dinamica de la particula 2

8/19/2019 Dinamica de La Particula 2

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FÍSICA I

GRADO EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALESESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES Y CIVILES - ULPGC

TEMA

6

DINDINÁÁMICA DE LA PARTMICA DE LA PARTÍÍCULA II.CULA II.Trabajo y energTrabajo y energíía. Leyes dea. Leyes deconservaciconservacióónn

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TemaTema 6 :6 : DinDináámicamica de lade la partpartíículacula 22Ni n t h

E d i t i on

Introducción

13 - 2

• Anteriormente, los problemas relacionados con el movimiento de

las partículas se resolvieron a través de la ecuación fundamental

del movimiento, El capítulo actual presenta dos métodos

de análisis adicionales.

.am F

=

• Método de trabajo y la energía: se relaciona directamente confuerza, masa, velocidad y desplazamiento.

• Método del impulso y la cantidad de movimiento:

relacionado con fuerza, masa, velocidad y tiempo





E d i t i on

Trabajo de una fuerza

13 - 3

• Sea una partícula que sufre un desplazamiento

infinitesimal. r d

• El trabajo de la fuerza se define:

cos

x y z

dW F dr Fds

Fdx F dy Fdz

α = • =

= + +

• El trabajo es una magnitud escalar

• Dimensiones del trabajo son:

( ) ( ) ( )1 J 1 N 1 m joule =

F

[ ] [ ]2 2 2

W MLT L ML T −

= =

Siendo el Julio su unidad en el Sistema Internacional de Unidades



E d i t i on


13 - 4

• Trabajo de una fuerza en un desplazamiento finito,

( )

( )

2

1

2 2

1 1

2

1

1 2

cos

A

A

s s

t

s s

A

x y z

A

W F dr

F ds F ds

F dx F dy F dz

α

→ = •

= =

= + +

• El trabajo se puede calcular como el área

bajo la curva de la componente tangencial

de la fuerza F t frente a s.





E d i t i on


13 - 5

• Trabajo de una fuerza constante en un

movimiento rectilíneo;,

( )1 2 cosW F xα →

= ∆

• Trabajo de la fuerza de gravedad

( )

2

1

1 2

2 1

x y z

y

y

dW F dx F dy F dz

mg dy

W mg dy

mg y y mg y

→

= + +

= −

= −

= − − = − ∆

• El trabajo del peso es igual al producto del

peso mg y el desplazamiento vertical. ∆ y.

• El trabajo del peso es positivo cuando ∆ y <

0, i.e., cuando el peso se mueve hacia abajo

mg



E d i t i on

Ejemplo: dependencia del trabajo respecto a la trayectoria

O A

BC (2,4)

2(2 ) 4 F x y i x j k = − + −

Calcular el trabajo realizado

por la fuerza a lo largo de

las siguientes trayectorias:a)O A B

b)O C B

c) Recta de ecuación :

d) Parábola

F

2 y x=

2 y x=





E d i t i on

Un anillo de cierta masa resbala a lo largo de un arco metálico ABC muy

pulido que es un arco de circunferencia de dos metros de radio (R = 2 m).

Sobre el anillo actúan dos fuerzas y, cuyos módulos son 40 N y 150 N

respectivamente. La fuerza es siempre tangente a la circunferencia.

La actúa en dirección constante formando un ángulo de 30º con la

horizontal.Calcular el trabajo total efectuado por el sistema de fuerzas sobre

al anillo al moverse de A a B y de A a C.

A

B

C

30º

1 F

2 F

1 F 2 F

1 F

2 F

(2 , 0)(-2 , 0)

(0 , 2)



E d i t i on

Trabajo realizado por la fuerza elástica

13 - 8

• La magnitud de la fuerza ejercida por el resorte es

proporcional a la deformación (ley de Hooke),

( )constante del resorte N/m

F kx

k

=

=

• El trabajo de la fuerza ejercida por el

resorte es:

2

1

2 21 11 2 1 22 2

x

x

dW F dx kx dx

W kx dx kx kx→

= − = −

= − = −

• Que será positivo cuando x1>x2.

• El trabajo de la fuerza ejercida por el resorte es

igual al área bajo la curva de F frente a x ,

cambiada de signo

( )11 2 1 22

W F F x→

= − + ∆

Resorte sin deformar





E d i t i on

Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria

13 - 9

Trabajo de una fuerza gravitacional (Se supone que la

partícula M ocupa una posición fija en O, mientras que la

partícula m sigue el camino que se muestra ),

2

1

2 2

1 2 2

2 1

r

r

r

m MmdW F dr G u dr G d

r r

Mm Mm MmW G dr G G

r r r →

= − = − = −

= − = −



E d i t i on

Energía cinética de una partícula. Teorema del trabajo

y la energía cinética.

