INSTITUT FUR MESS- UND REGELUNGSTECHNIKMIT MASCHINENLABORATORIUMUNIVERSITAT KARLSRUHE (TH)

PROF. DR.-ING. C. STILLER

76131 KARLSRUHEENGLER-BUNTE-RING 21FON: (0721) 608 23 34FAX: (0721) 66 18 74

Digitales Speicheroszilloskop unddigitaler Spektrum-Analysator

F. Mesch, A. Worch, A. Kapp, C. Duchow, M. Roser

Lernziele

1. Aufbau und Arbeitsweise eines digitalen Speicheroszilloskops

2. Aufbau und Anwendungsmoglichkeiten eines digitalen Spektrum-Analysators

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Digitales Speicheroszilloskop 3

2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Aufbau des digitalen Speicheroszilloskops . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3

2.3 Triggerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Einfluss der Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Betriebsarten und Rechenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6

3 Digitaler Spektrum-Analysator 7

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Aufbau eines Spektrum-Analysators . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 8

3.3 Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8

3.4 Stochastische Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13

3.4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4.2 Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A2 – 1

3.4.3 Leistungsdichte-Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.4.4 Streuung der Schatzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.5 Anwendung: Laufzeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Versuchsdurchfuhrung 23

4.1 Digitales Speicheroszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 23

4.2 Spektrum-Analysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

A Abbildungen 26

A2 – 2

1 Einleitung

Ingenieure aller Fachrichtungen werden in zunehmendem Maße mit der Aufgabe konfron-tiert, schnell und ohne ausfuhrliche Einarbeitung elektrische Signale messen oder analysie-ren zu mussen. Ziel des Versuchs ist es deshalb, die gangigsten Werkzeuge zum Messen,Darstellen und Auswerten elektrischer Signale, das digitale Oszilloskop und den Spektrum-Analysator, kennen und bedienen zu lernen. Die Arbeitsweise der Gerate und der theoreti-sche Hintergrund sollen kurz erlautert und konkrete, praxisrelevante Signale untersucht undausgewertet werden.

2 Digitales Speicheroszilloskop

2.1 Allgemeines

Konventionelle analoge Oszilloskope [9] konnen nurperiodisch wiederholteSignale darstel-len. Zur analogen SpeicherungeinmaligerSignale behalf man sich fruher mit einer speziel-len nachleuchtenden Beschichtung des Bildschirms. Mit dem Aufkommen der DigitaltechnikentstandenTransientenrekorder, mit denen elektrische Einzelsignale digital gespeichertundweiterverarbeitet werden konnten.

Die heutigen digitalen Speicheroszilloskope vereinen im Prinzip einen Transientenrekordermit einem Oszilloskop. Dazu kommen meistens noch Signalprozessoren zur digitalen Si-gnalverarbeitung. Bei diesen Oszilloskopen wird das digital gespeicherte Signal in beliebigeinstellbarem Zeitmaßstab ausgelesen und periodisch wiederholt, so dass auch bei einmali-gen Originalsignalen ein stehendes Bild auf dem Schirm entsteht. Die obere Grenzfrequenzdigitaler Oszilloskope ist nur durch die maximale Abtastrate der verfugbaren A/D- Wand-ler bestimmt, die mit der rasch fortschreitenden Halbleitertechnologie zunimmt. Bei analo-gen Oszilloskopen dagegen ist die maximale Schreibgeschwindigkeit physikalisch durch dieStrahlablenkung begrenzt.

Die digitale Signalspeicherung bietet neben der Sichtdarstellung auch die Moglichkeit, dieSignale extern aufzuzeichnen und zu dokumentieren. Daruber hinaus ermoglicht sie weitereFunktionen wie die Detektion von Spitzenwerten, die Dehnung von Signalausschnitten, dasgenaue Ausmessen von Signalwerten mit einem Cursor, die automatische Wahl und Speiche-rung der Einstellparameter und andere Komfortfunktionen.Je nach Geratetyp ist auch eineweitere Verarbeitung der gespeicherten Signale moglich (Abschnitt 2.5). Diesen Vorteilenstehen gewisse Nachteile und Fehlermoglichkeiten gegenuber, die auf der Diskretisierungvon Zeit und Amplitude beruhen (Abschnitt 2.4).

Im Folgenden werden Arbeitsweise und Besonderheiten heutiger Digitaloszilloskope allge-mein erlautert, ohne auf bestimmte Geratetypen einzugehen.

2.2 Aufbau des digitalen Speicheroszilloskops

Abbildung 1 zeigt das Blockschaltbild eines zweikanaligen Speicheroszilloskops. DieEingangsverstarker (links im Bild) fur Eingangs- und Triggersignale, der Wahlschalter fur

A2 – 3

die Triggerquelle und der Schwellwertschalter entsprechen einem analogen Oszilloskop.Darauf folgt in jedem der beiden Kanale nach einem Tiefpass (s. Abschnitt 2.4) ein A/D-Wandler.

Abbildung 1: Blockschaltbild eines digitalen Zweikanal-Oszilloskops (entnommen [7]).

Die digitalisierten Signale gelangen in den Speicher, welcher aus einem schnellen Auf-nahmespeicher, einem Arbeitsspeicher und einem Wiedergabespeicher besteht. Aus demWiedergabe/-speicher werden die Signale zyklisch ausgelesen und D/A-gewandelt. Die Bild-Wiederholfrequenz ist unabhangig vom Zeitmaßstab und wird automatisch so gewahlt, dasssich ein stehendes, flackerfreies Bild ergibt.

Wie in Abbildung 1 rechts angedeutet kann fur die Visualisierung eine konventionelle Elek-tronenstrahlrohre mit elektrostatischer Ablenkung verwendet werden.Ublicher sind heuteRasterbildschirme, das sind Elektronenstrahlrohren, bei denen eine magnetische Ablenkungwie bei herkommlichen Fernsehern ein Raster erzeugt, das punktweise hellgesteuert wird.Hiermit ist es viel einfacher, neben den Signalen auch alphanumerische Zeichen darzustel-len.

Da die Bildschirmgroßen bei Oszilloskopen begrenzt sind, bieten sich heute auch Flachbild-schirme z.B. in LCD-Technik (Liquid-Crystal-Display) an. Diese ermoglichen eine verzer-rungsfreie Darstellung. Es handelt sich hier um passive (nicht selbst leuchtende) Bildschirmemit einer Hintergrundbeleuchtung. Mit entsprechendem Aufwand konnen diese Flachbild-schirme auch fur eine farbige Darstellung ausgefuhrt werden. Wesentliche technische Vor-teile der Flachbildschirme gegenuber Elektronenstrahlrohren sind die geringe Einbautiefe,das relativ geringe Gewicht und der Entfall der aufwendigenHochspannungsversorgung.

2.3 Triggerung

Besonders vorteilhaft sind beim Speicheroszilloskop die Triggermoglichkeiten. Bei analo-gen Oszilloskopen (ohne Speicher) war es schwierig, das Signal unmittelbar zum Trigger-zeitpunkt darzustellen. Hier behalf man sich mit analogen Verzogerungsleitungen, die dasEingangssignal gegenuber dem Triggersignal verzogerten.

