lab. 5 2012-2. dinamica de rotacion

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERAY METALURGICAINGENIERIA DE MINAS

INTRODUCCIÓN

Un cuerpo rígido en un caso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, este es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes que pertenecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento.

Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede estar cambiando su dirección relativa con respecto al cuerpo durante el movimiento.

El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotando en el cual el movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación.


OBJETIVO

Entender la dinámica de los cuerpos en movimiento rotacional.

Analizar dicho sistema mecánico a partir del Principio de Conservación

de la Energía Mecánica.

Entender el concepto de inercia rotacional.

Calcular el momento de inercia de los cuerpos.

Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir

de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la

rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de su

gravedad.


FUNDAMENTO TEÓRICO

DINÁMICA DE ROTACIÓN

Es un cuerpo rígido, como aquel, en el cual las distancias entre sus partículas cualesquiera

permanecen constantes en el tiempo. En un cuerpo rígido se distingue dos tipos de

movimiento: traslación y rotación.

TRASLACIÓN PURO

Algunos definen como aquel movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven

en la misma dirección, con la misma velocidad y aceleración en cada punto. Otra definición

es donde las partículas tienen la misma velocidad o trayectoria.

V V

Q Q

ROTACION PURO

Alrededor de un eje, cuando todas las partículas del cuerpo rígido describen trayectorias circulares. En este caso un punto del cuerpo permanece fijo.

mi


CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA

Sea una partícula de masa m, que tiene una velocidad v⃗ y por lo tanto la cantidad de

movimiento lineal o momento es z P⃗

P⃗=m v⃗. Entonces el momento L⃗0

angular (momento cinético) se de- r⃗ m

fine por el producto vectorial: 0 y

L⃗0=r⃗ × P⃗ x

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN

Sea un cuerpo de masa M que gira con velocidad angular ω, alrededor del eje AA’.

A Tomamos una masa mi que está situado a una dis-

v⃗ i tancia ri del eje de rotación y que tiene una veloci-

dad v i, por cinemática sabemos para la masa mi:

r⃗i v i=ωi ri , todas las partículas describen trayectorias

circulares alrededor de eje AA’. Luego la energía

ω⃗ cinética del cuerpo está dado como la suma de las

A’ energías cinéticas de la partícula.


Ec=12I ω2

TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALALOS

Sea C el centro de masa del cuerpo rígido y sea el sistema coordenado X’Y’Z’

que pasa por C. El sistema XYZ, pasa

por el punto A. Cualesquiera Y Y’

del cuerpo y sea a la distancia entre los

ejes paralelos Z y Z’, alrededor de los

cuales giran el cuerpo. m

Luego si IC: es el momento de inercia A C YY’

Del cuerpo con respecto a su centro de a

masa y queremos hallar el momento de X X’

inercia del cuerpo rígido con respecto al

eje Z que pasa por A. Se tendrá: I A=IC+ma2

HACIENDO UN ANÁLISIS

a. Conservación de la energía mecánica

b. descomposición de la energía cinética en energía de traslación y energía de rotación.

La rueda de Maxwell consta de un arco de radio R y de un eje cilíndrico concéntrico de radio r (r<R). Al dejar al eje sobre los rieles el sistema experimentará un movimiento de rodadura. En la figura 1 se muestra una rueda de Maxwell en dos posiciones de


su movimiento G0 y G4 son las posiciones de centro de gravedad de la rueda en los puntos más alto más bajo Figura 1

de la trayectoria.

Por el principio de conservación de energía:

Las pérdidas por fricción, Wfricción , se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calos producido por la deformación de las superficies en contacto). Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes.

El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de

rotaciones sucesivas con velocidad angular ωA alrededor de un eje de giro móvil que pasa por

el punto de contacto entre lo eje cilíndrico y los rieles (Ai). Se cumple la relación V G=ωA r ,

donde VG es la velocidad del centro de gravedad, ωA es al velocidad angular alrededor de Ai y r

es la distancia de G a Ai (radio del eje cilíndrico).

Otra manera de visualizar el movimiento de rodadura, quizás más natural, es considerado como la composición de una traslación de centro de masa G, más una rotación

simultánea, con velocidad angular ωG alrededor de G.

Se puede demostrar que ωA=ωG (verifíquelo).

Tomando el segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:

EC=ECT+ECR (13.3 )

donde ECT significa energía cinética de traslación ECR energía cinética de rotación

donde VG es la velocidad del centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (que en este caso es el de simetría). Pero VG=VA=ωr , entonces:


De esta expresión podemos calcular IG si conociéramos VG . Se observará en este experimento que el movimiento de traslación tanto del centro de gravedad como del eje instantáneo de rotación es uniformemente acelerado.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

MATERIALES

Un par de rieles paralelos.

Un cronómetro digital.

Un pie de rey.

Una regla milimetrada.

Una balanza.


Un nivel.

PROCEDIMIENTO

1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte de los rieles.

2. Marque en los rieles los puntos A0 , A1 , A2 , A3 y A4 ,separados unos 10 cm

entre si.3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los

rieles. Tenga en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual.4. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un

movimiento de rodadura pura (sin patinaje).

5. Coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente

comience a medir el tiempo (es decir, t 0=0); mida los intervalos de tiempo

t 1 , t 2 , t 3 y t 4 correspondientes a los tramos A0 A1 , A0 A2 , A0 A3 y A0 A4,

respectivamente. Tome tres mediciones para t 1 , t 2 , t 3 y diez mediciones para t 4.

6. Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 yG 4.

7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el

desplazamiento de la rueda) y mida 3 veces t 4 y la nueva diferencia de las

alturas entre G0 yG 4.

8. Mida los radios espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje (como para calcular su volumen)

9. Suspenda la rueda de Maxwell de su borde inferior y mida el periodo de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría. (Estos datos deben ser guardados para el siguiente experimento).


CÁLCULOS Y RESULTADOS

Tiempo tiempos medidos en el laboratorio promediot1(A0 -A1) 5.91 5.79 5.86 … … … … … … … 5.85t2(A0 -A2) 9.41 9.5 9.99 … … … … … … … 9.63t3(A0 - A3) 12.51 12.77 13.27 … … … … … … … 12.85t4(A0 - A4) 13.06 13.31 14.27 13.82 12.99 14.17 13.14 13.08 12.78 13.57 13.419

GRAFICANDO LOS PUNTOS:

(T 1 , A0−A 1 ) (T 2 ,A 0−A2 ) (T 3 , A0−A 3 ) (T 4 , A 0−A 4 )

5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Tramo Distancia t(A0 -A1) 0.1 5.85(A0 -A2) 0.2 9.63(A0 - A3) 0.3 12.85(A0 - A4) 0.4 13.42


Hallando las aceleraciones

≫≫≫

Para el tramo A°−A1:

Datos:

Remplazando los datos:

a1=2 (0.1−(0 ) .85 )

5.852

Para el tramo A°−A2 :

Datos:


a2=2 (0.2−(0 ) 9.63 )

9.632

d=V °t+12a t 2

d=0.1m,V °=0msy t=5.85 s

a=2(d−V ° t)

t2

d=0.2m,V °=0msy t=9.63 s

a2=4.3 .10−3

a1=5.84 .10−3 m

s2



Datos:


a3=2 (0.3−(0 )12.85 )

12.852


Datos:


a4=2 (0.4−(0 ) 13.42 )

13.422

d=0.3m,V °=0msy t=12.85 s

a3=3.63 .10−3

d=0.4m ,V °=0msy t=13.42 s

a4=4.44 .10−3


GRAFICANDO d vs t2 :

tramo distancia t t^2(A0 -A1) 0.1 5.85 34.2(A0 -A2) 0.2 9.63 92.74(A0 - A3) 0.3 12.85 165.12(A0 - A4) 0.4 13.42 180.1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación sandard propagación de errores, calcular:

a) La aceleración del centro de masa aG

Desviación estándar de las aceleraciones

Sa2=

∑i=1

4

a i2

4−ap

2


Datos:

a1=(5.8 ) 10−3 , a2=( 4.3 )10−3 , a3=(3.63 ) 10−3 y a4=(4.4 ) 10−3

Hallando la aceleración promedio:

a p=(5.8 )10−3+(4.3 )10−3+(3.63 )10−3 ( 4.4 ) 10−3

4


Sa2=

[ (5.8 ) 10−3 ]2+[ ( 4.3 ) 10−3 ]2+[ (3.63 ) 10−3 ]2+[ (4.4 ) 10−3 ]2

4−[ (4.53 )10−3 ]2

Sa2= (21.17 ) 10−6−(20.521 )10−6

Como la desviación es muy pequeña:

⟶aG 4=( 4.53 ) 10−3

b) La velocidad de traslación, V 4, del centro de masa en posición G4.

a p=a1+a2+a3+a4

4

a p=(4.53 )10−3

Sa=8,056.10−4 m

s2

10cm

40cm


Velocidad de traslación Para el tramo A0 – A4

Datos: a4=4,4.10−3 m

s2 y t 4=13.42 s

Como:


V 4=(0 )+( 4,4.10−3 ) (13.42 )

c) La velocidad angular de la rueda en el instante t 4

Velocidad angular

Datos: V 4=0.059ms

y R=0.063m

Como:

0.059=w0.063

d) El momento de inercia de la rueda de Maxwell.

Para utilizar la siguiente formula: mgh°=mgh1+12mV G

2+ 12IG

V G2

R2

Debemos hallar las diferentes alturas:

Hallando la altura h3

0

5,8 cm

V 4=0.059ms

V 4=V °+at

V=wR

w=0.94rads

Por semejanza

4010

=5,8x

x=1,45cm

Entonces h3=1,45cm

4cm

4cm

20cm

40cm

4cm

30cm40cm

h1


3

9,8 cm 4

h3


0

5,8 cm 2

9,8 cm 4

h2


0

1

5,8 cm

9,8 cm 4

x

X

Por semejanza

4020

=5,8x

x=2,9cm

Entonces h2=6,9cm

X

Por semejanza

4030

=5,8x

x=4,35cm

Entonces h1=8 ,35 cm


Debemos conocer la masa de la rueda de Maxwell; para ello a la masa total le restaremos la masa del eje.

HALLANDO LA MASA DEL EJE:

Datos:

Densidad del eje: 7.8 g/cm3

Como:

Necesitaremos hallar el volumen del eje:

Volumen(V1)

V1=bh b: base

V1 V1=(r2π ¿h r: radio=0,3175cm

V1=(0,3175 π )2 (14,7 ) h: altura=14,7 cm V1=4,66 cm3

Entonces la masa del eje sería:

m= 7.8 g/cm3∗4,66cm3

m=36.35 g

ρ=mV


Por lo que la masa de la rueda de Maxwell quedaría 297.45 g

También necesitaremos las velocidades en cada uno de los tramos, las cuales la hallaremos conjuntamente con el momento de inercia

Momentos de Inercia

Datos:

Formulas que se va utilizar:

V f=V °+at

Como V °=0 ⟶ y

Para IG1:

Siendo su a1=5.8 .10−3 m

s2 , t 1=5.85 s y h1=0.0835m

V G1=( 5.8 .10−3 ) (5.85 )

V G1=0.034ms


(0.2974 ) (9.81 ) (0.098 )=(0.2974 ) (9.81 ) (0.0835 )+ 12

(0.2974 ) (0.034 )2+ 12

(0.034 )2

(0.063 )2IG 1

Para IG2 :

R=0.063m m=0.2974 kg

V f=at mgh°=mgh1+12mV G

2+ 12IG

V G2

R2

h°=0.098m

IG1=0.286kg .m2


Siendo su a2=4.3 .10−3 m

s2 , t 2=9.63 s y h2=0.069m

V G2= (4.3 .10−3 ) (9.63 )

V G2=0.041ms


(0.2974 ) (9.81 ) (0.098 )=(0.2974 ) (9.81 ) (0.069 )+ 12

(0.2974 ) (0.041 )2+12

(0.041 )2

(0.063 )2IG 2

Para IG3 :

Siendo su


Para IG4 :

Siendo su

IG2=0.39kg m2

IG3=0.45kg m2



e) ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor error en el calculo de momento de inercia?

1. El desnivel de la superficie (mesa) sobre que se trabaja.2. La medición de los puntos A0, A1, A2, A3 y A4 ya que la regla pose un cierto error.3. La rueda no realiza rodadura pura ya que debido a la impureza y rugosidad la rueda solo se

traslada en ciertos tramos.4. Al soltar la rueda; no siempre sale con velocidad cero (reposo); sino que al soltar adquiere

una cierta velocidad debido al contacto con la mano al soltar.5. También hay errores en el cálculo de las alturas (h0, h1, h2, h3y h4).

f) Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de “I”

TRAMODISTANCIA(m

)MOMENTO DE

INERCIA (kg .m2)(A0 -A1) 0.1 0.286(A0 -A2) 0.2 0.39(A0 - A3) 0.3 0.45(A0 - A4) 0.4 0.38

En los 3 primeros puntos observados el Momento de Inercia aumenta al aumentar la distancia (A0 – An), pero en le último caso vemos que Momento de Inercia disminuye.

Debemos recordar que estos resultados son resultados experimentales por lo que se ven afectados por la incertidumbre y los errores en los cálculos.

IG4=0.38kgm2

4cm

40cm

40cm


g) ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de “I”?

Influencia de inclinación en el cálculo del Momento de Inercia

Hallando el ángulo inicial:

0

5,8 cm θ=Arctg ( 5.839.5 )

9,8 cm θ 4

39.5 cm

Hallando el ángulo para la nueva inclinación:

0

θ=Arctg ( 6.339.5 )

6.3 cm

θ=8.35°

θ=9.062 °

4.1 cm


10.4 cm 4

39.5 cm

Hallando IG4 :

Datos: m=0.3338 kg ,R=0.063m ,H f=0.041m y H °=0.104 m

El tiempo sea el promedio aritmético de los tres tiempos tomados en el laboratorio.

EXPERIMENTO TIEMPO1 13.182 13.393 13.24

PROMEDIO 13.27

Como:

0.4=12a (13.27 )2

Como:

θ

d=V 0+12a t2

a=4,54. 10−3

V f=V 0+at


V= (9,086.10−3 ) (13.27 )

Por conservación de la energía mecánica:

(0.29749 ) (9.81 ) (0.104 )=(0.29749 ) (9.81 ) (0.041 )+ 12

(0.29749 ) (0.06 )2+ 12IG4

(0.06 )2

(0.063 )2

ÁNGULO IG(momento de inercia)8.35° 0.38 kgm2

9.062° 0.404 kg m2

Concluimos que a mayor ángulo aumenta el momento de inercia.

V=0.06ms

mgh°=mgh1+12mV G

2+ 12IG

V G2

R2

IG4=0.404kg m2


OBSERVACIONES

Antes de iniciar el experimento se debe tener presente de que la mesa de trabajo este nivelada.

Al iniciar el movimiento, el impulso que se le da a la rueda debe ser mínimo ya que se asume que parte del reposo.

Al iniciar el movimiento se debe observar que la rueda de Maxwell solo realiza movimiento de rotación más no de traslación (rotación pura).

Para garantizar la rotación y evitar las asperezas del riel se debe pasar con tiza.

Se debe evitar tocar el riel o la mesa de trabajo durante el recorrido de la rueda de Maxwell.

Solo debe ser uno el alumno que haga iniciar el movimiento de la rueda ya que puede ser que se le de diferentes velocidades iniciales.

CONCLUSIONES

De los resultados obtenidos podemos concluir lo siguiente:


El Momento de Inercia por lo general aumenta al aumentar la distancia recorrida por la rueda de Maxwell.

El Momento de Inercia por lo general aumenta al aumentar el ángulo de inclinación del riel.

El tiempo varía con el desplazamiento de una forma de tipo cuadrática.

La aceleración en le punto t 4 es igual al aceleración del centro de masa ya

que la desviación estándar de las aceleraciones es despreciable.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

I. Marcelo Alonso, Edward Finn – Física I

II.Humberto Leyva Naveros – Física I

III.Tipler Mosca – Física I

lab. 5 2012-2. dinamica de rotacion

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