Densità di carica e forma geometricaF i s i c a s p e r i m e n t a l e I I

Relazione tra densità superficiale di carica e forma geometrica di un conduttore

La forza agente sulla carica “dq” contenuta nell’elemento di superficie sarà nulla

Se la carica è distribuita su di un piano “infinito”

Supponiamo adesso di tagliare in due la lastra

in quanto la distribuzione di carica è uniforme

e di asportare la parte destra

Adesso prevarranno le forze repulsive dovute alle cariche poste a sinistra del

”dq” considerato

Per cui la carica verrà sospinta verso il bordo

Quindi:

In una lastra finita la densità superficiale di carica sarà maggiore ai bordi rispetto che al centro.

Idem per il campo elettrico

Conduttori con punte aguzze

Ci attenderemo che sull’estremo di una punta aguzza la densità superficiale di

carica sia maggiore che altrove

In un conduttore all’equilibrio infatti

Φ r( ) = 14πε0

σ x( )dsr − xS

∫ = Φ0

Nella punta sono presenti principalmente le sole cariche molto vicine, per cui la densità di carica deve essere elevata, in modo

tale che il valore dell’integrale sia indipendente dal punto considerato

Dato che il campo elettrico è legato alla densità superficiale, sarà pure esso elevato

Valutazione numerica

Due sfere metalliche connesse tramite un lungo e sottilissimo filo metallico

Φ r1( ) = Φ0 =14πε0

σ x( )dsr1 −xS

∫ =14πε0

σ1x( )ds1r1 −xS1

∫ +14πε0

σ 2x( )ds2r1 −xS2

∫ +14πε0

σ 3x( )ds3r1 −xS3

∫

Φ r1( ) = Φ0 14πε0

σ1x( )ds1r1 −xS1

∫ +14πε0

σ 2x( )ds2r1 −xS2

∫ 14πε0

σ1x( )ds1r1 −xS1

∫

Analogamente

Φ r2( ) = Φ0 14πε0

σ 2x( )ds2r2 −xS2

∫

Qtot = Q1 +Q2 +Q3 Q1 +Q2

Se sono sfere:

Φ r2( ) = Φ0 14πε0

Q2

R2

Φ r1( ) = Φ0 14πε0

Q1R1

Quindi

Q1R1

=Q2

R2Le cariche totali stanno tra loro nel rapporto dei raggi

4πR12σ1

R1=4πR2

2σ 2

R2

R1σ1 = R2σ 2

R1E1 = R2E2Densità di carica e campi elettrici

stanno come l’inverso dei raggi

Il parametro geometrico che conta è il raggio di curvatura della superficie

Come si può rendere l’aria conduttrice

Normalmente l’aria è un buon isolante

Le molecole sono neutre a temperatura ordinaria

Normalmente l’elettrone si ricombina con lo ione positivo

Se è presente un campo elettrico

L’elettrone verrà accelerato dal campo

Verrà allontanato dallo ione

Gli verrà fornita energia

Libero cammino medio λ U = e ⋅E ⋅ λ

Se U >Uionizzazione

l’elettrone, urtando una molecola neutra, potrà estrarre

da essa un suo elettrone

Gli elettroni liberi saranno adesso due, ........

L’aria diviene conduttrice

Per quale valore del campo elettrico ciò avviene?

occorre valutare il libero cammino medio

pV = nRT

R 8.31 J/mole Ko p ≈ 105N/m2n = 1

Vmole 25 litri

cubetto di lato l 3.5 ⋅10−9m

U = e ⋅E ⋅ λ ≈ 1÷10 eV

vmolecola =VmoleNA

25 ⋅10−3

6 ⋅1023 4 ⋅10−26m3

Quale sarà la probabilità che l’elettrone urti la molecola?

π Smolecolal2

1.5 ⋅10−10( )23.5 ⋅10−9( )2

≈ 1.8 ⋅10−3

Quanti cubetti occorrerà impilare per avere oscurata metà dell’area superficiale?

12= π ⋅η η =

12π

= 270

λ = η ⋅ l 270 ⋅ 3.5 ⋅10−9m ≈ 10−6m

U = e ⋅E ⋅ λ ≈ 1÷10 eV E ≈1÷10λ

≈ 106 ÷107V/m

Per campi elettrici di tale valore l’aria cessa di essere un isolante

e diviene un conduttore

È difficile ottenere simili campi elettrici?

Una semplice applicazione: il

parafulmine