A2 – 4

Im Gegensatz dazu werden bei digitalen Oszilloskopen die Eingangssignale laufend gewan-delt und zwischengespeichert. Durch die Triggerung wird die Wandlung angehalten, so dassder Speicher auch vorher liegende Messwerte enthalt (Vor-Triggerung, engl. pre-trigger).Damit kann sogar ein Teil der Vorgeschichte des Signals vor dem Triggerereignis gezeigtwerden.

Die ubrigen Triggerfunktionen (Triggerniveau, Anstiegsflanke, Triggerquelle) entsprechendenen bei Analog-Oszilloskopen.

2.4 Einfluss der Abtastung

Das in [8] ausfuhrlich behandelte Abtasttheorem besagt, dass ein Signal aus seinen Abtast-werten rekonstruiert werden kann, wenn drei Bedingungen erfullt sind:

1. Das Eingangssignal ist bandbegrenzt mit der Grenzfrequenzfg.

2. Die Abtastfrequenz ist mindestens gleich der doppelten Nyquistfrequenzfg, d. h.fa ≥2fg.

3. Fur die Rekonstruktion steht ein idealer Tiefpass zur Verfugung.

Speicheroszilloskope verletzen diese Bedingungen in zweierlei Hinsicht.

Erstens wird der Eingangstiefpass (links in Abbildung 1) meist nur fur die hochstmoglicheAbtastfrequenzfa ausgelegt, die durch den A/D-Wandler gegeben ist. Bei einer um denFaktorN langsameren Zeitablenkung wurden mit dieser AbtastfrequenzN mal soviele Da-ten (pro Bildschirmbreite) anfallen. Daher wird die effektive Abtastrate abhangig von dergewahlten Zeitablenkung so gewahlt, dassuber die Bildschirmbreite typisch 1000 Abtast-werte zur Verfugung stehen. Die Grenzfrequenz des analogen Eingangstiefpasses wird dabeiaberublicherweise nicht angepasst.Realisiert wird die Untersetzung der Abtastratefa/N dadurch, dass der A/D-Wandler zwarmit seiner maximalen Abtastratefa weiterlauft, dass aber nur jederN -te Abtastwert aufge-zeichnet wird. Dieses Verfahren bietet die Moglichkeit, die mitfa gewonnenen Daten fureine Vorverarbeitung zu nutzen. Beispielsweise ist eine digitale Tiefpassfilterung – im ein-fachsten Fall eine Mittelwertbildung – moglich, so dass der analoge Eingangstiefpass vor derAbtastung durch ein digitales Filter nach der Abtastung ersetzt wird. Oder man kann den Ex-tremwert des (mitfa abgetasteten) Signalverlaufs innerhalb eines IntervallsN/fa erfassen,um so eine angenaherte Spitzenwertdetektion zu realisieren. In diesem Fall ist folglich dieerste Bedingung des Abtasttheorems – die Bandbegrenztheit des Eingangssignals – verletzt.

Zweitens fehlt der ideale Tiefpass zur Rekonstruktion des Signals, der nach Bedingung 3 desAbtasttheorems erfordert wird.Fur die Darstellung der Kurvenzuge auf dem Bildschirm gibt es verschiedene Verfahren.Bei der Punktdarstellung werden diefa/N Abtastpunkte einzeln und ohne jede Inter-polation hellgetastet. Das Auge ist kein idealer Tiefpass,sondern es verbindet die jeweilsnachstliegenden Punkte. Gehoren diese zu verschiedenen Perioden eines hochfrequentenSignals, werden falschlicherweise Schwebungen wahrgenommen, die tieffrequente Signa-le vortauschen. Besser ist daher die Verbindung benachbarter Punkte durch eine Gerade,

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anders ausgedruckt, dielineare Interpolation, die einer Tiefpassfilterung entspricht [8].Ein idealer Tiefpass wurde die Interpolation mitsin(t)/t-Funktionen bedeuten [8], die zeit-lich nicht beschrankt und daher nicht realisierbar ist.

Wegen der genannten beiden Abweichungen vom Abtasttheoremmuss die wirkliche Abtast-frequenz deutlich hoher sein als die Nyquistfrequenz.

DieseUberlegungen betreffen in erster Linie die Hersteller digitaler Speicheroszilloskope.Der Anwender bemerkt davon wenig, wenn er das Speicheroszilloskop nur zur Anzeige vonSignalen benutzt. Bei den wenigsten Geraten kann er die Abtastrateuberhaupt unabhangigvon der Zeitablenkung einstellen.Bei den Geraten wird eine weitgehende Narrensicherheit durch eine Speichertiefe von ty-pisch 1000 Abtastwerten je Bildschirmbreite erreicht, die ungefahr 10 Abtastwerten/mmentsprechen. Da das Auge hochstens eine Schwingungsperiode/mm auflosen kann, bedeu-tet dies eine funffacheUberabtastung. Probleme konnen aber entstehen, wenn die Zeitbasisnach der Abtastung gedehnt wird, z.B. um den Faktor 10 (

”Zooming“). In diesem Fall, ins-

besondere in der Betriebsart Punktdarstellung, ist Vorsicht geboten.Selbstverstandlich muss der Benutzer auch auf Abtastprobleme achten, wenn die Daten nichtnur unter den beschriebenen Bedingungen angezeigt, sondernbereits im Rechner vorverar-beitet werden.

Bei manchen Speicheroszilloskopen stoßt man auf unterschiedliche Angaben zur Bandbreitefur einmalige und fur periodische Eingangssignale: erstere ist durch die maximale Abtast-frequenzfa der A/D-Wandler begrenzt, letztere kann viel hoher sein. Erreicht wird diesdurch das Prinzip des sequentiellen Abtastens, das auch schon bei analogen Geraten unterder BezeichnungSampling-Oszilloskopebekannt war. Bei periodischen Signalen erhoht mandie effektive Abtastfrequenz um den FaktorN dadurch, dass man insgesamtN Perioden desEingangssignals verarbeitet. Jede Periode der LangeT bewirkt eine Triggerung, die eine Ab-tastung auslost, wobei die Zeit zwischen Triggerung und Abtastung jeweils um ein kleinesZeitintervallT/N verlangert wird. Werden diese Abtastwerte der Reihe nach abgespeichert,so ergibt sich beim Auslesen der Zeitverlauf des Eingangssignals.Bedingung fur dieses Verfahren ist naturlich ein stabiles, streng periodisches Eingangssignalund eine entsprechend genaue, phasenfehlerfreie Triggerung.

2.5 Betriebsarten und Rechenfunktionen

Die bei analogen Oszilloskopen moglichen Funktionen wie etwa X-Y-Betrieb und die Additi-on bzw. Subtraktion von Eingangssignalen sind bei digitalen Speicheroszilloskopen naturlichauch moglich und werden hier nicht besprochen.

Eine Betriebsart speziell fur sehr langsame Vorgange ist derRoll-Modus. Bei diesenVorgangen stort die normale, periodisch von vorn beginnende Zeitablenkung, da man ent-weder nur eine sehr schlechte Zeitauflosung hat oder nur einen Teil des Signals auf demBildschirm sieht. Beim Roll-Modus werden die eingelesenen Werte von rechts nach linksuber den Bildschirm geschoben, als ob sie von einer Papierrolle abgewickelt wurden.

Im Fall derVielfachdarstellung werden die letzten paar Signalverlaufe mit dargestellt, sodass man den aktuellen mit fruheren Verlaufen vergleichen kann.

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Unter der EinstellungMittelwertbildung (engl. average mode) werden mehrere Signal-verlaufe punktweise gemittelt. Bei Signalen mit periodischem Nutzanteil unduberlagertemRauschen ist so eine Storunterdruckung moglich, sofern die Triggerung nicht selbst durchdas Rauschen gestort wird. In dieser Betriebsart ist daher eine externe Triggerung auf einunverrauschtes Signal empfehlenswert.

Bei derHullkurvendarstellung (engl. envelope mode) werden nur Maxima und Minima derSignale dargestellt. So werden bei modulierten Signalen nur die Hullkurven sichtbar.

Digitale Speicheroszilloskope bieten eine Reihe vonMessfunktionen. So konnen Frequen-zen/Perioden, Maximalwerte und Anstiegs- und Abfallzeiten automatisch vermessen wer-den. Man kann auch mit eingeblendeten senkrechten oder waagrechten Bezugslinien (engl.cursor) Amplituden- oder Zeitwerte messen. Die Genauigkeit ist dabei durch die Auflosungder A/D-Wandler bestimmt und wird nicht durch Nichtlinearitaten der Bildschirmrohre be-eintrachtigt.

Weitere Funktionen finden sich in [6], [4].

3 Digitaler Spektrum-Analysator

3.1 Allgemeines

Fur eingehende Signalanalysen bietet das sogenannteSpektrumviele Vorteile. Der Ausdruckentstammt der Optik, wo er fur das in Spektralfarben zerlegte Licht verwendet wurde. Heut-zutage wird damit die Zerlegung eines Signals in seine Frequenzanteile bezeichnet, alsodie Darstellung von Signalamplitudenuber der Frequenz. Damit lassen sich die einzelnenharmonischen Anteile eines Signals leicht erkennen, wie dies z.B. bei der Gerauschanalyseoder in der Schwingungstechnik von Interesse ist. Auch bei stochastischen Signalen (Zu-fallsschwingungen) bietet die Spektralanalyse viele Vorteile.

Fur die Analyse linearer dynamischer Systeme mussen deren Ein- und Ausgangssigna-le miteinander in Beziehung gebracht werden. Spektralanalysatoren bieten daher auch dieMoglichkeit, zwei Signale zu verknupfen und auf lineare Abhangigkeiten zu untersuchen,wie dies etwa bei der Korrelation geschieht.

Die Spektralanalyse beruht auf der Fouriertransformation, die bereits in [8] behandelt wurde.In Abschnitt 3.3 wird deren diskrete Form eingefuhrt. Die untersuchten Signale konnen dabeiperiodisch oder stochastisch sein.

Die Analyse stochastischer Signale erfordert – im Vergleich zur Untersuchung determinis-tischer Signale – weitergehendeUberlegungen. Die Ergebnisse mussen gemittelt werden,und es treten stochastische Fehler auf. Eine Beschreibung stochastischer Signale ist nur mitMethoden der Wahrscheinlichkeitslehre moglich, deren Darstellung eine Versuchsanleitungnicht leisten kann. In Abschnitt 3.4 wird daher versucht, einige Grundbegriffe elementar undanschaulich zu erklaren.

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3.2 Aufbau eines Spektrum-Analysators

Digitale Spektrum-Analysatoren sind im Prinzipahnlich aufgebaut wie in Bild 1 fur dasSpeicheroszilloskop gezeigt. Der Rechner ist allerdings wesentlich leistungsfahiger, insbe-sondere was arithmetische Operationen (v.a. Addition und Multiplikation) anbetrifft. Diewichtigste Operation ist die schnelle Fourier-Transformation (FFT, siehe Abschnitt 3.3),wofur spezielle Prozessoren verwendet werden.Wichtig ist ferner das Verknupfen zweier Signale, weswegen immer zwei Eingangskanalemit genau synchroner Abtastung vorhanden sind.

3.3 Diskrete Fourier-Transformation

Ausgangspunkt ist die Fourier-Transformation [8]

X(f) = F{x(t)} =

∫∞

−∞

x(t)e−j2πft dt (1)

und ihre Umkehrung

x(t) = F−1{X(f)} =

∫∞

−∞

X(f)ej2πft df . (2)

Beide Integrale sind gleich aufgebaut und besitzen eine reelle Integrationsvariablent bzw.f .Sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen des Exponenten. Aufgrund dieser Symmetrie sindbei den Korrespondenzen

X(f) •−−◦ x(t)

die Variablenf undt – unter Beachtung des Vorzeichenwechsels – vertauschbar:

X(t) ◦−−• x(−f) . (3)

Fur die digitale Verarbeitung mussen Gl. (1) und (2) diskretisiert werden. Die zeitliche Dis-kretisierung wird mathematisch beschrieben durch Multiplikation der Zeitfunktion mit ei-nemδ-Kamm:

xa(t) = x(t) · ∆t∞∑

k=−∞

δ(t − k∆t)

︸ ︷︷ ︸

δ-Kamm

. (4)

Die zugehorige Fourier-Transformierte lautet

Xa(f) =∞∑

k=−∞

X

(

f −k

∆t

)

. (5)

Die Faktoren∆t und∆f wurden erganzt, damit dieδ-Kamme dimensionslos sind.

Die Fouriertransformierte ist periodisch in f, was bedeutet, dass das ursprungliche Spektrumbei Vielfachen der Abtastfrequenzfa = 1/∆t periodisch fortgesetzt wird.

A2 – 8

Analog zur Diskretisierung im Zeitbereich wird die Diskretisierung der Frequenz beschrie-ben durch Multiplikation des Spektrums mit einem Frequenz-δ-Kamm:

Xaa(f) = Xa(f) · ∆f

∞∑

i=−∞

δ(f − i∆f) . (6)

Wegen der Symmetrie (3) bewirkt dies im Zeitbereich eine entsprechende periodische Fort-setzung der abgetasteten Zeitfunktion mit der Periode1/∆f :

xaa(t) =∞∑

i=−∞

xa

(

t +i

∆f

)

. (7)

Abbildung 2: Diskrete Fourier-Transformation.

Bild 2 stellt die Diskretisierung in Zeit und Frequenz dar.Auf der linken Seite sind die Zeitfunktionen, rechts die zugehorigen Spektren aufgetragen.Die Zeitfunktionen sind als um den Nullpunkt gerade symmetrisch angenommen, die Spek-tren sind daher reell und ebenfalls gerade.Bild 2a) zeigt die Funktionx(t) und ihr Spektrum vor dem Abtasten, der zeitlichen Diskre-tisierung.Bild 2b) zeigt das abgetastete Zeitsignal und das zugehorige, periodische Spektrum. Die Ab-tastfrequenz wurde gerade so gewahlt (frei wahlbar!), dass sich die einzelnen Spektren nichtuberlappen, d.h. die Abtastfrequenz entspricht der doppelten Nyquistfrequenz:fa = 2fg.Bild 2c) zeigt Zeitsignal und Spektrum, nachdem auch die Frequenz diskretisiert worden ist.Sowohl Zeitfunktion als auch Spektrum sind periodisch. DiePeriode1/∆f wurde gleich derLangeT der ursprunglichen Zeitfunktion gewahlt (frei wahlbar!), d.h.

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T =1

∆f. (8)

Da sowohl die diskrete Zeitfunktionxaa(t) als auch das diskrete SpektrumXaa(f) periodischsind, kann man die Integrationsgrenzen in (1) ersetzen durch die PeriodeT und in (2) durchdie Periodefa. Wegen der Diskretisierung stehen im Zeitbereich wahrend der Periode nurNAbtastwerte zur Verfugung, alsoT = N∆t. Wegen (8) ist damit aber

fa =1

∆t= N∆f , (9)

d.h. auch im Frequenzbereich stehen nurN Abtastwerte zur Verfugung. Damit erhalt manbei Einsetzen von (4) in (1) und von (6) in (2) zunachst

X(i∆f) = ∆tN−1∑

k=0

x(k∆t)e−j2πi∆fk∆t (10)

und

x(k∆t) = ∆fN−1∑

i=0

X(i∆f)ej2πi∆fk∆t , (11)

(der Indexa wurde weggelassen).In der Literatur ist esublich, den Vorfaktor∆t von (10) dem Vorfaktor∆f in (11) zuzu-schlagen. Mit (9) erhalt man dann dieDiskreteFourier-Transformation (DFT)

X(i∆f) = DFT{x(k∆t)} =N−1∑

k=0

x(k∆t)e−j2πik/N (12)

und ihre Umkehrung

x(k∆t) = DFT−1{X(i∆f)} =1

N

N−1∑

n=0

X(i∆f)ej2πik/N . (13)

Zur numerischen Realisierung sei bemerkt, dass die Exponentialfunktionen in (12) und (13)fur ein gegebenesN nur einmal als komplexe FaktorenW±ik mit W = ej2π/N berechnetwerden mussen. Bei der Berechnung der Summen sind dannN komplexe, d.h.4N reelleMultiplikationen fur einen Funktionswert notig, fur N Funktionswerte folglich4N2 Multi-plikationen. Das bedeutet ein quadratisches Anwachsen desRechenaufwandes mit der Zahlder Abtastwerte.In den 60er Jahren wurde nun ein wesentlich effizienterer Algorithmus entwickelt, dieschnelle Fourier- Transformation (engl.FastFourier Transform, kurz: FFT). Bei ihr wirdN auf Potenzen2n beschrankt. Durch geschicktes Ausnutzen von Zwischenergebnissen ge-lingt es, die Zahl der Multiplikationen auf2N log2 N zu reduzieren [1]. Dieser Algorithmusist so effizient, dass Operationen im Zeitbereich wie etwa die Korrelation (Abschnitt 3.4)

A2 – 10

schneller auf dem Umweguber den Frequenzbereich als direkt im Zeitbereich realisiert wer-den.Jedoch auch mit solchen effizienten Algorithmen istN durch die Rechenzeit und den Spei-cherplatzbedarf begrenzt. Fur den Anwender spielt daher die einfache Gl. (9) eine entschei-dende Rolle. Sie besagt, dass bei gegebenemN eine hohere Auflosung im Zeitbereich aufKosten der Auflosung im Frequenzbereich geht und umgekehrt.

Gl. (13) entspricht der Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe, de-ren Koeffizienten durch (12) gegeben sind, allerdings beidein etwas ungewohnter, diskreterForm. Die Grundschwingung dieser Funktion hat die PeriodeT . Die hochste Oberwelle mitder Frequenzfg wird mit fa = 2fg abgetastet.

Folglich tritt bei der DFT einer periodischen Funktion – biszur Oberwelle der Frequenzfg – uberhaupt kein Informations verlust auf, wenn die PeriodeT = N∆t der DFT genaumit der SignalperiodeTs ubereinstimmt. Die WerteX(i∆f) lassen sich dann als diskreteSpektrallinien, mathematisch alsδ-Funktionen,uber der Frequenz auftragen. Daher triggernSpektrum-Analysatoren aufT , wenn dies moglich ist. Wenn dies dagegen bei stark ver-rauschten Signalen oder bei Signalgemischen mit nicht ganzzahligen Frequenzvielfachennicht moglich ist, konnen betrachtliche Fehler auftreten.

Abbildung 3: Periodisch forgesetztes Sinussignal.

Das wird am Beispiel eines Sinussignals verdeutlicht. Bild 3 zeigt links eine Sinusschwin-gung, aus der ein Stuck der LangeT ≥ Ts herausgeschnitten wird. Dieses Stuck wird durchdie DFT periodisch wiederholt und ergibt nach Bild 3 rechts ein Signal, das gegenuber derOriginalschwingung stark verfalscht ist und eine Reihe von Oberschwingungen enthalt.

Daher wird jetzt die Auswirkung der Zeitbegrenzung einer Zeitfunktion allgemein und furden kontinuierlichen Fall betrachtet.Das Ausschneiden eines Stuckes der LangeT aus einer Zeitfunktionx(t) laßt sich mathe-matisch beschreiben durch Multiplikation vonx(t) mit einer

”Fensterfunktion“, wie sie in

Bild 4 links dargestellt ist:

xT (t) = x(t) · rectt

T(14)

mit

A2 – 11

rectt

T=

{1 fur |t| < T/20 fur |t| > T/2

. (15)

Die Fouriertransformierte dieser Rechteckfunktion ist diesogenannte Sinc-Funktion (auchSpaltfunktion)

F{rectt

T} = T

sin(πTf)

πTf, (16)

die Abbildung 4 rechts zeigt. Der Multiplikation (14) im Zeitbereich entspricht im Frequenz-bereich die Faltung

XT (f) = T

∫∞

−∞

X(ϕ)sin(πT (f − ϕ))

πT (f − ϕ)dϕ . (17)

Abbildung 4: Rechteckfensterfunktion und deren Fouriertransformierte.

Das OriginalspektrumX(f) wird mit der Sinc-Funktion gefaltet und somit verschmiert.Fehler entstehen insbesondere dadurch, dass die Nebenkeulen der Sinc-Funktion Spektralan-teile erfassen, die nicht zur Hauptkeule gehoren, was man alsLeckeffektbezeichnet (engl.leakage). Abbildungen 3 und 5 zeigen das fur eine periodische Funktion, bei derT = 1, 25Ts

erfasst wurde.

Abbildung 5: Fourier- und DF-Transformation eines Sinussignals mit der Frequenzf = 100 Hz.

A2 – 12

Um derartige Effekte zu vermindern, werden andere Fensterfunktionen verwendet, die dieZeitfunktion

”sanfter“ beschneiden und deren Nebenkeulen wesentlich kleiner sind, wie z.B.

Dreieckfenster, Cosinusfenster oder die nach ihren Autorenbenannten Hamming- und vonHann- (engl. Hanning-) Fenster [10].

3.4 Stochastische Signale

3.4.1 Grundbegriffe

Die Grundbegriffe werden am Beispiel eines Wurfels dargestellt. Der Wurf eines Wurfelsist ein Zufallsexperiment, die geworfene Augenzahl ist eine diskrete Zufallsvariable. (DieBehandlung kontinuierlicher Zufallsvariablen unterscheidet sich hiervon in einigen Punkten.Es ist jedoch einfacher, diskrete als kontinuierliche Zufallsprozesse intuitiv zu begreifen.)Erfasst man von einer Zufallsvariablen Messwerte, stellt dieser Datensatz eine Stichprobedar.Wird der Wurfel mehrere Male geworfen, kann der arithmetische Mittelwert der geworfenenAugenzahlen gemaß

x =1

N

N∑

i=1

xi (18)

bestimmt werden. (Neben dem arithmetischen Mittelwert gibt es weitere Mittelwerte, etwadas geometrische Mittel oder den Median.)Zusatzlich zum Mittelwert ist auch ein Maß fur die Streuung der Zufallsvariablen um denMittelwert x interessant. Diese Streuung wird mit der Varianz

s2

x =1

N − 1

N∑

i=1

(xi − x)2 ; (19)

bzw. deren Wurzelsx, Standardabweichung genannt, erfasst.

