Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương s.o ·...
TRANSCRIPT
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 1 of 12
Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc
1.Mở đầu
Kỹ thuật phân tích tổng bình phương trong chứng minh bất đẳng thức đối với chúng ta
không còn xa lạ.Trong các bất đẳng thức ba biến, đặc biệt có tính đối xứng, kỹ thuật này tỏ ra rất
hiệu quả trong việc chứng minh. Tuy nhiên, để chứng minh các bất đẳng thức bằng phương pháp
này chúng ta cũng cần có những định lý, mà từ đó chúng ta có thể giải quyết nốt “đoạn cuối”.
Bài viết này sẽ giới thiệu một đình lý về SOS và những vấn đề xung quanh nó ( tuy không mới
nhưng cũng rất thú vị ).
Sau khi biến đổi , phân tích bất đẳng thức ba biến về dạng:
Trong đó là các biểu thức theo ba biến . Các định lý chúng ta xét tới sẽ
liên quan đến , và từ đó ta có thể khẳng định là đúng.
2. Định lý
Chúng ta có định lý sau
Định lý 1 Nếu và thì khi đó bất đẳng thức đúng.
Có những cách khác nhau để chứng minh định lý này, chẳng hạn cách sau đây sử dụng
định lý về dấu của tam thức bậc hai
Chứng minh
Đặt và . Khi đó có dạng:
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 2 of 12
Nếu khi đó ta có thể coi , và tương đương với và điều này
đúng. Nếu khác khi đó đặt , khi đó tương đương với
Xét
=
Do , nên theo định lý về dấu tam thức bậc hai ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh trên cũng khá thú vị, tuy nhiên bạn thử nghĩ xem, liệu nó có để lại những hệ
quả gì? Rõ ràng là bạn khó có thể thấy được, vậy tại sao chúng ta lại không đi tìm một chứng
minh khác mà từ đó ta thu được hệ quả bổ ích sau này. Trước hết, ta hãy xét một bài toán trong
một cuốn sách của Vasile.
Bài toán :
Giả sử là những số thực dương, khi đó :
Lời giải Biến đổi bất đẳng thức về dạng
Trong đó
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 3 of 12
Từ đẳng thức
Do đó ta chứng tỏ và . Ta có
Và
Ở đây ta đã sử dụng BĐT Schur bậc
Đẳng thức xảy ra khi
Điều đặc biệt đầu tiên mà bạn nhìn thấy ở lời giải trên có lẽ chính là đẳng thức , đó
chính là “chiếc chìa khoá” để giải bài toán, vậy tại sao chúng ta lại không cầm lấy chiếc chìa
khoá ấy để chứng minh lại định lý
Chứng minh
Ta có đẳng thức sau
Và định lý được chứng minh.
Bạn thấy thế nào? Quá tuyệt phải không?. Chứng minh không khó. Đầu tiên bạn hãy chứng
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 4 of 12
minh , điều này đơn giản, sau đó chỉ việc cộng ba đẳng thức tương tự như thế và ta thu được
.Và bây giờ chúng ta hãy đến với những hệ quả thú vị từ đẳng thức .
Hệ quả
Với mọi
Hệ quả
Nếu và , khi đó bất đẳng thức (1) đổi chiều
Thực chất hệ quả chính là định lý 1. Và ta có nhận xét thú vị sau : ta có thể coi
là các số thực. Từ đó ta thu được định lý mạnh sau
Định lý 2
Với mọị số thực , khi đó ta có bất đẳng thức
Bây giờ chúng ta sẽ đến với các bài toán mà lời giải của chúng sử dụng định lý 1 và định
lý 2.
Bài toán 2
Với mọi số thực , khi đó bất đẳng thức sau luôn đúng
Đây là bài toán quen thuộc, nó có ứng dụng rất nhiều trong các bđt khó. Lời giải của Vasile bằng
tam thức bậc hai khá phức tạp( cũng chính là tác giả của bài toán ). Chúng ta cũng biết đến các
chứng minh có dạng SOS quen thuộc, và chúng ta hãy đến với một phân tích sau đây để xem nó
có điều gì lạ .
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 5 of 12
Lời giải Biến đổi bđt về dạng
Đặt và ta có
Và
Khi đó
Do đó theo , ta có
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Phân tích trên thật tuyệt phải không các bạn? Nó khác hoàn toàn với cách phăn tích thông
thường khác (có thể là mới chăng? ), và chắc chắn rằng việc tìm ra dấu bằng sẽ đơn giản hơn.
Đẳng thức xảy ra khi
Remark Với tư tưởng trong chứng minh trên, ta có nhận xét thú vị sau
Nếu thì ta có bđt
Và sử dụng nhận xét đó ta có bài toán tổng quát cho bđt sau đây
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 6 of 12
Nếu và là các số thực, khi đó
Bất đẳng thức này có dạng
Trong đó
Nếu chọn từ ta có bđt . Nếu chọn , khi đó ta có bất đẳng thức
Nếu chọn ta có bđt
Ngoài ra, ta còn có một bất đẳng thức tương tự của Vasile
( .
Bài toán 3
Giả sử là các sô thực không âm thoả mãn . Khi đó
Lời giải
Nếu thoả mãn bài toán đơn giản, tuy nhiên sẽ không như vậy trong trường hợp
khác , vì vậy ta sử dụng kỹ thuật phân tích tổng bình phương để giải chúng như sau.
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 7 of 12
Biến đổi bđt về dạng
Hay
Đặt , khi đó và
Do đó theo dịnh lý ta có ngay điều phải chứng minh.
Remark Cũng với ý tưởng trên Ta có bài toán tương tự sau
Giả sử là các số thực dương thoả mãn , trong đó là
số thực dương lớn hơn , khi đó
Nếu là cạnh của một tam giác, khi đó ta có bđt:
Bài toán 4
Giả sử là ba số thực dương, khi đó
Bài toán này sử dụng định lý chọn và ta có bđt .
Bài toán
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 8 of 12
Nếu là các số thực, khi đó
Lời giải Từ định lý , chọn , ta thu được bđt.
Remark Ta có bài toán tương tự sau
Nếu là các số thực, khi đó
Bài toán 5
Giả sử là các số thực dương thoả mãn . Khi đó
Lời giải
Bài toán này mặc dù nhìn qua có vẻ không động chạm mấy đến S.O.S, tuy nhiên ta có thể giải nó
bằng phương pháp này (mặc dù điều kiện của bài toán như lượng giác).
Biến đổi bđt về dạng
Từ đây áp dụng hệ quả ta có và
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 9 of 12
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 6[Kim Đình Sơn]
Với là độ dài ba cạnh của một tam giác, khi đó với mọi , ta có bất đẳng thức sau
luôn đúng
Lời giải
Chúng ta biến đổi bất đẳng thức trên về dạng S.O.S như sau
Và ta áp dụng định lý 1
Remark Với , ta có bất đẳng thức sau vẫn đúng
Trong đó là độ dài ba cạnh của một tam giác
Nhưng tôi chưa rõ với mọi bài toán có còn đúng không, và bị ràng buộc bởi .
Hy vọng được trao đổi cùng các bạn về vấn đề này.
Remark Bài toán tương đương
Giả sử là các số thực dương , khi đó với mọi , ta có bất đẳng thức sau luôn đúng
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 10 of 12
Bài toán 7[Kim Đình Sơn]
Giả sử là các số thực dương thoả mãn , khi đó
Bài toán 8[Kim Đình Sơn]
Giả sử là độ dài ba cạnh của một tam giác, khi đó các bđt sau đúng
1)
2)
3)
Bài toán 9( Bất đẳng thức Shur bậc )
Cho là các số thực, khi đó
Qua các ví dụ trên, chắc hẳn các bạn thấy định lý thật thú vị phải không? Nhờ định lý
chúng ta có thể tạo ra được nhiều bất đẳng thức khác. Nếu như cách thông thường (áp dụng
những định lý về S.O.S khác) rõ ràng là khó hơn hẳn, bởi vì chúng ít có tính đối xứng giữa ba
biến, và ở định lý chúng ta có thể thấy chúng hoàn toàn đối xứng. Hy vọng qua bài viết này sẽ
được trao đổi thêm với các bạn về bất đẳng thức, đặc biệt là kỹ thuật phân tích tổng bình phương
S.O.S
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 11 of 12
Tài liệu tham khảo
Sáng tạo bất đẳng thức
Tác giả : Phạm Kim Hùng
Algebraic Inequalities Old and New Method
Author : Vasile Cirtoaje
Kim Đình Sơn, 12A1,
THPT Chuyên Vĩnh Phúc
FRANCISCO-kimson
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương
SOS
www.VNMATH.com
Định lý về kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S
S.o.S Theorem
Page 12 of 12
www.VNMATH.com