dÃy sỐ vÀ cÁc bÀi toÁn liÊn quan - thư...
TRANSCRIPT
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
LÊ ĐỨC VIỆT
DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội, Năm 2014
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
LÊ ĐỨC VIỆT
DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS .TS . VŨ ĐỖ LONG
Hà Nội, Năm 2014
2
Lời nói đầu
Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT. Các bài toán
liên quan đến dãy số thường là những bài toán khó, thường gặp trong các kì thi học sinh
giỏi môn Toán cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực và quốc tế. Các dạng toán về dãy
số rất phong phú và đa dạng nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên đề riêng
biệt. Nội dung và mục tiêu của luận văn : “ Dãy số và các bài toán liên quan “ là hệ
thống lại một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, chứng minh
sự tồn tại giới hạn của dãy số, tìm giới hạn của dãy số, ứng dụng của dãy số trong việc
giải một số bài toán liên quan thông qua các ví dụ minh họa và tổng quát hóa các kết quả
đơn giản.
Bố cục của luận văn gồm 3 chương
Chương I.Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy Chương này trình bày các khái niệm, công thức và tính chất cơ bản về cấp số cộng , cấp
số nhân ,công thức tổng quát của dãy, một số dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy sử
dụng tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân và một số bài toán liên quan đến cấp số cộng
và cấp số nhân.
Chương II.Giới hạn dãy Chương này trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về giới hạn dãy số và hệ thống các
ví dụ minh họa về chứng minh sự tồn tại của giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số. Một số
các phương pháp tìm giới hạn dãy số.
Chương III. Các bài toán về số học và dãy
Chương này trình bày các bài toán liên quan đến số học và dãy số trong các kì thi học
sinh giỏi tỉnh, thành phố và Olympic 30/4 thông qua các ví dụ minh họa.
3
Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Vũ Đỗ Long. Thầy
đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc trong suốt quá trình
học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo Khoa
Toán-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp toán sơ cấp của Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên cổ vũ và tọa điều
kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong quá trình học tập và nghiên
cứu khoa học, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất. Vì vậy, tác
giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng
nghiệp để bản luận văn này được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2014
4
Mục lục
Lời nói đầu .................................................................................................................. 0
Lời cảm ơn .................................................................................................................. 3
Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy. ....................... 5
1.1 Khái niệm cơ bản .............................................................................................. 5
1.1.1 Cấp số cộng ................................................................................................ 5
1.1.2 Cấp số nhân ................................................................................................ 5
1.1.3 Công thức tổng quát của dãy .................................................................... 6
1.1.4 Cách xác định dãy số .................................................................................. 6
1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng ................................................................................ 7
1.1.6 Dãy số bị chặn ........................................................................................... 7
1.1.7 Dãy số tuần hoàn ....................................................................................... 7
1.1.8 Dãy số dừng ............................................................................................... 7
1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt. .............................................................................................. 7
1.3 Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân. ........ Error! Bookmark not defined.
Chương II. Giới hạn dãy .............................................. Error! Bookmark not defined.
2.1 Khái niệm cơ bản ............................................... Error! Bookmark not defined.
2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy ............ Error! Bookmark not defined.
2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn..Error! Bookmark not defined.
2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp ......... Error! Bookmark not defined.
2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác......... Error! Bookmark not defined.
2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy ............. Error! Bookmark not defined.
2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy ....Error! Bookmark not defined.
Chương III. Các dạng bài toán khác về dãy số ........... Error! Bookmark not defined.
3.1 Bài toán về số học của dãy số ............................ Error! Bookmark not defined.
3.2 Ứng dụng dãy số vào bài toán tính tổng các số hạngError! Bookmark not defined.
5
3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm .......... Error! Bookmark not defined.
3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số ...................... Error! Bookmark not defined.
Kết luận........................................................................ Error! Bookmark not defined.
Tài liệu tham khảo ................................................................................................... 10
Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng
quát của dãy.
1.1 Khái niệm cơ bản
1.1.1 Cấp số cộng
Định nghĩa 1: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng
thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d
, nghĩa là
nu là cấp số cộng 12, n nn u u d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Định lý 1 : Nếu cấp số cộng nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì số hạng tổng quát
nu được xác định bởi công thức 1 1 , 2nu u n d n
Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung
bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
1 1 , 22
k kk
u uu k
Định lý 3: Cho cấp số cộng nu , đặt 1 2 ...n nS u u u . Khi đó:
1
2
n
n
u u nS
hay
12 1
2n
u n d nS
1.1.2 Cấp số nhân
Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)
nu là cấp số nhân 12, .n nn u u q .
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
6
Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu
được xác định bởi công thức 1
1. , 2n
nu u q n .
Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2
1 1. , 2k k ku u u k (hay
1 1.k k ku u u ).
Định lý 3: Cho cấp số nhân nu với công bội 1q .
Đặt 1 2 ...n nS u u u . Khi đó 1 1
1
n
n
u qS
q
Chú ý: Nếu 1q thì cấp số nhân là 1 1 1, ,..., ,...u u u
Khi đó 1.nS nu
1.1.3 Công thức tổng quát của dãy
Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một
dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu: : *u
n u n
Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là số hạng của dãy số
1 1u u được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)
…
nu u n được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy).
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển
1 2, ,..., ,...nu u u
Mỗi hàm số u xác định trên tập 1,2,...,mM với mỗi *m được gọi là một dãy số
hữu hạn. Dạng khai triển của nó là 1 2, ,..., mu u u trong đó 1u là số hạng đầu, mu là số hạng
cuối.