Beispiel:Ein

”normaler“ Wurfel mit den Augenzahlen eins bis sechs wird zehnmal geworfen. Das

(”zufallige“ ) Ergebnis ist: 5, 6, 3, 5, 1, 6, 2, 1, 2, 4. Der Mittelwert berechnet sich daraus zu

3,5, die Varianz zu3,833 und die Standardabweichung zu1,9579.

Werden zwei WurfelN -mal geworfen, erhalt manN zusammengehorende Wertepaarexi, yi,fur die Mittelwert und Varianz gemaß der obigen Formeln berechnet werden konnen.Als Kovarianz der Stichprobe bezeichnet man

sxy =1

N − 1

N∑

i=1

(xi − x)(yi − y) ; (20)

Daraus ergibt sich der Korrelationskoeffizient zu

rxy =sxy

sxsy

. (21)

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Er ist ein Maß fur den linearen Zusammenhang zwischen den Variablenx undy, wie Bild 6andeutet. Hangt die geworfene Augenzahl des einen Wurfels von der des zweitenuberhauptnicht ab, ist der Korrelationskoeffizient gleich0. Stimmen die geworfenen Augenzahlen bei-der Wurfel immeruberein, nimmt der Korrelationskoeffizient den Maximalwert 1 an.

Abbildung 6: Graphische Darstellung des Ausgangs von zehn Wurfen mit jeweils zwei Wurfelnunter Angabe des Korrelationskoeffizientenr.

AnmerkungDie Stichproben-Großen (18) bis (21) bezeichnet man als Schatzwerte fur die

”wahren“ Werte, die eine unend-

lich groß gedachte Grundgesamtheit (Grundkollektiv) beschreiben. Mathematisch erhalt man die wahren WertealsErwartungswerte, definiert als

µx = E{x} =

∞∑

i=1

xipi(x) (22.a)

σ2x = E{(x − µx)2} =

∞∑

i=1

(xi − µx)2pi(x) dx (23.a)

σxy = E{(x − µx)(y − µy)} =

∞∑

i=1

∞∑

j=1

(xi − µx)(yj − µy)pi,j (24.a)

fur die diskrete Zufallsvariable x mit den Einzelwahrscheinlichkeitenpi und den Verbundwahrscheinlichkeitenpi,j bzw.

µx = E{x} =

∫ ∞

−∞

xw(x) dx (22.b)

σ2x = E{(x − µx)2} =

∫ ∞

−∞

(x − µx)2w(x) dx (23.b)

σxy = E{(x − µx)(y − µy)} =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

(x − µx)(y − µy)w(xy) dxdy (24.b)

fur die kontinuierliche Zufallsvariable x mit der Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichtew(x) und der Verbund-verteilungsdichtew(x, y) der beiden Zufallsvariablen(x, y).Die Schatzwerte sind selbst Zufallsgroßen. Fur verschiedene Stichproben streuen die Werte um den wahrenWert. Die Streuung beispielsweise vonx wird beschrieben durch die Varianz

σ2x = σ2

x/N , (25)

A2 – 14

wobei unkorrelierte Wertexi vorausgesetzt wurden.Man nennt einen Schatzer erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert gleich demwahren Wert ist. Fur dieSchatzer(19) bis (20) trifft dies zu:

E{x} = µx , E{s2x} = σ2

x , E{sxy} = σxy . (26)

Bei den bisher betrachteten Zufallsgroßenx, y spielte die Zeit keine Rolle. Es wird nun einvon der Zeit zufallig abhangiges Signalx(t) betrachtet.Die (unendlich groß gedachte)Scharsolcher Signale, die unter genau gleichen Bedingungenerzeugt wurden, nennt manstochastischer Prozess, der begrifflich der Grundgesamtheit ent-spricht. Ein einzelnes Zeitsignal nennt manRealisierungoder Musterfunktion des Prozesses.Wenn man nun zu einem festen Zeitpunktt1 die Wertexi(t1) der Schar betrachtet, so stellendiese eine Zufallsvariable im obigen Sinne dar, fur welche Mittelwert und Varianz nach (22,23) und deren Schatzwerte nach (18, 19) bestimmt werden konnen.Fuhrt man noch einen weiteren festen Zeitpunktt2 ein, erhalt man eine zweite Zufallsvariablexi(t2). Ersetzt man in (20) und (24)y durchxi(t2), erhalt man entsprechend die Kovarianzund ihren Schatzwert fur den an zwei verschiedenen Zeitpunkten betrachteten Prozess.

Wieder am Beispiel des Wurfels:Die gleichzeitige Erzeugung mehrerer solcher Signale bedeutet, dass zu jedem betrachte-ten Zeitpunkt mehrere Wurfel geworfen werden, deren Augenzahlen getrennt in einemDia-gramm aufgetragen werden konnen. Die Gesamtheit

”aller“ Wurfel stellt einen stochasti-

schen Prozess dar, ein einzelner Wurfel ist eine Realisierung dieses Prozesses.Untersucht man die geworfenen Augenzahlen der einzelnen Wurfel zu einem festen Zeit-punktk1, handelt es sich um eine Zufallsvariable, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeitwelche Augenzahl gefallen ist.Wird ein weiterer Zeitpunktk2 festgelegt, kann die Kovarianz bestimmt werden.

Abbildung 7: Stochastischer Prozess.

Fur das Folgende wird die wichtige Voraussetzung getroffen,dass der Prozessstationar sei.

A2 – 15

Damit ist gemeint, dass seine Statistik unabhangig von der Zeit ist. Speziell fur die Zufalls-variablenxi(t1) undxi(t2) bedeutet dies, dass die Verteilungsdichtew(x) gar nicht von derZeit und die Verbundverteilungsdichtew(x(t1), x(t2)) nur von der Zeitdifferenzτ = t2 − t1abhangt.Wieder am Beispiel des Wurfels: Die Einzelwahrscheinlichkeit, z.B. eine

”2“ zu wurfeln, ist

unabhangig davon, wann gewurfelt wird, wenn der Prozess stationar ist. Ware er instationar,ware die Wahrscheinlichkeit abhangig vom Zeitpunkt des Wurfelns. (Vorsicht: Die Einzel-wahrscheinlichkeit kannnicht aus einem oder vielen Wurfen bestimmt werden sondern nuruber die Gesamtheit aller (unendlich vieler) moglichen Realisierungen.)

Wenn weiterhin vorausgesetzt, dass der Prozess auchergodisch[2] ist, kann der Scharmit-telwert uber viele Realisierungen zu einem festen Zeitpunktt1 ersetzt werden durch daszeitliche Mittel uber eine einzige Realisierung. Der Datensatzxi kann dann aufgefasst wer-den als Folge von Abtastwertenxi = x(i∆t) eines einzigen Signalsx(t). Die zugehorigenSchatzer (18)–(20) behalten damit die gleiche Form.

