Parte V

I titoli derivati e la gestionedel rischio

14I titoli derivati: generalit

14.1 Arbitraggio, titoli derivati e immunizzazioneImmaginiamo una situazione in cui, su un mercato nanziario, vi sono un titoloprivo di rischiodG= rdt,G

e un titolo rischioso

dS= dt + dW,S

dove i termini e possono essere funzioni del tempo e/o di S . Un titoloderivato scritto su S ha un prezzo (F ) che dipender, ovviamente, dalla stessafonte di rischio del titolo S e, quindi, F si pu scrivere comedF= F dt + F dW,F

dove le forme assunte dalle variabili F e F sono state gi state calcolate inprecedenza mediante il lemma di It1 .Sul mercato che contiene sia il titolo S sia il titolo F , non c' arbitraggio seesiste un prezzo di mercato del rischio tale che0

1 In

= r1.

particolare, deve valere

1 FF S1 2F S2 2++ ,F tS F2 S 2 FF S=.S F

F =F

374

14 I titoli derivati: generalit

In questo caso i valori delle matrici sono i seguenti:

F

=

rF r

.

Occorre, cio, risolvere un sistema di due equazioni in una sola incognita (abbiamo, infatti, una sola fonte di rischio), la quale, ovviamente, non in gradodi risolvere contemporaneamente entrambe le equazioni. Tuttavia noi vogliamoche sul mercato non vi sia arbitraggio e questo ci permette di concludere che ilrendimento del titolo derivato (F ) non pu essere un rendimento qualsiasi.Esso, infatti, deve rispettare la condizione di non arbitraggio. Il sistema precedente, quindi, si pu risolvere rispetto alle due incognite e F , ottenendo,dalla prima equazione=

r

e, sostituito questo valore nella seconda equazione, si haF = r + F .

Sappiamo, allora, che sul mercato non vi arbitraggio solo se il titolo derivatosegue il processodF= (r + F ) dt + F dW.F

Il rendimento atteso del titolo derivato, quindi, deve essere pari al tassoprivo di rischio (r) a cui si somma un premio pari alla volatilit del derivato,moltiplicata per il prezzo di mercato del rischio. Se il prezzo di mercato delrischio, infatti, misura quanto viene pagata, in termini di extra-rendimento,ogni unit aggiuntiva di volatilit, allora l'extra-rendimento del derivato deveessere proprio pari a F .L'ultima equazione particolarmente rilevante perch, grazie alla condizionedi non arbitraggio, possiamo semplicare di molto l'equazione per il prezzo diun derivato eliminando il termine di deriva che, per il lemma di It, dovrebbecontenere la derivata di F rispetto al tempo e la derivata seconda di F rispettoad S . Grazie alla condizione di non arbitraggio rimane solo la derivata di Frispetto ad S poich valeF =

F S.S F

Se volessi mettere i titoli S ed F in un portafoglio (insieme anche al titoloprivo di rischio), allora la ricchezza R si evolverebbe nel modo seguente:dR = (Rr + S S ( r) + F F F ) dt + (S S + F F F ) dW.

Se desiderassi acquistare il titolo derivato in modo che si annullasse del tuttoil rischio del portafoglio, allora dovrei annullare il coeciente di dW nell'equazione della ricchezza. La condizione per eliminare tutta la volatilit, quindi,S S + F F F = 0,

14.1 Arbitraggio, titoli derivati e immunizzazione

375

da cui si ricava (sostituendo anche il valore di F )F1= F .SS

Un portafoglio in cui stato eliminato tutto il rischio viene detto immunizzato (in inglese hedged ). Questo risultato molto importante in nanza.

La derivata del prezzo del derivato rispetto al prezzo del sottostante ( FS ) vienechiamata delta (anche in inglese e la si indica con la lettera greca maiuscola) e l'immunizzazione del portafoglio, quindi, prevede che si compri il titolo derivato in una proporzione del sottostante pari all'inverso dell'opposto del deltadel titolo derivato (cosiddetto delta hedging ).

Proposizione 14.1.1 (Immunizzazione delta - Delta hedging ) Su

unmercato vi sia un titolo rischioso (S ) e un titolo su di esso derivato (F ). Lacomposizione (S , F ) di un portafoglio immunizzato deve rispettare1F= F ,SS

ovvero

(14.1)

F F1= F S .S SS F

Pu sembrare strana l'idea di immunizzare perfettamente un portafoglio:perch si dovrebbe eliminare tutto il rischio da un portafoglio che contiene ititoli S ed F , mentre esiste, gi pronto, un titolo privo di rischio? La rispostasta nell'utilizzo che si fa del titolo sottostante (S ). Per esempio, potrei essereinteressato a possedere azioni della societ S perch ne voglio avere il controllooppure desidero partecipare alle assemblee dei soci. Allo stesso tempo, tuttavia,non voglio subire il rischio che il prezzo S subisca delle variazioni dannose perle mie nanze. In questo caso, allora, posso fare ricorso a un titolo derivato suS in modo da annullare il rischio (cio immunizzare il portafoglio) mantenendotuttavia il possesso del titolo rischioso.Ancora, accade spesso che il sottostante si trovi nel bilancio di un'impresa(o di una famiglia) senza la possibilit di non investire su di esso. Pensiamo alcaso di una impresa di trasporti i cui protti, ovviamente, dipendono dal prezzodel petrolio. Quando tale prezzo sale il costo dei carburanti aumenta e, quindi,aumentano i costi dell'impresa. L'impresa, tuttavia, non pu fare a meno diacqustare i carburanti (cio non pu non investire, anche se indirettamente,nel petrolio). Per fare in modo che il bilancio non risenta delle oscillazionisul mercato petrolifero, l'impresa pu, allora, investire in un titolo derivato sulpetrolio. Gli esempi sono numerosissimi e verranno presentati lungo tutta latrattazione.Se il delta di un titolo positivo (cio il derivato reagisce alle variazioni delprezzo del sottostante con variazioni dello stesso segno), allora l'immunizzazione

376

14 I titoli derivati: generalitTabella 14.1

Posizione sui titoli per coprirsi dai rischi o speculare

Posizione su F (derivato su S )Posizione su S

Corr. pos. ( > 0)

Corr. neg. ( < 0)

Speculatore

Investitore

Speculatore

Investitore

Lunga

Lunga

Corta

Corta

Lunga

Corta

Corta

Lunga

Lunga

Corta

prevede che il sottostante e il derivato entrino nel portafoglio con segno opposto(uno deve essere comprato e l'altro deve essere venduto). Nel caso di un deltanegativo accade il contrario; vediamolo schematicamente:1. quando FS > 0, ovvero il titolo F positivamente correlato a S , allora perpotersi immunizzare occorre eettuare due operazioni di segno opposto suidue titoli;2. quando FS < 0, invece, F e S sono correlati negativamente e l'immunizzazione richiede che si eettui un'operazione di segno uguale su entrambii titoli.Ragionamento del tutto opposto si fa quando non ci si vuole coprire da unrischio ma, anzi, si vuole aumentare il rischio per avere un rendimento attesopi elevato. Ecco il comportamento che ha uno speculatore: al ne di aumentareil rischio egli acquister titoli positivamente correlati a una certa fonte di rischioe vender titoli negativamente correlati ad essa.La Tabella 14.1 riassume i comportamenti degli speculatori (che desideranoaumentare i rischi e, quindi, i rendimenti) e degli investitori (che desideranocoprirsi dai rischi) quando sul mercato sono presenti due titoli con correlazionepositiva o negativa. Gli speculatori prendono posizioni che aumentano il rischiocio, data una loro posizione lunga in un titolo, comprano titoli positivamentecorrelati con quest'ultimo e vendono titoli negativamente correlati con esso.Al contrario, gli investitori scelgono posizioni che riducono il rischio cio, datauna loro posizione lunga su un titolo, comprano titoli negativamente correlaticon quest'ultimo e vendono titoli ad esso positivamente correlati (il contrariodi quanto appena esposto vale se la posizione iniziale dei due soggetti cortaanzich lunga).

14.2 Stima dell'elasticit (l'eetto leva)Nel paragrafo precedente abbiamo visto che, per la gestione del rischio, l'elasticit di un derivato stesso rispetto al sottostante gioca un ruolo fondamentale.

14.2 Stima dell'elasticit (l'eetto leva)

377

Deniamo l'elasticit nel modo seguente:F,S

dF (t)F (t)dS(t)S(t)

=

S (t) dF (t).F (t) dS (t)

L'elasticit una misura di reazione di un titolo rispetto a un altro titolo(t)dS(t)ed un numero puro (infatti i rapporti dFF (t) e S(t) sono gi espressi comenumeri numeri, sono il rapporto di due misure in denaro, e il loro rapporto , asua volta, un numero puro).Per stimare l'elasticit utile riscrivera in un altro modo utilizzando il fattoln S(t)=che la derivata del logaritmo di una variabile l'inverso della variabile ( d dS(t)dS(t)1S(t) ovvoro, in altri termini, d ln S (t) = S(t) ). Si ottiene, quindiF,S

d ln F (t).d ln S (t)

La stima dell'elasticit, quindi, si pu eettuare mediante la seguente regressioned ln F (t) = + d ln S (t) + u (t) ,

dove e sono i coecienti della regressione e u (t) il termine di errore.Eettuando una simile regressione ci aspettiamo che il parametro non vennasignicativamente diverso da zero e, quindi, il parametro sar uno stimatoredell'elasticitPer calcolare l'elasticit di un derivato su un titolo italiano, prendo il caso diun warrant (si tratta di un'opzione di acquisto per la cui trattazione completarinvio alla parte del libro dedicata ai derivati) che d diritto, alla scadenza, diacquistare un certo numero di azioni a un prezzo pressato. Il caso quellodi un warrant sull'azione UBI-Banca, emesso il 25 giugno 2009 e scadente il 30giugno 2011. I dati sono registrati dal giorno dell'emissione no al 25 febbraio2010 e le dierenze logaritmiche nei prezzi dell'azione UBI e del warrant sonoriportati nella Figura 14.1.Dal graco notiamo immediatamente che il rendimento del derivato ha unavolatilit maggiore rispetto a quella del rendimento del sottostante. Ci aspettiamo, quindi, che l'elasticit assuma valore maggiore di 1. Inoltre osserivamo che,nella maggior parte dei casi, quando il sottostante aumenta anche il derivatoaumenta e viceversa. Ci aspettiamo, allora, che l'elasticit abbia segno positivo.In Scilab, ho archiviato nella variabile dlnS le dierenze logaritmiche neiprezzi giornalieri del sottostante e nella variabile dlnF le dierenze logaritmichenei prezzi giornalieri del derivato.Eettuando la regressione dei minimi quadrati si ottiene quanto segue (neicomandi che seguono ho utilizzato ones(A) che crea una matrice composta tuttadi 1 e che ha le stesse dimensioni della matrice A).--> ols ( dlnF ,[ ones ( dlnS ) dlnS ]) ;

378

14 I titoli derivati: generalit

Figura 14.1 Dierenza logaritmiche giornaliere, dal 25/6/2009 al 25/2/2010, delprezzo di UBI-Banca (in grassetto) e di un warrant emesso il 25/06/2009 con scadenzail 30/6/2011 che d diritto, alla scadenza, di acquistare un'azione UBI-Banca (ogni 20warrant) al prezzo di 12.3

ols estimation results for dependent variable:endogenousnumber of observations: 170number of variables: 2R2 = 0.1559620 adjusted R2 =0.15093Overall F test : F (1 ,168) = 31.04318p - value =9.855 D -08standard error of the regression: 0.0477085sum of squared residuals: 0.3823853DW (0) =1.6100385Belsley , Kuh , Welsch Condition index : 1variableexogenous # 1exogenous # 2

coeff0.00116221.2843552

*ans

=

ols estimation results

t - statistic0.31762275.5716407*

*

p value0.75116569.855 D -08

14.2 Stima dell'elasticit (l'eetto leva)

379

Il comando apre anche due nestre grache sulle quali non mi soermo. Irisultati ci mostrano che vale = 0.0011622, = 1.2843552,

dove, tuttavia, il valore del test t fa capire che il parametro non signicativamente diverso da zero (come ci aspettavamo che fosse). Il parametro ,invece, molto signicativo e indica che all'aumentare del prezzo di UBI-Banca,il suo warrant aumenta (il segno di positivo) di circa 1.28 volte. Tale eettoviene denito di leva. I derivati che hanno eetto leva permettono di speculareo coprire importanti posizioni nanziarie investendo poco denaro.Nel nostro caso, supponiamo di avere in portafoglio S = 10000 azioni UBI.Sapendo che in data 24/2/2010 l'azione UBI vale S = 9.105 euro e il warrantvale F = 0.0355, ci domandiamo quanti warrant debbano essere venduti alloscoperto anch il portafoglio sia perfettamente immunizzato. Poich adessosappiamo che vale F,S = 1.28, possiamo concludere che occorre investire inwarrant un ammontare di denaro F F pari aF F =

91050S S== 71132.81.F,S1.28

Osserviamo cos in pratica l'eetto leva. Per immunizzare un portafoglio chevale pi di 90000 euro suciente vendere allo scoperto warrant per un importodi poco superiore ai 70000 euro. Se, al contrario, fossimo speculatori, potremmodire che suciente impiegare circa 70000 euro per avere gli stessi guadagni operdite che si avrebbero su un investimento di 90000 euro.

