derivadas funciones

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Errores

Ejemplo1

La arista de un cubo variable crece a razón de 3 cm/s. ¿Con qué rapidez está creciendoel volumen cuando la arista tiene 10 cm de longitud?

• Sabemos que el volumen de un cubo se calcula por medio de la fórmula: V = L3. De aquípodemos encontrar dV = 3L2dL.

• Nosotros conocemos la rapidez con la que crece la arista, dL/dt, y queremos encontrar larapidez con la que crece el volumen, esto es, dV/dt.

• Entonces, requerimos encontrar dV/dt, conocidos dL/dt y L. Sustituyendo los valores cono-cidos obtenemos:

dVdt

= 3 L2 dLdt

= 3 (10)2(3) = 900cm3/seg.

Ejemplo2

Si se mide el radio de una esfera, se encuentra que es 20 cm., con un error máximode 0.05 cm. Aproxime el error máximo que puede cometerse al calcular el área de laesfera con estos datos.

• Sabemos que la superficie de una esfera se calcula por medio de la fórmula: A = 4 πr2.

• Para encontrar el error máximo cometido al calcular la superficie de la esfera podemosutilizar diferenciales.

• Encontramos la diferencial del área como función del radio de la esfera:

dA = 8 πr (dr)

• Ahora sustituimos los valores conocidos:

dA = 8 π (20)(0.05) = 8π cm2 ≈ 25.13274123 cm2

Ejemplo3

Las 6 caras de una caja cúbica metálica tienen 0.25 cm de espesor, y el volumen interiorde la caja es de 40 cm3. Encuentre una aproximación del volumen del metal usado alhacer la caja.

• Sabemos que la caja es cúbica, luego, el volumen está dado por: V = L3.

• La diferencial de volumen se encuentra por medio de la fórmula:

dV = 3 L2 (dL)

• El texto indica que el volumen de la caja es 40 cm3, luego, el lado debe ser igual a la raízcúbica de 40, esto es: L = 3

√40, y dL = 0.25 cm.

• Pero cuando consideramos un incremento del volumen de la caja, suponemos que crece enuna sola dirección, por lo que estaríamos considerando tres de las 6 caras de la caja metálicautilizadas en su construcción.

Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

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• Así que realmente queremos calcular 2 dV = 6 L2 (dL)

• Sustituyendo los valores de las incógnitas en la fórmula obtenemos:

2 dV = 6(

3√40)2

(0.25) = 3(

2 3√

5)2 1

4

= 6 (�4)(

52/3) (1

�4

)= 3 · 52/3

= 6 · 3√

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Ejemplo 4Encontrar el crecimiento aproximado de la superficie de una burbuja de jabón, si suradio crece de 3 a 3.025 cm.

• Sabemos que el área de una esfera está dado por: A = 4 π r2 .

• Para este caso tenemos r = 3 cm y dr = 0.025 cm. La diferencial del área es:

dAdr

= 8 π r ⇒ dA = 8 π r (dr)

• Sustituimos los valores de las variables:

dA = 8 π r (dr) = 8 π (3)(0.025) = 0.6 cm2

• Esto también puede expresarse de la siguiente manera:

dA = 8 π r (dr) = 8 π (3)(

251 000

)=

24 π

40=

6 π

10cm2

Ejemplo 5Aceptando que una burbuja de jabón conserva su forma esférica cuando se expande,¿con qué rapidez está creciendo su radio cuando éste mide 2 plg., si el aire que penetrala infla a rapidez de 4 plg3/s?

• Conocemos la fórmula para encontrar el volumen V de una esfera:

V =43

π r3

• Como necesitamos encontrar la rapidez con la que crece el radio, derivamos la fórmularespecto del tiempo de manera implícita:

dVdt

= 4 π r2 drdt

• Ahora despejamos dr/dt, que es nuestra incógnita:

drdt

=

(dVdt

)4 π r2


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• Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:

drdt

=

(dVdt

)4 π r2 =

�4

�4 π (2)2 =1

4 πplg/s

Ejemplo 6Se estima que el radio de un balón de soccer es de 12 plg., con un máximo error en lamedición de 0.05 plg. Haga una estimación del máximo error que se puede cometeral calcular el volumen del balón en estas condiciones.

• Sabemos que el volumen V de una esfera está dado por:

V =43

π r3

• La diferencial que le corresponde a esta función es:

dV = 4 πr2 (dr)

• Para este problema, conocemos que r = 12 y dr = 0.05. Entonces

dV = 4 π (12)2(0.05)

esto es igual a: dV =144 π

5plg3.

Ejemplo7

Suponga que a lo largo del ecuador y por todo alrededor de la tierra se coloca unacerca que tiene una altura de 1 m. Suponga que la tierra es esférica y que su radio esde 40,000 Km. ¿Cuánto debe medir el área de la cerca?

• Sabemos que el área de una circunferencia se encuentra por medio de la fórmula: A = π r2.De aquí que la diferencial de área sea:

dA = 2 π r (dr)

• Sustituyendo los valores conocidos encontramos que:

dA = 2 π(40 000 000)(1) = 80 000 000 π = 8× 107π m2

Ejemplo8

El diámetro exterior de una concha esférica delgada es de 2 m. Si el espesor de laconcha es de 3 cm., aproxime el volumen requerido de material para fabricar esaconcha esférica.

