FUNGSI DERIVATIF

Guna Memenuhi Tugas Analisis Nyata II

Disusun Oleh:

Ratnasari Dwi Ambarwati 10305141004Budi Santoso 10305141012Nisa Fadilah 10305141041Tri Kusmaryati 07305141017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU PENGETAHUAN ALAM DAN MATEMATIKA2013

DERIVATIF/TURUNAN

A. Pengertian  Derivatif

Pengertian derivatif fungsi f : [a, b] →R di titik c ∈ [a, b] ⊆ R dapat dijelaskan dalam

definisi berikut:

a. Definisi  

Diberikan interval [a, b] ⊆ R, fungsi  f : [a, b] →R, dan c ∈ [a, b]. Bilangan real L

disebut derivatif fungsi f  di  titik  c,  jika  diberikan  sembarang  bilangan  ε

> 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ [a, b] dengan sifat 0 < |x – c| <

δ berlaku |f ( x )−f (c )x−c

−L|<ε .

Dalam hal ini fungsi f dikatakan terdiferensial (diferensiabel) di titik c dan

ditulis  f’(c) = L. Dengan kata lain, derivatif fungsi f

di titik c dapat dinyatakan sebagai limit:

f ' (c )=limx → c

f ( x )−f (c )x−c

jika limmitnya ada.

b. Teorema

Diberikan interval [a,b] → R terdeferensial (mempunyai derivative di titik c ∈ [a, b] ,

maka fungsi f kontinu di titik c.

Bukti:

Ambil sembarang x ∈ [a, b], dengan x ≠ c.

Perhatikan bahwa f ( x )−f (c )= f ( x )−f (c )x−c

( x−c ) .  Berdasarkan hipotesis bahwa fungsi

f terdeferensial atau f’ ada, maka dengan menerapkan operator dan sifat aljabar limit

fungsi diperoleh:

limx →c

(f ( x )−f (c ))=limx →c ( f ( x )−f (c )

x−c( x−c ))

❑❑

limx →c

f ( x )−limx →c

f (c )=limx → c ( f (x )−f (c )

x−c ) limx→ c

(x−c )❑❑

limx →c

f ( x )=f ' (c ) .0

limx →c

f ( x )=f (c )

Oleh karena limx →c

f ( x )=f ( c ) maka terbukti f kontinu di c.

Selanjutnya diberikan sifat‐sifat dasar dari derivative yang sangat berguna dalam

kalkulasi derivative dari beberapa kombinasi fungsi‐fungsi terdiferensial. 

B. Sifat-Sifat Aljabar Derivatif Fungsi

Teorema:

Diberikan interval [a, b] ⊆ R, c ∈ [a, b], serta fungsi f : [a, b] →R  dan fungsi

g: [a, b] →R keduanya terdeferensial dititik c.

a.  Untuk  setiap α ∈ R, fungsi αf terdiferensial di titik c, dan (αf)’c = αf’(c)

b.  Fungsi   f +g terdiferensial di titik c, dan (f+g)’(c) = f’(c) + g’(c) 

c.  Fungsi fg terdiferensial di titik c, dan (fg)’(c) = f’(c) g(c) + f(c)g’(c)

d.  Jika g(c) ≠ 0 maka fungsi fg

terdiferensial di titik c, dan

( fg )

'

(c )= f ' (c ) g (c )−f (c ) g' (c )¿¿

Bukti:

Ambil sembarang interval [a, b] ⊆ R, dan c ∈ [a, b]. Diketahui fungsi f : [a, b] →R 

dan fungsi g: [a, b] →R keduanya terdeferensial di titik c.

a. Misalkan h = αf, maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh

h ( x )−h (c )x−c

=αf ( x )−αf ( c )

x−c

limx→ c

h ( x )−h ( c )

x−c¿

limx →c

α f (x )−α f ( c )

x−c

❑

h' (c )=αlimx →c

f ( x )−f (c )

x−c

¿α f ' (c )

Karena h = αf, maka diperoleh (αf)’(c) = αf’(c).

b. Misal, h = f+g, maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh:

h ( x )−h (c )x−c

=( f +g ) ( x )−(f +g )(c )

x−c

h ( x )−h (c )x−c

=f ( x )+g ( x )−(f (c )+g (c ))

x−c

limx→ c

h ( x )−h ( c )

x−c¿

limx →c

f ( x )−f (c )+g ( x )−g (c)

x−c

❑

h' (c )=limx→ c

f ( x )−f (c)

x−c+

limx → c

g ( x )−g(c )

x−c

¿ f ' (c )+g' (c )

c. Misalkan h = fg, maka untuk setiap x ∈ [a,b] dengan x ≠ c diperoleh

h ( x )−h (c )x−c

=fg ( x )−fg (c )

x−c¿

f ( x ) g ( x )−f (c ) g(c)x−c

¿f ( x ) g ( x )−f (c ) g ( x )−f ( c ) g(c)

x−c

¿f ( x )−f ( c )

x−cg ( x )+ f (c )

g (x )−g ( c )x−c

limx→ c

h ( x )−h ( c )

x−c=lim

x → c(

f ( x )−f (c )x−c

g ( x )+ f (c ) g ( x )−g (c )x−c

)

h' (c )=limx →c ( f ( x )−f (c )

x−cg ( x ))+ lim

x →c ( f (c )g ( x )−g (c )

x−c )¿

limx→ c

f (x )−f (c )

x−climx →c

g (x )+ limx → c

f (c)limx → c

g ( x )−g (c )

x−c

¿ f ' (c ) g ( c )+ f (c ) g' (c)

d. Misalkan h= fg

dan g ≠ 0, maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x≠ 0 diperoleh

h ( x )−h (c )x−c

=( fg ) (x )−( f

g ) (c )

x−c

¿

f ( x )g ( x )

−f ( c )g (c )

x−c

¿( f ( x )

g (x )−

f (c )g (c ) )g ( x ) g ( c )

( x−c ) g ( x ) g (c )

¿ [( f ( x )−f (c )x−c

g (c ))−f (c )( g ( x )−g (c )x−c )] 1

g (x ) g(c )

limx→ c

h ( x )−h(c )

x−c=lim

x → c [ f ( x )−f (c )x−c

g(x )−f (c ) g ( x )−g (c )x−c ]

limx→ c

1

g ( x ) g(c)

h' ( x )=[ f ' (c ) g (c )−f (c ) g' (c )] 1g ( c ) g(c)

Karena h= fg

, maka diperoleh ( fg )

'

(c )= f ' (c ) g (c )−f (c ) g' (c )(g (c ))2

6.1.4 Akibat

Jika f 1, f 2 ,…, f nmerupakan fungsi pada interval I ke R yang terdiferensial pada cϵI , maka:

(a) Fungsi f 1+ f 2+…+ f n terdiferensial di c dan

(7) ( f ¿¿1+f 2+…+ f n)' (c )=f '1(c)+ f '

2(c)+…+ f 'n(c ).¿

(b) Fungsi f 1 f 2… f n terdiferensial di c dan

(8) ( f 1 f 2 …f n )' (c )=f '1 (c ) f '

2 ( c ) … f 'n (c )+ f '

1 (c ) f '2 ( c ) … f '

n (c )+..+ f '1 (c ) f '

2 (c ) …f '3 (c ) .

Kasus khusus, jika f 1=f 2=…=f n=f . Maka (8) menjadi:

(9) ( f n )' ( c )=n (f (c ) )n−1f ' (c ) .

Catatan Jika I⊆R adalah interval dan fungsi f : I ⟶R, notasi f ' menyatakan fungsi yang

domainnya adalah subset dari I dan nilainya di titik c adalah turunan f '(c) dari f di titik c. Ada

notasi lain yang terkadang digunakan untuk f ' , sebagai contoh penulisan D f untuk f ' . Oleh

karena itu, rumus (4) dan (5) ditulis dalam bentuk:

D (f +g )=Df +Dg , D (fg )=( Df ) . g+ f .(Dg)

Ketika x adalah variabel bebas, pada umumnya f ' ditulis dfdx

untuk f ' . Sehingga persamaan (5)

ditulis dalam bentuk:

ddx

( f (x ) g (x ) )=( dfdx

( x ))g ( x )+ f (x)( dgdx

( x ))Aturan Rantai

Aturan rantai digunakan untuk menyelesaikan turunan dari fungsi komposisi. Pertama-

tama akan dibentuk teorema mengenai turunan dari sebuah fungsi pada sebuah titik yang

memberikan metode yang bagus untuk membuktikan Aturan Rantai. Teorema tersebut juga akan

digunakan untuk memperoleh rumus untuk menurunkan fungsi invers.

6.1.5 Teorema Caratheodory

Misal f terdefinisi pada interval I yang memuat titik c. Maka f terdiferensial di c jika dan hanya

jika ada fungsi φ pada I yang kontinu pada c dan memenuhi:

(10) f ( x )−f (c )=φ ( x ) ( x−c ) untuk xϵI

Pada kasus ini, terdapat φ (c )=f ' (c ) .

Pembuktian Teorema

(⟹) Diketahui: f terdiferensial di c

Akan dibuktikan: φ kontinu pada c dan memenuhi (10).

Bukti:

(i) Akan dibuktikan bahwa φ kontinu pada c

f terdiferensial di c berarti f '(c) ada, sehingga f ' (C )= limx⟶ c

f ( x )−f (c )x−c

ada.

Karena f ' (c ) ada, maka φ didefinisikan sebagai:

φ ( x )≔{ f ( x )− f (c)x−c

untuk x ≠ c , xϵI ,

f ' (c )untuk x=c

Kontinuitas dari φdidasarkan pada kenyataan bahwa limx →c

φ ( x )=f ' (c ) .

limx →c

φ ( x )=limx →c

f (x )−f (c)x−c

=f ' (c )=φ (c )

Sehingga limx →c

φ ( x )=φ (c ) .

Jadi, terbuki bahwa φ kontinu pada c.

(ii) Akan dibuktikan bahwa φ memenuhi (10)

Jika x=c maka f ( c )−f (c )=φ (c ) ( c−c ) maka kedua ruas dari persamaan (10) sama dengan

0, sementara jika x≠ c maka

φ ( x )= f ( x )−f (C )x−c

φ ( x ) ( x−c )=f (x )−f (c), jadi terbukti bahwa φ memenuhi

f ( x )−f (c )=φ ( x ) ( x−c ) .

Jadi, terbukti bahwa φ kontinu pada c dan memenuhi f ( x )−f (c )=φ ( x ) ( x−c ).

(⟸) Diketahui: φ kontinu pada c dan memenuhi f ( x )−f (c )=φ ( x ) ( x−c )

Akan dibuktikan: f terdiferensial di c

Bukti:

Misal f ( x )−f (c )=φ ( x ) ( x−c ) dibagi dengan x−c ≠ 0, maka:

f ( x )−f (c )x−c

=φ(x )

Karena φ kontinu di c maka limx →c

φ ( x )=φ (c).

Sehingga φ (c )=limx→ c

φ (c )=limx→ c

φ ( x )−φ (c )x−c

=f ' (c ) .

Jadi f ' (c ) ada.

Jadi terbukti bahwa f terdiferensial di c dan f ' (c )=φ (c ).

Ilustrasi dari Teorema Caratheodory:

Misal f didefinisikan sebagai f ( x )≔ x3 untuk xϵ R. Untuk cϵ R, maka faktorisasinya yaitu:

x3−c3=( x2+cx+c2 )( x−c), maka φ ( x )=( x2+cx+c2 ) memenuhi kondisi dari teorema.

Jadi dapat disimpulkan bahwa f terdiferensial pada c dan memenuhi

f ' (c )=φ (c )=(c2+c . c+c2 )=3 c2.

Membentuk aturan rantai:

Jika f terdiferensial di c dan g terdiferensial di f (c ), maka Aturan Rantai menyatakan bahwa

turunan dari fungsi komposisi g∘ f pada c dihasilkan dari ( g∘ f )' (c )=g '( f (c ))⋅ f ' (c) atau dapat

ditulis ( g∘ f )'=(g¿¿ ' ∘ f )⋅ f '¿.

Satu pendekatan dari Aturan Rantai yaitu untuk melihat bahwa pembagian selisih dapat ditulis

sebagai:

g ( f (x ))−g( f (c))x−c

=g( f (x ))−g( f (c ))

f (x )−f (c)⋅

f ( x )−f (c)x−c

denganf (x )≠ f (c ),

Ini memberikan nilai limit yang benar. Sayangnya, faktor pertama pada hasil dari ruas kanan

tidak terdefinisi jika penyebutnya f ( x )−f (c )=0 untuk nilai x dekat dengan c, dan hal ini

menimbulkan masalah. Akan tetapi, penggunaan Teorema Caratheodory dapat menghindari

masalah tersebut.

6.1.6 Aturan Rantai

Misal I, J merupakan interval pada R, g : I⟶ R dan f : J⟶ R. Jika f terdiferensial di c∈ I dan

g terdiferensial di f ( c ), maka fungsi komposisi g∘ f terdiferensial di c dan

(11) ( g∘ f )' (c )=g '( f (c ))⋅ f ' (c).

Bukti:

Karena f '(c) ada, Teorema Caratheodory 6.1.5 menyatakan bahwa ada fungsi φ pada J

sedemikian sehingga φ kontinu pada c dan f ( x )−f (c )=φ ( x ) ( x−c ) untuk x∈ J , dimana

φ (c )=f ' (c ) .

Karena g' ( f (c ) ) ada, ψ terdefinisi pada I sehingga ψ kontinu pada d : f (c ) dan

g ( y )−g (d )=ψ ( y ) ( y−d ) untuk y∈ I , dimana ψ (d )=g' (d ) .

Substitusi y=f (x ) dan d=f (c) maka menghasilkan:

g (f (x))−g ( f (c))=ψ ( f (x)) ( f (x)−f (c))=[ (ψ∘ f ( x ) ) ⋅φ ( x ) ](x−c ) untuk semua x∈ J sehingga

f ( X )=I . Karena (ψ ∘ f )⋅φ kontinu c dan nilainya pada c yaitu g' ( f ( c ))⋅ f ' (c ), Teorema

Caratheodory memberikan persamaan (11).

Jika g terdiferensial pada I, jika f terdiferensial pada J, dan jika f ( J )⊆ I , maka berdasar aturan

Rantai bahwa (g∘ f ¿'=(g' ∘ f )⋅ f ' , yang dapat ditulis dalam bentuk D(g∘ f ¿=( Dg ∘ f )⋅Df .

6.1.7 Contoh

(a) Jika f : I → R terdiferensial pada I dan g ( y )≔ ynuntuk yϵ R dan nϵ N , maka g' ( y )=n yn−1 ,

dari Aturan Rantai 6.1.6 bahwa:

( g∘ f )' ( x )=g' (f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )untuk x ϵI .

Jadi, diperoleh ( f n )' ( x )=n (f ( x ) )n−1f ' ( x ) untuk semua x ϵI .

(b) Andaikan f : I → R terdiferensial di I, f (x)≠ 0 dan f ' ( x )≠ 0untuk x ϵI . Jika

h ( y )≔ 1y

untuk y ≠0 , maka h' ( y )=−1

y2untuk y ϵ R , y ≠ 0.Jadi, diperoleh:

( 1f )

'

( x )= (h∘ f )' ( x )=h' (f ( x ) ) f ' ( x )=−f ' (x)( f ( x ))2 untuk x ϵI .

(d) Jika S ( x )≔sin x dan C ( x )≔ cos xuntuk semua x∈R , maka S' (x )=cos x=C (x ) danC' ( x )=−sin x=−S ( x )untuk semua x∈ R . Dengan menggunakan fakta ini dan definisi:

tan x≔ sin xcos x

, sec x≔ 1cos x

,

Untuk semua x≠ (2 k+1 ) π2

, kϵ Z , dan dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian 6.1.3(d),

diperoleh:

D tan x=(cos x ) (cos x )−(sin x ) (−sin x )

(cos x )2= 1

(cos x )2¿ ( sec x )2

dan

D sec x=0−1 (sin x )

(cos x )2= sin x

(cos x )2=¿

Untuk x≠ (2 k+1 ) π2

, kϵ Z.

Demikian pula,

cot x≔ cos xsin x

, csc x≔ 1sin x

Untuk x≠ kπ , kϵ Z ,maka diperoleh:

Dcot x=−¿¿ untuk x≠ kπ , kϵ Z

Turunan Fungsi Invers

Pada bagian ini, akan dibahas hubungan antara turunan suatu fungsi dengan turunan fungsi

invernya.

