deel xv vectorvlak en euclidisch vlak (recto)

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel XV Vectorvlak en Euclidisch vlak

17/01/2016

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2013 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 17 januari 2016

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord iii

Wat is wiskunde? iv-xi

Parate kennis bij aanvang van de derde graad x-xviii

I Precalculus 1 I,i-ii,1-138

II Goniometrie en precalculus 2

III Matrices

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek XIV,i,1-39

XV Vectorvlak en Euclidisch vlak XV,i,1-57

XVI Getaltheorie

XVII Vectorruimten en lineaire afbeeldingen

XVIII Analytische meetkunde

XIX Differentiaalvergelijkingen

XX Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

M Computerrekenpakket Maple S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,1-4

Pr Practicum wiskunde

Ps Problem Solving wiskunde Pr,1-12

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xix-xxvi

ii

verzameling V2

+ : V2 × V2 → V2

eig. 1-3

groep V2,+

d : V2 × V2 → Reig. A-D

metrische ruimte V2, d

eig. 4

commutatieve groep V2,+

· : R× V2 → V2

eig. 5-8

reele vectorruimte R,V2,+

het vectorvlak V2

〈·, ·〉 : V2 × V2 → Reig. 9-11

Euclidische ruimte R,V2,+, 〈·, ·〉het Euclidisch vlak E2

|| · || : V2 → Reig. 9’-11’

genormeerde ruimte R,V2,+, || · ||

Deel XV

Algebra - Vectorvlak en Euclidisch vlak

XV

Inhoudsopgave Deel Vectorvlak en Euclidisch vlak

1 Het vectorvlak V2 1

1.1 Gebonden vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Vrije vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Bewerkingen met vectoren in V2 - De vectorruimte R,V2,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Optelling van vectoren - De groep V2,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Vermenigvuldiging van een reeel getal met vector - De vectorruimte R,V2,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Toepassingen - Deel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Toepassing 1 - Meetkundige eigenschappen van vlakke figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Toepassing 2 - Relatieve snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Puntvector van een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


Toepassing 3 - Zwaartepunt van een veelhoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Toepassing 4 - Massamiddelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Toepassing 5 - Nodige voorwaarde voor een lichaam in rust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Coordinaten van punten t.o.v. een assenstelsel - Coordinaten van puntvectoren t.o.v. een basis . . . . . . . . . . 18

Assenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Coordinaten van een punt ten opzichte van een assenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Ontbinding van de puntvector van een punt in componenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Coordinaten van de puntvector van een punt ten opzichte van een basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Coordinatenafbeelding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8 Vertaling van bewerkingen met vectoren in V2 naar coordinaten - De vectorruimte R,R2,+ . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Richtingsvector en richtingsgetallen van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Vergelijking van een rechte bepaald door een punt en een richtingsvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Vergelijking van een rechte bepaald door twee verschillende punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Inzicht in fysische chemie - Vorm van een druppel vloeistof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Het Euclidisch vlak E2 37

2.1 Hoek tussen twee vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Scalair product van vectoren in V2 - Het Euclidisch vlak E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Norm van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


Toepassing 1 - De stelling van Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Toepassing 2 - De cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de driehoeksongelijkheid - De genormeerde ruimte R,V2,+, || · || . . . . 45

2.6 De metrische ruimte V2, d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Overzicht van de verschillende structuren op V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


Toepassing 3 - Loodrechte projectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Inzicht in sportwetenschappen - Zeiltechniek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Antwoorden op geselecteerde oefeningen 54

Hoofdstuk 1

Het vectorvlak V2

Immer mit den einfachsten Beispielen anfangen.

David Hilbert (1862 - 1943)

Het vectorvlak ontstaat door de verzameling van alle (vrije) vectoren in het vlak te voorzien van een inwendige optellingen een uitwendige (scalaire) vermenigvuldiging met een reeel getal. Wanneer we ook een inwendige vermenigvuldiging(scalair product) opleggen, spreken we van het Euclidisch vlak, dat we behandelen in Hoofdstuk 2.

Het vectorvlak is een voorbeeld van een zogenaamde vectorruimte. De abstracte theorie van vectorruimten komtuitvoerig aan bod in Deel Vectorruimten en lineaire afbeeldingen.

1.1 Gebonden vector

In dit hoofdstuk werken we in een (tweedimensionaal) vlak. We noemen dit vlak Π. De verzameling van alle puntenvan het vlak noteren we ook met Π.

3 Definitie (gebonden vector). Een gebonden vector is een koppel punten (A,B) van het vlak Π. De verza-meling van alle gebonden vectoren van het vlak noteren we met Π×Π.In symbolen:

Π×Π = {(A,B) | A ∈ Π en B ∈ Π}

Een gebonden vector (A,B) waarbij A 6= B wordt voorgesteld door het lijnstuk [AB] te tekenen en te voorzienvan een pijl van A naar B.

Voorbeeld. Hieronder staan gebonden vectoren (A,B) en (P,Q) afgebeeld. Merk op dat de gebonden vector(A,B) niet gelijk is aan de gebonden vector (B,A).

A

B

P

Q

3 Definitie (aangrijpingspunt, richting, zin en lengte van een gebonden vector).Voor een gebonden vector (A,B) met A 6= B noemen we:

. het beginpunt A het aangrijpingspunt van de gebonden vector,

. de richting van de drager (rechte AB) is de richting van de gebonden vector,

. de zin van het puntenkoppel is de zin van de gebonden vector,

. de lengte1 van het lijnstuk [AB] is de lengte van de gebonden vector.

Een gebonden vector waarbij het beginpunt samenvalt met het eindpunt noemen we een nulvector. De lengtevan een nulvector is nul. De drager, richting en zin van een nulvector zijn onbepaald. Bij het voorstellen van denulvector tekenen we dan ook geen pijl.

3 Eigenschap. Een gebonden vector (A,B) is volledig bepaald door zijn aangrijpingspunt, richting, zin en lengte.

1Telkens we spreken over afstand, lengte en hoeken veronderstellen we impliciet dat het vlak Π voorzien is van een orthogonaal assenstelsel(zie Deel Precalculus 1) waarbij de x-as en y-as dezelfde ijk hebben. Dergelijk assenstelsel wordt ook wel een orthonormaal assenstelselgenoemd, zie §1.7. Merk echter op dat men om twee lengtes met elkaar te vergelijken geen nood heeft aan (eender welk) assenstelsel, alsookvoor de termen ‘loodrecht’ en ‘evenwijdig’ (denk aan passer-en liniaal constructies).

XV-1

http://nl.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

3 Voorbeeld 1. Elk lichaam op aarde ondervindt een kracht ten gevolge van de zwaartekracht. Deze kracht isvolledig bepaald door zijn aangrijpingspunt, richting, zin en lengte en kunnen we dus voorstellen met behulp vaneen gebonden vector: de zwaartekrachtvector.

voorbeeld van eenvectorveld

3 Voorbeeld 2. Een vectorveld van het vlak is een afbeelding die aan elk puntA van het vlak een gebonden vector (A,B) associeert. In symbolen:

f : Π→ Π×Π

A 7→ (A,B).

In de natuurkunde worden vectorvelden bijvoorbeeld gebruikt voor het beschrij-ven van de stroming van een vloeistof door van elk punt in de stroming de snel-heid in grootte en richting te geven. Een nulvector betekent dan dat op dieplaats het water stil staat.

Dat kan ook bij een magnetisch veld of zwaartekrachtveld door in elk punt degrootte en de richting waarin de kracht werkt te geven. Verbinden van zo’nvectoren geeft de zogenaamde veldlijnen. Bij voorkeur zal men de veldlijnendan voorstellen in een dichtheid die evenredig is met de grootte van de vector.

1.2 Vrije vector

3 Op ontdekking. Op onderstaande figuur is de gebonden vector (A,B) gegeven.

(a) Teken een gebonden vector (P,Q) met zelfde aangrijpingspunt, richting, zin en lengte. Hoeveel mogelijk-heden zijn er?

(b) Teken een gebonden vector (C,D) met zelfde richting, zin en lengte. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

(c) Kun je ervoor zorgen dat (A,B) en (C,D) een verschillende drager hebben? En dezelfde drager?

(d) Teken de lijnstukken [AC] en [BD]. Welke meetkundige figuur kan er zich vormen? Is dat altijd zo?

A

B

Oplossing.

XV-2

Guisto Bellavitis(1803 - 1880)

3 Definitie (equipolentie)2. Twee gebonden vectoren (A,B) en (C,D) zijnequipolent, notatie (A,B) ↑ (C,D), als er zich minstens een van de volgendevier gevallen voordoet.

Geval 1. De gebonden vectoren (A,B) en (C,D) kunnen verbonden worden viaeen parallellogram ABDC:

A

B

C

D

Geval 2. De gebonden vectoren (A,B) en (C,D) kunnen verbonden worden via twee parallellogrammen, i.e. erbestaan punten X,Y waarvoor ABYX en CDYX parallellogrammen zijn:

A

B

C

D

X

Y

Geval 3. De gebonden vectoren (A,B) en (C,D) zijn gelijk, dus A = C en B = D:

A = C

B = D

Geval 4. De gebonden vectoren (A,B) en (C,D) zijn beide nulvectoren, dus A = B en C = D:

A = B

C = D

3 Voorbeeld 1. Welke gebonden vectoren zijn equipolent? Hanteer de correcte notatie.

A

B

D

C

E

F

2Bellavitis 1832.

XV-3

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bellavitis.html

3 Definitie (vrije vector)3. Zij (A,B) een gebonden vectoren. De verzameling van alle gebonden vectoren dieequipolent zijn met (A,B) noemt men de (vrije) vector (of glijdende vector) bepaald door (A,B). We noteren

deze vrije vector met−−→AB. In symbolen:

−−→AB

def= {(X,Y ) ∈ Π×Π | (X,Y ) ↑ (A,B)}

Voorbeeld. In onderstaande figuur zijn de gebonden vectoren (C,D) en (E,F ) equipolent met (A,B). De

verzameling van al die gebonden vectoren is de vrije vector−−→AB. Schematisch:

A

B

C

D

E

F

. . .

−−→AB

3 Definitie (representant van een vrije vector). Zij−−→AB een vrije vector. Elke gebonden vector in de

verzameling−−→AB noemt men een representant van vector

−−→AB.

Voorbeeld (vervolg). Voor bovenstaande figuur is (C,D) ↑ (A,B) en (E,F ) ↑ (A,B), ook is (A,B) ↑ (A,B). De

verzameling−−→AB wordt dan −−→

AB = {(A,B), (C,D), (E,F ), . . .}

De gebonden vectoren (A,B), (C,D) en (E,F ) zijn allen een representant van de vector−−→AB. Dat duiden we aan

door het symbool−−→AB te noteren bij elk zo’n representant (voer uit).

3 Definitie (riching, zin en lengte van een vrije vector) Zij−−→AB een vrije vector. Alle representanten dezelfde

richting, zin en lengte, die we de richting, zin en lengte van de vector−−→AB noemen. De lengte van vector

−−→AB

noteren we met |−−→AB|. Merk op dat niet alle representanten van−−→AB dezelfde drager en aangrijpingspunt hebben.

De drager en aangrijpingspunt van een vrije vector zijn dus onbepaald.

3 Eigenschap. Een vrije vector−−→AB is volledig bepaald door zijn richting, zin en lengte.

3 Voorbeeld 2. Laten we vanop een gebouw een steen vallen, dan zal de snelheid van de steen steeds toenementot die op de grond terecht komt. Als we de luchtweerstand buiten beschouwing laten, dan is de versnellingwaarmee de steen valt constant en noteert men met de letter

g = 9, 81 m/s2

In het bijzonder hangt de versnelling van de steen niet af van het gewicht van die steen. Met andere woorden,zonder luchtweerstand valt een lichte steen even snel naar beneden als een zware steen!

Versnelling heeft niet alleen een waarde, ze heeft ook een richting en een zin. Blijven we op een beperkte plaatsmet beperkte hoogte, dan is het aangrijpingspunt onbelangrijk. We mogen dus spreken van een vrije vector: degravitationele versnellingsvector −→g .

−→g−→g

−→g

3Vectoren doken voor het eerst op bij August Ferdinand Mobius 1827.

XV-4

http://nl.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius

3 Definitie (vectorvlak). De verzameling van vrije vectoren in het vlak Π noemen we het vectorvlak en noterenwe met V2.

In symbolen:

V2 def= {−−→AB | (A,B) ∈ Π×Π}

Vrije vectoren zullen we vaak noteren als een overpijlde Latijnse letter: −→a ,−→u , . . .

3 Bijzondere vectoren.

1. Alle gebonden nulvectoren zijn onderling equipolent. De vrije vector

−→AA = {(C,D) ∈ Π×Π | (A,A) ↑ (C,D) } = {(C,C) ∈ Π×Π}

noemen we de (vrije) nulvector. De nulvector noteren we met −→o .

2. Voor een vector−−→AB ∈ V2 noemen we

−−→BA de tegengestelde4 vector van

−−→AB.

Voorbeeld. De tegengestelde vector van−−→AB is

−−→BA, de tegengestelde vector van

−−→BA is

−−→AB.

−−→AB

−−→BA

3. Niet-nul vectoren −→u ,−→v ∈ V2 met dezelfde richting noemt men evenwijdige vectoren, notatie −→u //−→v .

Bij afspraak is elke vector evenwijdig met de nulvector −→o .

3 Voorbeeld 3. Onderstaande figuur is een parallellogram. Noteer in symbolen welke vectoren gelijk of evenwijdigzijn.

−→a

−→b

−→d

−→c

4Dat de benaming ‘tegengestelde’ nog zo gek niet gekozen is, zal blijken uit §1.3

XV-5

1.3 Bewerkingen met vectoren in V2 - De vectorruimte R,V2,+

Optelling van vectoren - De groep V2,+

3 Definitie (som van vectoren). Voor twee vectoren−−→AB en

−−→CD definieren we de som aan de hand van twee

stappen.

Stap 1. Bepaal het punt B′ waarvoor−−→CD =

−−→BB′.

Stap 2. De som van de vectoren−−→AB en

−−→CD is gelijk aan de vector

−−→AB +

−−→CD

def=−−→AB′.

Voorbeeld. Bepaal telkens de som van de vectoren−−→AB en

−−→CD.

(a)

−−→AB

−−→CD

(b)

−−→AB

−−→CD

(c)

−−→AB

−−→CD

In het bijzonder geldt de volgende

Hermann GuntherGrassmann(1809 - 1877)

3 Eigenschap 1 (kop-staart regel, regel van Chasles-Mobius5).

Voor drie punten A,B,B′ is

−−→AB +

−−→BB′ =

−−→AB′

Schematisch:

−−→AB + −−→BB ′= −−→AB ′

−−→AB

A

B

B′

−−→BB ′

5Genoemd naar Michel Chasles (1793-1880) en August Ferdinand Mobius (1790-1868) ter ere van hun bijdrage in verband metvectoren, alhoewel de hier vernoemde bewerkingen van vectoren afkomstig zijn uit het baanbrekend werk van Grassmann 1844.

XV-6

http://nl.wikipedia.org/wiki/Hermann_Grassmann


http://nl.wikipedia.org/wiki/Michel_Chasles


Hoewel kracht een aangrijpingspunt6 heeft en dus een gebonden vector is, kan men ze bij sommige bewerkingen tochopvatten als een vrije vector, namelijk bij het optellen van krachten die inwerken op hetzelfde lichaam. Daarom noteert

men de krachtvector ook als een overpijlde letter−→F . De lengte |−→F | noteert men kortweg als F . De eenheid van F is

Newton, in symbolen:[F ] = N

Krachten samenstellen betekent de gegeven krachten vervangen door een kracht die dezelfde uitwerking heeft als de

gegeven krachten. Deze kracht noem je de resulterende kracht−→Fr of kortweg resultante.

3 Modelvoorbeeld. Om een boom bij het vellen in de gewenste richting te laten vallen heeft men er twee touwen

aan vast gemaakt (zie figuur). Aan het ene touw trekt een eerste ploeg met een kracht−→F1, met F1 = 1500 N.

Aan het tweede touw trekt een tweede ploeg met een kracht−→F2, met F2 = 2500 N. De hoek tussen de twee

touwen is 45◦.

(a) Teken de krachten−→F1 en

−→F2 in het vlak, met juiste onderlinge verhouding en tussenliggende hoek.

(b) Teken de resultante−→Fr. Is Fr = F1 + F2?

(c) Met welke kracht en in welke richting moet een ploeg trekken om de boom op dezelfde plaats te latenneerkomen?

Oplossing.

3 Op ontdekking. De optelling van vectoren voldoet aan de volgende vier eigenschappen.

1. De som van−−→AB +

−−→CD met

−−→EF is hetzelfde als de som van

−−→AB met

−−→CD +

−−→EF , in symbolen:

(−−→AB +

−−→CD

)+−−→EF =

−−→AB +

(−−→CD +

−−→EF).

Verklaring aan de hand van een schets (vul aan):

−−→AB

−−→CD

−−→EF

Men zegt dat de optelling van vectoren associatief is. In symbolen:

∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )

6Bij het berekenen van het moment van een kracht speelt de positie van het aangrijpingspunt wel een rol en kan men de krachten nietopvatten als een vrije vector.