1.1.4 Cách xác định dãy số
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
VD: Cho dãy số nu với 1
3 1n
nu
n
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp).
7
VD: Cho dãy số 1
1
1:
2 1, 2n
n n
uu
u u n
1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng
Dãy số nu được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu 1 , 1n nu u n .
Dãy số nu được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếu 1 , 1n nu u n .
Dãy số nu được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu 1 , 1n nu u n .
Dãy số nu được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu 1 , 1n nu u n .
1.1.6 Dãy số bị chặn
Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn trên nếu : , 1nM u M n .
Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu : , 1nm u m n .
Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn nếu , : m , 1nM m u M n
1.1.7 Dãy số tuần hoàn
Dãy số nu được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì k nếu , 1n k nu u n
1.1.8 Dãy số dừng
Dãy số nu được gọi là dãy số dừng nếu
0 0: ,nn u c n n ( c là hằng số, gọi là hằng số dừng ).
1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt.
Ví dụ 1.1
Xác định công thức tổng quát của dãy 1
1
2:
3 1, 2n
n n
uu
u u n
Giải:
Trong bài toán trên ta gặp khó khăn vì dãy nu không phải là cấp số cộng hay cấp số
nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức của số hạng tổng quát. Nếu không có 1 xuất hiện
ở vế trái thì dãy nu sẽ là một cấp số nhân với công bội 3q . Ta sẽ tìm cách làm mất
1 và chuyển dãy nu về cấp số nhân.
8
1 13 3 3n n n nu k u k u u k k
11 3
2k k k
1
1 13
2 2n nu u
Đặt: 1
1
51
22
3 , 2n n
n n
vv u
v v n
Dãy nv là một cấp số nhân với công bội 3q
1 1
1
5. .3
2
n n
nv v q
Vậy 11 5 1
.3 , 12 2 2
n
n nu v n
Bài toán 1.1
Xác định công thức tổng quát của dãy 1 0
1
: , 0. , 2
n
n n
u xu a b
u a u b n
Giải:
Trường hợp 1: 1a thì dãy nu là cấp số cộng có công sai d b nên
1 01 1nu u n d x n b
Trường hợp 2: 1a
Ta đặt 1 1n n n nu k a u k u au k ak
Ta phân tích 1
bb k ak k
a
1 1 1 1
ab b ab bb
a a a a
Khi đó: 1.1 1
n n
ab bu a u
a a
1
1 1n n
b bu a u
a a
Đặt: 1 0
1
11
.n n
n n
bv xb
v u aa
v a v
Dãy nv là cấp số nhân có công bội q a1 1
1 0. .1
n n
n
bv v q x a
a
Vậy
11 1
0 0
1. . , 1
1 1 1 1
nn n
n n
b b b au v x a x a b n
a a a a
9
Kết quả 1.1: Dãy 1 0
1
: , 0. , 2
n
n n
u xu a b
u a u b n
thì có công thức số hạng tổng quát là
0
11
0
1 , 1
1. , 1
1
nn n
x n b a
u ax a b a
a
Ví dụ 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy 1
1
2:
2 3 1, 2n
n n
uu
u u n n
Giải:
Để tìm công thức tổng quát của dãy số trên ta tìm cách làm mất 3 1n để chuyển về dãy
số là một cấp số nhân.
Ta đặt 12 1n nu an b u a n b
12 2 1n nu u an b a n b
3 1 2 1n an b a n b
Cho 1, 2n n ta có hệ 2 3
5 5
a b a
b b
13 5 2 3 1 5n nu n u n
Đặt: 1
1
103 5
2 , 2n n
n n
vv u n
v v n
Dãy nv là cấp số nhân với công bội 2q 1 1
1. 10.2 , 2n n
nv v q n
Vậy công thức tổng quát của 110.2 3 5, 1n
nu n n .
Ví dụ 1.3: Tìm công thức tổng quát của dãy 1
1
2:
2 1, 2n
n n
uu
u u n n
Giải:
Xét 2 1f n n là đa thức bậc 1 đối với n
Đặt 1 1n nu g n u g n
suy ra 1f n g n g n , trong đó g n là đa thức bậc 2 đối với n có hệ số tự do
bằng 0. Từ đó có 2g n an bn
222 1 1 1n an bn a n b n
10
Cho 0, 1n n ta được hệ: 21 1
23 2
a b ag n n n
a b b
22
12 1 2 1n nu n n u n n
Đặt: 12
1
12
, 2n n
n n
vv u n n
v v n
Dãy nv là cấp số nhân với công bội 1q
1
1 1. 1, 2n
nv v q v n
Vậy công thức tổng quát của 2 2n 1, 1nu n n .
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề
chọn lọc dãy số và áp dụng, NXB Giáo dục.
[2] Phan Huy Khải, 2009, Chuyên đề số học và dãy số, NXB Giáo dục.
[3] Tuyển tập các đề thi Olympic Toán Trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB
Giáo dục.
[4] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, NXB Đại học quốc gia Hà
Nội.
[5] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2012, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ
XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm.
[6] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, NXB Giáo dục.
11
[7] Nguyễn Tất Thu, 2008-2009, Chuyên đề hội giảng Một số phương pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số, lưu hành nội bộ.
[8] Phạm Thành Luân, 2001, 1001 bài toán về dãy số, NXB Đà Nẵng.
[9] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2014, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ
XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm.
[10] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2011, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ
XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm.
[11] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2013, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ
XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm.