dinámica de sistemas aplicada en la epidemiologíaaramosol/texto-josealfonsodelgado-2018.pdf ·...

SEMINARIOPERMANENTELasmatemáticasenlalucha

ContralasepidemiasFAC.deC.C.MatemáticasUCM

DinámicadesistemasaplicadaenlaepidemiologíaJoséAlfonsoDelgado(CoronelMédico)24deoctubrede2018

CONTENIDO1. Introducciónaltema......................................................................................................................................22. Pensamientosistémico..................................................................................................................................23. Planteamientodelproblema.........................................................................................................................54. ModelosDSepidémicosbásicos....................................................................................................................5

#1.-ModelodeReedyFrost..............................................................................................................................6#2.-ModelodeKermackyMcKendrick..........................................................................................................7

5. ModelosDSdeepidemias.............................................................................................................................86. AplicacióndeDSaldiseñodelaUnidaddeAltoAislamiento.....................................................................127. Materialymétodo.......................................................................................................................................128. Resultados...................................................................................................................................................14

#1.-Conjuntobásicodevariables....................................................................................................................14#2.-Diagramacausal.......................................................................................................................................15#3.-Explicacióntextual....................................................................................................................................15#4.-Modelodinámico(DiagramadeForrester)..............................................................................................17#5.-Sistemadeecuaciones.............................................................................................................................17#6.-Resultadosdelassimulaciones................................................................................................................23

9. Discusión......................................................................................................................................................2710. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................................................28

1. IntroducciónaltemaPermítanme,antesdehablardeltemamotivodeestaponencia,quelesintroduzcabrevementeencómounmédicomilitar,osimplementeunmédicopuedellegaracruzárseleensucaminointelectual,unatécnicatanalejadadesubasedeconocimientosprofesionalescomoeslatécnicadesimulaciónmatemáticadenominadalaDinámicadeSistemas.

En1977,siendoyoestudiantedequintodemedicina,escuchéomejor,toméconcienciaporprimeravezdeltérmino“feedback”alestudiarlaasignaturadeEndocrinología.Eltérminomellamólaatenciónycoincidióquemirando libros enuna céntrica libreríamedi debruces conel librode JavierAracil “Introducción a laDinámicadeSistemas”.Me intrigósu título. Locompréy semeabrióde repentees ilimitadomundode laTeoríaGeneraldeSistemasyunadelastécnicasquesepuedenaplicar,laDinámicadeSistemas.

Loque realmente tuvo impactoenmí, comomédico,no fue laDinámicadeSistemas, sinoelpensamientosistémicoplanteadoporL.VonBertallanfy(alasazónBiólogoaustríaco)(Bertalanffy1,2,3y4).Aprenderapensar de modo holístico, global, en permanentes escenarios feed back fue lo que me subyugódefinitivamenteyme lanzóa la increíbleaventuradecultivar losmétodosdeanálisisbasadosen laTeoríaGeneraldeSistemasy,concretamente,paraeldiseñoysimulacióndemodelos,conlatécnicadelaDinámicade Sistemas. Que Bertallanfy fuera Biólogo no era una coincidencia; era lo suyo, porque sólo desde unaciencia como la Biología, los conceptos sistémicos adquieren verdadero sentido, porque la vida es unextremadamentecomplejoescenariodesistemasvivosrelacionadosentresí,quecontribuyenaldesarrolloyevolucióndelaNaturaleza.CualquierprofesionaldelaBiologíaodelaMedicina,quetomeconcienciadeello,caeráenlasredesdeestaapasionantedisciplinacientífica,laTeoríadeSistemas.

Toda mi producción científica, tesis doctoral, trabajos publicados o simplemente elaborados a efectosinternosdemitrabajocomomédicomilitar,dealgunaformaestárelacionadaconelenfoquesistémicodelosproblemasoconeldesarrollodeplanteamientosbasadosenDinámicadeSistemas.

Elproblemaradicaenelhechodequesiunadvenedizoseintroduceenunterrenotanectópicocomoesteparaelentornomédicolomásprobableesquecarezcadeinterlocutoresconquiencompartirexperiencias.Ysi desarrollas un informebasado en la técnicaDS, para aconsejar al jefe a que tomeuna decisión, sucedecomoenEstadística;noleexpliquesaljefealgoqueseamáscomplicadoquelamediaaritmética,porquenote va a entender. Así que a lo largodemi vida profesional heutilizadopermanentemente el pensamientosistémicoylaDS,perosusentresijosmehansidoextremadamentedifícilcompartir.

2. PensamientosistémicoAntesdeentrarenasuntodeltítulodelaconferencia(modelosDSdeepidemies),endeferenciaalosquenoestán familiarizados con el modo sistémico de razonar, voy a hacer una brevísima (y no suficiente)introduccióna loqueeselpensamientosistémico,quenosésivaldráparamucho,peroalmenos lovoyaintentar.

(1)Elpensamiento sistémiconoesotracosaque tratardepensary comprender la realidadcomoun todointerrelacionado, donde las cosas no suceden de modo aleatorio. Eso parece, pero, como diría Einstein,hemos de reconocer que tratar de comprender una realidad concreta en base a tres o cuatro variables,aunque tengan un peso específico absoluto, no consiguen abarcar la miríada de "variables ocultas" quepuedenalterar los cálculos. En física, el determinismomatemáticopuedeque valga (a escalanewtoniana),perodesdeluego,enbiologíayenMedicina,esevidentequeno.

(2)Elconceptodesistemaesalgoqueseentiendeintuitivamente,además,ladefiniciónesbastantesimple:conjunto de elementos que relacionados entre sí, contribuyen a un fin concreto. Más allá de esta ideaintuitiva,sedespliegasimplemente"larealidadtangible".

(3)Enesarealidadtangible,sucedencosasavelocidaddevértigo,quefueradelostubosdeensayoodeunoslímitesmásomenoscontrolables,presentanunacuriosapropiedad,denominada"complejidaddedetalle",esdecirqueamedidaquehacemoszoomyvemoslosentresijosdelosacontecimientos,tantofísicos,comobiológicos o sociales, esas variables ocultasd de Einstein aparecen como setas por todas partes, hastahacernosintuirqueesodequecuandounamariposabatelasalasenHongKong,llueveenNuevaYork,alomejorhastaescierto.

(4) Otra curiosidad que presentan los sistemas complejos es la "complejidad dinámica" basada en lacomplejidad de interrelaciones entre elementos, demodo que el comportamiento a corto plazo apenas sitienequeverconelcomportamientoalargoplazo.Pongoporcasolaevolucióndelabolsaderentavariableolaevolucióndelapoblación.Lademografíatienesusleyes,perolasociologíatienelassuyasqueademássontemporalesypuedenhacerecharportierralasprevisionesalargoplazo.

(5)Noobstante,unadelaspropiedadesdelossistemasrealeseslatendenciaalaestabilidadoSteadystate.Denoserasí,sinomostraranesatendenciaocuandolapierden,elsistemaentraendisfunción,demodoquesinorecuperaelcomportamientoestable,simplementeestallarámástardeomástemprano.Yahíesdondesecolocanlos"límitesdelsistema".Esdecir,lossistemasrealessólopuedenpresentardoscomportamientos,el que refleja estabilidad es el comportamiento oscilante en torno a unmargen de viabilidad. Cuando sesobrepasanloslímites,elsistemadesevuelveinestable(enferma)yobienserecuperaobienmuere.

(6) El otro comportamiento es el crecimiento o decrecimiento hasta llegar a un límite asistótico donderecuperaráuncomportamientoestable,oscilante.

(7) Comprender todas estas propiedades requiere un enfoque mental muy concreto y con ciertasistematización. La realidad está ahí, fuera de nosotros. Percibimos detalles de ella por nuestros sentidos.Perotodasesasseñalesquellegananuestrocerebro,nuestramentetienequedealgunaformaorganizarlaparaqueseacomprensibleyentendible.Paraello,lamenteutilizaunprocedimientomuiinteresanteyeficaz.Construyeloquedenominaríamos"modelosderealidad",esdecir,elaboramodeloscomola"representaciónformaldeunsistema".Yasí,esposiblecomprendermedianteunnecesarioreduccionismo, larealidadquetenemosantenuestrosojos.

(8)Aldiseñarunmodelocomorepresentaciónformaldeunsistema,loprimeraquellamalaatenciónesquepensándolo lobien,nohayvariables independientes.Todos loselementosestánrelacionadosentresíbienmedianteuncomportamientodirectamenterelacional, si subeobajaelprimero,subeobajael segundoeinversamenterelacionalsialsubirelprimero,elsegundobajayalrevés.Deestemodo,loqueseestablecencomo relaciones sonbucles, reforzadores (crecimientoodecrecimiento continuo) ybucles compensadores(tendenciaalestadoestable).

Conestossimplesconceptos,tenemosenesencia,lasbasessobrelasquecomprenderenprimerainstanciaelcomportamientodelossistemasyconello,larealidadglobalquenosrodea.

(9)Sistemasloshaydeinfinidaddetipos,perodesdeunaperspectivabiológicaysocial,lomásparecidoaunsistemasonlasorganizacionesyelcomportamientodelosagentesdevariossistemasrelacionados.

(10)Unaorganizaciónhumanaonatural poseeunaestructura o elementosque la integran,una función uorden y secuencia de procesos y una finalidad o razón de ser. En esencia, como en el mundo físico, lossistemas se rigen por la segunda ley de la termodinámica (el trabajo genera desorden, que tiene quecompensarse conunesfuerzo suplementarioparamantener el nivel de entropía lomásbajo y controlableposible).

(11)Y todas lasorganizacionesposeenunsistemademandoycontrol tambiénconocidocomoSistemadeInformación.

(12)Contodosestosconceptos,losmodelossepuedenelaborarentresnivelesdecomplejidadoformalismo.Hay modelos mentales, donde lo importante es la descripción textual con algún gráfico de apoyo sinmetodología concreta. Haymodelos gráficos, donde lo importante es el gráfico que lo representa, concomentarios aclaratorios y por último se pueden elaborar modelos formales, generalmente basados enmodelosmatemáticos,conelquesealcanzalamayorconcreciónqueademáspermiteefectuarsimulaciones.

(13) Las organizaciones (biológicas o humanas), tienden a evolucionar y a incrementar su complejidad. Lasorganizaciones sencillas suelen ser "totipotenciales", es decir, que entre todos sus elementos, con unarazonablecapacidaddeintercambioconelentorno,soncapacesdesobrevivir,dadoquepuedenprocesarlasdiferentes funciones vitales para la pervivencia de la organización, En la medida en que crecen y seincrementaelnúmerodeelementos,latendenciaesalasubagrupaciónensubsistemasyalaespecializacióndefunciones,conloquecadasubsistemadejadecumplirtodassusfuncionesvitalesparacentrarseenunasola para toda la organización, mientras que lo que necesita, lo recibe de los demás subsistemas.SondependientesdelTodo.

(14) Así que en la vida real, los sistemas orgánico de por sí complejos, pueden presentan tres atributos,estado estable, que supone orden y comportamiento previsible. Estado caótico de comportamientoimprevisibleyestadocomplejo,decomportamientovariable.Enelextremo,elcomportamientopuedellegaraserfractal.Eslamejorpresentacióndeloquesonlossistemasdealtacomplejidad.

(15)Cuandoelcomportamientopierdeloslímitesdelaestabilidadyseproduceelpasoauncomportamientocreciente o decreciente, el sistema puede encaminarse a dos estados, el primero al de un crecimiento odecrecimientoreguladoconelquealcanzarádemodoparabólicounnuevoestadoestable,superioroinferioral inicial; o bien un crecimiento o decrecimiento no regulado, con el que terminará comprometiéndose laviabilidaddelpropiosistema,delapropiaorganización.

(16)Sielsistemapasaacomportamientonoreguladoysedispara latendenciaalcistaobajista, la funciónmatemáticaquemás seajustaes laexponencial y=e^x+b.Alprincipio ladesviaciónes imperceptible,peropasando el tiempo, de modo sorprendente nos daremos cuenta de la imparable aceleración de losacontecimientoshasta llegar a cruzar elumbral de sobrepasamiento,más allá del cual, aunqueno sucedanadaaparentemente,elsistema,laorganizaciónestácondenadaalinevitabledesastre.

(17)Elconjuntodecomportamientosquehemosexplicadoesaplicableatodalacadenadeseresvivosuqe,clasificadossegúnsucomplejidad,iniciándolacadenaellacélula,crecaatravésdelosórganos,elorganismo(oindividuo),elgrupohumanoonatural,laorganización,lasociedad,lasociedadinternacionalyfinalmenteGaiaoelPlaneta.

(18) Los sistemas, como descripción del comportamiento de agentes relacionados, permiten explicar unfenómeno, un acontecimiento concreto, como puede ser una epidemis (donde hay varias organizacionesimplicadas) o la bolsa de valores, o la carrera de armamentos o la competencia entre especies en unecosistemaymiles,pornodecirmillonesdeejemplosmás.

Unejemplodeunsistemacomodescripcióndeuncomportamientoentreagenteseselquesepresentaenlasegundapartedeestaexposición,elcomportamientodelasepidemiasyenconcretoelmodelodesimulaciónconstruidoanteeldesafíoprovocadoporloscasosdeÉbolaenEspañaen2014,paraconstruirlaUnidaddeAltoAislamientodelHospitalCentraldelaDefensa.

Estafigurarepresentalos19subsistemascríticosdecualquierservivo,desdelacélula,elórgano,elindividuo,elgrupo,laorganización,lasociedad,lasociedadinternacionalyelPlaneta.1

1JamesG.Miller.TheLivingSystem,McGrawHill,NewYork1978

ModelosDSdeepidemias 5

SEGUNDAPARTE:Modelosdinámicosenepidemiología

3. PlanteamientodelproblemaPuesbien,elempleodeestatécnicadesimulación,quealcanzóciertascotasdedifusiónaraízdelapublicacióndelosestudiosdeJayForrestersobreloslímitesdelcrecimientoen1972,laaplicamosenelprocesodeelaboracióndelPlanFuncionalpara laUnidaddealtaseguridadbiológicaen laplanta22delHospitalCentralde laDefensa,durantelosaños2014y2015.DurantelafasedeelaboracióndeestePlanFuncional,yconlapocaexperienciaquesetienedesituacionesdeextremagravedadepidémica,comofueelincidentedelaepidemiadeÉbolayloscasosregistrados en Madrid en 2014, el cálculo de las plantillas de personal fue realmente complicado, dada lasextremadamenterígidasyexigentesmedidasdeseguridadquerequierenestosenfermos.

Secontemplaban tres situacionesconformea tresescenarios, la situación“VERDE”de funcionamientodeunaplantaestándarconpacientes infecciososnecesariospara teneractiva laplantayentrenadoalpersonal.SituaciónÁMBAR.-Atenciónsimultáneade1o2pacientesenaislamientodealtonivelenelala“B” de la planta y de 8 pacientes infecciosos o en aislamiento por sospecha de infección de altacontagiosidadenlaala“A”.YSituaciónROJA.-lacircunstanciaenlaquesetienen3omáspacientesenelala “B” y el ala “A” en condición estándar (pacientes cuarentenables), se necesita apoyo del resto depersonal del Hospital, de la SanidadMilitar y de personal sanitario del resto del SistemaNacional deSalud.

El cálculo de plantilla se podía garantizar hasta la situación ámbar. En situación Roja, cualquier previsión denecesidadessehacía imposibleyhabíaquepasara situacióndeemergencia, conapoyodel restodelhospitalyprobablementedepersonaldelSistemaNacionaldeSalud.

Parallegarasemejantesestimaciones,seutilizarondiversastécnicasdesimulación,desdelasmásconvencionalesysimples, simulacióndeescenariosehicimosun intentodesimulacióndinámicaconelempleodeDinámicadeSistemas.Losresultadoseranigualmentedesconazonadoresentantoqueensituacióndealtaocupación,sólolaexperienciarealnosdiríacómoactuar“lapróximavez”.

4. ModelosDSepidémicosbásicosLas epidemias han suscitado desde hace bastante tiempo un interés especial en averiguar cuáles sucomportamiento, para poder predecir a la vista de los primeros datos de casosnotificados,cuál será su comportamiento futuro,y qué se puedeesperarde las diferentesmedidaspreventivasocurativasqueseapliquenalapoblaciónobjetivo.

DesdeprincipiosdelSigloXX,sevienenhaciendointentosdeencontrarlasfuncionesmatemáticasqueperm,itanpredecirloscomportamientosdeestascrisissanitarias.

En 1906, Brownlee, gran matemático Inglés y epidemiólogo se dedicó a estudiar curvasepidémicas de varias enfermedades tales como la viruela, el sarampión tifus en Glasgow yotrasciudades. Ese mismo año, aparece el libro de Hamer, que se admite como la primerapiedra de laTeoría epidémica, la cual se basa en el estudio de tres variables, número de casos infecciosos, desusceptiblesylatasadecontagioentrecasosysusceptibles.

Lafuncióninicialpropuestaeralasiguiente:

𝑍!! =𝑋𝑚𝑍!!!

Donde:Zto =númerodecasosenelperiodoenestudio.X=númerodesusceptiblesm = constante que marca la tasa de contacto Zt---1 =númerodecasosenelperiodoanterior.


#1.-ModelodeReedyFrost

El siguiente gran paso en labúsqueda deunmodelo general deepidemias, fuedadopor LowelReed yWade Hampton Frost, en 1928. Cada enfermedad tiene sus características particulares respecto delmodode transmisión, reservorio,periodode incubación,etc.Para su modeloReed yFrost tuvieronque crear una epidemia teórica, algo así como una especie de esqueletoo modelo general en elquesepuedaaplicar todo locomúnalasenfermedadesinfectocontagiosas.2

Segúnestarestricción,paraelmodelodeReedyFrost,debíaasumirselossiguientesConsiderandos:

1.---Lainfecciónsepropagaporcontactodirectoentreinfectadosysusceptibles.

2.--- Todo susceptible que haya estado en contacto con infectados desarrolla la enfermedad yademásenunperiodoquenoexcederálaUnidaddetiempousadaporelmodelo.

3.--- El nuevo enfermo será a su vez infectante para otros susceptibles durante el periodosiguiente.

4.--- Después de ocurrida la enfermedad el infectado curado para a la condición de inmune en elperiodosiguiente.

5.---Nohayposibilidaddeportadoresasintomáticos.

6.--- Cada individuo tiene una probabilidad fija de estar en contacto con enfermos. Estaprobabilidad es constante durante todo el periodo de simulación del modelo o curso de laepidemia.

7.---Launidaddetiempoesladuracióndelaenfermedadensufasedecontagiosidad.

8.--- Se asume el término de “contacto adecuado” el que establece un susceptible paratransformarse enenfermocontagioso.

En el modelo se denomina “K” al promedio de contactos adecuados que un enfermo tiene conotrossusceptibles.Elnúmerodecasossedenomina“C”.ElnúmerodecontactosporUdTesC*K.