N.B. 14.2.1 Dato un certo investimento, si ha un eetto leva se i guadagni ele perdite che si ottengono dall'investimento come se fossero calcolati su uninvestimento pi elevato.Ricordo che i veri valori dei coecienti di regressione sono a noi ignoti.Il loro valore stimato, dunque, d un livello medio dei parametri. Risultacos necessario calcolare quale sia l'intervallo all'interno del quale oscillano ivalori dei parametri con un dato livello di probabilit (cosiddetto intervallo dicondenza).Per poter capire quanto il valore dell'elasticit stimato sia adabile, quindi, possiamo calcolare l'intervallo nel quale tale elasticit si trova, con una certaprobabilit.Nella regressione eettuata abbiamo 168 gradi di libert (170 osservazioni alnetto di 2 regressori). Il valore della coda della distribuzione t di Student con168 gradi di libert e per un intervallo di condenza del 95% pari a 1.65397(tali valori, in genere, sono riportati su tabelle). In questo modo, possiamoaermare che il vero valore dell'elasticit, al 95%, si trova tra i due seguenti

380

14 I titoli derivati: generalit

estremi:

1.65397= 1.6656,1.2843552 1 +5.5716407

1.653971.2843552 1 = 0.9031.5.5716407

Vi , allora, qualche possibilit che la strategia adottata non consenta un'immunizzazione perfetta. Il denaro da investire nel titolo derivato, ottenuto nell'esercizio precedente, quindi, deve essere compreso tra i seguenti estremi:

9105091050 F F ,0.90311.6656

100819.4 F F 54664.99.

15I contratti a termine

15.1 IntroduzioneSi indica come contratto a termine (in inglese forward contract ) unaccordo che, non prevedendo alcun usso di cassa alla data odierna, obbliga:1. l'acquirente, alla scadenza del contratto, al pagamento di una cifra predenita (detta prezzo a termine);2. il venditore, alla scadenza del contratto, alla consegna di una predenitaquantit di beni o titoli (che sono il sottostante di questo titolo derivato).I contratti a termine nascono sui mercati delle merci per consentire ai produttoridi grano di tutelarsi dalle variazioni che il prezzo del grano pu subire da unanno all'altro (o meglio, dal momento in cui si semina al momento in cui siraccoglie). Questo ne viene raggiunto, dal produttore, vendendo un contrattoa termine con cui si impegna a vendere una quantit ssata di grando, a unadata e a un prezzo anch'essi ssati.Immaginiamo, allora, un contadino che sta piantando del grano. Uno deirischi che grava sul contadino che il prezzo del grano, sul mercato delle merci,abbia un forte ribasso una volta che il grano sia maturato. Per tutelarsi daquesto rischio, il contadino pu cercare qualcuno che, al momento della seminadel grano (o anche prima), sia disposto a rmare un contratto in base al quale,oggi, viene ssato il prezzo al quale verr scambiato il grano in futuro.Possiamo immaginare come controparte del contadino un mugnaio. In eettiil rischio del mugnaio , al contrario, che il prezzo del grano, in futuro, aumentie, dunque, lui debba pagare di pi le spighe che utilizza per produrre la farina.Il contadino e il mugnaio, cos, sono soggetti esattamente allo stesso rischio,ma con eetti opposti sui due soggetti: il contadino teme che il prezzo del granoscenda, mentre il mugnaio teme che il prezzo del grano salga.Il contadino, quindi, pu vendere al mugnaio un contratto a termine per laconsegna del grano (il contratto a termine trova un riscontro nel nostro CodiceCivile come vendita di cosa futura art. 1472).

382

15 I contratti a termine

15.1 Guadagni e perdite di due soggetti (contadino e mugnaio) chesottoscrivono un contratto a termine. Il prezzo a scadenza 120

Tabella

Contratto a terminePrezzo del granoa scadenza 130

Prezzo del granoa scadenza 110

Contadino

Vende a 120Perde 10rispetto al mercato

Vende a 120Guadagna 10rispetto al mercato

Mugnaio

Compra a 120Guadagna 10rispetto al mercato

Compra a 120Perde 10rispetto al mercato

Alla scadenza del contratto forward il contadino deve vendere il suo grano alprezzo stabilito, indipendentemente dal prezzo che il grano avr sul mercato. Daparte sua il mugnaio dovr, ovviamente, acquistare il grano al prezzo stabilito.Nella Tabella 15.1 mostro i guadagni e le perdite di un contratto a termine.Nei paragra che seguono presento il metodo per la prezzatura di questititoli.

15.2 Prezzo a pronti e prezzo a termineChiamiamo FT il prezzo a termine, cio il prezzo che l'acquirente del contratto a termine dovr pagare in T quando il venditore del contratto gli dar, incambio, il bene sottostante. Se il contratto prevede la consegna del titolo S (T )allora, dal teorema fondamentale della nanza, sappiamo che il prezzo del titoloal tempo t (lo chiamiamo F (t, T ) ed esso denito anche prezzo a pronti) dato dal valore atteso, sotto la probabilit Q, dell'unico usso di cassa alladata T , scontato al tasso privo di rischio:

G (t).(S(T)F)F (t, T ) = EQTtG (T )

Il payo del contratto (cio l'importo S (T ) FT ) rappresentato nellaFigura 15.1.I contratti a termine sul mercato, spesso, prevedono la consegna a termineanche di attivit nanziarie che, in realt, non sono consegnabili. Si pensi, peresempio, a contratti a termine sugli indici azionari. Un indice, per sua natura,non pu essere consegnato. In questo caso, alla scadenza, si salda semplicementela dierenza monetaria S (T ) FT senza passaggio sico del titolo sottostante.Occorre ricordare, ancora, che i contratti a termine, non sono standardizzati e, quindi, sono quotati Over-The-Counter (OTC). Non esistendo un

15.2 Prezzo a pronti e prezzo a termineFigura 15.1

383

Payo di un contratto a termine per la consegna, in T , del sottostante

S (T ) dietro pagamento del prezzo a termine FT

payo in T

6

S (T ) FT

O

FT

S (T )

FT

prezzo uciale trattato sui mercati nanziari, il prezzo F (t, T ) che si determina mediante i calcoli suesposti viene denito mark-to-market (pioch semplicemente una indicazione del mercato e non un prezzo uciale).Procediamo alla prezzatura: il valore atteso di una somma pari alla somma dei valori attesi e, dunque, questa formula si pu semplicare come segue(ricordo anche che FT non una variabile aleatoria perch un importo giscritto nel contratto all'atto della sottoscrizione):F (t, T ) =

EQt

G (t)G (t)Q Et FTS (T )G (T )G (T )

= S (t) FT B (t, T ) .

(15.1)

Questa equazione ci permette alcune interessanti osservazioni.1. In ogni momento t, il prezzo di un contratto a termine non necessita delcalcolo di nessun valore atteso; basta, infatti, conoscere il prezzo correntedel sottostante, il prezzo a termine (indicato nel contratto stesso) e ilvalore di uno zero-coupon che abbia la stessa scadenza del contratto.2. Un contratto a termine si pu replicare acquistando un'unit del sottostante e vendendo a termine una quantit di zero-coupon pari al prez-

384

15 I contratti a termine

Figura 15.2

Payo di un contratto a termine replicato da una unit del sottostante

S (T ) e dalla vendita alla scoperto di FT contratti zero-coupon (che, alla scadenza Tvalgono 1)

payo in T

6

S (T )

O

S (T ) FT

S (T )

FT

FT

zo a scadenza FT . Ricordando, infatti, che una ricchezza investita nelsottostante e nel derivato deve valereR (t) = S S (t) + B B (t, T ) ,

il risultato S = 1 e F = FT immediatamente ottentuo. Nella Figura15.2 mostro questa strategia di replica. Il motivo per cui nella guranon compaiono i valori degli zero-coupon che tutto viene calcolata allascadenza (cio in T ), quando il prezzo di uno zero-coupon B (T, T ) = 1.(t,T )3. Il contratto a termine ha delta pari a 1 (vale, infatti, FS(t)= 1). Per coprire la posizione su una unit del sottostante occorre vendere allo scopertoun contratto a termine (ricordiamo, infatti, la Proposizione 14.1.1).

Al momento della sottoscrizione del contratto a termine (diciamo al tempo

t0 ) non vi nessun usso di cassa (l'unico scambio avviene al tempo T ). Questo

signica che deve valere

F (t0 , T ) = 0,

ovvero che le aspettative del mercato devono essere tali da rendere uguali leaspettative di guadagno del venditore e del compratore. Se, infatti, il valore

15.2 Prezzo a pronti e prezzo a termine

385

F (t0 , T ) fosse positivo, cio se vi fossero attese di guadagni sulla dierenzaS (T ) FT , nessuno sarebbe disposto a vendere il contratto a termine (sarebbe

sconveniente, infatti, impegnarsi a cedere un bene a un prezzo pi basso diquello che ci si aspetta prevarr sul mercato). In modo del tutto analogo,se F (t0 , T ) fosse negativo, cio se vi fossero attese di perdite sulla dierenzaS (T )FT , nessuno sarebbe disposto a comprare il contratto a termine (sarebbesconveniente, infatti, impegnarsi a pagare il sottostante un prezzo pi elevatodi quello che si prevede prevarr sul mercato).Il fatto che il prezzo a pronti, in t0 , sia nullo, ha un'importante implicazionesull'eetto leva. Al momento della sottoscrizione del contratto, infatti, si haun investimento nullo mentre i guadagni e le perdite potenziali al tempo Tpossono essere anche molto elevati. L'eetto leva, in questo caso, innito.Ce ne accorgiamo dal calcolo dell'elasticit: poich in essa si trova il valore delderivato al denominatore e, in t0 , tale valore nullo, l'elasticit tende a innito.Con un investimento di zero euro, infatti, si muovono cifre a termine nonnulle.In un qualsiasi istante t successivo alla sottorscrizione, invece, il valore dell'elasticit cambia poich il prezzo a pronti del contratto cambia giorno pergiorno al variare del prezzo del sottostante. L'elasticit del contratto a termineal tempo t data daF,S (t) =

F (t, T ) S (t)S (t)=.S (t) F (t, T )S (t) FT B (t, T )

Dalla condizione F (t0 , T ) = 0 e dall'Equazione (15.1) si ottiene0 = S (t0 ) FT B (t0 , T ) ,

ovveroFT =

S (t0 ).B (t0 , T )

(15.2)

Gi nei capitoli iniziali si era ottenuto il risultato per cui moltiplicare per ilvalore di uno zero-coupon un qualsiasi importo signica scontare tale importo.Qui, invece, il valore del titolo S (t0 ) viene diviso per il prezzo di uno zero-coupone, dunque, viene capitalizzato. Si conclude, allora, che il prezzo a termine parial prezzo iniziale del sottostante, capitalizzato alla data di scadenza.