XV-7

2. De som van een vector−−→AB met de nulvector is dezelfde vector

−−→AB, in symbolen:

−−→AB +

−−→BB =

−−→AB.


−−→AB

−−→BB

Men zegt dat de nulvector het neutraal element is voor de optelling van vectoren. In symbolen:

∀−→u ∈ V2 : −→u +−→o = −→u = −→o +−→u

3. De som van een vector−−→AB met z’n tegengestelde

−−→BA is de nulvector, in symbolen:

−−→AB +

−−→BA =

−→AA


−−→AB

−−→BA

Men zegt dat−−→BA het invers element voor de optelling van

−−→AB is. Het invers element van

−−→AB is dus de

tegengestelde vector van−−→AB. Om deze reden noteren we

−−→BA ook door −−−→AB. In symbolen:

∀−→u ∈ V2 : −→u + (−−→u ) = −→o = (−−→u ) +−→u

4. De som van−−→AB met

−−→CD is hetzelfde als de som van

−−→CD met

−−→AB, in symbolen:

−−→AB +

−−→CD =

−−→CD +

−−→AB


−−→AB

−−→CD

Men zegt dat de optelling van vectoren commutatief is. In symbolen:

∀−→u ,−→v ∈ V2 : −→u +−→v = −→v +−→u

We vatten deze resultaten samen in

3 Eigenschap 2. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg optelling in V2 noemen:

+ : V2 × V2 → V2(−→u ,−→v ) 7→ −→u +−→v

en die voldoet aan de volgende eigenschappen:

(1) de optelling in V2 is associatief: ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )

(2) er is een neutraal element voor de optelling in V2: ∀−→u ∈ V2 : −→u +−→o = −→u = −→o +−→u(3) elke vector heeft een invers element voor optelling: ∀−→u ∈ V2 : −→u + (−−→u ) = −→o = (−−→u ) +−→u .

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (1)-(3) noemen we de verzameling V2 voorzien van de optelling eengroep, notatie V2,+. Bovendien geldt ook de eigenschap

(4) de optelling in V2 is commutatief: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : −→u +−→v = −→v +−→u .Wegens deze vierde eigenschap noemen we de groep V2,+ commutatief (of abels7).

7Genoemd naar Niels Henrik Abel (1802 - 1829).

XV-8

http://nl.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

Onze schrijfwijze voor het tegengestelde van een vector leidt tot het begrip verschil van twee vectoren.

3 Definitie (verschil van vectoren). Het verschil van twee vectoren−−→AB en

−−→CD is per definitie de som van de

vector−−→AB met het tegengestelde van

−−→CD, dus

−−→AB −−−→CD def

=−−→AB + (−−−→CD)

=−−→AB +

−−→DC

Voorbeeld. Bepaal het verschil van de vectoren−−→AB en

−−→CD.

−−→AB −−→

CD

Vermenigvuldiging van een reeel getal met vector - De vectorruimte R,V2,+

3 Definitie (scalaire8 vermenigvuldiging van een getal met een vector). Voor een reeel getal r (een

scalair) en een vector−−→AB definieren we de (scalaire) vermenigvuldiging aan de hand van drie stappen.

Stap 1. IJk de drager van een representant van−−→AB door aan A de waarde 0 toe te kennen en B aan B de waarde 1.

−−→AB

A

0

B

1

Stap 2. Het punt op de drager dat hoort bij de waarde r noemen we het punt P .

−−→AB

A

0

B

1

P

r

Stap 3. Per definitie is de (scalaire) vermenigvuldiging van r met−−→AB gelijk aan de vector

−→AP .

−−→AB

A

0

B

1

P

rr ·

−−→AB

def

=−→AP

8Een scalair (ook wel scalar genoemd, meervoud scalairen) duidt in de ruimste zin op een gewoon getal. In tegenstelling tot een vectorheeft een scalaire grootheid alleen een grootte, geen richting of zin.

XV-9

Voorbeeld. Teken de vectoren3

2

−−→AB en −

√2−−→AB.

−−→AB

3 Modelvoorbeeld. Twee krachten−→F1 en

−→F2 maken een hoek van 60◦. Verder is F1 = 3kN en F2 = 4kN.

(a) Maak een schets waarop je de gegevens aanduidt.

(b) Bereken de grootte van de resultante.

(c) Men wil de grootte van de resulterende kracht verdubbelen. Maar men kan enkel invloed uitoefenen op de

grootte van de eerste kracht F1. Met welk getal moeten we−→F1 vermenigvuldigen?

Oplossing.

Analoog als bij de optelling van vectoren, zien we de volgende eigenschappen in.

3 Eigenschap 3. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg scalaire vermenigvuldiging in V2noemen:

· : R× V2 → V2(r,−→u ) 7→ r · −→u


(5) de scalaire vermenigvuldiging in V2 is

gemengd associatief:∀r, s ∈ R,∀−→u ∈ V2 : (r · s) · −→u = r · (s · −→u )

(6) de scalaire vermenigvuldiging in V2 is distributief

ten opzichte van de optelling in V2:∀r, s ∈ R,∀−→u ∈ V2 : (r + s) · −→u = r · −→u + s · −→u

(7) de scalaire vermenigvuldiging in V2 is distributief

ten opzichte van de optelling in R:∀r ∈ R,∀−→u ,−→v ∈ V2 : r · (−→u +−→v ) = r · −→u + r · −→v

(8) het reeel getal 1 is een neutraal element voor de

scalaire vermenigvuldiging in V2:∀−→u ∈ V2 : 1 · −→u = −→u .

Omdat de commutatieve groep V2,+, die voldoet aan eigenschappen (1)-(4), bovendien voldoet aan eigenschap-pen (5)-(8) noemen we de verzameling V2 voorzien van de optelling en de scalaire vermenigvuldiging een (reele)vectorruimte (of lineaire ruimte), notatie R,V2,+. In het vervolg spreken we kortweg van het vectorvlak V2.

XV-10

1.4 Toepassingen - Deel 1

Toepassing 1 - Middenparallel van een driehoek

Dankzij vectoren kunnen we eigenschappen uit de vlakke meetkunde bewijzen. We illustreren dit met een gekendeeigenschap uit het derde jaar.

3 Eigenschap (middenparallel van een driehoek).

Gegeven. Een driehoek ABC in het vlak Π en M,N de middens van de zijden [AB] en [AC].

Te bewijzen. Het lijnstuk [MN ] is evenwijdig met en half zo lang als het lijnstuk [BC].

Bewijs. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

B C

AWe schrijven de vector

−−→MN als een som van vectoren.

Wegens deze eigenschap noemt men het lijnstuk [MN ] een middenparallel van driehoek ABC. Met een analogewerkwijze kun je allerlei meetkundige eigenschappen van vlakke figuren bewijzen.

3 Modelvoorbeeld. Bewijs de volgende eigenschap met vectoren:

De middens van de zijden van een willekeurige vierhoek vormen een parallellogram.

Oplossing.

XV-11

Toepassing 2 - Relatieve snelheid

Snelheid9 is bepaald door zijn grootte, richting en zin en kan dus opgevat worden als een vector: de snelheidsvector.Aangezien snelheid altijd gemeten wordt ten opzichte van een waarnemer of referentiestelsel, spreekt men eerder vanrelatieve snelheid.

3 Modelvoorbeeld. Een rivier met breedte 0, 2km stroomt met een constante snelheid van 3km/u van west naaroost. Een boot vertrekt aan de oever in het zuiden in het punt S en hoopt aan de andere kant aan te komen inhet punt N rechttegenover S. De boot vaart met een snelheid van 5 km/u ten opzichte van het water.

(a) In welke richting moet de boot varen om in het gewenste punt N aan te komen?

(b) Hoe lang duurt de reis?

Oplossing. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

S

N

0, 2 km

9De snelheden die we gebruiken zullen steeds constant zijn in functie van de tijd. Merk ook op dat in het Nederlands taalgebruik hetwoord snelheid zowel kan duiden op een getal als een vector, terwijl men in het Engels taalgebruik duidelijk onderscheid maakt met speed(grootte van de snelheid) en velocity (snelheidsvector). Ten slotte merken we op dat we steeds binnen de klassieke mechanica van IsaacNewton 1667 rekenen, terwijl men in werkelijkheid rekening zou moeten houden met de speciale relativiteitstheorie van AlbertEinstein 1905, die stelt dat we niet zomaar snelheidsvectoren mogen optellen.

XV-12

http://nl.wikipedia.org/wiki/Klassieke_mechanica

http://nl.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://nl.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://nl.wikipedia.org/wiki/Speciale_relativiteitstheorie

http://nl.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

http://nl.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

1.5 Puntvector van een punt

We kiezen voor eens en altijd een vast punt O van het vlak Π. Dat punt noemen we de oorsprong van het vlak. Om

aan te duiden dat we de oorsprong gekozen hebben, spreken 10 we voortaan over het vlak Πo.

3 Definitie (puntvector van een punt). Zij P een punt. De vector−−→OP noemen we de puntvector van punt P .

We noteren de puntvector−−→OP kortweg met

−→P .

Voorbeeld. Teken de puntvectoren van A en B.

O

A

B

3 Beeldpunt van een vector.

Elk punt P ∈ Πo bepaalt dus een vector−→P ∈ V2. De actie de puntvector van . . . geeft dus een afbeelding

−→· : Πo → V2P 7→ −→P

en bovendien: met elk punt in Πo hoort juist een vector in V2

Omgekeerd, voor elke vector−−→AB ∈ V2 is er precies een punt P waarvoor

−−→AB =

−−→OP =

−→P . We noemen dit punt

P het beeldpunt van de vector−−→AB.

Voorbeeld. Bepaal het beeldpunt P van de vector−−→AB.

O

A

B

−−→AB

3 Verband tussen het vlak Π0 en het vectorvlak V2.Met elk punt in Πo hoort juist een vector in V2 en omgekeerd met elke vector in V2 hoort juist een punt in Πo.Daarom zeggen we dat de afbeelding −→· een bijectie11 (of een-een verband) is. Om dit te benadrukken wordt de

afbeelding −→· voorzien van de notatie 1-1:

Πo1-1−→ V2

P 7−→ −→P

We kunnen dus stellen dat de verzameling van alle punten van Πo even groot is als de verzameling V2 van allevrije vectoren van het vlak Π.

10Lees Πo niet als pi-nul maar wel als pi-oo. In de literatuur noemt men Πo ook wel het gepunte vlak. Verwar Πo niet met notaties zoalsN0, Z0, etc. die verzamelingen voorstellen zonder het getal 0.

11Een ander voorbeeld van een bijectie is de verdubbeling van een natuurlijk getal f : N→ 2N : n 7→ 2n. Bijgevolg is de verzameling vande natuurlijke getallen N even groot als de verzameling van de tweevouden 2N = {0, 2, 4, 6, . . .}.

XV-13

3 Gevolg. De optelling van puntvectoren van punten vertaalt zich in de zogenaamde parallellogramregel.

Voorbeeld. Teken de som van de vectoren−→A en

−→B .

A

B

−→A

−→B

O

3 Eigenschap (verband tussen vectoren en puntvectoren van punten).

Voor twee punten A,B geldt−−→AB =

−→B −−→A

Bewijs. Uit de figuur

−−→AB

A

B

−→A

−→B

O

leiden we af dat

−→OA+

−−→AB =

−−→OB

⇒ −→A +

−−→AB =

−→B

⇒ −−→AB =

−→B −−→A

Deze eigenschap is uitermate handig om berekeningen met vectoren te maken, of bewijzen te leveren.

3 Modelvoorbeeld. Bewijs de volgende vectoriele identiteit:

−−→AB +

−−→CD =

−−→AD +

−−→CB

Oplossing. Een vectoriele identiteit is een uitdrukking van de vorm � = 4 die waar is voor alle vectoren die in

� of 4 voorkomen. In ons geval is dat voor alle−−→AB,

−−→CD,

−−→AD,

−−→CB ∈ V2 (dus eigenlijk voor alle A,B,C,D ∈ Πo)

hoewel men dat doorgaans niet specifieert.

Een succesvolle techniek voor het bewijzen van vectoriele identiteiten is om alle vectoren te schrijven als eenverschil van puntvectoren van punten:

enerzijds is LL =−−→AB +

−−→CD

= . . .

anderzijds is RL =−−→AD +

−−→CB

= . . .

waaruit volgt dat LL = RL. Dit bewijst het gestelde.

We kunnen de vectoriele identiteit ook verklaren aan de hand van een figuur (hoewel dat maar een specifiekgeval voorstelt en dus geen bewijs is).

XV-14


Toepassing 3 - Zwaartepunt van een veelhoek

Dankzij puntvectoren kunnen we bijzondere punten van veelhoeken terug vinden. We illustreren dit met het zwaarte-punt van een veelhoek.

3 Eigenschap (midden van een lijnstuk).

Gegeven. Twee punten A,B van het vlak Πo.

Te bewijzen. Het midden M van het lijnstuk [AB] heeft als puntvector−→M = . . .

Bewijs. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

OB

A We schrijven de puntvector−→M als een som van vectoren.

3 Eigenschap (zwaartepunt van een driehoek).

Gegeven. Een driehoek ABC in het vlak Πo.

Te bewijzen. De drie zwaartelijnen van driehoek ABC elkaar snijden in een punt Z en heeft als puntvector

−→Z = . . .

Bewijs. Een zwaartelijn van een driehoek een rechte door een hoekpunt van de driehoek en door het midden(zwaartepunt) van de overstaande zijde. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan):

OB

A

C

XV-15

Toepassing 4 - Massamiddelpunt

Uit (een veralgemening van) Toepassing 3 volgt dat de zwaartepuntvector van een n-hoek A1A2 . . . An in het vlak Πo

gelijk is aan−→Z =

1

n

(−→A 1 +

−→A 2 + . . .+

−→An

)(∗)

Plaatsen we in elk hoekpunt Ai een (zelfde) massa m, dan stelt het punt Z het massamiddelpunt van de groeppuntmassa’s voor. Dat punt heeft als eigenschap dat het beweegt alsof alle krachten daar aangrijpen en alle massadaar geconcentreerd is. Echter, plaatsen we in elk hoekpunt Ai een (niet noodzakelijk gelijke) massa mi, dan berekentmen de plaatsvector van het massamiddelpunt M door het gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren te nemen:

−→M =

1

m1 +m2 + . . .+mn

(m1−→A 1 +m2

−→A 2 + . . .+mn

−→An

)

In het geval dat m1 = m2 = . . . = mn dan herleidt deze formule zich tot (∗) en valt het massamiddelpunt van hetsysteem (de groep puntmassa’s) samen met het zwaartepunt van de figuur.

3 Modelvoorbeeld. Aan een horizontale staaf worden massa’s opgehangen (zie figuur). Blokjes van gelijkegrootte wegen even zwaar. De massa van de staaf zelf is verwaarloosbaar. Op welke plaats moet men de staafophangen opdat ze in evenwicht is? Los op met behulp van vectoren.

Oplossing.

XV-16

Toepassing 5 - Nodige voorwaarde voor een lichaam in rust

Een lichaam is in rust ten opzichte van een waarnemer als de relatieve snelheid van het lichaam ten opzichte van dewaarnemer gelijk is aan nul. Uiteraard hangt het al dan niet in rust zijn van een lichaam af van de krachten die eropinwerken, bijvoorbeeld de zwaartekracht, de ondersteundende kracht van een tafel, een trek-of duwkracht, etc.

Door de krachtvectoren op te vatten12 als vrije vectoren−→F1,−→F2, . . . dan is de totale krachtvector die inwerkt op het

lichaam gelijk aan −→F =

−→F1 +

−→F2 + . . .

Wegens de tweede wet van Newton13 wordt het verband tussen de totale krachtvector en de versnellingsvector van hetlichaam gegeven door −→

F = m−→awaarbij m staat voor de massa van het voorwerp. Bij een lichaam in rust is de versnelling gelijk aan nul.We besluiten:

lichaam in rust ⇒ −→F1 +

−→F2 + . . . =

−→O

3 Modelvoorbeeld. Een bol van 80 kg bevindt zich in rust in het punt C (zie figuur). Vanuit punt C zijn ondereen rechte hoek twee kabels naar het plafond gespannen en komen aan in de punten A en B. De kabel van Cnaar A is 20 cm lang en komt aan in A onder een hoek van 30◦. Bepaal de spankracht in de beide kabels.

30◦

20

A B

C

Oplossing. Omdat de bol in rust is, is de som der krachtenvectoren die inwerken op de bol gelijk aan de nulvector.We duiden alle krachten aan die inwerken op de bol en eisen dat de som van deze krachten de nulvector is.

12Dit proces noemt men ook wel het vrijmaken van de krachten.13Isaac Newton , Principia Mathematica, 1687.

XV-17

http://nl.wikipedia.org/wiki/Vrijmaken

http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

1.7 Coordinaten van punten t.o.v. een assenstelsel -Coordinaten van puntvectoren t.o.v. een basis

We veralgemenen de begrippen assenstelsel en coordinaten van een punt uit Deel Precalculus 1.

Assenstelsel

Een (affien) assenstelsel Oxy van Πo wordt geconstrueerd aan de hand van drie stappen.

Stap 1. Kies twee punten E1, E2 zodat OE1 en OE2 twee verschillende rechten zijn, de x-as en de y-as.

