dinamica del corpo rigido - istituto nazionale di …bissaldi/fisica1/07_cap7_esercizi.pdfdinamica...

Dinamica del

Corpo RigidoESERCIZI

Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 2

• Si determini il numero di atomi contenuti in un blocchetto di rame

di volume 𝑽 = 𝟏 𝒄𝒎𝟑, sapendo che la densità del rame è 𝝆𝑪𝒖 = 𝟖, 𝟗𝟔 𝒈/𝒄𝒎𝟑

e la sua massa atomica è 𝑴𝑪𝒖 = 𝟔𝟑. 𝟓𝟓 𝒈/𝒎𝒐𝒍. Si ricordi che il numero di

Avogadro vale 𝑵𝑨 = 𝟔, 𝟎𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟑 𝒎𝒐𝒍−𝟏.

Esercizio 7.1


• Calcolare il centro di massa di una bacchetta rettilinea di lunghezza 𝒍 e densità

lineare costante 𝝆𝒍.

Esercizio 7.2

𝑥𝑙0


• Calcolare il centro di massa di un semianello rigido omogeneo di

raggio 𝑹 e densità lineare costante 𝝆𝒍.

Esercizio 7.3

𝜽

𝒚

𝒙𝑹

𝑶 ෝ𝒖𝒓


• Si consideri un disco omogeneo di massa 𝑴 e raggio 𝒓 che può ruotare senza

attrito attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro. Il momento

d’inerzia del disco vale 𝑰 = 𝟏/𝟐𝑴𝒓𝟐. Sul bordo del filo è avvolto un filo

inestensibile che non slitta rispetto al disco e sostiene un punto materiale di

massa 𝒎. Si calcolino:

1. Le equazioni del moto del sistema;

2. L’espressione della tensione del filo.

Esercizio 7.4

𝑴

𝒓

𝒎


• Si consideri un blocco di massa 𝑴𝟏 = 𝟒𝟎𝟎 𝒈 appeso e collegato tramite una

fune inestensibile ad un blocco 𝑴𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 𝒈 poggiato su un piano orizzontale

liscio. La fune è avvolta su una carrucola reale di raggio 𝑹 = 𝟐. 𝟓 𝒄𝒎 e

momento d’inerzia 𝑰 = 𝟐. 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟒 𝒌𝒈𝒎𝟐.

1. Calcolare l’accelerazione con sui si muovono i blocchi.

Esercizio 7.5

𝑴𝟏

𝑴𝟐


• Si calcoli il momento d’inerzia:

1. Di un’asta sottile omogenea, di massa 𝒎 e lunghezza 𝒅, rispetto ad un

asse 𝒛 ortogonale passante per:

a) Il suo centro 𝑶;

b) Un suo estremo 𝑶′.

Esercizio 7.6

𝒛 𝒛

𝑶 𝑶′



1. Di un anello omogeneo, di massa 𝒎 e raggio 𝑹, rispetto ad un asse 𝒛passante per il centro dell’anello e ortogonale al piano dell’anello.

2. Si estenda il calcolo ad un guscio cilindrico sottile di massa 𝑴.

Esercizio 7.7



1. Di un disco sottile omogeneo, di massa 𝒎 e raggio 𝑹, rispetto ad un asse 𝒛passante per il centro del disco e ortogonale al piano del disco.

2. Si estenda il calcolo ad un cilindro pieno di massa 𝑴.

Esercizio 7.8


• Si consideri un sistema composto da due sfere di massa 𝑴 e raggio 𝑹, connesse

da un’asta omogenea di lunghezza 𝒅 e massa 𝑴.

1. Calcolare il momento d’inerzia totale del sistema rispetto ad un asse

passante per il centro dell’asta e a questa ortogonale.

Esercizio 7.9


• Si valutino le velocità dei punti 𝑨 e 𝑩 in figura.

Esercizio 7.10

𝑪

𝒓𝑨

𝝎

𝑨

𝑩

𝒓𝑩

𝒓𝑪


• Si consideri un disco rigido di massa 𝒎 = 𝟓 𝒌𝒈 e raggio 𝒓 = 𝟎. 𝟐 𝒎 che rotola

senza strisciare su un piano orizzontale. Il coefficiente di attrito statico vale 𝝁𝒔 =𝟎. 𝟑. Al CM del disco è applicata una forza 𝑭 = 𝟐𝟏 𝑵, nella direzione del moto.

Si calcolino:

1. Il valore del momento costante che bisogna applicare all’asse del disco per

avere la stessa accelerazione del CM;

2. Il valore della forza di attrito statico nel caso con e senza momento

applicato.