Si vuole determinare a quale prezzo, stabilito oggi (t0 = 0), deveessere scambiato, in T = 5, un titolo che valga oggi S (0) = 12.5 anch sul mercato non vi sia arbitraggio. Si sa che il tasso spot a cinque periodi r (0, 5) = 0.03(capitalizzazione continua).Esercizio 15.2.1

386

15 I contratti a termine

Dal tasso spot si pu determinare il prezzo del corrispondente zero-couponnel modo che gi conosciamo:

Soluzione.

B (0, 5) = er(0,5)5 = e50.03 = 0.86071.

Il prezzo a termine del titolo, poi, si ricava banalmente dall'Equazione (15.2)F (T ) =

S (0)12.5== 14.523.B (0, T )0.86071

Anch non vi sia arbitraggio, dunque, le parti devono accordarsi per scambiareil titolo, in T = 5, al prezzo di 14.523.

Si abbia un contratto a termine, sottoscritto qualche tempo prima,di vita residua pari a 2 periodi. Il tasso spot a due periodi r (0, 2) = 0.1 (capitalizzazione continua). Il prezzo dell'azione su cui costruito il contratto a termine , oggi,S (0) = 25. Determinare quale deve essere il prezzo a pronti F (0, 2) del contratto,sapendo che il prezzo di consegna a termine F2 = 24.Esercizio 15.2.2

Soluzione.

Il prezzo dello zero-coupon B (0, 2) si determina comeB (0, 2) = e0.12 = 0.81873,

mentre il prezzo a pronti del contratto si ricava dalla (15.1)F (0, 2) = S (0) F2 B (0, 2) = 25 24 0.81873 = 5.3505.

Chiunque volesse subentrare nel diritto a farsi consegnare il bene S in t = 2 alprezzo di 24 dovrebbe, cos, pagare 5.3505.

Sul mercato esistono diversi contratti a termine per diverse scadenze; peresempio, sulla stessa azione, ci pu essere un contratto che prevede la consegnatra 1 mese, un altro contratto che prevede la consegna tra 1 anno e cos via;ogni contratto, ovviamente, avr un diverso prezzo a termine FT . Quando su ungraco si mettono i prezzi a termine FT relativi a diverse scadenze T si formaquella che viene chiamata curva dei prezzi a termine. Ci possiamo domandarequale andamento abbia tale curva. La risposta data dal calcolo della derivatadi FT rispetto al tempo T (dalla (15.2)):S (t0 ) B (t0 , T )FT=,2TTB (t0 , T )

15.2 Prezzo a pronti e prezzo a termine

387

che, ricordando le relazioni della Tabella 9.1, si pu semplicare come1B (t0 , T )FT 1== f (t0 ; T ) .T FTTB (t0 , T )

Questo risultato ci permette di trarre alcune interessanti conclusioni:1. poich i tassi a termine istantanei sono sempre positivi, la curva dei prezzia termine sempre crescente;2. quando la curva dei tassi a termine istantanei crescente (cio f (tT0 ;T ) >0), la curva dei prezzi a termine crescente e convessa (cio cresce a ritmocrescente);3. quando la curva dei tassi a termine istantanei decrescente (cio f (tT0 ;T ) >0), la curva dei prezzi a termine crescente e concava (cio cresce a ritmodecrescente);4. quando la curva dei tassi a termine piatta (il che implica che anchela curva dei tassi a pronti sia piatta), la curva dei prezzi a termine un'esponenziale.Le relazioni appena riassunte sono mostrate, gracamente, nella Figura 15.3.Da quanto appena calcolato sembrerebbe impossibile che una curva dei prezzia termine sia decrescente (questo, infatti, implicherebbe dei tassi a terminenegativi). Vedremo nel prossimo paragrafo, tuttavia, che questo caso si pueettivamente vericare sul mercato ed dovuto al fatto che qui si preso inesame un titolo sottostante che non paga, durante la sua vita, nessun usso dicassa intermedio.Sui mercati a termine sono quotati i prezzi a termine FT per determinatiperiodi. Per esempio, quando il 15 gennaio 2010 si osserva che il prezzo atermine per un contratto a tre mesi (con scadenza il 15 aprile 2010) di 15euro, si intende che acquistando il contratto ci si impegna a pagare 15 euro, ilgiorno 15 aprile 2010, per ricevere il sottostante. Il giorno dopo, se lo stessoprezzo salito a 16 euro, signica che, per ricevere il sottostante il giorno 16aprile 2010, occorre impegnarsi a pagare 16 dollari. I due prezzi di 15 e di 16euro, quindi, si riferiscono a contratti diversi (il primo dura tre mesi e prevedela consenga il 15 aprile, mentre il secondo, pur durando anch'esso sei mesi,prevede la consegna il 16 aprile). Ogni giorno, dunque, sul mercato a termine,si quotano i contratti con una certa scadenza calcolandone il prezzo a terminecome se il contratto fosse sottoscritto il giorno stesso. Questo signica che,una volta acquistato un contratto, il suo valore non quello che si osserva sulmercato, ma quello che si ottiene dal calcolo dell'Equazione (15.1) dove tutti itermini sono noti al momento t (il prezzo FT sar quello che era prevalso sulmercato al momento della sottoscrizione del contratto).

388

15 I contratti a termine

Relazione tra l'andamento della curva dei tassi a termine istantanei e lacurva dei prezzi a termine

Figura 15.3

Curva dei tassi a terminecrescentef (0; T )

Curva dei tassi a terminedecrescentef (0; T )r(0)

r(0)O

FT

T

Curva dei prezzi a termineconvessa

S(0)

O

FT

T

Curva dei prezzi a termineconcava

S(0)

O

T

O

T

15.3 Contratti a termine su titoli che pagano ussi di cassaSappiamo che quando, tra il tempo t0 e il tempo T , un titolo paga ussi di cassa (s), il suo valore dato daS (t0 ) =

EQt0

"

T

t0

#G (t0 )G (t0 ),ds + S (T ) (s)G (s)G (T )

poich viene venduto al prezzo S (T ) e, durante la sua permanenza nel portafoglio, d diritto ai ussi di cassa. In questo caso il prezzo a termine FTdi un contratto forward , comunque, dato dal valore che risolve la seguenteequazione:

0 = EQt0 (S (T ) FT )

G (t0 ),G (T )

15.3 Contratti a termine su titoli che pagano ussi di cassa

e, cio,0=

EQt0

389

G (t0 )Q G (t0 )S (T ) FT Et0,G (T )G (T )ihG(t0 )EQt0 S (T ) G(T ).FT =B (t0 , T )

Questa volta, tuttavia, il numeratore non si semplica come nella (15.2). Ilnumeratore, infatti, non pi uguale al prezzo odierno del sottostante, bensesso dato dal prezzo odierno del sottosante diminuito dei ussi di cassa tra iltempo t0 e il tempo T . In base alla prima equazione di questo paragrafo, infatti,possiamo ricavare che valeEQt0

"#

TG (t0 )G (t0 )QS (T )= S (t0 ) Et0 (s)ds ,G (T )G (s)t0

(15.3)

che, sostituita nella formula di FT , ci porta a concludere che il prezzo a terminesi ottiene comeFT =

S (t0 )B (t0 , T )

EQt0

hTt0

0) (s) G(tG(s) ds

B (t0 , T )

i

.

(15.4)

Nel caso in cui il sottostante paghi dei ussi di cassa, quindi, il prezzo atermine dato dalla formula (15.2) alla quale va sottratto il valore attuale ditutti i ussi di cassa opportunamento capitalizzato (dividere per il prezzo di unozero-coupon, infatti, ricordo che equivale a capitalizzare).

N.B. 15.3.1 Sui contratti a termine che riguardano le merci, i ussi di cassaintesi come cedole o dividendi sono spesso sostituiti dai costi di immagazzinamento delle merci.A questo punto possiamo avere un comportamento della curva dei prezzi atermine molto vario (e non solo crescente come nel precedente paragrafo). Pervericare l'andamento della curva a termine basta calcolare la derivata di FTrispetto a T utilizzando la (15.4)1 :hi ihB(t0 ,T )G(t0 )Q T0) (s) G(tB (t0 , T ) EQt0 (T ) G(T ) S (t0 ) Et0G(s) dsTt0FT=2TB (t0 , T )ihG(t)0EQt0 (T ) G(T )1B (t0 , T ) FT.=B (t0 , T )TB (t0 , T )1 Ricordo

che il segno di derivata e di integrale si possono scmabiare tra loro e, quindi, vale

QET t0

T

(s)t0

TG (t0 )G (t0 )G (t0 ) (s)ds = EQds = EQ.t0t0 (T )G (s)T t0G (s)G (T )

390

15 I contratti a termine

Ora, ricordando le relazioni della Tabella 9.1, abbiamoFT= FT f (t0 ; T ) T

hiG(t0 )(T)EQt0G(T )B (t0 , T )

.

Possiamo dividere entrambi i membri per FT e, nel membro di destra,sostituire FT con il suo valore dato dalla (15.4),ihG(t0 )Q(T)Et0G(T )FT 1i.h= f (t0 ; T ) Q T0)T FTS (t0 ) Et0 t0 (s) G(tG(s) ds

Inne, ricordando la (15.3), possiamo concludere con la seguente formula:ihG(t0 )Q(T)Et0G(T )FT 1hi.= f (t0 ; T ) Q0)T FTEt0 S (T ) G(tG(T )

(15.5)

Dato il segno che separa i due termini del membro di destra, si capisce subitoche, in questo caso, la curva dei prezzi a termine pu essere anche decrescente.Il termine che si sottrae rispetto al caso del paragrafo precedente ha una suasemplice interpretazione: si tratta del rapporto tra il valore atteso scontatodell'ultimo usso di cassa che si ricever in futuro e il valore atteso scontatodel prezzo futuro del sottostante; si tratta, quindi, in qualche modo, dell'indicedividend/price atteso2 per la data di scadenza del contratto a termine.Possiamo, allora, concludere quanto segue (si confronti la Figura 15.4):1. se il tasso a termine istantaneo maggiore del dividend/price previsto,allora la curva dei prezzi a termine crescente; in inglese si dice che lacurva in contango (o anche contangoed ) mentre in italiano si diceche la curva in riporto3 ; si tratta del caso pi comune sui mercatinanziari;2. se il tasso a termine istantaneo minore del dividend/price previsto, allorala curva dei prezzi a termine decrescente. in inglese si dice che la curva in backwardation (cio a rovescio rispetto all'usuale andamento)mentre in italiano si dice che la curva in deporto4 ; questo unnotare che non si trattaesattamentedell'indice dividen/price atteso e scontatohi(T )poich esso, invece, sarebbe EQt0 S(Tesappiamobene che il rapporto dei valori attesi di)due variabili aleatorie non il valore atteso del rapporto delle variabili.3 Il nome deriva dalla pratica borsistica di rinviare a un periodo successivo (cio riportare,appunto) la consegna del sottostante. Ovviamente il venditore del contratto che ottiene talerinvio deve pagare una penale e, quindi, il costo del contratto, per lui, diviene pi elevato(cio si ha una curva a termine crescente). Il termine inglese pare che venga dalla corruzionedella parola continuation .4 Il nome deriva dalla stessa pratica borsistica di rinvio della consenga del sottostante vistaper il punto precedente. In questo caso, per, si guarda il lato dell'acquirente del contrattoche, in cambio della concessione del rinvio, ottiene il pagamento di una penale. Il costo delcontratto, per lui, quindi, diviene pi piccolo (cio si ha una curva a termine decrescente).2 Faccio

15.3 Contratti a termine su titoli che pagano ussi di cassaFigura 15.4

paga cedole

391

Possibili andamenti della curva dei prezzi a termine per un titolo che

Curva dei prezzi a terminein riporto (contango )

FT 6

Curva dei prezzi a terminein deporto (backwardation )

FT 6S(0)

S(0)

T

O

T

OG(0)

G(0)

f (0; T ) >

EQ0 [(T ) G(T ) ]EQ0

[

G(0)S(T ) G(T)

]

f (0; T ) 0), il prezzo a termine del forward maggiore delG(T )prezzo del future :FT > F (t0 , T ) .