Stap 2. IJk de x-as als volgt: geef het punt O abscis 0 en het punt E1 abscis 1.

Stap 3. IJk de y-as als volgt: geef het punt O abscis 0 en het punt E2 abscis 1.

We kiezen voor eens en altijd een vast affien assenstelsel Oxy van het vlak Πo. Indien de x-as en y-as orthogonaal zijnspreken we over een orthogonaal (of Cartesisch 14) assenstelsel. Is bovendien |OE1| = |OE2| dan spreken we over eenorthonormaal assenstelsel.

Voorbeeld.

y

xO 1

1

E1

E2

P (a, b)

a

b

affien assenstelsel

y

xO

E1

E2

1

1

P (a, b)

a

b

orthogonaal assenstelsel

y

xO1

1

E1

E2

P (a, b)

a

b

orthonormaal assenstelsel

Coordinaten van een punt ten opzichte van een assenstelsel

Bovenstaande figuur toont hoe elk punt P in het vlak uniek bepaald is door een koppel reele getallen (a, b). Wenoemen a en b de (affiene) coordinaten van P ten opzichte van het assenstelsel Oxy, waarbij a staat voor de abscis enb voor de ordinaat van P . We noteren

P (a, b) of co(P ) = (a, b) maar niet “P = (a, b)”

Basis

Noem −→e1 , −→e2 de puntvectoren van de punten E1, E2. Dus

−→e1 =−−→OE1 =

−→E1 en −→e2 =

−−→OE2 =

−→E2

Omdat de vectoren −→e1 en −→e2 een verschillende richting hebben noemen we het koppel (−→e1 ,−→e2) een (affiene, geordende)basis van V2. In het geval van een orthogonaal resp. orthonormaal assenstelsel spreken we van een orthogonale resp.orthonormale basis. Soms noteert men ook −→e1 door −→ex en −→e2 door −→ey .

Voorbeeld.

y

xO

P (a, b)

a

b

affiene basis (−→e1 ,−→e2)

−→e1

−→e2

y

xO

P (a, b)

a

b

orthogonale basis (−→e1 ,−→e2)

−→e1

−→e2

y

xO

P (a, b)

a

b

orthonormale basis (−→e1 ,−→e2)

−→e1

−→e2

14Genoemd naar Rene Descartes 1637.

XV-18

http://nl.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

Ontbinding van de puntvector van een punt in componenten

Onderstaande figuur toont hoe elke puntvector−→P van een punt P (a, b) op een unieke manier kan geschreven worden

als de som van een puntvector van een punt P1 op de x-as en een puntvector van een punt P2 op de y-as:

−→P =

−→P1 +

−→P2

We noemen dit de ontbinding van−→P in componenten langs de x-as en de y-as.

y

xO 1

1

P (a, b)

a

b

−→e1

−→e2 −→P1

−→P2

−→P

Het is duidelijk dat−→P1 = a−→e1 en

−→P2 = b−→e2 , zodat

−→P = a−→e1 + b−→e2

Men noemt a−→e1 + b−→e2 een lineaire combinatie van de basisvectoren −→e1 en −→e2 .

Coordinaten van de puntvector van een punt ten opzichte van een basis

Bovenstaande bespreking illustreert hoe de puntvector−→P van een punt P uniek bepaald is door een koppel reele getallen

(a, b). We noemen a en b de coordinaten van−→P ten opzichte van de geordende basis B = (−→e1 ,−→e2). We noteren

−→P (a, b) of coB(

−→P ) = (a, b) maar niet

−→P = (a, b).

Dimensie

Blijkbaar volstaan twee (maar niet minder) vectoren −→e1 ,−→e2 om de puntvector van een punt−→P ∈ V2 te schrijven als

een lineaire combinatie van die twee vectoren −→e1 ,−→e2 en dit voor elke keuze van het punt P . Daarom zegt men dat devectorruimte R,V2,+ dimensie twee heeft, notatie dimV2 = 2.

Coordinatenafbeelding

Elke vector kan opgevat worden als de puntvector−→P van een punt en bepaalt een koppel reele getallen (a, b) ∈ R2.

De actie coordinaten nemen’ geeft dus een afbeelding, die we de coordinatenafbeelding ten opzichte van de basis Bnoemen

coB(·) : V2 → R2

−−→AB 7→ coB(

−−→AB)

def= coB(

−→P ) met

−→P =

−−→AB

en bovendien: met elke vector in V2hoort juist een koppel reele getallen in R2.

Omgekeerd, voor elk koppel reele getallen (a, b) ∈ R2 is er precies een puntvector−→P van een punt waarvoor coB(

−→P ) =

(a, b). Bijgevolg is de afbeelding coB een bijectie. Om dit te benadrukken wordt de afbeelding coB(·) voorzien van denotatie 1-1:

V21-1−→ R2

−→P 7−→ coB(

−→P )

Hierna zullen we zien dat de afbeelding coB(·) meer is dan een bijectie: het draagt bovendien de optelling en sca-laire vermenigvuldiging van de vectorruimte R,V2,+ over op een natuurlijke optelling en vermenigvuldiging van deverzameling R2. Op deze manier wordt R2 zelf een reele vectorruimte.

XV-19

1.8 Vertaling van bewerkingen met vectoren in V2 naar coordinaten -De vectorruimte R,R2,+

In deze paragraaf wordt besproken hoe optelling en scalaire vermenigvuldiging van puntvectoren kan vertaald wordennaar coordinaten.

3 Op ontdekking. Gegeven zijn de vectoren A(2, 1) en B(1, 2), aangeduid op onderstaande figuur.

(a) Teken−→A +

−→B in het assenstelsel links. Wat is coB(

−→A +

−→B )?

(b) Teken 1/2−→A in het assenstelsel rechts. Wat is coB(1/2

−→A )?

y

xO −→ex

−→ey −→A

−→B

y

xO −→ex

−→ey −→A

3 Eigenschap 1.

AlscoB(−→A ) = (x1, y1)

coB(−→B ) = (x2, y2)

dan is coB(−→A +

−→B ) = (x1 + x2, y1 + y2)

Bewijs.

3 Eigenschap 2.

Als r ∈ R en coB(−→A ) = (x1, y1) dan is coB(r

−→A ) = (rx1, ry1)

Bewijs.

XV-20

3 Opmerking. In de verzameling R2 dringt zich nu een optelling en scalaire vermenigvuldiging op, als volgt:

we construeren een afbeelding die we in het vervolg optelling in R2 noemen:

+ : R2 × R2 → R2

((x1, y1), (x2, y2)) 7→ (x1, y1) + (x2, y2)def= (x1 + x2, y1 + y2)

en we construeren een afbeelding die we in het vervolg scalaire vermenigvuldiging in R2 noemen:

· : R× R2 → R2

(r, (x1, y1)) 7→ r · (x1, y1)def= (rx1, ry1)

3 Stelling. De optelling en scalaire vermenigvuldiging in R2 voldoen aan de volgende eigenschappen:

(1) de optelling in R2 is associatief:

∀(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ R2 : ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))

(2) er is een neutraal element voor de optelling in R2:

∀(x1, y1) ∈ R2 : (x1, y1) + (0, 0) = (x1, y1) = (0, 0) + (x1, y1)

(3) elk element in R2 heeft een invers element voor de optelling in R2:

∀(x1, y1) ∈ R2 : (x1, y1) + (−x1,−y1) = (0, 0) = (−x1,−y1) + (x1, y1)

(4) de optelling in R2 is commutatief:

∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ R2 : (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)

(5) de scalaire vermenigvuldiging in R2 is gemengd associatief:

∀r, s ∈ R,∀(x1, y1) ∈ R2 : (r · s) · (x1, y1) = r · (s · (x1, y1))

(6) de scalaire vermenigvuldiging in R2 is distributief ten opzichte van de optelling in R2:

∀r, s ∈ R,∀(x1, y1) ∈ R2 : (r + s) · (x1, y1) = r · (x1, y1) + s · (x1, y1)

(7) de scalaire vermenigvuldiging in R2 is distributief ten opzichte van de optelling in R:

∀r ∈ R,∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ R2 : r · ((x1, y1) + (x2, y2)) = r · (x1, y1) + r · (x2, y2)

(8) het reeel getal 1 is een neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging in R2:

∀(x1, y1) ∈ R2 : 1 · (x1, y1) = (x1, y1).

We bewijzen enkel (1). De andere bewijzen worden als oefening voor de lezer gelaten.

Bewijs van (1). Neem (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ R2. Enerzijds is

((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)

= (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)

terwijl anderzijds

(x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3)) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3).

= (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)

Hieruit volgt dat ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3)), hetgeen het bewijs besluit.

Omdat voldaan is aan de eigenschappen (1)-(8) noemen we de verzameling R2 voorzien van de optelling en descalaire vermenigvuldiging een (reele) vectorruimte, notatie R,R2,+.

Wegens Eigenschappen 1 en 2 voldoet de bijectie coB(·) : V2 → R2 aan de volgende eigenschappen:

(1) ∀−→u ,−→v ∈ V2 : coB(−→u +−→v ) = coB(−→u ) + coB(−→v )

(2) ∀r ∈ R,∀−→u ∈ V2 : coB(r−→u ) = r coB(−→u )

Daarom noemen we de afbeelding coB een lineaire afbeelding15. Een lineaire afbeelding die bovendien bijectiefis noemen we een lineair isomorfisme.

In ons geval is de afbeelding coB dus een lineair isomorfisme tussen de vectorruimten R,V2,+ en R,R2,+ Menzegt dat de vectorruimten R,V2,+ en R,R2,+ isomorf zijn, notatie V2 ∼= R2.

15Lineaire afbeeldingen zullen in Deel Vectorruimten en lineaire afbeeldingen in een algemene context worden bestudeerd.

XV-21

Tot slot van deze paragraaf bespreken we hoe de belangrijke formule−−→AB =

−→B − −→A kan vertaald worden naar

coordinaten.

3 Op ontdekking. Gegeven zijn de punten A(2, 1) en B(1, 2), aangeduid op onderstaand assenstelsel.

(a) Duid de vector−−→AB aan en lees coB(

−−→AB) af.

(b) Wat is het verband tussen coB(−→A ), coB(

−→B ) en coB(

−−→AB)?

y

xO −→ex

−→ey −→A

−→B

3 Eigenschap 3.

AlscoB(−→A ) = (x1, y1)

coB(−→B ) = (x2, y2)

dan coB(−−→AB) = (x2 − x1, y2 − y1)

of kortweg

coB(−−→AB) = coB(

−→B )− coB(

−→A )

Bewijs.

3 Opmerking. De lineaire afbeelding coB(·) : V2 → R2 in combinatie met de Eigenschappen 1, 2 en 3 laat toeom een lineaire combinatie van vectoren in V2 te vertalen naar een element van R2. Zo kan de formule voor deplaatsvector van het midden M van een lijnstuk [AB]

−→M =

1

2

(−→A +

−→B)

vertaald worden door de afbeelding coB(·) te nemen van beide leden (vul telkens de verantwoording aan):

coB(−→M) = coB

(1

2(−→A +

−→B )

)

=1

2coB(−→A +

−→B ) want . . .

=1

2

(coB(−→A ) + coB(

−→B ))

want . . .

Zo herkennen we de formule uit het derde jaar (zie ook Parate kennis bij aanvang van de derde graad):

AlscoB(−→A ) = (x1, y1)

coB(−→B ) = (x2, y2)

dan coB(−→M) =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

)

XV-22

1.9 Rechten

In het derde jaar heb je de Cartesische vergelijking van een rechte besproken. Het gebruik van vectoren dringt echtereen nieuwe soort van vergelijkingen op, de zogenaamde parametervergelijkingen. Daarbij kan een willekeurig punt vaneen rechte uitgedrukt worden in functie van twee gegeven punten van de rechte en een reeel getal r, de zogenaamdeparameter. In sommige situaties bieden parametervergelijkingen voordelen. Tot slot laten we zien hoe een Cartesischevergelijking uit een stel parametervergelijkingen kan worden afgeleid.

Richtingsvector en richtingsgetallen van een rechte

Gegeven een rechte a. We hanteren de volgende terminologie (zie figuur):

3 De richtingsrechte van a is de rechte door de oorsprong die evenwijdig is met a.

We noteren16 die rechte met ao.

3 Een richtingsvector van a is een puntvector−→U 6= −→O met U een punt van de richtingsrechte ao.

3 Een stel richtingsgetallen van a is het koppel coordinaten (k, l) van een richtingsvector−→U van a.

Een richtingsvector van a noteren we meestal met−→Ra.

y

xO k

l

−→e1

−→e2

ao

a

−→U

3 Voorbeeld. Gegeven is de rechte a met richtingsvector−→Ra(2, 1). Bovendien bevat de rechte a het punt A(1, 3).

(a) Teken in een affien assenstelsel de rechte a.

(b) Ligt het punt P (4, 9/2) op de rechte a?

(c) Welk verband bestaat er tussen de vector−→AP en de richtingsvector

−→Ra?

Oplossing.

16Lees ao niet als a-nul maar wel als a-oo.

XV-23

Vergelijking van een rechte bepaald door een punt en een richtingsvector

Een rechte a is volledig bepaald door een punt A(x1, y1) ∈ a en een richtingsvector−→Ra(k, l). In wat volgt formuleren

we een antwoord op de volgende vraag:

Aan welke voorwaarde(n) moet een punt P (x, y) voldoen om tot de rechte a te behoren?

y

xO −→e1

−→e2

ao

a

−→Ra

A

P

Uit bovenstaande schets leiden we af:

P ∈ a ⇔ ∃r ∈ R :−→AP = r · −→Ra

⇔ ∃r ∈ R :−→P =

−→A + r · −→Ra dit noemen we een vectoriele vergelijking van de rechte a

⇔ ∃r ∈ R : co(−→P ) = co(

−→A ) + r · co(

−→Ra)

⇔ ∃r ∈ R : (x, y) = (x1, y1) + r · (k, l)

⇔ ∃r ∈ R :

{x = x1 + r · ky = y1 + r · l dit noemen we een stel parametervergelijkingen van de rechte a

⇔(kl 6= 0)

∃r ∈ R :

{kl r = lx− lx1kl r = ky − ky1

⇔ lx− ky = lx1 − ky1 dit noemen we een Cartesische vergelijking van de rechte a

3 Voorbeeld 1. Een rechte a bevat het punt A(1, 2) en heeft als richtingsvector−→Ra(−1, 2).

(a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte a.

(b) Geef vier verschillende punten van de rechte A.

(c) Bepaal een Cartesische vergelijking van de rechte a.

(d) Bepaal een stel parametervergelijkingen en een Cartesische vergelijking van de rechte ao.

(e) Bepaal een Cartesische vergelijking van de rechte b evenwijdig met de rechte a en die het punt B(7, 1) bevat.

Oplossing.

XV-24

3 Voorbeeld 2. Gegeven is de rechte c : y = −2x+ 1.

(a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte c.

(b) Geef twee verschillende richtingsvectoren van de rechte c.

(c) Bepaal alle punten C van c zodat de afstand van C tot de rechte a : 3x− 2y = −7 gelijk is aan 2.

Oplossing.

De interactie tussen de verschillende vergelijkingen van een rechte a en bijhorende richtingsrechte ao kan als volgtworden voorgesteld.

vectoriele vergelijking a−→P =

−→A + r · −→Ra

stel parametervergelijkingen a{x = x1 + r · ky = y1 + r · l (r ∈ R)

>neem co

<zet om in vectoren

Cartesische vergelijking a

. . . x+ . . . y = . . .

>elimineer de parameter

<los stelsel op

vectoriele vergelijking ao−→P = r · −→Ra

stel parametervergelijkingen ao{x = r · ky = r · l (r ∈ R)

>neem co

<zet om in vectoren

Cartesische vergelijking ao

. . . x+ . . . y = 0

>elimineer de parameter

<los stelsel op

∧vul punt in ∨ laat punt weg ∧vul punt in ∨ laat punt weg ∧vul punt in ∨ stel RL= 0

XV-25

Vergelijking van een rechte bepaald door twee verschillende punten

Een rechte a is volledig bepaald door twee verschillende punten A(x1, y1), B(x2, y2) ∈ a. In wat volgt formuleren weeen antwoord op de volgende vraag:

Aan welke voorwaarde(n) moet een punt P (x, y) voldoen om tot de rechte a te behoren?

y

xO −→e1

−→e2

ao

a

A

B

P

Uit ovenstaande schets leiden we af dat een richtingsvector van a gegeven wordt door

−→Ra = . . .

Een vectoriele vergelijking van a wordt dan gegeven door

−→P = . . .

en een stel parametervergelijkingen van a wordt dan gegeven door

x = . . .

y = . . .

Leid hieruit een Cartesische vergelijking van de rechte a af:

XV-26

Oefeningen

1 Het vectorvlak V2 Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1.1 Gebonden vector1.2 Vrije vector

1 23

4 56

7 8

1.3 Bewerkingen met vectoren in V2 -De vectorruimte R,V2,+


9101112

13141516

1718

1920

21 22 23

1.5 Puntvector van een punt1.6 Toepassingen - Deel 2

2425

2627

2829

3031

3233

34 35

1.7 Coordinaten van punten t.o.v. een assenstelsel -Coordinaten van puntvectoren t.o.v. een basis

1.8 Vertaling van bewerkingen met vectoren in V2naar coordinaten - De vectorruimte R,R2,+

3637

38 3940

4142

4344

4546

47

1.9 Rechten 4849

505152

53 5455

56 57

Oefeningen bij §1.1 en §1.2

B Oefening 1. Teken drie verschillende representanten van de vector−−→PQ.

