departamento de informática universidad técnica federico santa maría
DESCRIPTION
Econometría. Capitulo 5 Modelos Pronósticos Ingenuos y Adaptivos. Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María. Métodos Ingenuos. Definición y Notación - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Departamento de InformáticaUniversidad Técnica Federico Santa María
Departamento de InformáticaUniversidad Técnica Federico Santa María
EconometríaEconometríaEconometríaEconometría
Capitulo 5
Modelos Pronósticos
Ingenuos y Adaptivos
Héctor Allende O. 2
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Definición y NotaciónUna serie cronólogica o serie de tiempo es una colección de observaciones de un cierto fenómeno hechas secuencialmente en el tiempo (altura; espacio; etc).
Denotaremos una serie de tiempo mediante por la siguientesecuencia: x(t1) , x(t2) , ... , x(tn)
donde x(ti) es el valor tomado por el proceso estocástico en el instante ti .
Habitualmente supondremos que la serie es equiespaciada,
es decir, que existe tal que
IRh
httverificaseNii ii 1 ) : (
Héctor Allende O. 3
Entonces S.p.d.g. podemos considerar la serie
la cual también se puede denotar
Ejemplos de S.T. 1. Series Físicas
Meteorología: agua caída, temperatura máxima, velocidad del viento.
Geofísica: series sismológica, series de temp.volcánica
Medicina: electrocardiogramas, electroencefalogramas.
Química: viscosidad de un proceso, temperatura de un proceso
Telecomunicaciones: series de señales.
Astronomía: brillo de una estrella, actividad solar.
)(....,, )2( ),1( nxxx
nn xxxx .....,, , ,121
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 4
2. Series Económicas Precios de acciones, precio del cobre en Londres, índice de
cesantía, IPC; ADR; PIB;
3. Series de Marketing Series de ventas, gastos, utilidades, demanda, oferta.
4. Series Demográficas Tasa de natalidad, tasa de mortalidad, censos poblacionales.
5. Series de Energia Demanda de energia; Actividad de Energia Solar; etc.
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 5
Objetivos del Estudio de Series Cronológicas
1. Modelación: Encontrar un modelo estadístico que explique el
comportamiento de la serie (y que explique en lo posible el
fenómeno que originó la serie).
2. Predicción: Predicción de valores futuros de la serie dando, en
lo posible, límites de confianza.
MetodologíaEtapa 1: análisis exploratorio de datos Se grafica la serie: t en la abscisa, x(t) en la ordenada.
Esto debe hacerse siempre, independiente del nivel de
simplecidad de los datos o de los modelos que se emplean
posteriormente.
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 6
a) Permite detectar posibles “outliers”
Los outliers son observaciones que se alejan fuertemente del modelo estocástico subyacente ; ya sea por errores de medición o porque en el fenómeno en estudio presentó un comportamiento absolutamente inusual.
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 7
Observaciones: 1) Si se sospecha que una observación es un outlier, se debe
reunir información adicional desde fuera del observador, sobre posibles factores que afectaron el proceso. De verificarse que se trata de una observación aberrante y mostrar la serie un comportamiento similar antes y después del outlier conviene pre-procesar la seríe usando por ejemplo un filtro de medias, obteniendosé un nueva seríe.
2) En caso contrario ( huelgas; actos de terrorismo; terremotos etc) es necesario usar métodos o tecnicas especiales tales como el análisis de intervenciones.
1) Otra alternativa es utilizar procedimientos robustos en el modelado de la serie cronológica.
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 8
b) Permite determinar tendencias
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 9
c) Permite determinar variaciones cíclicas o estacionales.
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 10
Modelos Ingenuos
Antes de recurrir a los métodos más sofisticados uno debe preguntarse si el problema en cuestión realmente lo justifica o bien si bastaria con usar técnicas baratas.
Esto dependerá esencialmente de la importancia de las decisiones que se tomarán en base al modelo y sus predicciones ( Corto largo; o mediano plazo).
Modelos a) x(t) = T(t)+E(t)+A(t) aditivo
b) x(t) = T(t) E(t) A(t)multiplicativo
c) x(t) = T(t) E(t) + A(t) mixto
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 11
T: Tendencia de la serie Representa la dirección predominante de la serie,
es decir su comportamiento promedio.