13 - 10

dvmvds F

ds

dvmv

dt

ds

ds

dvm

dt

dvmma F

t

t t

=

==

==

• Vamos a considerar la partícula m bajo la acción de

una fuerza resultante F

• Integrando desde A1 hasta A2 ,

2 2

1 1

2 21 12 12 2

211 2 ,2 ,1 2

s v

t

s v

c c c

F ds m vdv mv mv

W E E E mv energía cinética→

= = −

= − = =

• El trabajo total realizado por todas las fuerzas

que actuan sobre una partícula es igual a la

variación de su energía cinética.

• Las unidades del trabajo y la energía son iguales:

Jm Nms

mkg

s

mkg

2

22

21 =⋅=

=

== mvT





E d i t i on

Potencia y rendimiento (eficiencia)

13 - 11

• rapidez con la cual una fuerza realiza trabajo. Potencia

dW F dr

dt dt

F v

=

•= =

= •

• Dimensiones de la potencia son trabajo dividido entre

tiempo o fuerza por velocidad Las unidades de la potencia

son:.J m

1 W (vatio) 1 1 N or 1 CV 735Ws s

= = ⋅ =

• rendimientotrabajo de salida

trabajo de entrada

potencia de salida

potencia de entrada

η =

=

=



E d i t i on

Energía potencial gravitatoria cerca de la superficie

13 - 12

1 2 2 1( )W mg y mg y→

= − −

• Trabajo de la fuerza de gravedad ,

• El trabajo es independiente de la trayectori, sólo

depende de la menos diferencia entre el punto

final y el inicial de la función : mgy

p E mgy= Energía potencial gravitatoria

( ) ( )1 2 , ,2 1. p g p g W E E

→ = − −

• Las unidades del trabajo y la energía potencial

son iguales N m J

pg E mgy= = ⋅ =

• La elección del origen para medir la posición es

arbitraria.

mg





E d i t i on

Energía potencial gravitatoria

13 - 13

a expresión anterior para la energía potencial

gravitatoria de un cuerpo válida cuando el peso del

cuerpo se puede suponer constante.

• Para un vehículo espacial, la variación de la fuerza

de la gravedad con la distancia al centro de la

tierra debe ser considerado

• Trabajo de la fuerza gravitatoria,

1 2

2 1

GMm GMmW

r r

→

= − − − −

• La energía potencial, cuando la variación de la

fuerza de gravedad no es despreciable viene

dada por:,

, p g

GMm E

r = −



E d i t i on

Energía potencial elástica

13 - 14

• El trabajo realizado por la fuerza elástica, sólo

depende del punto final y del punto inicial,

2 21 11 2 2 12 2

W kx kx→

= − −

• La energía potencial elástica viene dada por:,

( ) ( )

21. 2

1 2 . .1 2

p e

p e p ee

E kx

W E E →

=

= − −

• Hay que hacer notar que la x de la expresión

anterior indica la deformación del resorte, esto

es el origen se toma desde la posición del

resorte sin deformar.

Resorte sin deformar





E d i t i on

Fuerzas conservativas

13 - 15

• Concepto de energía potencial se puede aplicar si el

trabajo de la fuerza es independiente de la

trayectoria seguida por su punto de aplicación .

( ) ( )( )1 2 2 2 2 1 1 1, , , ,

p pW E x y z E x y z

→ = − −

Estas fuerzas se denominan fuerzas conservativas

• Cuando una fuerza es conservativa, el trabajo a lo

largo de cualquier camino cerrado es cero.

0=• r d F

• El trabajo infinitesimal entre dos puntos muy

próximos viende dado por:

( ) ( )( )( )

, , , ,

, ,

p p

p

dW E x dx y dy z dz E x y z

dE x y z

= − + + + −

= −

p p p

x y z

p p p

p

E E E F dx F dy F dz dx dy dz

x y z

E E E F i j k E

x y z

∂ ∂ ∂ + + = − + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = − + + = −

∂ ∂ ∂ grad



E d i t i on

Teorema de conservación de la energía

13 - 16

• Cuando una fuerza es conservativa ( ) ( )( )1 2 2 1 p p pW E E E →

= − − = −∆

• Teorema del trabajo y la energía cinética, ( ) ( )1 2 2 1c c cW E E E

→ = − = ∆

• Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas la

energía mecánica permanece constante.

• Las fuerzas de rozamiento no son conservativas. La energía mecánica de un

sistema que tiene rozamiento disminuye .

• La energía mecánica se disipa en forma de energía térmica. La energía total es

constante.

• Se deduce que p c E E −∆ = ∆

( ) ( )( ) ( ) ( )2 12 1 ; constante p p c c m c p E E E E E E E − − = − = + =





E d i t i on

Curvas de energía potencial

13 - 17

Puntos de retroceso

Barrera de Potencial

Pozo de Potencial

E(1)

E(2)

E(4)

Ep

x A B DC E

F

F

F

F

Ep

E

c E



E d i t i on

La función21

2 p E kx=

representa una parábola cuyo vértice está

en el origen, que tiene un mínimo (punto

de equilibrio estable) en x=0 cuyo valor

es Ep= 0

La región donde se puede mover la partícula está determinada por la

condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E c>=0. En

otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía

potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E , la partícula

solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A,

E

c E

p E

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la

recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre

la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la

izquierda.

pdE F

dx= −





E d i t i on

Principio del impulso y del momento

13 - 19

• De la segunda ley de Newton

,( ) == vmvm

dt

d F

Momento lineal

• El momento final de la partícula se puede

obtener mediante la adición vectorial a su

momento inicial el impulso de la fuerza

durante el intervalo de tiempo .

( )

12

2

1

vmvmdt F

vmd dt F

t

t

−=

=

• Las dimensiones del impuso

de una fuerza son

fuerza*tiempo

• Y las unidades del impulso:

smkgssmkgs N 2⋅=⋅⋅=⋅

2211

21 impuso2

1

vmvm

F dt F t

t

=+

==

→

→

Imp

Imp de la fuerza



E d i t i on

Movimiento impulsivo

13 - 20

• Una fuerza que actúa sobre una partícula en

un intervalo de tiempo muy corto y que sea lo

suficientemente grande para causar un

cambio significativo en el momento de la

partícula, se llama una fuerza impulsiva .

• Cuando actúan fuerzas impusivas

21 vmt F vm

=∆+ • Cuando una pelota de béisbol es golpeada

por un bate, el contacto se produce en un

intervalo de tiempo muy corto, pero la fuerza

es lo suficientemente grande como para

cambiar el sentido del movimiento de la bola.

• Las fuerzas no impulsivas se pueden

considerar despreciables frente a las

impulsivas





E d i t i on

Choques

13 - 21

• Choque: Colisión entre dos cuerpos que se

produce durante un intervalo de tiempo pequeño y

durante el cual los cuerpos ejercen grandes

fuerzas el uno al otro.

• Línea de Impacto: normal común a las superficies

en contacto durante el choque.

• Choque Central : Es cuando los centros de masa

de los cuerpos que chocan se ubican en la linea de

impacto.

Choque central

directo

• Choque central directo: Choque en el cual las

velocidades de los dos cuerpos se dirigen a lolargo de la línea de impacto.

Choque central oblicuo

• Choque oblicuo: Se produce cuando uno o ambos

de los cuerpos se mueven a lo largo de una línea

distinta a la línea de impacto

L í n e a

d e

i m p a

c t o

L í n e

a d e

i m p a

c t o



E d i t i on

Choque central directo

13 - 22

• Cuerpos que se mueven en la misma línea

recta v A > v B .

• Por el choque las dos partículas se

deformarán y tendrán la misma velocidad .

• Después de un tiempo de restitución las

partículas recobrarán su forma original o

permanecerán permanentemente defor-

madas.

Se pretende determinar las velocidades finales

de los dos cuerpos. La cantidad de

movimiento total del sistema de los dos

cuerpos se conserva,

B B A A vmvmvmvm ′+′=+

• Se necesita una segunda relación entre las

velocidades finales.





E d i t i on

Choque elástico , y totalmente inelástico

13 - 23

A B

A B

v ve

v v

′ ′−= −

−

En un choque la cantidad de movimiento antes es igual a la cantidad de

movimiento después:

A A B B A A B Bm v m v m v m v′ ′+ = +

Si además la energía cinética antes del choque es igual a la energía

cinética después, se dice que el choque es elásti co . Entonces:

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2 B A B A A B A Bm v m v m v m v′ ′+ = +

Si después del choque los dos cuerpos permanecen unidos, se trata

de un choque totalmente inelástico. En este caso

B Av v′ ′=

Para cualquier tipo de choque se define el coeficiente de restitución

como:Es fácil demostrar que para un choque

elásti co y para el choque

totalmente inelástico

1e =

0e =



E d i t i on

14ms− 13ms−

1 3m kg = 26m kg =

Choque elástico

13 4 6 3 30 Antes P i i kg ms i−= + = ⋅

1 23 6 Despues P V i V i= +

2 21 13 4 6 3 51

2 2 Antesc E J = + = 2 2

1 2

1 13 6

2 2 Despuesc E V V = +

1 2 1 230 3 6 ; 10 2V V V V = + = +

2 2 2 2

1 2 1 2

1 151 3 6 ; 102 3 6

2 2V V V V = + = +

1 1

1 2

1 1

1 2

8 11;

3 3

4 ; 3

V ms V ms

V ms V ms

− −

− −

= =

= =

Solución:





E d i t i on

12 g =10,4 cm

2 kg

V ?

0,012 Antes P Vi=

f 2,012v Despues P i=

0,012v 0,006

2,012 f V V = =

12,012

2( )

20,006 2,012V = 9,8 0,104

2

2 9,8 0,104238 /

0,006V m s= =

dinamica de la particula 2

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