deret fourier
TRANSCRIPT
-
5/24/2018 Deret Fourier
1/16
1
Matematika Teknik II
MAKALAHDERET FOURIER
Disusun oleh
NAMA : DWI UTOMO
NPM : 1205 2000 5
PRODI TEKNIK MESIN / FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS RATU SAMBAN
TAHUN 2014
-
5/24/2018 Deret Fourier
2/16
2
Matematika Teknik II
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr. Wb
Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah SWT yang telah memberikan
rahmat dan hidayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan
makalah ini.
Dan tidak lupa kami ucapkan terimakasih kepada seluruh pihak yang berjasa
dalam penyusunan makalah ini. Kami merasa bahwa makalah ini masih terlampau
jauh dari kata sempurna baik dalam penyusunan dan penyajiannya. Oleh sebab
itu, dengan hati terbuka kami menerima segala bentuk saran dan kritik yang
bersifat membangun dari semua pihak, demi perbaikan dan kemajuan dalam
rangka penulisan makalah selanjutnya. Kami berharap makalah ini dapat
bermanfaat dalam hal agama, nusa bangsa, bagi generasi yang akan datang,
khususnya yang membaca.
Dengan terselesainya makalah ini kami mengucapkan Alhamdulillah Hirobbil
Alamin.
Wassalamualaikum Wr. Wb.
Arga Makmur , 18 JUNI 2014
Penyusun
DWI UTOMO
-
5/24/2018 Deret Fourier
3/16
3
Matematika Teknik II
DAFTAR ISIHALAMAN JUDUL .................................................................................... i
KATA PENGANTAR .................................................................................... ii
DAFTAR ISI ................................................................................................... iiiBAB I PENDAHULUAN ............................................................................ 1
1.1. Latar Belakang .................................................................................... 11.2. Rumusan masalah .............................................................................. 11.3. Tujuan ................................................................................................. 1
BAB II PEMBAHASAN ............................................................................. 22.1.DERET FOURIER ................................................................................. 2
2.2. BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER .............................. 4
2.3. FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL ............................................ 5
a. Pengertian ................................................................................................... 5
b. Hubungan fungsi genap/ganjil dengan deret Fourier ................................ 62.4. DERET FOURIER YANG PERIODENYA TIDAK 2 persegi .............. 9
BAB III PENUTUP ...................................................................................... 123.1. Kesimpulan .............................................................................................. 12
3.2. Saran ......................................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 13
-
5/24/2018 Deret Fourier
4/16
4
Matematika Teknik II
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar BelakangSuatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang
tersusun atas banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus,
dimana jumlah superposisi dari semua gelombang penyusunnya membentuk
getaran atau osilasi tersebut. Bentuk getaran atau osilasi di dalam fisika
banyak macamnya, misalnya vibrasi dari garpu tala, getaran atau ayunan dari
bandul, gelombang air, getaran dari sistem benda pegas, gelombang bunyi,
arus listrik, dan lain sebagainya. Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang
penyusunnya dinamakan Deret Fourier. Setiap gelombang penyusun
mempunyai amplitudo yang dinamakan Koefisien Fourier. Pada akhir bab ini
dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier. Setelah mengikuti kuliah ini
mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret Fourier, melakukan
penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier, dan dapat
memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil.
1.2. Rumusan MasalahTeknikp penghitungan menggunakan rumus deret fourier sangat
diperlukan untuk mendapatkan hasil yang sesuai dengan harapan. Hal ini
harus dimulai dari awal, yaitu dimulai dari pembacaan masalah yang ada
pada soal-soal.
1.3. TujuanDalam penyusunan makalah ini, kami mempunyai beberapa tujuan. Yaitu:
1. Memberikan informasi mengenai DERET FOURIER.
2. Mengajak para pembaca agar saling bertukar fikiran tentang materiDERET
FOURIER
3. Agar dapat mengetahui rumus atau penghitungan dari DERET FOURIER
-
5/24/2018 Deret Fourier
5/16
5
Matematika Teknik II
BAB II
PEMBAHASAN
2.1.DERET FOURIER
Deret Fourier yaitu deret yang suku-sukunya adalah periodik. Karena
fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik maka deret yang suku-sukunya
fungsi trigonometri, terutama sinus dan cosinus dapat disebut deret Fourier.
Dalam banyak hal deret Fourier ini lebih bermanfaat dari pada deret pangkat yang
telah kita pelajari, terutama untuk kasus-kasus yang berhubungan dengan gerak
periodik seperti vibrasi atau oscilasi (getaran periodik) maupun gerak gelombang
yang dideskripsikan oleh fungsi sinus dan atau cosinus.
Bentuk umum deret Fourier adalah :
f (x) = a0+
~
1n
nn nxsinbnxcosa (2-1)
dengan ao=
dxf(x)1
;
dxnxcosf(x)1
an ;
dxnxsinf(x)1
bn
Harga koefisien Fourier a0; andan bntersebut di atas diperoleh melalui langkah-
langkah yang dapat dilihat pada lampiran.
(Dengan memperhatikan bentuk umum deret Fourier tersebut, maka dapat dengan
Contoh :
1 untuk 0 < x < 1.
Jawab:
-3 -2 -
2 3 4 4o
-
5/24/2018 Deret Fourier
6/16
6
Matematika Teknik II
Pernyataan f(x) pada soal di atas dapat ditulis: f(x) = {0x,0
x0,1
ao=
dxf(x)
1=
0
0
dx1dx01
=
0x
1=
1
= 1
dxnxcosf(x)1
an =
0
0
dxnxcos1.dxnxcos0.1
=
0
dxnxcos1
=
0
nxsinn
1.