Conociéndose elnumero decasos en tiempo T (Ct),esposible conocer elnúmero decasos ent+1(Ct+1)quedependerádelnúmerodecasosactual,laproporcióndesusceptiblesylaprobabilidad decontagio.

La proporción de susceptibles “S” es como habitualmente la proporción entre probables y total deposibles“N---1”.EsdecirS/(N---1).

Elnúmerodecasosenelperiodosiguientealactualsecalculaconlafórmula:

𝐶(!!!) = 𝐾𝑆

𝑁 − 1

Finalmente la fórmula ejecutable del modelo de Reed y Frost es C(t+1)= S (1---qCt), donde q es laprobabilidad deescaparalcontagio;demodoque1---qeslaprobabilidad decontagio.

Comoejemplo,paraunapoblaciónde101personas,dondeunacontraelaenfermedad,ylaprobabilidaddecontagioes de0,03,elcomportamiento delaepidemiaseríaelsiguiente,segúnelmodelodeReedyFrost.

2AbbeyH.1952.AnexaminationoftheReed-Frosttheoryofepidemics.Hum.Biol.3:201


#2.-ModelodeKermackyMcKendrick.

Paralelamente aReed yFrost1927 Kermack yMcKendrick formularon unmodelomatemáticobastantegeneral ycomplejo para describir laepidemia depeste que sufriera la India en1906,quedenominaronSIR(Susceptibles, Infectados yRecuperados).3

Kermack y McKendrick establecieron, en este caso, como postulados básicos los siguientes: a) laenfermedad que iban a estudiar debía ser viral obacteriana y ser transmitida por contactodirecto depersona a persona, b) al inicio de la epidemia solamente una fracción de lapoblación eracontagiosa, c) la población sería una población cerrada y, a excepción de las pocas personasinicialmente enfermas, todas las demás eran susceptibles de enfermarse, d) el individuo sufre elcursocompletode la enfermedadparaal final recuperarse (sanar)adquiriendo inmunidad, omorirye)lapoblación totaldepersonasseríaconstante ysindinámicademográfica.

Donde:

Susceptibles (S),estadoenelcualelindividuopuedesercontagiado porotrapersonaqueestéinfectada;

Infectado (I),estado durante el cual el individuo sehalla infectado ypuede además infectar aotros;

Recuperado(R), o curado, estado durante el cual el individuo no puede ni ser infectado porhaberadquirido inmunidad (temporal opermanente) niinfectar (porhaber recuperado ohaberpasadolaetapacontagiosadelaenfermedad).

Entrelasenfermedades infectocontagiosas encontramos dosgruposprincipales:

üü Las que confieren inmunidad al infectado (temporal o permanente) una vezrecuperado, lamayoríadeorigenviral(sarampión, varicela,poliomielitis); y

üü Las que, una vez recuperado, el individuovuelve a ser susceptible inmediatamente,entrelas que encontramos las causadas por agentes bacterianos (enfermedades venéreas,peste,algunasmeningitis) oprotozoos (malaria).

Teniendo en cuenta los distintos estadios relacionados con un proceso infeccioso, los modelosepidemiológicos sedividenentresgrandesgrupos:

Teniendo en cuenta los distintos estadios relacionados con un proceso infeccioso, los modelosepidemiológicos sedividenentresgrandesgrupos:

3García PiñeraA.Modelos de ecuacionesdiferenciales para la propagaciónde enfermedades infecciosas.Univ.Cantabria.Tesisdoctoral.2014


SIR: El modelo susceptible---infectado---recuperado, relacionado con las enfermedades queconfieren inmunidad permanente y un ciclo típico incluye los tres estados. Esto no quiere decir quetodos los individuos de una población deban pasar por estos, algunos no serán infectados ypermanecerán sanos, o sea siempre en estado S, otros serán inmunizados artificialmente porvacunación, oalgúnotrométodoypasaránaserRsinhaberestadoinfectados.

SIRS: El modelo susceptible---infectado---recuperado---susceptible, idéntico al anterior, peroaplicable a casos en que la inmunidad no es permanente y el individuo vuelve a ser susceptibledespuésdeunciertoperiodo, talcomolagripe.

SIS: El modelo susceptible---infectado---susceptible; se usan en casos en que la enfermedad noconfiere inmunidad yel individuo pasadeestar infectado asusceptible nuevamente,saltando laetapaR.

El modelo de Mermack y McKendrick es tal que puede tener en cuenta la dinámica vital de lapoblación (nacimientos, muertes, movimientos migratorios) dependiendo del horizonte temporalanalizado,ydelascaracterísticas delaenfermedad ydelapoblaciónestudiada.

Sidenotamos porNa lapoblación total al tiempo ten laqueelbrote epidémico puede ocurrir,y porS(t) ,I(t) y R(t) a los individuos en estados susceptible, infeccioso y recuperado o muerto al tiempo trespectivamente, entoncesN=S(t)+I(t)+R(t)esconstante.Latasadeinfecciónquedeterminael numerode individuos por unidad de tiempo que se transfieren del compartimiento de susceptibles ainfecciososdepende el numero de contactos per c ́apita cqueunapersona sana ysusceptible tengaporunidaddetiempo, yde laproporción φdeestoscontactosqueseanconindividuos infecciososqueletransmitan laenfermedad. Conesterazonamiento,si denotamos por β = φ c a la tasa per c ́apitade transmisión de enfermedad,entonces latasade infección de lafigura2estadadapor laexpresiónβS(t) I(t).Latasaderecuperación omuerte la denotaremos por γ .De hecho, el inverso de esta tasa esel tiempo promedio que un individuo de la población dura enfermo (e infeccioso) cuandosuponemosqueladistribucióndetiemposderesidenciaenelcomportamiento deinfecciosos sigueunadistribución exponencial. Podemos ahora escribir la ecuación diferencial que describe elcambioenelnumerodeindividuospertenecientes alcomportamiento infeccioso.

donde I0 representa el numero inicial de personas infecciosas en la población. Un broteepidémico se iniciará cuando el numero de gente infecciosa se incremente una vez que losprimeros casos son introducidos en la población (que originalmente supondremos conformada soloporgente sanaysusceptible). Entérminos de laecuación anterior lacondición enunciadasignificaquebuscamoscondiciones paraquedI/dt>0.

ElModelocomotalseexpresacomo:

S’ = -βSI, i’ = βSI-γI, R’ = γI

siendo S la población susceptible de enfermar, I la población infectada, y R la población que ha pasado laenfermedadysehallarecuperada.Existendosconstantesquesonlatasadeinfección(beta)ylatasadecuraciónorecuperación(gamma).

5. ModelosDSdeepidemiasLos modelos analíticos como los vistos requieren un aparataje matemático complicado de entender para elpersonal poco habituado al cálculo, y por otra parte tiene una severa limitación en el número de variables asometeralcálculo.


LastécnicasDSdesimulacióndinámicahanpermitidoromperambostiposdebarrera,permitiendopoderelaborarmodelos complejos sin necesidad demanejar las complejas ecuaciones analíticas, y sobre todo, poder diseñarmodelos de simulación con un número virtualmente ilimitado de variables. En este sentido, la Dinámica deSistemasdeForresterhasupuestounespectacularavanceenestesentido.

Así,elmodelodeReedyFrost,sepuedepasardesuformulaciónanalíticaasuformulacióndinámicautilizandolostrespasosqueseempleanenlosmodelosDS.

Empezandopor losdiagramascausales, tenemoseldiagramacausaldeunaepidemiaconvencional,medianteelsiguientediagramacausal.

Quesetransformaenunsegundopaso,enundiagramadeflujo,odeForrester,conelsiguienteaspecto:

Yelresultado,daungráficoexactamenteigualalobtenidopormétodosanalíticos.

Susceptible Infectado Inmunizados

+

+

-

-

Tasa de contagio

+

SUSCEPTIBLES INFECTADOS INMUNIZADOSCasos nuevos Curaciones

Factor ee contagio

Selected Variables100 Personas

4040

100

75 Personas303075

50 Personas202050

25 Personas101025

0 Personas000 5

5

5

5

5

5

5 5 5 5

4

4

4

4

4

4

44 4 4

3

3

3

3

3

3

33 3 3

2

2

2

2

2

2 2 2 2 21

1

1

1

1

1 1 1 1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time (Month)Casos nuevos : Current Personas1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1SUSCEPTIBLES : Current Personas2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Curaciones : Current 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3INFECTADOS : Current 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4INMUNIZADOS : Current 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5


Losdatosentablasonlosmismos.

Time casosinmunizados susceptibles

0 3 0 100

1 8. 1 97

2 20. 4 88.

3 31. 12. 68.

4 22. 32. 37.

5 7. 63. 14.

6 1. 86. 7.

7 0. 93. 5.

8 0 95. 5.

9 0 95. 5.

10 0 95. 5.

YlasecuacionesenlenguajeDSsonlassiguiente:

(01) Casosnuevos=SUSCEPTIBLES*(1-Factordecontagio^INFECTADOS)

Units:Personas

(02) Curaciones=INFECTADOS

Units:**undefined**

(03) Factordecontagio=0.97

Units:**undefined**

(04) FINALTIME=10Units:Month Thefinaltimeforthesimulation.

(05) INFECTADOS=INTEG(Casosnuevos-Curaciones, 1)

Units:Personas

(06) INITIALTIME=0Units:Month Theinitialtimeforthesimulation.

(07) INMUNIZADOS=INTEG(Curaciones,0)

Units:Personas

(08) SAVEPER=TIMESTEPUnits:Month[0,?]

Thefrequencywithwhichoutputisstored.

(09) SUSCEPTIBLES=INTEG(-Casosnuevos,100)

Units:Personas

(10) TIMESTEP=1 Units:Month[0,?]Thetimestepforthesimulation.

El modelo de Kermack y McKendrick, modelizado con Dinámica de Sistemas, se representa con el siguientediagramadeForrester.


ElmodelodinámicoDSeselsiguiente.

(01) curan=INFECTADOS*tasadecuración;Units:personas/UdT (02) enferman=SUSCEPTIBLES*INFECTADOS*tasadecontagio;Units:personas/UdT

Según el modelo de Kermack y Mc Kendrick S' = -BSI El número de los que enferman poor UdT es igual al desusceptiblesporeldeinfectadosporlatasadecontagio.

(03) expuestos=RECUPERADOS*tasadeexposición;Units:personas/UdT (04) FINALTIME=20;Units:mes

Thefinaltimeforthesimulation.(05) INFECTADOS=INTEG(enferman-curan-muertes,100);Units:personas[50,150] (06) INITIALTIME=0;Units:mesTheinitialtimeforthesimulation.

(07) muertes=INFECTADOS*tasademortalidad;Units:personas/UdT (08) PABLACIONTOTAL=INFECTADOS+RECUPERADOS+SUSCEPTIBLES;Units:personas (09) RECUPERADOS=INTEG(curan+Vacunados-expuestos,0);Units:personas (10) SAVEPER=TIMESTEP;Units:mes[0,?]

Thefrequencywithwhichoutputisstored.(11) SUSCEPTIBLES=INTEG(expuestos-enferman-Vacunados,900);Units:personas (12) tasadecontagio=0.001;Units:Dmnl

(13) tasadecuración=0.4;Units:Dmnl (14) tasadeexposición=0.05;Units:Dmnl (15) tasademortalidad=0.1;Units:Dmnl(16) tasadevacunación=0.5;Units:Dmnl

(17) tensión=(enferman/SUSCEPTIBLES)*tasadevacunación;Units:personas[50,150](18) TIMESTEP=1;Units:mes[0,?]Thetimestepforthesimulation.(19) Vacunados=SUSCEPTIBLES*tensión;Units:personas/UdT

Larepresentacióngráficadeestemodeloeslasiguiente:

SUSCEPTIBLESINFECTADOS RECUPERADOS

Vacunados

expuestos

enferman curan

muertes

tasa?de?contagio

tasa?de?curación

tasa?de?exposición

tensión

tasa?demortalidad

tasa?devacunación

PABLACION?TOTAL

<SUSCEPTIBLES>

<INFECTADOS>

<RECUPERADOS>


Dondelosqueserecuperanpuedenvolveracontraerlaenfermedad,yporotraparte,lossusceptiblespuedenservacunadosyhayinfectadosquepuedenmorir.Yseincluyelavariable“tención”querecogelatasadevacunaciónyelcocienteenferman/susceptiblesLaformulabásicadelaspersonasvacunadasesigualalnúmerodepersonassusceptiblesmultiplicadoporlatasadevacunación(éstadependedeltipodeenfermedad,defactoresculturales,etc.),esdecir: vacunadas=susceptibles x tasadevacunación.Deseamos introducirenestaecuaciónelhechodeque laspersonas sevacunanmás cuandopercibenqueexisteun riesgo importantede contraer laenfermedad.Calculamos este riesgo como el cociente enferman/susceptibles, que indica cuantas personas enferman enrelaciónalacantidaddepersonasquepuedenenfermar.

De este modo, el modelo de Kermack y McKendrick, pasa de ser un frio modelo analítico, a un modelo desimulación,quepuede serenriquecidoconunacantidaddevariables, tasasy constantesque seajustanmuchomásalarealidaddelaenfermedadinfectocontagiosa.

6. AplicacióndeDSaldiseñodelaUnidaddeAltoAislamientoEl objeto de este ensayo es efectuar una extensión del modelo de Kermack y McKendrick, para el estudio ysimulacióndeunasupuestaepidemiadeunaenfermedadinfectocontagiosaimportadaenEspañaatravésdeuncaso, que genera la activación de una alerta sanitaria, y de la Planta de hospitalización para enfermos querequieran aislamiento estricto (UAAN:Unidad deAislamiento deAltoNivel), como la diseñada para el HospitalCentral de la Defensa, con 16 habitaciones de aislamiento estricto. Con este modelo se pretende conocer lacapacidadfuncionaldelaUAANdelHospitalCentraldelaDefensa,ylasituaciónqueseestaríaviviendofueradelhospital;hastaquépuntoescontrolablelasituaciónconmedidasconvencionalesyderigurosocumplimientodelosprotocolosdeseguridad,asícomolaevaluaciónderiesgos.

7. MaterialymétodoSeutilizaunordenadorpersonalconvencionalquesoporteWindows7oMaciOS.

Seempleacomometodologíadesimulación, latécnicadeDinámicadeSistemasconelaplicativodesimulación,VensimPlus6.2®.

LametodologíadeDinámicadeSistemas(DS)fuedesarrolladaen losaños50porelequipode jayforrester,delInstituto Tecnológico de Massachusets (MIT), a propósito de problemas relacionados con los sistemas de

Selected Variables60 personas/UdT

900 personas

45 personas/UdT675 personas




5

5

55 5 5

55

55

55

5

4

4

4

4

4 44 4

44

4 44

3

3 3

33

3 3 3 3 3 3 3 3

2 2

2

2

22

2 2 2 2 2 2 2

1

1

1

1

1 1 1 11 1

1 11 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Time (mes)

expuestos : Current personas/UdT1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Vacunados : Current personas/UdT2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2INFECTADOS : Current personas3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3RECUPERADOS : Current personas4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4SUSCEPTIBLES : Current personas5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5


producción y logística industrial. Posteriormente se amplió su aplicación al campode la dinámica poblacional yurbana, hasta convertirse enunaesencial herramientadeprospectiva empleadapara la elaboracióndel primerinformealClubdeRoma.

Enesencia,DSsebasaenlaresolucióndeecuacionesdiferenciales,dondelasvariablestomanvalorenfuncióndeltiempo:dV/dt.

Paraelloseempleaunaestructurabasadaenladescomposicióndeestasecuacionesenelcálculodedostiposdevariables,deniveloestado,ydeflujootransferencia.

𝑁(!) = 𝑁 𝐹𝐸 − 𝐹𝑆 𝑑𝑡!

!

Esdecir:!"!"= 𝐹𝐸 − 𝐹𝑆

DSutilizaelmétododeintegracióndeEulerparalaresolucióndeestasecuaciones:

𝑁(!!∆!) = 𝑁(!) + ∆𝑡[𝐹𝐸 ! − 𝐹𝑆(!)

Asuvez,lasvablesdeflujosecalculanenfuncióndelosvalorespreviosdelasdeNivelyhabitualmenteafectadasdeotrasvariablesauxiliaresobiendecoeficientesfijos.

𝐹𝐸(!!∆!) = 𝑁!𝑇𝐸, 𝐹𝑆(!!∆!) = 𝑁!𝑇𝑆

ElsintaxisDS,elsistemasedescribedelasiguienteforma:(01) FE=N*TE(02) FS=N*TS(03) N=INTEG(FE-FS,1)(Estaecuacióneslaquesolucionalaintegral)(04) TE=0.2(05) TS=0.1(08) TIMESTEP=1

ElejemplomássencillodeunmodeloDSlotenemosenelllenadodeunvasodeagua,dondeexisteunobjetivofinalqueeselllenadocompleto.

Elresultadográficoesunprocesodellenadoquevadisminuyendohastaquesealcanzaelllenadocompleto.

VASO DEAGUA

Grifo

Objetivo (1) FINALTIME=300(2) Grifo=(Objetivo-VASODEAGUA)/Objetivo(3) INITIALTIME=0(4) Objetivo= 100(6) TIMESTEP=1(7) VASODEAGUA=INTEG(Grifo,0)

NFE FS

TE TS


8. ResultadosElmodelo“Epidemias”,sebasaenunconjuntodeecuacionesdiferencialesquedefinenelvalordelasvariablesdenivel,sobrelabasedelavariacióndelascorrespondientesvariablesdeflujo,auxiliaresycalibradodetasas.

#1.-Conjuntobásicodevariables

Sedesarrolla unprimermodelode simulación, basadoenorigenenelmodelodeKermack yMcKendrick, peroampliadograciasalasposibilidadesderefinamientoquepermitelametodologíadeDinámicadeSistemas.Así,lastresvariablesSIR(Susceptibles,InfectadosyRecuperados),sehanconvertidoenlassiguientes.

1.- Susceptibles (Vble. de Nivel que refleja la población general que no tiene defensas biológicas pararechazarelcontagio).

2.-Casosimportados(Vble.deflujoqueindicaloscasosqueprocedendelexterioralacomunidad,porlogeneralsepartedeuncasocero)

3.-Contactos(Vble.deflujo:nuevoscasosporUnidaddetiempodepoblaciónsusceptiblequeentraencontacto con el caso cero inicialmente y posteriormente con enfermos infecciosos contagiosos nocontroladosporlosserviciosdesalud).

4.-Sospechosos(Vble.denivel:Poblaciónquehaentradoencontactoconenfermoscontagiosossinotroatributoclínico).

5.- Cuarentenables (Vble. De nivel: población identificada como de riesgo y sometida a aislamientopreventivoporlosserviciosdesaludydeproteccióncivil).

6.- Hospitalizados (Vbles. De Nivel que indican el número de casos que muestran síntomas deenfermedad, son presuntamente contagiosos e ingresan en unidades de aislamiento de alto Nivel deSeguridad biológica (UAAN). Estos pacientes se han desagregado en tres tipos por su situación clínica,basales,críticosyenrecuperación.

7.-Fallecidos(Vble.denivel:enfermosquefinalmentemuerendebidoalaenfermedad)

8.-Recuperados(Vble.denivel:pacientesquesehancurado,yquedaninmunizados)

9.-Vacunados(Vble.deflujo:pacientesquerecibenlavacunademodopreventivoyquedaninmunizadossinpadecernitenerriesgodesufrirlaenfermedad)

10.-Personal Sanitario (Vble. de nivel: activos sanitarios que se incorporan a la UAAN para atender apacienteshospitalizados)

11.-Seguridad(Vble.auxiliar:indicaelniveldeseguridadconelquesetrabajaenlaUAAN).

Todas las variables están relacionadas entre sí mediante relaciones directa (si aumenta/disminuye la primera,aumenta/disminuye la segunda) o inversamente proporcional (si aumenta/disminuye la primera,disminuye/aumentalasegunda,

El conjunto de relaciones causales, genera un diagrama de causalidad que permite mostrar gráficamente elconjunto de relaciones de todas las variables con todas. Permite identificar bucles reforzadores (crecimientocontinuo)ocompensadores(tiendenalaestabilidad).

Latabladerelacioneseslasiguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1-susceptibles + 2-casosimportados + 3-contactos + 4sospechosos +


5-cuarentenables + 6-hospitalizados + + 7-fallecidos 8-recuperados 9-vacunados - 10-personalsanitario - + -11-seguridad - #2.-Diagramacausal

Eldiagramacausalquerepresentaestasrelacioneseselsiguiente:

Este diagrama causal representa de una forma gráfica cómo se comportan las enfermedades epidémicas, y lalógicaderelaciones.

Laintensidaddelasrelacionesentrevariablesseestablecemediantelasdenominadastasasoparámetros,quesonconstantes (habitualmente en términos de tantos por uno) que fijan la intensidad de la relación, tanto directacomoinversa.Otrastasassefijanpordíasdeduraciónenunestado(variablesdenivel).

#3.-Explicacióntextual

Deestemodo,laexplicacióntextualseenunciaríadelsiguientemodo.

1. Tras la llegada a la comunidad de un enfermo en situación de contagiosidad, la población, toda ellasusceptible,quedaenriesgo.

2. Elpacientecero,antesdeseratendidoporlosserviciosdesalud,habráentabladocontactoconunnúmeroindeterminadodepersonasquesinsaberlopuedenhabersecontagiado.ElmodelodeterminaráelnúmerodecontactosmedianteunatasaconstantedenominadaTasadecontacto,olamediadecontactosqueestablecediariamenteuncontagiosoconpersonassanasyquepuedencontraer,ono,laenfermedad

3. Los síntomas clínicos del caso cero, dependiendo de la letalidad de la enfermedad, acudirá a los serviciossanitarios,casodequesuestadoclíniconoseairreversibleyfallezca.Enelsupuestodequeseaingresado,será el primer hospitalizado en la UAAN. Pero quedan un número indeterminado de contactos que,

Susceptibles

Sospechosos

Cuarentenables

Hospitalizadosbasales

Hospitalizados críticos

Fa l l e ci d o s

Infecciosos

Vacunados

Contactos

Ca so si m p o rta d o s

Hospitalizadosrecuperados

Personalsanitario

SeguridadRe cu p e ra d o s

+

+

+

+

+

+

+

-

++

+

++

+

+

-

-

-

-+

+

+

-

+-


dependiendodelainvestigaciónqueselogresllevaracabo,puedequeseanidentificadosono.Enelmodeloseleasignaunatasadecuarentena(0-1)queeslaproporcióndeéxitoenlaidentificacióndecontactos.

4. Los casos contacto de ser identificados, deben pasar a la situación de aislamiento preventivo ocuarentenable, en el que deben permanecer tantos días como marque el periodo de incubación de laenfermedad,antesdepresentarsíntomas.Estosdíassonfijadosporlatasadeincubaciónodíasdesalidadecuarentena.

5. Una proporción sospechosos en cuarentena desarrollarán la enfermedad, lo que obliga a su ingreso en laUAAN.Latasaqueseaplicadecontagiosidadeslamismaqueladelossusceptiblesnoidentificadosquesecontagianycontraenlaenfermedad.

6. Igualmente una proporción de contactos no identificados, desarrollarán la enfermedad y contribuirán agenerar nuevos contactos y nuevos casos. La tasa utilizada es la Tasa de contagio, por un lado y la decontactosporotro.

7. Casodehaber vacuna, tantomás casos se produzcan,mayor será la demandade vacunación, a lo que sedenominatensión,queobligaaprocederalacampañadevacunaciones.

8. En la UAAN, los enfermos pasarán básicamente por tres estadios, el basal, en el que son relativamenteautónomos,yprecisanasistenciamédicaycuidadosdeenfermeríarelativamenteasumibles.Elestadocrítico,donde presentan signos evidentes de agravamiento y peligro vital, y el estado de recuperación, una vezsuperada la fase crítica, en el que los niveles de asistencia vuelven a ser losmismos que en el caso de lasituaciónbasalinicial.

9. ElpersonalmédiconecesarioparaatenderalospacientesaisladosenlaUAANestáenfuncióndelnúmerodepacientes y de su situación clínica. Es aquí donde entra en juego dos variables de suma importancia, lacantidad de personal sanitario y lasmedidas de seguridad estrictas que han de cumplirse, y que en sanalógica,sondel100%(98%porquelaseguridadtotalnoexiste),yquepuedeversepeligrosamentedisminuidaen lamedidaenque aumentan los enfermos, se incrementael personal necesariopara atenderlos con suconsiguiente y peligroso “hacinamiento”, y el tiempo para llevar a cabo las tareas de descontaminaciónpersonalydelosinstrumentosutilizadoscomienzaadisminuir,porincrementarselademandadetareas.

10. Todoelloobligaaplanteardóndeseestablecelafronteraentreunasituaciónderiesgoámbar,asumibleylasiguientederiesgorojo,noasumible.Esteesunodelosobjetivosdeldesarrollodelmodelo.Cuáleselniveldeminoracióndelaseguridadasumible.

La credibilidad de este modelo es el resultado de dos factores críticos, el primero es su lógica, conseguidamedianteeladecuadoplanteamientodelasvariablesylasrelacionesrespectivas,representadasenelconjuntodeecuaciones. El segundo es el calibrado del modelo, representado por la fijación adecuada de las tasas oparámetros.

Se parte de una situación incómoda, que es la escasa o casi nula experiencia de una epidemia acaecida en unescenariosanitarioaltamentetecnificadoyconmúltiplesrecursosparaneutralizar lasamenazas.Enespecial, separteenelcasoconcretodelaUnidaddeaislamientodealtoniveldelHospitalCentraldelaDefensa,tansólodelcasoaisladodeÉbolatratadoenelHospitalCarlosIII,queenprincipionoesrepresentativodeestassituaciones.Portodoello,elcalibradodelmodeloesbásicamenteempírico,segúnlaopinióndelosexpertos.


#4.-Modelodinámico(DiagramadeForrester)

ElmodeloDSrepresentadoenestediagramadeForrestertieneparasucomprensióntresbloques,unoprincipalydossecundarios(pacientesypersonal)

El bloqueprincipal describe la secuenciade la enfermedad, desdeel caso cero, pasandopor todos los estadiosdescritoshastasuresolución,biencomorecuperadosofallecidos.

Loshospitalizadosenelmodeloseplanteansobretressituaciones“S1”soninfecciososenfaseinicialsindesarrollodeunaclínicaagravada.“S2”sonenfermosconunaclínicadegravedad,quenecesitancuidadoscríticos.“S3”sonenfermosquehansuperadoestafaseysesuponeentranensituaciónderecuperaciónhastaserdadosdealta.Elpersonalnecesarioparasucuidadoserádiferentesegúnelestadíoclínicoenelqueseencuentren.

Loselementosconfondogrissontasasoparámetrosconstantesquepermitencalibrarelmodelo.Loselementosamarillos son variables auxiliares. Loselementos vinculadosal símboloX, el grifo, son las variablesde flujoqueinducenlavariabilidaddelasvariablesdenivel.Entérminosanalíticos,lasquedeterminanlosincrementos(Δx)enfunción del tiempo (Δx/Δτ), y en el extremo, a efectos de integración (dx/dt). De este modo el proceso deintegraciónseconsiguemedianteelacoplamientodelasecuacionesdenivelydeflujo.

#5.-Sistemadeecuaciones

Paraelmodelo,existenenestecaso83funciones,bienseanvariablesdenivel,deflujo,auxiliares,tasasolímitesdetiempo.

