departamento de informática universidad técnica federico santa maría

Departamento de InformáticaUniversidad Técnica Federico Santa María

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EconometríaEconometríaEconometríaEconometría

Capitulo II

Héctor Allende O.

Estructura del Estructura del CursoCursoEstructura del Estructura del CursoCurso

1.- Introducción.2.- Modelos de Asociación (Regresión) 2.1 Construcción de Modelos de Regresión 2.2 Verificación de Supuestos: Linealidad, Normalidad, Homocedasticidad, Independencia, etc 2.3 Contraste de Hipótesis y Estimación, en modelos de regresión.3.- Modelos de clasificación 3.1 Árboles de Clasificación 3.2 Clasificación Bayesiana 3.3 Clasificación no parámetrica4.- Modelos Estadísticos de Series de Tiempo 4.1 Suavizamiento Exponencial, Modelos Adaptivos 4.2 Modelos ARIMA, GARCH, ARMAX, ARFIMA, etc5.- Modelos de Regresión libre ( Redes Neuronales, Series de Tiempo6.-Aplicaciones y uso de software

Héctor Allende O. 3

Modelo de Regresión

Modelo de Regresión Modelo Explicativo Estático

Supuestos básicos

yij, uij : variables aleatorias dependiente ; 0, 1: Parámetros y

xi : variable explicativa determinística.

Supuestos distribucionales.

1. E[uij]=0.

2. Var[uij]=2, cte independiente de x. Perturbación es homocedástica.

3. uijN(0,2).

4. E[uij ukh]=0, (i,j)(k,h)

) lEstructura (Hipótesis 10 ijiij uxy


1. 1- E[yij / xi]= 2- Var[yij]= 2.

2. 3 - f (yij / xi) es normal 4- Las observaciones son independientes entre

si

1.2 Estimación de parámetros.

1.2.1 Método de Máxima Verosimilitud. Función de Verosimilitud.

iiiiijiij xxyExyuxy 101010ˆˆˆˆˆ

.ˆ previstoValor observadoValor Residuo iijij yye

n

iij

iijij

yL

xyExpy

1

210

210

2102

210

,,,log,,

21

2

1,,,

ix10


Derivando L( ) con respecto a los parámetros :

y

1.2.2 Método de Mínimos Cuadrados.

21

10

,ˆ

ˆˆ

xS

yxCov

xy

2ˆ

,,

22

2210

210

,

210

10

n

eS

exyM

xyMinLMaximizar

ijR

ijiij

iij

n

eij2

2̂

Héctor Allende O.

))(,(0 00

^

VN

Distribución de los Parámetros

))(,(1 11

^

VN


1.3.1 Propiedades de

1̂

2

2

1

11

ˆ

ˆ

xnSVar

E

2

2

11 ,RnS

N

x

R

Sn

StIC

ˆˆ

confianza de Intervalos

2111

1.3 Propiedades de los estimadores.



0̂

2

2

20

00

1ˆ

ˆ

xnS

x

nVar

E

2

2

200

1,

RnS

x

nN

2

2

2101 1ˆ

ˆ


x

R

Sx

n

StIC



2ˆRS

22ˆ

ˆ4

2

22

nSVar

SE

R

R

2

22

2

n

ije

2

2

2

221

2

1

ˆ2;

ˆ


RR SnSIC


Prueba de hipótesis.

Estadístico

Para la región crítica P(F(1,n-2) C )=1-, se rechaza H0 para F0>C.

0: v/s0: 1110 HH

2

2

2

ˆExplicadaVariación

ˆExplicada noVariación

TotalVariación Sea

yynVE

yyVNE

yyVT

ii

iij

i jij

22

221

0 ˆˆ

ˆ

RR

x

S

VE

S

nSF

..2,1 lgnF

1.4 Contraste de regresión.


Prueba de hipótesis.

Estadístico de Prueba:

Para la región crítica P(F(d-2,n-d) C )=1-, se rechaza H0 para F0>C.

i101i100 x: v/sx: iijiij xyEHxyEHSean

22

212

0 ˆ

ˆ

S

SF ..,2 lgdndF

ˆ :linealidad de hipótesis lasin ón perturbaci la de Varianza

2

ˆˆ :rectas lasy medias las entre Varianza

2

22

2

212

dn

yyS

d-

yynS

iij

iii

1.5 Contraste de linealidad.

Héctor Allende O.

Transformaciones

TransformacionesSea yi = h ( xi ) con i = 1,...,n

1. Lineales yi = axi + b

y = ax + bSy = a Sx

2. No lineales yi = ln xi = h( xi )

y = h(x) + h”(x) SX2

Sy2 Sx

2 h’ (x)2

i.e. y = ln x - ( Sx2 / x2 )

Sy2 ( Sx

2 / x2 ) = CV 2

2

1

2

1

Héctor Allende O.

Relaciones LinealizablesRelaciones Linealizables

1. y = K x ln y = a0 + a1 ln x2. y = K ( / x ) y = a0 a1 x-1

3. y = K ex ln y = a0 + a1 x

4. y = K e-/x ln y = a0 + a1 x-1

5. yt = K + cos t y = a0 + a1 xt

siendo xt = cos t

6. y() = y - 1 = a0 + a1 x

y-1 dy = a1 w = dy dx dx

ln w = ln a1 + ( 1 - ) ln y

Héctor Allende O.

Ejemplo de Regresión SimpleEjemplo de Regresión Simple

t 0 1 2 3 4 5 6

V(t) 30 60 46 32 10 4 1720 40 26 14 8

20 12

V(t) 25 40 46 29 12 6 17

Sea xt = sen t yt = V(t)

Luego y(t) = a + b xt + ut

t

ttbaba

bxayminbaQmin 2

,,)(),(

Héctor Allende O.

3,25ˆˆ xbya 202 xS

yxb

),cov(ˆ

12762 yS 45222 ,)ˆ( tt yy

% de Ajuste del Modelo =

%%,ˆ

981009801 2

2

y

t

S

e


Tiene por objeto contrastar a posteriori las hipótesis de linealidad del modelo. Es especialmente importante cuando se tiene un solo valor de la variable y para cada valor de la variable de control x.

El analisis de los residuos se utiliza para verificar:

•Si su distribución es aproximadamente normal.•Si su variabilidad es constante y no depende de x.•Si presentan evidencia de una relación no lineal.•Si existen observaciones atípicas o hetereogéneas.

1.6 Análisis de residuos.


Si el diagrama de dispersión de las dos variables a investigar presenta claro indicios de no linealidad, se tiene que acudir a transformar las variables

Transformaciones Box-Cox (1964).Esta familia es útil para conseguir linealidad cuando la relación es monótona.

Estimación de máxima verosimilitud para ( ).Suponga m=0 y un tal que transforme la variable en normal.

1.7 Transformaciones en regresión simple.

0 ln

0 ,0 1

λmx

-m, xmλmx

x

2

222

1

1

2

1

1

2

1ln1ln

22ln

2,,

2

12

2

ii

x

xx

nnL

xexf

Héctor Allende O.

Para obtener el máximo en L(,2 ,) se fija :

Sea la media geométrica de las observaciones:

Definiendo

Se obtiene

Donde VNE() es la variabilidad no explicada en una regresión de Z() sobre x.

11ˆ

1ˆ

22

ixn

x

xn

x

ixn

x ln1

ln

xxz

x

xz ln0 ;

11

VNEn

L

zzn

L i

ln2

ln2

2

Héctor Allende O.

1.7.2 Transformaciones para conseguir homocedasticidad.

Luego si deseamos que Sz= k constante. Entonces debe verificarse:

Suponga que la relación observada es . Entonces:

1.7.3 Consecuencia de las transformaciones.

Sea la transformación El estimador E[y/x], será sesgado con sesgo proporcional a

lavarianza de la perturbación.

yhSSyhz yz ' ,

yS

kyh '

yS y

1' ykydykyh

uaxy


1.8.1 Estimaciones de las medias condicionales.

Intervalo de confianza para las medias.

Estimaciones de las medias condicionales.

Se desea prever el valor de y para x=xh. Intuitivamente

Criterio de predicción. Error cuadrático medio mínimo

1.8 Predicción.

222

2

10

1

1ˆ

ˆ ˆˆ

ˆˆ

hh

ii

hh

hhhh

hh

xxn

xxn

yVar

xyEmxyE

xxyy

hhRhh StymIC ˆˆ)( 2

hh xy 10ˆˆˆ

22 ~~ yxyExyVarxyyE

Héctor Allende O.

Intervalo de Confianza

Intervalo de Confianza

para las observaciones

Coeficiente de Correlación.

Coeficiente de determinación:

Coeficiente de correlación:

Relación entre y r :

]1ˆˆ[)( 2 hhRhh StyyI

2

2

2 ˆ

yy

yy

VTVE

Ri

i

yxSSyxCov

rR,2 r

2ˆRS

21

2

2ˆ21

y

R

nSSn

r

Héctor Allende O.

1.11 Inferencia sobre el coeficiente de correlación.

Utilizando la transformación de Fisher:

Si (x,y) es una normal bivariada, entonces Z es

Donde es el verdadero coeficiente de correlación de la población.

1. La prueba =0 1 =0. 2.

r

rZ

1

1ln

2

1

221

2

r

nrtn

3

1);

121

1ln

2

1)

n

ZVariin

ZEi

),( ZVZEN

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