equazioni derive

Equazioni Differenziali con Derive 6Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi [email protected] [email protected] [email protected]

Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006

Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce

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Presentazione

Vedremmo di seguito le potenzialit del software Derive 6 per risolvere le equazioni differenziali ordinarie . Risolveremo le equazioni differenziali pi note nella letteratura della matematica e tali equazioni saranno collocate nel periodo storico nel quale sono state formulate.



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Vedremmo infine le potenzialit del software per trovare le soluzioni approssimate di equazioni differenziali ordinarie con il metodo di Picard e le confronteremmo con quelle trovate con il metodo di Taylor



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PremessaIl software Derive 6 permette di evitare calcoli lunghi e laboriosi per risolvere le equazioni differenziali. Tali calcoli possono essere eseguiti con delle semplici istruzioni; in questo modo lo studioso, anzich insegnare ed imparare noiose tecniche di calcolo, potr concentrarsi realmente nella risoluzione di un problema nel quale sono coinvolte le equazioni differenziali. Bisogna premettere per che: per spostare lesecuzione dei calcoli alla progettazione di un percorso risolutivo per risolvere unequazione differenziale necessario la conoscenza di base del calcolo([8]).Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 4

ContenutiSaranno trattate brevemente, le seguenti equazioni differenziali: Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, Equazioni differenziali a variabili separabili, Equazioni differenziali esatte, Equazioni omogenee del primo ordine, Equazioni differenziali lineari del primo ordine, Equazione di Bernoulli, Equazione di Clairaut, Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine, Equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti, Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti.Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 5

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

Ricordiamo che unequazione differenziale ordinaria del primo ordine unequazione nella quale figura come incognita una funzione y=y(x) della variabile x e che lega la variabile x, la funzione y e la derivata prima della funzione: F(x, y, y)=0 ([6]).

Nel software Derive 6 , il file FirstOrderODEs.mth contiene le definizioni di alcune utili funzioni per trovare le soluzioni esatte di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Le definizioni di funzioni contenute in FirstOrderODEs.mth vengono caricate automaticamente quando una di queste funzioni viene chiamata per la prima volta ([1]).Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce

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IL suffisso GEN

Le funzioni aventi il suffisso GEN restituiscono una soluzione generale in termini di una costante simbolica. Funzioni con nomi senza il suffisso GEN restituiscono una soluzione particolare se vengono specificate le condizioni iniziali, oppure restituiscono una soluzione generale in termini di condizioni iniziali simboliche se non sono stati assegnati dei valori alle variabili per le condizioni iniziali. La variabile x denota la variabile indipendente mentre y quella dipendente. Inoltre la variabile x0 denota il valore iniziale di x mentre y0 quello iniziale di y. Non usare x o y come nomi di funzioni (dy/dx viene abbreviata in y').N.B. In Derive non si pu usare il simbolo di apostrofo o di apice singolo per denotare le derivate.



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Soluzione carta e penna



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DSOLVE1_GEN(p, q, x, y, c) restituisce una soluzione generale diunequazione nella forma : p(x, y) + q(x, y)y' = 0, in termini della costante simbolica c.

DSOLVE1_GEN pu risolvere equazioni esatte, lineari, separabili, omogenee o omogenee-generalizzate ed anche equazioni aventi un fattore di integrazione che dipende solo da x o solo da y. DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0) simile a DSOLVE1_GEN, ma restituisce una soluzione particolare per la condizione iniziale y=y0 in x=x0. Queste condizioni iniziali possono essere numeri, variabili o espressioni generali. Nellesempio precedente con la condizione iniziale y=1 in x=0:



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VECTOR(x ^2y + y= - c , c, 0, 5, 0.5)



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VECTOR(e^x + y = c, c, 0, 5, 0.5)



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Nota storica Il termine equazione differenziale dovuto a Leibniz e la distinzione tra integrale generale e integrale particolare dovuta a Eulero. Nel secolo XVIII si precisano le notazioni e le regole sulle equazioni differenziali ([2]).

Le funzioni restanti di DERIVE 6 che vediamo di seguito sono utili, soprattutto a scopo didattico per risolvere alcune forme particolari di equazioni differenziali.