−−→PQ

B? Oefening 2. Gegeven zijn de onderstaande punten A,B en X.

(a) Teken het punt Y zodat−−→XY =

−−→AB.

(b) Teken het punt Z zodat−−→ZX =

−−→AB.

B

A

X

XV-27

B? Oefening 3. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken.

(a) Een vrije vector is een verzameling van gebonden vectoren.

(b) Het vectorvlak V2 is de verzameling van alle vrije vectoren.

(c) Elke vrije vector is een gebonden vector, maar niet omgekeerd.

(d) De vrije nulvector is de verzameling van alle gebonden nulvectoren.

B?? Oefening 4. Gegeven is een parallellogram ABPQ. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals,verbeter tot een ware uitspraak.

(a) (A,B) ↑ (P,Q) (d) (B,P ) ∈ −→QA(b) (A,A) ↑ (P, P ) (e)

−→QA ∈ −→QA

(c)−−→AB =

−−→QP (f) |−−→AB| = |−−→PQ|

V Oefening 5. Gegeven zijn de onderstaande punten A,B en X.

(a) Construeer het punt Y zodat−−→XY =

−−→AB.

(b) Construeer het punt Z zodat−−→ZX =

−−→AB.

B

A

X

V Oefening 6. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken.

(a) −→o ∈ V2(b) ∀−→a ∈ V2 : |−→a | = 0⇔ −→a = −→o

(c) ∀−→a ,−→b ∈ V2 : −→a //−→b ⇔ |−→a | = |−→b |

V? Oefening 7. Toon de volgende eigenschappen aan.

(a) ∀−−→AB ∈ V2,∀(P,Q) ∈ Π×Π : (P,Q) ∈ −−→AB ⇔ −−→PQ =−−→AB

(b) ∀−−→AB,−−→CD ∈ V2 :−−→AB =

−−→CD ⇔ (A,B) ↑ (C,D)

U? Oefening 8 (equivalentierelatie). Toon aan dat equipolentie voldoet aan de volgende eigenschappen

(a) reflexief: ∀(A,B) ∈ Π×Π : (A,B) ↑ (A,B)

(b) symmetrisch: ∀(A,B), (C,D) ∈ Π×Π : (A,B) ↑ (C,D)⇒ (C,D) ↑ (A,B)

(c) transitief: ∀(A,B), (C,D), (E,F ) ∈ Π×Π : (A,B) ↑ (C,D) en (C,D) ↑ (E,F )⇒ (A,B) ↑ (E,F )

Omdat equipolentie voldoet aan deze drie eigenschappen, noemen we equipolentie een equivalentierelatie.

XV-28


B Oefening 9. Op onderstaande figuur werken vier krachten in op een lichaam. Teken de resultante−→Fr.

−→F1

−→F2

−→F3

−→F4

B Oefening 10. Gegeven zijn de volgende punten. Teken telkens een representant van de gegeven vectoren.

(a)−−→AD +

−−→BC

(b)−−→BD − 2

−→AC

(c)−−→BC −−−→DC +

2

3

−−→AD

A

B

D

C

B Oefening 11. Een schip vaart de haven binnen en wordt getrokken door twee sleep-boten. De grootte van de kracht die ze uitoefenen is 41 000N en 25 000N. Bepaal degrootte van de resultante als je weet dat de hoek tussen de sleepboten 15◦ is.

B Oefening 12. Gegeven is een vierhoek ABCD en M,N de middens van de zijden[AB] en [CD]. Toon aan dat

−−→MN =

1

2

(−−→AD +

−−→BC

)

B? Oefening 13. Alle gegeven letters stellen punten van het vlak Π voor. Bereken telkens zonder een figuur te maken.

(a)−−→MS +

−−→ZM +

−→PZ (c)

−−→AB −−−→CB −−−→MC

(b)−−→RE +

−→GR+

−−→EG (d)

−−→RM +

−−→EP −−→ES −−−→SM

B? Oefening 14. Drie krachten werken in op een lichaam. De eerste kracht werkt horizontaal naar rechts met grootte2kN. De tweede kracht werkt verticaal naar beneden met grootte 5kN. Een derde kracht maakt een hoek van 120◦

met de eerste kracht (tegenwijzerzin) en heeft een grootte van 4kN. Bereken de grootte van de resulterende kracht.

B? Oefening 15. Twee sleepboten leiden een schip in de haven van Zeebrugge. De hoek α tussen de twee kabels isonbekend. De ene sleepboot trekt met een kracht van F1 = 13 000 N, de andere sleepboot trekt met een kracht vanF2 = 27 000 N.

(a) Maak een schets waarin je de gegevens aanduidt.

(b) Bepaal de hoek α als je weet dat de grootte van de resulterende kracht−→F1 +

−→F2 gelijk is aan 33 000 N.

XV-29

B? Oefening 16. Een trein rijdt met een snelheid van 80 km/u naar het noorden, terwijl in de trein een vlieg met eensnelheid van 5km/u naar het noordoosten vliegt ten opzichte van de trein. Bepaal de snelheid van de vlieg ten opzichtevan de treinsporen.

B?? Oefening 17. Gegeven is een trapezium ABCD met AD//BC en M,N de middens van de lijnstukken [AB] en [CD].Bewijs de volgende eigenschap met vectoren:

Het lijnstuk [MN ] is half zo lang als de som van de lengtes van de lijnstukken [AD] en [BC]

B?? Oefening 18. De kapitein van een nachtboot weet dat de relatieve snelheid van zijn boot ten opzichte van het watereen vector is met grootte 6, 5 km/u en richting noordoosten wijst. Uit de lichten op de oever kan hij afleiden dat hijeigenlijk naar het noorden vaart met een snelheid van 2 km/u. Bereken de snelheid van de wind en de windrichting.

V Oefening 19. Een fietsster rijdt naar het noorden met een snelheid van 10 km/u en ze ervaart dat de wind blijkbaaruit het westen komt. Als ze haar snelheid optrekt tot 20 km/u dan ervaart ze dat de wind uit het noordwesten komt.Bepaal de snelheid en de werkelijke richting van de wind.

Als je op het noordelijk half-rond met je rug naar de windstaat, bevindt een hogedruk-gebied zich rechts van je eneen lagedrukgebied links.

V Oefening 20. Op een warme zomerdag worden de windrichting en windsnelheid aande kust door twee processen beınvloed.

1. Een grootschalig proces, veroorzaakt door luchtdrukverschillen boven Europa ende Atlantische Oceaan. Voor de windrichting op het noordelijk halfrond geldtvolgens de wet van Buys Ballot17, dat de wind waait van een gebied met hogeluchtdruk naar een gebied met lage luchtdruk, met een afwijking naar rechts.

2. Een kleinschalig proces, veroorzaakt doordat de lucht boven het (warme) landmeer verwarmd wordt dan boven de (koele) zee. De lucht boven land is daardoorlichter dan de lucht boven zee, zodat in de lagere luchtlagen een wind vanuitzee ontstaat, loodrecht op de kust.

De kustlijn maakt een hoek van 30◦ met het noorden. Tengevolge van een hogedrukgebied boven Noorwegen en eenlagedrukgebied boven Frankrijk waait er een NO-wind met een snelheid van 3 m/s. Van zee komt een wind met eensnelheid van 4 m/s, loodrecht op de kust.

(a) Bepaal de resulterende windsnelheid.

(b) Bepaal de resulterende windrichting (hoek ten opzichte van het noorden).

V? Oefening 21. Bewijs de volgende eigenschap met vectoren:

In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar middendoor.

U Oefening 22 (windschering). Windschering is de verzamelterm voor zeer lokale, plotselinge veranderingen in dewind. Er zijn drie typen windschering te onderscheiden:

3 verticale windschering is een verandering van de horizontale wind tussen twee punten in hetzelfde verticale vlak;

3 horizontale windschering is een verandering van de horizontale wind tussen twee punten in hetzelfde horizontalevlak;

3 schering van de verticale wind is een verandering van de verticale wind tussen twee punten in hetzelfde horizontalevlak.

Wiskundig gezien is de windschering het verschil van de snelheidsvector van de wind in het ene punt en de snelheids-vector van de wind in het ander punt.

Op 1000 meter hoogte boven het aardoppervlak waait een wind van west naar oost, met een snelheid van 16 m/s.Op 3000 meter hoogte boven het aardoppervlak waait tegelijkertijd een wind van zuidwest naar noordoost, met eensnelheid van 24 m/s.

(a) Teken de vectoren die deze winden voorstellen op een vlak geprojecteerd.

(b) Teken de windschering. Met welke soort windschering hebben we hier te maken?

(c) Bereken de grootte van de windschering.

U? Oefening 23 (lineair afhankelijke vectoren). Gegeven zijn twee vectoren −→u en −→v van het vlak. Toon de volgendeeigenschap aan

−→u //−→v ⇔ ∃a, b ∈ R : a−→u + b−→v = −→o en a, b zijn niet beide gelijk aan nul

Vectoren in het vlak die evenwijdig zijn worden ook wel lineair afhankelijke vectoren genoemd.

17Voor het eerst beschreven door William Ferrel , wetenschappelijk onderbouwd door Christophorus Henricus Didericus Buys Ballot1857.

XV-30

http://en.wikipedia.org/wiki/William_Ferrel

http://nl.wikipedia.org/wiki/Christophorus_Buys_Ballot

http://nl.wikipedia.org/wiki/Christophorus_Buys_Ballot


B Oefening 24. Gegeven zijn de volgende punten. Teken telkens de gevraagde puntvectoren.

(a)−→A +

−→B (c)

−→B − 2

−→A

(b)−→A −−→B (d) − 1

2

−→A − 2

3

−→B

OA

B

B Oefening 25. Bewijs de volgende vectoriele identiteiten.

(a)−−→AB =

−→AC +

−−→CD +

−−→DE +

−−→EF +

−−→FB (d)

−→CA− 5

−−→BA+ 2

−−→BC =

−−→BC + 4

−−→AB

(b)−−→AB +

−−→CD +

−−→EF =

−→AF +

−−→CB +

−−→ED (e) 3

−−→BA+ 2

−−→DA+ 6

−−→CD = 5

−→CA+

−−→CB + 4

−−→BD

(c) 3−−→BA+ 2

−→CA = 2

−−→CB − 5

−−→AB (f)

−−→AB + 5

−−→BC − 3

−→CA = 4

(−−→BC +

−→AC)

B? Oefening 26 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987 eerste ronde).De getekende figuur bestaat uit 2 ruiten die tesamen een parallellogram vormen.

o

x b a

Als we vector −→ox verkort door −→x voorstellen dan is −→x gelijk aan

(A) 2−→ab (B)

−→b −−→a (C) 2−→a −−→b (D) −→a − 2

−→b (E) 2

−→b −−→a

B? Oefening 27. Alle gegeven letters stellen punten van het vlak Π voor. Bereken telkens zonder een figuur te maken.

(a) 3−→ZU +

−−→ZY +

−−→UY + 2

−−→Y Z (c) 4

−−→AB +

−→AC −

(7−−→CB − 5

−→CA)

(b) 2−−→MG+ 3

−−→CX +

−−→MC − 3

−−→MX (d) 2

(−−→XY −−→CA

)+ 3−−→CX −

(−−→AX −−→CA

)

XV-31

figuur bij Oefening 28

B?? Oefening 28. Een last van 10kN hangt aan een kabel AB, dat ondersteund wordt dooreen staaf BC (zie figuur). De kabel maakt een rechte hoek met de muur. Bereken dekrachten die optreden in de kabel en de staaf.

B?? Oefening 29. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken.

(a) De puntvector van een punt is een gebonden vector.

(b) Elke vrije vector is de puntvector van een punt.

(c) Het verschil van twee puntvectoren van punten is opnieuw de puntvector van eenpunt.

V Oefening 30. Zij ABC een driehoek en Z een punt. Bewijs:

Z is het zwaartepunt van ∆ABC ⇔ −→ZA+

−−→ZB +

−→ZC =

−→O

Maak een schets waarin je de betekenis van deze eigenschap aanduidt.

figuur bij Oefening 31

V Oefening 31. Een last van 5000 kg hangt aan een ketting AB, dat ondersteund wordtdoor een staaf BC (zie figuur). Bereken de krachten die optreden in de ketting en destaaf.

V? Oefening 32. Bewijs dat er voor elk punt P ∈ Πo precies een punt P ′ ∈ Πo bestaatzodat

3−→P + 2

−→P ′ +

−−→PP ′ =

−→O

V? Oefening 33. Gegeven is een driehoek ABC en een willekeurig punt P .

(a) Toon aan dat er punten D, E en F bestaan waarvoor geldt:

−−→PD =

−→PA+

−−→BC en

−−→PE =

−−→PB +

−→CA en

−−→PF =

−−→PC +

−−→AB

(b) Toon aan dat de punten A, B en C de middens zijn van de zijden van driehoekDEF .

(c) Toon aan dat−→PA+

−−→PB +

−−→PC =

−−→PD +

−−→PE +

−−→PF .

U Oefening 34 (zwaartepunt van een vierhoek). Een zwaartelijn van een vierhoek is een rechte door een hoekpunten door het zwaartepunt van de driehoek gevormd door de drie overige hoekpunten.Gegeven is een vierhoek ABCD in het vlak Πo. Toon aan met behulp van vectoren dat de vier zwaartelijnen van de

vierhoek ABCD elkaar snijden in een punt Z en bepaal−→Z .

U? Oefening 35 (eigenschap van het massamiddelpunt). Drie massa’s m1 = 2kg, m2 = 3kg en m3 = 1kg bevindenzich in punten A, B en C.

(a) Bepaal de plaatsvector van het massamiddelpunt M .

(b) Bepaal de vectoren−−→MA,

−−→MB en

−−→MC.

(c) Welk verband is er tussen deze drie vectoren?

(d) Vul aan en bewijs de volgende eigenschap van het massamiddelpunt M van een groep puntmassa’s m1, . . . ,mn

in de punten A1, . . . , An:

m1−−−→MA1 +m2

−−−→MA2 + . . .+mn

−−−→MAn = . . .


B Oefening 36. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken.

(a) Elk affien assenstelsel is een orthogonaal assenstelsel.

(b) Elk orthonormaal assenstelsel is een orthogonaal assenstelsel.

(c) Elk affien assenstelsel is een affiene basis.

XV-32

B Oefening 37. Gegeven is een (affiene) basis B = (−→e1 ,−→e2) van V2 en de puntvectoren−→A = 3−→e1 + 2−→e2 en

−→B = −2−→e2 .

(a) Maak een schets waarop je de vectoren−→A en

−→B aanduidt.

(b) Bepaal coB(−→A ) en coB(

−→B ).

(c) Schrijf 2−→A −−→B als een lineaire combinatie van de basisvectoren −→e1 en −→e2 .

(d) Bepaal coB(2−→A −−→B ).

B? Oefening 38. Gegeven zijn de punten A(1, 7), B(−3, 4) en C(−3, 2) ten opzichte van een affien assenstelsel.

(a) Bepaal met behulp van vectoren de coordinaten van het midden M van het lijnstuk [AB].

(b) Bepaal met behulp van vectoren de coordinaten van het zwaartepunt Z van driehoek ABC.

B?? Oefening 39. Gegeven zijn drie punten A(−1, 3), B(2, 5) en C(7, 2) ten opzichte van een affien assenstelsel. Bepaalde coordinaten van het punt D zodat ABCD een parallellogram is. Los op met behulp van vectoren.

Aanwijzing. Een vierhoek ABCD is een parallellogram als en slechts als−−→AB =

−−→DC.

B?? Oefening 40. Een knikker die op een hellend vlak ligt, rolt naar beneden door de werking van de zwaartekracht (ziefiguur).

(a) Ontbind de zwaartekrachtvector−→Fz in een component

−→F1 evenwijdig met het hellend vlak en een component

−→F2

loodrecht op het hellend vlak.

(b) Druk de grootte van de krachten−→F1 en

−→F2 uit in functie van de grootte van de zwaartekracht

−→Fz en de hoek α.

(c) Stel dat α = 37◦. Bereken18 de lengte van de component van de versnellingvector van de knikker evenwijdig methet hellend vlak.

−→Fzα

V Oefening 41. Gegeven zijn A(−3, 4) en B(5, 2) ten opzichte van een affien assenstelsel Oxy.

(a) Bepaal de koppels coordinaten van de punten die het lijnstuk [AB] in vijf gelijke delen verdelen.

(b) Bepaal het coordinatenkoppel van het punt C als je weet dat B het midden is van het lijnstuk [AC].

V Oefening 42. De middens van de zijden van ∆ABC hebben als coordinaten ten opzichte van een affien assenstelsel(−3, 2), (1, 7) en (2, 3). Bepaal de coordinaten van de hoekpunten van driehoek ABC.

