8/7/2019 Derivadas de funciones hiperblicas

1/5

FUNCIONES HIPERBLICAS

En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, ex aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, seacostumbra escribir el modelo matemtico que le corresponde utilizando las funciones hiperblicas definidascomo sigue:

La funcin f: [R![R, definida por:

f(x) = senh x = , x " R, se denomina funcin seno hiperblico.f(x) = cosh x = , x " R, se denomina funcin coseno hiperblico.f(x) = tgh x = , x " R, se llama funcin tangente hiperblico.f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama funcin cotangente hiperblico.f(x) = sech x = , x " R, se llama funcin secante hiperblico.f(x) = cosch x = , x " 0, se llama funcin cosecante hiperblico.

Con la ayuda de las derivadas y los lmites para hallar los extremos, concavidades y asntotas, se puedengraficar estas funciones fcilmente. Su grficos se muestran en las siguientes figuras.

1

8/7/2019 Derivadas de funciones hiperblicas

2/5

Considerando las definiciones de cada una de las funciones hiperblicas, se puede mencionar algunaspropiedades tales como:

2

8/7/2019 Derivadas de funciones hiperblicas

3/5

senh(x) = 0 ! x = 0, cosh(x) = 1 ! xson funciones impares, [f(x) = f(x)] y por tanto sus grficas son simtricas respecto al origen, lasfunciones:

f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x

Son funciones pares, [f(x) = f(x)] y por tanto sus grficas son simtricas respecto al eje y, las funciones:

f(x) = cosh x; f(x) = sech x

De las definiciones se seno hiperblico y coseno hiperblico los valores de estas funciones estnrelacionados a las coordenadas de los puntos de una hiprbola equiltera, de manera similar a la que losvalores de las correspondientes funciones trigonomtricas estn relacionadas a las coordenadas de lospuntos de una circunferencia.

IDENTIDADES HIPERBLICAS

3

8/7/2019 Derivadas de funciones hiperblicas

4/5

Las funciones hiperblicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funcionestrigonomtricas. Por ejemplo.

Cosh x senhx =

Esta y otras identidades, son las que a continuacin se presenta, dejando al lector la verificacin de lasmismas.

coshx senhx = 1sechx + tghx = 1cotghx coschx = 1senh (x y) = senh x cosh y cosh x senh ycosh (x y) = cosh x cosh y senh x senh ytgh (x y) =senh (2x) = 2 senh x cosh xcosh (2x) = coshh + senhxsenh a + senh b = 2 senhcosh a + cosh b = 2 cosh2senh = cosh x 1

2cosh = cosh x + 1 (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Frmula de Moivre)

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS

Las frmulas de derivacin para las funciones hiperblciicas se deducen fcilmente aplicando las reglas dederivacin de la funcin exponencial ex.

As por ejemplo

Las derivadas de las funciones hiperblicas lo resumimos en la siguiente proposicin, dejando al lector laverificacin correspondiente.

Proposicin 1. Las funciones hiperblicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:

Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh xSi f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh xSi f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sechxSi f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = coschxSi f(x) = sech x, entonces, f'(x) = sech x tgh xSi f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = cosch x cotgh x

En virtud de esta proposicin y de la regla de la cadena, si u = u(x) es funcin diferenciable (respecto a la

variable x) se obtiene el siguiente corolario:

Corolario 1. Si u = u(x) es diferenciable, entonces:

Dx (senh u) = cosh u. Dx(u)Dx (cosh u) = senh u. Dx(u)Dx (tgh u) = sech u. Dx(u)Dx (cotgh u) = cosch u. Dx(u)Dx (sech u) = sech u. Tgh u. Dx(u)Dx (cosch u) = cosch u. cotgh u. Dx(u)

4

8/7/2019 Derivadas de funciones hiperblicas

5/5

Corolario 2. (LIMITES HIPERBLICOS)

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

Integracin de funciones hiperblicas

La integracin de las funciones hiperblicas es completamente anloga a la integracin de las funcionestrigonomtricas.

Deben recordarse las siguientes frmulas principales:

;

EJEMPLO 1. Hallar:

SOLUCIN. Tenemos:

EJEMPLO 2. Hallar:

SOLUCIN. Tenemos:

5