Am Beispiel des Wurfels:Ist der zugrundeliegende stochastische Prozess ergodisch, erhalt man den gleichen Mittel-wert, wenn man einen Wurfel sehr viele Male (eigentlich unendlich oft) wirft (zeitlichesMittel uber eine Realisierung) oder wenn man zu einem festen Zeitpunkt sehr viele Wurfelwirft (Scharmittelwert).

Da oft nur eine einzige Realisierung des stochastischen Prozesses vorliegt, wird haufig dieAnnahme getroffen, der Prozess sei ergodisch. Unter dieserAnnahme kann der Mittelwertoder die Varianz mit nur einer Realisierung bestimmt werden.

Abbildung 8: Einteilung technischer Signale.

A2 – 16

3.4.2 Korrelationsfunktion

Unter der Voraussetzung, dass der stochastische Prozess stationar und ergodisch ist, be-schreibt die Kovarianz zweier im zeitlichen Abstandτ gewonnenen Zufallsvariablen die li-neareAhnlichkeit dieser beiden Zufallsvariablen, also den inneren zeitlichen Zusammenhangdes Prozesses und damit sein dynamisches Verhalten. Bei einem hochfrequenten Signal, d.h.die Amplitudeandert sich

”rasch“, wird dieser Zusammenhang fur ein bestimmtesτ geringer

sein als fur ein tieffrequentes. Deswegen hat die Kovarianz fur stochastische zeitabhangigeSignale besondere Bedeutung, da sie eine Aussage macht, wie ausgepragt

”zufallig“ bzw.

stochastisch das Signal ist. (Die Autokorrelation des weißen Rauschens1 ist ein Dirac-Stoß,also unendlich schmal. Vergangene Werte und jetziger Wert hangenuberhaupt nicht vonein-ander ab.)In der Technik gebrauchlicher ist die mit der Kovarianz verwandteKorrelationsfunktion, dieahnlich Gleichung (24) definiert ist, jedoch ohne die Zentrierung um den Mittelwertµ:

Φxx(τ) = E{x(t − τ)x(t)} . (27)

Da das Signal mit sich selbst korreliert wird, heißt diese FunktionAuto-Korrelationsfunktion(AKF). Wendet man dieselbe Operation auf zwei unterschiedliche Signalex(t) undy(t) an,die beispielsweise Ein- und Ausgangssignal eines linearenSystems darstellen, erhalt mandie sogen.Kreuz-Korrelationsfunktion (KKF)

Φxy(τ) = E{x(t − τ)y(t)} . (28)

Gebrauchlich ist auch die zentrierte, normierte Form

ρxy(τ) =Φxy(τ) − µxµy

σxσy

,

die Korrelationskoeffizient genannt wird (vgl. Gl. (21)).

AnmerkungEinen Schatzer fur (28) gewinnt man, wenn man den Scharmittelwert ersetzt durch den ZeitmittelwertuberDatensatze der LangeT . Wegen der Zeitverschiebung der Datensatze umτ uberlappen sich die Datensatze nurauf einer Lange vonT −|τ |, was sowohl bei der Integrationsgrenze als auch beim Vorfaktor zu berucksichtigenist:

Φxy(τ) =1

T − |τ |

∫ T−|τ |

0

x(t − τ)y(t)dt , (29)

wobei jetzt der Schatzwert durch das Symbol (ˆ ) vom wahren Wert unterschieden wird. Der Schatzer fur die

AKF entspricht (27) mitx = y.

Bei der AKF sind die Faktoren in (27) vertauschbar. Daher ist es gleichgultig, in welcheRichtung man umτ verschiebt. Somit ist die AKF eine gerade Funktion, deren Maximumbei τ = 0 liegt, da die um0 verschobene Funktion sich selbst amahnlichsten ist.Abbildung 9 zeigt die AKF fur ein stochastisches Signal mituberlagertem Gleichanteilµx. (Beispiel: Die Spannung, dieuber einem

”rauschenden“ Widerstand (→ stochastisch)

abfallt plus einer Gleichspannungsquelle (→ deterministisch; Gleichanteil).) Dabei gilt

1Stochastischer ProzessX(t), der unkorreliert ist, dessen Erwartungswert null ist und der konstante Varianzhat.X(t) heißt Gauß’sch, wenn die Amplitude normalverteilt ist.

A2 – 17

Φxx(∞) = µ2x. Der Wert der AKF fur τ = 0 entspricht dem quadratischen Mittel, der sogen.

”Leistung“ des Signals:Φxx(0) = E{x2(t)} = σ2

x + µ2x nach (23).

Angedeutet ist auch die Korrelationslangeτ0, die ungefahr angibt, bis zu welcher Zeitver-schiebung ein innerer Zusammenhang des Signals besteht. Die Erwartungswertbildung zurBestimmung der Korrelation (29) muss mindestens diesen Bereich umfassen, wahrend derSignalverlauf außerhalb dieser Grenzen kaum noch Einfluss auf die Korrelation hat .Bei stochastischen Signalen ist also die Fensterlange in (15) ungefahr zuT = 2τ0 zu wahlen.Die Korrelationslange ergibt sich aus dem Schnitt der umτ = 0 durch eine Parabel angenaherten AKF unddem quadrierten Gleichanteilµ2

x.

Abbildung 9: Autokorrelationsfunktion eines stochastischern Signals mit Gleichanteilµx und Kor-relationslangeτ0.

Abbildung 9 zeigt die nach Gl. (29) geschatzte AKF fur ein sinusformiges Signal, das durchein hochfrequentes Rauschen gestort ist. (Im Praktikum wird einem sinusformigen Span-nungssignal ein Rauschsignal (Pseudorauschen), das einem Rauschgenerator entstammt,uberlagert.)Offensichtlich eignet sich die AKF dazu, periodische von stochastischen Signalanteilen zutrennen. (Rauschen ist gerade gekennzeichnet durch eine AKF, die fur τ 6= 0 rasch auf 0abfallt.) Die Fensterlange ist wie in Abschnitt 3.3 nach Moglichkeit der Periodendauer an-zupassen.Kleine Rechnung, die zeigt, dass die AKF einer periodischenFunktion periodisch (inτ ) ist:

E{cos(2πft) · cos(2πf(t − τ))} = E{0,5(cos(2πfτ)}︸ ︷︷ ︸

=0,5 cos(2πfτ)

+E{0,5 cos(2πf(2t − τ))}︸ ︷︷ ︸

=0

.

Der zweite Erwartungswert ist gleich0, da zur Bestimmung des Erwartungswerts die in der Integrationsvaria-

blen t periodische Funktioncos(2πf(t − τ)) uber eine Periode integriert wird. Der erste Erwartungswert ist

gleich dem Argumentcos(2πfτ), da der Erwartungswert bezuglich t gebildet wird und das Argument somit

konstant ist.

3.4.3 Leistungsdichte-Spektrum

Analog der Bestimmung des Spektrums eines Zeitsignals kann die Fouriertransformierte derKorrelationsfunktion ermittelt werden:

A2 – 18

Abbildung 10: Gemessene Autokorrelationsfunktion eines sinusformigen, stochastisch gestorten Si-gnals.

Sxy(f) =

∫∞

−∞

Φxy(τ)e−j2πfτ dτ (30)

mit der Umkehrung

Φxy(τ) =

∫∞

−∞

Sxy(f)ej2πfτ df . (31)

Das Ergebnis nennt sich Kreuz-Leistungsdichte-Spektrum (KLS).Fur x = y erhalt man entsprechend das Auto-Leistungsdichte-Spektrum (ALS).Der Name Leistungsdichte-Spektrum stammt daher, dass in (31) fur τ = 0 links die Leistungsteht und rechts das IntegraluberSxy(f).