Esercizio 7.11


• Si consideri un’asta rigida di massa 𝒎 = 𝟐. 𝟒 𝒌𝒈 e lunghezza 𝒅 = 𝟎. 𝟒 𝒎,

posata sopra un piano orizzontale liscio e collegata in un estremo ad un asse

verticale. In un intervallo di tempo 𝚫𝐭 = 𝟎. 𝟐 𝐬 viene applicato all’asse un

momento e l’asta entra in rotazione, descrivendo un giro completo in un tempo

𝑻 = 𝟏𝟎 𝒔.

Si calcolino:

1. L’impulso angolare;

2. Il valor medio del momento applicato nel tempo 𝚫𝐭;

3. L’impulso della forza.

Esercizio 7.12


• Si consideri un anello di massa 𝑴 e raggio 𝑹 che ruota senza strisciare lungo un

piano inclinato con 𝜽 = 𝟑𝟎°.

1. Determinare l’espressione dell’accelerazione del corpo rigido.

Esercizio 7.13


• Si consideri un anello di massa 𝑴 e raggio 𝑹 che ruota senza strisciare fino alla

base di un piano inclinato, partendo da fermo alla quota 𝒉 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎.

1. Determinare la velocità finale dell’anello, adottando un approccio

«energetico».

Esercizio 7.14


• Si consideri uno yo-yo (approssimabile ad un disco di massa 𝑴 e raggio 𝑹),

tirato da un cordino di tensione 𝑻.

1. Calcolare l’accelerazione del CM.

Esercizio 7.15

𝑻

𝑷


• Si consideri un cilindro pieno di massa 𝒎𝟏 = 𝟐𝟎 𝒌𝒈 e raggio 𝒓 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝒎, che

rotola senza strisciare su un piano orizzontale. All’asse del cilindro è applicato un

momento costante 𝑴 = 𝟑𝟎𝑵𝒎 ed è appeso, tramite un filo inestensibile e di

massa trascurabile passante per una carrucola ideale, un corpo di massa

𝒎𝟐 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈. Si calcolino:

1. L’accelerazione del CM;

2. La tensione del filo;

3. Il minimo valore ammesso per il coefficiente di attrito.

Esercizio 7.16


• Una piattaforma costituita da un disco di massa 𝑴 = 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈 e raggio

𝑹 = 𝟐𝒎 ruota senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il centro.

Una persona di massa 𝒎 = 𝟔𝟎 𝒌𝒈 si muove dal bordo verso il centro in

direzione radiale. Quando la persona è sul bordo 𝝎 = 𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔.

1. Calcolare la velocità angolare quando l’uomo si trova ad una distanza

𝒓 = 𝑹/𝟒 dal centro.

Esercizio 7.17


• Si consideri un pendolo composto, costituito da un’asta di lunghezza 𝒍 e massa 𝒎,

libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo 𝑶.

Inizialmente l’asta è ferma in posizione verticale.

1. Determinare l’espressione per l’impulso, ortogonale all’asta, che si deve

applicare a distanza 𝒓 ≤ 𝒍 da 𝑶, in modo da dar compiere all’asta una

rotazione di 𝟗𝟎°.

Esercizio 7.18

Ԧ𝑱

𝑶


• Un’asta di massa 𝒎 = 𝟒. 𝟐 𝒌𝒈 e lunghezza 𝒍 = 𝟎. 𝟖 𝒎 è posta in posizione

verticale. Ad un certo momento l’asta cade, ruotando attorno all’estremo 𝑪 (che

non si muove) in contatto con il pavimento.

Si calcolino:

1. La velocità del punto 𝑷 al momento dell’urto;

2. L’accelerazione dell’estremo 𝑷 opposto a 𝑪 dell’asta.

Esercizio 7.19


• Una scala da pompieri di lunghezza 𝑳 = 𝟏𝟐𝒎 e massa 𝒎 = 𝟒𝟓 𝒌𝒈 è

appoggiata con l’estremo 𝑩 ad un muro ad altezza 𝒉 = 𝟗. 𝟑 𝒎., e con l’altro

estremo 𝑨 al suolo. L’attrtito sul muro in 𝑩 è nullo, mentre in 𝑨 c’è attrito. Il CM

della scala si trova a 𝟏/𝟑 della sua lunghezza (dal basso). Un vigile di massa

𝑴 = 𝟕𝟐 𝒌𝒈 si arrampica sulla scala sino a metà percorso.

1. Determinare le forze che agiscono sul muro e sul pavimento se la scala non

si muove.

Esercizio 7.20


• Si consideri una cassaforte di massa 𝑴 = 𝟒𝟑𝟎 𝒌𝒈, sospesa ad una fune fissata

all’estremità della struttura in figura. Tale struttura, avente dimensioni

𝒂 = 𝟏. 𝟗 𝒎, 𝒃 = 𝟐. 𝟓 𝒎, è formata da una barra omogenea di massa

𝒎 = 𝟖𝟓 𝒌𝒈, incernierata in 𝑶 ad una parete verticale e tenuta inclinata da un

cavo di acciaio lungo 𝒃 e di massa trascurabile.

Si calcolino:

1. La tensione 𝑻𝟐 della fune;

2. La forza complessiva

agente sul vincolo 𝑶.

Esercizio 7.21


• Si consideri un’asta di legno lunghezza 𝑳 = 𝟓𝒎 e massa 𝑴 = 𝟓 𝒌𝒈,

appoggiata su un basamento per 𝟐/𝟑 della sua lunghezza. Sopra l’asse si

muove un uomo di massa 𝒎 = 𝟕𝟎 𝒌𝒈.

1. Calcolare la massima posizione dove può posizionarsi l’uomo senza che si

ribalti l’asse.

Esercizio 7.22


• Si consideri una sbarra metallica di lunghezza 𝑳 = 𝟑𝒎 e peso 𝑷𝟏 = 𝟐𝟎𝟎 𝑵incernierata in un muro. Sulla sbarra è posizionato un oggetto di peso

𝑷𝟐 = 𝟑𝟎𝟎 𝑵, posto a distanza 𝒙 dal muro. La sbarra è sostenuta da un filo di

tensione massima 𝟓𝟎𝟎 𝑵 ed inclinato di 𝟑𝟎° rispetto l’orizzontale.

Si calcolino:

1. Il massimo valore di 𝒙 affinché non si rompa il filo;

2. La forza agente sul perno nel muro.

Esercizio 7.23


• Determinare la condizione d’equilibrio per una carrucola sospesa. Si trascurino

massa della carrucola e dei fili.

Esercizio 7.24

𝑻

𝑭𝟏 𝑭𝟐


• Si consideri un pendolo composto formato da un due aste come in figura di

massa e lunghezza rispettivamente 𝒎𝟏, 𝒍𝟏 e 𝒎𝟐, 𝒍𝟐. Il polo 𝑶 è posto

nell’estremo della prima asta.

1. Calcolare il periodo per piccole oscillazioni;

2. Si valuti il caso per cui 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝒎 e 𝒍𝟏 = 𝒍𝟐 = 𝒍.

Esercizio 7.25

𝑶

𝒍𝟏

𝒍𝟐


• Si considerino due masse 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 (con 𝒎𝟐 > 𝒎𝟏) attaccate ad un filo ideale

posto attorno ad una carrucola di massa 𝒎.

Si calcolino:

1. L’accelerazione delle masse;

2. La forza che deve sostenere

il perno nel centro della carrucola.

Esercizio 7.26

𝑹

𝒎𝟏

𝒎𝟐

𝒎


• Calcolare il centro di massa di un corpo rigido bidimensionale omogeneo a

forma di triangolo isoscele di base 𝒃 ed altezza 𝒉, con densità superficiale 𝝈,

sapendo che l’elemento di superficie del triangolo si può esprimere come

𝒅𝑺 𝒚 = 𝒍 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒃/𝒉 𝒉 − 𝒚 𝒅𝒚.

Esercizio 7.27


• Una piastra quadrata ed omogenea, di lato 𝟔𝒅 = 𝟔𝒎, ha un ritaglio quadrato

di lato 𝟐𝒅 e centro posto in (𝟐𝒎, 𝟎𝒎), avendo scelto l’origine al centro della

piastra.

1. Trovare le coordinate del CM.

Esercizio 7.28


• Si calcoli il momento d’inerzia

1. Di una sfera piena omogenea, di massa 𝒎 e raggio 𝑹, rispetto ad un asse

𝒛 passante per il centro della sfera (coincidente con un diametro);

2. Di una sfera cava della stessa dimensione.

Esercizio 7.29


• Si consideri un disco di massa 𝒎 = 𝟔 𝒌𝒈 e raggio 𝑹 = 𝟎. 𝟐 𝒎 posto in un piano

orizzontale che ruota con velocità angolare 𝝎 = 𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔 attorno ad un asse

verticale distante 𝒂 = 𝟎. 𝟏 𝒎 dal suo centro.

