Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioniLaurea Triennale - Prova finale

Candidato: Francesco GiordanoRelatore: Prof.ssa Lea Terracini

17 aprile 2012

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Introduzione

In questa presentazione vogliamo illustrare comeestendere alcune proprieta delle funzioni L diDirichlet alle serie di Dirichlet periodiche.

A questo scopo faremo uso di alcuni strumentialgebrici che descriveremo brevemente

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni aritmetiche

Si dice funzione aritmetica una funzione

f : N→ C

Denotiamo con A l’insieme delle funzioni aritmeticheCon le operazioni di

somma(f + g)(n) := f (n) + g(n)

e di prodotto, detto di convoluzione

(f ∗ g)(n) :=∑dd ′=n

f (d)g(d ′)

A prende nome di Anello di Dirichlet

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni aritmetiche

Si dice funzione aritmetica una funzione

f : N→ C

Denotiamo con A l’insieme delle funzioni aritmeticheCon le operazioni di

somma(f + g)(n) := f (n) + g(n)

e di prodotto, detto di convoluzione

(f ∗ g)(n) :=∑dd ′=n

f (d)g(d ′)

A prende nome di Anello di Dirichlet

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni aritmetiche

Si dice funzione aritmetica una funzione

f : N→ C

Denotiamo con A l’insieme delle funzioni aritmeticheCon le operazioni di

somma(f + g)(n) := f (n) + g(n)

e di prodotto, detto di convoluzione

(f ∗ g)(n) :=∑dd ′=n

f (d)g(d ′)

A prende nome di Anello di Dirichlet

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

L’anello di Dirichlet

(A,+, ∗) e un anello

commutativo con identita e tale che

e(1) = 1 e(n) = 0 se n > 1

se f (1) 6= 0 esiste g ∈ A tale che f ∗ g = e

A inoltre e spazio vettoriale complesso con il prodottoesterno λ · f (n) = λf (n)

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

L’anello di Dirichlet

(A,+, ∗) e un anello

commutativo con identita e tale che

e(1) = 1 e(n) = 0 se n > 1

se f (1) 6= 0 esiste g ∈ A tale che f ∗ g = e

A inoltre e spazio vettoriale complesso con il prodottoesterno λ · f (n) = λf (n)

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

L’anello di Dirichlet

(A,+, ∗) e un anello

commutativo con identita e tale che

e(1) = 1 e(n) = 0 se n > 1

se f (1) 6= 0 esiste g ∈ A tale che f ∗ g = e

A inoltre e spazio vettoriale complesso con il prodottoesterno λ · f (n) = λf (n)

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Serie di Dirichlet

Data una f.a. f ∈ A, possiamo associarle una serie di Dirichlet

+∞∑n=1

f (n)

ns

Si giustifica cosı la definizione di prodotto di convoluzione

+∞∑n=1

f (n)

ns

+∞∑n=1

g(n)

ns=

+∞∑n=1

1

ns

∑dd ′=n

f (d)g(d ′) =+∞∑n=1

(f ∗ g)(n)

ns

Se denotiamo con D l’insieme delle serie di Dirichlet, allora eevidente che

A ' D

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Serie di Dirichlet

Data una f.a. f ∈ A, possiamo associarle una serie di Dirichlet

+∞∑n=1

f (n)

ns

Si giustifica cosı la definizione di prodotto di convoluzione

+∞∑n=1

f (n)

ns

+∞∑n=1

g(n)

ns=

+∞∑n=1

1

ns

∑dd ′=n

f (d)g(d ′) =+∞∑n=1

(f ∗ g)(n)

ns

Se denotiamo con D l’insieme delle serie di Dirichlet, allora eevidente che

A ' D

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Serie di Dirichlet

Data una f.a. f ∈ A, possiamo associarle una serie di Dirichlet

+∞∑n=1

f (n)

ns

Si giustifica cosı la definizione di prodotto di convoluzione

+∞∑n=1

f (n)

ns

+∞∑n=1

g(n)

ns=

+∞∑n=1

1

ns

∑dd ′=n

f (d)g(d ′) =+∞∑n=1

(f ∗ g)(n)

ns

Se denotiamo con D l’insieme delle serie di Dirichlet, allora eevidente che

A ' D

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Serie di Dirichlet

Se interpretiamo s come variabile complessa, allora una seriedi Dirichlet diventa una funzione

F : X ⊆ C→ C F (s) :=+∞∑n=1

f (n)

ns

dove X e l’insieme di convergenza della serie

In generale, se f ∈ O(nk), allora la serie convergeassolutamente per Re(s) > 1 + k

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Serie di Dirichlet

Se interpretiamo s come variabile complessa, allora una seriedi Dirichlet diventa una funzione

F : X ⊆ C→ C F (s) :=+∞∑n=1

f (n)

ns

dove X e l’insieme di convergenza della serie

In generale, se f ∈ O(nk), allora la serie convergeassolutamente per Re(s) > 1 + k

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1

La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche

(f ∗ g)(n) f −1∗(n)

sono moltiplicative

Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1

La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche

(f ∗ g)(n) f −1∗(n)

sono moltiplicative

Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1

La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche

(f ∗ g)(n) f −1∗(n)

sono moltiplicative

Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1

La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche

(f ∗ g)(n) f −1∗(n)

sono moltiplicative

Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1

La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche

(f ∗ g)(n) f −1∗(n)

sono moltiplicative

Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni completamente moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N

La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa

f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario

Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni completamente moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N

La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa

f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario

Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni completamente moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N

La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa

f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario

Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni completamente moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N

La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa

f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario

Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni completamente moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N

La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa

f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario

Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni completamente moltiplicative

Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N

La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.

Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa

f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario

Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Prodotti di Eulero

Se f ∈ A e moltiplicativa, allora, nel semipiano diconvergenza assoluta, la serie di Dirichlet associata eesprimibile come prodotto di Eulero

F (s) :=+∞∑n=1

f (n)

ns=∏p∈P

(+∞∑k=1

f (pk)

pks

)

Se f ∈ A e completamente moltiplicativa, allora il prodotto diEulero assume la forma

F (s) :=+∞∑n=1

f (n)

ns=∏p∈P

(1− f (p)

ps

)−1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Prodotti di Eulero

Se f ∈ A e moltiplicativa, allora, nel semipiano diconvergenza assoluta, la serie di Dirichlet associata eesprimibile come prodotto di Eulero

F (s) :=+∞∑n=1

f (n)

ns=∏p∈P

(+∞∑k=1

f (pk)

pks

)

Se f ∈ A e completamente moltiplicativa, allora il prodotto diEulero assume la forma

F (s) :=+∞∑n=1

f (n)

ns=∏p∈P

(1− f (p)

ps

)−1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni periodiche

Una f. a. ∈ A si dice periodica se ∃q ∈ N tale che

f (n + q) = f (n) ∀n ∈ N

Denotiamo con S l’insieme delle f.a. periodiche, e con Sql’insieme delle f.a. periodiche di periodo q, allora S e Sq sonosottospazi vettoriali di ALa base canonica di Sq e data dalle f.a. sj ,q tali che

sj ,q(n) = 1 se n ≡ j (mod q); sj ,q(n) = 0 altrimenti

Risulta ⋃q≥1Sq = S

pertanto gli sj ,q generano S

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni periodiche

Una f. a. ∈ A si dice periodica se ∃q ∈ N tale che

f (n + q) = f (n) ∀n ∈ N

Denotiamo con S l’insieme delle f.a. periodiche, e con Sql’insieme delle f.a. periodiche di periodo q, allora S e Sq sonosottospazi vettoriali di ALa base canonica di Sq e data dalle f.a. sj ,q tali che

sj ,q(n) = 1 se n ≡ j (mod q); sj ,q(n) = 0 altrimenti

Risulta ⋃q≥1Sq = S

pertanto gli sj ,q generano S

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni periodiche

Una f. a. ∈ A si dice periodica se ∃q ∈ N tale che

f (n + q) = f (n) ∀n ∈ N

Denotiamo con S l’insieme delle f.a. periodiche, e con Sql’insieme delle f.a. periodiche di periodo q, allora S e Sq sonosottospazi vettoriali di ALa base canonica di Sq e data dalle f.a. sj ,q tali che

sj ,q(n) = 1 se n ≡ j (mod q); sj ,q(n) = 0 altrimenti

Risulta ⋃q≥1Sq = S

pertanto gli sj ,q generano S

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Polinomi

Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N

Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che

ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i

Risulta ⋃k≥1Pk = P

pertanto gli ei generano P

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Polinomi

Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N

Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che

ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i

Risulta ⋃k≥1Pk = P

pertanto gli ei generano P

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Polinomi

Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N

Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che

ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i

Risulta ⋃k≥1Pk = P

pertanto gli ei generano P

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Polinomi

Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N

Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che

ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i

Risulta ⋃k≥1Pk = P

pertanto gli ei generano P

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri di Dirichlet

Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo

χ : Z∗q → C∗

estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1

e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)

Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere

completamente moltiplicativa

periodica di periodo q

nulla sse (n, q) > 1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri di Dirichlet

Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo

χ : Z∗q → C∗

estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1

e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)

Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere

completamente moltiplicativa

periodica di periodo q

nulla sse (n, q) > 1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri di Dirichlet

Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo

χ : Z∗q → C∗

estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1

e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)

Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere

completamente moltiplicativa

periodica di periodo q

nulla sse (n, q) > 1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri di Dirichlet

Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo

χ : Z∗q → C∗

estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1

e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)

Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere

completamente moltiplicativa

periodica di periodo q

nulla sse (n, q) > 1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri di Dirichlet

Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo

χ : Z∗q → C∗

estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1

e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)

Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere

completamente moltiplicativa

periodica di periodo q

nulla sse (n, q) > 1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri di Dirichlet

Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo

χ : Z∗q → C∗

estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1

e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)

Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere

completamente moltiplicativa

periodica di periodo q

nulla sse (n, q) > 1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri di Dirichlet

Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo

χ : Z∗q → C∗

estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1

e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)

Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere

completamente moltiplicativa

periodica di periodo q

nulla sse (n, q) > 1

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Proprieta dei caratteri

Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1

Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita

Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto

χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)

allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq

0 tale che

χq0(n) =

1 se (n, q) = 10 altrimenti

L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Proprieta dei caratteri

Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1

Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita

Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto

χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)

allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq

0 tale che

χq0(n) =

1 se (n, q) = 10 altrimenti

L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Proprieta dei caratteri

Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1

Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita

Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto

χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)

allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq

0 tale che

χq0(n) =

1 se (n, q) = 10 altrimenti

L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Proprieta dei caratteri

Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1

Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita

Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto

χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)

allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq

0 tale che

χq0(n) =

1 se (n, q) = 10 altrimenti

L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Proprieta dei caratteri

Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1

Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita

Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto

χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)

allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq

0 tale che

χq0(n) =

1 se (n, q) = 10 altrimenti

L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Leggi di Ortogonalita

∑a∈Z∗q

χ(a) =

ϕ(q) se χ = χ0

0 altrimenti

∑χ∈Kq

χ(a) =

ϕ(q) se a = 10 altrimenti

χq ·Θq :=

q∑n=1

χ(n)Θ(n) =

ϕ(q) se χ = Θ0 altrimenti

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri primitivi

Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q

χq(n) =

χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti

In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq

0

Se d = q allora χq si dice primitivo

Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq

l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri primitivi

Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q

χq(n) =

χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti

In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq

0

Se d = q allora χq si dice primitivo

Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq

l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri primitivi

Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q

χq(n) =

χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti

In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq

0

Se d = q allora χq si dice primitivo

Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq

l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Caratteri primitivi

Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q

χq(n) =

χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti

In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq

0

Se d = q allora χq si dice primitivo

Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq

l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni L di Dirichlet

Una serie di Dirichlet associata a un carattere χ e dettafunzione L di Dirichlet e si denota con

L(χ, s) =+∞∑n=1

χ(n)

ns

Sia ψm un carattere primitivo che induce χq. Allora risulta

L(χq, s) = L(ψm, s)∏p|q

(1− ψm(p)

ps

)

Inoltre le funzioni L di Dirichlet associate a un carattereprimitivo ψm soddisfano l’equazione funzionale

L(ψm, s) =τ(ψm)

iaq1/2

(π

q

)s−1/2 Γ(1−s+a2 )

Γ( s+a2 )

L(ψm, 1− s)

che permette di estendere meromorficamente L a tutto ilpiano complesso.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni L di Dirichlet

Una serie di Dirichlet associata a un carattere χ e dettafunzione L di Dirichlet e si denota con

L(χ, s) =+∞∑n=1

χ(n)

ns

Sia ψm un carattere primitivo che induce χq. Allora risulta

L(χq, s) = L(ψm, s)∏p|q

(1− ψm(p)

ps

)

Inoltre le funzioni L di Dirichlet associate a un carattereprimitivo ψm soddisfano l’equazione funzionale

L(ψm, s) =τ(ψm)

iaq1/2

(π

q

)s−1/2 Γ(1−s+a2 )

Γ( s+a2 )

L(ψm, 1− s)

che permette di estendere meromorficamente L a tutto ilpiano complesso.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Funzioni L di Dirichlet

Una serie di Dirichlet associata a un carattere χ e dettafunzione L di Dirichlet e si denota con

L(χ, s) =+∞∑n=1

χ(n)

ns

Sia ψm un carattere primitivo che induce χq. Allora risulta

L(χq, s) = L(ψm, s)∏p|q

(1− ψm(p)

ps

)

Inoltre le funzioni L di Dirichlet associate a un carattereprimitivo ψm soddisfano l’equazione funzionale

L(ψm, s) =τ(ψm)

iaq1/2

(π

q

)s−1/2 Γ(1−s+a2 )

Γ( s+a2 )

L(ψm, 1− s)

che permette di estendere meromorficamente L a tutto ilpiano complesso.

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

S e P-modulo

Lemma

S e P-modulo

Dimostrazione.

Basta osservare cheei ∗ sj ,q = sji ,qi

Pertanto

pk ∗ f q =

(k∑

i=1

xiei

) q∑j=1

yjsj ,q

=

=∑

1≤i≤k 1≤j≤qxiyj(ei ∗ sj ,q) =

∑1≤i≤k 1≤j≤q

xiyjsji ,qi

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

S e P-modulo

Lemma

S e P-modulo

Dimostrazione.

Basta osservare cheei ∗ sj ,q = sji ,qi

Pertanto

pk ∗ f q =

(k∑

i=1

xiei

) q∑j=1

yjsj ,q

=

=∑

1≤i≤k 1≤j≤qxiyj(ei ∗ sj ,q) =

∑1≤i≤k 1≤j≤q

xiyjsji ,qi

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

S e P-modulo

Lemma

S e P-modulo

Dimostrazione.

Basta osservare cheei ∗ sj ,q = sji ,qi

Pertanto

pk ∗ f q =

(k∑

i=1

xiei

) q∑j=1

yjsj ,q

=

=∑

1≤i≤k 1≤j≤qxiyj(ei ∗ sj ,q) =

∑1≤i≤k 1≤j≤q

xiyjsji ,qi

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Costruzione di una base di Sq con i caratteri

Lemma

Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.

Dimostrazione.

Innanzitutto si osserva che esistono∑

d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:

χd · Ωe =∑

d,e|n≤q

χd(n

d ′)Ωe(

n

e′) = χd(e1)Ωe(d1)

qd′,e′∑k=1

χd(k)Ωe(k)

χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa

d∑k=1

χd(k)Ωd(k) =

ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Costruzione di una base di Sq con i caratteri

Lemma

Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.

Dimostrazione.

Innanzitutto si osserva che esistono∑

d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:

χd · Ωe =∑

d,e|n≤q

χd(n

d ′)Ωe(

n

e′) = χd(e1)Ωe(d1)

qd′,e′∑k=1

χd(k)Ωe(k)

χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa

d∑k=1

χd(k)Ωd(k) =

ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Costruzione di una base di Sq con i caratteri

Lemma

Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.

Dimostrazione.

Innanzitutto si osserva che esistono∑

d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:

χd · Ωe =∑

d,e|n≤q

χd(n

d ′)Ωe(

n

e′) = χd(e1)Ωe(d1)

qd′,e′∑k=1

χd(k)Ωe(k)

χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa

d∑k=1

χd(k)Ωd(k) =

ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Costruzione di una base di Sq con i caratteri

Lemma

Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.

Dimostrazione.

Innanzitutto si osserva che esistono∑

d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:

χd · Ωe =∑

d,e|n≤q

χd(n

d ′)Ωe(

n

e′) = χd(e1)Ωe(d1)

qd′,e′∑k=1

χd(k)Ωe(k)

χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa

d∑k=1

χd(k)Ωd(k) =

ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Costruzione di una base di Sq con i caratteri

Lemma

Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.