Bei der praktischen Schatzung der Leistungsdichtespektren wahlt man nicht den Weguberdie Korrelationsfunktion, da fur die Berechnung von (29) kein effizienter Algorithmus exis-tiert. Statt dessen geht man aus von den Fouriertransformierten XT (f) und YT (f) der Si-gnalausschnittexT (t) undyT (t) nach (14), die mittels FFT bestimmt werden.Das komplexe Produkt

Sxy(f) =1

TX∗

T (f)YT (f) , (32)

heißtPeriodogrammund ist ein Schatzer fur das KLSSxy(f). Praktisch berechnet werdendie Faktoren diskret entsprechend (12) mit dem FFT-Algorithmus.Wichtig fur das Verstandnis ist, dass die Fouriertransformation trotz der Integration uberdie Zeit keine statistische Mittelung bewirkt. Die Spektren XT (f) und YT (f) und damitderen Produkt (32) sind daher ebenso stochastische Prozesse wie die SignalfunktionenxT (t) und yT (t). Folglich mussuber mehrere Periodogramme gemittelt werden, was einerScharmittelung entspricht.

A2 – 19

Das Periodogramm (32) ist als Schatzer allerdings nicht erwartungstreu.

AnmerkungEs laßt sich zeigen [5], dass

E{Sxy(f)} = T

∫ ∞

−∞

Sxy(ϕ)

(sin(πT (f − ϕ))

πT (f − ϕ)

)2

dϕ (33)

gilt, d.h. das wahre LeistungsdichtespektrumSxy(f) wird mit dem Quadrat der Sinc-Funktion verschmiert, wie

es bei (17) schon diskutiert wurde. Erst fur T → ∞ ginge (33)uber inSxy(f).

Analog zum Leckeffekt infolge einer endlichen Fensterlange bei der Bestimmung derDFT wird auch das Leistundsdichtespektrum verschmiert. Impraktischen Fall endlicherFensterlangenT passt manT entweder der Korrelationslange an oder – bei periodischenKomponenten – der Periodendauer entsprechend denUberlegungen in Abschnitt 3.3. Hier-bei muss auch wieder gemaß (9) ein Kompromiss zwischen der Auflosung im Zeit- undFrequenzbereich getroffen werden.

Abbildung 11: Auto-Leistungsdichtespektren zu den Bildern 9 und 10.

Zur Veranschaulichung ist in Bild 11a) das ALSSxx(f) zur AKF Φxx(τ) von Bild 9 darge-stellt. Der Gleichanteil (Frequenzf = 0) wird zur Spektrallinie beif = 0, wahrend1/τ0

eine Art Mittenfrequenz bedeutet und die Breite des Spektrums bestimmt.Bild 11b) gehort entsprechend zu Bild 10. Der periodische Anteil bildet sich in zwei Spek-trallinien bei±f0 ab (f0: Frequenz des Sinus), wahrend die stochastische Storung einembreiten, nahezu

”weißen“ Spektrum entspricht.(Ein Spektrum ist weiß, wenn alle Frequen-

zen mit gleicher Leistung vorkommen: das Leistungsdichtespektrum hat konstanten Betrag.)

3.4.4 Streuung der Schatzwerte

Der allgemeine Zusammenhang zwischen Messzeit und Streuung fur die verschiedenenSchatzwerte zeitabhangiger stochastischer Prozesse ist ziemlich kompliziert. Werden jedochunkorrelierte Datensatze verwendet, gilt fur das gemittelte Ergebnis vonN Schatzwertensinngemaß die einfache Beziehung (25), also

A2 – 20

Var{Mittel} =Var{Einzelschatzwert}

N. (34)

Unkorreliert bedeutet fur die zeitunabhangigen Schatzwerte (18) bis (20), dass die Datenxi

in Zeitabstanden großer als die Korrelationslangeτ0 gewonnen werden. Das Abtasttheoremspielt hier keine Rolle. Fur die zeit- und frequenzabhangigen Schatzwerte (29) und (32)mussen entsprechend Datensatze der LangeT > τ0 verwendet werden.

Unkorreliert bedeutet, dass der Korrelationskoeffizient gleich0 ist. Die betrachteten Zufallsvariablen sind sichkomplett unahnlich.Statistisch unabhangig bedeutet, dass die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte gleich dem Produkt der Einzel-wahrscheinlichkeitsdichten ist.

Am Beispiel der Wurfel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit dem ersten Wurfel eine1 wurfle und mit dem

zweiten eine5, ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, dass ich mit dem ersten eine1 und

mit dem zweiten eine5 wurfle, sofern die Zufallsvariablen”Wurfel 1“ (bzw.

”Augenzahl von Wurfel 1“) und

”Wurfel 2“ statistisch unabhangig sind. Ein Gegenbeispiel ware etwa, dass beide Wurfel immer das Gleiche

anzeigen.

Ein Beispiel fur zwei diskrete ZufallsvariablenX undY , die zwar unkorreliert, jedoch nichtstatistisch unabhangig sind (aus [3]).Die gemeinsame Verteilung zweier ZufallsvariablenX undY sei durchP (X = 0, Y = 0) = 1/2, P (X = 1, Y = 1) = P (X = −1, Y = 1) = 1/4gegeben. Es folgtE{X · Y } = 0 · 0 · 1/2 + 1 · 1 · 1/4 + (−1) · 1 · 1/4 = 0und wegenP (X = 0) = 1/2, P (X = 1) = P (X = −1) = 1/4E{X} = 0,und somitC(X,Y ) = 0, d. h.X undY sind statistisch unkorreliert.WegenP (Y = 0) = 1/2 gilt weiter1/2 = P (X = 0, Y = 0) 6= P (X = 0) · (P (Y = 0) = 1/4.Somit sindX undY nicht statistisch unabhangig.

A2 – 21

3.4.5 Anwendung: Laufzeitmessung

In Bild 12 ist das Prinzip der Geschwindigkeitsmessung mit Laufzeit-Korrelationsverfahrendargestellt:Ein sich mit der Geschwindigkeitv bewegendes Messgut (im Praktikums-Versuch: einKraftfahrzeug-Keilriemen) wird mit Leuchtdioden beleuchtet. Die vom Keilriemen reflek-tierte Strahlung (das reflektierte Licht) wird mit einem optischen System auf zwei Detekto-ren eines Sensors abgebildet. Die Sichtbereiche der beidenDetektoren sind (in Laufrichtung)gegeneinander versetzt. Wird der Riemen angetrieben,

”sieht“ der zweite Detektor zeitlich

versetzt, was der erste gerade”sieht“.

Die von den Detektoren empfangenen Signalex(t) und y(t) entstehen durch (i.a. stochas-tisch) ortsabhangige Oberflacheneigenschaften des Keilriemens wie z.B. Helligkeitsunter-schiede. Im Idealfall sind beide Signale identisch, jedochum eine LaufzeitT gegeneinanderverschoben:

y(t) = x(t − T ) .

Beleuchtung

Sensor

optischeAbbildung

x

y

t

tTL

v

Geschwindigkeit: v=L T/

Korrelation

T

Fxy

t

Abbildung 12: Geschwindigkeitsmessung mit Korrelationsverfahren.

