dinamica de rotacion 3

LABORATORIO N°5 DINAMICA DE ROTACION

2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL

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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Ambiental

I. OBJETIVOS Observar el movimiento de rodadura de la rueda de Maxwell. Determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell con respecto al

eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.

II. FUNDAMENTO TEÒRICO MOMENTO DE INERCIA (INERCIA ROTACIONAL): Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

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Para un cuerpo de masa continua se generaliza como: El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: a = F/m tiene como equivalente para la rotación:

τ = I Donde: “τ” es el momento aplicado al cuerpo. “I”es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y α= (d^2 θ)/(dt^2 ) es la aceleración angular. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es 1/2 mv^2, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es1/2 Iω^2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular:

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El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular. Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje. TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES

Tenemos que calcular la cantidad

Donde: xi es la distancia de la partícula de masa mí al eje de rotación. MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

Donde: dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación.

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ECUACIÓN DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21. Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que: Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda: La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

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Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I•, la ecuación anterior la escribimos TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN En otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.

Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdt en el tiempo dt es

F•senθ es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento. El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es:

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En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=I , y la definición de velocidad angular y aceleración angular. Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúansobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.

III. MATERIALES Un par de rieles paralelos (como plano inclinado).

Una rueda de Maxwell.

Un cronómetro.

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Un pie de rey.

Una regla milimetrada.

Una balanza.

Un nivel.

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IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Usamos el nivel de burbuja para nivelar el plano que sirve de soporte a los rieles.

Marcamos en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados 10 cm entre sí.

Medimos con el pie de rey el diámetro del

eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles.

Tenemos en cuenta que dicho eje ha

sufrido desgaste desigual.

Fijamos la inclinación de los rieles de

manera que la rueda debe experimentar

un movimiento de rodadura pura (sin

patinaje).

Colocamos la rueda en reposo en la

posición A0 , la soltamos y simultáneamente comenzamos a medir el tiempo(t0 =

0) ; medimos los intervalos de tiempo t1 , t2 , t3 , t4 correspondientes a los tramos

A0A1 , A0A2 , A0A3 , A0A4 , respectivamente.

Medimos la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0

y G4.

Modificamos la inclinación de los rieles y hacemos las mediciones de los tiempos

respectivos así como también medimos la nueva diferencia de alturas entre G0 y

G4.

Medimos los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y además su

eje.

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V. DATOS OBTENIDOS:

Diámetro del eje cilíndrico: 6.4 mm 0.025 mm

Radio de la rueda= 6.4 mm 0.025 mm

Masa de la volante:364 g 0.5 g

Al hacer un cambio de ángulo:

TRAMO

(cm)

t(s)

t1 t2 t3 tP A0A4 40 14.08 13.90 13.87 13.95

TRAMO

(cm)

t(s)

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 tP

A0A1 10 5.64 5.6 5.65 5.63

A0A2 20 8.25 8.2 8.27 8.24

A0A3 30 10.6 10.8 11.1 10.83333333 A0A4 40 11.83 10.64 11.55 12.02 11.7 11.72 11.9 12.04 12.1 12.1 11.76

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VI. CÁLCULOS Y RESULTADOS

a) Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4, grafique los puntos (0,0), (t1, A0A1),… (t4, A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?

t promedio (s)

X (m.)

5.63 0,1

8.24 0,2

10.83333333 0,3

11.76 0,4

y = 0.265x + 1.451

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 20 40 60 80 100 120 140 160

x(m

.)

t(s)

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¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado? Como sabemos la distancia en un movimiento rectilíneo uniformemente variado se obtiene a partir de una ecuación cuadrática que involucra al tiempo como variable independiente, y como sabemos su grafica seria una parábola, haciendo la grafica x vs. t vemos que esboza una parábola, por lo tanto la aceleración será constante, por lo tanto llegamos a la conclusión que es uh movimiento uniformemente acelerado sobre el plano inclinado.

b) Grafique también d vs t2

X (m.) t2(s)

0,1 31.6969

0,2 67.8976

0,3 117.361111

0,4 138.2976

y = 0.000x2 + 0.155x + 4.989

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Tít

ulo

de

l eje

Título del eje

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c) Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la

desviación estándar y propagación de errores, calcular.

La aceleración de centro de masa aG.

Por la fórmula:

aceleración (m/s2)

a1

a2

a3

a4

Hallando la desviación estándar según la aceleración obtenida en la gráfica y

conforme a la fórmula.

Aceleración: 0.0012 m/s²

Desviación estándar: 1.377x10-3

Por lo tanto la aceleración del centro de masa será: (1.20 ± 1.377) x 10-3

a. La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en posición G4.

Por la fórmula:

b. La velocidad angular de la rueda en el instante t4.

Por la fórmula: Teniendo como radio del eje 0.0064 m

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Hallando w4:

x 10-2 =6.4x 10-3 x w4 W4 = 5.546875rad/s

c. El momento de inercia de la volante, usando la ecuación

Donde: VG = Velocidad del centro de masa. IG = Momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (el de simetría)

Según la fórmula:

Despejando IG:

Reemplazando datos para t4:

G

0

G

4

h=10 cm

h= 4 cm

A

3

A

2

A

1

A

0

A

4

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d. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del

momento de inercia?

La medición que introduce mayor incertidumbre es el tiempo, ya que la medida de

este depende de la rapidez con la que se presiona el botón del cronometro, es por

ello que tenemos que hacer muchos intentos y hallar un tiempo promedio.

Al operar con este tiempo promedio introducimos el error, y el tiempo se relaciona con la velocidad, aceleración, velocidad angular instantánea, esto hace que la incertidumbre y error aumente en mayor proporción al calcular el momento de inercia.

Otra variable es la altura que es indispensable para el cálculo de la energía

potencial, pero este error es mínimo con relación al tiempo, ya que puede ser mas

preciso si lo medimos con cuidado y con una regla metálica, también tenemos la

masa de la ruedita pero también es mínimo con relación al tiempo.

f. ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?

Además también recordemos que hicimos una modificación “disminuir la inclinación”,en la inclinación brotando los siguientes datos:

TRAMO

(cm)

t(s)

t1 t2 t3 tP A0A4 40 14.08 13.90 13.87 13.95

También:

cm

Obtenemos con la siguiente formula:

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También obtenemos una nueva: m/s

Evaluamos para los datos obtenidos en el cambio de inclinación:

Al comparar

Comentario: notamos una MINIMA RELACION relación inversa en la inclinación pues la tiene mayor ángulo de inclinación que , pero:

g. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I? Su valor de influencia es mínimo, diríamos casi despreciable, pues recurriendo a la teoría veríamos que el momento de inercia depende solo de la masa y de la posición geométrica del centro de masa respecto al eje de giro, mas no de las fuerzas externas que le podamos generar al cuerpo a analizar.

h. Calcule el momento de inercia a partir de la definición: I = y las mediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico. Compare con (d) De la fórmula:

Comentarios: Como vemos el momento de inercia hallado por la definición es muy parecido al hallado usando la ecuación, muestra cierto error debido a los diversos factores antes mencionados, ya que debemos recordar que no importa la fuerza que se ejerza sobre el cuerpo, lo único que importa es la masa y la posición respecto al eje de rotación. Podemos concluir que nuestro error asido del 12,07% aproximadamente

VII. CONCLUCIONES

La energía cinética en el movimiento de un cuerpo rígido se descompone en energía de rotación y energía de traslación.

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si la suma algebraica de los torques

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de las fuerzas aplicadas al cuerpo, respecto a un punto cualquiera es cero.

El momento de inercia es una medida de la resistencia del cuerpo a ser acelerado en su rotación.

El momento de inercia es una magnitud escalar que solo depende de la masa del cuerpo y del lugar geométrico que ocupa respecto a su eje de giro.

El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el CG.

Si el cuerpo es homogéneo se cumple que la densidad es igual a la masa sobre el volumen.

VIII. BIBLIOGRAFIA

Tipler Mosca, Física para la Ciencia y la Tecnología, pág. 266-271.

Resnick – Halliday, Física vol. 1, pág. 277-286.

Manual de Laboratorio de física general, pág. 64-66.

Libro de Laboratorio de Física, Facultad de Ciencias

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