Dimostrazione.

Innanzitutto si osserva che esistono∑

d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:

χd · Ωe =∑

d,e|n≤q

χd(n

d ′)Ωe(

n

e′) = χd(e1)Ωe(d1)

qd′,e′∑k=1

χd(k)Ωe(k)

χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa

d∑k=1

χd(k)Ωd(k) =

ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Costruzione di una base di Sq con i caratteri

Lemma

Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.

Dimostrazione.

Innanzitutto si osserva che esistono∑

d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:

χd · Ωe =∑

d,e|n≤q

χd(n

d ′)Ωe(

n

e′) = χd(e1)Ωe(d1)

qd′,e′∑k=1

χd(k)Ωe(k)

χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa

d∑k=1

χd(k)Ωd(k) =

ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche

Teorema

S =< Dpr >, come P-modulo

Dimostrazione.

Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta

χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ

m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′

RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica

f q =∑

ciχdi =

∑ψ∈Dpr

q

ψm∑

ciPq,dψ =

∑ψ∈Dpr

q

ψmPψ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche

Teorema

S =< Dpr >, come P-modulo

Dimostrazione.

Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta

χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ

m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′

RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica

f q =∑

ciχdi =

∑ψ∈Dpr

q

ψm∑

ciPq,dψ =

∑ψ∈Dpr

q

ψmPψ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche

Teorema

S =< Dpr >, come P-modulo

Dimostrazione.

Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta

χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ

m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′

RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica

f q =∑

ciχdi =

∑ψ∈Dpr

q

ψm∑

ciPq,dψ =

∑ψ∈Dpr

q

ψmPψ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche

Teorema

S =< Dpr >, come P-modulo

Dimostrazione.

Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta

χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ

m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′

RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica

f q =∑

ciχdi =

∑ψ∈Dpr

q

ψm∑

ciPq,dψ =

∑ψ∈Dpr

q

ψmPψ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche

Teorema

S =< Dpr >, come P-modulo

Dimostrazione.

Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta

χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ

m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′

RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica

f q =∑

ciχdi =

∑ψ∈Dpr

q

ψm∑

ciPq,dψ =

∑ψ∈Dpr

q

ψmPψ

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Le serie di Dirichlet periodiche si estendonomeromorficamente

Nella notazione delle serie di Dirichlet scriveremo

F q(s) =+∞∑n=1

f q(n)

ns=∑ψ∈Dpr

q

L(ψ, s)Pψ(s)

Pertanto l’equazione funzionale soddisfatta dalle L(ψ, s) siadatta alle F q(s)

F q(s) =∑ψ∈Dpr

L(ψ, s)Pψ(s) =∑ψ∈Dpr

τ(ψ)

iaq1/2

(π

q

)s− 12 Γ( 1−s+a

2)

Γ( s+a2

)L(ψ, 1−s)Pψ(s)

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Le serie di Dirichlet periodiche si estendonomeromorficamente

Nella notazione delle serie di Dirichlet scriveremo

F q(s) =+∞∑n=1

f q(n)

ns=∑ψ∈Dpr

q

L(ψ, s)Pψ(s)

Pertanto l’equazione funzionale soddisfatta dalle L(ψ, s) siadatta alle F q(s)

F q(s) =∑ψ∈Dpr

L(ψ, s)Pψ(s) =∑ψ∈Dpr

τ(ψ)

iaq1/2

(π

q

)s− 12 Γ( 1−s+a

2)

Γ( s+a2

)L(ψ, 1−s)Pψ(s)

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni

Bibliografia

Codeca, Dvornicich and Zannier Two problem related to thenon-vanishing of Lχ(1). Journal de Theorie des Nombres deBordeaux 10 (1998), 49-64

Eric Saias and Andreas Weingartner Zeros of Dirichlet serieswith periodic coefficients. http://arxiv.org/abs/0807.0783v1

Harold N. Shapiro Introduction to the Theory of NumbersDover Publications

Alberto Perelli Fondamenti di Teoria Analitica dei Numeriwww.dima.unige.it/ perelli

Mimmo Arezzo Ogni spazio vettoriale ha basehttp://www.dima.unige.it/ arezzo

Jobin Lavasani Algebraic Number Theory - Lecture 11http://www.maths.bris.ac.uk/ malab

Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni