diagrammi di bode

Ing. Mariagrazia Dotoli

Controlli Automatici NO (9 CFU)

Diagrammi di Bode

DIAGRAMMI DI BODE Abbiamo visto che la funzione di risposta armonica F() di un sistema lineare tempoinvariante con funzione di trasferimento razionale fratta G(s) legata a questultima dalla relazione:F() = G(s) s = j = G( j) .

I diagrammi di Bode di un sistema con funzione di trasferimento G(s) razionale fratta rappresentano graficamente il modulo e la fase della funzione di risposta armonica G(j), che una funzione a valori complessi della pulsazione :

G ( j ) = G ( j ) e

jarg ( G ( j) )

Lanalisi in frequenza di un sistema, ed in particolare lanalisi per mezzo dei diagrammi di Bode di un sistema, si effettua ponendo la sua funzione di trasferimento G(s), e conseguentemente la funzione di risposta armonica associata, in forma delle costanti di tempo. Supponendo che la funzione di trasferimento G(s) da analizzare presenti poli nellorigine, v poli reali e w coppie di poli complessi coniugati, con p zeri reali e q coppie di zeri complessi coniugati, essa si pu scrivere nella forma in costanti di tempo come segue:q s2 2 (1 + Tjs) 2 + h s + 1 j=1 h =1 nh nh . G(s) = K v w s2 2 s (1 + Tis) 2 + k s + 1 i =1 k =1 nk nk p

La generica funzione di risposta armonica G(j) dunque nella forma:

2 (1 + jTj) 1 2 + j h nh j=1 h =1 nh . G( j) = K v w 2 2 ( j) (1 + jTi) 1 2 + j k nk i =1 k =1 nk p

q

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Diagrammi di Bode

Come anticipato, i diagrammi di Bode si costruiscono rappresentando in due grafici differenti in funzione della pulsazione rispettivamente il modulo e largomento della funzione di risposta armonica, con le seguenti convenzioni. In entrambi i diagrammi di Bode (delle ampiezze e delle fasi) sullasse delle ascisse non viene direttamente riportata la pulsazione , bens la quantit log10. In questo modo lasse delle ascisse viene suddiviso in decadi: gli estremi di una decade sono due valori di pulsazione di cui quello finale pari a 10 volte quello iniziale. Si osserva che, nonostante la scala usata per le ascisse sia quella logaritmica, i valori numerici riportati sono quelli effettivi della pulsazione espressa in radianti, in modo da facilitare la lettura del diagramma. Per quanto riguarda lasse delle ordinate, nel diagramma dei moduli non viene riportato direttamente il modulo G( j) , bens la quantit 20log10 G( j) , ossia il modulo di G(j) espresso in dB. Nel diagramma delle fasi viene riportata direttamente la fase arg(G(j)) espressa in gradi.(rad G ( j) loglog)10 20 10

20log10|G(j)|3dB 2dB 1dB

-2

-1

-1dB

1

2

3

log10

0.01(radj) ) arg(G) log10 (

0.1

1

10

102

103

(rad s-1)

arg(G(j))

-2

-1

1

2

3

log10

0.01

0.1

1

10

102

103

(rad s-1)


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Diagrammi di Bode

Osserviamo che, nel caso di diagrammi di Bode delle ampiezze, un diagramma (o una parte di diagramma) rappresentato da una curva disposta al di sopra dellasse delle ascisse (o asse a 0 dB) corrisponde ad un diagramma in cui sia 20log10|G(j)|>0, ovvero |G(j)|>1 e quindi ad un intervallo di pulsazioni in cui il sistema amplifica a regime lampiezza dei segnali in ingresso: per il teorema della funzione di risposta armonica, infatti, la risposta in regime sinusoidale ad un segnale periodico di ampiezza nellintervallo in questione ha una ampiezza data dallampiezza X di tale segnale periodico moltiplicata per il valore del modulo |G(j)| ed dunque maggiore di X. Ragionando analogamente si deduce che un diagramma (o una parte di diagramma) di Bode delle ampiezze rappresentato da una curva disposta al di sotto dellasse a 0 dB corrisponde ad un diagramma in cui sia 20log10|G(j)|0 log10

0.01

0.1

1 -90

10

102

103=1 h=1

-180

=2

h=2

ESEMPIO

Tracciare i diagrammi di Bode asintotici delle ampiezze e delle fasi della funzione di trasferimentoG(s) = 10 s2

.

Si ha:

G( j) =

10

( j ) 2

Pertanto la funzione di risposta armonica costituita da una funzione elementare guadagno e da una funzione elementare polo doppio nellorigine. Vediamo il diagramma di Bode dei moduli. Il modulo della funzione vale:20log10 G( j) = 20log10 10 = 20dB + 20log10 1

( j ) 2

( j ) 2


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Diagrammi di Bode

quindi il diagramma dei moduli quello di un polo doppio nellorigine sommato ad un contributo di 20 dB, ovvero traslato verso lalto di 20 dB. Pertanto il sistema amplifica per segnali aventi pulsazione inferiori ad un certo valore 0 compreso tra 1 e 10 rad/s e attenua per pulsazioni maggiori. Vediamo ora il diagramma di Bode delle fasi. Largomento della funzione vale:

10 1 = 0 + arg = 0 = arg G( j) = arg ( j)2 ( j ) 2 pertanto lunico contributo al diagramma delle fasi dato dal sistema elementare avente polo doppio nellorigine. Quindi il diagramma di Bode delle fasi la retta orizzontale di valore - a tutte le pulsazioni (il sistema ritarda la fase a tutte le pulsazioni).20log10|G(j)|

+20 dB 0 dB -20 dB =1

-40 dB/dec 0 =10 log10

arg(G(j))

0 rad =1 - rad

log10


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Diagrammi di Bode

Nelle figure precedenti sono rappresentati i diagrammi di Bode del sistema. Nella figura successiva, inoltre, sono rappresentati i diagrammi di Bode del sistema ottenuti in ambiente Matlab. Si osservi che in questo caso il diagramma di Bode delle fasi rappresentato una retta di valore costante -180, che corrisponde alla fase di - rad.Bode Diagram

30 Magnitude (dB) Phase (deg) 20 10 0 -10

-20 -179 -179.5 -180 -180.5 -181 0 10 Frequency (rad/sec) 101


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Diagrammi di Bode

SISTEMA ELEMENTARE G(j)=(1+jT)-1 (POLO REALE A FASE MINIMA)

Consideriamo ora la funzione di risposta armonica con T>0

G ( j ) =

1 , (1 + jT )

corrispondente ad un polo reale negativo disposto in -1/T. Il modulo della funzione G( j) = 1 1 = 1 + jT 1 + 2T 2

La funzione da riportare sul diagramma dei moduli dunque:

G( j) dB = 20log10

1 1 = 20log10 = 2 2 1 + jT 1+ T

= 20log10 1 + 2T 2 = 10log10 1 + 2T 2

(

)

Per determinare landamento di questa funzione in funzione di possiamo osservare quello che accade per molto piccolo e per molto grande.1 G( j) dB 10log10 1 = 0(dB) . T 1 = 20log10 + 20log10 B . Se >> G( j) dB 20log10 T = 20log10 B T

Se

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