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Equazioni differenziali a variabili separabili(La separazione delle variabili fu proposta e risolta da Leibniz nel 1691 e da Bernoulli nel 1694)

Unequazione differenziale a variabili separabili si pu scrivere nella forma y' = p(x)q(y), dove p(x) unespressione che non contiene la y e q(y) unespressione che non contiene la x ([3]). Nel software Derive 6 , SEPARABLE_GEN(p, q, x, y, c) restituisce una soluzione generale implicita di unequazione nella forma y' = p(x)q(y), dove p(x) unespressione che non contiene la y e q(y) unespressione che non contiene la x. . SEPARABLE(p, q, x, y, x0, y0) simile a SEPARABLE_GEN, ma restituisce una soluzione particolare per la condizione iniziale y=y0 in x=x0.

Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,2) si ha



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Equazioni differenziali esatte (Le equazioni differenziali esatte furono integrate da Clairaut nel 1740 ([4])).Unequazione differenziale esatta ha la forma p(x, y) + q(x, y) y' = 0 dove p e q sono funzioni continue con le loro derivate prime. Nel software Derive 6 , EXACT(p, q, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione implicita dellequazione differenziale nella forma p(x, y) + q(x, y) y' = 0, se questa equazione differenziale esatta, altrimenti restituisce il messaggio "inapplicable". Questa equazione esatta se e solo se dp/dy - dq/dx equivalente a 0. EXACT_GEN(p, q, x, y, c) simile a EXACT, ma restituisce una soluzione generale in termini della costante simbolica c.

Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,2) si ha:



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Equazioni omogenee del primo ordineLe equazioni omogenee del primo ordine furono integrate da Leibniz nel 1693 e da Bernoulli nel 1697 e Manfredi nel 1714 Unequazione omogenea del primo ordine unequazione differenziale nella forma y' = r(x, y) con r omogenea.

Nel software Derive 6 : HOMOGENEOUS(r, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione implicita dellequazione differenziale nella forma y' = r(x, y) se r omogenea, altrimenti restituisce il messaggio "inapplicable". In questo contesto, unespressione si dice omogenea se, sostituendo kx a x e ky a y nellespressione, si ottiene unespressione equivalente. Spesso le espressioni omogenee consistono in un rapporto tra due polinomi in x e y, con gli esponenti di x e di y completi in ogni termine. Gli argomenti di qualsiasi sotto-espressione irrazionale devono essere anchessi omogenei. HOMOGENEOUS_GEN(r, x, y, c) simile a HOMOGENEOUS, ma restituisce una soluzione generale in termini della costante simbolica c se r omogenea.



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Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,2) si ha:



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Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Lequazione lineare fu presa in considerazione da Bernoulli nel 1726 ma gi nel 1694 Leibniz aveva trovato la formula risolutiva.

Unequazione differenziale del primo ordine si dice lineare quando la funzione incognita y e la sua derivata prima y non figurano con esponente maggiore di uno: y+ p(x)y=q(x) dove p(x) e q(x) sono funzioni continue di x. Se q(x)=0 lequazione si dice omogenea.Nel software Derive 6 : LINEAR1(p, q, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione esplicita dellequazione differenziale : y' + p(x)y = q(x). Quest equazione non deve essere lineare in x: deve essere lineare solo in y e nella sua derivata.



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Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,-3) si ha:



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Equazione di BernoulliLequazione lineare fu proposta e risolta da Bernoulli nel 1696 nello stesso anno Leibniz la integro con due quadrature e poi con la riduzione ad unequazione lineare.

Unequazione differenziale del primo ordine si dice di Bernoulli se si presenta nella forma: y+ p(x)y=q(x)yn dove p(x) e q(x) sono funzioni continue di x in un certo intervallo ed n un numero reale.Nel software Derive 6 : BERNOULLI_ODE(p, q, k, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione implicita dellequazione di Bernoulli y' + p(x)y = q(x)y^k, dove k una costante. BERNOULLI_ODE_GEN(p, q, k, x, y, c) simile a BERNOULLI_ODE, ma restituisce una soluzione generale in termini della costante simbolica c..