V? Oefening 43 (toelatingsexamen koninklijke militaire school 1988).Ten opzichte van een orthonormale basis (−→ex,−→ey) geeft men de punten A(4, 7) en B(5, 0). Verder beschouwt men depunten D,E, F en P die zodanig zijn dat D het midden is van [OB], E ∈ ]OA[ met |OE| = 2 |EA|, F ∈ ]DA[ met

|FA| = 2 |DF | en−−→PE =

1

3

−−→OB. Stel

−→OA = −→v en

−−→OB = −→w .

(a) Bepaal in functie van −→v en −→w

(i)−−→DA,

−−→OF en

−→PA,

(ii)−→OZ, met Z het zwaartepunt van de driehoek EFB.

(b) Welke soort vierhoek is OFAP? Leg uit.

V? Oefening 44. Op de x-as van een orthonormaal assenstelsel bewegen twee punten A en B zodat |AB| gelijk is aaneen constante p. Op de y-as bewegen twee punten C en D zodat |CD| gelijk is aan 2p. Bewijs dat de afstand van demiddens van de lijnstukken [AC] en [BD] constant is.

U Oefening 45 (coordinaten van het zwaartepunt van een driehoek). Gegeven is een driehoek ABC in het vlakΠo, met coordinaten A(x1, y1), B(x2, y2) en C(x3, y3) ten opzichte van een affien assenstelsel. Noem Z het zwaartepuntvan driehoek ABC. Vul aan en bewijs de formule

coB(−→Z ) = . . .

XV-33

U Oefening 46 (voortbrengende vectoren). Zij −→a en−→b twee niet evenwijdige vectoren, beide verschillend van de

nulvector.

(a) Toon aan dat elke vector −→c een lineaire combinatie is van −→u en −→v . Anders gezegd, toon aan dat voor elke−→c ∈ V2 geldt:

∃λ, µ ∈ R : −→c = λ−→a + µ−→b

Omwille van deze eigenschap zegt men dat −→a ,−→b voortbrengende vectoren van V2 zijn.

(b) Stel dat co(−→a ) = (1, 1) en co(−→b ) = (2, 0). Schrijf −→c (3, 4) als een lineaire combinatie van −→a en

−→b .

U?? Oefening 47 (barycentrische coordinaten19). Zij ABC een driehoek. Als er voor een punt P getallen a1, a2, a3bestaan waarvoor

(a1 + a2 + a3)−→P = a1

−→A + a2

−→B + a3

−→C

dan noemen we (a1 : a2 : a3) barycentrische coordinaten van P ten opzichte van de driehoek ABC.

(a) Bepaal barycentrische coordinaten van de hoekpunten A, B en C ten opzichte van de driehoek ABC.

(b) Bepaal barycentrische coordinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC.

(c) Bepaal barycentrische coordinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC.

(d) Toon aan dat barycentrische coordinaten homogeen zijn: voor elke c ∈ R0 is

(a1 : a2 : a3) barycentrische coordinaten van P ⇒ (ca1 : ca2 : ca3) barycentrische coordinaten van P

Barycentrische coordinaten zijn op een gemeenschappelijke factor na eenduidig. Het zijn dus de verhoudingenvan de cordinaten die het punt bepalen. Het is daarom wel gebruikelijk barycentrische coordinaten te scheidendoor deeltekens (dubbelepunten).

(e) Stel dat men drie massa’s m1,m2,m3 in de punten A, B en C plaatst. Bepaal de barycentrische coordinatenvan het massamiddelpunt M .

Oefeningen bij §1.9

B Oefening 48. Gegeven is de rechte d door het punt L(−1, 3) en met richtingsvector−→Ra(−1, 5).

(a) Bepaal een stel parametervergelijkingen van d.

(b) Bepaal een Cartesische vergelijking van de rechte d.

B Oefening 49. Gegeven is de rechte a door de punten P (−1, 2) en Q(1, 3).


(b) Leid uit (a) een Cartesische vergelijking van de rechte a af.

B? Oefening 50. Gegeven is de rechte a : 7x− 10y = 12.


(b) Geef, gebruik makend van je stel parametervergelijkingen, drie verschillende punten van a.

(c) Bepaal een stel parametervergelijkingen van de rechte c evenwijdig met a en door het punt C(−2, 15).

(d) Bepaal de Cartesische vergelijking van de rechte b die evenwijdig is met a en die door het punt B(3,−10) gaat.

B? Oefening 51. Bepaal telkens een stel parametervergelijkingen van de rechte door het punt P (3, 4) en die evenwijdigis met de gegeven rechte:

(a) de x-as,

(b) de y-as,

(c) de rechte door de punten A(1,−2) en B(4, 5),

(d) de rechte met als vergelijking 6x+ 3y = 1.

18We nemen aan dat de component−→F2 geen invloed op de beweging van de knikker heeft. In de natuurkunde zegt men: de rolweerstand

wordt verwaarloosd.19Barycentrische coordinaten zijn gentroduceerd door August Ferdinand Mobius in 1827. De naam komt van de term barycentrum,

een ander woord voor massamiddelpunt of zwaartepunt.

XV-34


B? Oefening 52. Ga telkens na of de vectoren−−→AB en

−−→CD evenwijdig zijn.

(a)−→A (2, 1),

−→B (3,−7),

−→C (5, 2),

−→D(7,−6)

(b)−→A (−4, 18),

−→B (17, 25),

−→C (0,−15),

−→D(−3, 16)

(c)−→A (1− x, 2),

−→B (2, 3− 2x),

−→C (−2 + 3x, 1 + x),

−→D(5,−x) waarbij x ∈ R

B?? Oefening 53. Een schip vertrekt om 12 u. uit het punt A(151,−59) (in km) met een snelheidsvector−→P (−16, 12) (in

km/u). Een ander schip vertrekt een uur later vanuit het punt B(−69, 8) met snelheidsvector−→Q(12, 5).

(a) Bepaal de vectoriele vergelijking van de banen van de twee schepen.

(b) In welke punten bevinden beide schepen zich om 15 u.?

(c) Bereken het snijpunt van de banen van de twee schepen.

(d) Bepaal wanneer de beide schepen in het snijpunt aankomen.

(e) Bestaat er gevaar voor een aanvaring?

V Oefening 54. Gegeven zijn vectoriele vergelijkingen van rechten a, b, c en d

a :−→P =

−→A + r

−→B c :

−→P = (1− r)−→A + 2r

−→B

b :−→P =

(−→A + 4

−→B)

+ r−→B d :

−→P = (1− r)

(4−→A − 6

−→B)

+ r−→A

Bepaal welke rechten onderling evenwijdig zijn.

V Oefening 55. Gegeven zijn twee rechten met vergelijking b : x+ y − 2 = 0 en c : 2x+ y − 2 = 0 en het punt A(5, 1).Bepaal een punt B op de rechte b en een punt C op de rechte c zodat de driehoek ∆ABC het punt Z(4,−3) alszwaartepunt heeft.

V? Oefening 56. Een veranderlijke rechte a door het punt A(2, 3) snijdt de x-as in een punt B en de y-as in een puntC. Bepaal een mogelijke vergelijking van deze rechte als het hoekpunt D van de parallellogram OBDC op de rechteb met vergelijking x+ 2y = 15 ligt.

U Oefening 57 (alternatieve vorm voor een vectoriele vergelijking van een rechte). Gegeven zijn twee puntenA en B. Toon aan dat een vectoriele vergelijking van de rechte AB kan geschreven worden in de vorm

−→P = λ

−→A + (1− λ)

−→B met λ ∈ R

XV-35

Inzicht in fysische chemie

Dit voorbeeld komt uit de fysische chemie20en toont hoe de vorm van een druppel vloeistof met behulp van vectorenkan worden bepaald.

De vorm van een druppel vloeistof (l) op een vaste ondergrond (s) ligt tussen twee uitersten: een mooi rond bolletjeof een vlak laagje. Deze vorm wordt bepaald door drie krachten die aangrijpen in een punt A op de rand vande druppel (zie Figuren 1 en 2). Deze krachten liggen langs de grensvlakken: in het verticale vlak door A en hetcentrum van de druppel (in dit vlak zijn de Figuren 1 en 2 getekend). De drie krachten zijn evenredig aan de driegrensvlakspanningen.

1. De grensvlakspanning γsg tussen de vaste stof s en de lucht g wekt een kracht−→Fsg op die de druppelrand vanuit

A horizontaal naar buiten trekt.

2. De grensvlakspanning γsl tussen de vaste stof s en de vloeistof l zorgt voor een kracht−→Fsl die de druppelrand

vanuit A horizontaal naar binnen trekt.

3. de oppervlaktespanning γlg tussen de vloeistof l en de lucht g veroorzaakt een kracht−→Flg die aangrijpt in A

en gericht is langs de raaklijn in A aan het druppeloppervlak.

Naast deze drie krachten werkt er in het punt A ook nog een vierde kracht in: de zwaartekracht. Voor elke druppelin rust is de som van deze vier krachten gelijk aan de nulvector:

−→Fsg +

−→Fsl +

−→Flg +

−→Fz =

−→O. (∗)

Hieronder tonen we aan dat de vorm van de druppel afhangt van de onderlinge verhouding van de grensvlakspan-ningen, die op hun beurt karakteristiek zijn voor de stoffen l, s en g.

Figuur 1: een bolle druppel

Bolle druppel

In Figuur 1 geldt γsg < γsl. Om evenwicht te bereiken in het horizontalevlak moet γlg een kracht hebben met een horizontale component die naarbuiten gericht is. Immers, projecteren we de vier krachten op de horizontaleas, dan impliceert (∗)

Fsg − Fsl + Flg cos θ + 0 = 0 ⇒ γsg − γsl︸︷︷︸<0

+γlg cos θ = 0

⇒ γlg cos θ > 0

⇒ θ is een scherpe hoek

waarin θ de hoek is tussen de vaste stof s en het druppeloppervlak. In dit geval heeft de druppel een flink geboldevorm. Dit is bijvoorbeeld het geval voor een vettig oppervlak met γsg = 60. Voor een waterdruppel op dit oppervlakgeldt γlg = 73 en γsl = 100, zodat

cos θ =γsl − γsgγlg

=100− 60

73⇒ θ ≈ 57◦.

Figuur 2: een vlakke druppel

Vlakke druppel

In Figuur 2 geldt γsl < γsg. Om evenwicht te bereiken in het horizontalevlak moet γlg een kracht hebben met een naar binnen gerichte horizontalecomponent. Immers, projecteren we de vier krachten op de horizontale as,dan impliceert (∗)

Fsg − Fsl + Flg cos θ + 0 = 0 ⇒ γsg − γsl︸︷︷︸>0

+γlg cos θ = 0

⇒ γlg cos θ < 0

⇒ θ is een stompe hoek.

In dit geval heeft de druppel een nogal platte vorm. Voor een vettig oppervlak met γsg = 60 kan men toch eenvlakke druppel bereiken door aan het water oppervlakte-actieve stoffen zoals zeep toe te voegen. Voor een dunnezeepoplossing geldt γlg = 35 en γsl = 30, zodat

cos θ =γsl − γsgγlg

=30− 60

35⇒ θ ≈ 149◦.

Voor een sterke zeepoplossing wordt θ = 180◦, zodat een druppel die op het oppervlak valt deze volledig bevochtigt.

20Ontleend aan [45, pagina 33]. Fysische chemie is, naast de anorganische en de organische scheikunde, een van de klassieke deelgebiedenvan scheikunde. Zij houdt zich bezig met het grensgebied tussen natuur- en scheikunde, in het bijzonder de toepassing van fysischemethoden op chemisch gebied.

XV-36

Hoofdstuk 2

Het Euclidisch vlak E2

In Hoofdstuk 1 kwam de verzameling V2 van de (vrije) vectoren in het vlak aan bod. Daarnaast hebben we deverzameling V2 voorzien van structuren, door het invoeren van de inwendige optelling en de uitwendige (scalaire)vermenigvuldiging met een reeel getal. Die verzameling V2 verrijkt met deze twee bewerkingen heet het vectorvlak.Onderstaande figuur toont een (voorlopig) overzicht van de verschillende structuren op de verzameling V2.

verzameling V2

+ : V2 × V2 → V2

eig. 1-3

groep V2,+

eig. 4


· : R× V2 → V2

eig. 5-8


het vectorvlak V2

In Hoofdstuk 2 zullen we het vectorvlak voorzien van een derde bewerking: de vermenigvuldiging van twee vectoren(scalair product). Die nieuwe structuur noemt men het Euclidisch vlak. In dit hoofdstuk werken we uitsluitend in eenvlak Πo, voorzien van een orthonormaal assenstelsel Oxy en bijhorende orthonormale basis B = (−→ex,−→ey).

2.1 Hoek tussen twee vectoren

3 Definitie. Zij A en B twee punten, beide verschillend van de oorsprong. De hoek tussen−→A en

−→B is de

(georienteerde) hoek1 tussen de halfrechten [OA en [OB . We noteren deze hoek met (−→A ,−→B ).

In symbolen: (−→A ,−→B )

def= AOB.

B

A

[OB

[OA

−→B −→

AO

1Voor basisbegrippen in verband met hoeken verwijzen we naar Deel Goniometrie en precalculus 2.

XV-37

3 Definities en afspraken.

1. Een hoek (−→A ,−→B ) is georienteerd en dus wordt de volgorde aangeduid met een pijl van [OA naar [OB . In

de praktijk duiden we een kortste pijl aan.

Voorbeeld. Duid telkens de hoek (−→A ,−→B ) aan.

(a)

−→B

−→A

O

(b)

−→B

−→A

O

2. Is−→A of

−→B de nulvector, dan is de hoek tussen

−→A en

−→B bij afspraak onbepaald.

3. Zij −→u en −→v vrije vectoren, beide verschillend van de nulvector. De hoek tussen −→u en −→v is de hoek tussen

hun representanten vanuit de oorsprong O. We noteren die hoek met (−→u ,−→v ).

Voorbeeld. Duid de hoek (−→u ,−→v ) aan.

O

−→v

−→u

4. Twee vectoren −→u en −→v staan loodrecht op elkaar als hun hoek (−→u ,−→v ) een rechte hoek is. Bij afspraak2

staat de nulvector loodrecht op elke vector. Vectoren die loodrecht op elkaar staan noemt men ook welorthogonaal. Zijn twee vectoren −→u en −→v orthogonaal, dan noteren we −→u ⊥ −→v .

Voorbeeld. De vectoren −→u en −→v zijn orthogonaal.

O

−→v

−→u

2De reden van deze afspraak is dat Eigenschap 1 op pagina 39 geldig blijft indien −→u of −→v de nulvector is.

XV-38

2.2 Scalair product van vectoren in V2 - Het Euclidisch vlak E2

3 Motivatie. In natuurkunde is arbeid een begrip voor de inspanning die een kracht uitoefent op een lichaam,dat tengevolge daarvan verplaatst wordt. Die arbeid noteert3 men met de letter W en wordt als volgt berekend.

Beschouw een lichaam dat onder invloed van een (constante) kracht−→F verplaatst wordt volgens verplaatsings-

vector −→r : de vector met als lengte de grootte van de verplaatsing en met dezelfde richting en zin als deverplaatsing.

. Bijzonder geval. De verplaatsing gebeurt volgens de richting van de kracht. Dan is de arbeid die de

kracht−→F uitoefent gelijk aan het product van de getallen F en r (zie figuur).

−→F

−→r

W = F r

. Algemeen geval. De verplaatsing maakt een hoek θ met de richting van de kracht. De arbeid die de

kracht−→F uitoefent komt enkel van de arbeid die de loodrechte projectie van

−→F op −→r uitoefent. Noemen

we die component−→F1, dan is de arbeid dus gelijk aan F1 r (zie figuur).

−→F

−→F1

θ

−→r

W = F1 r

Omdat F1 = F cos θ, vinden we de algemene formule voor het berekenen van de arbeid uitgeoefend door

kracht−→F :

W = |−→F | |−→r | cos θ

3 Definitie (scalair product van vectoren) 4. Zij −→u en −→v twee vectoren, beide verschillend van de nulvector.Het scalair product 5 van −→u en −→v is het getal

−→u · −→v def= |−→u | |−→v | cos θ met θ = (−→u ,−→v )

Bij definitie is het scalair product van de nulvector met een vector gelijk aan nul, alsook het scalair product vaneen vector met de nulvector.

Meetkundige betekenis. Voor elke twee vectoren −→u en −→v is het scalair product gelijk aan (zie figuur):

−→u · −→v = ± (lengte van vector −→u ) · (lengte van de loodrechte projectie van vector −→v op de drager van −→u )

O

θ

−→u

−→v

Als 0 ≤ θ < 90◦

−→u · −→v = |−→u | |−→v | cos θ> 0

O

θ

−→u

−→v

Als θ = 90◦

−→u · −→v = |−→u | |−→v | cos θ= 0

O

θ

−→u

−→v

Als 90◦ < θ ≤ 180◦

−→u · −→v = |−→u | |−→v | cos θ= |−→u | |−→v | (− cos(180◦ − θ))

= −|−→u | |−→v | cos (180◦ − θ)

< 0

3Naar de eerste letter van work, de Engelse term voor arbeid.4Hermann Gunther Grassmann 1844.5Scalair product wordt ook wel inwendig product of inproduct of dot product genoemd

XV-39

3 Op ontdekking. Bereken telkens het scalair product −→u · −→v en het scalair product −→v · −→u . Wat merk je op?

1

2

3

−1

1 2 3−1

y

x

(a)

−→v

−→u

Oplossing.

1

2

3

−1

1 2 3−1

y

x

(b)

−→v

−→u

3 Eigenschap 1. We hebben een afbeelding geconstrueerd, die we in het vervolg scalair product in V2 noemen:

〈·, ·〉 : V2 × V2 → R

(−→u ,−→v ) 7→ 〈−→u ,−→v 〉 def= −→u · −→v


(9) het scalair product in V2 is bilineair:

∀r ∈ R,∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : (−→u +−→v ) · −→w = −→u · −→w +−→v · −→w∀r ∈ R,∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w∀r ∈ R,∀−→u ,−→v ∈ V2 : (r−→u ) · −→v = r(−→u · −→v ) = −→u · (r−→v )

(10) het scalair product in V2 is symmetrisch (of commutatief):

∀−→u ,−→v ∈ V2 : −→u · −→v = −→v · −→u

(11) het scalair product in V2 is niet-negatief en positief definiet:

∀−→u ∈ V2 : −→u · −→u ≥ 0 en −→u · −→u = 0⇔ −→u =−→0 .

Bewijs van (10) en (11).

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (8)-(10) noemen we de (reele) vectorruimte R,V2,+ voorzien vanhet scalair product een Euclidische ruimte6, notatie R,V2,+, 〈·, ·〉. In het vervolg spreken we kortweg van hetEuclidisch vlak E2.

6Een Euclidische ruimte wordt ook wel een inproductruimte genoemd. Lees 〈·, ·〉 als angle brackets of chevrons.

XV-40

Tot nu toe moeten we - om het scalair product van twee vectoren te berekenen - eerst de hoek tussen die vectorenbepalen. Om dat te vermijden, gaan we na hoe het scalair product van puntvectoren kan vertaald worden naarcoordinaten. Om die formule op te bouwen hebben we de volgende eigenschap nodig.

Hermann GuntherGrassmann(1809 - 1877)

3 Eigenschap 2.

1. Voor twee vectoren −→u en −→v is

−→u · −→v = 0 ⇔ −→u ⊥ −→v

2. Voor de basisvectoren −→ex en −→ey is

−→ex · −→ex = 1,−→ex · −→ey = 0,−→ey · −→ey = 1.

Bewijs.

3 Eigenschap7 3.

AlscoB(−→A ) = (x1, y1)

coB(−→B ) = (x2, y2)

dan−→A · −→B = x1x2 + y1y2

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de vectoren−→A (−2, 6),

−→B (5,−3) en

−→C (3, 1).

(a) Bereken het scalair product−→A · −→B en het scalair product

−→B · −→C .

(b) Toon aan dat−→A ⊥ −→C .

(c) Is−→A ·

(−→B · −→C

)=(−→A · −→B

)· −→C ? Staaf je antwoord met een berekening.

Oplossing.

7In de volksmond omschrijft men deze eigenschap ook wel als de tak-tak formule.

XV-41



2.3 Norm van een vector

In deze paragraaf tonen8 we hoe men met de bewerking scalair product een nieuw begrip kan introduceren: de normvan een vector. Dit zal leiden tot formules voor de lengte van een vector en hoek tussen twee vectoren uitgedrukt metbehulp van coordinaten.

3 Definitie. De norm van een vector −→u is

||−→u || def=√−→u · −→u

3 Op ontdekking. Gegeven is de vector −→u (−3,−4).

(a) Teken de vector −→u in een orthonormaal assenstelsel en bereken de lengte |−→u |.(b) Bereken met behulp van de definitie de norm ||−→u ||. Wat merk je op?

Oplossing.

3 Eigenschap. Zij −→u een vector.

1. Er geldt ||−→u || = |−→u | en ||−→u ||2 = −→u 2 .

2. Voor elke r ∈ R is9 ||r · −→u || = |r| · ||−→u || .

3. Als −→u 6= −→o dan is −→eu def=−→u||−→u || een vector met dezelfde richting en zin als −→u , maar met norm 1.

Bewijs.

3 Definitie. Een vector −→u waarvoor ||−→u || = 1 wordt een eenheidsvector genoemd.

Uit de vorige eigenschap volgt dat voor elke vector −→u verschillend van de nulvector, de vector −→eu een eenheids-vector is.

8We kiezen voor een opbouw die kan toegepast worden in een meer algemene context, namelijk voor elke vectorruimte die voorzien isvan een scalair product. Zo zal bijvoorbeeld het ander scalair product op V2 uit Oefening 24 aanleiding geven tot een andere norm, dieverschillend is van de klassieke lengte van een vector.

9Men verwijst naar deze eigenschap als de homogeniteit van de norm (zie Eigenschap op pagina 45) . In het algemeen is een afbeeldingf : V →W met V en W vectorruimten homogeen als ∀r ∈ R, ∀v ∈ V : f(rv) = rf(v).

XV-42

Het begrip norm laat ons nu ook toe de lengte van een vector en de hoek tussen twee vectoren te vertalen naarcoordinaten.

3 Gevolg 1 (lengte van een puntvector, afstand van een punt tot de oorsprong).

Als co(−→A ) = (x1, y1) dan ||−→A || =

√x21 + y21

Bewijs.

3 Gevolg 2 (lengte van een vector, afstand tussen twee punten).

Alsco(−→A ) = (x1, y1)

co(−→B ) = (x2, y2)

dan ||−−→AB|| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Bewijs.

3 Gevolg 3 (hoek tussen twee vectoren).

Alsco(−→A ) = (x1, y1) 6= (0, 0)

co(−→B ) = (x2, y2) 6= (0, 0)

dan cos(−→A ,−→B ) =

x1x2 + y1y2√x21 + y21

√x22 + y22

Bewijs.

Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de vectoren−→A (−1,−1),

−→B (−5, 4),

−→C (1, 0) en −→u (−3, 4).

(a) Bereken de coordinaten van de eenheidsvector −→eu.

(b) Bereken de lengte van de vector−−→AB.

(c) Bereken algebraısch de grootte van de hoek θ tussen−→C en

−→A .

(d) Teken de vectoren−→A en

−→C in een orthonormaal assenstelsel en duid de hoek θ aan.

Oplossing.

XV-43


Toepassing 1 - De stelling van Pythagoras

Dankzij vectoren kunnen we de stelling van Pythagoras uit het derde jaar op een korte manier bewijzen.

3 Stelling (stelling van Pythagoras).


Te bewijzen. Driehoek ABC is rechthoekig in A als en slechts als a2 = b2 + c2

Oplossing. We maken een schets waarop we alle gegevens aanduiden (vul aan).

B C

A Er geldt

a2 = b2 + c2 ⇔ ||−−→BC||2 = ||−−→BA||2 + ||−→AC||2

noem −→u =−−→BA en −→v =

−→AC.

dan is−−→BC = . . .

⇔ . . .

Toepassing 2 - De cosinusregel

Dankzij vectoren kunnen we de cosinusregel uit het vierde jaar op een korte manier bewijzen.

3 Stelling (cosinusregel).


Te bewijzen. a2 = b2 + c2 − 2bc cosα


B C

A Er geldt

a2 = ||−−→BC||2

noem −→u =−−→BA en −→v =

−→AC.

dan is−−→BC = . . .

= . . .

XV-44

2.5 De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de driehoeksongelijkheid -De genormeerde ruimte R,V2,+, || · ||

Augustin Louis Cauchy(1789 - 1857)

3 Stelling (ongelijkheid van Cauchy-Schwarz) 10.

Voor twee vectoren −→u en −→v is |−→u · −→v | ≤ ||−→u || ||−→v ||

Bewijs. Indien −→u = −→o of −→v = −→o dan is triviaal voldaan aan de ongelijkheid.

We mogen dus onderstellen dat −→u 6= −→o en −→v 6= −→o .

We beschouwen de functie f(x) = ||−→u − x−→v ||2.

Stap 1. De grafiek van f is een parabool, want

f(x) = ||−→u − x−→v ||2 = (−→u − x−→v ) · (−→u − x−→v )

= −→u 2 − 2x−→u · −→v + x2−→v 2

dus f(x) = ax2 + bx+ c voor zekere a, b, c ∈ R met a 6= 0.

Stap 2. De grafiek van f ligt boven de x-as, want voor elke x ∈ R is

f(x) = ||−→u − x−→v ||2 ≥ 0.

Uit Stap 1 en Stap 2 volgt dat de top van de parabool boven de x-as ligt. Dus moet

0 ≤ f(− b

2a

)waarbij − b

2a=−→u · −→v−→v 2

⇒ 0 ≤ −→u 2 − 2−→u · −→v−→v 2

−→u · −→v +(−→u · −→v )2

(−→v 2)2−→v 2 = −→u 2 − (−→u · −→v )2

−→v 2

⇒ 0 ≤ −→u 2−→v 2 − (−→u · −→v )2

⇒ (−→u · −→v )2 ≤ −→u 2−→v 2

⇒ |−→u · −→v | ≤ ||−→u || ||−→v ||.

Hermann Minkowski(1864 - 1909)

3 Stelling (driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Minkowski) 11.

Voor twee vectoren −→u en −→v is ||−→u +−→v || ≤ ||−→u ||+ ||−→v ||

Bewijs. We berekenen:

||−→u +−→v ||2 = (−→u +−→v )(−→u +−→v )

= −→u 2 +−→v 2 + 2−→u · −→v= ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2−→u · −→v≤ ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2 |−→u · −→v |≤ ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2 ||−→u || ||−→v ||= (||−→u ||+ ||−→v ||)2 .

Hieruit volgt dat ||−→u +−→v || ≤ ||−→u ||+ ||−→v ||.3 Eigenschap. We hebben een afbeelding || · || geconstrueerd, die we in het vervolg norm in V2 noemen

|| · || : V2 → R−→u 7→ ||−→u ||


(9’) de norm in V2 is positief homogeen: ∀r ∈ R,∀−→u ∈ V2 : ||r−→u || = |r| ||−→u ||(10’) de norm in V2 voldoet aan de driehoeksongelijkheid: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : ||−→u +−→v || ≤ ||−→u ||+ ||−→v ||(11’) de norm in V2 is niet-negatief en positief definiet: ∀−→u ∈ V2 : ||−→u || ≥ 0 en ||−→u || = 0⇔ −→u = −→o .

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (9’)-(11’) noemen we de (reele) vectorruimte R,V2,+ voorzien van denorm een genormeerde ruimte 12, notatie R,V2,+, || · ||.

10Cauchy 1821 voor de Euclidische ruimte Rn, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky 1859 voor de Euclidische ruimte L2 en bewezen vooralle Euclidische ruimten door Hermann Amandus Schwarz 1885 (wiens naam vaak foutief als Schwartz gespeld wordt).

11Minkowski 1896 voor alle Lp-ruimten, hetgeen impliceert dat alle Lp-ruimten ook genormeerde vectorruimten zijn.12Een genormeerde ruimte wordt ook wel een pre-Banach ruimte genoemd, naar Stefan Banach (1892-1945). Omdat de norm in de

genormeerde ruimte R,V2,+, || · || door een scalair product gedefinieerd is, heet men deze genormeerde ruimte ook een pre-Hilbert ruimte,

naar David Hilbert (1862-1943).

XV-45

http://nl.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy

http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Minkowski

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bunyakovsky.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schwarz.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach

http://nl.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

2.6 De metrische ruimte V2, d

Maurice Rene Frechet(1878 - 1973)

3 Definitie. Zij −→u en −→v vrije vectoren. De (Euclidische) afstand tussen −→u en−→v isd(−→u ,−→v )

def= ||−→v −−→u ||.

3 Eigenschap. We hebben een afbeelding d geconstrueerd13, die we in het vervolgafstand in V2 noemen

d : V2 × V2 → R(−→u ,−→v ) 7→ d(−→u ,−→v )


(A) de afstand in V2 is niet-negatief: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : d(−→u ,−→v ) ≥ 0

(B) de afstand in V2 is heterogeen: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : d(−→u ,−→v ) = 0⇔ −→u = −→v(C) de afstand in V2 is symmetrisch: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : d(−→u ,−→v ) = d(−→v ,−→u )

(D) de afstand in V2 voldoet aan de driehoeksongelijkheid: ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : d(−→u ,−→w ) ≤ d(−→u ,−→v ) + d(−→v ,−→w )

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (A)-(D) noemen we de verzameling V2, voorzien van de afstand eenmetrische ruimte 14 notatie V2, d.

2.7 Overzicht van de verschillende structuren op V2

Onderstaande figuur toont een volledig overzicht van de verschillende structuren op de verzameling V2, die we inHoofdstuk 1 en Hoofdstuk 2 besproken hebben.

verzameling V2

+ : V2 × V2 → V2

eig. 1-3

groep V2,+

d : V2 × V2 → Reig. A-D

metrische ruimte V2, d

eig. 4


· : R× V2 → V2

eig. 5-8


het vectorvlak V2

〈·, ·〉 : V2 × V2 → Reig. 9-11

Euclidische ruimte R,V2,+, 〈·, ·〉het Euclidisch vlak E2

|| · || : V2 → Reig. 9’-11’

genormeerde ruimte R,V2,+, || · ||

13De letter d van het Engels woord distance, wat afstand betekent.14Frechet 1906.

XV-46

http://en.wikipedia.org/wiki/Maurice_Ren%C3%A9_Fr%C3%A9chet


Toepassing 3 - Loodrechte projectie

Een vaak gebruikte constructie is het ontbinden van een vector in twee componenten: evenwijdig aan en loodrecht opeen andere vector. Met behulp van het scalair product kunnen we formules opstellen om deze componenten te bepalen.

3 Eigenschap (ontbinden van een vector in onderling loodrechte componenten).

Gegeven. Twee vectoren −→u en −→v van het Euclidisch vlak E2, waarbij −→u 6= −→o .

Te bewijzen. Er bestaan unieke vectoren −→v⊥//−→u en −→v

//⊥ −→u waarvoor −→v = −→v⊥ +−→v

//, namelijk

−→v⊥ = en −→v//

=

We noemen −→v = −→v⊥ +−→v//

een ontbinding van −→v in onderling loodrechte componenten en verwijzen naar −→v⊥ als

de loodrechte projectie van de vector −→v op (de drager van) de vector −→u .


−→u

−→v

O

We bewijzen eerst de uniciteit van de ontbinding.

Stel dat −→v = −→v⊥ +−→v//

waarbij −→v⊥//−→u en −→v

//⊥ −→u .

Beide leden vermenigvuldigen met −→u levert

−→v = −→v⊥ +−→v//⇒ . . .

⇒ . . .

Omdat −→v⊥//−→u is −→v⊥ = λ−→u

voor een zekere λ ∈ R

⇒ . . .

⇒ . . .

Het bestaan van de ontbinding volgt nu eenvoudig uit de formules voor −→v⊥ en −→v//

:

3 Voorbeeld.

(a) Bepaal de coordinaten van de loodrechte projectie van de vector −→v (−7, 3) op de vector −→u (12,−2).

(b) Projecteer de vector −→v (1,−3) loodrecht op de rechte a : 6x− 2y = 8. Teken de vector −→v en de rechte a ineen orthogonaal assenstelsel waarop je alle relevante vectoren aanduidt.

Oplossing.

XV-47

Oefeningen

2 Het Euclidisch vlak E2 Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.1 Hoek tussen twee vectoren2.2 Scalair product in V2 - Het Euclidisch vlak E2

12

34

56

7 8

2.3 Norm van een vector2.4 Toepassingen - Deel 1

910

1112

13 141516

171819

2021

22 2324

25

2.5 De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de drie-hoeksongelijkheid

2.6 De metrische ruimte V, d2.7 Overzicht van de verschillende structuren op V2

26 27 28 29 30

2.8 Toepassingen - Deel 2 31 32 33 34


B Oefening 1. Bereken telkens −→u · −→v .

1

2

3

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1

y

x

(a)

−→v

−→u

1

−1

−2

−3

−4

−5

−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10

y

x

(b)

−→v

−→u

XV-48

B Oefening 2. Gegeven zijn de vectoren −→a (−7, 3) en−→b (12, 6). Bereken het scalair product −→a · −→b .

B? Oefening 3. Bepaal telkens de getallen −→a · −→b , −→a 2 en−→b 2.

(a)O −→a

−→b

40◦

(b)O −→a

−→b

135◦

(c)O −→a−→

b

180◦

B? Oefening 4. Zij −→u ,−→v ∈ E2. Werk uit en vereenvoudig zoveel als mogelijk enkel gebruik makend van de gezieneeigenschappen van optelling, scalaire vermenigvuldiging en scalair product van vectoren.

(a) (−→u +−→v )2

(b) (−→u +−→v ) · (−→u −−→v )

B?? Oefening 5. Toon met behulp van vectoren aan dat de rechten

a : 3√

108x− 6y = −5 en b : 4x+ 3√

48 y = 11

loodrecht op elkaar staan.Aanwijzing. Bepaal eerst een richtingvector van de rechte a en een richtingsvector van de rechte b.

B?? Oefening 6. Gegeven zijn drie willekeurige vectoren −→u , −→v en −→w in het Euclidisch vlak E2. Beoordeel de volgendeuitspraken (waar of vals) en verklaar telkens je antwoord.

