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Derivadas direccionalesPlano tangente
Linealizacion
Funciones de dos variables: Gradiente. Derivadas
direccionales. Plano tangente. Linealizacion.
Juan Ruiz Alvarez1
1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.
Matematicas (Grado en Biologıa)
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
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Contenidos
1 Introduccion
2 Gradiente
3 Derivadas direccionales
4 Plano tangente
5 Linealizacion
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4 Plano tangente
5 Linealizacion
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Introduccion
Hasta el momento, hemos representado habitualmente lasuperficies en el espacio mediante ecuaciones de la formaz = f (x , y), que representa la ecuacion de una superficie S . Apartir de ahora, conviene recurrir a una representacion mas generalde la forma
F (x , y , z) = 0.
Una superficie dada por z = f (x , y), podeos convertirla a la formageneral, sin mas que definir F como
F (x , y , z) = f (x , y)− z .
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Introduccion
Puesto que F (x , y)− z = 0, podemos considerar S como lasuperficie de nivel de F dada por
F (x , y , z) = 0,
que es una ecuacion alternativa de la superficie S .Ejemplo: Describir la superficie de nivel F (x , y , z) = 0 para lafuncion F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4
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Definicion del gradiente de una funcion de 2 variables
Sea Z = f (x , y) una funcion de x , y tal que existen fx y fy . Elgradiente de f , denotado por ∇f (x , y) es el vector
∇f (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)).
Otra notacion usual para el gradiente es gradf (x , y). Para cadapunto (x , y), el gradiente ∇f (x , y) es un vector en el plano, (no enel espacio).
El gradiente ∇F es normal a las superficies de nivel
Si F es diferenciable en (x0, y0, z0) y ∇F (x0, y0, z0) = 0, entonces∇F (x0, y0, z0) es normal a la superficie de nivel que pasa por(x0, y0, z0).
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Es necesario darse cuenta de que ∇f (x , y) es un vector en el planoy ∇F (x , y , z) es un vector en el espacio. El vector gradientemarcara la direccion de maxima variacion de la funcion encualquier punto.
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La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por elvector unitario que determina la direccion.
Definicion formal de derivada direccional
Si f es una funcion diferenciables de x e y , su derivada direccionalen la direccion del vector unitario u es
Duf (x , y) = ∇f (x , y) · u
Ejemplo: Hallar la derivada direccional de
f (x , y) = 3x2 − 2y2
en el punto (−34 , 0), en la direccion del segmento recto que va de
P = (−34 , 0) a Q = (0, 1).
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Definicion de plano tangente
Sea F diferenciable en un punto P(x0, y0, z0) de la superficie S
dada por F (x , y , z) = 0, con ∇F (x0, y0, z0) = 0:
El plano que pasa por P es normal a ∇F (x0, y0, z0) se llamaplano tangente a S en P .
La recta que pasa por P con la direccion ∇F (x0, y0, z0) sellama recta normal a S en P .
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Ecuacion del plano tangente
Si F es diferenciable en (x0, y0, z0), una ecuacion del planotangente a la superficie dada por F (x , y , z) = 0 en (x0, y0, z0) es
Fx(x0, y0, z0)(x−x0)+Fy(x0, y0, z0)(y−y0)+Fz(x0, y0, z0)(z−z0) = 0
Puesto queF (x , y , z) = f (x , y)− z ,
entonces
Fx(x0, y0, z0)(x − x0) + Fy (x0, y0, z0)(y − y0)− (z − z0) = 0
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Linealizacion
Sea F diferenciable en un punto P(x0, y0, z0) de la superficie S
dada por F (x , y , z) = 0, con ∇F (x0, y0, z0) = 0. Podemos haceruna aproximacion lineal de la superficie S cerca del punto(x0, y0, z0) mediante la expresion
F (x , y , z) = F (x0, y0, z0) +∇F (x0, y0, z0)(x − x0, y − y0, z − z0).
Considerando de nuevo que F (x , y , z) = f (x , y)− z , esta expresionse transforma en:
F (x , y , z) = f (x0, y0)− z0 + (fx(x0, y0), fy (x0, y0),−1)
· (x − x0, y − y0, z − z0)
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Roland E. Larson. Calculo volumen II. Ed. Mc Graw Hill.
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