6.1.8 Teorema. Misalkan I⊆R adalah suatu interval dan f : I →R adalah fungsi yang

monoton sejati dan kontinu pada I. Misalkan pula J :=f ( I ) dan g :J →R adalah fungsi

invers dari f yang monoton sejati dan kontinu juga. Jika f terdiferensial di c∈ I dan

f ' ( c )≠0 maka g terdiferensial di f ( c ) dan

g ' ( f ( c ) )= 1f ' (c )

= 1

f ' (g ( f ( c ) ) ) .

Bukti. Karena f terdiferensial di c∈ I , menurut Teorema Caratheodory, terdapat fungsi ϕ

pada I yang kontinu di c dan memenuhi f ( x )−f (c )=ϕ ( x ) ( x−c ) , x∈ I dengan ϕ (c )=f ' (c ) .

Karena ϕ (c )=f ' (c )≠0 maka terdapat lingkungan di sekitar c , V= (c−δ ,c+δ ) , sedemikian

sehingga ϕ ( x )≠0 untuk setiap IVx . Jika U :=f (VI ) maka fungsi invers g memenuhi

f ( g ( y ) )= y untuk setiap y∈U . Selanjutnya, perhatikan bahwa

y−f (c )=f (g ( y ))−f ( c )=ϕ ( g ( y ) ) ( g ( y )−c )=ϕ ( g ( y ) ) ( g ( y )−g ( f ( c ) ) ) .

Karena ϕ ( g ( y ) )≠0 untuk setiap y∈U , maka

1ϕ ( g ( y ) )

. ( y−f (c ) )=(g ( y )−g ( f (c ) ) ).

Fungsi 1/( ϕ∘f ) kontinu di f ( c ) . Berdasarkan Teorema Caratheodory, g terdiferensial di f ( c )

dan g ' ( f ( c ) )= 1

ϕ (g ( f (c ) ) )= 1

ϕ (c )= 1

f ' (c ).

Contoh. Akan kita tentukan turunan dari g :=arcsin , fungsi invers dari f :=sin , pada interval

(−1,1 ) . Jelas bahwa f monoton naik sejati dan kontinu pada (−π /2 , π /2 ) . Begitu pula dengan

g yang monoton naik sejati dan kontinu pada (−1,1 )=f ( (−π /2 , π /2 ) ) . Selain itu, f

terdiferensial pada (−π /2 , π /2 ) dan f ' ( x )=cos x≠0 untuk setiap x∈ (−π /2 , π /2 ) .

Berdasarkan Teorema, arcsin terdiferensial pada f ( x ) untuk setiap x∈ (−π /2 , π /2 ) dan

g ' ( f ( x ) )= 1f ' (x )

= 1cos x

= 1

√1−(sin x )2

atau g ' ( y )= 1

√1− y2, untuk setiap y∈ (−1,1 ) .

Teorema 6.1.9

Misalkan I adalah interval dan fungsi f : I monoton murni pada I. Misalkan

dan g : J merupakan fungsi invers dari f. Jika f diferensiabel pada I dan untuk

, maka g diferensiabel pada J, dan

g '= 1

f ' ∘g 13

Bukti: Jika f diferensiabel pada I, menurut Teorema 6.1.3 maka f kontinu pada I. Sehingga

dengan Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J. Selanjutnya dengan Teorema

6.1.9, maka persamaan (6.13) dipenuhi.

Catatan: Jika f : I dan g : J fungsi-fungsi yang monoton murni pada Teorema

6.1.9. Telah ditunjukkan bahwa jika untuk x I, maka g diferensiabel pada J dan

persamaan (6.13) dapat ditulis sebagai

untuk y J

atau dalam bentuk

untuk x I.

Dapat juga ditulis dalam bentuk g’(y) = 1/f’(x).

Contoh 6.1.10 Misalkan n N bilangan genap, , dan untuk . Dapat

ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk , fungsi invers

juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada J. Lebih lanjut, diperoleh

untuk . Akibatnya, jika , maka ada, dan

g '( y )= 1f '( g( y ))

= 1

n( g( y ))n−1= 1

n ( y1/n)n−1= 1

ny(n−1)/n.

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa

g '( y )=1

ny(1 /n )−1

untuk .

Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.