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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE ING. QUÍMICA Y TEXTIL

Área Académica de Ingeniera Química

CALCULOS EN INGENIERIA QUIMICA I – PI523 “A”PERIODO ACADÉMICO 2010 – II

“UTILIZACIÓN DEL DERIVE 6.0 EN MÉTODOS NUMÉRICOS”

o Profesor:

Ing. DAVILA TAPIA, José Vicente

o Integrantes:

CHÁVEZ BARBOZA, Jorge Luis MANRIQUE MOLTALVAN, Luis Jesús YOVERA OLIVA, Edgar Martín

Fecha de Entrega: 04/12/10

LIMA – PERÚINDICE

INTRODUCCIÓN Pág. 1

I. OBJETIVO Pág. 1

II. FUNDAMENTO TEORICO Pág. 1

III. BREVE RESEÑA DEL DERIVE 6.0 Pág. 1

IV. APLICACIONES Pág. 1

1. Ecuaciones de estado Pág. 1

2. Termodinámica Pág. 1

2.1. 1° de ley de la termodinámica2.2. Columna de destilación

3. Fisicoquímica Pág. 1

3.1. Equilibrio químico3.2. Presión de vapor3.3. Temperatura de burbuja3.4. Temperatura de rocío3.5. Disoluciones

4. Balance de materia Pág. 1

5. Balance de energía Pág. 1

6. Transmisión de calor Pág. 1

7. Fluidos Pág. 1

V. CONCLUSIONES Pág. 1

VI. ARTÍCULOS Pág. 1

VII. ANEXOS Pág. 1

INTRODUCCIÓN

UTILIZACIÓN DEL DERIVE 6.0 EN MÉTODOS NUMÉRICOS

I. OBJETIVOII. FUNDAMENTO TEORICOIII. BREVE RESEÑA DEL DERIVE 6.0IV. APLICACIONES

1. Ecuaciones de estado

La ecuación de estado de Beattie-Bridgeman en su forma virial es:

PV=RT+ βV

+ γ

V 2+ δ

V 3

Dónde:

P = Presión en atm.T = Temperatura en KV = Volumen molar en L/gmolR = Constante universal de los gases en atm-L/(gmol K)β = RTB0 – A0 – Rc/T2

γ = -RTB0b + A0a –RB0c/T2

δ = RB0bc/T2, yA0, B0, a, b, c = Constantes parciales para cada gas.

Calcule el volumen molar V a 50 atm y 100°C para los siguientes gases:

Gas A0 a B0 b c x 10-4

He 0.0216 0.05984 0.01400 0.000000 0.0040H2 0.1975 -0.00506 0.02096 -0.43590 0.0504O2 1.4911 0.02562 0.04624 0.004208 4.8000

Aplicando Método de Newton – Raphson

xk+1=xk−f ( xk )f ' ( xk )

PV −RT− βV

− γ

V 2− δ

V 3=0 … (1)

f(x) Para el He:

β = 0.4067526437γ = 0.00129221421δ = 0

Reemplazando datos en (1):

50 V−30.5983−0.4067526437V

−0.00129221421

V 2=0

Usando el Derive 6.0

Usando Calculadora HP 50G

1° Iteración: x0 = 0.6

x1=x0−f ( x0 )f ' ( x0 )

=0.62503473

Tabulando

k x0 0.61 0.625024732 0.62504725

VHe = 0.62504725 L/gmol

Usando Calculadora Casio

Para el H2:

β = 0.4435435587γ = 0.2785546953δ = -0.00000271178


50 V−30.5983−0.4435435587V

−0.2785546953

V 2−−0.00000271178

V 3=0




x1=x0−f ( x0 )f ' ( x0 )

=0.63945982

Tabulando

k x0 0.6351 0.639459822 0.63946237

V H 2 = 0.63946237 L/gmol


Para el O2:

β = -0.1045021599γ = 0.03094113683δ = 0.00000550024


50 V−30.5983−−0.1045021599V

−0.03094113683

V 2−0.00000550024

V 3=0




x1=x0−f ( x0 )f ' ( x0 )