• El volumen de una esfera está dado por:

V =43

π r3


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• Podemos imaginar el espesor de la concha como una pequeña variación de volumen de unaesfera infinitamente delgada de radio 2 m. Entonces tendremos: r = 1 y dr = 0.03.

• Ahora encontramos la diferencial de volumen como función del radio:

dV = 4 π r2 (dr)

• Al sustituir los valores podemos encontrar la aproximación del volumen del material uti-lizado al fabricar la esfera:

dV = 4 π (1)2(0.03) = 4 π (0.03) = 4 π

(3

100

)=

3 π

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Ejemplo 9

Se mide el diámetro de una esfera y con el resultado se calcula el valor de suvolumen. Si el máximo error posible al medir el diámetro es 0.02 cm y el errormáximo aceptable al medir el volumen es de 3 cm3, ¿cuál es el diámetro aproximadode la esfera en estas condiciones?

• Sabemos que el volumen de la esfera se encuentra por medio de la fórmula:

V =43

π r3

• De aquí podemos fácilmente obtener la diferencial del volumen como una función del radio:

dV = 4 π r2 (dr)

• Esta igualdad es equivalente a la siguiente:

r2 =(dV)

4 π (dr)

• Sabemos que el error máximo permisible en el volumen es de 3 cm3, esto corresponde a dV,mientras que el error máximo en la medición del radio es de 0.02 cm, que corresponde alvalor de dr.

• Sustituimos estos valores, y encontramos r2.

r2 =(dV)

4 π (dr)=

34 π (0.02)

=3008 π

=752 π

• Esto implica que:

r =

√752 π

• El diámetro es el doble del radio, entonces:

D = 2

√752 π

=

√150π

Ejemplo10

La altura de un cilindro circular recto es de 10 cm. Si el radio de la base cambia de 2a 2.06 cm, calcule el cambio de volumen aproximado del cilindro.


5

• El volumen del cilindro está dado por:

V = π r2 h

donde V es el volumen (en cm3), r es el radio del cilindro (en cm) y h es la altura (en cm)del mismo.

• Como haremos una pequeña variación en el radio, debemos encontrar la diferencial delvolumen como una función del radio, esto resulta en:

dV = 2 π r h (dr)

• Ahora sustituimos los valores de las variables: de acuerdo al texto h = 10 cm, r = 2 cm,dr = 0.06 cm.

dV = 2 π r h (dr) = 2 π (2)(10)(0.06) = 2.4 π cm3

Ejemplo11

De un contenedor cae arena formando un cono circular cuya altura es siempre igualal radio. Si en cierto instante, el radio es 10 cm., utilice diferenciales para encontrarqué cambio en el radio ocasionará un aumento en el volumen de arena en 2 cm3.

• El volumen del cono de radio r y altura h está dado por:

V =π r2 h

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• Pero para este caso particular, la altura siempre es igual al radio, entonces el volumen deeste cono debe ser:

V =13

π r3

• La diferencial del volumen como función del radio es:

dV = π r2 (dr)

• Sabemos que r = 10 cm., y que dV = 2 cm3.

• Nuestro problema consiste en encontrar el incremento en el radio que hará que el volumencrezca en dV = 2 cm3.

• Primero despejamos dr de la expresión que nos da la diferencial del volumen, y despuéssustituimos estos valores en la nueva expresión, con lo que obtenemos:

dr =(dV)

π r2 =2

π (10)2 =1

50 πcm.

Ejemplo12

Un niño está elevando un papalote (una cometa). Si el papalote está a 9 metros dealtura y el viento está soplando a razón de 5 m/s., ¿con qué rapidez está soltando elniño la cuerda en el momento que ha soltado 150 metros?

• Para resolver este problema supondremos que la cometa es arrastrada por el viento a lavelocidad del mismo (5 m/s).


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• Entonces, la cometa viaja de manera horizontal a razón de 5 m/s, a una altura constante de9 metros.

• Sea r la longitud de la cuerda que el niño ha soltado, x la distancia medida desde el pie delniño hasta el punto donde toca el suelo la proyección vertical de la cometa.

x

9 mr =150 m

• De acuerdo al teorema de Pitágoras: x2 + (9)2 = r2 ⇒ x2 + 81 = r2.

• Encontramos la derivada implícita de esta expresión respecto al tiempo:

2 xdxdt

= 2 rdrdt

• Ahora despejamos la incógnita:

drdt

=x · dx

dtr

• Para encontrar el valor de la incógnita, debemos conocer primero r (150 m), dx/dt (5 m/s) yel valor de x.

• Para esto utilizamos el teorema de Pitágoras:

x =√

1502 − 92 =√

22 500− 81 =√

22 419

• Ahora, lo que falta es sustituir los valores conocidos para encontrar el valor de la incógnita:

drdt

=x

dxdtr

=

√22 419 · (5)

150=

√22 41930

≈ 4.99 metros por segundo.

CréditosAlbert

EinsteinTodo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas VI escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea escompartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, muchomás que el autor.


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Autor: Efraín Soto Apolinar.

Edición: Efraín Soto Apolinar.

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.

Productor general: Efraín Soto Apolinar.

Año de edición: 2010

Año de publicación: Pendiente.

Última revisión: 07 de agosto de 2010.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y seandivulgados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:

[email protected]


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