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Se supponiamo che la curva integrale passi per il punto (1,-3) si ha:



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Equazione di ClairautL equazione di Clairaut unequazione differenziale del tipo y= xy+ f(y) dove f(y) definita e continua in un intervallo nel quale f(y){0 Nel software Derive 6 : CLAIRAUT(p, q, x, y, v, c) risolve lequazione di Clairaut generalizzata, che ha la forma p(xv - y) = q(v), dove p e q sono delle funzioni qualsiasi e v una variabile che rappresenta y'. CLAIRAUT restituisce un vettore: la prima componente una soluzione generale contenente una costante arbitraria c; la seconda componente unequazione che si pu provare a risolvere algebricamente per v (se si riesce, sostituire lespressione per v nellequazione differenziale per ottenere una soluzione particolare).

Risolvendo la seconda componente per v in termini di x e y, si ottiene:

Sostituendo il secondo membro di questo risultato a y' nellequazione differenziale originale si ottiene la soluzione particolare implicita.Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce

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Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordineRicordiamo che unequazione differenziale ordinaria del secondo ordine unequazione nella quale figura come incognita una funzione y=y(x) della variabile x e che lega la variabile x, la funzione y , la derivata prima e la derivata seconda della funzione ([6)] F(x, y, y,y)=0 Nel software Derive 6 : Il file SecondOrderODES.mth contiene le definizioni di alcune utili funzioni per trovare le soluzioni esatte di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Le definizioni di funzioni contenute in SecondOrderODES.mth vengono caricate automaticamente quando una di queste funzioni viene chiamata per la prima volta ([7]). In Derive non si pu usare il simbolo di doppio apice per denotare le derivate seconde. DSOLVE2(p, q, r, x, c1, c2) restituisce una soluzione generale esplicita dell0equazione differenziale ordinaria del secondo ordine lineare y" + p(x)y' + q(x)y = r(x) in termini delle costanti arbitrarie c1 e c2. Notare che gli ultimi due argomenti possono essere omessi se sono delle variabili e se per esse possono andare bene i nomi c1 e c2. DSOLVE2 pu trovare facilmente una soluzione se p e q sono due costanti numeriche. Se q una costante simbolica, il risultato avr una forma pi appropriata (sinusoidale anzich esponenziale) se q stata dichiarata positiva o negativa.Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006


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Se si vuole trovare una soluzione particolare per certe condizioni iniziali o al contorno numeriche o simboliche, meglio usare DSOLVE2_IV o DSOLVE2_BV che restituiscono direttamente soluzioni particolari. Altrimenti, dopo aver trovato una soluzione generale con DSOLVE2, si possono sostituire queste condizioni nella soluzione generale, risolverla in c1 e c2 e poi sostituire questi valori nella soluzione generale. DSOLVE2_BV(p, q, r, x, x0, y0, x2, y2) simile a DSOLVE2, ma restituisce una soluzione particolare che soddisfa le condizioni al contorno y=y0 in x=x0 e y=y2 in x=x2. DSOLVE2_IV(p, q, r, x, x0, y0, v0) simile a DSOLVE2_BV, ma restituisce una soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali y=y0 e y'=v0 in x=x0.



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Equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti(Le equazioni lineari a coefficienti costanti furono integrate da Eulero nel 1750). Unequazione differenziale omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti, un equazione del tipo: y" + py' + qy = 0, con p e q numeri reali Nel software Derive 6 : LINEAR1(p, q, x, y, x0, y0) restituisce una soluzione esplicita dellequazione differenziale : y' + p(x)y = q(x). Questequazione non deve essere lineare in x: deve essere lineare solo in y e nella sua derivata.Si possono verificare tre casi dipendenti dalle soluzioni dellequazione caratteristica.



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Equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine a coefficienti costantiUnequazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti non costanti, unequazione del tipo :y" + py' + qy = f(x), con p e q numeri reali.



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Conclusione Nel risolvere unequazione differenziale con il software Derive 6 necessario conoscere la teoria e come affermato nellintroduzione: per spostare lesecuzione dei calcoli alla progettazione di un percorso risolutivo per risolvere unequazione differenziale necessaria la conoscenza di base del calcolo. Dice il Professor Bernhard Kutzler: Pe. C.A.S.( (Pedagogical Computer Algebra System ovvero utilizzo pedagogico dei Sistemi di calcolo algebrico) , secondo me, un modo di utilizzare meglio questi Sistemi di calcolo algebrico nellinsegnamento della Matematica, migliorando sia linsegnamento sia la qualit e la quantit di Matematica che sinsegna. Importante porre al centro di tutto il processo lo studente: lo studente deve imparare matematica con i CAS ([8]).



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Riferimenti bibliografici1.AURELIA ORLANDONI, Derive nella scuola secondaria superiore,IRRE Emilia Romagna 2.BERNHARD KUTZLER & VASTA KOKOL-VOLJC , Introduzione a Derive 6 , Texas Instruments, Austria 2003. 3.CARL B.BOYER , Storia della matematica, Mondatori 1980 4.PAOLO MARCELLINI CARLO SBORDONE , Esercitazione di matematica 2 volume Parte prima, Liguori editore, 1995 5.G. ZWIRNER- L. SCAGLIANTI , Argomenti di analisi, Cedam,1995 6.MARCELLO PEDONE,Equazioni Differenziali con Derive 6: http://www.matematicamente.it/derive/equazioni_differenziali.pdf 7.MARCELLO PEDONE ,Appunti di analisi matematica per l'universit: http://www.matematicamente.it/analisi/ 8.MARCELLO PEDONE ,Problemi di Cauchy ed equazioni differenziali con Derive:http://www.matematicamente.it/derive/ 9.http://matematica.uni-bocconi.it/derive6/derive6.htm



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Soluzioni approssimate di equazioni differenziali ordinarie con il metodo di Picard e confronto con il metodo di TaylorEq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 28

Di seguito si descrivono e si confrontano i metodi di Picard e quello di Taylor per trovare le soluzioni approssimate delle equazioni differenziali ordinarie. Per il confronto e il calcolo delle soluzioni approssimate viene usato il software Derive 6, con il quale saranno tracciate tutte le curve che rappresentano sia le soluzioni esatte, sia quelle approssimate delle equazioni differenziali prese in esame. In conclusione si mostrer lutilit del campo di direzioni.Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 29

Precedentemente abbiamo descritto i file FirstOrderODES.mth e SecondOrderODES.mth e i metodi per trovare le soluzioni esatte per le equazioni differenziali ordinarie. Di seguito sono riportate le istruzioni per risolvere lequazione differenziale (#1), con le condizioni X0=0;Y0=1.



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Il grafico della soluzione trovata il seguente:



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Talvolta capita che nessuno dei metodi conosciuti possa essere applicato ad unequazione oppure che il risultato ottenuto non sia convertibile in una forma esplicita. Pu capitare che lequazione differenziale in questione non sia risolvibile mediante le funzioni di Derive, oppure che si debba risolvere un sistema di equazioni differenziali. Il file ODEApproximation.mth contiene le definizioni di alcune funzioni per risolvere le pi comuni equazioni differenziali ordinarie e sistemi di tali equazioni mediante sviluppi in serie troncati e metodi di approssimazione numerica. Le definizioni di funzioni contenute in ODEApproximation.mth vengono caricate automaticamente quando una di queste funzioni viene chiamata per la prima volta(guida di Derive 6).Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 32

Serie di Taylor troncata di ordine nPer trovare le Soluzioni in serie per le equazioni differenziali ordinarie si usa listruzione TAYLOR_ODE1(r, x, y, x0, y0, n) che restituisce la serie di Taylor troncata di ordine n della soluzione dellequazione y' = r(x, y) con le condizioni iniziali y=y0 e x=x0. Di seguito sono riportate le serie di Taylor per lapprossimazione dellequazione differenziale #1. La #7 unapprossimazione al secondo ordine, la #9 al terzo ordine, la #11 al quarto ordine e la #13 al quinto ordine.



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Per verificare che queste sono soluzione in serie che approssimano la soluzione dellequazione differenziale, basta sostituire questa soluzione a y nella differenza tra i due membri dellequazione senza semplificare. Poi usare il comando Calcola > Serie di Taylor per verificare che la serie di Taylor di tale differenza troncata al terzo grado vale 0. TAYLOR_ODE1 restituisce ? se r non sufficientemente differenziabile per una serie troncata di ordine n. In tal caso, provare con un valore di n inferiore(guida di Derive 6).



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Nella figura che segue sono riportati i grafici per le cinque approssimazioni effettuate; chiaramente allaumentare dellordine di troncamento le curve si avvicinano sempre di pi alla curva che rappresenta la soluzione esatta (curva di colore rosso)



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Metodo di PicardIl metodo di Picard costituisce una versione migliorata per la soluzione di unequazione approssimata in serie. Listruzione PICARD(r, p, x, y, x0, y0) restituisce una versione migliorata della soluzione approssimata in serie dellequazione y' = r(x, y), data la soluzione approssimata in serie p(x). Di solito, sviluppando rispetto a x, si ottiene una forma pi utile che non semplicemente semplificando lespressione. Il metodo di Picard utilizza lintegrazione di r(x, p(x)). Se non rimangono integrali nel risultato semplificato, si pu tentare unaltra iterazione usando lapprossimazione migliorata per p, e cos via. Se non si ha una buona prima approssimazione, allora usare la costante y0.Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006


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Consideriamo sempre la stessa equazione differenziale con y=1 in x=0.

Utilizzando TAYLOR_ODE1 si ricava che il secondo membro dellequazione sufficientemente differenziabile solo per la soluzione sviluppata in serie di Taylor troncata al primo ordine, +1. Di conseguenza, usando questo come prima approssimazione, si ottiene:

Dove si utilizzata la seconda approssimazione come secondo argomento della funzione PICARD per ottenere una terza approssimazioneEq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 38

Ora si pu utilizzare questa terza approssimazione come secondo argomento della funzione PICARD per ottenere una quarta approssimazione, e cos via.

Notare che i termini di grado massimo generati col metodo di Picard sono spesso errati. Sono poco attendibili i termini che non hanno gli stessi coefficienti in due iterazioni successive. Per questo motivo e per motivi di efficienza, conviene scartare i termini di ordine superiore al primo termine di ordine superiore rispetto alliterazione precedente. Se qualche iterazione porta ad un risultato contenente un integrale, si pu provare ad approssimare r(x, p(x)) per poter eseguire lintegrazione. (guida di Derive 6).Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 39

Nella figura che segue sono riportati i grafici per le cinque approssimazioni effettuate, chiaramente anche in questo caso con le successive approssimazioni le curve si avvicinano sempre di pi alla curva che rappresenta la soluzione esatta (curva di colore rosso) e in questo caso rispetto al metodo precedente si nota gi una migliore approssimazione.



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Nella figura che segue sono riportati i grafici ottenuti con le approssimazioni effettuate con i due metodi, dal confronto si nota che allaumentare dei vari passi(step) le curve si avvicinano sempre di pi alla curva che rappresenta la soluzione esatta (curva di colore rosso) e che con il metodo di Picard si ha una migliore approssimazione.

Listruzione PICARD pu anche essere usata per trovare le soluzioni approssimate in serie di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine.Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006 Marcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi Lecce 41

Campo di direzioni

Un campo di direzioni serve per dare uninterpretazione visiva dellequazione .Se la soluzione passa per il punto P(0,1) allora lequazione permette di calcolare la derivata di y(x) in questo punto y(0)=0-y(1), associamo dunque a tale punto la direzione della corrispondente tangente a y(x) nel punto di ascissa 0. Al variare del punto nel piano si determina un campo di direzioni. Le soluzioni seguono in ogni punto la direzione associata, il passaggio per un punto individua una sola soluzione Listruzione DIRECTION_FIELD(r, x, x0, xm, m, y, y0, yn, n) restituisce una matrice di vettori a due componenti che quando vengono tracciati rappresentano un campo di direzioni per lequazione y'=r(x,y). x varia da x0 fino a xm in m passi, mentre y varia da y0 fino a yn in n passi.



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Prima di tracciare il grafico, bisogna usare il comando Opzioni > Visualizzazione > Punti della finestra grafica 2D per connettere i punti finali dei segmenti tangenti e per usare punti piccoli. Ad esempio, per tracciare un campo di direzioni per lequazione

si approssima lespressione

e poi si traccia il risultato in una finestra Grafica 2D, utilizzando punti piccoli e collegandoli.Eq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006


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VI RINGRAZIO PER AVERMI Derive 6 Equazioni Differenziali con ASCOLTATOMarcello Pedone I.I.S.S.S. A. De Pacedi [email protected] [email protected] [email protected]

E

MI SCUSO SE VI HO ANNOIATO! MARCELLO PEDONEEq.differenziali con derive 6 - Lamezia Terme 25 /11/ 2006


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