Si calcolino:

1. La forza che deve essere esercitata dai supporti sull’asse per permettere

la rotazione;

2. Il momento della forza peso rispetto al punto 𝑶 per il quale passa l’asse di

rotazione;

3. L’energia cinetica del disco;

4. Se, partendo da fermo, il disco deve raggiungere la velocità di regime in

𝟒 𝒔, che momento costante bisogna applicare?

5. Quanto vale l’accelerazione tangente del CM durante la fase di

accelerazione?

Esercizio 7.30


• Si consideri un cilindro omogeneo di massa 𝒎 e di raggio 𝒓 in movimento sotto

l'azione della forza peso lungo un piano scabro inclinato di un angolo 𝜽 rispetto

all'orizzontale.

1. Determinare i valori permessi per il coefficiente di attrito statico 𝝁𝒔 tra il

piano ed il cilindro, affinché questo rotoli senza strisciare.

Esercizio 7.31

q


Esercizio 7.32

• Una sfera di raggio 𝑹 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎 e massa 𝑴 = 𝟐 𝒌𝒈 rotola senza strisciare su di

un piano inclinato di 𝜽 = 𝟑𝟎°. Determinare:

1. L’accelerazione del centro di massa;

2. La forza di attrito statico;

• Sapendo che nella posizione iniziale la sfera possiede un'energia cinetica totale

di 𝟑𝟓 𝑱, determinare:

3. La velocità iniziale del centro di massa;

4. L’energia cinetica della sfera dopo che essa ha percorso un tratto

𝒅 = 𝟏𝒎 sul piano inclinato.


Esercizio 7.33

• Un cilindro di raggio 𝑹 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e massa 𝑴 = 𝟓 𝒌𝒈 è posto su di un piano

orizzontale scabro. In corrispondenza del centro del cilindro, è scavata una

sottilissima fenditura, in modo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore

𝒓 = 𝟔. 𝟔 𝒄𝒎; si supponga che questo fatto non alteri il momento d’inerzia del

cilindro. Al cilindro sono applicate le forze 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐 = 𝟏𝟓. 𝟖 𝑵.

1. Determinare il valore di 𝑭𝟏 affinché il cilindro resti in equilibrio.

2. All’istante 𝒕 = 𝟎, 𝑭𝟏 cessa di agire. Nell’ipotesi che il cilindro rotoli senza

strisciare, determinare il valore della forza di attrito e il minimo valore di

𝝁𝒔 che consente il puro rotolamento.

F2

F1r

RFA


Esercizio 7.34

• Una molla di costante elastica 𝒌 = 𝟑𝟎 𝑵/𝒎 è collegata tramite una staffa di

massa trascurabile all’asse di un cilindro di massa 𝒎 e raggio 𝑹, mentre l’altra

estremità è fissata. Tutto il sistema è appoggiato in quiete su un piano

orizzontale scabro con la molla allungata di 𝑳 = 𝟎. 𝟐𝟓𝒎 dalla sua posizione di

riposo. Si sblocca la molla e il cilindro rotola senza strisciare.

1. Determinare l’energia cinetica di traslazione e di rotazione del cilindro,

quando la molla raggiunge la posizione di riposo.

2. Una volta scritte le equazioni del moto del cilindro, determinare

l’espressione della forza di attrito necessaria affinché esso rotoli senza

strisciare e del periodo del moto armonico con cui si muove il suo centro di

massa.

𝑳𝟎

X


Esercizio 7.35

• Una molla di costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵/𝒎 è posta su un piano scabro

inclinato di 𝟑𝟎° rispetto all’orizzontale e ha un estremo fissato ad una parete

posta alla fine del piano inclinato. L’altro estremo della molla è attaccato all’asse

orizzontale passante per il centro di massa di un disco di massa 𝒎 = 𝟒 𝒌𝒈 e

raggio 𝒓. Il sistema è inizialmente tenuto fermo con la molla compressa di un

tratto 𝚫𝐱 = 𝟎. 𝟔 𝐦 rispetto alla sua posizione di riposo. Lasciando libero il

sistema, si vede che il disco rotola senza strisciare sul piano inclinato.

Calcolare:

1. L’accelerazione del disco nell’istante iniziale;

2. Il valore minimo del coefficiente di attrito affinché il moto del disco sia

sin dall’inizio di puro rotolamento;

3. Supponendo che la molla cessi di agire

nell’istante in cui raggiunge la lunghezza

di riposo, calcolare la velocità del disco

in quell’istante.