=0.61020184

Tabulando

k x0 0.61 0.610201842 0.6102023

V O2 = 0.6102023 L/gmol


2. Termodinámica

2.1. 1° Ley de la termodinámica

Considere la reacción en fase gaseosa:

2CO(g) + O2(g) → 2CO2(g)

A 25°C una bomba calorimétrica da los valores ∆H° = -565.98 kJ/mol y a otra temperatura el ∆H = -557.17 kJ/mol. Calcular el valor de la segunda temperatura con:

∆ HT 2=∆ HT 1+∆ d (T2−T1 )+ 12

∆ e (T 22−T 1

2)−∆ f ( 1T 2

−1T 1

)Donde:

∆d = 1.66 J.mol-1.K-1

∆e = 0.00529 J.K-2.mol-1

∆f = -1465000 J.K.mol-1

Aplicando Método Newton – Raphson Mejorado

x1=x0−2 f ( x0 ) f ' ( x0 )

2( f ' ( x0 ))2−f ( x0 ) f ' ' ( x0 )

∆ HT 2−∆ HT 1−∆ d (T 2−T 1)−12

∆ e (T 22−T1

2 )+∆ f ( 1T 2

−1

T 1)=0 … (1)

f(x)Reemplazando datos en (1):

8810−1.66 (T 2−298.15 )−12

( 0.00529 ) (T22−88893.4225)−1465000( 1

T2

−1

298.15 )=0




xk+1=xk−2 f ( xk ) f ' ( xk )

2 ( f ' ( xk ))2−f ( xk ) f ' ' ( xk )=1984.886

Tabulando

k x0 19841 1984.886

T2 = 1984.886 K


2.2. Columna de destilación

3. Fisicoquímica

3.1. Equilibrio químico

Una reacción química reversible:

2A + B ⇋ C

Se puede caracterizar por la relación de equilibrio:

K=CC

Ca2Cb

Donde la nomenclatura Cn representa la concentración del componente N. Suponga que se define una variable x que representa el número producido de moles de C. La conservación de la masa se puede usar para reformular la relación de equilibrio como:

K=(CC ,0+x )

(Ca , 0−2 x )2 (Cb ,0−x )

Donde el subíndice cero indica la concentración inicial de cada componente. Si K=0.015, Ca,0 = 42, Cb,0 = 30, Cc,0 = 4, calcule x.

Aplicando Método de la Secante

xk+1=xk−(xk−xk−1) f (xk)f ( xk )−f ( xk−1)

K−(CC ,0+x )

(Ca , 0−2 x )2 (Cb ,0−x )=0 … (1)


0.015−(4+x )

( 42−2 x )2 (30−x )=0



1° Iteración: k = 0; x-1 = 16.5; x0 = 17.0

x1=x0−( x0−x−1 ) f ( x0 )f ( x0 )−f ( x−1 )

=16.211458

Tabulando

k xk-1

0 16.51 172 16.2114583 16.1278844 16.0943015 16.0928966 16.092878

x = 16.092878 mol


3.2. Presión de vapor

3.3. Temperatura de burbuja

Para el cálculo de la temperatura de burbuja de una mezcla multicomponente a la presión total P se utiliza la ecuación:

f (T )=∑i=1

n

K i x i−1=0

Donde xi y Ki, i = 1, 2, …, n son la fracción mol en la fase líquida y la relación de equilibrio del componente i, respectivamente, y T ( la raíz de la ecuación) es la temperatura de burbuja.