1= 0
dxnxsinf(x)1
bn =
0
0
dxnxsin1.dxnxsin0.1
=
0
dxnxsin1
=
0
nxcosn
1.
1
Untuk n ganjil, maka : bn=n
2
Untuk n genap, maka: bn= 0
Deret Fourier bentuk umum:
f (x) = a0+
~
1n
nn nxsinbnxcosa
= + a1 cos x + a2cos 2x + a3cos 3 x + a4cos 4 x . . . + b1sin x + b2
sin 2x + b3sin 3x + . . .
= +
2sin x +
3
2sin 3x +
5
2sin 5x . .. . . . . . . .
= +
2
.......
7
7xsin
5
5xsin
3
3xsin
1
xsin (2-2)
-
5/24/2018 Deret Fourier
7/16
7
Matematika Teknik II
2.2. BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER
Ingat bahwa sin dan cos real, dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat komplek
menurut formula:
2
eenxcos
i2
eenxsin
inxinx
inxinx
(3-1)
Jika (3-1) itu kita substitusikan pada deret fourier (2-2) maka diperoleh deret
fourier bentuk kompleks. Ini merupakan cara tidak langsung dalam menentukan
deret Fourier bentuk komplek, yaitu dengan cara membuat deret Fourier sin cos
lebih dulu.
Kita juga dapat menuliskan deret Fourier bentuk komplek secara langsung,
yaitu dengan formula sebagai berikut:
f(x) = c0+ c1eix+ c e + c2e2ix+ c e + c3e3ix+ c e + . .
.
=
n
n
inxnec (3-2)
dengan: dxe.)x(f2
1c inxn
(3-3)
Contoh:
< x
< 0 dan = 1 untuk 0 < x < 1.
Jawab:
Pernyataan f(x) pada soal di atas dapat ditulis: f(x) = {0x,0
x0,1
Kita tentukan dulu: dxe.)x(f2
1c
inxn
dxe.12
1dxe.0
2
1dxe.)x(f
2
1dxe.)x(f
2
1c
0
inx0
inx
0
inx0
inxn
-
5/24/2018 Deret Fourier
8/16
8
Matematika Teknik II
= dxe2
1
0
inx
=
0
inxein
1
2
1=
0
inxein2
1
= 1e
in21 in
Untuk n ganjil in
1cn
; untuk n genap bukan nol nc = 0
Selanjutnya kita tentukan c0:
c0= dxe.)x(f2
1 i0x
= dx)x(f
2
1
= dx12
1dx0
2
1
0
0
=
0
dx21 =
21
Jadi deret Fourier bentuk kompleknya adalah:
f(x) =2
1+
ix5ix3ix e
i5
1e
i3
1e
i
1. . . .
+
ix5ix3ix ei5
1e
i3
1e
i
1. . . .
atau: f(x) =2
1+
...
5
e
3
e
1
e
i
1 ix5ix3ix+
...
5
e
3
e
1
e
i
1 ix5ix3ix
2.3. FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL
a. Pengertian
Suatu fungsi f (x) disebut fungsi genap, jika harga f (
dengan bahasa sederhana dapat dinyatakan bahwa suatu fungsi f(x) disebut fungsi
Contoh:
1) f (x) = x3adalah fungsi ganjil sebab f ( 3= 3=
2) f(x) = x4 4 = x4= f (x)
-
5/24/2018 Deret Fourier
9/16
9
Matematika Teknik II
bayangan cermin (dengan sumbu Y sebagai cermin) terhadap kurva interval 0
Gambar 2-1: Contoh Kurva Fungsi Genap
Gambar 2-2: Contoh Kurva Fungsi Ganjil
b. Hubungan fungsi genap/ganjil dengan deret Fourier
Fungsi periodik genap mempunyai koefisien Fourier yang berbeda dengan
fungsi periodik ganjil. Koefisien Fourier untuk fungsi genap mengikuti teorema
berikut:
Teorema: Jika
diekspansi menjadi deret Fourier, maka koefisien-koefisien Fouriernya
adalah:
0
0 dx)x(f2
a ;
0
n dxnxcos)x(f2
a ; 0bn
Karena 0bn , maka hanya cosinus saja dalam deret Fourier fungsi genap,
sehingga deret Fourier fungsi genap disebut deret cosinus Fourier.
-
5/24/2018 Deret Fourier
10/16
10
Matematika Teknik II
Selanjutnya untuk fungsi ganjil, berlaku:
Teorema:
diekspansi menjadi deret Fourier, maka koefisien-koefisien
Fouriernya adalah:
0aa n0
0
n dxnxsin)x(f2
b
Karena 0an , maka hanya cosinus saja dalam deret Fourier fungsi ganjil,
sehingga deret Fourier fungsi ganjil disebut deret sinus Fourier.
Contoh Soal:
sebagai deret cosinus Fourier, maka:
a) Tentukan grafik f (x)
b) Tentukan Deret Cosinus Fouriernya
Jawab:
a) Karena diekspansi sebagai deret cosinus, berarti fungsi f(x) adalah fungsi
genap. Karena fungsi yang diketahui fungsi linear, maka kurvanya adalah garis
cermin Y, dari kurva interval 0 < x