùng thuộc một đường tròn. Cách khác: Gọi K là giao điểm của AI và CN; E là giao điểm của BJ và CM. Ta có: ACN cân tại A (cmt), AI là phân giác góc CAN (theo gt) Nên AK CN và 1

2KC KN CN . Tương tự BE CM và 1

2EC EM CM

Do đó EK là đường trung bình tam giác CMN EK // MN CEK CMN a Xét tứ giác IEKJ, ta có: 090IEJ IKJ (AK CN, BE CM) Nên tứ giác IEKJ nội tiếp CEK CJI b . Từ (a) và (b) có CMN CJI . Vậy tứ giác MNJI là tứ giác nội tiếp. Xét tam giác CMN, ta có: CH MN (gt), NI CM, MJ CN (theo cmt) Vậy MJ, NI, CH đồng quy.

c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R. Đặt AC = AN = b, BC = BM = a. 2 2 2 24a b AB R Ta có AN + BM = AB + MN 2MN a b R Lại có 2 22 2 2 2 20 2 2 8 2 2a b ab a b a b a b R a b R Do đó 2 2 2 2 2 2 1MN a b R R R R

Dấu ‘=’ xảy ra khi 2a b R BC AC C là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB. Khi đó CH cũng đạt GTLN là R, nên diện tích tam giác CMN đạt GTLN là 21 .2 2 1 2 1

2R R R

Câu V. a) Gọi 5 số đó là a, b, c, d, e. Vì các số phân biệt nên giả sử a < b < c < d < e. Theo giả thiết có: a + b + c > d + e a + b + c ≥ d + e + 1 a ≥ d + e + 1 - b - c Lại có d > c > b d ≥ c + 1, c ≥ b + 1 d ≥ b + 2 d - b ≥ 2 e > d > c e ≥ c + 2 e - c ≥ 2 Nên a ≥ (d - b) + (e - c) + 1 ≥ 5 b, c, d, e > 5. Vậy tất cả các số đều không nhỏ hơn 5. b) Nếu a ≥ 6 b ≥ 7, c ≥ 8, d ≥ 9, e ≥ 10 a + b + c + d + e ≥ 40 (vô lý) a < 6 theo câu a) ta có a = 5. Ta có b + c + 5 ≥ d + e + 1 b + c ≥ d + e - 4 mà d - 2 ≥ b, e - 2 ≥ c d + e - 4 ≥ b + c. Nên b = d - 2, c = e - 2 a + b + c + d + e = 5 + 2b + 2c + 4 < 40 b + c < 31

2 2b + 1 < 31

2 b ≤ 7

Từ đó có b = 6 hoặc b = 7 Nếu b = 6, ta có d = 8 c = 7, e = 9. Ta được bộ (5; 6; 7; 8; 9) Nếu b = 7, ta có d = 9 c = 8, e = 10. Ta được bộ (5; 7; 8; 9; 10)