Setzt man diesen Zusammenhang in (28) ein, ergibt sich die KKF zu

Φxy(τ) = E{x(t − τ)x(t − T )} (35)

= Φxx(τ − T ) , (36)

die in diesem Fall identisch ist mit der umT verschobenen AKF (Bild 9). Man findet alsodie Laufzeit beim Maximum der KKF, woraus man die Geschwindigkeit des Keilriemens

ν = L/T (37)

bestimmen kann.

A2 – 22

4 Versuchsdurchfuhrung

4.1 Digitales Speicheroszilloskop

1. Zuerst sollen dieGrundfunktionen des Oszilloskops zur Darstellung von Signa-len kennengelernt werden. (Die Bedienung des Oszilloskops ist recht intuitiv. Furzusatzliche Informationen liegt eine Bedienungsanleitung aus.)Mittels eines Signalgenerators wird ein Sinussignal mit einem Gleichanteil erzeugt,wobei Amplitude und Frequenz des Sinus und Gleichanteil frei wahlbar sind.Mit der richtigen Einstellung von Zeitablenkung und Trigger sollen das Signal darge-stellt und die Frequenz, die Amplitude (des Sinus) und der Gleichanteil mit Hilfe derCursor-Funktionen abgelesen werden.Anschließend sollen die so bestimmten Werte mit den vom Oszilloskop automatischermittelten verglichen werden.

2. Nun wird dieDehnfunktion eingesetzt.Ein Rechtecksignal der Frequenz 1 kHz wird erzeugt und am Oszilloskop dargestellt.Das Signal soll in zwei Fensternubereinander mit Hilfe der Dehnfunktion dargestelltwerden, so dass im unteren Fenster die Anstiegszeit eines Rechtecks bestimmt werdenkann. Die von der automatischen Rechenfunktion ermittelte Anstiegszeit soll mit demabgelesenen Wert verglichen werden.

3. Der Trigger soll zurErfassung einmaliger Vorgangeeingestellt und ausgelost wer-den.Mit Hilfe eines an einem Stoßpendel angebrachten Beschleunigungsmessers soll einImpuls erzeugt werden. Das erfasste Signal soll abgespeichert, der Versuch anschlie-ßend wiederholt und ein neuer Impuls aufgezeichnet werden.Das neu aufgezeichneteund das abgespeicherte Signal sollen zusammen dargestelltund kurz verglichen wer-den (etwa hinsichtlich ihrer

”Breite“).

4. Am Beispiel einer stark verrauschten Sprungantwort einesRC-Glieds soll derUnter-schied zwischen Ensemble- und zeitlicher Mittelungerlautert werden. Fur verschie-dene MittelungszahlenN sollen zeitliche und Ensemble-Mittelungen durchgefuhrtund die Streuung geschatzt werden.Frage: Ist der Prozess stationar?

4.2 Spektrum-Analysator

1. Da sich derLeck-Effekt , der bei der DFT mit endlicher Fensterlange auftritt, nurbei einer sehr geringen Stutzstellenanzahl (der DFT) deutlich sichtbar auswirkt, wirddieser Effekt in der Matlab-Simulation

”Leckeffekt“ gezeigt (vgl. Bild 13).

Wahlbare Parameter sind das Eingangssignal (Sinus, Rechteckoder Sagezahn), dieAnzahl der Punkte der DFT (16, 32, 64, 128, 256, 512 oder1024) und das Fenster(Rechteck, Dreieck (Bartlett), Hanning, Hamming). Mittels Schieberegler lasst sichdie Breite des Fensters einstellen.

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Abbildung 13: Oberflache des Matlab-Programms Leckeffekt.m.

2. Fur ein stark verrauschtes Sinussignal (analoge Addiererschaltung mit Rauschen undSinus als Eingange) soll die Grundfrequenz des Sinus im Zeitbereich bestimmt wer-den.Auch nach zeitlicher Mittelung des Signals lasst sich die Grundfrequenz nicht rich-tig bestimmen. Nun soll dieAKF und dasPeriodogramm (die Schatzung des ALS)dargestellt werden und daraus die gesuchte Frequenz ermittelt werden.

3. Mit Hilfe von Stoßpendel und Beschleunigungsmesser sollen erneut Impulse erzeutwerden. Dabei ist darauf zu achten, wie Auslenkwinkel, Breite des zeitlichen Signalsund Breite des Spektrums zusammenhangen. Weiterhin ist festzuhalten, wie Auflosungim Zeitbereich und Auflosung im Frequenzbereich zusammenhangen.

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4. An einem Versuchsstand zur Geschwindigkeitsmessung vonKfz-Keilriemen soll derEinsatz derKKF in der Praxis gezeigt werden.Demonstriert wird die Geschwindigkeitsmessung sowohl mitdem closed-Loop alsauch mit dem open-Loop Korrelator. Der closed-Loop Korrelator benutzt dabei dieaktuellste Geschwindigkeitsmessung zur Bestimmung des neuen Messergebnisses,wahrend der open-Loop Korrelator kein Vorwissen berucksichtigt.Welche Vorteile konnte ein Korrelator gegenuber einer klassischen Geschwindigkeits-messung mit Umdrehungszahler bieten?

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A Abbildungen

Die folgenden Abbildungen dienen der Vertiefung des Stoffsbzw. schlicht der Erheiterung.

Abbildung 14: DFT eines bandbegrenzten periodischen Signals: Fensterbreite und Signalperiodestimmenuberein (aus [1], S. 124).

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Abbildung 15: DFT eines bandbegrenzten periodischen Signals: Die Fensterbreite istkein ganzzah-liges Vielfaches der Signalperiode, was zum Leckeffekt fuhrt (aus [1], S. 128).

A2 – 27

Dass Statistik nicht nur trockene Materie behandelt, zeigtdas letzte Bild.

Abbildung 16: Zweidimensionale Verteilung von Huft- und Oberweite (nach Messungen an engli-schen Frauen; [11], S. 2).

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Literatur

[1] BRIGHAM , E. ORAN: The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice Hall,1988.

[2] H ANSLER, E.: Statistische Signale. Grundlagen und Anwendungen. Springer Verlag,1997.

[3] HENZE, NORBERT: Stochastik I. Universitdt Karlsruhe, 2004.

[4] M AYER, GERHARD: Oszilloskope. H—thig-Verlag, 1997.

[5] M ESCH, FRANZ: Vorlesung: Korrelationsverfahren in der Mess- und Regelungstech-nik. Institut f—r Mess- und Regelungstechnik, Karlsruhe.

[6] PATZELT, R., H. SCHWEINZER: Elektrische Messtechnik. Springer Verlag, 1996.

[7] PFEIFFER, WOLFGANG: Digitale Messtechnik. Springer Verlag, 1998.

[8] PRAKTIKUM , MESSTECHNISCHES: Versuch: Analoge Verarbeitung digitaler Signale.Institut fur Mess- und Regelungstechnik, Karlsruhe, 2004.

[9] PRAKTIKUM , MESSTECHNISCHES: Versuch: Messen elektrischer Signale. Institut furMess- und Regelungstechnik, Karlsruhe, 2004.

[10] SCHRUFER, ELMAR : Signalverarbeitung – Numerische Verarbeitung digitaler Signale.Hanser Verlag, 1990.

[11] STANGE, KURT: Angewandte Statistik II: Mehrdimensionale Probleme. Springer Ver-lag, 1971.

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