FEL

XY

FA

mg


Esercizio 7.36

• Un cilindro di raggio 𝑹 e massa 𝑴 = 𝟐 𝒌𝒈 è posto su un piano orizzontale.

Attorno al cilindro è avvolto un filo inestensibile, che passa sulla gola di una

carrucola ideale ed è collegato ad una massa 𝒎 = 𝟑 𝒌𝒈 come in figura.

Inizialmente il sistema è mantenuto fermo. Ad un certo istante la massa 𝒎 viene

lasciata libera di muoversi e il cilindro immediatamente rotola senza strisciare.

Determinare:

1. L’accelerazione del centro di massa del cilindro;

2. La forza di attrito statico;

3. Il minimo coefficiente di attrito statico che consente il puro rotolamento.


Esercizio 7.37

• Una carrucola non omogenea di raggio 𝒓 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎 è vincolata, con vincolo

ideale, a ruotare attorno ad un asse fisso orizzontale coincidente con un suo asse

di simmetria e passante per il suo centro di massa. Una corda inestensibile e di

massa trascurabile aderisce alla gola della carrucola ed ha appesi agli estremi

due punti materiali 𝒎𝑨 = 𝟏. 𝟔 𝒌𝒈 e 𝑴𝑩 = 𝟏. 𝟕 𝒌𝒈. Se si abbandona il sistema

inizialmente in quiete con i due punti 𝑨 e 𝑩 alla stessa quota, si osserva che,

dopo un tempo 𝒕 = 𝟐 𝒔, la quota di 𝑨 supera di 𝒉 = 𝟖𝟎 𝒄𝒎 quella di 𝑩.

Determinare:

1. La differenza di tensione fra i due tratti

verticali della corda.

2. Il momento di inerzia della carrucola

rispetto all'asse di rotazione.

A B


Esercizio 7.38

• Una sbarretta uniforme di massa 𝑴 = 𝟏. 𝟓 𝒌𝒈 e lunghezza 𝑳 = 𝟏𝒎 è libera di

ruotare in un piano verticale intorno ad un asse orizzontale senza attrito passante

per un suo estremo. Sulla sbarretta è fissato, a distanza 𝒅 = 𝑳 dal perno, un

punto materiale di massa 𝒎 = 𝟎. 𝟐 𝒌𝒈. La sbarretta inizialmente ferma in

posizione orizzontale, viene lasciata cadere.

Determinare:

1. La posizione del centro di massa del sistema;

2. L’accelerazione angolare iniziale

del sistema e l’accelerazione

tangenziale iniziale dell’estremità

destra della sbarretta;

3. La velocità del centro di massa

quando il sistema raggiunge

la posizione verticale.

O 𝒎


Esercizio 7.39

• Un disco di raggio 𝑹 = 𝟎. 𝟒 𝒎 può ruotare senza attrito attorno ad un asse

verticale passante per il suo centro fissato ad un piano. Sul disco è avvolto un filo

ideale che passa nella gola di una carrucola priva di massa, alla cui estremità è

appeso un corpo di massa 𝒎 = 𝟎. 𝟓 𝒌𝒈. Inizialmente il sistema è in quiete; ad

un certo punto viene lasciato libero e il corpo scende di 𝟏𝟎𝒎 in 𝜟𝒕 = 𝟐 𝒔.

Determinare:

1. L’accelerazione di 𝒎;

2. Il numero di giri compiuti

dal disco in 𝚫𝐭;

3. La tensione del filo;

4. Il momento di inerzia del disco;

5. L’energia cinetica del disco

all’istante 𝑻 = 𝟐 𝒔.

m


Esercizio 7.40

• Un disco omogeneo di massa 𝑴 = 𝟒𝒎 = 𝟏𝟐 𝒌𝒈 e raggio 𝑹 = 𝟎. 𝟐 𝒎 può

ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo

centro 𝑶. Sul bordo del disco è avvolta una fune inestensibile e di massa

trascurabile, al cui estremo è collegato un corpo di massa 𝒎 posto su un piano

liscio inclinato di 𝜶 = 𝟑𝟎°. Determinare:

1. Il modulo 𝒂 dell’accelerazione con cui scende il corpo di massa 𝒎 lungo il

piano inclinato;

2. La tensione della fune;

3. Il numero di giri compiuto dal disco

quando il corpo di massa 𝒎 ha percorso

un tratto 𝒙 = 𝟐. 𝟓𝟏 𝒎, nell’ipotesi che

il corpo fosse inizialmente fermo.

M

a

dinamica del corpo rigido - istituto nazionale di …bissaldi/fisica1/07_cap7_esercizi.pdfdinamica...

Documents