Determine la temperatura de burbuja a 10 atm de presión total de una mezcla cuya composición en la fase líquida es de 45% mol de n-butano, 30% mol de n-pentano y 25% mol de n-hexano. Los valores de Ki a 10 atm son:

Componente K(T) con T en °C para 35 ≤ T ≤ 205 °Cn-butano -0.17809 + 1.2479x10-2 T + 3.7159x10-5 T2

n-pentano 0.13162 - 1.9367x10-3 T + 7.1373x10-5 T2

n-hexano 0.13985 – 3.8690x10-3 T + 3.5604x10-5 T2

Utilizando el Método de Regula Falsi

c=a−(b−a)× f (a)

f (b )−f (a)

∑i=1

n

K i x i−1=0 … (1)


(0.45 ) (−0.17809+1.2479 x 10−2 T+3.7159 x10−5T 2 )+(0.30 ) (0.13162−1.9367 x10−3T +7.1373 x 10−5 T 2)+ (0.25 ) (0.13985 –3.8690 x10−3T +3.5604 x 10−5 T2 )−1=0



1° Iteración: a = 104; b = 106; f(a) = -0.0198892, f(b) = 0.1009982

c=a−(b−a )× f (a )f (b )−f (a )

=105.32643

f(c) = -0.0000465

f(a)xf(c) > 0 → a = 105 . 32643

xi ϵ [105.32643 ; 106]

Tabulandok a b x0 104 106 105.326131 105.32643 106 105.329522 105.32952 106 105.32953

4 105.32953 106 105.32953

Tburbuja = 105.32953 °C


3.4. Temperatura de roció

Para el cálculo de la temperatura de rocío de una mezcla multicomponente a la presión total P se utiliza la ecuación:

f (T )=∑i=1

n y i

K i

−1=0

Donde yi y Ki, i = 1, 2, …, n son la fracción mol en la fase vapor y la relación de equilibrio del componente i, respectivamente, y T ( la raíz de la ecuación) es la temperatura de rocío.

Determine la temperatura de rocío a 10 atm de presión total de una mezcla cuya composición en la fase líquida es de 45% mol de n-butano, 30% mol de n-pentano y 25% mol de n-hexano. Los valores de Ki a 10 atm son:

Componente K(T) con T en °C para 35 ≤ T ≤ 205 °Cn-butano -0.17809 + 1.2479x10-2 T + 3.7159x10-5 T2

n-pentano 0.13162 - 1.9367x10-3 T + 7.1373x10-5 T2

n-hexano 0.13985 – 3.8690x10-3 T + 3.5604x10-5 T2

Utilizando Método de Bisección

f(x) = 0

f (T )=∑i=1

n y i

K i

−1=0 … (1)


(0.45 )(−0.17809+1.2479 x10−2T +3.7159 x10−5T 2 )

+(0.30 )

(0.13162−1.9367 x10−3 T+7.1373x 10−5 T2 )+

(0.25 )(0.13985 –3.8690 x10−3T +3.5604 x 10−5 T2 )

−1=0



1° Iteración: a = 154, b = 155; f(a) = 0.01167079, f(b) = -0.0040445

c=12

( a+b )=154.5

f(c) = 0.0037658

f(a)xf(c) > 0 → a = 154.5

xi ϵ [154.5 ; 155]

Tabulando

k a b x0 154 155 154.51 154.5 155 154.752 154.5 154.75 154.625… … … …28

154.74033 154.74033 154.740033

TRocio = 154.740033


3.5. Disoluciones

4. Balance de materia

Una reacción de primer orden, irreversible, tiene lugar en 4 reactores bien mezclados:

A k→

B

Así, la tasa a la cual A se transforme en B se representa por:

Rab=kVC

Los reactores tiene volúmenes diferentes, y debido a que se operan a temperatura diferente, cada uno tiene distinta tasa de reacción:

Reactor Volumen, L k, h-1

1 25 0.052 75 0.13 100 0.5

4 25 0.1

Determinar la concentración de A en cada uno de los reactores en estado estable.

Usando Método de Gauss – Seidel:

F1 = F2 = 10F4 = 5F3 = F4 + F2 = 15F5 = 3F3 + F5 = F6 + F4 → F6 = 13F6 = F5 + F7 → F7 = 10

En el Tk1: F1xCA,0 – F2xCA,1 – kVCA,1 = 0- 10CA,1 + 10 – 0.05x25xCA,1 = 0 … (1)

En el Tk2: F2xCA,1 + F4xCA,3 – F3xCA,2 – kVCA,2 = 010 CA,1 – 15CA,2 + 5CA,3- 0.1x75CA,2 = 0 … (2)

En el Tk3: F3xCA,2 + F5xCA,4 – F6xCA,3 – F4xCA,3 – kVCA,3 = 015CA,2 – 5CA,3 + 3CA,4 - 13CA,3 - 0.5x100CA,3 = 0 … (3)

En el Tk4: F6xCA,3 + F7xCA,4 – F5xCA,4 – kVCA,4 = 013CA,3 – 10CA,4 - 3CA,4 - 0.1x25CA,4 = 0 … (4)

Formando un sistema de ecuaciones con (1), (2), (3) y (4):

11.25 CA,1 + 0CA,2 + 0CA,3 + 0CA,4 = 1010 CA,1 – 22.5CA,2 + 5CA,3 + 0CA,4 = 00 CA,1 + 15CA,2 - 68CA,3 + 3CA,4 = 0

0 CA,1 + 0CA,2 + 13CA,3 – 15.5CA,4 = 0

Sistema Diagonalmente Dominante (SDD)

C A,1=10

11.25

C A,2=10 C A,1+5C A,3

22.5

C A,3=15 C A, 2+3 C A , 4

68

C A, 4=13 CA ,3

15.5



1° Iteración: Valores iniciales CA,1 = CA,2 = CA,3 = CA,4 = 0.5

CA,1 = 0.88888889CA,2 = 0.50617384CA,3 = 0.1337146CA,4 = 0.11214773

Tabulando

k CA,1 CA,2 CA,3 CA,4

0 0.88888889 0.5 0.5 0.51 0.88888889 0.5061728

40.1337146 0.11214773

2 0.88888889 0.42477608

0.0986483 0.08273728

3 0.88888889 0.41698357

0.09563184 0.08020735

4 0.88888889 0.41631325

0.09537236 0.07998973

5 0.88888889 0.41625559

0.09535004 0.079971

6 0.88888889 0.41625063

0.09534812 0.07996939

7 0.88888889 0.4162502 0.09534796 0.079969268 0.88888889 0.4162501

60.09534794 0.07996924

CA,1 = 0.88888889CA,2 = 0.41625016CA,3 = 0.09534794CA,4 = 0.07996924


5. Balance de energía6. Transmisión de calor

Sieder y Tater encontraron que una ecuación que relaciona la transferencia de calor de líquidos por dentro de un tubo en cambiadores de calor se puede representar con números adimensionales:

Nu=a (ℜ )b ( Pr )c ( μμk )

d

Donde Nu es el número de Nusselt, Re es el número de Reynolds, Pr es el número de Prandtl y μ y μk las viscosidades del líquido a la temperatura promedio de este y a la temperatura de la pared del tubo, respectivamente.Encuentre los valores de a, b, c y d asumiendo que la tabla siguiente representa datos experimentales para un grupo de hidrocarburos a diferentes condiciones de operación.

Nu 97.45 109.50 129.90 147.76 153.44 168.90 177.65 175.16Re 10500 12345 15220 18300 21050 25310 28560 31500

Pr 18.2 17.1 16.8 15.3 12.1 10.1 8.7 6.5μ/μk 0.85 0.90 0.96 1.05 1.08 1.15 1.18 1.22

Utilizando Regresión Multivariable

N = a (ℜb) (Prc) (µ

µw

¿¿d

log(Nu)= loga + blog Re + c log (Pr) + d log (µµk

)

Y = a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3

Sr =∑i=1

n

( y−a0 x1 i−a1 x1 i−a2 x2 i−a3 x3 i)

d Sr

d a0

= 0 → a0n + a1 ∑ x1 i + a2 ∑ x2 i + a3 ∑ x3 i = ∑ yi

d Sr

d a1

= 0 → a0∑ x1 i+ a1 ∑ (x1i)2 + a2 ∑ x2 i x1 i + a3 ∑ x3 i x1 i = ∑ yi x1i

d Sr

d a2

= 0 → a0∑ x2 i + a1 ∑ x1 i x2 i + a2 ∑ (x2 i)2 + a3 ∑ x3 i x2 i = ∑ yi x2 i

d Sr

d a3

= 0 → a0∑ x3 i + a1 ∑ x1 i x3 i + a2 ∑ x2 i x3 i + a3 ∑ (x3 i)2 = ∑ yi x3 i

Log(Nu) Log(Re) Log(Pr) Log(μ/μk)1.988782 4.021189 1.260071 -0.0705812.039414 4.091491 1.232996 -0.0457572.113609 4.182415 1.225309 -0.0177292.169557 4.262451 1.184691 0.0211892.185939 4.323252 1.082785 0.0334242.227630 4.403292 1.004321 0.0606982.249565 4.455758 0.939519 0.0718822.243435 4.498311 0.812913 0.086360

Se sabe que:

n=8; ∑ x1 i=34.238159; ∑ x2 i=8.742605; ∑ x3 i=0.139486; ∑ (x1i)2

=146.739412837; ∑ x1 i x2 i=37.232689591; ∑ x1 i x3 i=0.665667471388; ∑ x2 i x3 i

=0.092912598451; ∑ (x2 i)2=9.73754049621; ∑ (x3 i)

2=0.025265154276; ∑ yi

=17.217931; ∑ yi x1i=73.8035888132; ∑ yi x2 i=18.7220586946; ∑ yi x3 i

=0.338532669378

Resolviendo se obtiene: Usando el Derive 6.0


a0 = -1.64007369298 = log a → a= 0.0229047896134a1 =0.800351968437 = b

a2 =0.333586306186 = ca3 =0.140008919531 = d

Y el coeficiente de regresión será:

r=√∑i=1

n

(a0+a1 x1+a2 x2+a3 x3−5)2

∑ ( y i−5)2

=0.999999967338 (buen ajuste)


Un reactor esta estratificado termalmente en la tabla siguiente:

Profundidad, m 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Temperatura, °C 70 68 55 22 13 11 10

Como se ilustra en la figura, el tanque puede idealizarse como dos zonas separadas por un gradiente fuerte de temperatura, o termoclina. La profundidad de este gradiente se define como el punto de inflexión de la curva temperatura-profundidad, es decir, el punto en el que d2T/dz2 = 0. A esta profundidad, el flujo de calor de la superficie a la capa del fondo se calcula con la ley de Fourier:

J=−kdTdz

Use un ajuste con trazadores cúbicos de estos datos para determinar la profundidad de la termoclina. Si k=0.02 cal/(s.cm.°C), calcule el flujo a través de esta interfaz.

7. Fluidos

El factor de fricción f para fluidos pseudoplásticos que siguen el modelo de Ostwald-Dewaele se calcula mediante la siguiente ecuación:

1f= 4

n0.75log (ℜ f 1−0.5n )−0.4

n1.2

Encuentre el factor fricción f, si se tiene el número de Reynolds Re de 6000 y un valor de n=0.4.

Usando el Método de Bisección

1f− 4

n0.75log (ℜ f 1−0.5n )−0.4

n1.2=0 … (1)

f(x)


1f− 4

0.40.75log (6000 f 1−0.5 x 0.4 )+ 0.4

0.41.2=0



1° Iteración: a = 0.04, b = 0.05; f(a) = 5.0485196, f(b) = -0.568038

c=12

( a+b )=0. 0 45

f(c) = 1.945301

f(a)xf(c) > 0 → a = 0.0 45

xi ϵ [0.045 ; 0.05]

Tabulando

k a b x0 0.04 0.05 0.0451 0.045 0.05 0.04752 0.0475 0.05 0.04875… … … …4 0.04878088 0.0487809 0.04788089

f = 0.04788089


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