E: Variación estacional Se caracteriza por períodos o ciclos de la serie.
A: variaciones accidentales. Se caracteriza cambios irregulares ya sean de
tendencia variancia o ciclos de la serie). Modelos
x(t) = T(t)*E(t)*A(t)
lnx(t) = lnT(t)+lnE(t)+lnA(t)
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 12
Estimación de la Tendenciaa) Regresión Mediante inspección gráfica se decide cual curva ajustar.
i) T(t) = a + bt (recta)ii) T(t) = a ebt (exponencial)iii) T(t) = a + bt + ct2 (parábola)
etc.b) Medias MóvilesLa idea es remover el efecto estacional antes de
estimar la tendencia.
(anual)
La estimación de T(t) se anotará
12
)6(21
)5()4()5()6(21
)(
txtxtxtxtx
tZ
)(ˆ tT
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 13
Estimación de la Variación EstacionalSi se utilizo regresión a x(t) para estimar tendencia se calcula la serie residual W(t)
W(t) Es una serie en que sólo deberían manifestarse los efectos
estacionales y accidentales. Si se aplicó medias móviles se tendrá que, además de la serie
W(t) se puede estimar mediante
también será una serie en que sólo se encontrará
presente efectos estacionales y accidentales.
Aditivo) Caso ( )(ˆ)()(ˆ tTtxtW
Mixto) Caso ( )(ˆ)(
)(ˆ tT
txtW
Mixto) ( )(
)((t)W
~ ; Aditivo) ( )()()(
~
tz
txtztxtW
:)(~tW
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 14
En cualquiera de estos casos denotaremos mediante w(t) la serie residual en que se han removido los efectos de la
tendencia.
Caso aditivo Caso mixto
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 15
Para estimar E(t) comenzaremos podemos considerar
e(h) = promedio de los valores de w en el mes h.
Como es razonable esperamos que el promedio de las
estimaciones sea 0 en el caso aditivo y 1 en el mixto, estimamos E(h) mediante
Para elegir entre ambos modelos se suele utilizar el gráfico de la serie residual.
En caso de series de Índices se sugiere usar modelos mixtos.
mensual serie suponiendo )(12
1 12
1
h
hee
mixto Caso ; )1()()(ˆ
Aditivo Caso ; )()(ˆ
ehehE
ehehE
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 16
Formulacion General del Problema de Predicción La predicción correspondiente, que dependerá del
modelo elegido y, en general, de n y k, se anotará
k es el horizonte de predicción o número de pasos adelante que se está prediciendo y n el origen de la predicción.
Una vez conocido x(n+k) podemos calcular el error de predicción correspondiente:
Mixto Caso )(ˆ)(ˆ)(ˆ
Aditivo Caso )(ˆ)(ˆ)(ˆ
knEknTkx
knEknTkx
n
n
)(ˆ)()( kxknxke nn
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
Héctor Allende O. 17
Ejemplo NuméricoIndíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País
Se toma t = 1 : 1er Trimestre 1977. Se grafica la serie:
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
1977 1978 1979 1980 19811er Trimestre 120 130 140 150 1802do Trimestre 90 110 120 140 1803er Trimestre 90 110 110 140 1704to Trimestre 100 130 150 170 190
Héctor Allende O. 18
Se suaviza la serie obteniéndose
Se grafica la serie suavizada:
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
1977 1978 1979 1980 19811er Trimestre 110 125 141,25 171,252do Trimestre 116,25 127,5 147,5 177,53er Trimestre 101,25 121,25 131,25 153,754to Trimestre 105 123,75 135 162,5
Héctor Allende O. 19
Se efectúa una regresión lineal con esta serie:
(r2 = 0.96)
Como se trata de un índice usamos el modelo mixto.