Lasiguienterelaciónmuestraesteconjuntodefunciones:


Variablesauxiliares(01) A01horasdiariasdeatenciónS1=21*(L041HOSPITALIZADOSS1+L043HOSPITALIZADOSS3)^2+9*(L041HOSPITALIZADOSS1 +L043HOSPITALIZADOSS3)+178 Units:horasdiarias REM:Totaldehorasdecuidadosenplantaparaatenderaenfermosbasalesy=21x2+9x+178,R²=1.LafunciónpolinómicasehadeterminadodelosestudioselaboradosconelmodelodeactividaddeISDEFE.Cap25,#1Pacientesensituaciónbasal:Seanalizaelcasodelingresodepacientesen estadobasal,mediantelalíneadetendenciasepuedeestimarelpersonalnecesarioenfuncióndelnúmerodepacientes.Atendiendoaunnúmerodepersonalnecesariomáximodedicadode80personas(PersonalHCDGómezUlla),apartirdeestelímitesepasaríaaalertaroja.(02) A02personalnecesarioS1=A01horasdiariasdeatenciónS1/TShoraslaboralesporpersona Units:horasdiarias REM: personal necesario para atender a pacientes basales. Calculadomediante la ratio, horas necesarias entre horas de trabajodiariasdecadapersona(TShoraslaborablesporpersona)(03) A03horasdiariasatenciónS2=-50*L042HOSPITALIZADOSS2^2+400*L042HOSPITALIZADOSS2+TSPromedioatencióndiariaS2 Units:horasdiarias REM:Horastotalesdecuidadosenplantaparaenfermosencuidadoscríticosy=-50x2+400xR²=1(04) A04PersonalnecesarioS2=A03horasdiariasatenciónS2/TShoraslaboralesporpersona Units:Personalsanitario REM:personalnecesarioparaasistirenundíaapacientescríticos(05) A05Personaltotalteóricamentenecesario(A01horasdiariasdeatencionS1+A03horasdiariasatencionS2)/TShoras laboralesporpersona Units:Personalsanitario REM:Personalteóricamentenecesarioparaatenderalosenfermos(06) A06Personalporturno=A05Personaltotalteóricamentenecesario/3 Units:Personalsanitario REM:personaltotalteóricamentenecesarioporturno(tresturnosde8horasquecubren24horas)(07) A07Tensión=(LF01Contactos/L01SUSCEPTIBLES)*TSTasadevacunación Units:Dmnl REM:Seincluyelavariable“tensión”querecogelatasadevacunaciónyelcocienteenferman/susceptiblesLaformulabásicadelaspersonasvacunadasesigualalnúmerodepersonassusceptiblesmultiplicadoporlatasadevacunación(éstadependedeltipodeenfermedad, de factores culturales, etc.), es decir: vacunadas=susceptibles x tasa de vacunación. Deseamos introducir en esta ecuación elhechodequelaspersonassevacunanmáscuandopercibenqueexisteunriesgoimportantedecontraerlaenfermedad.Calculamosesteriesgocomoelcocienteenferman/susceptibles,queindicacuantaspersonasenfermanenrelaciónalacantidaddepersonasquepuedenenfermar.(08) A10 SEGURIDAD= if then else((TS Seguridad Cte A*A15 HOSPITALIZADOS^2+TS Seguridad Cte B*A15 HOSPITALIZADOS+TSSeguridadCteC)/100<0,0,(TSSeguridadCteA*A15HOSPITALIZADOS^2+TSSeguridadCteB*A15HOSPITALIZADOS+TSSeguridadCteC)/100) Units:Dmnl REM: Parábola inversa de seguridad. Se aplica la parábola inversa y=-AX^2+BX+C, bajo la hipótesis de que amayor cantidad depacientes ingresados, las tareasnecesitanhacerseconmayorceleridad loqueconllevaunriesgociertodedisminuciónde laseguridad,queafectaráalaseguridaddelpersonalsanitario,conposibilidaddequeentreél,surjancontagios.(09) A10bSEGURIDADEFECTIVA=ifthenelse(A10SEGURIDAD>0.8,1,A10SEGURIDAD*100) Units:Dmnl(10) A11MaximacapacidadPersonal=150 Units:Personalsanitario REM:Máximacapacidaddeoperatividadenplanta(tresturnos).Másalládelcual,seconsideralaplantainmanejableypeligrosaporrazonesdeseguridad.(11) A13AcumInfecciosos=INTEG(INTEGER(L03INFECCIOSOS),0) Units:personas (12) A14AcumSospechosos=INTEG(INTEGER(L02SOSPECHOSOS),0) Units:personas (13) A15HOSPITALIZADOS=L041HOSPITALIZADOSS1+L042HOSPITALIZADOSS2+L043HOSPITALIZADOSS3 Units:personasenUAAN REM:TotaldehospitalizadosenUAAN(14) A16hospitalizadosacumlulados=INTEG(+A15HOSPITALIZADOS,0)


Units:personasenUAAN REM:acumuladodepersonashosdpitalizadasenUAAMdurantelaepidemia.(15) A17HOSPITALIZADOSBASALES=L041HOSPITALIZADOSS1+L043HOSPITALIZADOSS3 Units:personasenUAAN REM:HospitalizadosenUAAMensituaciónbasal,previayporterioralestadocrítico(16) A18TOTALPOBLACION=L03INFECCIOSOS+L05FALLECIDOS+L01SUSCEPTIBLES+L02SOSPECHOSOS+L041HOSPITALIZADOSS1 Units:personas REM:Poblacióntotalentodaslascategoríasposibles.(17) A19Personalnecesarioenplanta=ifthenelse(L11PERSONALSANITARIO>TSMinpersonalnecesario,TSMinpersonalnecesario ,((TSMinpersonalnecesario+A20Excesodepersonalsanitario+L11PERSONALSANITARIO))) Units:Personalsanitario REM:Personalquesenecesitaríatenerparaatenderatodoslos pacientesingresados.EsunnúmeroteóricosisuperaelmáximoadmisibledefinidoenA11Maximacapacidaddepersonal(18) A19bTotalpersonalsanitario=ifthenelse(A19Personalnecesarioenplanta>A11MaximacapacidadPersonal ,A11MaximacapacidadPersonal,A19Personalnecesarioenplanta) Units:Personalsanitario REM:personalquedebiendosetener,nopuedetrabajarporimposibilidaddematerialyespacio.(19) A20Excesodepersonalsanitario=A05Personaltotalteoricamentenecesario-L11PERSONALSANITARIO Units:Personalsanitario REM:personalquedebiendosetener,nopuedetrabajarpor imposibilidaddematerialyespacio.(21) A22Maxpersonalsanitario=MAX(A11MaximacapacidadPersonal,L11PERSONALSANITARIO) Units:Personalsanitario REM:elmáximoentrelaplantillanecesariaylamáximaadmisible(22) A26AcumPersonalsospechoso=INTEG(LFHPersonalSospechoso,0) Units:Personalsanitario REM:Acumuladodepersonalsanitarioprobablementeinfectado(23) A27Overbooking=A15HOSPITALIZADOS-16 Units:camas REM:Sobrecapacidaddelhospitalporencimadelas16camas(24) Acum2=ifthenelse(A15HOSPITALIZADOS<1,0,A15HOSPITALIZADOS) Units:**undefined** (25) ACUMcontagiados= ifthenelse(L084BLESCONTAGIOSOS<1,0,L084BLESCONTAGIOSOS) Units:**undefined**

Horizontetemporal(26) FINALTIME=365 Units:Day Thefinaltimeforthesimulation.(27) INITIALTIME=0 Units:Day Theinitialtimeforthesimulation.

Variablesdenivel(28) L01SUSCEPTIBLES=INTEG(INTEGER(-LF01Contactos-LF14Vacunados),10000) Units:personas REM:Poblacióngeneralsusceptibledecontraerlaenfermedad(29) L02SOSPECHOSOS=INTEG(LF01Contactos-LF02nuevoscasos-LF11Nuevosaislados,0) Units:personas REM: Aquellas personas que han entrado en contacto con un enfermo contagioso, pero aún no son sintomáticos ni presentanpruebasquepuedanconfirmarlaenfermedad.(30) L03 INFECCIOSOS= INTEG ((LF02 nuevos casos+LF03 Importados)-(LF05 Defunciones+LF10 Recuperados+LF04 Ingresoshospitalarios),0) Units:personas REM:Personassintomáticasdelaenfermedadyquepuedentrasmitirla(31) L041HOSPITALIZADOSS1=INTEG(LF04Ingresoshospitalarios+LF15Ingresos4ble-"LF06PasoS1-S2"-LF15AltascuraciónS1,0)


Units:personasenUAAN REM:HospitalizadosenUAANenestadio1.basal:Esautónomoypuedemoverseyalimentarseporsímismo.(32) L042HOSPITALIZADOSS2=INTEG("LF06PasoS1-S2"-(LF09MortalidadS2+"LF07PasoS2-S3"),0) Units:personasenUAAN REM: Pacientes hospitalizados enUAAN en estado crítico. Requiere de sonda nasogástrica para alimentarse, lo que requiere deintervencióndeenfermeríaparacambiodedichaalimentacióncada6horas.(33) L043HOSPITALIZADOSS3=INTEG("LF07PasoS2-S3"+LF15AltascuraciónS1-LF08AltascuracionS3,0) Units:personasenUAAN REM:HospitalizadosenUAAN,enfasederecuperación.Vuelvenaestarenestadobasal.Sonautónomos.Tambiénentranenestenivellosenfermosquenohanentradoenfasecrítica.(34) L05FALLECIDOS=INTEG(+LF05Defunciones+LF09MortalidadS2,0) Units:personas REM:Personasquehanmuertoporcausadelaenfermedad(35) L06RECUPERADOS=INTEG(LF08AltascuraciónS3+LF10Recuperados+LF14Vacunados+LF08AltascuracionS3,0) Units:personas REM:Personasqueconsiguensuperarlaenfermedad.(36) L07CUARENTENABLES=INTEG(LF11Nuevosaislados-(LF12Salidas40a+LF13Ingresos4bles),0) Units:personas REM:Personassometidasaaislamientobajosospechadehaber entradoencontactoconenfermoscontagiados.(37) L084BLESCONTAGIOSOS=INTEG(INTEGER(LF13Ingresos4bles-LF15Ingresos4ble),0) Units:personas REM:Personasquedurantelacuarentenahancontraidolaenfermedad,ypasanafasedecontagiosidad.Debenser hospitalizadosenunidadesdeaislamientodealtonivel(UAAN)(38) L09Salidoscuarentena=INTEG(LF12Salidas40a,0) Units:personas REM:personassometidosacuarentena,quetrassuperarla,nohanmanifestadosíntomaalgunodelaenfermedad.(39) L10Acum4blecontagiados=INTEG(L084BLESCONTAGIOSOS,0) Units:personas REM:Acumuladosdecuarentenablesquehancontraídolaenfermedad(40) L11PERSONALSANITARIO=INTEG(LFHNuevopersonal-LFHPersonalSospechoso,40) Units:Personalsanitario[40,150] REM:Personalquesenecesitaenplantaparaatenderalospacientes.Hayunmínimode40personasyunmáximode150.

