ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – INGENIERÍA EN LOGÍSTICA Y TRANSPORTE OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA Y GRAFOS – DEBER No.1

Tema 1 Verifique si el siguiente dígrafo tiene ciclos:

( ) Es un grafo donde V corresponde a los vértices y A a las aristas: | | | | Este grafo no contiene ciclos Tema 2 Para el siguiente grafo no orientado:

1

6 4 2

35

8

7

a) El camino 0, 1, 4, 6, 3 es un camino simple

El camino nado en el literal a no es un camino existente en el grafo dado y el camino ⟨ ⟩ no es un camino simple ya que no hay una conexión directa entre el vértice 6 al 3

b) El camino 0, 3, 1, 4, 6, 3, 2 es un camino simple No existe una conexión directa entre dichos nodos, y de ser una camino existente no seria un camino simple ya que repite la visita del nodo 3

c) El camino 3, 1, 2, 4, 7, 6, 3 es un ciclo No es un ciclo ya que dicho camino no existe (no tiene conexión directa entre los nodos 3 a 1 y 6 a 3)

1

2

4

3

5

6

7

8

Tema 3 Identifique las componentes conexas del grafo no orientado adjunto:

⟨ ⟩ Cuando las equivalencias definidas en el conjunto de sus vértices, V, por la relación de equivalencia “estar conectado con” recibe el nombre de componentes conexas de G El grafo ⟨ ⟩ donde V son los vértices y A sus arista

{ } Dado lun grafo, la relación “Estar conectado con” definida en el conjunto de sus vértices es una relación de equivalencia. [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ] Por lo tanto el grafo G tiene tres componentes conexas que son subgrafos cuyos conjuntos de vértices son [ ] [ ] [ ] Tema 4 En base a la matriz de adyacencia mostrada, construya el dígrafo correspondiente:

1 2 3 4 5

1 0 1 0 0 0

2 1 0 1 1 0

3 0 1 0 1 1

4 0 1 1 0 0

5 1 0 0 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tema 5 En base a la matriz de adyacencia mostrada, construya el dígrafo correspondiente:

1 2 3 4 5 6

1 1 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

3 1 1 0 0 1 0

4 0 1 1 0 0 0

5 0 0 0 0 0 1

6 0 0 0 0 0 1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

56

Tema 6 Muestre los vértices source y los vértices sink de los grafos anteriores.

Para el nodo del tema 4 el nodo sumidero (sink) es el nodo 1 ya que el grado exterior del vértice 1 es igual a cero:

| ( )| Para el mismo grafo, los nodos fuentes (source) son los nodos 4 y 3 ya que el grado internos de los nodos son

| ( )| | ( )|

Para el grafo del ejemplo 5 no tiene nodo sumidero (sink), pero si tiene nodo fuente (source)

| ( )| | ( )|

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Tema 7 Elabore un programa de computación en MATLAB tal que, basado en el ingreso de los datos de la MATRIZ DE ADYACENCIA de un grafo, genere la MATRIZ DE INCIDENCIA y las muestre a ambas por pantalla. Tema 8 Considere el siguiente problema de Knapsack: S.T. { }

a) Identifique lo qué representan los coeficientes de cada expresión matemática. Partiendo del supuesto que se tiene un problema de inversión en distintos proyectos los coeficientes de cada expresión matemática del modelo y restricciones serian. Se tiene las opciones de invertir en 4 diferentes proyectos, por lo tanto el modela esta sujeto a una variable binaria (variable de decisión) ( ) que representa los 4 diferentes proyectos. El objetivo del modelo es maximizar, por lo tanto los coeficientes que acompañan a las variables binarias correspondientes representan la utilidad de cada proyecto. Este problema esta sujeto a un presupuesto global y la cantidad que se necesita invertir en cada proyecto, es decir: Para invertir en el proyecto 1 se necesita un capital de 8 unidades monetarias, para el proyecto 2 se necesitan 2 unidades monetarias, para el proyecto 3 se necesitan 5 unidades monetarias y para el proyecto 4 se necesitan 5 unidades monetarias, la suma de estas inversiones no puede superar el presupuesto que es de 11 unidades monetarias (presupuesto global).

b) Proporcione una solución factible, basada en una heurística GREEDY.

1. Ordenamos de mayor a menor las utilidades de cada proyecto

1

2

3

4

56

2. Iteraciones

Iteraciones Residuo Inicio - - - 11

1 {( )} 1 8 1 3 2 {( )} 4 5 0 3 3 {( )} 3 5 0 3 4 {( ) ( )} 2 2 1 1

Solución: Uno solución factible es invertir en el proyecto 1 y 2 haciendo una inversión de 10 unidades monetarias y esperando una utilidad de 10 unidades monetarias.

c) Proponga una segunda solución, también basada en una heurística GREEDY. Para la siguiente solución nos basaremos de acuerdo a la mayor relación rendimiento/desembolso. 1. Ordenamos de mayor a menor rendimiento/desembolso

2. Iteraciones

Iteraciones Residuo Inicio - - - 11

1 {( )} 2 2 1 9 2 {( ) ( )} 4 5 1 4 3 {( ) ( )} 3 5 0 4 4 {( ) ( )} 1 8 0 4

Solución: Basados en el rendimiento/desembolso de cada proyecto se a mejorado la solución. Se invertirá en los proyectos 2 y 4 haciendo un desembolso de 2 y 5 unidades monetarias respectivamente, y esperando una utilidad de 11 unidades monetarias. Tema 9 Se ha provocado un incendio en una isla y existen personas que deben ser evacuadas en lanchas, todas las lanchas tienen capacidad y cada persona tiene un peso conocido . Hay que trasladar urgentemente a estas personas en un número mínimo ( ) de lanchas, de manera que la suma de los pesos de las personas asignadas a cada lancha no supere la capacidad de carga de la lancha. Como no hay mucho tiempo plantear un modelo que resuelva óptimamente el problema, se necesita una heurística glotona.

a) Programe una heurística glotona en MATLAB que considere en peso de cada persona como criterio de ordenamiento, en donde la persona se asigna a la lancha del más pequeño índice que puede recibirla.