(a) −→u ∈ V2(b) −→u · −→v ∈ V2(c) −→u · (−→v · −→w ) ∈ V2

(d)−→u · −→v−→u 2

∈ V2

(e) −→u · −→v = 0⇒ −→u =−→0 of −→v =

−→0

V Oefening 7. Bewijs de volgende gelijkheid van Euler:

∀A,B,C,D ∈ Π :−−→AB · −−→CD +

−→AC · −−→DB +

−−→AD · −−→BC = 0.

V? Oefening 8. Een gelijkzijdige driehoek ABC heeft omtrek p. Bereken−−→AB · −→AC.

XV-49


B Oefening 9. Gegeven zijn de punten A(2, 1) en B(−3, 0).

(a) Duid de vectoren aan in een orthonormaal assenstelsel.

(b) Bereken ||−→A || en ||−→B ||.

(c) Bepaal de coordinaten van de eenheidsvectoren −→eA en −→eB .

B Oefening 10. Zij −→u ,−→v ∈ E2. Bewijs het volgend verband tussen de norm en het scalair product:

−→u · −→v =1

2

(||−→u +−→v ||2 − ||−→u ||2 − ||−→v ||2

).

B? Oefening 11. Bereken de grootte van de hoek tussen de rechten

a : 6x− 8y = −3 en b : 8x+ 15y = −6.

Aanwijzing. Bepaal eerst een richtingvector van de rechte a en een richtingsvector van de rechte b.

B? Oefening 12. Gegeven zijn de punten A(−3, 1), B(2, 6) en C(1,−3). Toon met behulp van vectoren aan dat dedriehoek ABC rechthoekig is.

B?? Oefening 13. Gegeven zijn de vectoren

−→u (−8, 15), −→v (−6,−12) en −→w (2,−1).

(a) Bereken de norm van de vectoren −→u , −→v en −→w .

(b) Normeer de vectoren −→u , −→v en −→w , dat wil zeggen bepaal de vectoren −→eu, −→ev en −→ew.

(c) Ga na welke van de vectoren −→u , −→v en −→w onderling loodrecht zijn.

(d) Bereken de grootte van de hoeken (−→u ,−→v ), (−→w ,−→v ) en (−→u ,−→w ).

V Oefening 14. De vectoren −→a en−→b zijn onderling loodrecht. De norm van −→a is 3, deze van

−→b is 5. Bereken

(a) −→a · (−→a −−→b ) (c) (−→a · −→b )2

(b) (−→a −−→b )(2−→a +−→b ) (d) (3−→a − 5

−→b )2

V Oefening 15. Bepaal de coordinaten van een vector−→B die een hoek van 60◦ maakt met de vector

−→A (−3, 2).

V Oefening 16. Gegeven een punt P (x1, y1). Welke overgang is fout in onderstaande redenering?

−→P · −→ex = (x1

−→ex + y1−→ey) · −→ex

= x1−→ex · −→ex + y1

−→ey · −→ex= x1 · 1 + y1 · 0= x1

en

−→P · −→ey = (x1

−→ex + y1−→ey) · −→ey

= x1−→ex · −→ey + y1

−→ey · −→ey= x1 · 0 + y1 · 1= y1.

Bijgevolg −→P = x1

−→ex + y1−→ey

=(−→P · −→ex

)· −→ex +

(−→P · −→ey

)· −→ey

=−→P · (−→ex · −→ex) +

−→P · (−→ey · −→ey)

=−→P · 1 +

−→P · 1

= 2−→P .

V? Oefening 17. Voor twee vectoren −→a en−→b geldt ||−→a || = 3, ||−→b || = 7 en ||−→a +

−→b || = 5. Bereken −→a · −→b .

V? Oefening 18. Gegeven zijn de punten A(2, 1) en B(−3, 0).

(a) Teken in een orthonormaal assenstelsel de bissectricerechte van OA en OB.

(b) Bepaal de coordinaten van een vector met dezelfde richting als die bissecticerechte.

XV-50

V? Oefening 19. Op een lijnstuk [AB] nemen we het midden M van het lijnstuk en het punt N zodat−−→AN = 2

−−→NB.

Bewijs dat −−→AB · −−→NM = −−−→AM · −−→NB.

V?? Oefening 20. Bewijs dat voor een willekeurige driehoek ABC geldt

cosα

a+

cosβ

b+

cos γ

c=a2 + b2 + c2

2abc.

Aanwijzing. Bereken (−−→AB +

−−→BC +

−→CA)2 op twee verschillende manieren.

V?? Oefening 21. Bewijs dat in een parallellogram de som van de kwadraten van de zijden gelijk is aan de som van dekwadraten van de diagonalen.

U Oefening 22 (delen door een vector heeft geen betekenis). Gegeven vectoren −→u ,−→v van het Euclidisch vlakE2. Er is verder gegeven dat −→u · −→v = 0. Beoordeel de volgende redenering:

−→u · −→v = 0 ⇒ −→u =0−→v ⇒ −→u =

−→0

en pas deze redenering toe op de vectoren −→u (1, 1) en −→v (1,−1).

U? Oefening 23 (criterium voor gelijkheid van vectoren). Bewijs dat voor alle vectoren −→u ,−→v in het Euclidischvlak E2 geldt

−→u = −→v ⇔{−→u · −→ex = −→v · −→ex−→u · −→ey = −→v · −→ey .

U? Oefening 24 (ander scalair product op V2). In deze oefening tonen we aan dat er meerdere salaire productenmogelijk zijn in het vectorvlak V2.

Voor twee vectoren −→u (x1, y1) en −→v (x2, y2) definieren we een nieuwe bewerking

−→u ∗ −→v def= 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2

waarmee we een nieuwe afbeelding construeren:

〈·, ·〉2 : V2 × V2 → R

(−→u ,−→v ) 7→ 〈−→u ,−→v 〉2def= −→u ∗ −→v .

(a) Zij −→u (2,−3) en −→v (3, 2). Bereken −→u · −→v en −→u ∗ −→v .

(b) Bewijs dat de nieuwe bewerking 〈·, ·〉2 een scalair product is, door aan te tonen dat voldaan is aan de volgendeeigenschappen:

(8) bilineair: ∀r ∈ R,∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : (−→u +−→v ) ∗ −→w = −→u ∗ −→w +−→v ∗ −→w∀r ∈ R,∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : −→u ∗ (−→v +−→w ) = −→u ∗ −→v +−→u ∗ −→w∀r ∈ R,∀−→u ,−→v ∈ V2 : (r−→u ) ∗ −→v = r(−→u ∗ −→v ) = −→u ∗ (r−→v )

(9) symmetrisch (of commutatief): ∀−→u ,−→v ∈ V2 : −→u ∗ −→v = −→v ∗ −→u(10) niet-negatief en positief definiet: ∀−→u ∈ V2 : −→u ∗ −→u ≥ 0 en −→u ∗ −→u = 0⇔ −→u =

−→0

U?? Oefening 25 (afstand van een punt tot een rechte met behulp van vectoren). Dankzij vectoren kunnen wede formule voor de afstand van een punt tot een rechte uit het vierde jaar op een korte manier bewijzen.

Zij P (x1, y1) een punt en a : ax+ by = c een rechte. Noem d de afstand van het punt P tot de rechte a.

(a) Bepaal de coordinaten van een richtingsvector−→Ra van de rechte a.

(b) Toon aan dat de vector−→Na(a, b) loodrecht op

−→Ra staat. Zo’n vector noemen we een normaalvector van rechte a.

(c) Toon aan dat voor elk punt A van het vlak geldt: A ∈ a⇔ −→A · −→Na = c.

(d) Beschouw de eenheidsvector −−→eNa en de rechte l door de oorsprong en loodrecht op de rechte a. Noem Q(x2, y2)

het snijpunt van de loodlijn l met de rechte a. Waarom is−−→QP = ±d−−→eNa?

(e) Vermenigvuldig in−−→QP = ±d−−→eNa

beide leden met −−→eNaen leid hieruit af dat d =

|−−→QP · −→Na|||−→N ||

.

(f) Leid uit (e) en (c) af dat d =|−→P · −→Na − c|||−→N ||

.

(g) Leid uit (f) de formule voor de afstand van een punt tot een rechte af.

XV-51

Oefeningen bij §2.5, §2.6 en §2.7

B?? Oefening 26. Bewijs dat de afstand

d : V2 × V2 → R

(−→u ,−→v ) 7→ d(−→u ,−→v )def= ||−→u −−→v ||

voldoet aan de volgende eigenschappen:

(A) afstand is niet-negatief: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : d(−→u ,−→v ) ≥ 0

(B) afstand is heterogeen: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : d(−→u ,−→v ) = 0⇔ −→u = −→v(C) afstand is symmetrisch: ∀−→u ,−→v ∈ V2 : d(−→u ,−→v ) = d(−→v ,−→u )

(D) afstand voldoet aan de driehoeksongelijkheid: ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ V2 : d(−→u ,−→w ) ≤ d(−→u ,−→v ) + d(−→v ,−→w )

V Oefening 27. Zij M een verzameling en d : M ×M → R een afbeelding die voldoet aan de eigenschappen (B), (C)en (D) uit §2.6. Bewijs dat d ook voldoet aan eigenschap (A).

U Oefening 28 (alternatief bewijs voor de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz).Bewijs de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz door in de definitie van het scalair product

−→u · −→v = |−→u | |−→v | cos θ

van beide leden de absolute waarde te nemen.

U? Oefening 29 (tweede deel van de driehoeksongelijkheid). Gegeven zijn twee vectoren −→u en −→v .

(a) Bewijs op een analoge manier als het bewijs van de driehoeksongelijkheid dat

||−→u −−→v || ≥∣∣||−→u ||2 − ||−→v ||2

∣∣ .

(b) Bewijs met behulp van (a) en de driehoeksongelijkheid dat

∣∣||−→u ||2 − ||−→v ||2∣∣ ≤ ||−→u +−→v || ≤ ||−→u ||+ ||−→v ||.

U?? Oefening 30 (ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de oppervlakte van een parallellogram).

(a) Toon aan dat voor elke twee vectoren −→u ,−→v geldt

−→u 2−→v 2 − (−→u · −→v )2 ≥ 0.

(b) Zij ABCD een parallellogram en noem −→u =−−→AB en −→v =

−−→BC. Bewijs dat de oppervlakte van het parallellogram

ABCD gegeven wordt door √−→u 2−→v 2 − (−→u · −→v )2.

Oefeningen bij §2.8

B Oefening 31. Bepaal de coordinaten van de loodrechte projectie van −→v (−2, 3) op de drager van −→u (1,−1).

B? Oefening 32. Bepaal de rechte a door het punt A(−2, 1) en loodrecht op de vector−→B (−3, 2).

V? Oefening 33. Gegeven is een vector −→u van het Euclidisch vlak E2. Beschouw de afbeelding

f : V2 → V2−→v 7→ (−→v · −→eu) · −→eu.

Toon aan dat f de loodrechte projectie op de drager van −→u voorstelt.

U? Oefening 34 (vectoriele vergelijking van een cirkel). Gegeven is een punt M(a, b) en r ∈ R+0 .

(a) Stel een vectoriele vergelijking op van de cirkel C(M, r).

(b) Leid hieruit een Cartesische vergelijking van de cirkel C(M, r) af.

(c) Bepaal met behulp van vectoren stel parametervergelijkingen en een Cartesische vergelijking van de raaklijn t ineen punt P (x1, y1) aan de cirkel C(M, r).

XV-52

Inzicht in sportwetenschappen

Dit voorbeeld komt uit de sportwetenschappen15en laat zien hoe de krachten die werken op een zeilboot kunnenberekend worden. In het bijzonder kan bepaald worden onder welke hoek de zeiler het zeil moet houden om dewind optimaal te benutten.

Figuur 1: zeilboot en wind

Als eenvoudig model nemen we aan dat de boot stil in het water ligt, metde lengteas van de boot in de gewenste koers (zie Figuur 1). Het zeil maakteen hoek α met de lengteas en de wind een hoek β met de lengteas (zieFiguur 2). Als de wind van stuurboord (rechts) komt, dan slaat het zeilover bakboord (links) en omgekeerd.

. De koers van de boot stellen we voor met een vector −→v . Omdat ernog geen snelheid is, zal de grootte van −→v geen rol spelen. We mogendus veronderstellen dat −→v een eenheidsvector is.

. De wind stellen we door met de vector −→w , waarvan de lengte overeen-komt met de windsnelheid. De hoek tussen −→v en −→w is π − β.

. Het zeil stellen we voor met een eenheidsvector −→z . We noemen −→n deeenheidsvector loodrecht op −→z , met richting tussen die van −→z en −→v .De hoek tussen −→w en −→n is γ en we zien in dat β + γ = α+ π/2.

Krachtvector−→F n van de wind op het zeil

Figuur 2: ontbinding van −→w inloodrechte componenten

De wind blaast in het zeil en ondervindt hierdoor een kracht. Om dezekracht te bepalen ontbinden we de vector −→w in een component −→w⊥ loodrechtop het zeil en een component −→w

//langs het zeil (zie Figuur 2). De component

−→w⊥ levert een kracht op het zeil in de richting van −→n . Deze kracht is eenluchtweerstand en dus is de grootte van deze kracht evenredig met A, deoppervlakte van het zeil en |−→w⊥ |2, het kwadraat van de snelheid. Op diemanier kunnen we de krachtvector van de wind op het zeil schrijven als

−→F n = k A |−→w⊥ |2 · −→n

waarbij k de zogenaamde opbrengstconstante is, uitgedrukt in kg/m3, dieafhangt van de dichtheid van de lucht en de vorm van het zeil. De vector−→w⊥ berekenen we met behulp van de formule voor de loodrechte projectievan de vector −→w op de vector −→n

−→w⊥ =−→w · −→n−→n 2

·−→n = |−→w | cos γ ·−→n = |−→w | sin(π

2− γ)·−→n = |−→w | sin (β − α) ·−→n

zodat de krachtvector van de wind op het zeil gelijk is aan

−→F n = k A |−→w |2 sin2 (β − α) · −→n .

Nuttige krachtvector−→F v op de boot

De kracht−→F n ontbinden we op zijn beurt in een nuttige kracht

−→F v in de richting van de koers (en dus de lengteas

van de boot) en een onnuttige kracht−→F l loodrecht daarop. De hoek δ tussen −→n en −→v is π/2− α, zodat

−→F v = Fn cos δ · −→v = Fn sin

(π2− δ)· −→v = Fn sinα · −→v = k A |−→w |2 sin2 (β − α) sinα · −→v .

Bij een gegeven hoek β (tussen de windrichting en de lengteas) zal men de hoek α (tussen het zeil en de lengteas)bepalen door te eisen dat de nuttige kracht zo groot mogelijk is, dus

bepaal de hoek α waarvoor sin2 (β − α) sinα maximaal is

Dat kan door bij een gegeven β een tabel stijgen/dalen van de functie f(x) = sin2 (β − x) sinx te maken. Staatbijvoorbeeld de wind loodrecht op de vaarrichting, dan maakt de zeiler zo goed mogelijk gebruik van de wind alssinα = 1/

√3, i.e. α ≈ 35◦16′.

15Ontleend aan [45, pagina 88]. Sportwetenschappen is een verzamelnaam voor diverse wetenschappelijke studierichtingen die zich richtenop onderzoek naar verschillende aspecten van sport. Sportwetenschappen is ook een studierichting in het ASO, met de nadruk op exactewetenschappen (fysica-scheikunde-biologie), ondersteund door een stevig pakket wiskunde.

XV-53

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Hoofdstuk 1

(3) (a) waar

(b) waar

(c) vals

(d) waar

(4) (a) vals

(b) waar

(c) waar

(d) vals

(e) vals

(f) waar

(6) (a) waar

(b) waar

(c) vals

(11) Fr = 65 468, 67 . . .N

(13) (a)−→PS

(b) −→o(c)−−→AM

(d)−→RP

(14) Fr = 1, 53 . . .N

(15) α ≈ 74◦12′42, 973′′

(16) 83, 61 . . . km/u

(18) De snelheid van de wind bedraagt 5, 2787 . . . km/u en de wind maakt een hoek van ongeveer 119◦27′36, 911′′

met het noorden.

(19) De wind komt uit het zuidwesten, met een snelheid van 14, 1421 . . . km/u.

(20) (a) 4, 3345 . . . m/s

(b) ongeveer 161◦57′13, 313′′

(22) (b) verticale windschering

(c) 16, 998 . . . km/u

(26) (E)

(27) (a) 2−→ZU

(b) 2−−→CG

(c) 3−−→BC

(d) 2−−→CY

(28) 10kN; 5, 7735 . . . kN en 11, 5470 . . . kN

XV-54

(29) (a) vals

(b) waar

(c) waar

(31) 49 050N; 26 098, 95 . . .N en 51 404, 91 . . .N

(35) (a)−→M =

1

3

−→A +

1

2

−→B +

1

6

−→C

(b)−−→MA =

2

3

−→A − 1

2

−→B − 1

6

−→C

−−→MB = −1

3

−→A +

1

2

−→B − 1

6

−→C

−−→MC = −1

3

−→A − 1

2

−→B +

5

6

−→C

(36) (a) vals

(b) waar

(c) vals

(37) (b) coB(−→A ) = (3, 2) en coB(

−→B ) = (0,−2)

(c) 2−→A −−→B = 6−→e1 + 6−→e2

(d) coB(2−→A −−→B ) = (6, 6)

(38) (a) co(M) =

(−1,

11

2

)

(b) co(Z) =

(−5

3,

13

3

)

(39) co(D) = (4, 0)

(40) (b) F1 = Fz sinα, F2 = Fz cosα

(c) 5, 9038 . . . m/s2

(41) (a)

(−7

5,

18

5

),

(1

5,

16

5

),

(9

5,

14

5

),

(17

5,

12

5

)

(b) co(C) = (16, 0)

(42) (6, 8), (−2,−2) en (−4, 6)

(43) (a) (i)−−→DA = −→v − 1

2−→w ,−−→OF =

1

3−→v +

1

3−→w en

−→PA =

1

3−→v +

1

3−→w

(ii)−→Z =

1

3−→v +

4

9−→w

(b) Vierhoek OFAP is een parallellogram.

(46) (b) −→c = 4−→a − 1

2

−→b

(47) (a) (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) en (0 : 0 : 1)

(b)

(1

2:

1

2: 0

),

(0 :

1

2:

1

2

)en

(1

2: 0 :

1

2

)

(c)

(1

3:

1

3:

1

3

)

(e) (m1 : m2 : m3)

(48) (a) d :

{x = −1− ry = 3 + 5r

(r ∈ R)

(b) d : 5x+ y = −2

(49) (a) a :

{x = −1 + 2r

y = 2 + r(r ∈ R)

(b) a : x− 2y = −5

XV-55

(50) (a) a :

x = r

y = −12

10+

7

10r

(r ∈ R)

(b) bijvoorbeeld P1

(0,−6

5

), P2

(1,−1

2

)en P3

(2,−1

5

)

(c) c :

x = −2 + r

y = 15 +7

10r

(r ∈ R)

(d) b : 7x− 10y = 121

(51) (a) a :

{x = 3 + r

y = 4(r ∈ R)

(b) b :

{x = 3

y = 4 + r(r ∈ R)

(c) c :

{x = 3 + 3r

y = 4 + 7r(r ∈ R)

(d) d :

{x = 3 + r

y = 4− 2r(r ∈ R)

(52) (a) niet evenwijdig

(b) niet evenwijdig

(c) niet evenwijdig voor elke x ∈ R

(53) (a) a :−→K =

−→A + t

−→P (t ∈ R)

b :−→L =

−→B + t

−→Q (t ∈ R)

(b) Om 15 u. bevindt het eerste schip zich in K(103,−23) en bevindt het tweede schip zich in L(−45, 18).

(c) S(15, 43)

(d) Het eerste schip komt omstreeks 20.30 u. in snijpunt S aan, het tweede schip omstreeks 20 u..

(e) Er bestaat geen gevaar voor aanvaring.

(54) a//b en c//d

(55) B(18,−20) en C(−6, 10)

(56) a : x+ y = 5 of a : 3x+ 4y = 18

Hoofdstuk 2

(1) (a) 48

(b) 40

(2) −66

(3) (a) 9, 1925 . . .; 16 en 9

(b) −3√

2, 4 en 9

(c) −12, 9 en 16

(4) (a) −→u 2 + 2−→u · −→v +−→v 2

(b) −→u 2 −−→v 2

(6) (a) waar

(b) vals

(c) waar

(d) vals

(e) vals

(8)p2

18

XV-56

(9) (b) ||−→A || =√

5 en ||−→B || = 3

(c) co(−→eA

) =

(2√5,

1√5

)en co(−→e

B) = (−1, 0)

(11) 115◦3′27, 41 . . .′′

(13) (a) ||−→u || = 17, ||−→v || = 6√

5 en ||−→w || =√

5

(b) −→eu =

(− 8

17,

15

17

), −→ev =

(− 1√

5,− 2√

5

)en −→ew =

(2√5,− 1√

5

)

(c) −→u 6⊥ −→v , −→v ⊥ −→w , −→u 6⊥ −→w(d) 125◦21′44, 86 . . .′′; 90◦ en 144◦38′15, 13 . . .′′

(14) (a) 9

(b) −7

(c) 0

(d) 706

(15) bijvoorbeeld−→B

(24 +

√507

23, 1

)

(17) −33

2

(18) (b) bijvoorbeeld

(2√5− 1,

1√5

)

(24) (a) −→u · −→v = 0 en −→u ∗ −→v = −3

(25) (a) bijvoorbeeld co−→Ra = (−b, a)

(31) co(v//

) =

(−5

2,

5

2

)

(32) a : y =3

2x+ 4

(34) (a) |−→P −−→M | = r

(c) stel parametervergelijkingen t :

{x = x1 + (y1 − b)sy = y1 − (x1 − a)s

(s ∈ R)

Cartesische vergelijking t : (x− x1)(a− x1) + (y − y1)(b− y1) = 0

XV-57

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] G.E. Andrews, The theory of partitions, Cambridge Mathematical Library, 1984.

[6] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5 Analyse, Wolters, Leuven, 1994.

[7] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 6 Analyse Deel A, Wolters, Leuven,1994.

[8] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Complexe getallen, Wolters,Leuven, 1994.

[9] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Matrices en stelsels, Wolters,Leuven, 1994.

[10] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Ruimtemeetkunde, Wolters,Leuven, 1994.

[11] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[12] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[13] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[14] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[15] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[16] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven 42, Utrecht, 2000.

[17] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[18] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[19] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[20] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6a bis, Uit-geverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[21] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6b, UitgeverijPlantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[22] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6d, UitgeverijPlantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[23] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, 2014.

[24] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077, 2007.

[25] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

xix

[26] A. Buijs, K. De Bont, Statistiek om mee te werken opgaven en uitwerkingen, Wolters-Noodhoff, 2008.

[27] J. Buysse en M. Nachtegael, Wiskundig vademecum, Pelckmans, Kapellen, 2005.

[28] P. Carette, M. Guerry, P. Theuns, C. Vanderhoeft, Brugcursus wiskunde voor humane wetenschappen, VrijeUniversiteit Brussel, 1995.

[29] J. Casteels, D. De Vos, L. Goris, R. Rottiers, J. Salaets, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Beknopteanalyse veeltermfuncties, Wolters, Leuven, 1994.

[30] J. Casteels, L. Goris, R. Rottiers, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Complexe getallen, Wolters,Leuven, 1993.

[31] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3, 4-15, 2014.

[32] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[33] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[34] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory, AoPS Incorporated, 2013.

[35] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory solutions manual, AoPS Incorporated,2013.

[36] T. Crilly, 50 inzichten wiskunde Onmisbare basiskennis, Veen Magazines, Diemen, 2009.

[37] T. Crilly, De grote vragen Wiskunde, Veen Magazines, Diemen, 2011.

[38] P.W. Daly, H. Kopka, A guide to LaTeX Document preparation for beginners and advanced users, Addison-Wesley,1992.

[39] D. De Bock, J. Deprez, D. Janssens, G. Kesselaers, R. Op de Beeck, M. Roelens, J. Roels, Wiskunde vanuittoepassingen, Acco, Leuven, 1990.

[40] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context afgeleiden, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1989.

[41] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context beschrijvende statistiek, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1987.

[42] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context exponentiele en logaritmische functies, Uitgeverij Plantyn,Deurne, 1989.

[43] C. De Cock en N.J. Schons, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962.

[44] C. De Cock en N.J. Schons, Logaritmentafels in vijf decimalen en bijtafels, De Procedure, Namen, 1962.

[45] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.



[48] M. de Gee, Wiskunde in werking, van A naar B, Epsilon Uitgaven 70, 2015.

[49] H.G. Dehling, J.N. Kalma, Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, Utrecht, 2005.

[50] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9, 2006.

[51] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 2/A, Acco Leuven, 1989.

[52] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 4/A, Acco Leuven, 1989.

[53] K. De Naeghel, Belastingverlaging en transformaties van functies, 8 oktober 2015 (aanvaard voor publicatie inUitwiskeling).

[54] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, 15 augustus 2013(aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[55] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand onlinepublishing Lulu.com, 2009.

xx

[56] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, Wiskunde & Onderwijs150, 128-133, 2012.

[57] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1, 2-7, 2014.

[58] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demandonline publishing Lulu.com, 2013.

[59] K. De Naeghel, Logaritmen en de zuurtegraad van een oplossing, 13 oktober 2015 (aanvaard voor publicatie inUitwiskeling).

[60] K. De Naeghel, MATHCOUNTS Trainer: een applicatie voor probleemoplossend denken in de klas, 8 november2015 (aanvaard voor publicatie in Uitwiskeling).

[61] K. De Naeghel, Over irrationale getallen en machten van pi, 3 april 2013 (aanvaard voor publicatie in Wiskunde& Onderwijs).

[62] K. De Naeghel, Steeds betere benadering voor het getal pi, Wiskunde & Onderwijs 149, 18-23, 2012.

[63] K. De Naeghel, Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen, Wiskunde & Onderwijs161, 38-48 en 162, 113-123, 2015.

[64] K. De Naeghel, L. Gheysens, Pythagoras en lineaire transformaties, Wiskunde & Onderwijs 160, 312-313, 2014.

[65] K. De Naeghel, A. Timperman, Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleaf voor beginners,print-on-demand online publishing Lulu.com, 2014.

[66] K. De Naeghel en A. Timperman, Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleaf voor beginners,12 januari 2015 (aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[67] K. De Naeghel en A. Timperman, Boekvoorstelling: Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleafvoor beginners, 7 november 2015 (aanvaard voor publicatie in Uitwiskeling).

[68] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014.

[69] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014.

[70] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, P. Tytgat en B. Seghers, Boekvoorstelling: SOHO Wiskunde Plantyn Lineairealgebra I en II, 11 januari 2015 (aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[71] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analytische kansrekenen(6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[72] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, K. Thaels, P. Tytgat, Delta 5/6 Ruimtemeet-kunde (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[73] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse deel 1 (6-8lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[74] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse (4 lesuren),Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[75] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[76] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[77] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[78] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[79] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel A, Wolters, Leuven, 1993.

[80] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel B, Wolters, Leuven, 1993.

[81] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49, 2007.

[82] J. Deprez, D. Janssens, Getaltheorie in het secundair onderwijs, Acco, Leuven, 1986.

[83] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, DPB Brugge, 3 maart 2010.

[84] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

xxi

[85] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[86] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Reele functies - Analyse, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[87] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Matrices - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[88] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Reele vectorruimten - Ruimtemeetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[89] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analytische meetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[90] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Complexe getallen, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[91] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Goniometrie, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[92] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Combinatieleer - Kansberekening, Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[93] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analyse (minimum leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[94] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analyse (uitgebreid leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[95] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde A, Uitgeverij Pelckmans, 1992.

[96] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[97] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[98] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Beknopte analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[99] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Matrices - Determinanten - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[100] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde B, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[101] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Analyse B, Uitgeverij Pelckmans, 1994.

[102] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[103] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.

[104] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[105] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[106] W. Dunham, The mathematical universe, John Wiley & Sons Inc., 1994.

[107] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[108] M. Du Sautoy, The music of the primes Searching to solve the greatest mystery in mathematics, HarperCollinsPublishers, 2003.

[109] B. Ernst, De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras, Epsilon Uitgaven 53, Utrecht, 2002.

[110] B. Ernst, Onmogelijke figuren, Librero, 2006.

[111] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

xxii

[112] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume one, American Mathematical Society, 1998.

[113] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume two, American Mathematical Society, 1998.

[114] M. Gardner, Sphere packing, Lewis Carroll and reversi, Cambridge University Press, 2009.

[115] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[116] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[117] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[118] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[119] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[120] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, K. Verzele, P. Weyenberg, Pienterleerboek complexe getallen en fractalen voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[121] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[122] L.J. Goldstein, D.I. Schneider, M.J. Siegel, Finite mathematics and its applications, Prentice Hall, EnglewoodSliffs, New Jersey, 1988.

[123] W. Goldstein, W. Lewin, Gek op natuurkunde Van het begin van de regenboog tot het einde van de tijd: Een reislangs de wonderen van de wetenschap, Thomas Rap, Amsterdam, 2012.

[124] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[125] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[126] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[127] P. Hammond, K. Sydsæter, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[128] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[129] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[130] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

[131] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books,2005.

[132] N.J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics,Philadelphia, 1998.

[133] P. Hoffman, De man die van getallen hield Het verhaal van Paul Erds en de zoektocht naar de waarheid van dewiskunde, Bert Bakker, Amsterdam, 1999.

[134] L. Horsten, Einig, oneindig, meer dan oneindig, Epsilon Uitgaven 56, Utrecht, 2004.

[135] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[136] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990.

[137] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[138] S.L. Jones, Mathematical nuts, Norwood Press, 1932.

[139] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[140] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[141] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[142] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

[143] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[144] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

xxiii

[145] E. Kreyszig, E.J. Norminton, Maple computer guide a self-contained introduction for advanced engineering ma-thematics, John Wiley & Sons, Inc., 2001.

[146] T. Kuijpers, C. Lybaert, SOHO Wiskunde Plantyn Groepentheorie, Plantyn, 2013.

[147] W. Ledermann en A.J. Weir, Introduction to group theory, Addison Wesley Longman, 1996.

[148] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[149] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics solutions manual, AoPS Incorporated,2008.

[150] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond, AoPS Incorporated, 2008.

[151] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond solutions manual, AoPS Incorpo-rated, 2008.

[152] J. Levy, Scheikunde van zuren en basen tot chemische polariteit, Librero, 2012.

[153] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

[154] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN978-90-357-1800-5, 2011.

[155] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[156] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[157] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[158] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[159] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015.

[160] L. Motmans, Inhaalcursus wiskunde voor het eerste kandidaatsjaar Toegepaste Economische Wetenschappen enHandelsingenieur, Limburgs Universitair Centrum, 2002.

[161] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[162] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002.

[163] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005.

[164] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[165] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86, 161-163, 1993.

[166] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1, 33-38, 1972.

[167] J.P. Ottoy, Wiskunde algebra analystische meetkunde, Universiteit Gent,

[168] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus, AoPS Incorporated, 2010.

[169] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2010.

[170] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability, AoPS Incorporated, 2007.

[171] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability manual, AoPS Incorporated, 2007.

[172] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[173] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[174] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.

[175] R. Penrose, The emperor’s new mind Concerning computers, minds and the laws of physics, Oxford UniversityPress, 1989.

[176] R. Penrose, The road to reality A complete guide to the laws of the universe, Vintage Books, London, 2005.

[177] H. Pfaltzgraff, Spijker 1 Rekenen, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

xxiv

[178] H. Pfaltzgraff, Spijker 2 Algebra, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[179] H. Pfaltzgraff, Spijker 3 Functies, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[180] H. Pfaltzgraff, Spijker 4 Differentieren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[181] H. Pfaltzgraff, Spijker 5 Integreren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[182] H. Pfaltzgraff, Spijker 6 Statistiek, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[183] H. Pfaltzgraff, Spijker 7 Goniometrie en vectoren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[184] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[185] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[186] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010.

[187] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[188] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[189] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[190] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2009.

[191] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[192] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra solutions manual, AoPS Incorpora-ted, 2008.

[193] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938.

[194] S. Singh, De oerknal De belangrijkste wetenschappelijke ontdekking ooit, De Arbeiderspers, Amsterdam, 2005.

[195] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[196] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[197] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[198] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[199] K. Stulens, Herhalingslessen wiskunde Voorbereiding tot het eerste kandidaatsjaar wiskunde-natuurkunde-informatica-kennistechnologie, Limburgs Universitair Centrum, 2000.

[200] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[201] J.P. Van Bendegem, Inleiding tot de moderne logica en wetenschapsfilosofie: een terreinverkenning, VUBPRESS,Brussel, 2001.

[202] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[203] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[204] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[205] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn, Mechelen, 2014.

[206] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[207] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 1, Springer-Verlag, 1991.

[208] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 2, Springer-Verlag, 1991.

[209] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997.

[210] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

[211] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1 uitwer-kingen en extra, praktijkgerichte vraagstukken, Wolters-Noordhoff, 2009.

[212] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

xxv

[213] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[214] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141, 443-551, 1995.

[215] H. Wussing, Geschiedenis van de wiskunde Vanaf de wetenschappelijke revolutie tot de twintigste eeuw, VeenMagazines, Diemen, 2010.

[216] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[217] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[218] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

[219] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[220] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[221] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/ .

[222] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[223] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[224] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[225] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[226] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[227] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[228] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/ .

[229] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[230] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[231] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[232] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[233] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/ .

[234] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ .

[235] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[236] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[237] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[238] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[239] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[240] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxvi

http://www.statbel.fgov.be/

http://www.amatyc.org/SML/

http://amc.maa.org/

http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

http://xxx.lanl.gov/

http://users.ugent.be/~jebossae/

http://www.carrieretijger.nl/

http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/

http://home.scarlet.be/math/

http://www.cube20.org/

http://www.koendenaeghel.be/

http://www.geogebra.org/

http://www.geogebratube.org/

http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen

http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf

http://www.leren.nl/cursus/leren_en_studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/

http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/

http://www.wiskundeolympiade.nl/

http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/

http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/

http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/

http://www.usolvit.be/

http://www.vwo.be/

http://nl.wikipedia.org/

http://en.wikipedia.org/

http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/

deel xv vectorvlak en euclidisch vlak (recto)

Documents