Questo accade perch il prezzo a termine FT , lo ricordiamo, dato dalla(15.2). Se al crescere del sottostante cresce anche il tasso di interesse,allora si riduce il valore dello zero-coupon B (t0 , T ) e, quindi, il valore FTcresce (e diviene maggiore del prezzo del future );3. quandoh i tassi di iinteresse sono negativamente correlati al sottostante (cioQ0)Ct0 S (T ) , G(tG(T ) < 0), il prezzo a termine del forward minore del prezzodel future :FT < F (t0 , T ) .

6 Di seguito ho chiamato CQ la covarianza, calcolata sotto la probabilit neutrale al rischio,t0e condizionata alle informazioni disponibili in t0 .

15.5 I Forward-Rate-Agreement (FRA)Figura 15.8

401

Schema di un contratto F RA(T1 t)(T2 t)r (T1 , T2 )sT1

t

T2*

Tempo

F RA(T1 t)(T2 t)

Se al crescere del sottostante il tasso di interesse si riduce, allora il valoredello zero-coupon B (t0 , T ) aumenta e, nella (15.2), il valore FT diminuisce(e diviene minore del prezzo del future ).

15.5 I Forward-Rate-Agreement (FRA)I FRA sono contratti derivati, a termine, sui tassi di interesse. Mediante unFRA ci si accorda, oggi, ssando un tasso di interesse che dovr valere per unperiodo futuro. Giunto quel periodo, allora, non si pagher il tasso a pronti cheprevarr sul mercato, bens quello stabilito dal contratto. Il FRA riporta nellasua stessa denominazione le scadenze per le quali viene stipulato. In questomodo, un F RA(T1 t)(T2 t) stipulato al tempo t il contratto che prevede, altempo T1 , la rilevazione del tasso di interesse valido per il periodo tra T1 eT2 (con T2 che la scadenza del contratto), dove i tempi sono, generalmente,indicati in mesi. Un F RA14 , allora, prevede la rilevazione, tra un mese, deltasso di interesse a tre mesi; un F RA1216 prevede la rilevazione, tra un anno,del tasso di interesse a quattro mesi, e cos via. Lo schema quello riportatonella Figura 15.8.Essendo il contratto FRA un derivato a termine, il suo valore dato dalladierenza, opportunamente scontata, tra ci che l'acquirente ricever (cio iltasso a pronti che prevarr sul mercato per il periodo considerato) e ci chel'acquirente del contratto pagher (cio il tasso gi stabilito al momento dellastipula). Se il tasso ssato sul contratto viene chiamato rF RA allora il prezzo diun FRA dato da:F RA(T1 t)(T2 t) =

EQt

G (t)(r (T1 , T2 ) rF RA ) (T2 T1 ).G (T2 )

(15.6)

Qui ho supposto, come accade pi spesso nella realt, che il pagamentonale del tasso di interesse avvenga alla scadenza T2 (cio posticipatamente).Se, invece, il pagamento avvenisse anticipatamente, e cio in T1 , basterebbesostituire il fattore di sconto G (t) /G (T2 ) con il fattore di sconto G (t) /G (T1 ).

402

15 I contratti a termine

Rispetto all'usuale contratto forward, il payo del FRA comprende anchel'intervallo temporale T2 T1 . Questo dovuto al fatto che sia il tasso a prontir (T1 , T2 ) sia il tasso a termine rF RA si riferiscono all'orizzonte temporale di unanno (salvo diversa indicazione del contratto) e, quindi, gli importi da scambiaredevono essere ricondotti al periodo di tempo per il quale, eettivamente, ilcontratto valido. Il modo in cui il termine (T2 T1 ) entra nei calcoli tipicodella capitalizzazione semplice e questo dovuto al fatto che, nella maggiorprate dei casi, il periodo (T2 T1 ) minore di un anno.Come accade per tutti gli altri contratti a termine, al momento della stipula(in t0 ) i guadagni attesi scontati e le perdite attese scontati devono compensarsiperfettamente e, quindi, il valore del contratto deve essere nullo. Al momentodella sottoscrizione, allora, la (15.6) diventa:

G (t0 )(r(T,T)r)(TT)0 = EQ,12FRA21t0G (T2 )

da cui, osservando che T2 T1 una variabile deterministica, si pu facilmenteottenere il valore di rF RA :rF RA

hiG(t0 )EQt0 r (T1 , T2 ) G(T2 )ih=,G(t0 )EQt0 G(T2 )

dove, per analogia con la (8.5), possiamo vedere che nel membro di sinistra sitrova il tasso di interesse a termine, stabilito in t0 , per il periodo da T1 a T2 ,ovvero f (t0 ; T1 , T2 ). Alla data t0 , infatti, accordarsi per pagare, in T2 il tassor (T1 , T2 ) oppure il tasso f (t0 ; T1 , T2 ) deve essere esattamente la stessa cosa;cio, in altri termini, deve valere la condizione di non arbitraggio

G (t0 )G (t0 )Qr(T,T)EQf(t;T,T)=E,12012t0t0G (T2 )G (T2 )

ma poich f (t0 ; T1 , T2 ) conosciuto in t0 possiamo raccoglierlo a fattor comunerispetto al valore atteso e scrivereihG(t0 )r(T,T)EQ12t0G(T2 )hif (t0 ; T1 , T2 ) =.Q G(t0 )Et0 G(T2 )

Al momento della stipula di un contratto FRA, quindi, il tasso rF RA devenecessariamente concidere con il tasso a termine (pena la presenza di arbitraggiosul mercato) e il FRA deve valere zero. Al passare del tempo, poi, il FRA puassumere qualsiasi valore, sia positivo sia negativo, a seconda delle aspettativedel mercato sui tassi di interesse. Se il FRA dell'equazione (15.6) era statosottoscritto in t0 < t, infati, l'equazione pu essere riscritta comeF RA(T1 t)(T2 t) =

EQt

G (t)(r (T1 , T2 ) f (t0 ; T1 , T2 )) (T2 T1 ).G (T2 )

15.5 I Forward-Rate-Agreement (FRA)

403

Tabella 15.4 Tassi di interesse (in percentuale) su alcuni FRA alla data 8/3/2010[fonte: www.milanonanza.it/tassi ]

FRA

Bid (Lettera)

Ask (Denaro)

14

0.678

0.658

36

0.770

0.750

69

0.981

0.966

9 12

1.192

1.172

17

0.986

0.966

39

1.088

1.068

6 12

1.284

1.264

12 18

1.670

1.650

Da notare che sui mercati nanziari non sono quotati i prezzi F RA(T1 t)(T2 t) ,bens i tassi rF RA . A titolo di esempio, riporto nella Tabella 15.4, la rilevazione,alla data dell'8 marzo 2010, di alcuni tassi FRA.

N.B. 15.5.1 La dierenza tra quotazioni bid e ask il guadagno che un inter-

mediario ottiene organizzando, sui mercati, gli acquisti e le vendite. Il prezzo bid(o prezzo lettera) quello a cui l'intermediario disposto a vendere un certobene, mentre il prezzo ask (o prezzo denaro) quello a cui l'intermediario disposto a comprare lo stesso bene. Ovviamente il prezzo bid sempre maggioredel prezzo ask. Se un mercato molto liquido e vi sono molti intermediari, laconcorrenza dovrebbe far ridurre il dierenziale bid-ask.Alla data T1 tutta l'incertezza del contratto viene completamente risolta.Infatti, in T1 si determina il tasso a pronti r (T1 , T2 ) e, quindi, non vi pialcuna variabile aleatoria. Lo osserviamo scrivendo la precedente equazione int = T1 :

G (T1 )(r(T,T)f(t;T,T))(TT)F RA0(T2 T1 ) = EQ1201221T1G (T2 )= (r (T1 , T2 ) f (t0 ; T1 , T2 )) (T2 T1 ) B (T1 , T2 ) .

Accade spesso, infatti, che il contratto sia liquidato in T1 e, cio, prima dellascadenza teorica T2 .

Esercizio 15.5.1

In data 1/5/2010 una societ ha in essere un nanziamento di

100'000 euro a tasso variabile. La scadenza l'1/9/2010 e il tasso di interesse da

404

15 I contratti a termine

pagare sar l'Euribor a tre mesi rilevato l'1/6/2010. Temendo un rialzo dei tassi diinteresse (e, quindi, un aggravio dei costi), la societ decide di stipulare un F RA14con cui, tra un mese, verr rilevato il tasso trimestrale che essa ricever (compensando quanto deve pagare al suo nanziatore), pagando, invece, il tasso sso rF RA che,oggi 1/5/2010, per il contratto desiderato, di 2.75%. Se in data 1/6/2010 il tassoEuribor a tre mesi rilevato pari al 3%, determinare il valore, all'1/6/2010, del FRAsottoscritto sapendo che un BOT a tre mesi quota 0.99.

Soluzione. L'esercizio fornisce gi tutti i dati di cui si ha bisogno. In particolareabbiamo, alla data T1 =1/6/2010,

r (T1 , T2 ) = 0.03,rF RA = 0.0275,92T2 T1 =,360B (T1 , T2 ) = 0.99.

Qui ho utilizzato, come accade per i FRA sull'Euribor, la convenzione per cui iltempo calcolato come rapporto tra giorni eettivi (di calendario) e 360. Possiamocos calcolare il valore del contratto su 1000 000 euro di nominale come1000 000 (r (T1 , T2 ) rF RA ) (T2 T1 ) B (T1 , T2 ) = 63.25.

In questo modo la societ riceve 63.25 euro che esattamente la somma che devepagare in pi per essersi nanziata a tasso variabile e, quindi, il risultato nale ugualea quello che avrebbe avuto nanziandosi al tasso sso del 2.75%.

16Gli

swaps

16.1 GeneralitLa parola ingelse swap signica scambio. Si parla, infatti, di swap (quotatosul mercato OTC) quando due parti contraenti si scambiano qualcosa. Questoqualcosa pu essere: ussi di cassa, attivit nanziarie, valute (o qualunque benesuggerito dalla fantasia dei contraenti). I due beni scambiati possono avere lastessa natura (si pu scambaire un tasso di interesse contro un altro tasso diinteresse) oppure natura diversa (si pu scambiare un usso di cassa contro lafornitura periodica di un bene).Se il contratto swap prevede di incassare i ussi di cassa A (s) ad ogni istantes, pagando, in contropartita, i ussi di cassa B (s) no a una data futura T ,allora il suo valore al tempo t dato daSw (t, T ) =

EQt

"

t

T

#G (t)(A (s) B (s))ds ,G (s)

dove si usata, come sempre, la regola stabilita nel Teorema 5.14.1 fondamentaledella nanza per cui il valore del titolo dato dal valore atteso, sotto la probabilit neutrale al rischio, dei ussi di cassa (netti) a cui il titolo dar diritto,scontati al tasso privo di rischio.Come nel caso del contratto a termine, uno swap viene stabilito in modo cheil suo valore al momento della sottoscrizione (t0 ) sia nullo. In altri termini dueparti si accordano per scambiarsi due attivit nanziarie che, al momento dellasottoscrizione, hanno lo stesso valore. Dalla relazioneEQt0

"

T

t0

#G (t0 )(A (s) B (s))ds = 0,G (s)

infatti, si ottieneEQt0

"

T

t0

"##TG (t0 )G (t0 )QA (s)ds = Et0ds .B (s)G (s)G (s)t0

16 Gli swaps

406

A dierenza dei contratti a termine, gli swap prevedono uno scambio continuo (e non, solo, a una data nale) e tale scambio pu avvenire anche tra duebeni il cui valore futuro sia sconosiuto. Nel contratto a termine, invece, il prezzoda pagare alla scadenza (FT ) era conosciuto gi al momento della sottoscrizione.A seconda della natura dei ussi di cassa (t) si distinguono le diverse formedi swap. I due ussi di cassa sono deniti gambe (anche in inglese legs ) ein base al fatto che i pagamenti siano ssi o variabili si distinguono due tipi diswap : sso contro variabile: una parte paga ussi di cassa ssi mentre l'altra si

impegna a pagare ussi di cassa indicizzati a una variabile del mercato;

variabile contro variabile: entrambe le parti si impegnano a apgare ussi

di cassa indicizzati, ovviaente, a due variabili diverse.