Calculamos la serie residual usando
de donde
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
ttT 71.465.84)(ˆ
)()(
)(tztx
tw
1977 1978 1979 1980 19811er Trimestre 1,18 1,12 1,06 1,052do Trimestre 0,95 0,94 0,95 1,013er Trimestre 0,89 0,91 0,84 0,914to Trimestre 0,95 1,05 1,11 1,05
04.1)4(ˆ;89.0)3(ˆ;96.0)2(ˆ;11.1)1(ˆ EEEE
Héctor Allende O. 20
Las predicciones para 1982 serán :
1er Trimestre :
2do Trimestre :
3er Trimestre :
4to Trimestre :
Métodos IngenuosMétodos Ingenuos
75.203)1(ˆ)21(ˆ)1(ˆ20 ETx
74.180)2(ˆ)22(ˆ)2(ˆ20 ETx
75.171)3(ˆ)23(ˆ)3(ˆ20 ETx
60.205)4(ˆ)24(ˆ)4(ˆ20 ETx
Héctor Allende O. 21
Introducción
Una de las críticas que se les hace a los métodos ingenuos es que no se adaptan a lo largo del tiempo en forma natural : tanto la tendencia como la estacionalidad, se estiman una sóla vez y las estimaciones deben ser actualizadas si se obtienen nuevas observaciones.
Una familia de modelos que aparece hacia fines de la década de los años 60, intenta solucionar este problema. Se les conoce técnicas de suavizamiento exponencial, y se constituyó en un avance en el modelado de series cronológicas.
Una de las principales características de estas técnicas es que son “baratas”. Debido a esto, aún siguen siendo utilizadas en ciertas actividades de pronóstico donde es necesario efectuar predicciones rutinarias (en el corto plazo) de ventas, control de inventario o planificación de la producción. Aplicar técnicas más sofisticadas en este caso no se justifica.
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
Héctor Allende O. 22
Suavizamiento Exponencial Simple
En este caso se supone que la serie está compuesta por un nivel (constante) y una componente residual (impredecible)Es decir, la serie se supone localmente constante la mejor predicción de X(n+h) será la estimación que tengamos del nivel en el instante h.Luego parece razonable estimar el nivel como promedio ponderado de las observaciones dando un peso mayor a las últimas observaciones.
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento Exponencial Exponencial
ntosuavizamie de constante :
10 )1()1()( )(
nxnxnx
Héctor Allende O. 23
Observaciones:
1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las estimaciones al considerar nuevos datos.
2) Como elegir la constante de suavizamiento volveremos más adelante.
3) Predicciones:
4) A partir de la ecuación 3) vemos que al obtener nuevos datos de la serie las predicciones se actualizan mediante:
5) Se puede comprobar que es el valor real z que minimiza la función
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
)(),(ˆ nxhnx
)(ˆ)()(),(ˆ 11 knxknxhknx
)1,(ˆ nx
0
2 )1(])([)(j
jzjnxzf
Héctor Allende O. 24
Método de Holt - Winters
La versión anterior es la más simple de los llamados modelos de suavizamiento exponencial. Se han desarrollado una serie de variantes, las cuales consideran la serie constituida localmente a partir de un nivel de tendencia y (eventualmente) por un factor de estacionalidad, además de un residuo impredecible aditivo.Posiblemente la extensión más natural del suavizamiento exponencial simple sean los modelos de Brown – AEG, los el modelos de Holt y Winters entre otros que veremos a continuación.
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
Héctor Allende O. 25
Caso no estacional
Supogamos que la serie se comporta localmente como la suma de un nivel y una tendencia lineal, más de un residuo impredecible.
Anotando y como las estimaciones del nivel y de la pendiente de la recta (de la tendencia lineal) en el instante t, una propuesta razonable es tomar.
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
10 )1( )1()1()( )(
10 )1()1( )1()()(
CtmCtxtxCtm
AtmtxAtxAtx
)(tx )(tm
Héctor Allende O. 26
Observaciones: (Caso no estacional)
1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las estimaciones al considerar nuevos datos.
2) Las estimaciones del nivel y de la pendiente en el instante “t”
se estiman como un promedio ponderado de la estimación
anterior y la estimación sugerida apartir del nuevo dato.
3) Para iniciar el algoritmo recursivo se propone tomar.
4) Predicciones: Siendo consecuentes con el modelo se propone
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
)1()2()2(
)2()2(
xxm
xx
hnmnxhnx )()(),(ˆ
Héctor Allende O. 27
Modelo de Holt - Winters (Multiplicativo)
A las suposiciones del modelo anterior le agregamos un factor estacional de período s, multiplicativo (respecto de la tendencia) se interpreta como un nivel desestacionalizado.Anotando a la estimacióm de la componente estacional en el instante t parece razonable tomar:
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
10 )(ˆ )1()(
)( )(ˆ
10 )1( )1()1()( )(
10 )1()1( )1()(ˆ
)( )(
DstEDtx
txDtE
CtmCtxtxCtm
AtmtxAstE
txAtx
)(tx
)(ˆ tE
Héctor Allende O. 28
Modelo de Holt – Winters (Aditivo)
El metodo anterior se adapta trivialmente al caso en que la estacionalidad es aditiva con respecto de la tendencia, en lugar de
ser multiplicativa
Modelos de Modelos de Suavizamiento Suavizamiento
ExponencialExponencial
10 )(ˆ )1()]()([ )(ˆ
10 )1( )1()1()( )(
10 )]1()1()[1()](ˆ)([ )(
DstEDtxtxDtE
CtmCtxtxCtm
AtmtxAstEtxAtx
Héctor Allende O. 29
Observaciones: (Caso Estacional)1) Las formulas modifican las estimaciones
considerando nuevos datos.
La estimación del nivel (t-1): junto a la estimación de la pendiente sugerirán un nivel en el instante t. Esta estimación se ve modificada al considerar la nueva observación.
La estimación en el instante (t-1) de la pendiente . Una nueva estimación de la pendiente sería en el anterior y la estimación sugerida por el valor tomado por la serie en t.
La estimación en el instante (t-s) de la estacionalidad es Dado una nueva estimación de la estacionalidad sería . La estacionalidad en t se estima como promedio ponderado de estimación anterior y la sugerida por el valor tomado por la serie en el instante t.
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
)1( tx)1()1( tmtx
)(ˆ stE
)1( tm
)1( tm)1()( txtx
)1( tx)(/)( txtx
Héctor Allende O. 30
2) Inicialización: Una manera de resolver el problema de inicialización en el modelo de H-W multiplicativo es
tomando
Para el caso aditivo la estimación de la componte estacional se modifica por
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
0)(con y )(1
)(
,2,1 )(
)()(ˆ
1
1
smkxs
sx
sjkx
jxjE
s
k
s
k
s
k
kxjxjE1
)()()(ˆ
Héctor Allende O. 31
3) Predicciones: Siendo consecuentes con las suposiciones hechas para el modelo multiplicativo se toma
Análogamente para el modelo aditivo se toma
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
ssshshnEhnmnxhnx
shshnEhnmnxhnx
2,,2,1,)2(ˆ])()([),(ˆ
,,2,1,)(ˆ])()([),(ˆ
ssshshnEhnmnxhnx
shshnEhnmnxhnx
2,,2,1,)2(ˆ)()(),(ˆ
,,2,1,)(ˆ)()(),(ˆ
Héctor Allende O. 32
Determinación de las constantes de suavizamiento Una alternativa es elegir de acuerdo a las
características particulares que se atribuye a las componentes
de la serie.
Si , las predicciones dan más importancia a observaciones pasadas que a las presentes.
Inversamente, si , las prediccionesdan menor importancia al pasado y más importancia al presente de la serie.
En el caso de suavizamiento exponencial simple:Si la serie varía lentamente (valor típico
0.3)En cambio si la serie varía bruscamente
(valor típico 0.7)
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
0,,, DCA
DCA ,,,
1,,, DCA
01
Héctor Allende O. 33
Otro método más objetivo es elegir que mejor habrían predicho los valores conocidos de la serie.
donde k se elige lo suficientemente grande como para que el efecto de inicialización del proceso sea despreciable.
Al estimar numéricamente se pierde la simplicidad de los métodos de suavizamiento exponencial.
Como esta es su carácteristica más importante, si se está dispuesto ha resolver el problema de minimización correspondiente entonces más vale usar métodos más sofisticados como por ejemplo: Box y Jenkins o ANN
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
DCA y ,
2
11,0,,)1,1(ˆ)(
3
n
ktDCAtxtxMin
DCA y ,
Héctor Allende O. 34
Ejemplo No1.
Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País
Usando el método de Holtz y Winter prediga los valores de los índices trimestrales para 2002.
Considere A=0,30 B=0,50 y D=0,30
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
1997 1998 1999 2000 20011er Trimestre 120 130 140 150 1802do Trimestre 90 110 120 140 1803er Trimestre 90 110 110 140 1704to Trimestre 100 130 150 170 190
Héctor Allende O. 35
Debido a que es una serie de índices el modelo a ocupar debe ser el modelo multiplicativo.
Inicialización del método
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
0)4( m
0,1)4(ˆ9,0)3(ˆ)2(ˆ2,1)1(ˆ100
)()(ˆ EEEE
jxjE
4
1
)(41
)4(k
kxx
Héctor Allende O. 36
Formulas de actualización (1/3)
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
22,12,17,05,102
13030,0)1(ˆ7,0
)()5(
3,0)5(ˆ
25,105,0]1005,102[5,0)4(5,0)]4()5([5,0)5(
5,102]0100[7,02,1
1303,0)]4()4([7,0
)1(ˆ)5(
3,0)5(
Ekx
xE
mxxm
mxE
xx
932,09,07,029,109
11030,0)6(ˆ
02,425,15,0]5,10229,109[5,0)6(
29,109]25,15,102[7,09,0
1103,0)6(
E
m
x
915,09,07,098,115
11030,0)7(ˆ
36,502,45,0]29,10898,115[5,0)7(
98,115]02,429,109[7,09,0
1103,0)7(
E
m
x
Héctor Allende O. 37
Formulas de actualización (2/3)
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
19,122,17,085,125
14030,0)9(ˆ
28,466,65,0]94,12385,125[5,0)9(
85,125]66,694,123[7,022,1
1403,0)9(
E
m
x
932,0932,07,072,129
12030,0)10(ˆ
36,07,428,45,0]85,12572,129[5,0)10(
72,129]28,485,125[7,0932,0
1203,0)10(
E
m
x
015,10,17,094,123
13030,0)8(ˆ
66,636,55,0]98,11594,123[5,0)8(
94,123]36,598,115[7,00,1
1303,0)8(
E
m
x
Héctor Allende O. 38
Formulas de actualización (3/3)
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
03,1)20(ˆ;24,8)20(;07,192)20(
89,0)19(ˆ;62,10)19(;22,186)19(
97,0)18(ˆ;94,8)18(;92,173)18(
14,1)17(ˆ;44,5)17(;47,161)17(
05,1)16(ˆ;79,6)16(;38,157)16(
876,0)15(ˆ;96,5)15(;28,149)15(
946,0)14(ˆ;96,3)14(;26,142)14(
16,1)13(ˆ;19,2)13(;52,136)13(
04,1)12(ˆ;44,4)12(;57.136)12(
895,0)11(ˆ;04,2)11(;72,129)11(
Emx
Emx
Emx
Emx
Emx
Emx
Emx
Emx
Emx
Emx
Héctor Allende O. 39
PrediccionesLas predicciones para 2002 son las siguientes:
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
35,22814,1)24,807,192()17(ˆ]1)20()20([)1,20(ˆ Emxx
29,20297,0)224,807,192()18(ˆ]2)20()20([)2,20(ˆ Emxx
94,19289,0)324,807,192()19(ˆ]3)20()20([)3,20(ˆ Emxx
78,23103,1)424,807,192()20(ˆ]4)20()20([)4,20(ˆ Emxx
Predicciones Método Ingenuo Método de Holtz-Winter203,75 228,35180,74 202,29171,75 192,94205,6 231,78
)1,20(x̂)2,20(x̂)3,20(x̂)4,20(x̂
Héctor Allende O. 40
Es posible mejorar los valores iniciales tomando:
donde : promedio del 1er año : promedio del 2do año
Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial
4
1
)(41
)1(k
kxx
][41
)1( 12 yym
21
)4()(21
)(ˆyjx
yjx
jE 4,3,2,1j
1y
2y