Variablesdeflujo(41) LF01Contactos=ifthenelse(L01SUSCEPTIBLES<=0,0,(TSTasadecontacto*L03INFECCIOSOS)) Units:personas REM:NúmerodeposiblescontagiosquesedanenlapoblaciónporUdeT(42) LF02nuevoscasos=INTEGER(L02SOSPECHOSOS*TSTasadecontagio/TSPeriododeincubacion) Units:personas REM:NuevoscasosdeentrelossospechososporUdT(43) LF03Importados=PULSE(10,1)*1 Units:personas REM:Casosquesurgenenlacomunidad.Sedesconoceelorigen,perosoncasoscerodesdedondesepropagarálaepidemia.(44) LF04Ingresoshospitalarios=L03INFECCIOSOS*TSTasadehospitalización Units:personasenUAAN REM:CasosingresadosenUnidadesdeAislamientodeAltoNivel(UAAN)porUdT(45) LF05Defunciones=INTEGER(L03INFECCIOSOS*TSTasademortalidad/TSduracionenfermedad) Units:personas REM:FallecidossinseratendidosenhospitalesporUdeT(46) "LF06PasoS1-S2"=(L041HOSPITALIZADOSS1*TSTasadeagravamiento)/TSEMS1 Units:personasenUAAN REM:PacientesingresadosenUAANquepasanalafasecríticadelaenfermedad.porUdT(47) "LF07PasoS2-S3"=(L042HOSPITALIZADOSS2*TSTasaderecuperacion)/TSEMS2 Units:personasenUAAN


REM:PacientescríticosquesuperanestafaseypasanaladerecuperaciónfinaldelaenfermedadporUdT(48) LF08AltascuracionS3=ABS(L043HOSPITALIZADOSS3/TSEM3) Units:personasenUAAN

REM:pacienteshospitalizadosenUAAN,que traspadecer la enfermedad incluida la fase crítica, han conseguido superarla y sondadosdealtaporUdT

(49) LF09MortalidadS2=(L042HOSPITALIZADOSS2*(1-TSTasaderecuperacion))/TSEMS2 Units:personasenUAAN REM:PacientesquemuerenenestadocríticoenelUAAN(50) LF10Recuperados=ifthenelse((L03INFECCIOSOS)<=0,0,(L03INFECCIOSOS*(1-TSTasademortalidad )/TSduracionenfermedad)) Units:personas

REM:Persunasqueserecuperantrascontraerlaenfermedaddespuésdepadecerla,duranteuntiempodeterminado,yporUdT.(51) LF11Nuevosaislados=L02SOSPECHOSOS*TSCuarentena Units:personas REM:PersonassometidasaaislamientodecuarentenaporUdT(52) LF12Salidas40a=L07CUARENTENABLES/TSTasadesalidacuarentena Units:personas REM:Personascuarentenablesquesalendeellasinsíntomas,porUdT(53) LF13Ingresos4bles= INTEGER(L07CUARENTENABLES*TSTasadecontagio Units:personas REM:Ingresoshospitalariosdepersonasencuarentena,queterminanmanifestandosíntomasdelaenfermedad,porUdT.(54) LF14Vacunados=L01SUSCEPTIBLES*A07Tensión Units:personas REM:PersonasvacunadasporUdT(55) LF15AltascuraciónS1=L041HOSPITALIZADOSS1*TSCuracionS1 Units:personasenUAAN REMPacientesquesuperanlaenfermedadsinentrarenlafasecríticaporUdT(56) LF15Ingresos4ble=L084BLESCONTAGIOSOS Units:personas REM:PersonasencuarentenaquesufriendosíntomassoningresadosenUAANporUdT(57) LFH Nuevo personal= if then else(((A11 Maxima capacidad Personal-L11 PERSONAL SANITARIO)/A11 Maxima capacidadPersonal)<1,0,(A11MaximacapacidadPersonal-L11PERSONALSANITARIO)/A11MaximacapacidadPersonal) Units:Personalsanitario REM:Máximopersonaladmisibleenplanta,porencimadelcual,se producen colisiones de actividades incompatibles con unamínimacalidaddelaasistencia.porUdT(58) LFHPersonalSospechoso=L11PERSONALSANITARIO*((1-A10SEGURIDAD)/10) Units:Personalsanitario

Incrementosdetiempo(59) SAVEPER=TIMESTEP Units:Day[0,?] Thefrequencywithwhichoutputisstored.(60) TIMESTEP=1 Units:Day[0,?] Thetimestepforthesimulation.

Tasasoparámetrosconstantes(61) TSCuarentena=1 Units:Dmnl REM:Tasadeaislamiento(0a1)0=nosesometeaaislamientoanadie,1=sesometeaaislamientoatodosospechoso.(62) TSCuracionS1=0.4 Units:Dmnl REM:Tasadecuraciónhabiendoevitadolafasecrítica(63) TSduracionenfermedad=7 Units:Day


REM:Duracióndelaenfermedadtraslacual,sinseratendido,elenfermomuereoserecupera(64) TSEMS1=7 Units:Day REM:Estanciamediaenestadoinicialbasal(65) TSEMS2=7 Units:Dmnl REM:Estanciamediaenestadocrítico(66) TSEM3=7 Units:Dmnl REM:Estanciamediaenestadoderecuperación(67) TShoraslaboralesporpersona=8 Units:horasdiarias REM:Jornadalaboraldelpersonal(8horasporturno)(68) TSMinpersonalnecesario=40 Units:Personalsanitario REM:plantillamínimadelaplantasumadoslostresturnos(69) TSPeriododeincubación=10 Units:Day REM:Periodoenelqueunsospechosopuedecontraderlaenfermedadendías(70) TSpromedioatencióndiariaS1=0 Units:horasdiarias REM:Horasdiariastotalesqueunpacienteenestadobasalnecesitademédicos,enfermeros,auxialesylimpiadoresy=21x2+9x+178R²=1(208-280-394):Seanalizaelcasodelingresodepacientesenestadobasal,mediantelalíneadetendenciasepuedeestimarelpersonalnecesarioen funcióndelnúmerodepacientes.Atendiendoaunnúmerodepersonalnecesariomáximodedicadode80personas(PersonalHCDGómezUlla),apartirdeestelímitesepasaríaaalertaroja.(71) TSPromedioatencióndiariaS2=0 Units:horasdiarias REM:Mediadiariadetiempodeatenciónquerequiereunenfermoenestadocríticoy=-50x2+400xR²=1(72) TSSeguridadCteA= -0.01 Units:Dmnl REM:CteAdelaparábolainversadeseguridad(73) TSSeguridadCteB= 0.01 Units:Dmnl REM:CteBdelaparábolainversadeseguridad(74) TSSeguridadCteC= 1 Units:Dmnl REM:CteCdelaparábolainversadeseguridad(75) TSTasadeagravamiento=0.5 Units:Dmnl REM:Porcentajedepacientesqueseagravan(0.5=50%)(76) TSTasadeCamasdeaislamiento=8 Units:**Dmnl** Camasdisponiblesparaingresodealtaseguridad(77) TSTasadecontacto=10 Units:personas REM: Es la media de contactos que establece diariamente un contagioso con personas sanas y que pueden contraer, o no, laenfermedad(78) TSTasadecontagio=0.1 Units:Dmnl REM:CTe.Porcentajedesospechososquecontraenlaenfermedadentantosporuno.(79) TSTasadehospitalización=1 Units:Dmnl REM:PorcentajedepacientescontagiososqueingresanenUAAN(tantosporuno)(80) TSTasademortalidad=0.9


Units:Dmnl REM:Letalidaddelaenfermedadsinasistenciasanitaria(tantos poruno)(81) TSTasaderecuperacion=0.5 Units:Dmnl REM:Cte.Porcentajedepacientesquesuperanlaenfermedad(tantosporuno)(82) TSTasadesalidacuarentena=42 Units:Day REM:Tempodepermanenciaenaislamiento(83) TSTasadevacunación=0 Units:Dmnl REM:Cte.quedeterminaelporcentajedepersonasalasqueselesadministralavacunacontralaenfermedad.(84) TSxcasosimportados=1 Units:personas

#6.-ResultadosdelassimulacionesSe ejecuta con la siguiente calibración, con un horizonte temporal de 365 días y una población susceptible de10.000habitantes.

Tasasoparámetrosconstantes(57) TSCuarentena=1(58) TSCuraciónS1=0.4(59) TSduraciónenfermedad=7(60) TSEMS1=7(61) TSEMS2=7(62) TSEMS3=7(63) TShoraslaboralesporpersona=8(64) TSMinpersonalnecesario=40(65) TSPeriododeincubación=10(66) TSpromedioatencióndiariaS1=0(67) TSPromedioatencióndiariaS2=0(68) TSSeguridadCteA= -0.1(69) TSSeguridadCteB= 0,1(70) TSSeguridadCteC= 1(71) TSTasadeagravamiento=0.5(72) TSTasadecontacto=10(73) TSTasadecontagio=0.1(74) TSTasadehospitalización=1(75) TSTasademortalidad=0.9(76) TSTasaderecuperación=0.5(77) TSTasadesalidacuarentena=42(78) TSTasadevacunación=0

Lasvariablesdenivelsecomportandelsiguientemodo:

De 10.000disminuyena9987al los


ciendíasdeiniciadalaepidemia.

Elcasocerosedaeneldécimodíadelasimulación,ynoseregistraningúncasomássinatenciónmédica.

Sedandiezcontactoseneldía11,traslaentradaenlacomunidaddelcasocero,ynuncamássevuelvearegistrarnuevos contactos provocados por este caso. Estos contactos se aíslan inmediatamente como sospechosos,pasandoacuarentenables.


Debidoaltiempodecuarentenapermanecenenestasituaciónhastaendía32.Uncasocontraelaenfermedad,el10%segúnlatasadecontagio.

Estegráficomuestralosingresadosenlastressituacionesclínicas,basal,críticosyenrecuperación.

En relación al personal, se ha tomado en cuenta los cálculos de horas necesarias por paciente realizados porISDEFE,en relacióna losmetros cuadradosde las zonas comunesde laPlanta22,en tornoa600m2de zonascomunes.

Elresultadoeselsiguiente.

Enesencia,conlosparámetrosutilizados,tansólosenecesitaríaunincrementorelativodepersonalparaatenderalosdoscasosqueingresanentrelosdías10y20delasimulación.

El simuladorutilizado,VensimPlus®permitepoderverdemodorazonablementepanorámicovariosescenarios,medianteeldiseñodegráficosmúltiplesconposibilidadderegulardiferentesparámetrosparacomprobarcómosecomportaelmodelosintenerquerepetirlassimulacionesmodificandounoaunocadaparámetro.

Elresultadoconjuntoeseldelsiguientegráfico.


Escenario1:Camasdeaislamiento=8

Este seríael escenario ideal enelque seprocedeal aislamientode los sospechosose ingreso inmediatode losinfecciosos,quearrojan,con lacontagiosidaddeterminada,tres infectadosytreintasospechosos,dosfallecidos,18 recuperados, 22 cuarentenados y 9 hospitalizados. La Planta UAAN, alcanzaría un máximo de 10 camasocupadas,perolaseguridaddelpersonalcaeríademodoconsiderable,siendoelpersonalsanitarioelrealmenteexpuestoalcontagio.

Por último, la posibilidad de efectuar un análisis estocástico del modelo, permite conocer la dispersión de larespuestadelasdiferentesvariables,enfuncióndelavariabilidaddelastasasyvariablesauxiliaresquesedesee.

Enestecaso,simulandolavariabilidaddelatasadecontactosentre8,y12,elresultadoeselsiguienteenrelaciónaloshospitalizados.

Elgráficorepresenta200simulacionesconvariabilidadentre8a12detasadecontactos.

Lasposibilidadesdesimulaciónvariandolastasasylosescenariosinicialessonprácticamenteilimitadas.

Estosgráficosmuestranprobabilidadesdesde50%a100%.


Escenarioscomparados:tasadeincubación10y5yenelsegundoescenariolascamasseaumentana16

Si se reduce la tasade incubacióna5díasantesdel rescatede los infectadosencuarentena, los resultadoquemuestraelmodelosonlossiguientes(simulacióninicial“Current”enrojoylasegunda“Current2”enazul).

En estas circunstancias, el personal necesario en la fase crítica ascendería a 500 personas, la planta estaríasaturada,tantodeenfermoscomodepersonal,ylosnivelesdeseguridadbajaríanalarmantemente,porloqueelriesgodecontagiodelpersonalsanitariocreceríadeunaformamuypreocupante.

9. DiscusiónLosmodelosdinámicos,paraquefuncionenrequierenquesecumplandoscondicionesesenciales,laprimera,quelalógicaderelacionesseacorrecta,loquevienedadoporeldiagramadeForresteryelconjuntodeecuacionesenelquesebasaelmodelo.

La segunda condición es la calibración, lo que viene dado por las tasas (o valores constantes) y las variablesauxiliares,queafectandirectamentealcomportamientodelosflujosyestosaldelosniveles.

Tanto las tasas como las variables auxiliares necesitan basarse en algún supuesto que tenga sentido para losexpertos,delocontrario,elmodelo,aunbiendiseñado,alestarmalcalibrado,arrojaráresultadosabsurdosonopredeciblesdemodoempírico.

Enelcasodelmodelo“Epidemias”,desarrollado,ysuaplicaciónalaepidemiadeÉbolaactual,nosetienenseriesestadísticasenlasquebasarlacalibracióndedeterminadastasas.UnadeellaeselcomportamientodelpersonaldelaUAAN.

ElobjetivodeestemodeloespredecirlacapacidadfuncionaldelaUAAN,peronohayexperienciapreviasalvoladelHospitalCarlosIIIapropósitodetrescasos,queaefectosprácticossereducealúltimoregistrado.

Uncapítuloimportantees,primerolacapacidaddeactuacióndehastacuantopersonalesposible.


En esta versión del modelo, se ha supuesto que la seguridad está en función inversamente proporcional a lacantidaddeenfermosaatender,peronounmodonolineal.Elsupuestoincorporaunafunciónparabólicadeltipoy=-0,01x2+0,01x+1,quemuestralasiguientegráfica.

Elsupuestoqueseasumeesquelaseguridadcaeráenfuncióndelnúmerodepacientes,dadoqueseincrementael número de personal que ha de trabajar simultáneamente e inevitablemente es imposible respetar elcumplimientoestrictodetodaslasnormasdeseguridad.

Estosyotrosmuchossupuestoshayquereconsiderarparaconseguirqueelmodelotengarealmenteutilidad.

10.BIBLIOGRAFÍA

• AbbeyH.1952.AnexaminationoftheReed-Frosttheoryofepidemics.Hum.Biol.3:201• García Piñera A. Modelos de ecuaciones diferenciales para la propagación de

enfermedadesinfecciosas.Univ.Cantabria.Tesisdoctoral.2014

BibliografíasobreDinámicadeSistemas1. ARACILJ.IntroducciónalaDinámicadeSistemas.Ed.AlianzaeditorialAU.Textos.Madrid19922. BERTALANFFYL.W.(1)PerspectivasenlaTeoríaGeneraldeSistemas.AlianzaEditorial.Madrid19823. BERTALLANFFYL.W.(2)Teoríageneraldelossistemas.Ed.Fondodeculturaeconómica.Madrid19764. BERTALLANFFYL.W.(3)TendenciasenlaTeoríaGeneraldeSistemas.AlianzaEditorialMadrid1981.5. CHORAFASD.N.SystemsandSimulation.AcademicPress.London19656. CREUSA.SimulaciónyControldeProcesosporOrdenadorEd.Marcombo.Madrid19877. DELGADOGUTIERREZJ.A (1).Análisisdinámicodeorganizacionessanitarias.Trabajodefindecursodel

MásterdeAdministraciónyDireccióndeServiciosSanitarios(ICADE,Madrid.19958. DELGADOGUTIERREZ J.A. (2)De laRivaGrandal J.M. Teoríade Sistemas y su aplicación a laMedicina.

MedicinaMilitar43:2;1987.140-1479. DELGADO GUTIERREZ J.A. (3) Vigilancia Epidemiológica Infomatizada de la infeccion nosocomial y su

aplicaciónalaPolíticadeAntibióticos.TesisDoctoral.UniversidadAutónoma.Madrid198710. DELGADOGUTIERREZJ.A.(4)DominguezRojasV.GilMiguelA.DamasoLópezD.Infeccioneshospitalarias.

Modelosdinámicosbásicos.Rev.Esp.Microb.Clin.Vol4.79-85,198911. FORRESTERJ.(1)IndustrialDynamics.TheMITPress.Massachusets196112. FORRESTER J. (2) Market Growth as influenced by Capital Investment. En Robert E. Managerial

ApplicationsofSystemDynamics.Pag205-228.TheMITPress.Massachusets198413. FORRESTERJ.(3)UrbanDynamics.TheMITPress.Massachusets.196914. FORRESTERJ.(4)WorldDynamics.Wright-AllenPress.Cambridge197115. MEADOWSD.L.LoslímitesdelCrecimiento.FondodeCulturaEconómica.Mexico197216. MEADOWSH.etal.MásalládeloslímitesdelCrecimiento.Ed.Aguilar.Madrid1992


17. MESAROVICM.PESTELE.Lahumanidadenlaencricijada.FondodeCulturaEconómica.Madrid197418. OJEDAAVILESA.Análisisdecostesdeuncentrohospitalar4io.Sevilla199219. SENGEP.Laquintadisciplina.EditorialGranica,Barcelona199920. SHANNONR.SystemSimulation.PrenticeHallInc.NewJersey197521. SINGHJ.Teoríadelainformación,dellenguajeydelacibernética.AlianzaEditorial.AU29.Madrid1979.22. TAMAMESR.EcologíayDesarrollo.AlianzaEditorial.Madrid1978

*

dinámica de sistemas aplicada en la epidemiologíaaramosol/texto-josealfonsodelgado-2018.pdf ·...

Documents