Il caso del sso contro sso non ha senso economico poich per ricevere unusso costante , il usso costante che bisogna pagare in cambio proprio (ameno che non siano diverse le date di inizio e di ne dei pagamenti, ma questocaso non mai contemplato nella pratica).Qualora, per esempio, una parte si impegni a pagare ussi di cassa indicizzatiai rendimenti di una particolare azione o di un indice di borsa, lo swap vienedenito equity swap .Il caso pi comune, comunque, quello in cui A (t) e B (t) sono entrambiussi di cassa legati a tassi di interesse sul mercato; si parla, in questo caso, diInterest Rate Swap o IRS, di cui tratto nei seguenti paragra.

16.2 Swaps sui tassi di interesse (IRS - InterestRate Swaps )Mediante un Interest Rate Swap (IRS ) due parti si accordano per scambiarsi,a scadenze ssate, i pagamenti sullo stesso importo nominale, ma riferiti a duediversi tassi di interesse. Il caso pi comune quello di un IRS sso controvariabile mediante il quale una parte paga un tasso sso (diciamo ) e l'altrapaga un tasso variabile (diciamo r (s)). Alla data t, e sapendo che il contrattodura no alla data T , il suo valore per la parte che paga il sso e riceve ilvariabile dato daSw (t, T ) =

EQt

"

t

T

#G (t)ds .(r (s) )G (s)

interessante notare che questo IRS coincide con una sequenza di contrattia termine: esso, infatti, pu essere replicato acquistato un contratto a terminecon pagamento pari a FT = per ogni possibile data futura. Esso, quindi, sipresta alla gestione del rischio per chi non deve restituire un prestito in unadata unica, ma per chi deve eettuare pagamenti rateali.

16.2 Swaps sui tassi di interesse (IRS - Interest Rate Swaps )

407

L'utilizzo di un IRS sso contro variabile (o di un portafoglio che lo replichi)serve per modicare i termini con cui si preso (o ceduto) denaro a prestito.Un'impresa che si molto indebitata a tasso variabile potrebbe trovare conveniente entrare in un accordo IRS scambiando una parte dei suoi ussi di cassaaleatori con dei ussi di cassa costanti in modo da essere meno esposta al rischioche i tassi di interesse crescano.Sapendo che al momento della sottoscrizione (in t0 ) il valore del contrattodeve essere nullo, cioEQt0

"

T

t0

#G (t0 )(r (s) )ds = 0,G (s)

allora immediato ricavare il tasso sso che mette il contratto in equilibrio:=

iG(t0 )dsr(s)G(s)t0hi .Q T G(t0 )Et0 t0 G(s) ds

EQt0

hT

Quando, per esempio, una banca accorda a un cliente un mutuo a tasso sso, essa sta rinunciando a percepire un tasso variabile per tutta la durata delmutuo. Quale tasso sso, quindi, la banca disposta ad accordare al cliente?Evidentemente quel tasso sso che genera ussi di cassa i cui valori attesi scontati sono uguali a quelli generati dal tasso di interesse variabile. Per questomotivo, sui mercati dei mutui, molto comune trovare il riferimento al tasso IRS, indicando con esso il tasso sso ( ) che corrisponde al pagamento diun tasso variabile. Poich, in genere, il tasso variabile richiesto dalle banche parametrato all'EURIBOR, il tasso IRS di riferimento viene anche denitoEURIRS.Nella Tabella 16.1 riporto i dati del tasso IRS sull'EURIBOR per alcunescadenze. Osserviamo che il tasso crescente salvo per le scadenze molto lunghe(su 25 o 30 anni) per le quali si ha una lieve riduzione del tasso (cos comesi vedeva anche dalla curva dei tassi a pronti calcolati dalla BCE e riportatinell'ultima colonna della tabella).Sul mercato interbancario si sviluppato un particolare tipo di swap chiamato EONIA-Swap che prevede lo scambio di un tasso sso contro il tasso EONIApagato giornalmente (l'acronimo signica European Over Night Index Averageed una media ponderata dei tassi over-night praticati sul mercato interbancario europeo). Nella Tabella riporto i valori del tasso sso sugli EONIA-Swapper alcune scadenze (T ).Un caso di swap particolarmente interessante dal punto di vista teorico si haquando il tasso variabile coincide con il tasso privo di rischio (r = r). Come si gi dimostrato nel Paragrafo 9.3, valeEQt

"

t

T

#G (t)ds = 1 B (t, T ) ,r (s)G (s)

16 Gli swaps

408

16.1 Tassi di interesse IRS (in percentuale e contro il tasso variabile EURIBOR ) su alcune scadenze (in anni) rilevati alla data 8/3/2010 e (ultimacolonna) tasso spot su obbligazioni di Stato (rating AAA) dell'area euro [fonti:www.milanonanza.it/tassi ; www.ecb.int/stats/money/yc ]

Tabella

Scadenza

Bid (Lettera)

Ask (Denaro)

Tasso spot

1

1.159

1.109

0.578

2

1.546

1.496

1.073

3

1.908

1.858

1.549

4

2.222

2.172

1.970

5

2.500

2.450

2.336

6

2.743

2.693

2.652

7

2.948

2.898

2.962

8

3.119

3.069

3.163

9

3.260

3.210

3.366

10

3.383

3.333

3.540

12

3.584

3.534

3.813

15

3.780

3.730

4.072

20

3.908

3.858

4.227

25

3.887

3.837

4.172

30

3.817

3.767

4.008

e, dunque, il valore di un IRS dato daSw (t, T ) = 1 B (t, T )

T

B (t, s) ds,

(16.1)

t

menre il tasso sso si ricava dalla condizione Sw (t0 , T ) = 0, ottenendo1 B (t, T ) = T.B (t, s) dst

(16.2)

L'Equazione (16.2), in realt, ha un volto conosciuto. Si tratta del par yieldche era gi stato presentato nell'Equazione (9.6). Grazie a questa corrispondenza, dunque, la cedola ssa di uno swap si pu interpretare come la cedola (ssa)di un titolo che fosse quotato alla pari.La curva che rappresenta i valori di per gli swap su diverse scadenze vienechiamata swap par yield curve e si utilizza, nella pratica nanziaria, al pari,e forse anche di pi, della curva dei prezzi degli zero-coupon.

16.2 Swaps sui tassi di interesse (IRS - Interest Rate Swaps )

409

Tassi (in percentuale) sugli EONIA-Swap per alcune scadenze rilevatialla data 9/3/2010 e (ultima colonna) tasso spot su obbligazioni di Stato (rating AAA)dell'area euro [fonti: www.milanonanza.it/tassi ; www.ecb.int/stats/money/yc ]

Tabella 16.2

Scadenza

EONIA-Swap

Tasso spot

1 settimana

0.336

0.240

1 mese

0.342

0.251

2 mesi

0.348

0.269

3 mesi

0.354

0.289

4 mesi

0.368

0.313

5 mesi

0.398

0.339

6 mesi

0.429

0.368

7 mesi

0.458

0.399

8 mesi

0.488

0.431

9 mesi

0.518

0.465

10 mesi

0.549

0.500

12 mesi

0.602

0.573

Dalla formula di valutazione di uno swap (16.1) si osserva che esso coincidecon un portafoglio nel quale si :1. investito in un'unit monetaria (messa sotto il materasso);2. venduto allo scoperto uno titolo che paga, tra t e T , una cedola ssa paria e che rimborsa alla pari.Appare cos evidente che lo swap un titolo ridondante che, su un mercatonanziario completo, si pu replicare con i titoli gi presenti sul mercato.Un caso pi comune quello di un IRS nel quale il tasso variabile r (s)non il tasso privo di rischio (cio quello che si utilizza per scontare i ussi dicassa). Le equazioni per la valutazione dell'IRS e per il calcolo del tasso ssosi possono semplicare, in questo caso, ricorrendo alla curva dei tassi a terminef (t; s). Sappiamo, infatti, che la relazione di non arbitraggio impone che valga

G (t)G (t)Qf(t;s)=Er(s).EQttG (s)G (s)|{z}f (t;s)B(t,s)

16 Gli swaps

410

Il valore dello swap in t0 , dunque, dunque, si pu scrivere comeSw (t, T ) ==

EQt

t

"

T

#"#TG (t)G (t)Qr (s)ds EtdsG (s)G (s)tt Tf (t; s) B (t, s) ds B (t, s) ds.T

(16.3)

t

Da qui, sfruttando la condizione Sw (t0 , T ) = 0, si ottiene il tasso sso=

Tt

f (t; s) B (t, s) ds.TB (t, s) dst

(16.4)

Per ottenere il tasso IRS, dunque, si deve calcolare una media ponderatadei tassi di interesse a termine f (t; s) i cui pesi sono pari ai valori degli zerocoupon. In questo capitolo mostro come calcolare la curva dei tassi a terminee i valori degli zero-coupon una volta conosciuta la curva dei tassi a pronti. Icalcoli saranno condotti in tempo discreto (che quello eettivamente adottatonei contratti IRS ).

16.3 Tassi IRS in tempo discretoNella pratica nanziaria i tassi istantanei, seppur cos comodi per i calcoli intempo continuo, non sono mai applicati. I risultati ottenuti in tempo continuo,dunque, possono essere utilizzati come approssimazioni dei risultati eettivi intempo discreto che mostro in questo paragrafo. Supponiamo di partire daltempo t0 e che i tempi dei pagamenti siano ti con i = {1, 2, ..., n}. In generei tassi di interesse vengono pagati per periodi uguali ai periodi ai quali essi siriferiscono. Rate trimestrali, per esempio, sono calcolate su tassi trimestrali.I tassi a pronti che verranno corrisposti durante i pagamenti delle rate sonodeniti come r (ti1 , ti ) e i tassi a termine come f (t0 ; ti1 , ti ). La formula(16.4), dunque, deve essere opportunamente modicata e le modiche principalisono le seguenti.1. La modica pi semplice quella di sostituire l'integrale con una sommaapplicativo, dunque, il simbolotoria. Da un punto di vista prettamentePviene sostituito dal simbolo . , poi, importante, capire come si modichi il dierenziale dt. Nell'integrale esso indica la frazione di tempo(innitesima) per cui valido il tasso di interesse istantaneo r (t). Nelcaso discreto, allo stesso modo, esso deve indicare la frazione di tempo(questa volta nita) per cui valido il tasso spot ed , quindi, uguale a(ti ti1 ).

2. Quando non si in tempo continuo diviene rilevante sapere se i ussi dicassa per il periodo (ti1 , ti ) sono da corrispondersi alla ne o all'iniziodel periodo (cio se il pagamento anticipato oppure posticipato). prassi comune che negli IRS i ussi di cassa vengano corrisposti alla nedi ogni periodo (in ti ).

16.3 Tassi IRS in tempo discreto

411

3. Se per il periodo (ti1 , ti ) il pagamento posticipato e, quindi, avviene inti , si deve ancora sapere se prendere in considerazione il tasso r (ti1 , ti )oppure il tasso r (ti , ti+1 ), entrambi, comunque, conosciuti in ti . NegliIRS si trovano entrambe le soluzioni. Se in ti viene pagato il tasso spotr (ti1 , ti ) (che stato rilevato a inizio periodo) allora l'IRS viene denitoin advance (dall'inglese in anticipo), mentre se in ti viene pagato iltasso spot r (ti , ti+1 ) (che stato rilevato a ne periodo) allora l'IRSviene detto in arrears (dall'inglese in arretrato, riferito, soprattutto,a pagamenti di importi arretrati e, quindi, ancora dovuti).4. Inne, occorre sapere quale capitalizzazione deve essere adottata (se semplice o composta). Poich i pagamenti sono, nella maggior parte dei casi,riferiti a periodi trimestrali, si adotta la capitalizzazione semplice. In eetti all'interno dell'integrale il prodotto f (t0 ; s) ds diventa f (t0 ; ti1 , ti ) (ti ti1 )che caratterizza, appunto, la capitalizzazione semplice.Poich i tassi di interesse sono sempre espressi in termini annuali, anche i tempidevono essere espresso in anni e, quindi, il conteggio dei giorni tra una data el'altra deve essere sempre rapportato al numero di giorni presenti in un anno. Laconvenzione per il calcolo degli interessi sugli IRS quella di utilizzare i giornieettivi di calendario compresi tra un pagamento e l'altro, divisi per i giornidell'anno commerciale, cio 360 (in inglese si usa la dicitura actual/360 ).Supponendo che il pagamento avvenga posticipatamente (cio alla data ti peril periodo da ti1 a ti ), vediamo come riscrivere la formula (16.4) per il calcolodel tasso sso dell'IRS a seconda che il tasso di riferimento del periodo (ti1 , ti )sia da rilevarsi all'inizio del periodo (essendo, dunque, r (ti1 , ti )) oppure allane del periodo (essendo, dunque, r (ti , ti+1 )).1. Tasso rilevato all'inizio del periodo (in advance ). In questo caso inti1 si rileva il tasso r (ti1 , ti ) che, poi, verr pagato in ti . L'Equazione(16.4), quindi, divienead =

Pn

i=1

f (t0 ; ti1 , ti ) B (t0 , ti ) (ti ti1 )Pn.i=1 B (t0 , ti ) (ti ti1 )

(16.5)

Poich, in genere, i pagamenti delle rate avvengono a distanze sempreuguali (mensili, trimestrali, semestrali,...), il valore della dierenza (ti ti1 )dovrebbe essere sempre lo stesso e, quindi, semplicarsi al numeratore eal denominatore. Nel calcolo degli IRS, tuttavia, i tempi vengono espressiingiorni e uno stesso periodo di tre mesi pu contenere un numero di giornidiverso a seconda del periodo dell'anno. Si preferisce, quindi, utilizzarela formula (16.5) nella sua forma completa comprendente anche i periodi(ti ti1 ).

2. Tasso rilevato alla ne del periodo (in arrears ). In questo caso in tisi rileva il tasso r (ti , ti+1 ) che viene pagato proprio in ti . L'Equazione(16.4), quindi, divienear =

Pn

i=1

f (t0 ; ti , ti+1 ) B (t0 , ti ) (ti ti1 )Pn.i=1 B (t0 , ti ) (ti ti1 )

(16.6)

16 Gli swaps

412

Questa volta, come si nota dalla formula, sar necessario conoscere untasso di interesse a pronti in pi rispetto alla formula precedente.In entrambi i casi, comunque, dobbiamo conoscere la curva dei tassi a prontie i periodi a cui questi si riferiscono. Ci signica che per la creazione di unafunzione che calcoli il valore di occorre avere come input le date e la curva deitassi spot (sia i tassi r sia i tassi r )Per ricavare i tassi a termine f (t0 ; ti1 , ti ) dalla curva dei tassi a prontir (t0 , ti ) utilizzo la relazione di non arbitraggio sulla capitalizzazione semplice:

f (t0 ; ti1 , ti ) =

1 + r (t0 , ti ) (ti t0 )11 + r (t0 , ti1 ) (ti1 t0 )

1.ti ti1

Poich in capitalizzazione semplice il prezzo di uno zero-coupon dato daB (t0 , ti ) =

1,1 + r (t0 , ti ) (ti t0 )

la precedente relazione pu essere scritta comef (t0 ; ti1 , ti ) =

B (t0 , ti1 )1B (t0 , ti )

1.ti ti1

Osserviamo, cos, che per calcolare lo spread dell'IRS sono necessari soloi prezzi degli zero-coupon, sia quelli basati sul tasso privo di rischio sia quellibasati sul tasso r .Il caso pi semplice quello in cui si har = r,

ovvero con l'IRS viene scambiato il tasso di interesse privo di rischio. In questocaso vale, ovviamente, anche f = f e B = B e, quindi, sostituendo i tassi atermine nella (16.5) si ottiene la seguente semplicazione:ad =

Pn

i=1

B(t0 ,ti1 )1B(t0 ,ti ) 1 ti ti1 B (t0 , ti ) (tiPni=1 B (t0 , ti ) (ti ti1 )

ti1 )

Pn(B (t0 , ti1 ) B (t0 , ti ))i=1Pni=1 B (t0 , ti ) (ti ti1 )1 B (t0 , tn ).= PnB(t0 , ti ) (ti ti1 )i=1

=

Questo risultato esattamente lo stesso del caso visto in tempo continuo.Quando la rilevazione del tasso di interesse avviene alla ne del periodoconsiderato, lo spread si semplica nel modo seguente:ar =

Pn

i=1

ti ti1B(t0 ,ti )B(t0 ,ti+1 ) 1 B (t0 , ti ) ti+1 tiPni=1 B (t0 , ti ) (ti ti1 )

.

16.3 Tassi IRS in tempo discreto

413

Esercizio 16.3.1 In data 7 maggio 2010, la curva dei tassi spot EURIBOR quelladella seconda e terza colonna della Tabella 16.3. Calcolare lo spread di uno swap inadvance che, sottoscritto il 7 maggio 2010, scade tra un anno e paga ussi trimestrali.

I calcoli preliminari sono quelli relativi ai giorni compresi tra la data disottoscrizione e ogni scadenza e tra le singole scadenze. Essi sono calcolati, rispettivamente, nella quarta e quinta colonna della Tabella 16.3 dove, faccio notare, i valoridei giorni sono gi divisi per 360. Nella sesta colonna sono calcolati i valori deglizero-coupon (con capitalizzazione semplice). Nella settima colonna si calcolano i tassiforward (anch'essi con capitalizzazione semplice). Nell'ottava colonna si calcolano ivalori attuali dei tassi forward (cio si moltiplica ogni tasso per il corrispondente zerocoupon e per il lasso di tempo relativo alla cedola) la cui somma costituisca la gambavariabile dello swap. Il denominatore della formula dello spread (cio la somma deglizero-coupon moltiplicati per i giorni) calcolata nella nona colonna.Lo spread, a questo punto, pari al valore della gamba variabile diviso per ildenominatore:Soluzione.

=

0.01251= 0.01242.1.00690

Per vericare il risultato, nell'ultima colonna si calcola il valore della gamba ssa.Da notare che il valore della gamba variabile pari a 1 diminuito del valore dell'ultimozero-coupon (1 0.98749).

16 Gli swaps

Calcolo dello spread di uno swap in advance sottoscritto il 7 maggio 2010 con scadenza a un anno e con pagamentiposticipati trimestrali

414

Tabella 16.3

ti

Date

EURIBOR

Giorni

Giorni

Zero-coupon

Forward

Gamba variabile

Denominatore

Gamba ssa

t0

07/05

r (t0 , ti )

ti t0

ti ti1

B (t0 ti )

f (t0 ; ti1 , ti )

1

f (t0 ; ti1 , ti ) B (t0 ti ) (ti ti1 )

B (t0 ti ) (ti ti1 )

B (t0 ti ) (ti ti1 )

t1

07/08

0.00682

0.2556

0.2556

0.99826

0.00682

0.00174

0.25511

0.00317

t2t3

07/11

0.00984

0.5111

0.2556

0.99500

0.01284

0.00326

0.25428

0.00316

07/02

0.01120

0.7667

0.2556

0.99149

0.01385

0.00351

0.25338

0.00315

t4

07/05

0.01249

1.0139

0.2472

0.98749

0.01635

0

0.00399

0.24413

0.00303

0.01251

1.00690

0.01251

17Le opzioni

17.1 GeneralitMediante un contratto a termine, lo abbiamo gi visto, l'acquirente si impegnaa pagare un prezzo ssato, in cambio di una data quantit di un titolo (dettosottostante). Il contratto va rispettato indipendentemente dal prezzo del sottostante al momento della scadenza. Questo implica che l'acquirente pu otteneresia guadagni sia perdite (e al momento della sottoscrizione del contratto il valoreatteso dei guadagni deve compensare il valore atteso delle perdite).Esistono contratti derivati, tuttavia, che permettono all'acquirente di ottenere il sottostante al prezzo ssato nel contratto oppure, se pi conveniente, alprezzo di mercato. Questi contratti vengono deniti opzioni poich, a scadenza, danno, appunto, il diritto di esercitare un'opzione sciegliendo se pagare, peravere il titolo sottostante, il prezzo stabilito nel contratto o il prezzo di mercato.Il tipo di opzione qui descritto viene denito di acquisto (in inglese call )poich d il diritto di acquistare il sottostante.Analogamento, sul mercato, si trovano anche le opzioni di vendita (ininglese put ) che permettono a chi le possiede di scegliere se vendere il sottostante al prezzo ssato dal contratto o al prezzo di mercato.Nel linguaggio dei contratti a termine il prezzo da pagare alla scadenza vienedenito prezzo a termine mentre nel linguaggio delle opzioni esso si chiamaprezzo di esercizio (in inglese strike price ).I payos di un'opzione di acquisto e di un'opzione di vendita sono riassuntinella Tabella 17.1. Dalla tabella osserviamo che l'acquirente di un'opzione nonsubisce mai perdite (nel caso peggiore non ha nessun guadagno). Questo signicache nel momento della sottoscrizione un'opzione non pu avere valore nullo (coscome accade per i contratti a termine) e, per essere pi precisi, deve avere valorepositivo. Per acquistare un'opzione, quindi, occorre pagare un prezzo (positivo)che possiamo calcolare utilizzando il teorema fondamentale della nanza.Se chiamiamo K il prezzo di esercizio, allora il payo di un'opzione call al

416

17 Le opzioni

Payo dell'acquirente di un'opzione di acquisto e di un'opzione divendita con un prezzo di esercizio pari a 120

Tabella 17.1

Prezzo del sottostante a scadenza110

130

Opzione di acquisto

Acquista a 110(sul mercato)Non guadagna nulla

Acquista a 120(come da contratto)Guadagna 10rispetto al mercato

Opzione di vendita

Vende a 120(come da contratto)Guadagna 10rispetto al mercato

Vende a 130(sul mercato)Non guadagna nulla

momento della scadenza T per il suo acquirente dato daP ayof f opzione call =

(

S (T ) K, S (T ) K,0,S (T ) < K,

mentre nel caso di un'opzione put si haP ayof f opzione put =

(

K S (T ) , S (T ) K,0,S (T ) > K.

Il payo per la posizione del venditore delle due opzioni , ovviamente,l'opposto di quello appensa presentato. I payos per l'acquisto e la vendita diuna call e di una put sono rappresentati gracamente nella Figura 17.1.Quando un'opzione pu essere esercitata (cio quando vale S (T ) > K peruna call oppure S (T ) < K per una put ) allora si dice che l'opzione inthe money mentre quando il suo valore si annulla si dice che out of themoney . Nel caso particolare in cui il prezzo del sottostante esattamenteuguale al prezzo di esercizio si dice che l'opzione at the money . Il fattodi essere in-, at-, oppure out-of the money viene denito moneyness (tali relazioni sono riassunte nella Tabella 17.2).In base al teorema fondamentale della nanza i prezzi delle due opzioni calle put possono essere ottenuti mediante le seguenti formule:

G (t),(S (T ) K) IS(T )>KC (t) =G (T )

G (t)P (t) = EQ.t (K S (T )) IK>S(T )G (T )EQt

17.1 GeneralitFigura 17.1

417

Payos derivanti dall'acquisto o dalla vendita di un'opzione call o putAcquisto opzione call

Payo

Acquisto opzione put

Payo

6

6K

S(T )

K

K

Vendita opzione call

Vendita opzione put

Payo6

S(T )

PayoK

6

S(T )

K

S(T )

K

La funzione indicatrice di un evento uguale al complemento a 1 dellafunzione indicatrice dell'evento opposto; vale, quindi,IS(T )>K = 1 IK>S(T ) .

Sostituendo questa relazione nel prezzo di una call si ottiene:

G (t)C (t) = EQ(S(T)K)1IK>S(T )tG (T )

G (t)G(t)Q+E(KS(T))I.= EQ(S(T)K)K>S(T )ttG (T )G (T )

Qui riconosciamo immediatamente, al secondo membro, un contratto a termine (con prezzo a termine pari al prezzo di esercizio dell'opzione) e un'opzionedi vendita. Vale, quindi, la relazioneC (t) = S (t) KB (t, T ) + P (t) ,

(17.1)

che viene denita parit put-call (in inglese put-call parity ) e che mostra come un'opzione call possa essere replicata mediante un portafoglio checontiene: il sottostante, la vendita allo scoperto di K zero-coupon e un'opzione

418

17 Le opzioni

Tabella 17.2 Valore delle opzioni in base al rapporto tra prezzo del sottostante eprezzo di esercizio

Moneyness

OpzioneS (T ) > K

S (T ) = K

S (T ) < K

Call

In the money

At the money

Out of the money

Put

Out of the money

At the money

In the money

put. Ovvamente qualsiasi altra combinazione valida; per esempio il sottostantesi pu replicare con il seguente portafoglio: una call, vendita allo scoperto diuna put e K zero-coupon.

N.B. 17.1.1 Il risultato dell'Equazione (17.1) ottenuto sotto l'ipotesi che il

titolo sottostante S (t) non paghi dividendi nel periodo (t, T ). Se, invece, il titolopaga dividendi (istantanei) pari a (t), allora valeS (t) =

"

EQt

t

ovveroS (t) EQt|

"

t

T

T

#G (t)G (t),ds + S (T ) (s)G (s)G (T )

#

G (t)G (t)Q.ds = Et S (T ) (s)G (s)G (T ){z}

D(t,T )

In questo caso la parit put-call diviene

C (t) = S (t) D (t, T ) KB (t, T ) + P (t) .

(17.2)

La presenza della funzione indicatrice nella formula del prezzo delle opzionimostra chiaramente la loro natura di contratti di assicurazione. Un'assicurazione, infatti, un contratto che paga se si verica un certo evento e non paga setale evento non si verica.Combinando opportunamente i payos delle semplici strategie di acquisto edi vendita delle opzioni si possono ottenere svariati risultati. Pensiamo, comeprimo esempio, al caso in cui si acquisti un'opzione call e si venda un'opzioneput. Dalla somma dei payos che si vedono nei graci della Figura 17.1 si puosservare che questa strategia replica un contratto a termine (il cui payo mostrato nella Figura 15.2). Nei paragra successivi vediamo come trovare ilprezzo delle opzioni e quali strategie si possono attuare mettendo tali opzioni inun portafoglio.

17.2 Strategie sulle opzioniFigura 17.2

419

Risultato economico di una strategia straddle

6payo

K

O

K

S(T )

17.2 Strategie sulle opzioniCome si gi ampiamente osservato no ad ora, i titoli derivati possono essereutilizzati sia per aumentare sia per diminuire il rischio di un portafoglio. Inquesto modo i derivati possono essere utilizzati sia per motivi speculativi (aumentando il rischio) sia per motivi di copertura (riducendo il rischio). NellaTabella 14.1 si mostravano le strategie basate su un portafoglio formato da underivato a da un titolo sottostante. In questo paragrafo, invece, mostro le strategie che, basate sulla creazione di un portafoglio che contiene pi di un derivato,sono diventate cos comuni nella pratica da aver meritato un nome proprio.Nelle strategie che seguono supponiamo che le opzioni put e call (i cui prezziindico, rispettivamente, con C e P ) siano scritte tutte sullo stesso sottostantee che abbiano la stessa scadenza. Le opzioni, quindi, si diversicano solo peril prezzo di esercizio che l'unica variabile indicata all'interno del prezzo delleopzioni nella lista seguente.1. Straddle : si acquistano simultaneamente un'opzione call e una put (conlo stesso prezzo di esercizio); il valore dello straddle , quindi,C (K) + P (K) ,

il cui payo a scadenza si rappresenta come nella Figura 17.2. Lo straddle particolarmente adatto per gli investitori che immaginano una variazione ampia dei prezzi del titolo sottostante ma non sanno quale sar ladirezione di questa variazione. Si tratta, dunque, di un contratto di assicurazione che copre da forti variazioni del prezzo del sottostante (ovvero un'assicurazione contro la volatilit).2. Strip : si tratta di una straddle alla quale si aggiunta un'opzione put,ovveroC (K) + 2P (K) .

420

17 Le opzioniFigura 17.3

Risultato economico di una strategia strip

6payo2K

O

S(T )

K

Figura 17.4

Risultato economico di una strategia strap

6payo

K

straddle

O

K

S(T )

Il payo nale rappresentato nella Figura 17.3. La motivazione percui si pone in atto una strategia strip la stessa alla base della straddle,tuttavia essa viene attuata da chi crede che il ribasso del sottostante siapi probabile di un suo rialzo. Questa strategia, ovviamente, pi costosarispetto alla straddle poich d payos pi elevati.3. Strap : si tratta di una straddle alla quale si aggiunta un'opzione call,ovvero2C (K) + P (K) .

Il payo nale rappresentato nella Figura 17.4. La motivazione percui si pone in atto una strategia strap la stessa alla base della straddle,tuttavia essa viene attuata da chi crede che il rialzo del sottostante sia piprobabile di un suo ribasso. Anche questa strategia pi costosa rispettoalla straddle poich d payos pi elevati.

17.2 Strategie sulle opzioni

421

Figura 17.5

Risultato economico di una strategia strangle

6payoK1

O

K1

S(T )

K2

4. Strangle : somiglia alla straddle, ma utilizza due opzioni con prezzo diesercizio diverso; in particolare si acquista una call con prezzo di eserciziopi elevato rispetto alla put. Ponendo K1 < S (t) < K2 , il valore di questastrategia dato daC (K2 ) + P (K1 ) .

Il prezzo di questa strategia deve essere pi basso di quello di una straddlele cui opzioni abbiano il prezzo di esercizio compreso tra K1 e K2 ; il payodella straddle, infatti, pi elevato ed essa consente di assicurarsi controun numero maggiore di eventi. Il payo a scadenza di una strangle rappresentato nella Figura 17.5.5. Buttery : si tratta di una strategia che, all'opposto della straddle, assicura contro il caso che il prezzo del sottostante rimanga all'interno didue valori (dati dai prezzi di esercizio K1 e K2 ). Il payo della strategia quello rappresentato nella Figura 17.6 e mostra che si ha un guadagno soloper K1 < S (T ) < K2 . Una buttery si ottiene comprando due opzionicall con prezzi di esercizio pari agli estremi che ci interessano e vendendoun'opzione call con prezzo di esercizio pari al valor medio di tali estremi:C (K1 ) 2C

K1 + K22

+ C (K2 ) .

Nel linguaggio immaginico degli operatori nanziari si dice che, per avereuna strategia buttery, occorre comprare le ali e vendere il corpo(della farfalla).6. Condor : una strategia simile alla buttery, ma la gamma di possibileprezzi per cui si ha un guadagno diventa pi ampia. Il payo di questa strategia, mostrato nella Figura 17.7, si ottiene mediante il seguenteportafoglio:C (K1 ) C (K2 ) C (K3 ) + C (K4 ) .

422

17 Le opzioniFigura 17.6

Risultato economico di una strategia buttery

payo6

K1

O

Figura 17.7

K2

K1 +K22

S(T )

Risultato economico di una strategia condor

6payo

K2 K1

O

K1

K2

K3

K4

S(T )

La strategia condor pu costare pi o meno di una buttery a seconda deiprezzi di esercizio e, dunque, a seconda dell'ampiezza degli eventi da cuisi vuole assicurare.7. Bull money spread : in questo caso si acquista un'opzione call con prezzodi esercizio K1 e si vende un'opzione call con prezzo di esericizo K2 > K1 .Il valore di questa strategia, dunque, dato daC (K1 ) C (K2 ) ,

e il payo nale della strategia rappresentato nella Figura 17.8. Vediamoche questa strategia consente di assicurarsi contro i rialzi del prezzo delsottostante e, tuttavia, rispetto a una normale call costa di meno poichlimita possibili guadagni.8. Bear money spread : si tratta della stessa strategia adottata per il bullmoney spread nella quale, per, si utilizzano opzioni put. Il risultatoeconomico di questa strategia dato daP (K2 ) P (K1 ) ,

dove si nota che il segno stato invertito rispetto alla formula precedentepoich la relazione tra il prezzo di esericizio e la put inversa rispetto a

17.2 Strategie sulle opzioniFigura 17.8

423

Risultato economico di una strategia bull money spread

payo

6K2 K1

K1

O

Figura 17.9

K2

S(T )

Risultato economico di una strategia bear money spread

payo

6K2 K1

O

K1

K2

S(T )

quella che esiste tra il prezzo di esercizio e la call. In questo caso il payodella strategia si rappresenta come nella Figura 17.9. Questa strategiaconsente di assicurarsi contro un ribasso del prezzo del sottostante, malimitanto i guadagni e, quindi, pagando meno rispetto a una classica put.9. Collar : questa strategia consiste nell'acquistare il titolo sottostante, acquistare una put su di esso con prezzo di esercizio K1 e vendere una callsul sottostante con prezzo di esercizio K2 > K1 . Il valore della collar, cos, dato daS (t) + P (K1 ) C (K2 ) ,

mentre il suo payo a scadenza rappresentato nella Figura 17.10. Dallaparit put-call si ricava facilmente come la collar sia simile a un bull moneyspread :K1 B (t, T ) + C (K1 ) C (K2 ) .

Una strategia collar permette di limitare le perdite cos come i guadagni.Essa, dunque, ha un prolo rischio-rendimento molto basso. La si attuaquando si sono gi ottenuti dei buoni risultati sul titolo sottostante e sivogliono mantenere i guadagni ottenuti. Come si nota dalla composizionedella collar, infatti, una volta ottenuto un certo rendimento dal titoloS (t) basta aggiungere in portafoglio una put e vendere una call per poterssare una parte dei guadagni. Sul mercato dei derivati di Chicago

424

17 Le opzioniFigura 17.10

Risultato economico di una strategia collar

6payo

K2

K1

O

K1

K2

S(T )

(Chicago Board Options Exchange CBOE ) esiste un indice che replicail valore di una strategia collar sullo S&P 500 (che il nostro S (t)) e cheviene chiamato CBOE S&P 500 95-110 Collar Index CLL (si veda, perdettagli tecnici, il sito www.cboe.com). Questo nome deriva dal fatto cheil prezzo di esercizio della put (K1 ) preso uguale al 95% del valore delloS&P 500, mentre il prezzo di esercizio della call (K2 ) preso uguale al110% dello S&P 500. Nell'indce CLL la scadenza della put di tre mesimentre quella della call di un mese (per dettagli tecnici faccio riferimentoal sito www.cboe.com).10. Calendar spread : date due opzioni sullo stesso sottostante, con lo stesso prezzo di esercizio ma con scadenza diversa, si acquista l'opzione pilunga e si vende l'opzione pi corta (supponiamo T1 < T2 ). Anche questastrategia, come la money spread, pu essere bull se si utilizzano opzionicall :C (T2 ) C (T1 ) ,

oppure bear se si utilizzano opzioni put :

P (T2 ) P (T1 ) .

11. Buy-write : il nome della strategia un po' criptico poich lascia sottintese molte componenti. Il nome completo buy the underlying andwrite a call option (cio compra il sottostante e scrivi un'opzione call ).Scrivere un'opzione signica emettere l'opzione ovvero venderla alloscoperto. Ecco, allora, che la strategia la seguente:S (t) C (K) .

Come si vede nella Figura 17.11, questa strategia limita i guadagni futuri.Essa attuata da molte imprese che posseggono un certo titolo (sottostante) e che hanno problemi di liquidit. Mediante una buy-write, infatti, si

17.3 Diversi tipi di opzioneFigura 17.11

425

Risultato economico di una strategia buy-write

payo6K

O

S(T )

K

rinuncia a guadagni futuri per incassare, in cambio, il prezzo della call.Sul mercato delle opzioni di Chicago (Chicago Board Options Exchange CBOE ) esiste anche un indice che replica questa strategia sull'indice S&P500 e che si chiama CBOE S&P 500 BuyWrite Index BXM. Questa strategia del tutto equivalente (per la parit put-call ) a un'altra che vienechiamata put-write e nella quale si vende allo scoperto una put sul sottostante e si acquista uno zero-coupon in quantit pari al prezzo di eserciziodella put :KB (t, T ) P (K) .

Sul mercato di Chicago esiste un altro indice che replica questa strategia esi chiama CBOE S&P 500 PutWrite Index PUT. L'indice PUT simileal precedente BXM, ma non identico poich, giorno per giorno, datol'ammontare investito nello zero-coupon e nell'indice si aggiorna il numerodi put vendute (che non mai pari all'unit come nella strategia base)in modo che il payo peggiore rimanga sempre lo zero. Ovviamente gliindici BXM e PUT assumono valori molto simili.

17.3 Diversi tipi di opzioneAbbiamo gi avuto modo di capire che il usso di cassa di un'opzione condizionato al vericarsi di un certo evento sul mercato nanziario. Tale evento puavere le nature pi disparate e la sua scelta dipende quasi esclusivamente dallafantasia degli operatori nanziari. Quasi tutti i tipi di opzione posso essere diacquisto (cio di tipo call ) oppure di vendita (cio di tipo put ); di seguitomostro alcuni contratti di opzione tra i pi comuni prendendo in esame solo ilcaso di opzioni di acquisto.1. Opzione europea: il tipo di opzione di cui si trattato no ad ora; stato il primo tipo di opzione trattato sul mercato.2. Opzione americana: l'unica dierenza con l'opzione europea sta nelfatto che quella americana pu essere esercitata (in acquisto call o invendita put ) in qualsiasi momento no alla scadenza T . Le possibilit

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17 Le opzioni

di scelta dell'acquirente dell'opzione sono, dunque, molto ampie. Egli, inparticolare, sceglier il momento migliore per esercitare l'opzione in mododa risolvere il seguente problema (per un'opzione d'acquisto):

G (t).Ca (t) = max EQ(S()K)IS( )>KtG ( )

Questo tipo di problema viene denito di tempo ottimo di arresto(in inglese, optimal stopping time ) e presenta dicolt che esulano dagliargomenti qui trattati.3. Opzione a barriera down-and-out : l'acquirente dell'opzione perde ildiritto di esercitarla (cio di comprare/vendere il sottostante al prezzodi esercizio) se il prezzo del sottostante scende sotto un certo livello Lprima della scadenza. In questo caso gli eventi che inuenzano il prezzodell'opzione sono due: il fatto che, a scadenza, il valore del sottostante siaal di sopra o al di sotto del prezzo di esercizio e il fatto che il prezzo delsottostante sia o meno rimasto al di sopra di L per tutto il periodo tra te T . Si pu allora scrivere il prezzo dell'opzione (call ) comeCdo (t) =

EQt

G (t)It >T ,(S (T ) K) IS(T )>KG (T ) L

dove tL il primo momento in cui il prezzo del sottostante S (t) sceso aldi sotto della soglia L:tL inf {t : S (t) L} .

4. Opzione a barriera down-and-in : l'acquirente dell'opzione pu esercitare il diritto a essa connesso solo se il valore del sottostante, durantela vita dell'opzione, andato sotto una certa soglia (L). Formalmente,dunque, si ha il caso contrario al precedente, potendo scrivere (per unacall )

Cdi (t) = EQt (S (T ) K) IS(T )>K

G (t)It T ,S(T )>KtG (T ) H

dovetH inf {t : S (t) H} .

6. Opzione a barriera up-and-in : l'acquirente pu esercitare l'opzionesolo se il prezzo del sottostante, durante la vita dell'opzione, salito al disopra di una certa soglia H . Il valore di questa opzione dato daOc,ui (t) =

EQt

G (t)(S (T ) K) IS(T )>KIt TS(T )>KtG (T )

dove

t inf {t : S (t) / [H, L]} .

8. Opzione lookback : questa opzione paga la dierenza tra il valore delsottostante alla scadenza T e il valore minimo che il sottostante ha avutodurante il periodo di vita dell'opzione. Il valore dell'opzione nella suaforma call si pu, dunque, scrivere comeCl (t) = EQt

con

G (t) ,S (T ) KG (T )

inf {S (t) : t [0, T ]} .K

In questo caso non c' pi motivo di utilizzare la funzione indicatricepoich il valore nale del sottostante non sar mai pi piccolo del valorepi piccolo che esso ha assunto durante la vita dell'opzione.

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17 Le opzioni

9. Opzione asset-or-nothing : in questo caso l'opzione non paga nulla se out of the money (cio se, per una call, vale S (t) > K ) mentre paga unaunit del titolo sottostante se in the money. Il valore dell'opzione nellasua forma call allora dato daCan (t) =

EQt

G (t).S (T ) IS(T )>KG (T )

Questo tipo di opzione pu essere anche collegato al superamento di unabarriera e, in questo caso, occorre aggiungere alla formula la funzioneindicatrice relativa all'evento che la barriera sia stata o meno superata,come nei casi precedenti.10. Opzione digitale: paga 0 oppure 1 a seconda che un certo evento sia omeno accaduto. Il caso di opzione d'acquisto il seguente

G (t),Cd (t) = EQIS(T )>KtG (T )

potendo, anche queste opzioni, essere connesse con il raggiungimento diuna barriera. Quando si acquista un'opzione (call ) asset-or-nothing e sivendono allo scoperto K opzioni (call ) digitali, si sta replicando un'opzione(call ) europea.11. Opzione boost : il payo proporzionale al tempo durante il quale, prima della scadenza, il valore del sottostante continuativamente rimastoall'interno di due barriere (inferiore L e superiore H ). Ipotizzando cheal momento t il prezzo del sottostante sia dentro il corridoio, il valoredell'opzione dato daCb (t) =

dove

EQt

G (t)(t t),G (T )

t inf {t : S (t) / [H, L]} .

12. Opzione cumulativa: il valore si annulla se, prima della scadenza, ilsottostante trascorre, al di sopra di una certa barriera L, un periodo ditempo (non necessariamente continuativo) superiore a quanto stabilito nelcontratto. Chiamando h questo lasso temporale, il valore dell'opzione sipu scrivere comeCc (t) =

EQt

G (t)(S (T ) K) IS(T )>K,IG (T ) T L dt,

17.3 Diversi tipi di opzione

429

rappresenta il tempo durante il quale il valore di S (t) rimasto sopra allivello L dal momento dell'emissione in t0 no al momento della scadenzain T . Pensiamo al caso in cui S (t) sia rimasto sopra alla soglia L per tuttoil periodo da t0 no a T , allora la funzione indicatrice ha sempre valore 1e l'integrale assume valore T t0 .

13. Opzione parigina: come l'opzione cumulativa ma il lasso di tempo(h) passato dal sottostante al di sopra di una certa barriera deve esserecontinuativo. La formula per il calcolo del valore di queste opzioni prevedeuna specicazione piuttosto complessa per rappresentare il momento in cui l'ultimo istante in cui,l'opzione perde il suo valore. Se indichiamo con hprima di t, il titolo sottostante ha raggiunto la soglia L, cio (t) sup { s t| S (s) = L} ,h

allora il tempo di arresto t in cui l'opzione perde il suo valore t inf

n

ot| t h (t) h, S (t) L .

Il valore dell'opzione (call ), quindi, si pu scrivere comeCp =

EQt

G (t)It T .(S (T ) K) IS(T )>KG (T )

14. Opziona asiatica: il suo valore non dipende dal prezzo del titolo sottostante registrato al momento della scadenza, bens dalla media di tutti ivalori che il titolo sottostante ha assunto prima della scadenza. Poich lamedia dei prezzi del titolo S (t) dal momento dell'emissione in t0 no allascadenza data daS (t0 , T ) =

1T t0

T

S (s) ds,

t0

allora il valore dell'opzione (call ) si scrive comeCa (t) = EQt

G (t)S (t0 , T ) K IS(t. 0 ,T )>KG (T )

15. Opzione su opzione (o opzione composta): si tratta di un'opzione ilcui sottostante un'opzione (di qualsiasi natura). Se chiamiamo OS (t, T )il valore in t dell'opzione sottostante (che scade in T ), allora il valore diun'opzione call di tipo europeo su OS (t, T ) si pu scrivere come

G (t)Coo (t) = EQ(O(t,T)K)I.SOS (t,T )>KtG (T )

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17 Le opzioni

16. Opzione Bermuda: chiamata cos perch si trova a met strada trale opzioni americane e quelle europee (cos come le isole Bermuda sononell'Atlantico tra Europa e America): essa pu essere esercitata solo indate prestabilite. Ricordo che le opzioni europee hanno un'unica data diesercizio mentre quelle americane possono essere esercitate in qualunquemomento no alla scadenza. Chiamando le date di possibile esercizio 1 ,2 e cos via no a n , il valore dell'opzione Bermuda si scrive comeCber (t) =

G (t).EQ(S()K)IS( )>KtG ( ) {1 ,2 ,...,n }sup

17. Opzione quanto: il sottostante e il prezzo di esercizio sono indicati inuna valuta diversa da quella del paese sul cui mercato l'opzione valutata.Chiamo, allora, SF (t), KF e GF (t), rispettivamente, il prezzo del sottostante, il prezzo di esercizio e il valore del titolo privo di rischio, tutti e treespressi in valuta estera (F sta per l'inglese foreign ). La valorizzazionedi queste opzioni pu essere fatta in due modi diversi a seconda che siutilizzi la probabilit neutrale al rischio del mercato domestico o quelladel mercato estero. Chiamando E (t) il tasso di cambio e, rispettivamente,Q e QF le probabilit neutrali al rischio domestica ed estera, il valore diun'opzione quanto call si pu esprimere come

G (t) ,Cq (t) = EQt E (T ) (SF (T ) KF ) ISF (T )>KF{z} G (T ) |

importo in moneta domestica

GF (t) F .Cq (t) = E (t) EQt (SF (T ) KF ) ISF (T )>KF{z} GF (T ) |

importo in valuta estera

Nel primo caso il payo a scadenza viene valutato con il cambio che siprevede alla scadenza stessa, scontato con il tasso domestico e valutatosotto la probabilit domestica; nel secondo caso, invece, il payo a scadenza scontato con il tasso estero e valutato sotto la probabilit esteraper poi applicare, al risultato, il cambio del momento in cui si eettuala valutazione. Poich, anch sul mercato non vi sia arbitraggio, i duevalori devono essere identici, dalla loro uguaglianza si pu ricavare la relazione che deve esistere tra la probabilit neutrale al rischio domestica equella estera.18. Opzione russa: si tratta di un'opzione di tipo americano la quale puessere esercitata in un qualsiasi momento no alla scadenza e per la qualeil payo non legato al prezzo del sottostante al momento dell'esercizio bens al prezzo massimo che il sottostante ha avuto no alla data di

17.4 Prezzatura delle opzioni

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eser